裂项法（一）
同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母分数后再计算。
（一）阅读思考
例如1
3
1
4
1
12
-=，这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积，
把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式：
11
1
1
11 1
1
1
1
n n
n
n n
n
n n n n
n n n n
-
+=
+
+
-
+ =
+-
+
=
+
()()
()()
即11
1
1
1 n n n n
-
+
=
+
()
或
1
1
11
1 n n n n ()
+
=-
+
下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。【典型例题】
例1. 计算：
1
19851986
1
19861987
1
19871988
1
19941995⨯
+
⨯
+
⨯
++
⨯
……
+
⨯+
⨯
+
1 19951996
1 19961997
1
1997
分析与解答：
1 19851986
1
1985
1
1986
1 19861987
1
1986
1
1987
1 19871988
1
1987
1
1988
1 19941995
1
1994
1
1995
⨯
=-⨯
=-⨯
=-
⨯=-
……
11995199611995119961199619971199611997
⨯=-⨯=- 上面12个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这一来问题解起来就十分方便了。
11985198611986198711987198811995199611996199711997
⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+… =
-+-+-++-+-+=119851198611986119871198711988119951199611996119971199711985…… 像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。
例2. 计算：1111211231123100+
++++++++++…… 公式的变式
11221+++=⨯-…n n n ()
当n 分别取1，2，3，……，100时，就有
11212
112223
1123234
11234245
1121002100101
=⨯+=⨯++=⨯+++=⨯+++=⨯ (11112)
1
1231
12100212223234299100210010121121231341991001100101211212131314199110011001101211101
++++++++++=
⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=
⨯⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=
⨯-+-+-++-+-=⨯-……………()()() =⨯
==2100
101
200101
199101
例3. 设符号（ ）、< >代表不同的自然数，问算式
1611=+<>
()中这两个符号所代表的数的数的积是多少？
分析与解：减法是加法的逆运算，1611=+<>()就变成1611-=<>()，与前面提到的等式11111n n n n -+=+()相联系，便可找到一组解，即1617142=+ 另外一种方法
设n x y 、、都是自然数，且x y ≠，当111n x y
=+时，利用上面的变加为减的想法，得算式x n nx y
-=1。 这里
1y 是个单位分数，所以x n -一定大于零，假定x n t -=>0，则x n t =+，代入上式得t n n t y
()+=1，即y n t n =+2。 又因为y 是自然数，所以t 一定能整除n 2，即t 是n 2的约数，有n 个t 就有n 个y ，这一来我们便得到一个比11111n n n n -+=+()
更广泛的等式，即当x n t =+，y n t n =+2，t 是n 2的约数时，一定有111n x y
=+，即 11n n t t n n t -+=+()
上面指出当x n t =+，y n t n =+2，t 是n 2的约数时，一定有111n x y
=+，这里n n ==6362,，36共有1，2，3，4，6，9，12，18，36九个约数。
当t =1时，x =7，y =42
当t =2时，x =8，y =24
