二次根式——知识讲解(教案)

二次根式(基础)

【学习目标】

1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.

2、理解并掌握下列结论：肠> 0,( a> 0),(掐『乂( a> 0),好 F (a>

0),并利用它们进行计算和化简.

【要点梳理】要点一、二次根式及代数式的概念

1.二次根式：一般地，我们把形如./.■ (a > 0)?的式子叫做二次根式，“称为二次根号.

要点诠释：

二次根式的两个要素：①根指数为2;②被开方数为非负数.

2•代数式：形如5, a, a+b, ab,二，x3, j、这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.

要点二、二次根式的性质

1. a >0, ( a>0);

2.『 (a>0);

要点诠释:

1.二次根式心（a >0）的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的

形式，

即 a （ /a ）2（a >0）.

2. a 2与（一a ）2要注意区别与联系：1）. a 的取值范围不同，

（ a ）2中a > 0, g 中 a 为任意值。

2). a > 0 时,(a)2二..a 2=a ； a <0 时，(a)2 无意义，,a 2 = a .

【典型例题】 类型一、二次根式的概念

01 （2015春？潍坊期中）下列各式中■ . !-:

-.> , 一定是二

次根式的有（）个.

【答案】B

【解析】解：.2,八3,x 2 1 一定是二次根式，故选：B.

【总结升华】 二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号

..；第二，被开 方数是正数或0.

3. 盘0沙

-a (Q < 0)

【变式】下列式子中二次根式的个数有（

(1) ; ( 2 心;(3) 7X ^7 ； (4)逅;(5)( 1)2 ； (6)严(X 1)

A . 2

【答案】B.

@>2・当x 是 _______________ 寸，血+ 3 +占 在实数范围内有意义

【答案】x >且x 工-1

3

由①得：x > - 由②得：X 工-1

3 r ______________________ 1

当x > -「且X M -1时，“ ■ +^~在实数范围内有意义

【总结升华】本题综合考查了二次根式和分式的概念 .

举一反三:

【变式】（2015?随州）若代数式—有意义，则实数x 的取值范围是

x 1

（ ）

【解析】依题意，得

2x 3>0 ①

x 1工0 ②

【答案】D

提示：T代数式------- + :•有意义，

x _ 1

解得x>0且X M 1 .

C，3. （2016?贵港）式子「在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A. x V 1 B . x< 1 C . x > 1 D . x > 1

【思路点拨】被开方数是非负数，且分母不为零，由此得到：x-1>0,据此求得x的取值范围.

【答案】C.

【解析】

解：依题意得：x - 1 > 0,

解得x> 1.

故选：C.

【总结升华】考查了二次根式的意义和性质.概念：式子 ..（a>0）叫二次根

式.性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义.注意：

本题中的分母不能等于零.

B. x>0

C. x M0

D. x>0 且x工1

举一反三:

【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（ ）

A. , _32'

B. 0.3 2

C.

D. X

【答案】B.

类型二、二次根式的性质

•计算下列各式：

(1) 2 .'( 4)2 (2) .(3.14 )2

【总结升华】二次根式性质的运用

【高清课堂：二次根式及其乘除法（上）例 3 （2）（ 3）】

【变式】（1） （ 2占）2= _______________

(2) a 2 (J2 a)2 二 _________________

【答案】（1） 10；（2） 0.

（2015春？孝南区月考）已知实数a , b , c 在数轴上的位置如图所示,

【答案与解析】 (1) 原式=-2 3 _ 3

=——

4 2

(2)

原式=3.14- -3.14.

化简：..a 2 |a c| (c b)2 | b|| .

【解析】解：由图可知，a v 0, c v 0, b >0,且|c| v |b| ,

所以，a+c v 0, c — b v 0,

.a 2 |a c| (c b)2 | b| = — a+a+c+b- c — b=0.

【总结升华】根据数轴判断出a 、b 、c 的正负性，根据二次根式的性质与化简、 绝对值的性质，正确进行计算即可.

【变式】若整数m 满足条件J (m 1)2 m 1,且m 畚 则m 的值是 _______________________________ .

【答案】m =0或m =-1.

06.根据下列条件，求字母x 的取值范围：

⑴、• ： | ； (2) 「一 I 、： ' 汀-.

【答案与解析】(1)十-「'：-〔 |二】兀「工■一二..、：二1；

⑵

=h-2| + |A-3|= l t 【总结升华】二次根式性质的运用

举一反三:

【高清课堂：二次根式及其乘除法(上)例 1(1)(2)］

jr-2>0 /. 2