高考数学压轴专题(易错题)备战高考《计数原理与概率统计》全集汇编及答案

新数学《计数原理与概率统计》复习知识点

一、选择题

1．若随机变量X 的分布列为（ ）

且()1E X =，则随机变量X 的方差()D X 等于（ ） A ．

13

B ．0

C ．1

D ．

23

【答案】D 【解析】

分析：先根据已知求出a,b 的值，再利用方差公式求随机变量X 的方差()D X .

详解：由题得1

113

,,13021

3

a b a b a b ⎧++=⎪⎪∴==⎨

⎪⨯++=⎪⎩ 所以2

2

2

1112()(01)(11)(21).3

3

33

D X =-⋅+-⋅+-⋅= 故答案为D.

点睛：（1）本题主要考查分布列的性质和方差的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值

的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，那么D ξ＝211()x E p ξ-⋅＋2

22()x E p ξ-⋅＋…＋

2()n n x E p ξ-⋅,称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的E ξ是随机变量ξ的期

望．

2．设某中学的女生体重y （kg ）与身高x （cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数

(),i i x y ()1,2,3,,i n =L L ，用最小二乘法建立的线性回归直线方程为

ˆ0.8585.71y

x =-，给出下列结论，则错误的是（ ） A ．y 与x 具有正的线性相关关系

B ．若该中学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0．85kg

C ．回归直线至少经过样本数据(),i i x y ()1,2,3,,i n =L L 中的一个

D ．回归直线一定过样本点的中心点(),x y 【答案】C 【解析】

根据回归直线方程的性质和相关概念，对选项进行逐一分析即可. 【详解】

因为0.850k =>，所以y 与x 具有正的线性相关关系，故A 正确； 该中学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0．85kg ，故B 正确； 回归直线一定过样本点的中心点(),x y ，回归直线有可能不经过样本数据， 故D 正确；C 错误. 故选：C ． 【点睛】

本题考查线性回归直线方程的定义，相关性质，属基础题.

3．现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有（ ）种． A ．2

2

67A A B ．32

47A A

C ．322

367A A A

D ．362

467A A A

【答案】D 【解析】 【分析】

采用捆绑法和插空法,将3个男生看成一个整体方法数是3

4A 种，再排列6个女生，最后让所有男生插孔即可. 【详解】

采用捆绑法和插空法；从4名男生中选择3名，进而将3个相邻的男生捆在一起，看成1个男生，方法数是3

4A 种，这样与第4个男生看成是2个男生；然后6个女生任意排的方法数是66A 种；最后在6个女生形成的7个空隙中，插入2个男生，方法数是2

7A 种．综上所述，不同的排法共有3

6

2

467A A A 种. 故选D. 【点睛】

解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．

4．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = ) A ．

85

B ．

65

C ．

45

D ．

25

【答案】B 【解析】

由题意知，3~(5,

)3X B m +，由3

533EX m =⨯

=+，知3~(5,)5

X B ，由此能求出()D X ．

【详解】

由题意知，3

~(5,

)3

X B m +， 3

533

EX m ∴=⨯

=+，解得2m =， 3

~(5,)5

X B ∴，

336

()5(1)555

D X ∴=⨯⨯-=．

故选：B ． 【点睛】

本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用．

5．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ） A ．

110

B ．

35

C ．

310

D ．

25

【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】

从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张， 基本事件总数n=5×5=25，

抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：

（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4）， 共有m=10个基本事件，

∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p=102.255

= 故答案为D ．

6．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（ ）