椭圆、双曲线。抛物线典型例题整理

椭圆典型例题

一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。

例1：已知椭圆的焦点是F 1(0，－1)、F 2(0,1)，P 是椭圆上一点，并且PF 1＋PF 2＝2F 1F 2，求椭圆的标准方程。

解：由PF 1＋PF 2＝2F 1F 2＝2×2＝4，得2a ＝4.又c ＝1，所以b 2＝3.

所以椭圆的标准方程是y 24＋x 2

3＝1.

2．已知椭圆的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且2a ＝10，求椭圆的标准方程． 解：由椭圆定义知c ＝1，∴b ＝52

－1＝24.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 2

24

＝1.

二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。

例：1. 椭圆的一个顶点为()02，

A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11

42

2=+y x ； （2）当()02，

A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：

116

42

2=+y x ；

三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。

例．求过点(－3,2)且与椭圆x 29＋y 2

4

＝1有相同焦点的椭圆的标准方程．

解：因为c 2

＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1.由点(－3,2)在椭圆上知9

a

2＋

4a 2

－5

＝1，所以a 2

＝15.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 210

＝1.

四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。

例： 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．

解：由题意，设椭圆方程为12

22=+y a

x ，

由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+1012

22y a

x y x ，得()0212

22=-+x a x a ， ∴222112a a x x x M +=+=，211

1a x y M M +=-=， 41

12===a

x y k M M OM ，∴42=a ，

∴14

22

=+y x 为所求． 五、求椭圆的离心率问题。

例1 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．

解：31222⨯⨯=c a c ∴223a c =，∴3331-=e ． 例2 已知椭圆

19822=++y k x 的离心率2

1

=e ，求k 的值． 解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82

+=k a ，92

=b ，得12

-=k c ．由2

1

=e ，得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时，92

=a ，82

+=k b ，得k c -=12

．

由21=

e ，得4191=-k ，即4

5-=k ． ∴满足条件的4=k 或4

5

-=k ．

六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题

例：1.若△ABC 的两个顶点坐标A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长为18，求顶点C 的轨迹方程。

解：顶点C 到两个定点A ，B 的距离之和为定值10，且大于两定点间的距离，因此顶点C 的轨迹为椭圆，并且2a ＝10，所以a ＝5,2c ＝8，所以c ＝4，所以

b 2＝a 2－

c 2

＝9，故顶点C 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1.又A 、B 、C 三点构成

三角形，所以y ≠0.所以顶点C 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)答案：

x 2

25＋

y 2

9＝1(y ≠0)

2．已知椭圆的标准方程是x 2

a 2＋y 2

25＝1(a >5)，它的两焦点分别是F 1，F 2，且F 1F 2＝8，弦AB 过点F 1，求△ABF 2的周长．

4a ＝441.

3．设F 1、F 2是椭圆x 29＋y 2

4

＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且PF 1∶PF 2＝2∶1，求△PF 1F 2的

面积．

△PF 1F 2的面积为12PF 1·PF 2＝1

2×2×4＝4.

七、直线与椭圆的位置问题

例 已知椭圆1222=+y x ，求过点⎪⎭

⎫

⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程． 解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-=-2121x k y ．代入椭圆方程，并整理得

()()

023

2122212222=+-+--+k k x k k x k ．

由韦达定理得2

2212122k

k

k x x +-=+． ∵P 是弦中点，∴121=+x x ．故得2

1

-=k ．

所以所求直线方程为0342=-+y x ．

解法二：设过⎪⎭

⎫

⎝⎛2121，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ，，则由题意得

⎪

⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④1.

③1②12①1221212

2222

121y y x x y x y x ，

，

，

①－②得

02

2

2212

221=-+-y y x x ．⑤ 将③、④代入⑤得212121

-=--x x y y ，即直线的斜率为2

1

-． 所求直线方程为0342=-+y x ．

八、椭圆中的最值问题

例 椭圆

112

162

2=+y x 的右焦点为F ，过点()

31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．

解：由已知：4=a ，2=c ．所以2

1

=e ，右准线8=x l ：．

过A 作l AQ ⊥，垂足为Q ，交椭圆于M ，故MF MQ 2=．显然MF AM 2+的最小值为AQ ，

即M 为所求点，因此3=M y ，且M 在椭圆上．故32=M x ．所以()

332，M ．