2018年全国硕士研究生入学考试数学二真题及答案

y(1) 4，所以切线方程为 y 4x 3。
11.
5
x2
dx 4x
3
；
【答案】 1 ln 2 。 2
【解析】
5
x2
dx 4x
3
1 2
5
1 x3
1 x 1
dx
1 2
ln
x 3 x 1 5
1 2
ln
2。
12.
x 曲线
y
cos3 t sin3 t
，在 t
4
1, 1, x
x
0
0
，
g(x)
x,
1
x
x b, x
0 0
，若 f (x) g(x) 在 R 上连续，则（
）.
（A） a 3,b 1 （B） a 3,b 2 （C） a 3,b 1 （D） a 3,b 2
【答案】（ D ）
1 ax, x 1 【解析】 令 F (x) f (x) g(x) x 1, 1 x 0 ，
0 0 1
【答案】（ A ）
1 1 0 【解析】记矩阵 H 0 1 1 ，则秩 r(H ) 3 ，迹tr(H ) 3,特征值 1
0 0 1
（三重）。观察 A, B, C, D 四个选项，它们与矩阵 H 的秩相等、迹相等、行列式相等，特征值也相等，
进一步分析可得： r(E H ) 2, r(E A) 2， r(E B) 1
2
2
（C）当 f (x) 0 时， f (1) 0 （D）当 f (x) 0时， f (1) 0
2
2
【答案】（ D ）
【解析一】有高于一阶导数的信息时，优先考虑“泰勒展开”。从选项中判断，展开点为 x0
1 2
。
将函数
f
( x) 在
x0
1
处展开，有
2
f (x) f (1) f (1)(x 1) f ( ) (x 1)2 ，其中 1 x 。
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2018 年全国硕士研究生入学统一考试
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.
1
1. 若 lim ex ax2 bx x2 1，则 （ ） x0
可知
1 1 (1
x)2
1 1 2
1 1 x2
，而
lim
x
1
x2 (1
x)2
lim
x
x2 1 x2
1，
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根据夹逼定理可得， lim x2[arctan(x 1) arctan x] lim x2 1 。
2
2 2 2!
2
2
两边积分，得
0 1 f (x)dx f (1) 1 f (1)(x 1)dx 1 f ( ) (x 1)2 dx
0
2 02 2
0 2!
2
f (1) 1 f ( ) (x 1)2 dx ，
2 0 2!
2
由于 f (x) 0 1 f ( ) (x 1)2 dx 0 ，所以 f (1) 0 ，应选（D）.
x
x 1 2
【方法二】 0 型未定式的极限必须化成商式。
lim
x
x 2 [arctan( x
1)
arctan
x]
lim
x
arctan(x
1) x2
arctan
x
lim
x
1
1 (1
Hale Waihona Puke Baidu
x)2
2 x 3
1 1 x2
1 2
lim
x
x3[1 (1
(1 x)2 (1 x2 )] x2 )[1 (1 x)2 ]
（A） r(A, AB) r(A)
（B） r(A, BA) r(A)
（C） r(A, B) max{r(A), r(B)} （D） r( A, B) r( AT , BT )
【答案】（ A ）
【解析】把矩阵 A, AB 按列分块，记 A (1,2 , n ), AB (1, 2 , n ) ，则向量组 1, 2 , n 可以由向量组1,2 , n 线性表出，从而1,2 , n 与 1,2 , n ， 1, 2 , n ，等价，于是 r(A, AB) r(A)，故选（ A ）。
bx
1
0
lim
x0
ex
2ax 2x
b
(b1)
lim x0
ex
2a 2
1 2a 2
0
，
故
a 1 ,b 1，选（B）.
2
2. 下列函数中在 x 0 处不可导的是（ ）
（A） f (x) x sin x
（B） f (x) x sin x
（C） f (x) cos x
（D） f (x) cos x
f
(1) 2
0。
故选 （D）.
5. 设 M
2 2
(1 1
x)2 x2
dx
，
N
2 2
1 ex
xdx
，
K
2
(1
2
cos x )dx ，则（
）
（A） M N K （B） M K N （C） K M N （D） K N M
【答案】（ C ）
【解析】积分区间是对称区间，先利用对称性化简，能求出积分最好，不能求出积分则最简化积分。
M
2 2
(1 1
x)2 x2
dx
2 2
1
x2 1
x2
2
xdx
2 2
(1
2x 1 x2
)dx
，
K
2
(1
cos x)dx
2
1
dx
，
2
2
令 f (x) ex 1 x, x ( , )，则 f (x) ex 1，当 x ( ,0) 时， f (x) 0 ，
22
1 e2x arctan 2
ex 1 1 exd ex 1 2
,二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答．题．纸．指定位置上.
9. 若 lim x2[arctan(x 1) arctan x]
。
x
【答案】 1. 【解析】【方法一】 由拉格朗日中值定理可得
arctan(
x
1)
arctan
x
1
1
2
,
其中 x x 1, x 0，
x
x
lim
x 0 , 可导；
x0
x
x0
x
x0 x
C.
lim
f
(x)
f
(0)
cos lim
x
1
lim
1 2
x
2
0
，可导；
x0
x
x0
x
x0 x
cos
D. lim
x
1
lim
1 2
2
x
1 x
lim 2 ，极限不存在。故选（ D ）.
x0
x
x0
x
x0 x
2 ax, x 1
3.
设函数
f
(x)
（A） a 1 ,b 1 （B） a 1 ,b 1 （C） a 1 ,b 1 （D） a 1 ,b 1
2
2
2
2
【答案】( B )
【解析】由重要极限可得
1
1
1 lim ex ax2 bx x2 lim 1 (ex ax2 bx 1) x2
x0
x0
lim
1 (ex ax2 bx 1)
1 2 1
解得矩阵的实特征值为 2 。
1
1 P(C) 2 1 P(C)
1 4
P(C )
1 4
,
22
三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答．题．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.
15. （本题满分 10 分）求不定积分 e2x arctan ex 1dx .
【解析】 e2x arctan ex 1dx 1 arctan ex 1de2x
2
1 e2x arctan ex 1 1 e2xd arctan ex 1
2
2
1 e2x arctan ex 1 1 e2x d ex 1
2
2
1 ( ex 1)2
1 e2x arctan 2
1 e2x arctan 2
【答案】( D )
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【解析】根据导数定义，A.
lim f (x) f (0) lim x sin x lim x
x 0
，可导；
x0
x
x0
x
x0 x
B. lim f (x) f (0) lim x sin
x b 1, x 0
则 F(1) 1 a, F(0) 1 b, F(1 0) 2, F(0 0) 1,
因为函数连续，所以极限值等于函数值，即1 a 2,1 b 1 a 3,b 2 ，
故选 （D）.
4.
设函数
f
(
x)
在
[0,1]
上二阶可导。且
1
0
f
( x)dx
0 ，则
（）
（A）当 f (x) 0 时， f (1) 0 （B）当 f (x) 0 时， f (1) 0
r(E C) 1, r(E D) 1。如果矩阵 A 与矩阵 X 相似，则必有 kE A 与 kE X 相似
（ k 为任意常数），从而 r(kE A) r(kE X ) ），故选（A）,
8. 设 A, B 是 n 阶矩阵，记 r( X ) 为矩阵 X 的秩， ( X ,Y ) 表示分块矩阵，则（ ）
3
(1 tan2 t)2
1 3 cost sin t
，代入 t
4
，可得
K
t 4
2。 3
13. 设函数 z z(x, y) 由方程 ln z ez1 xy 确定，则 z
。
x (2,1 )
2
1
【答案】 。
4
【解析】方程两边同时对 x 求导，得 1 z ez1 z y ，将 x 2, y 1 代入原方程可得
2
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当 x (0, ) 时， f (x) 0 ，故 对x ( , ) ，有 f (x) f (0) 0，因而
2
22
1 x ex
1，
N
2 2
1 ex
xdx
2
1
dx
，故 K
M
2
N 。应选（ C ）.
1 lim
2x4 x3
1。
2 x (1 x2 )[1 (1 x)2 ]
10. 曲线 y x2 2 ln x 在其拐点处的切线方程为
。
【答案】 y 4x 3.
【解析】函数的定义域为 (0, ) ，
y
2x
2 x
，
y
2
2 x2
；
y
4 x3
。
令 y 0 ，解得 x 1，而 y(1) 0 ，故点 (1,1)是曲线唯一的拐点。曲线在该点处的斜率
对应处的曲率
。
2
【答案】 。
3
【解析】有参数方程求导公式可知
dy dx
3sin2 t cost 3cos2 t sin t
tan t
，
d2y dx2
( tan t) 3cos2 t sin t
sec2 t 3cos2 t sin t
，
sec2 t
故曲率
y
K
3
(1 y2 )2
3cos2 t sin t
1 2 1
2 0 0
令
P (1,2 ,3 ),
C 1 1 1 ,
1 2 1
则 AP PC , P 可逆，故 A 相似于 C ， A 于 C 有相同的特征值。
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2 0 0 E C 1 1 1 ( 2)(2 2 3) 0
0 2!
2
2
【解析二】排除法。
（A）错误。令
f
(x)
x
1 2
，易知
1
0
f
( x)dx
0
，
f
(x)
1
0 ，但是
f
(1) 2
0
。
（B）错误。令
f
(x)
x2
1 3
1
，易知 0
f
( x)dx
0
，
f
(x)
2
0 ，但是
f
(1) 2
0
。
（C）错误。令
f
(x)
x
1 2
1
，易知 0
f
( x)dx
0，
f
(x)
1
0 ，但是
z x x
2
z 1，整理可得 z
1。
x (2,1 ) 4
2
14. 设 A 为 3 阶矩阵，1,2 ,3 为线性无关的向量组， A1 21 2 3，
A2 2 23 ， A3 2 3 ，则 A 的实特征值为
。
【答案】 2 .
2 0 0 【解析】 ( A1, A2 , A3 ) A(1,2 ,3 ) (1,2 ,3 ) 1 1 1 ，
1
x
0
x
(1
D
xy)dxdy
D
dxdy
1
0 (2
x2
x)dx
7 3
，
故选（C）。
1 1 0 7. 下列矩阵中阵，与矩阵 0 1 1 相似的是（ ）
0 0 1
1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1
（A） 0 1
1
（B） 0
1
1
（C） 0
1
0
（D） 0
1
0
0 0 1
0 0 1
0 0 1
1
ex ax2 bx1
ex ax2 bx1
x2
elim x0
ex
ax2 bx1 x2
，
x0
因此，
lim
ex
ax2
bx
1
0
lim
x
1 2
x2
ax2
bx
(x2 )
0
x0
x2
x0
x2
lim
x0
(1 2
a)x2
(1 x2
b)x
(x2)
0
1 2
a
0,1
b
0
或用“洛必达”： lim x0
ex
ax2 x2
0
2x2
1
2x2
6. dx (1 xy)dy dx (1 xy)dy （ ）
1 x
0
x
5
（A）
3
5
（B）
6
7
（C）
3
7
（D）
6
【答案】（ C ）
【解析】还原积分区域，如图所示：
积分区域 D 关于 y 轴对称，被积函数中 xy 关于 x 是奇函数，所以
0
2x2
1
2x2
dx (1 xy)dy dx (1 xy)dy