河南省新乡市名校学术联盟(卫辉一中)2016届高考押题卷教师用卷(三)数学(理)试题 扫描版含答案

2016年河南省新乡市名校学术联盟高考数学押题卷（理科）（3）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2016•新乡模拟）已知复数z=（a∈R且a≠0，i为虚数单位），则z的共轭复数为（）A．B．C．D．2．（5分）（2016•新乡模拟）已知集合A={y|y=}，B={x|x≤t2+2t﹣1，对于t∈R恒成立}，则（）A．A⊆B B．B⊆A C．A∪B=R D．A∩B=∅3．（5分）（2016•新乡模拟）在直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），B（1，1），C（﹣1，2），点P（x，y）在四边形OABC的四边围成的区域内（含边界），则z=x﹣2y的最大值是（）A．5 B．﹣5 C．2 D．44．（5分）（2016•新乡模拟）已知p：﹣2＜a＜0，¬q：关于x的不等式x2+ax﹣2a2﹣3a+3＜0的解集是空集，则¬p是q的（）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．即不充分也不必要条件5．（5分）（2016•新乡模拟）已知函数f（x）=﹣8sinx+tanx（x∈（，）），则f（x）为增函数的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）（2016•新乡模拟）如图，已知正方形ABCD的边长为1，沿对角线BD折起得到四面体ABCD，如果四面体ABCD的主视图是顶角为120°的等腰三角形，俯视图为等腰直角三角形，则其侧视图的面积为（）A．B．C．D．7．（5分）（2016•新乡模拟）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．4 B．5 C．6 D．78．（5分）（2016•新乡模拟）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=x+a，如果函数f（x）的图象与圆x2+y2=1的交点个数为4，则a的取值范围为（）A．{a|﹣≤a＜﹣1}B．{a|﹣＜a≤﹣1}C．{a|﹣＜a＜﹣1}D．{a|﹣≤a ≤﹣1}9．（5分）（2016•新乡模拟）学生甲根据已知的数据求出线性回归方程为y=﹣x+，学生乙抄下了数据表与方程，但是后来甲发现乙抄录的数据表（如表）中有一组符合方程的10．（5分）（2016•新乡模拟）已知A、B是抛物线y2=2px（p＞0）上的两点，O为坐标原点，•，若直线AB与直线kx+y+2k=0距离的最大值是4，则p的值为（）A．1 B．2 C．3 D．411．（5分）（2016•新乡模拟）已知正四面体ABCD的棱长为1，如果一高为的长方体能在该正四面体内任意转动，则该长方体的长和宽形成的长方形面积的最大值为（）A．B．C．D．12．（5分）（2016•新乡模拟）已知函数f（x）满足条件：当x＞0时，f（x）+xf′（x）＞1，则下列不等式正确的是（）A．f（1）+3≥4f（2）B．f（1）+3＞4f（2） C．f（1）+3＜4f（2） D．f（2）+3＞4f（4）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（2016•新乡模拟）若a、b满足条件（a ＞0，b＞0），则+的最小值为．14．（5分）（2016•新乡模拟）在△ABC中，点D为AC的中点，点E在DB的延长线上，且=2，点M在线段BE上，若=+，则λ+μ的取值范围是．15．（5分）（2016•新乡模拟）将函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0，x∈R）的图象向右平移个单位后，所得到的图象关于y轴对称，则ω的最小值为．16．（5分）（2016•新乡模拟）定义当a＜0时，[a]x=，现有四个命题：①若a＜0，b＞0，c≥0，则[a]c b c=[ab]c；②若a＜0，b＞0，c＜0，则[a]c b c=[ab]c；③若a＞0，b＞0，c≥0，则a c b c=[﹣ab]c；④若a＞0，b＞0，c＜0，则a c b c=[﹣ab]c其中的真命题有（写出所有真命题的编号）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2016•新乡模拟）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n+n．（1）证明：数列{a n﹣1}为等比数列；（2）求S n．18．（12分）（2016•新乡模拟）如图，已知多面体ABCDEF中，ABCD为正方形，EF∥平面ABCD，M为FC的中点，AB=2，EF到平面ABCD的距离为2．（1）证明：AF∥平面MBD；（2）若AF⊥BD，点F在平面ABCD上的射影为点C，求二面角M﹣BD﹣C的余弦值．19．（12分）（2016•新乡模拟）某中学高一年级进行学生性别与科目偏向问卷调查，共收回（2）如果按分层抽样的方法选取14人，又在这14人中选取2人进行面对面交流，求选中的2人恰好都偏文科的概率；（3）在（2）的条件下，求一次选出的2人中男生人数X的分布列及期望．附：K2=20．（12分）（2016•新乡模拟）过圆E：（x﹣1）2+y2=1上的点M（，）作圆的切线l，切线l与坐标轴的两个交点分别为椭圆C的两个顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）圆E的切线与椭圆交于A、B两点，F为椭圆的左焦点，求|AF|+|BF|的最小值．21．（12分）（2016•新乡模拟）已知函数f（x）=（a≠0）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（，f（））处的切线方程；（2）当x∈[2，4]时，求f（x）的最小值．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．（10分）（2016•新乡模拟）如图，已知PA是圆O的一条的切线，PB是圆经过圆心O 的割线，N为PB与圆O的另一交点．（1）过点A作PB的垂线AC，交PB于点M，交圆O于点C，连接BC，过点M作AB的平行线分别交BC于D，交PA于E，求证：DM=DB；（2）若圆O的半径为3，NM=MB，求PN．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016•新乡模拟）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆E的参数方程为（φ为参数）．（1）求圆E的极坐标方程；（2）若直线l的参数方程为（t为参数），求圆E的圆心到直线l的距离．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•新乡模拟）已知函数f（x）=|x﹣a|+2a（a为实常数）．（1）若不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣6≤x≤4}，求a的值；（2）若函数g（x）=f（x+a）﹣2a，当a=3且3＜m＜6时，解关于x的不等式f（x）﹣g （x）≥m．2016年河南省新乡市名校学术联盟高考数学押题卷（理科）（3）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2016•新乡模拟）已知复数z=（a∈R且a≠0，i为虚数单位），则z的共轭复数为（）A．B．C．D．【分析】利用复数除法化简复数为a+bi的形式，然后利用共轭复数的分子实数化，求解即可．【解答】解：复数z====．则z的共轭复数为：==．故选：A．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，共轭复数的应用，是基础题．2．（5分）（2016•新乡模拟）已知集合A={y|y=}，B={x|x≤t2+2t﹣1，对于t∈R恒成立}，则（）A．A⊆B B．B⊆A C．A∪B=R D．A∩B=∅【分析】集合A={y|y=}=[0，+∞）．由t2+2t﹣1=（t+1）2﹣2≥﹣2，x≤t2+2t ﹣1，对于t∈R恒成立，可得x≤﹣2．再利用集合的运算性质即可得出．【解答】解：集合A={y|y=}=[0，+∞），由t2+2t﹣1=（t+1）2﹣2≥﹣2，x≤t2+2t﹣1，对于t∈R恒成立，∴x≤﹣2．B={x|x≤t2+2t﹣1，对于t∈R恒成立}=（﹣∞，﹣2]．∴A∩B=∅．故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法、集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．（5分）（2016•新乡模拟）在直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），B（1，1），C（﹣1，2），点P（x，y）在四边形OABC的四边围成的区域内（含边界），则z=x﹣2y的最大值是（）A．5 B．﹣5 C．2 D．4【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x﹣2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点A（2，0）时，直线y=的截距最小，此时z最大，此时z max=2﹣2×0=2．故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．4．（5分）（2016•新乡模拟）已知p：﹣2＜a＜0，¬q：关于x的不等式x2+ax﹣2a2﹣3a+3＜0的解集是空集，则¬p是q的（）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．即不充分也不必要条件【分析】¬q：关于x的不等式x2+ax﹣2a2﹣3a+3＜0的解集是空集，可得△＜0，解得a范围即可判断出结论．【解答】解：￢q：关于x的不等式x2+ax﹣2a2﹣3a+3＜0的解集是空集，∴△=a2﹣4（﹣2a2﹣3a+3）＜0，解得：．又p：﹣2＜a＜0，∴p⇒￢q，反之不成立．则￢p是q的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（5分）（2016•新乡模拟）已知函数f（x）=﹣8sinx+tanx（x∈（，）），则f（x）为增函数的概率为（）A．B．C．D．【分析】利用函数的导数求得f（x）的单调递增区间，f（x）为增函数的概率即为单调增区间的长度比上总长度．【解答】解：f（x）=﹣8sinx+tanx，f′（x）=﹣8cosx+=，f（x）为增函数，f′（x）=＞0，∴cosx＜，又x∈（，），∴x∈（﹣，﹣）∪（，），f（x）为增函数的概率P==．故答案选：D．【点评】本题考查古典概型，利用导数求出函数的单调区间，并求出其长度，并求出其与总长度的比值，属于中档题．6．（5分）（2016•新乡模拟）如图，已知正方形ABCD的边长为1，沿对角线BD折起得到四面体ABCD，如果四面体ABCD的主视图是顶角为120°的等腰三角形，俯视图为等腰直角三角形，则其侧视图的面积为（）A．B．C．D．【分析】确定侧视图的高为•tan30°=，底为，即可求出侧视图的面积．【解答】解：由四面体ABCD的主视图是顶角为120°的等腰三角形，可得侧视图的高为tan30°=，俯视图为等腰直角三角形，可得侧视图的底为，∴侧视图的面积为=，故选：B．【点评】本题考查三视图，考查学生的计算能力，比较基础．7．（5分）（2016•新乡模拟）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】根据程序框图，依次计算运行的结果，直到满足条件m＞20，退出循环，即可得到k的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得m=1，k=1不满足条件m＞20，不满足条件m是3的整数倍，m=3，k=2不满足条件m＞20，满足条件m是3的整数倍，m=8，k=3不满足条件m＞20，不满足条件m是3的整数倍，m=17，k=4不满足条件m＞20，不满足条件m是3的整数倍，m=35，k=5满足条件m＞20，退出循环，输出k的值为5．故选：B．【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，了解程序的功能是解决本题的关键，属于基础题．8．（5分）（2016•新乡模拟）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=x+a，如果函数f（x）的图象与圆x2+y2=1的交点个数为4，则a的取值范围为（）A．{a|﹣≤a＜﹣1}B．{a|﹣＜a≤﹣1}C．{a|﹣＜a＜﹣1}D．{a|﹣≤a ≤﹣1}【分析】利用函数奇偶性的性质，结合对称性得到当x∈（0，1）时，f（x）的图象与圆x2+y2=1的交点个数为2，利用直线和圆的关系进行判断即可．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=x+a，∴要使数f（x）的图象与圆x2+y2=1的交点个数为4，则等价为当x∈（0，1）时，f（x）的图象与圆x2+y2=1的交点个数为2，作出对应的图象如图：当a≥0时，两个函数的交点个数最多有一个，不满足条件．当直线经过点A（0，﹣1）时，由﹣1=0+a得a=﹣1，此时f（x）与圆没有交点，当直线和圆在第四象限内相切时，a＜0由圆心到直线x﹣y+a=0的距离d=得|a|=，得a=﹣，此时直线和圆有一个交点，则要使当x∈（0，1）时，f（x）的图象与圆x2+y2=1的交点个数为2，则实数a的取值范围是﹣＜a＜﹣1，故选：C【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用奇偶性的对称性转化为当x∈（0，1）时，f（x）的图象与圆x2+y2=1的交点个数为2，利用直线和圆的位置关系是解决本题的关键．9．（5分）（2016•新乡模拟）学生甲根据已知的数据求出线性回归方程为y=﹣x+，学生乙抄下了数据表与方程，但是后来甲发现乙抄录的数据表（如表）中有一组符合方程的【分析】求出=4，代入回归方程得出=2．则回归方程必过点（4，2），对照表格可知数据（4，1）错误．【解答】解：=4．将x=4代入回归方程得=﹣=2．∴回归方程必经过点（4，2）．故第三组数据有误，即错误的y对应的x的值是4，故选C．【点评】本题考查了线性回归方程经过数据中心的特点，属于基础题．10．（5分）（2016•新乡模拟）已知A、B是抛物线y2=2px（p＞0）上的两点，O为坐标原点，•，若直线AB与直线kx+y+2k=0距离的最大值是4，则p的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】OA⊥OB时，设直线AB：x=my+n，代入抛物线方程，可得y2﹣2pmy﹣2pn=0，利用OA⊥OB，证明直线AB：x=my+2p过定点（2p，0）．利用直线AB与直线kx+y+2k=0距离的最大值是4，得出2p+2=4，即可求出p．【解答】解：OA⊥OB时，设直线AB：x=my+n．代入抛物线方程，可得y2﹣2pmy﹣2pn=0，∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=+y1y2=0，∴y1y2=﹣4p2=﹣2pn，∴n=2p，∴直线AB：x=my+2p过定点（2p，0）．∵直线AB与直线kx+y+2k=0距离的最大值是4，直线kx+y+2k=0过点（﹣2，0）∴直线AB与直线kx+y+2k=0距离的最大值是两定点间的距离，即2p+2=4，∴p=1．故选：A．【点评】本题考查抛物线方程，考查学生的计算能力，考查直线与抛物线的位置关系，比较基础．11．（5分）（2016•新乡模拟）已知正四面体ABCD的棱长为1，如果一高为的长方体能在该正四面体内任意转动，则该长方体的长和宽形成的长方形面积的最大值为（）A．B．C．D．【分析】要满足一高为的长方体能在该正四面体内任意转动，则长方体的对角线长不超过正四面体的内切球的直径．利用正四面体的性质可得内切球的半径，利用长方体的对角线与内切球的直径的关系、基本不等式的性质即可得出．【解答】解：设正四面体S﹣ABCD如图所示．可得它的内切球的球心0必定在高线SH上，延长AH交BC于点D，则D为BC的中点，连接SD，则内切球切SD于点E，连接AO．∵H是正三角形ABC的中心，∴AH：HD=2：1，∵Rt△0AH∽Rt△DSH，∴=3，可得OA=30H=S0因此，SH=4OH，可得内切球的半径R=OH=SH．∵正四面体棱长为1，∴Rt△SHD中，SD==，=，解得R2=．要满足一高为的长方体能在该正四面体内任意转动，则长方体的对角线长不超过正四面体的内切球的直径，设该长方体的长和宽分别为x，y，该长方体的长和宽形成的长方形面积为S．∴4R2≥+x2+y2，∴x2+y2≤，∴S=xy≤=．故选：D．【点评】本题考查了正四面体的性质、勾股定理、正三角形的性质、长方体的对角线与其外接球的直径之间的关系，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于难题．12．（5分）（2016•新乡模拟）已知函数f（x）满足条件：当x＞0时，f（x）+xf′（x）＞1，则下列不等式正确的是（）A．f（1）+3≥4f（2）B．f（1）+3＞4f（2） C．f（1）+3＜4f（2） D．f（2）+3＞4f（4）【分析】令g（x）=x2f（x）﹣x2，得到g（x）在（0，+∞）递增，有g（1）＜g（2），从而得到答案．【解答】解：∵x＞0时，f（x）+xf′（x）＞1，∴x＞0时，2f（x）+xf′（x）﹣2＞0，令g（x）=x2f（x）﹣x2，则g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）﹣2x=x[2f（x）+xf′（x）﹣2]＞0，∴g（x）在（0，+∞）递增，∴g（1）＜g（2），即f（1）﹣1＜4f（2）﹣4，即f（1）+3＜4f（2），故选：C．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造函数g（x）=x2f（x）﹣x2是解题的关键，本题是一道中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（2016•新乡模拟）若a、b满足条件（a ＞0，b＞0），则+的最小值为25．【分析】运用直线系方程可得，（3a+4b）x+（a﹣5b）y﹣（7a+3b）=0恒过定点（2，1），代入ax+by﹣1=0，可得2a+b=1，由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值．【解答】解：由（3a+4b）x+（a﹣5b）y﹣（7a+3b）=0可得，a（3x+y﹣7）+b（4x﹣5y﹣3）=0，由，解得，代入方程ax+by﹣1=0，可得2a+b=1，则+=（2a+b）（+）=16+1++≥17+2=17+8=25．当且仅当=，即a=2b，又2a+b=1，即a=，b=时，取得等号．则+的最小值为25．故答案为：25．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意运用乘1法和满足的条件：一正二定三等，同时考查直线恒过定点的求法，属于中档题．14．（5分）（2016•新乡模拟）在△ABC中，点D为AC的中点，点E在DB的延长线上，且=2，点M在线段BE上，若=+，则λ+μ的取值范围是[1，]．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用平面向量的线性运算法则，表示出向量、与，写出向量，求出λ与μ，计算λ+μ的最值即可．【解答】解：如图所示，△ABC中，点D为AC的中点，∴=﹣=﹣；又=2，∴==﹣；设=x（0≤x≤1），则=+=+x=+x（﹣）=（1+x）﹣x=+，∴λ=（1+x），μ=﹣x，∴λ+μ=1+x，当x=0时，λ+μ=1为最小值，当x=1时，λ+μ=为最大值，∴λ+μ的取值范围是[1，]．故答案为：[1，]．【点评】本题考查了平面向量的线性表示与运算问题，也考查了求函数最值的应用问题，是综合性题目．15．（5分）（2016•新乡模拟）将函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0，x∈R）的图象向右平移个单位后，所得到的图象关于y轴对称，则ω的最小值为5．【分析】化简函数f（x），根据函数图象的平移，得出函数解析式，利用图象关于y轴对称，求出ω的值与最小值．【解答】解：函数f（x）=sinωx+cosωx=2sin（ωx+），其图象向右平移个单位后，得到y=2sin[ω（x﹣）+]=2sin（ωx﹣ω+）的图象，且该图象关于y轴对称，所以﹣ω+=kπ+，k∈Z，解得ω=﹣6k﹣1，k∈Z；又ω＞0，所以当k=﹣1时ω取得最小正整数5．故答案为：5．【点评】本题考查了三角函数的化简与图象平移的应用问题，是基础题目．16．（5分）（2016•新乡模拟）定义当a＜0时，[a]x=，现有四个命题：①若a＜0，b＞0，c≥0，则[a]c b c=[ab]c；②若a＜0，b＞0，c＜0，则[a]c b c=[ab]c；③若a＞0，b＞0，c≥0，则a c b c=[﹣ab]c；④若a＞0，b＞0，c＜0，则a c b c=[﹣ab]c其中的真命题有①③（写出所有真命题的编号）．【分析】根据分段函数，由值的正负确定其值，从而判断．【解答】解：若a＜0，b＞0，c≥0，则[a]c b c=（﹣a）c b c，[ab]c=（﹣ab）c=（﹣a）c b c，故①真；若a＜0，b＞0，c＜0，则[a]c b c=（﹣a）﹣c b c，[ab]c=（﹣ab）﹣c=（﹣a）﹣c b﹣c，故②假；若a＞0，b＞0，c≥0，则[﹣ab]c=（ab）c，故③真；若a＞0，b＞0，c＜0，则[﹣ab]c=（ab）﹣c，故④假；故答案为：①③．【点评】本题考查了分段函数的变形应用及分类讨论的思想应用．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2016•新乡模拟）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n+n．（1）证明：数列{a n﹣1}为等比数列；（2）求S n．【分析】（1）利用递推关系变形可得：a n﹣1=2（a n﹣1﹣1），即可证明．（2）利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）当n=1时，S1=a1=2a1+1，a1=﹣1．由S n=2a n+n①，得n≥2时，S n﹣1=2a n﹣1+n﹣1，②①﹣②得：a n=2a n﹣2a n﹣1+1，a n=2a n﹣1﹣1，两边同时减1得：a n﹣1=2a n﹣1﹣2=2（a n﹣1﹣1），∴{a n﹣1}是﹣2为首项，2为公比的等比数列．（2）由（1）可得：a n﹣1=﹣2n，∴a n=﹣2n+1，∴S n=﹣（2+22+…+2n）+n=﹣+n=﹣2n+1+2+n．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2016•新乡模拟）如图，已知多面体ABCDEF中，ABCD为正方形，EF∥平面ABCD，M为FC的中点，AB=2，EF到平面ABCD的距离为2．（1）证明：AF∥平面MBD；（2）若AF⊥BD，点F在平面ABCD上的射影为点C，求二面角M﹣BD﹣C的余弦值．【分析】（1）连接AC，设AC与BD交于O点，则OM∥AF，由此能证明AF∥平面MBD．（2）由OM∥AF，得OM⊥BD，又AC⊥BD，从而∠COM就是二面角M﹣BD﹣C的平面角．由此能求出二面角M﹣BD﹣C的余弦值．【解答】解：（1）证明：连接AC，设AC与BD交于O点，在正方形ABCD中，O为AC的中点，∵M是FC的中点，∴OM∥AF，∵AF⊄平面MBD，OM⊆平面MBD，∴AF∥平面MBD．（2）由（1）知OM∥AF，∵AF⊥BD，∴OM⊥BD，又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，∴∠COM就是二面角M﹣BD﹣C的平面角．，在正方形ABCD中，，∴．∴二面角M﹣BD﹣C的余弦值为．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19．（12分）（2016•新乡模拟）某中学高一年级进行学生性别与科目偏向问卷调查，共收回（2）如果按分层抽样的方法选取14人，又在这14人中选取2人进行面对面交流，求选中的2人恰好都偏文科的概率；（3）在（2）的条件下，求一次选出的2人中男生人数X的分布列及期望．附：K2=【分析】（1）求出K=3.535＞2.706，从而有90%的把握认为科目偏向与性别有关．（2）按分层抽样的方法选出14人，偏理科的人数为，偏文科的人数为．由此利用组合知识可以求出概率．（3）按分层抽样的方法选出14人，男生人数为，女生人数为．设一次选出2人中选到男生人数为X，则X所有可能的取值为0，1，2．求出相应的概率，即可求一次选出的2人中男生人数X的分布列及期望．【解答】解：（1）．所以有90%的把握认为科目偏向与性别有关．（2）按分层抽样的方法选出14人，偏理科的人数为，偏文科的人数为．记“在这14人中选2人偏文科”为事件A．则．（3）按分层抽样的方法选出14人，男生人数为，女生人数为．设一次选出2人中选到男生人数为X，则X所有可能的取值为0，1，2.，X的数学期望．【点评】本题考查独立检验的应用，考查概率的求法，考查分布列及期望，正确求出概率是关键．20．（12分）（2016•新乡模拟）过圆E：（x﹣1）2+y2=1上的点M（，）作圆的切线l，切线l与坐标轴的两个交点分别为椭圆C的两个顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）圆E的切线与椭圆交于A、B两点，F为椭圆的左焦点，求|AF|+|BF|的最小值．【分析】（1）利用直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式即可得出．（2）当直线AB的斜率不存在时，有两种情况：①切点为原点，切线为y轴，此时|AF|+|BF|=6；②切点为圆E与x轴的另一交点N（2，0），此时直接得出；当斜率存在时，设方程为y=kx+m，因为与圆E相切，得，显然m≠0，，与椭圆的方程联立转化为根与系数的关系，再利用导数研究函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）设过点M的圆E的切线方程为，则圆心（1，0）到这条直线的距离是，得，∴切线l方程为，当x=0时，，当y=0时，x=3．由题意得，椭圆E的方程为：．（2）当直线AB的斜率不存在时，有两种情况：①切点为原点，切线为y轴，此时|AF|+|BF|=6；②切点为圆E与x轴的另一交点N（2，0），此时．当斜率存在时，设方程为y=kx+m，因为与圆E相切，得，显然m ≠0，∴，把y=kx+m代入得：（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，又知椭圆C的离心率，∴=，令，令t2+6t﹣3=0，解得或（舍去）．当时，g（t）取得最大值，此时|AF|+|BF|取得最小值为，故|AF|+|BF|取得最小值为．【点评】本题考查了椭圆的标准方程、直线与圆相切的性质、一元二次方程的根与系数的关系、点到直线的距离公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）（2016•新乡模拟）已知函数f（x）=（a≠0）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（，f（））处的切线方程；（2）当x∈[2，4]时，求f（x）的最小值．【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（），f（），代入切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=，f′（x）=，∴f′（）=，f（）=，故切线方程为：2x﹣8y+1=0．（2）显然当x∈[2，4]时，，令f'（x）＞0，解得，即当时，f'（x）＜0；x∈（，+∞）时，f'（x）＞0，若，则在[2，4]上单调递增，其最小值为，最大值为，若的最小值为，，3lna+2＞0，∴f（2）﹣f（4）＜0，f（2）＜f（4），最大值为，若的最小值为，最大值为．综上所述，当时，函数f（x）的最小值为，最大值为，当时，函数f（x）的最小值为，最大值为，当时，函数f（x）的最小值为，最大值为．【点评】本题考查了切线方程问题，考查导数的应用以及函数的单调性、最值问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．（10分）（2016•新乡模拟）如图，已知PA是圆O的一条的切线，PB是圆经过圆心O 的割线，N为PB与圆O的另一交点．（1）过点A作PB的垂线AC，交PB于点M，交圆O于点C，连接BC，过点M作AB的平行线分别交BC于D，交PA于E，求证：DM=DB；（2）若圆O的半径为3，NM=MB，求PN．【分析】（1）运用两直线平行的性质定理和圆的垂径定理，结合等腰三角形的性质，即可得证；（2）连接AO，由圆的切线的性质和直角三角形的射影定理，结合圆的切割线定理，解方程可得所求．【解答】解：（1）证明：∵ED∥AB，∴∠PME=∠PBA，∵割线经过圆心O，PB⊥AC，∴∠PBC=∠PBA，∴∠PME=∠PBC，又∵∠PME=∠BMD，∴∠BMD=∠MBD，∴在△BMD中，DM=DB．（2）连接AO，则OA⊥PA．∵，∴MB+NM=3NM=6，∴NM=2，MO=1．在Rt△BAN中，由（1）知，MA⊥NB，∴．不妨设PA=m，PN=n．则PA2=m2=PN•PB=PN（PN+NB）=n（n+6）=n2+6n①在Rt△PAM中，PA2=m2=PM2+MA2=（PN+NM）2+8=n2+4n+12②联立①②得，PN=n=6．【点评】本题考查圆的切线的性质和切割线定理，以及垂径定理的运用，考查推理和运算能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016•新乡模拟）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆E的参数方程为（φ为参数）．（1）求圆E的极坐标方程；（2）若直线l的参数方程为（t为参数），求圆E的圆心到直线l的距离．【分析】（1）由为参数），利用cos2φ+sin2φ=1可得圆E的普通方程为（x ﹣1）2+（y﹣1）2=1，把代入即可得出极坐标方程．（2）圆心E的坐标为（1，1），设点E到点的距离为d，利用两点之间的距离公式、二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）由为参数）得圆E的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，则（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣1）2=1，展开为ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ+1=0．（2）圆心E的坐标为（1，1），设点E到点的距离为d，则，d min==，即圆心E到直线l距离为．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、两点之间的距离公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•新乡模拟）已知函数f（x）=|x﹣a|+2a（a为实常数）．（1）若不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣6≤x≤4}，求a的值；（2）若函数g（x）=f（x+a）﹣2a，当a=3且3＜m＜6时，解关于x的不等式f（x）﹣g （x）≥m．【分析】（1）先求得不等式f（x）≤3的解集，再根据它的解集为{x|﹣6≤x≤4}，求得a 的值．（2）不等式即|x﹣3|﹣|x|+6≥m，结合条件，分类讨论，求得x的范围．【解答】解：（1）由f（x）=|x﹣a|+2a≤3得，|x﹣a|≤3﹣2a，即2a﹣3≤x﹣a≤3﹣2a，解得3a﹣3≤x≤3﹣a．又不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣6≤x≤4}，所以，解得a=﹣1．（2）∵g（x）=f（x+a）﹣2a=|x|，当a=3且3＜m＜6时，不等式即f（x）﹣g（x）=|x﹣a|+2a﹣|x|=|x﹣3|﹣|x|+6≥m，当x≥3时，不等式即x﹣3﹣x+6≥m，求得3≥m，不满足3＜m＜6；当0≤x＜3时，不等式为3﹣x﹣x+6≥m，求得，由于，故有；当x＜0时，得9≥m，满足条件3＜m＜6，故不等式成立，∴x＜0．综上所述，不等式的解集为．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2016届河南省新乡市名校学术联盟（卫辉一中）高考押题卷教师用卷（二）数学（理）试题 数学理科（二）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0,1,2P =，若()Q Z P =∅ ð，则集合Q 可以为（ ）A ．{}2,x x a a =∈P B ．{}2,ax x a =∈PC ．{}1,x x a a =-∈ND ．{}2,x x a a =∈N2.已知i 为虚数单位，z 是z 的共轭复数，若()()113z i i i +-=+，则z =（ ）A ．2BC ．1D 3.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若212a =，6221S S =，则8a =（ ） A ．32 B ．32或32- C ．64 D ．64或64- 4.将4名同学随机分成两组参加数学、英语竞赛，每组2人，则甲参加数学竞赛且乙参加英语竞赛的概率为（ ）A ．13B ．23C ．34D ．565.已知点P 是椭圆2215x y +=上任一点，F 为椭圆的右焦点，()Q 3,0点P 的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．06.若tan 2α=,44ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则sin cos αα+等于（ ）A ．12-B ．12C D7. 执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为2，则输出的结果是（ ）A ．9B ．8C ．7D ．68. 已知函数()2cos 14f x x πωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在0,8π⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，则ω的最大值为（ ） A ．12 B ．10 C ．8 D ．69.设A 为双曲线C :22221x y a b-=（0a >，0b >）的左顶点，直线x a =与双曲线的一条渐近线交于点M ，点M 关于原点的对称点为N，则∠MAN =（ ） A ．120 B ．135 C ．150 D ．10510.已知点(),x y P 为平面区域02010x x y kx y ≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩内的一个动点，z x y =+，若对满足条件的任意点P 都有3z ≤，则k 的取值范围是（ ）A ．[]1,1-B ．(],1-∞C ．[]0,3D ．(][),13,-∞+∞ 11.在三棱锥CD A -B中，AB =，其余各棱长都为2，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．3πB ．163π C ．6π D ．203π 12.已知函数()211,165,x x a f x x x x x a ⎧+->⎪=+⎨⎪---≤⎩，若函数()f x 在定义域上有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,-+∞B ．[)0,+∞C ．[]1,0-D ．[)1,0-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数()()42ln f f x x x'=+的图象在点()()1,1f P 处的切线方程为 ． 14.某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为1的正方形，俯视图由两个边长为1的正方形组成，则此几何体的体积是 ．15.若42122x a x ⎡⎤⎛⎫++-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦的展开式中的常数项为280，则0=⎰ ．16.已知n S 、n T 分别为数列{}n a 、{}n b 的前n 项和，10a =，22a =，12n S +=若12n n n S S ++T =，则n b = ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在C ∆AB 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3πA =．（1）若2b =，C ∆AB 的面积为a 的值； （2）若22222c a b -=，求证：2sin C sin 3π⎛⎫-=B ⎪⎝⎭．18.（本小题满分12分）某大学生利用自己课余时间开了一间网店，为了了解店里某商品的盈利情况，该学生对这一商品20天的销量情况进行了统计，结果如下表所示：已知此商品的进价为每个15元．（1）根据上表数据，求这20天的日平均利润；（2）若ξ表示销售该商品两天的利润和（单位：元），求ξ的分布列；（3）若销售该商品两天的利润和的期望值不低于178元，则可被评为创业先进个人．请计算该大学生能否被评为创业先进个人？19.（本小题满分12分）如图，四边形CD AB 为平行四边形，且D 2S =，C DC D S S ==A =A =D S A ⊥平面DC S ．（1）求证：D C S ⊥A ；（2）求二面角D S -AB -的余弦值．20.（本小题满分12分）过抛物线2y ax =（0a >）的焦点F 作圆C :228150x y y +-+=的切线，切点分别为M 、N ，已知直线:MN 3110y -=． （1）求实数a 的值；（2）直线l 经过点F ，且与抛物线交于点A 、B ，若以AB 为直径的圆与圆C 相切，求直线l 的方程．21.（本小题满分12分）已知函数()22ax x bf x x++=的单调递减区间为(),0-∞和()0,+∞． （1）求实数b 的值； （2）当0x >时，有()()11x f e a f x +≥+成立，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，A 、B 、C 、D 、E 在圆周上，且//C AB E ，//D AE B ，D B 交C E 于点F ，过A 点的圆的切线交C E 的延长线于P ，若CF 1PE ==，2PA =． （1）求AE 的长；（2）求证：点F 是D B 的中点．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为x ty a t=⎧⎨=+⎩（t 为参数，a 为常数），曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数，22ππα-≤≤），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）写出直线l 与曲线C 的极坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求实数a 的值．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知()()2132f x x x a x x =-+-+-，其中0a ≥． （1）若0a =，求()f x 的最小值；（2）若存在实数0x ，使得()01f x =，求实数a 的取值范围．卷（二）答案一、选择题 1.【答案】C【解析】选项{}0,2,4A =，选项{}1,2,4B =，选项{}C 1,0,1,2,=-⋅⋅⋅，选项{}D 0,1,4,9,=⋅⋅⋅，因为()Q Z P =∅ ð，所以Q ⊂P ≠，可知选C ．2.【答案】B【解析】由()()113z i i i +-=+得()()()2113211111i i i iz i i i i i i ⋅++=+===-+---+3.【答案】A【解析】当1q =时，6221S S =显然不成立；当1q ≠时，由6221S S =得624211211q q q q -=++=-，解得24q =或25q =-（舍去），故638214322a a q =⋅=⨯=． 4.【答案】A【解析】设其他两名同学为丙和丁，4人分组参赛的所有情况如下表：分组的情况共有6种，甲参加数学竞赛且乙参加英语竞赛的情况占2种，所以甲参加数学竞赛且乙参加英语竞赛的概率是2163P ==． 5.【答案】C【解析】设(),x y P ，又()F 2,0()()22222223x y x y -+=-+，即22210x y x +--=，由222221015x y x x y ⎧+--=⎪⎨+=⎪⎩或数形结合可得满足条件的点P 有2个． 6.【答案】B【解析】tan 2α=∴22sin 29cos 27αα=，即22sin 291sin 27αα=-，∴29sin 216α=．又由题意知2,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且tan 20α=<，∴2,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∴3sin 24α=-．∴()21sin cos 1sin 24ααα+=+=，结合,44ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭得1sin cos 2αα+=． 7.【答案】C【解析】第一次循环：4n =，2S =，2i =；第二次循环：4n =，4S =，3i =；第三次循环：16n =，8S =，4i =；第四次循环：16n =，16S =，5i =；第五次循环：36n =，32S =，6i =；第六次循环：36n =，64S =，7i =．此时退出循环，则输出的结果为7． 8.【答案】C【解析】由0,8x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得3,448x πππωωωω⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以()3,2,248k k ππωωπππ⎛⎫⊆+ ⎪⎝⎭（k ∈Z ），即24328k k πωππωππ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，∴16883k k ω+≤≤，显然1k ≤，又1k =时，8ω=；0k =时，0ω=或1ω=或2ω=，故选C ．9.【答案】A【解析】不妨设直线x a =与渐近线b y x a =交于点M ，将x a =代入渐近线by x a=得(),a b M ，则(),a b N --．由c e a ==得2237c a =，由222c a b =+得2234b a =，又 (),0a A -，∴tan 2b x a ∠MA ==∴120∠MAN = ．故答案为A ． 10.【答案】B【解析】令u x y =+，则y x u =-+．当12k -≤<时（如图1），将2y x =与1y kx =+的交点12,22k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，代入y x u =-+得max max 1233222z u k k k ==+=≤---，即1k ≤，所以11k -≤≤；当1k <-时（如图2），max max 1z u ==，满足题意；当2k ≥时（如图3），区域为不封闭区域，不存在最大值．故k 的取值范围是(],1-∞．11.【答案】D【解析】取AB ，CD 的中点分别为E ，F ，连接F E ，F A ，F B ，由题意知F F A =B =，又AB =所以F F A ⊥B，F E =O 在线段F E 上，连接OA ，C O ，有222R =AE +OE ，222R CF F =+O ，求得25R 3=，所以其表面积为203π． 12.【答案】D【解析】令1x t +=，则212,14,1t t a y t t t t a ⎧+->+⎪=⎨⎪--≤+⎩，如图，在同一坐标系内作出24y t t =--和12y t t =+-的图象，显然若函数()f x 在定义域上有三个零点，有[)10,1a +∈，即[)1,0a ∈-．二、填空题 13.【答案】1y = 【解析】易知()()2421f f x x x ''=-，所以()()421224f f ''=-，所以()124f '=，即()1ln f x x x=+．又()11f =，()10f '=，所以切线方程为1y =．14.【答案】32【解析】由三视图可知该几何体是一个正方体的前边挨着一个横放的三棱柱（如图），故几何体的体积为：13V 122=+=．15.【答案】12π+【解析】()84228122x a x a x x +⎡⎤⎛⎫++-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由二项式定理知()82x a +通项为()8218C r r rr x a -+T =，令4r =得4844858C 70x a a x T ==，故42122x a x ⎡⎤⎛⎫++-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦展开式中的常数项为470280a =，22a =．结合定积分的几何意义（如图），图中阴影部分面积即为所求，即211412242ππ=⨯+⨯⨯=+⎰．16.【答案】21n -【解析】解法一：当1n =时，1212112122S S a a b ++=T ===；当2n ≥时，1n n n b -=T -T 111222n n n n n nS S S S a a +-++++=-=，由12n S +=1n =，2，3⋅⋅⋅得出36S =，34a =；412S =，46a =；520S =，58a =．猜想()1n S n n =-，22n a n =-，从而21n b n =-．解法二：由12n S +=12n n n S S ++T =得12n S +=，即1n S +=12n n n S S ++T =得2n T ==，由10a =，22a =得11T =，24T =，∴是以1为首项，1为公差的等差数列．n =，2n n T =，∴{}n b 为等差数列，易解得21n b n =-．三、解答题17.（1）因为C 11sin 222S bc c ∆AB =A =⨯=6c =， （3分） 由余弦定理得2222212cos 26226282a b c bc =+-A =+-⨯⨯⨯=∴a = （6分）（2）因为3πA =，且2R sin sin sin Ca b c===A B ，（R 为C ∆AB 的外接圆的半径）18.解：（1）日利润情况分别为：()10231580⨯-=；()15211590⨯-=；()202015100⨯-=，即所以日平均利润为804901410028920⨯+⨯+⨯=元．（3分） （2）ξ的可能值为160，170，180，190，200．()24220C 6160C 190ξP ===，()11414220C C 56170C 190ξ⋅P ===，()2111442220C C C 99180C 190ξ+⋅P ===，()11214220C C 28190C 190ξ⋅P ===， ()22220C 1200C 190ξP ===． 从而ξ的分布列为（9分）（3）65699281338216017018019020017819019019019019019ξE =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（元）， 故该大学生可被评为创业先进个人．（12分） 19.解：（1） D 2S =，C DC D S S ==A =A =，∴DC S ∆和D S ∆A 都是以D S 为斜边的等腰直角三角形，（2分） 取D S 的中点O ，连接AO ，C O ，则D S AO ⊥，C D S O ⊥． ∴D S ⊥平面C AO ，又C A ⊂平面C AO ，∴D C S ⊥A ．（4分） （2） 平面D S A ⊥平面DC S ，且平面D S A 平面DC D S S =，∴AO ⊥平面DC S ，C O ⊥平面D S A ．（6分）以O 为坐标原点，以D O 、C O 、OA 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，（7分）∴()D 1,0,0，()C 0,1,0，()0,0,1A ，()1,1,1B -，()1,0,0S -．设平面CD AB 的一个法向量为()1111,,n x y z =， 又()DC 1,1,0=- ，()D 1,0,1A =-，则11DC 0D 0n n ⎧⋅=⎪⎨A ⋅=⎪⎩，11110x y x z -+=⎧⎨-=⎩，令11z =，则()11,1,1n = ．（9分）同理可求得平面S A B 的一个法向量()21,1,1n =-，（10分） ∴1212121cos ,3n n n n n n ⋅==．（11分）∴二面角D S -AB -的余弦值为13．（12分） 20.解：（1）设焦点()F 0,m ，以FC 为直径的圆()()240x y y m +--=，即()22440x y m y m +-++=．由()22224408150x y m y m x y y ⎧+-++=⎪⎨+-+=⎪⎩，得()41540m y m -+-=，所以4151143m m -=-，解得1m =，即14a =．（5分） （2）由（1）知24x y =，圆C :()2241x y +-=． 设直线:l 1y kx =+．由214y kx x y=+⎧⎨=⎩得2440x kx --=．设()11,x y A ，()22,x y B ，则124x x k +=，124x x =- 所以()212122444y y k x x k AB =++=++=+，AB 中点()2Q 2,21k k +， ①若以AB 为直径的圆与圆C2221k =+-， 解得223k =．直线:l 1y x =+或1y x =+．（10分） ②若以AB 为直径的圆与圆C2221k =++，解得0k =．所以直线:l 1y =．所以直线:l 1y x=+或1y x =+或1y =（12分） 21.解：（1） ()21b f x a x x =++，∴()233122b x b f x x x x --'=--=， 所以320x b x --<的解集为()(),00,-∞+∞ ， 即()20x x b +>的解集为()(),00,-∞+∞ ，所以0b =．（4分） （2）由（1）知()1f x a x =+，又()()11x f e a f x +≥+， 则111x e a x -≥-+，由0x >时，10x e -->，故0a ≥．（5分） 所以()111x e a x -⎛⎫-+≤⎪⎝⎭，即()()11x ax e x -+-≤，设()()()11x h x ax e x -=+--，（0x >）（7分）则()()()1111x x x h x e ax a a e ax a a e --'⎡⎤=+-+-=+-+-⎣⎦（0x >）． 设()()11xg x ax a a e =+-+-，（0x >） 则()()1xg x a a e '=+-，()021g a '=- 当210a -≤时，即102a ≤≤时，()()10x g x a e ''=-<， 所以()()1x g x a a e '=+-单调递减，()()()100x g x a a e g ''=+-<≤，故()g x 单调递减，()()00g x g <=，所以()0h x '<恒成立，()()()11x h x ax e x -=+--在()0,+∞上单调递减，()()00h x h <=符合题意．（10分）当210a ->时，即12a >时，存在00x >，当()00,x x ∈时，()0g x '>， ()g x 单调递增，()0g x >，()0h x '>，()h x 在()00,x 上单调递增，()0h x >，与()0h x ≤恒成立矛盾．所以实数a 的取值范围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（12分） 22.解：（1） 2C PA =P ⋅PE ，2PA =，1PE =，∴C 4P =，（2分） 又 CF 1PE ==，∴F 2E =， ∠PAE =∠EBA ，∠PEA =∠EAB ， ∴∆PAE ∆EBA ∽，∴PE AE =AE AB，（4分）∴22AE =PE ⋅AB =，∴AE =．（5分）（2） F B =AE =，F 2E =，而F FC F FD E ⋅=B ⋅，（8分）∴DF==∴F FD B =．（10分）23.解：（1）C :4sin ρθ=（02πθ≤≤），:l cos sin 0a ρθρθ-+=．（4分）（2）将4sin ρθ=（02πθ≤≤）代入cos sin 0a ρθρθ-+=得4sin cos 4sin sin 0a θθθθ-+=，即224a πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，令24t πθ+=，因为02πθ≤≤，则544t ππ≤≤．如图作出y t =（544t ππ≤≤）和2y a =-的图象，由直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，得2a -=222a -≤-<，即2a =-或04a <≤．（10分）24.解：（1）当0a =时，()()()13132f x x x x x =-+-≥---=， 当且仅当13x ≤≤时()f x 取得最小值2．（4分）（2）设()13g x x x =-+-，()()22h x a x x =-，则()()21h x a x a =--，即当1x =时，()h x 取得最小值a -， 由（1）知当13x ≤≤时，()g x 取最小值2，所以()()21322f x x x a x x a =-+-+-≥-（当1x =时取等号）， 所以12a ≥-，解得1a ≥．（10分）。

2016年河南省高考数学押题试卷（理科）（3）答案与解析一、选择题1．已知x，y∈R，i是虚数单位，若2+xi与互为共轭复数，则（x+yi）2=（）A．3i B．3+2i C．﹣2i D．2i解：，由共轭复数的概念可得，解得，则（x+yi）2=（1+i）2=2i．选D2．已知数列{a n}满足a n+1=2a n（n∈N*）且a2=1，则log2a2015=（）A．2012 B．2013 C．2014 D．2015解：因为，所以，所以数列{a n}是等比数列，因为a2=1，所以，所以，所以．选B3．设a=，b=，c=，则（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c解：设，由指数函数与的单调性知，a＞d，，再由幂函数的单调性知，d＞b，∴，又π＞e，∴．∴c＜b＜a．选B4．如图，阴影区域是由函数y=cosx的一段图象与x轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是（）A．1 B．2 C．D．π解：由题意，阴影区域的面积是S=﹣cosxdx=﹣sinx=2．选B5．设a，b表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bB．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥βC．若a，b是异面直线，a∥α，b∥β，a⊂β，b⊂α，则α∥βD．若a，b是异面直线，a∥α，b∥β，a⊄β，b⊄α，则α∥β解：对于A，若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b或者相交或者异面；故A错误；对于B，若a∥α，b∥β，a∥b则α∥β或者相交；故B错误；对于C，过直线a和直线b上一点A作平面γ，设α∩γ=a'，由a∥α，得a∥a'，又a，b是异面直线，所以a'∩b=A，易知a'∥β，又b∥β，所以α∥β，故C正确．对于D，a，b是异面直线，a∥α，b∥β，a⊄β，b⊄α，则α∥β或者相交；故D错误．选C6．已知函数f（x）=在[1，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2] B．[2，+∞） C．D．解：设y=f（x），令x2﹣ax+3a=t，则单调递减；∵f（x）在[1，+∞）上单调递减；∴t=x2﹣ax+3a在[1，+∞）上单调递增，且满足t＞0；∴；解得，；∴实数a的取值范围是．选D7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是，则整数N=（）A．16 B．15 C．14 D．13解：模拟执行程序，可得程序框图的功能为计算并输出，令，解得N=15．选B8．已知椭圆C：=1（a＞b＞1）的离心率为，点P（n，）是椭圆C上一点，F为椭圆C的左焦点，若|PF|=，则点Q（2n，0）到双曲线=1的一条渐近线的距离为（）A．1 B．2 C．3 D．4解：∵椭圆C的离心率为，则，故椭圆C的方程为，依题意，得，解得n=1，c=1，∴Q（2，0），又双曲线的渐近线为，则点Q（2，0）到双曲线的一条渐近线的距离为．选A9．已知O为坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域内的一个动点，则的最小值为（）A．3 B．C．D．解：作出平面区域如图中阴影部分所示，表示点B（﹣1，0）到点M（x，y）的距离．由图可知，所求最小值即是点B 到直线x+y﹣2=0的距离．选C10．已知等差数列{a n}中，a1=142，d=﹣2，从第一项起，每隔两项取出一项，构成新的数列{b n}，则此数列的前n项和S n取得最大值时n的值是（）A．23 B．24 C．25 D．26解：∵等差数列{a n}中，a1=142，d=﹣2，从第一项起，每隔两项取出一项，构成新的数列{b n}，∴新的数列{b n}是以a1=142为首项，a4﹣a1=3d=﹣6为公差的等差数列，∴b n=142+（n﹣1）×（﹣6）=148﹣6n．令148﹣6n≥0，解得，∴数列{b n}的前24项都为正数，从第25项开始为负数，因此此数列的前n项和S n取得最大值时n的值为24．选B11．定义在区间[0，1]上的函数f（x）的图象如图所示，以A（0，f（0））、B（1，f（1））、C（x，f（x））为顶点的△ABC的面积记为函数S（x），则函数S（x）的导函数S′（x）的大致图象为（）A B C D解：如图，△ABC 的底边AB 长一定，在点C 由A 到B 的过程中， △ABC 的面积由小到大再减小，然后再增大再减小， 对应的面积函数的导数先正后负再正到负．且由原图可知，当C 位于AB 连线和函数f （x ）的图象交点附近时，三角形的面积减或增较慢。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 已知集合231111,,,122i i i i i ⎧⎫-⎪⎪⎛⎫A =-+-⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎩⎭（其中i 为虚数单位），{}21x x B =<，则A B =（ ）A ．{}1-B ．{}1C ．⎧⎪-⎨⎪⎩D ．【答案】D考点：集合的运算，复数的运算． 2. 已知1cos 62πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos cos 3παα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭（ ）A ．12B ．12± C D ．【答案】C 【解析】 试题分析：3cos cos cos cos cos sin sin cos 33326ππππαααααααα⎛⎫⎛⎫+-=++=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=考点：两角和与差的余弦公式． 3. 下列命题正确的是（ ）A ．已知实数a 、b ，则“a b >”是“22a b >”的必要不充分条件B ．“存在0R x ∈，使得2010x -<”的否定是“对任意R x ∈，均有210x ->”C ．函数()1312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点在区间11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭内D ．设m ，n 是两条直线，α，β是空间中两个平面．若m α⊂，n β⊂，m n ⊥，则αβ⊥ 【答案】C考点：命题的真假判断．4. 如图，边长为1的正六边形CD F AB E 中，点M 为折线CD F B E A 上的一点，则使三角形MAB 的面积的概率为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】C 【解析】试题分析：如图，当M 点在折线CD F E 上运动时，三角形MAB ，所以概率为35．考点：几何概型．5. 已知双曲线C :22221x y a b-=（0a >，0b >），1F ，2F 分别为其左、右焦点，点P 为双曲线的右支上的一点，圆M 为三角形12F F P 的内切圆，PM 所在直线与x 轴的交点坐标为()1,0，与双曲线的一条渐近线平，则双曲线C 的离心率是（ ） AB ．2 CD【答案】C考点：双曲线的几何性质．6. 在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布比同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日”．由此推断，该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的（ ） A ．33% B ．49% C ．62% D ．88% 【答案】B 【解析】试题分析：由题中条件可知，该女子织布构成一个等差数列，设为{}n a ，首项15a =，第30项301a =，则公差为301430129a a d -==--，则前10日完成任务量为101094127010522929S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-=⎪⎝⎭，而三十日织布总量为()303051902S ⨯+==，故103012700.492990S S ==⨯．考点：等差数列的的应用．7. 若等边三角形C AB 的边长为2，N 为AB 的中点，且AB 上一点M 满足C C C x y M =A +B ，则当14x y+取最小值时，C C M ⋅N =（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 【答案】D 【解析】试题分析：设t AM =MB （0t >），则()C C C C t M -A =AM =B -M ，∴1C C C 11tt tM =A +B ++，所以1x y +=（0x >，0y >），∴()14144559x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当13x =，23y =时，等号成立．所以22121112C C C C C C C C 332266⎛⎫⎛⎫M ⋅N =A +B ⋅A +B =A +B ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3C C 36+A ⋅B =． 考点：基本不等式与向量的数量积． 8. 已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（02πϕ<<）与y 轴的交点为()0,1，且图象上两对称轴之间的最小距离为2π，则使()()0f x t f x t +--+=成立的t 的最小值为（ ） A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π【答案】A考点：三角函数的图象与性质．9. 执行下面的程序框图，若输入2016x =-，则输出的结果为（ ）A ．2015B ．2016C ．2116D ．2048【答案】D 【解析】试题分析：由于20160-≤，由框图可知对x 反复进行加2运算，可以得到2x =，进而可得1y =，由于12015<，所以进行2y y =循环，最终可得输出结果为2048．考点：程序框图． 10. 已知n 为满足1232727272727CC C CS a =++++⋅⋅⋅+（3a ≥）能被9整除的正数a 的最小值，则1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，系数最大的项为（ ）A ．第6项B ．第7项C ．第11项D ．第6项和第7项 【答案】B考点：二项式定理的应用．【名师点睛】利用二项式定理解决整除问题时，基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．因此，一般将被除式化为含有相关除式的二项式，然后再展开，此时常用“配凑法”、“消去法”结合有关整除知识来处理．本题中还要注意二项展开式中系数最大的项与二项式系数最大项的区别与联系．11. 已知三棱锥C S -AB 外接球的表面积为32π，C 90∠AB =，三棱锥C S -AB 的三视图如图所示，则其侧视图的面积的最大值为（ ）A ．4B ．C ．8D ．【答案】A考点：三视图．【名师点睛】本题涉及到三棱锥的外接球问题，因此要确定外接球的球心位置，对于这部分知识主要要记住长方体、正方体的的对角线就是其外接球的直径，因此在棱锥的外接球问题中，经常把棱锥构造成长方体，由三视图得出三棱锥中的线面垂直关系，是解题的关键．“长对正、高平齐、宽相等“是我们画三视图原则，明确侧视图三角形的高是SC ，底边长是三棱锥底面ABC ∆的边AC 上的高，就可以找到正确的解题途径．12. 设满足方程()()2222ln 30a a b c mc d-+-++=的点(),a b ，(),c d 的运动轨迹为曲线M 和曲线N ，若曲线N 与曲线M 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在两个交点（其中 2.71828e =⋅⋅⋅，是自然对数的底数），则实数m 的最大值为（ ）A ．4B ．42ln 3+C ．32e e ++D ．132e e+- 【答案】C 【解析】考点：导数的综合应用．【名师点睛】本题可归于创新类题，解题时关键是等价转化．首先由曲线的方程确定两曲线，其次两曲线的交点就是两函数图象的交点，就是方程的根，从而最终问题转化为研究函数的单调性与极值，解题过程中的不断转化要注意转化的等价性及问题的简单化原则．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数()2ln log 1f x a x b x =++，()20163f =，则12016f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．【答案】－1 【解析】 试题分析：()22016ln 2016log 201613f a b =++=，∴2ln 2016log 20162a b +=，()22111ln log 1ln 2016log 201611201620162016f a b a b ⎛⎫=++=-++=- ⎪⎝⎭． 考点：对数的运算．14. 抛物线24x y =的焦点为F ，经过其准线与y 轴的交点Q 的直线与抛物线切于点P ，则F Q ∆P 外接圆的标准方程为 ．【答案】()2212x y -+=或()2212x y ++=．考点：圆的标准方程．15. 已知x ，y 满足41y xx y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则22223y xy x x -+的取值范围为 ． 【答案】 【解析】试题分析：先画出x ，y 满足41y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩的可行域如下图阴影部分所示：由14x x y =⎧⎨+=⎩，得()1,3A ，由1x y x=⎧⎨=⎩，得()1,1B ，由图得，y k k x OB OA ≤≤，∴13yx ≤≤，因为22222232312y xy x y y y x x x x -+⎛⎫⎛⎫=-⨯+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以[]2122,6y x ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭． 考点：简单线性规划的非线性运用．【名师点睛】1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有： (1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. (3)斜率型：形如z ＝y －bx －a .注意：转化的等价性及几何意义．16. 在C ∆AB 中，6πA =且21Csin cos 22B =，C B ，则C ∆AB 的面积等于 ．考点：解三角形，三角形的面积．【名师点睛】本题考查解三角形，对三角形中的边角都应该涉及，由已知21Csin cos 22B =得sin 1cos C B =+，从这个等式要能得出C 为钝角，从而B 为锐角，再由6A π=得56B C π+=代入可求得角,B C ，从而知这是一个等腰三角形，其中a b =，已知的一条线段BM 是腰上的高，因此只能用余弦定理求得腰长，选用公式1sin 2S ab C =得面积．在解三角形时，要注意分析已知条件选用恰当的公式，在求角是注意三角形的内角的范围．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知等比数列{}n a 中，11a =，且()24331a a a +=+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设32333431log log log log n n b a a a a +=+++⋅⋅⋅+，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和． 【答案】（1）13n n a -=；（2）21nn +．考点：等比数列的通项公式，等差数列的前n 项和，裂项相消法求和． 18. （本小题满分12分）如图（1），在三角形CD P 中，AB 为其中位线，且2D C B =P =CD =，若沿AB 将三角形PAB 折起，使D 120∠PA =，构成四棱锥CD P -AB ，且C CD2F C P ==P E． （1）求证：平面F BE ⊥平面PAB ；（2）求平面C PB 与平面D PA 所成的二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2（2）以A 点为原点，以AB 为x 轴，D A 为y 轴，面D AB 的垂线为z 轴建立空间直角坐标系，由（1）知BA ⊥平面D PA ，所以z 轴位于平面D PA 内，所以30z ∠PA =，P 到z 轴的距离为1，∴(0,P -，同时知()0,0,0A，)B，()C 2,0，（8分）设平面C PB 的一个法向量为(),,n x y z =，所以0C 0n n ⎧⋅PB =⎪⎨⋅B =⎪⎩，考点：面面垂直的判断，二面角．19. （本小题满分12分）某校高二奥赛班N名学生的物理测评成绩（满分120分）分布直方图如下，已知分数在100110的学生数有21人．（1）求总人数N和分数在110115分的人数n；（2）现准备从分数在110115的n名学生（女生占13）中选出3位分配给A老师进行指导，设随机变量ξ表示选出的3位学生中女生的人数，求ξ的分布列和数学期望ξE；（3）为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．对他前7次考试的数学成绩x（满分150分）、物理成绩y进行分析．该生7次考试的成绩如下表：已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理成绩大约是多少？附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，(),n n u v ，其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121ˆniii ni i u u v v u u β==--=-∑∑，ˆˆv u αβ=-． 【答案】（1）60,6N n ==；（2）分布列见解析，期望为1；（3）115．所以随机变量ξ的数学期望为()1310121555ξE =⨯+⨯+⨯=（8分） （3）12171788121001007x --+-++=+=；69844161001007y --+-+++=+=；由于x 与y 之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到4970.5994β==，1000.510050α=-⨯=，∴线性回归方程为0.550y x =+． ∴当130x =时，115y =．（12分） 考点：频率分布直方图，随机变量分布列，数学期望，线性回归方程． 20. （本小题满分12分）设椭圆C :22221x y a b +=（0a b >>）的离心率12e =，圆22127x y +=与直线1x ya b+=相切，O 为坐标原点．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()Q 4,0-任作一直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，记Q Q λM =N ．若在线段MN 上取一点R ，使得R R λM =-⋅N ．试判断当直线l 运动时，点R 是否在某一定直线上运动？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）点R 在定直线1x =-上．设点R 的坐标为()00,x y ，则由R R λM =-⋅N 得()0120x x x x λ-=--，解得()()112121212201122424441814x x x x x x x x x x x x x x x λλ++⋅++-+===+-++++．（10分）又()221212222641232242424343434k k x x x x k k k ---++=⨯+⨯=+++， ()212223224883434k x x k k -++=+=++，从而()()12110122418x x x x x x x ++==-++， 故点R 在定直线1x =-上．（12分）考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆相交，解析几何中的定直线问题．【名师点睛】求解点在定直线问题，“定”必与“动”联系在一起，象本题，设出点的坐标为00(,)x y ，动直线MN 为(4)y k x =+，同时设交点为()11,x y M ，()22,x y N ，下面就是通过12,x x （或12,y y ）把“动”有参数k 与坐标00(,)x y 建立联系，通过在解题过程是消去参数k ，得出00(,)x y 所满足的直线方程．这也是我们解决这类问题的一般方法． 21. （本小题满分12分） 已知函数()2xf x e ax bx =--．（1）当0a >，0b =时，讨论函数()f x 在区间()0,+∞上零点的个数； （2）当b a =时，如果函数()f x 恰有两个不同的极值点1x ，2x ，证明：()12ln 22x x a +<． 【答案】（1）当20,4e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有0个零点；当24e a =时，有1个零点；当2,4e a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，有2个零点；（2）证明见解析．（2）由已知()2xf x e ax ax =--，∴()2xf x e ax a '=--，1x ，2x 是函数()f x 的两个不同极值点（不妨设12x x <）， ∴0a >（若0a ≤时，()0f x '>，即()f x 是R 上的增函数，与已知矛盾）， 且()10f x '=，()20f x '=．∴1120x e ax a --=，2220x e ax a --=．两式相减得：12122x x e e a x x -=-，（8分）于是要证明()12ln 22x x a +<，即证明1212212x x x x e e ex x +-<-，两边同除以2x e ，即 证12122121x x x x e ex x ---<-，即证()12122121x x x x x x e e --->-，（10分） 即证()121221210x x x x x x ee ----+>，令12x x t -=，0t <．即证不等式210t tte e -+>，当0t <时恒成立．考点：函数的零点，函数的极值，导数的综合应用．【名师点睛】本题考查函数的零点，导数的综合应用．（1）在研究函数零点时，有一种方法是把函数的零点转化为方程的解，再把方程的解转化为函数图象的交点，特别是利用分离参数法转化为动直线与函数图象交点问题，这样就可利用导数研究新函数的单调性与极值，从而得出函数的变化趋势，得出结论．（2）在证明有关极值点或零点12,x x 的有关不等式时，由于函数中含有参数，极值点（或零点）12,x x 也不可能求出，因此我们要首先利用极值点或零点的定义，建立起12,x x 与参数（如本题中的a ）的关系，特别是把参数用12,x x 表示出来，这样待证不等式中的参数a 就可转化为12,x x ，因此不等式只是关于12,x x 的不等式，然后再变形，利用换元法，设12,0t x x t =-<（或21,0t x x t =->），在0x >的情况下也可设12,01x t t x =<<（或21,1xt t x =>），这样不等式就可转化为关于t 的不等式恒成立，这又可利用函数的知识进行证明求解．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，点C 为圆O 上一点，C P 为圆的切线，C E 为圆的直径，C 3P =． （1）若PE 交圆O 于点F ，16F 5E =，求C E 的长；（2）若连接OP 并延长交圆O 于A 、B 两点，CD ⊥OP 于D ，求CD 的长．【答案】（1）4；（2．考点：切割线定理，相似三角形，直角三角形的性质及应用． 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是243x ty t =-+⎧⎨=⎩（t 为参数）．（1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； （2）求曲线C 上任意一点到直线l 的距离的最大值．【答案】（1）曲线C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，直线l 的普通方程为3460x y -+=；（2）145．【解析】考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式． 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()f x x a =-（R a ∈）．（1）当1a =时，解不等式()211f x x <--；（2）当()2,1x ∈-时，()121x x a f x ->---，求a 的取值范围． 【答案】（1）{}11x x x ><-或；（2）(],2-∞-． 【解析】试题分析：（1）解绝对值不等式，可利用绝对值定义分类去绝对值符号，化绝对值不等式为一般的一元一次不等式，从而得解；（2）不等式()121x x a f x ->---化为121x x a x a -+->--，由绝对值的性质有1121x x a x a x x a -+-≥-+-=--，其中等号成立的条件是(1)()0x x a --≥，因此题中不等式中x 满足(1)()0x x a --<，这样问题可转化为当(2,1)x ∈-时，(1)()0x x a --<，由二次不等式的考点：解绝对值不等式，绝对值不等式的性质．：。

2016年高考押题数学理科本卷共48题，三种题型：选择题、填空题和解答题。

选择题30小题，填空题4小题，解答题14小题。

1.已知集合22{|log 1},{|60},A x x B x x x =≥=--<则()R A B ð等于（ ）A.{|21}x x -<<B.{|22}x x -<<C.{|23}x x ≤<D.{|2}x x < 【答案】B 【解析】{}{}|2,|23,A x x B x x =≥=-<<得{}|2R A x x =<ð，{}()|22.R A B x x =-<<ð2. 已知复数()4i 1ib z b R +=∈-的实部为1-，则复数z b -在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C【解析】试题分析：41bi z i +=-＝(4)(1)44(1)(1)22bi i b b i i i ++-+=+-+，则由412b -=-，得6b =，所以15z i =-+，所以75z b i -=--，其在复平面上对应点为(7,5)--，位于第三象限.3.若复数满足()1i 1i i z -=-+,则z 的实部为（ ）C.【答案】A【解析】由()1i 1i i z-=-+=i ,得i i)(1i)1i (1i)(1i)z +==--+=11i 22+,所以的实部为,故选A ． 4.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,)2π上是减函数的是（ ）z 11z 12A ．3y x = B. sin y x =- C ．21y x =+ D ．cos y x =【答案】B【解析】选项C 、D 不是奇函数，3y x = 在R 上都是增函数，只有选项B 符合.5.若()(),,,Aa b B c d 是()ln f x x =图象上不同两点,则下列各点一定在()f x 图象上的是( ) A.(),a c b d ++ B.()a c bd +， C.(),ac b d + D.(),ac bd【答案】C 【解析】因为()(),,,Aa b B c d 在()ln f x x =图象上,所以ln b a = ,ln ,d c =所以ln ln ln b d a c ac +=+=,因此(),ac b d +在()ln f x x =图象上,故选C ．6.双曲线22:13y C x -=的顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为（ ）A.12B.2C.3D.2【答案】A 【解析】1,2,a c ==∴C 顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为1.27.在区间[]1,1-内随机取两个实数x ，y ，则满足12-≥x y 的概率是（ ）A.92 B.97 C.61 D.56【答案】D【解析】由题意知1111x y -≤≤-≤≤⎧⎨⎩表示的区域为边长为2的正方形，面积为4，满足12-≥x y 的区域即为图中阴影部分，面积为()1231111102112()|33x dx x x --⨯+-=+-=⎰，所以所求概率为105346P ==，故选D ．8.执行如图所示的程序框图，输出的结果S 的值是（ ）A ．2B ．－12C ．－3D ．13【答案】A由程序框图知：2,1s i ==；123,212s i +==-=-；131,3132s i -==-=+; 11()12,4131()2s i +-===--; 1132,511)3s i +===-……，可知S 出现周期为4， 当 201745041i ==⨯+时，结束循环输出S ，即输出的 2s =.9.一个算法的程序框图如右图所示，若输入的x 值为2016，则输出的i 值为 ( )A.3B.4C.5D.6【答案】A.3,2016;20162015,3,20162015;20151,2,20151;1,2016=====-==-===i b a i b a i b i a 结束，输出【解析】：运转程序，10.若向量,a b 满足||||2==a b ，a b 与的夹角为60︒，a 在+a b 上的投影等于 ( )A.2 B.2C. 3D.4＋2 3【答案】：C【解析】：a 在+a b上的投影为2()||⋅+====+a a b a b11.不等式组的解集记为D ，，有下面四个命题：p 1：， p 2：，p 3：，p 4：，其中的真命题是( )iA ．p 1，p 2B ．p 1，p 3C ．p 1，p 4D ．p 2，p 3【答案】D【解析】可行域如图所示，A(1，3),B(2，1)，所以所以，故p 2，p 3 正确，故答案为D.12.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如下左图,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时,它的俯视图可能是（ ）【答案】B【解析】由直观图可知俯视图应为正方形,排除A,C,又上半部分相邻两曲面的交线看得见,在俯视图中应为实线,故选B.13．一个几何体的三视图如图2所示(单位：cm)，则该几何体的体积是（ ）A.2333cm B.2233cmC.4763cm D.73cm 【答案】A【解析】该几何体是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -截去一个三棱锥11C B EF -后所得的多面体，其体积为1123222112.323V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=14.若数列{n a }满足11n a －－1=nd a （d N n ,*∈为常数），则称数列{n a }为调和数列．已知数列{1nx }为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则165x x +等于（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．40 【答案】B【解析】∵数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为调和数列，∴111111n n n nx x d x x ++--＝＝，∴{}n x 是等差数列. 又∵1220200x x x ++⋯+==12020()2x x +， ∴12020x x +=.又120516516,20x x x x x x +=+∴+=.15.《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布. A ．21 B.158 C.3116 D.2916【答案】D【解析】设从第2天起每天比前一天多织d 尺布m , 则由题意知3029305390,2d ⨯⨯+=解得16.29d =16.在某次联考测试中，学生数学成绩X()()21000N σσ>,，若,8.0)12080(=<<X P 则)800(<<X P 等于（ ）A ．0.05B ．0.1C ．0.15D ．0.2 【答案】B【解析】由题意知(80120)0.8P ξ<<=，则由正态分布图象的对称性可知，1(080)0.5(80120)0.12P X P X <<=-⨯<<=，故选B ．17．由1,2,3,0组成没有重复数字的三位数，其中0不在个位上，则这些三位数的和为（ ）A.2544B.1332C.2532D.1320 【答案】A【解析】分两种情况：（1）所有不含0的三位数的和为()()221231001011332A ++⨯⨯++=，(2)含0且0只能在十位上的三位数的和为()()1212310011212A ++⨯⨯+=，那么可得符合条件的这些三位数之和为133212122544+=.18.已知()2cos 2,21x xf x ax x =+++若π()3f =2,则π()3f -等于（ ） A.2- B.1- C.0 D. 1 【答案】A【解析】因为()2cos 221xxf x ax x =+++,所以()()222cos 22121x x x x f x f x x --+-=++++ 212cos 212cos 22112x x xx x =++=+++,所以π()3f +π()3f -=1+2π2cos3=0, 所以ππ()() 2.33f f -=-=-19.函数()()sin 2()2f x A x πϕϕ=+≤部分图象如图所示，对不同的[]b a x x ,,21∈，若()()21x f x f =，有()321=+x x f ，则（ ）A ．()x f 在5(,)1212ππ-上是减函数B ．()x f 在5(,)36ππ上是减函数 C ．()x f 在5(,)1212ππ-上是增函数 D ．()x f 在5(,)36ππ上是增函数 【答案】C【解析】由图可知2A =，又由()()21x f x f =，知函数的图象关于直线1222x x a b x ++==对称，所以12a b x x +=+．由五点法作图，得20a ϕ+=，2b ϕπ+=，所以2a b πϕ+=-，则()f a b +＝()122sin(2)2sin f x x πϕϕϕ-+==+=即si n ϕ=，所以3πϕ=，所以()2sin(2)3f x x π=+，在5(,)1212ππ-上，2(,)322x πππ+∈-，所以()x f 在5(,)1212ππ-上是增函数，故选C ．20．若()()7280128112x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+，则127a a a ++⋅⋅⋅+的值是（ ）A.2-B.3- C ．125 D.131- 【答案】C【解析】令0x =，得01a =；令1x =，得01282a a a a -=++++，即1283a a a +++=-．又7787(2)128a C =-=-，所以12783125a a a a +++=--=，故选C ．21.设点A 、(),0F c 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点、右焦点,直线2a x c=交该双曲线的一条渐近线于点P ．若PAF ∆是等腰三角形,则此双曲线的离心率为（ ）3 D.2 【答案】D【解析】显然PF PA >,PF AF >,所以由PAF ∆是等腰三角形得PA AF =.易知A(0)a ，,P 2()a ab c c ， ,所以2222()()()a aba c a c c-+=-,222222()()()()()a aa c c a c a c c ⇒-+-=-22()()1a a c a c c c a+⇒+⨯=-22111 1.1e e e e +⇒+⨯=- 解得 2e =.故选D.22.过抛物线2y x ＝4焦点F 的直线交其于B A ,两点，O 为坐标原点．若3=AF ，则AOB ∆的面积为（ ）【答案】C【解析】设直线AB 的倾斜角为(0)θθπ<<及BF m =，∵3AF =，∴点A 到准线 :1l x =-的距离为 3，∴23cos 3θ+=,即1cos 3θ=，则sin θ=∵2cos()m m πθ=+-，∴23.1cos 2m θ==+∴AOB ∆的面积为 113sin 1(3)222S OF AB θ=⨯⨯⨯=⨯⨯+=23.已知圆221:20C x cx y ++=，圆222:20C x cx y -+=，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为2c ，若圆12,C C 都在椭圆C 内，则椭圆C 离心率的范围是（ ）A ．1[,1)2B ．1(0]2，C ．,1)2D ．(0【答案】B【解析】由题意，得圆12,C C 的圆心分别为(,0)c -和(,0)c ，半径均为c ，满足题意的圆与椭圆的临界位置关系如图所示，则知要使圆12,C C 都在椭圆内，则需满足不等式2c a ≤，所以离心率102c e a <=≤，故选B ．24.已知向量AB 、AC 、AD 满足AC AB AD =+,2AB =,1AD =,E 、F 分别是线段BC 、CD 的中点．若54DE BF ⋅=-,则向量AB 与向量AD 的夹角为（ ） A ．π3 B ．2π3 C ．π6 D ．5π6【答案】A 【解析】DE BF ⋅=22115115()()224224CB CD CD CB CB CD CD CB --=⋅--=-.由2CD AB ==,1BC AD ==,可得1cos 2CB CD 〈〉=，,所以π3CB CD 〈〉=，,从而π3AB AD 〈〉=，.故选A.25.已知函数()⎩⎨⎧<+≥+=0,0,3x b ax x x x f 满足条件：对于R ∈∀1x ，∃唯一的R ∈2x ，使得()()21x f x f =.当()()b f a f 32=成立时，则实数=+b a ( )A.26 B.26- C.26+3 D.26-+3 【答案】D【解析】由题设条件对于R ∈∀1x ，存在唯一的R ∈2x ，使得()()21x f x f =知()x f 在()0,∞-和()+∞,0上单调，得3=b ，且0<a .由()()b f a f 32=有39322+=+a ，解之得26-=a ，故326+-=+b a ，选D. 26.函数2ln xy x=的图象大致为（ ）【答案】D【解析】当01x <<时，ln 0x <，所以0y <，排除B 、C ；当1x >时，由于函数2y x =比ln y x =随x 的增长速度快，所以随x 的增大，2ln xy x=的变化也逐渐增大，排除A ，故选D ．27.已知定义在(0,)2π上的函数()f x ,()f x '为其导数,且()()tan f x f x x '<恒成立，则（ ）()()43ππ>()()64f ππ>()()63f ππ< D.()12()sin16f f π<⋅【答案】C【解析】因为(0,)2x π∈，所以sin 0,cos 0x x >>，则由()()tan f x f x x '<得sin ()()cos xf x f x x'<，即cos ()sin ()0xf x xf x '-<．令sin ()=()x F x f x ，则2sin cos ()sin ()()=()0()[()]x f x xf x F x f x f x '-''=<，所以()F x 在(0,)2π上递减，所以()()63F F ππ>，即sinsin63()()63f f ππππ>()()63f ππ<，故选C ． 28.若过点(),P a a 与曲线()ln f x x x =相切的直线有两条,则实数a 的取值范围是( )A.(),e -∞B.()e,+∞C.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.()1,+∞ 【答案】B【解析】设切点为(),ln Q t t t ,则切线斜率()k f t '==1ln t +,所以切线方程为()()ln 1ln y t t t x t -=+-,把(),P a a 代入得()()ln 1ln a t t t a t -=+-,整理得ln a t t =,显然0a ≠,所以1ln t a t =,设()ln t g t t =,则问题转化为直线1y a=与函数()g t 图象有两个不同交点,由()21ln tg t t -'= ,可得()g t 在()0,e 递增,()e,+∞递减,在e x =处取得极大值1e ,结合()g t 图象,可得110e ea a <<⇒> ,故选B.29.已知四边形ABCD 的对角线相交于一点,(AC =,()BD =,则AB CD ⋅的最小值是（ ）A.2B.4C.2-D.4- 【答案】C【解析】取(0,0)A ,则C ；设11(,)B x y ,22(,)D x y ,则2121 1.x x y y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩所以()()1122,1AB x y x y ==+-,(221,CD x y =-,求得222211()()2222AB CD x y ⋅=++--≥-,当11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩且22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时,AB CD ⋅取到最小值2-,此时四边形ABCD 的对角线恰好相交于一点,故选C.30.定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数()1y f x =-的图象关于（1,0）成中心对称，若,s t 满足不等式()()2222f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，2t ss t-+的取值范围是（ ） A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．15,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】不妨设12x x <，则120x x -<．由1212()()0f x f x x x -<-，知12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数()f x 为减函数．因为函数(1)y f x =-的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =为奇函数，所以222(2)(2)(2)f s s f t t f t t -≤--=-，所以2222s s t t -≥-，即()(2)0s t s t -+-≥．因为233111t s s t s t s t s-=-=-+++，而在条件()(2)014s t s t s -+-≥⎧⎨≤≤⎩下，易求得1[,1]2t s ∈-，所以11[,2]2t s +∈，所以33[,6]21t s∈+，所以311[5,]21t s-∈--+，即21[5,]2t s s t -∈--+，故选D ． 31.已知边长为3的正ABC ∆的三个顶点都在球O 的表面上，且OA 与平面ABC 所成的角为30，则球O 的表面积为________．【答案】16π【解析】设正ABC ∆的外接圆圆心为1O ，易知1AO 1Rt OO A ∆中，12cos30O AOA ==，故球O 的表面积为24216ππ⨯=.32.设1>m ,当实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥12y x x y x y 时，目标函数my x z +=的最大值等于2，则m 的值是_______．【答案】52【解析】根据不等式组画出可行域为图中阴影部分，目标函数可写为1zy x m m=-+，因为1m >，所以110m -<-<，将函数1y x m =-的图象平移经过可行域时，在G 点12(,)33处y 取最大值，此时2z =，所以有12233m =+，解得52m =. 33.已知数列{}n a 中,对任意的*n ∈N ,若满足123n n n n a a a a s ++++++=（s 为常数）,则称该数列为4阶等和数列,其中s 为4阶公和；若满足12n n n a a a t ++⋅⋅=（t 为常数）,则称该数列为3阶等积数列,其中t 为3阶公积,已知数列{}n p 为首项为1的4阶等和数列,且满足3423212p p p p p p ===；数列{}n q 为公积为1的3阶等积数列,且121q q ==-,设n S 为数列{}n n p q ⋅的前n 项和,则2016S = ___________．【答案】2520- 【解析】由题意可知,11p =,22p =,34p =,48p =,51p =,62p =,74p =,88p =,91p =,102p =,114p =,128p =,131p =,……,又∵{}n p 是4阶等和数列,因此该数列将会照此规律循环下去,同理,11q =-,21q =-,31q =,41q =-,51q =-,61q =,71q =-,81q =-,91q =,101q =-,111q =-,121q =,131q =-,……,又∵{}n q 是3阶等积数列,因此该数列将会照此规律循环下去,由此可知对于数列{}n n p q ⋅,每12项的和循环一次,易求出11221212...15p q p q p q ⋅+⋅++⋅=-,因此2016S 中有168组循环结构,故2016151682520S =-⨯=-．34.用()g n 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，()99,10g =的因数有1,2,5,10，()105g =，那么()()()()201512321g g g g +++⋅⋅⋅+-= . 【答案】2015413-【解析】由()g n 的定义易知当n 为偶数时，()()2n g n g =，且当n 为奇数时，()g n n =．令()(1)f n g =＋(2)(3)(21)n g g g +++-，则1(1)(1)(2)(3)(21)n f n g g g g ++=++++-＝113(21)n ++++-＋1(2)(4)(22)n g g g ++++-＝112(121)(1)(2)(4)(22)4()2n n n n g g g g f n +++-+++++-=+，即(1)f n +－()4n f n =，分别取n 为1,2,,n 并累加得24(1)(1)444(41)3n nf n f +-=+++=-．又(1)(1)f g =＝1，所以4(1)(41)13nf n +=-+，所以()(1)(2)(3)(21)n f n g g g g =++++-＝14(41)13n --+．令2015n =，得2015201541(1)(2)(3)(21)3g g g g -++++-=．35.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()2cos 14sin sin B C B C -=+. (1)求A ；(2)若a =ABC ∆的面积b c +. 【答案】：（1）23π，（2）6b c +=. 【解析】：（1）由()2cos 14sin sin B C B C -=+， 得()2cos cos sin sin 4sin sin 1B C B C B C +-=，即()2cos cos sin sin 1B C B C -=，亦即()2cos 1B C +=，∴()1cos 2B C +=. ∵0,3B C B C ππ<+<∴+=,∵A B C π++=,∴23A π=.（2）由（1）得23A π=.由S =12sin 823bc bc π=∴=.①由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得(22222cos3b c bc π=+-， 即2228b c bc ++=.∴()228b c bc +-=.②,将①代入②， 得()2828b c +-=，∴6b c +=.36.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，点D 在边BC 上，,4π=∠CAD 27=AC ，102cos -=∠ADB .（1）求C ∠sin 的值；（2）若ABD ∆的面积为7，求AB 的长.【答案】（1）45；（2 【解析】（1）因为102cos -=∠ADB ，所以1027sin =∠ADB .又因为,4π=∠CAD 所以,4π-∠=∠ADB C 所以4sin cos 4cos sin )4sin(sin πππADB ADB ADB C ∠-∠=-∠=∠5422102221027=⋅+⋅. （2）在ADC ∆中，由正弦定理得ADCACC AD ∠=∠sin sin ， 故2210275427sin sin )sin(sin sin sin =⨯=∠∠⋅=∠-∠⋅=∠∠⋅=ADB C AC ADB C AC ADC C AC AD π.又,710272221sin 21=⋅⋅⋅=∠⋅⋅⋅=∆BD ADB AB AD S ABD 解得5=BD . 在ADB ∆中，由余弦定理得.37)102(5222258cos 2222=-⨯⨯⨯-+=∠⋅⋅-+=ADB BD AD BD AD AB 37.（本小题满分12分）已知公差不为0的等差数列{}n a 中，12a =，且2481,1,1a a a +++成等比数列. (1)求数列{}n a 通项公式；(2)设数列{n b }满足3n nb a =，求适合方程1223145...32n n b b b b b b ++++=的正整数n 的值.【答案】（1）31n a n =-；（2）10.【解析】：(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，由2481,1,1a a a +++，得2(33)(3)(37),d d d +=++解得3d =或0d =（舍），故1(1)23(1)3 1.n a a n d n n =+-=+-=-(2)由（1）知331n b n =-，19113().(31)(32)3132n n b b n n n n +==--+-+ 12231111111119...3(++)3(),2558313223264n n nb b b b b b n n n n ++++=---=-=-+++依题有945,6432n n =+解得10.n =38.（本小题满分12分）设*n N ∈，数列{}n a 的前项和为n S ，已知12n n n S S a +=++，125,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足1n a nnb a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-；（2）1(23)26n n T n +=-+．n【解析】(1)由12n n n S S a +=++得：*12()n n a a n N +-=∈， ∴数列{}n a 是以1a 为首项，2为公差的等差数列， 由125,,a a a 成等比数列得2+)2(1a =1a (1a +8)，解得1a =1， ∴*21()n a n n N =-∈.（2）由(1)可得2(21)(21)2nn n b n n =-⋅=-，∴1231...,n n n T b b b b b -=+++++即123123252...(21)2nn T n =⋅+⋅+⋅++-⋅①，23121232...(23)2(21)2n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+-⋅②，① -②可得23122(22...2)(21)2,n n n T n +-=++++--∴1(23)26n n T n +=-+.39.（本小题满分12分）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇,2015年双11期间,某购物平台的销售业绩高达918亿人民币.与此同时,相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,对商品的好评率为0.6,对服务的好评率为0.75,其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.(1)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为商品好评与服务好评有关？(2)若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的5次购物中,设对商品和服务全好评的次数为随机变量X ：①求对商品和服务全好评的次数X 的分布列（概率用组合数算式表示）； ②求X 的数学期望和方差.2()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828P K k k≥（22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++）【答案】（1）能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关； （2）①② ()2,E X =().5D X =【解析】：（1）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表如下：2200(80104070)11.11110.828,1505012080K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关. (2)①每次购物时,对商品和服务都好评的概率为25,且X 的取值可以是0,1,2,3,4,5. 其中53(0)()5P X ==；14523(1)()()55P X C ==；223523(2)()()55P X C ==；332523(3)()()55P X C ==；441523(4)()()55P X C ==；52(5)()5P X ==.X 的分布列为：②由于~(5,)5X B ,则()52,5E X =⨯=()5(1).555D X =⨯⨯-=40.（本小题满分12分）某市组织高一全体学生参加计算机操作比赛，等级分为1至10分，随机调阅了A 、B 两所学校各60名学生的成绩，得到样本数据如下：（1）计算两校样本数据的均值和方差，并根据所得数据进行比较；(2) 记事件C 为“A 校学生计算机优秀成绩高于B 校学生计算机优秀成绩”．假设7分或7分以上为优秀成绩，两校学生计算机成绩相互独立．根据所给样本数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C 的概率．【答案】（1） 1.5,A B x x ==2 1.5,A S =21.8;B S =（2）()0.02P C =.【解析】：（1）从A 校样本数据的条形图可知：成绩分别为4分、5分、6分、7分、8分、9分的学生分别有：6人、15人、21人、12人、3人、3人. A 校样本的平均成绩为465156217128393660A x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（分）， A 校样本的方差为22216(46)3(96) 1.560A S ⎡⎤=⨯-++⨯-=⎣⎦.从B 校样本数据统计表可知： B 校样本的平均成绩为49512621798693660B x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（分）， B 校样本的方差为22219(46)3(96) 1.860B S ⎡⎤=⨯-++⨯-=⎣⎦.因为,A B x x =所以两校学生的计算机成绩平均分相同，又因为22A B S S <，所以A 校的学生的计算机成绩比较稳定，总体得分情况比B 校好.(2) 记1A C 表示事件“A 校学生计算机成绩为8分或9分”，2A C 表示事件“A 校学生计算机成绩为9分”，1B C 表示事件“B 校学生计算机成绩为7分”，2B C 表示事件“B 校学生计算机成绩为8分”，则1A C 与1B C 独立，2A C 与2B C 独立，1B C 与2B C 互斥，1122B A B A C C C C C =．1122()()B A B A P C P C C C C =1122()()B A B A P C C P C C =+1122()()()()B A B A P C P C P C P C =+．由所给数据得1A C ，2A C ，1B C ，2B C 发生的概率分别为1()A P C 6=60，2()=A P C 360，19()=60B P C ，26()60B P C =， 故9663()=+0.0260606060P C ⨯⨯=．41.（本小题满分12分）如图，已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面，平面ABCD 平面ABPE =AB ，且2,1AB BP AD AE ====，,AE AB ⊥且AE ∥BP ．（1）设点M 为棱PD 中点，求证：EM ∥平面ABCD ；（2）线段PD 上是否存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值等于25？若存在，试确定点N 的位置；若不存在，请说明理由．【答案】：（1）证明见解析；（2）当点N 与点D 重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值为25，理由见解析．【解析】：（1）证明：（方法一）由已知，平面ABCD ⊥平面ABPE ，且B C A B ⊥，则BC ⊥平面ABPE ，所以,,BA BP BC 两两垂直，故以B 为原点，,,BA BP BC 分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则1(0,2,0),(2,0,1),(1,1,),(2,1,0),(0,0,1)2P D M E C ，所以1=(1,0,)2EM -．易知平面ABCD 的一个法向量等于(0,1,0)n =，因为1=(1,0,)(0,1,0)02EM n ⋅-⋅=，所以EM n ⊥， 又EM ⊄平面ABCD ，所以EM ∥平面ABCD ．（方法二）由已知，平面ABCD ⊥平面ABPE ，且BC AB ⊥，则BC ⊥平面ABPE ， 所以,,BA BP BC 两两垂直．连结,AC BD ，其交点记为O ，连结MO ，EM ． 因为四边形ABCD 为矩形，所以O 为BD 中点．因为M 为PD 中点， 所以OM ∥PB ，且12OM PB =． 又因为AE ∥PB ，且12AE PB =，所以AE ∥OM ，且AE =OM ．所以四边形AEMO 是平行四边形，所以EM ∥AO .因为EM ⊄平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ，所以EM ∥平面ABCD ．（2）当点N 与点D 重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值为25． 理由如下：因为(2,2,1),(2,0,0)PD CD =-=，设平面PCD 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，由110,0n PD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得1111220,20.x y z x -+=⎧⎨=⎩取11y =，得平面PCD 的一个法向量1(0,1,2)n =．假设线段PD 上存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角α的正弦值等于25． 设(01)PN PD λλ=≤≤，则(2,2,1)(2,2,)PN λλλλ=-=-，(2,22,)BN BP PN λλλ=+=-．所以111||sin |cos ,|||||BN n BN n BN n α⋅=<>=⋅225===． 所以29810λλ--=，解得1λ=或19λ=-（舍去）． 因此，线段PD 上存在一点N ，当N 点与D 点重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值等于25．42.（本小题满分12分）正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，,//,AD CD AB CD ⊥122AB AD CD ===，点M 在线段EC 上且不与C E ,重合．（1）当点M 是EC 中点时，求证：ADEF BM 平面//；（2）当平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角的余弦值为66时，求三棱锥BDE M -的体积．【答案】：（1）证明见解析；（2）4.3【解析】：（1）由题意：以点D 为坐标原点，DA 方向为x 轴，DC 为y 轴，DE 为z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()()2,0,0,2,2,0,0,4,0,0,0,2,0,2,1A B C E M ， ∴()2,0,1BM =-，平面ADEF 的一个法向量()0,4,0DC =，0BM DC ⋅=，∴BM DC ⊥，即//BM ADEF 平面．（2）设()()0,4,20,4,2EM tEC t t t ==-=-，故点()()0,4,2201M t t t -<<， 设平面BDM 的一个法向量()z y x n ,,1=，则()11220,4220DB n x y DM n ty t z ⋅=+=⋅=+-=．令1y =-，则121,1,1t n t ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，易知平面ABF 的一个法向量()21,0,0n =，∵121212cos ,n n n n n n ⋅<>===⋅，解得12t =， ∴()1,2,0M 为BC 的中点，221==∆∆CDM DBM S S ，B 到面DEM 的距离2=h ， ∴14.33M BDE DEM V S h -∆=⋅⋅=43.（本小题满分12分）已知点是椭圆的右焦点，点、分别是轴、轴上的动点，且满足．若点满足． （1）求点的轨迹的方程；（2）设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点，直线、与直线分别交于点、（为坐标原点），试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）；（2）的值是定值，且定值为．【解析】（1）椭圆右焦点的坐标为， ．，由，得．设点的坐标为，由，有，代入，得． F )0(11222>=++a y ax (,0)M m (0,)N n x y 0=⋅P OM +=2P C F P A B OA OB a x -=S T O FS FT ⋅ax y 42=FS FT ⋅0 )0(11222>=++a y ax F (,0)a (,)NF a n ∴=-(,)MN m n =-∴0=⋅NF MN 02=+am n P ),(y x PO ON OM +=2(,0)2(0,)(,)m n x y =+--⎪⎩⎪⎨⎧=-=.2,y n x m 02=+am n ax y 42=（2）(法一)设直线的方程为，、， 则，． 由，得， 同理得．，，则． 由，得，． 则． 因此，的值是定值，且定值为．(法二)①当时， 、，则， ．由 得点的坐标为，则． 由 得点的坐标为，则． ．②当不垂直轴时，设直线的方程为，、，同解法一，得． 由，得，．AB x ty a =+211(,)4y A y a 222(,)4y B y ax y a y l OA 14:=x y ay l OB 24:=⎪⎩⎪⎨⎧-==a x x y a y ,41214(,)a S a y --224(,)a T a y --214(2,)a FS a y ∴=--224(2,)a FT a y =--4212164a FS FT a y y ⋅=+⎩⎨⎧=+=axy a ty x 4,204422=--a aty y 2124y y a ∴=-044)4(16422242=-=-+=⋅a a a a a FT FS FS FT ⋅0AB x ⊥(,2)A a a (,2)B a a -:2OA l y x =:2OB l y x =-2,y x x a =⎧⎨=-⎩S (,2)S a a --(2,2)FS a a =--2,y x x a=-⎧⎨=-⎩T (,2)T a a -(2,2)FT a a =-(2)(2)(2)20FS FT a a a a ∴⋅=-⨯-+-⨯=AB x AB ()(0)y k x a k =-≠),4(121y a yA ),4(222y a y B 4212164a FS FT a y y ⋅=+2(),4y k x a y ax=-⎧⎨=⎩22440ky ay ka --=2124y y a ∴=-则．因此，的值是定值，且定值为．44.（本小题满分12分）以椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>（1）求椭圆C的标准方程；（2）过原点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于QP,两点，A是椭圆C的右顶点，直线AQAP、分别与y轴交于点NM、，问：以MN为直径的圆是否恒过x轴上的定点？若恒过x轴上的定点，请求出该定点的坐标；若不恒过x轴上的定点，请说明理由.【答案】（1）2213xy+=；（2）以MN为直径的圆恒过x轴上的定点(1,0)-，(1,0). 【解析】（1）依题意，得222,cab a b ca===+又解得1,ab⎧=⎪⎨=⎪⎩故椭圆C的标准方程为2213xy+=.（2）A，设(0,)M m，(0,)N n，00(,)P x y，则由题意，可得2213xy+=（1），且00(,)Q x y--，00()AP x y=，()AM m=.因为,,A P M三点共线，所以AP AM，44)4(16422242=-=-+=⋅aaaaaFS FT⋅0故有00(x m =，解得m =；同理，可得n =假设存在满足题意的x 轴上的定点(,0)R t ，则有RM RN ⊥，即0RM RN ⋅=.因为(,)RM t m =-，(,)RN t n =-，所以20t mn +=，即20t =，整理得2202033y t x =--，又由（1），得220033y x =-，所以21t =，解得1t =或1t =-.故以MN 为直径的圆恒过x 轴上的定点(1,0)-,(1,0). 方法二： （1）同方法一；（2）①当直线l 的斜率不存在时，有(0,1)P ，(0,1)Q -，(0,1)M ，(0,1)N -，此时以MN 为直径的圆经过x 轴上的点(1,0)-和(1,0)；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx =，联立方程组221,3,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得P，(Q . 设(0,)M m ，(0,)N n又直线AP的斜率1k =AM的斜率2k =， 因为,,A P M 三点共线，所以12k k =，解得得m =，同理，可得n =，假设存在满足题意的x 轴上的定点(,0)R t ，则有RM RN ⊥，直线RM 的斜率3m k t =-，直线RN 的斜率4n k t=-， 所以341k k =-，故有2t mn =-，即2t =整理，得21t =，解得1t =或1t =-，综合①②，可知以MN 为直径的圆恒过x 轴上的定点(1,0)-，(1,0).45.（本小题满分12分）已知函数()ln 3f x a x ax =--（0a ≠）． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()()140f x a x e +++-≤对任意2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，求实数a 的取值范围（e 为自然常数）；（3）求证：()()()()2222ln 21ln 31ln 41ln 112ln !n n ++++++⋅⋅⋅++<+（2n ≥，n *∈N ）．【答案】：（1）当时，增区间为，减区间为；当时，增区间为，减区间为；（2）212e e a --≤；（3）见解析．【解析】：（1）)0()1()(>-='x xx a x f ， 当0>a 时，)(x f 的单调增区间为]1,0(，单调减区间为),1[+∞；0>a (]0,1[)1,+∞0<a [)1,+∞(]0,1当0<a 时，)(x f 的单调增区间为),1[+∞，单调减区间为]1,0(．（2）令()ln 34ln 1,F x a x ax ax x e a x x e =--+++-=++-.0)(=+='xax x F 若e a ≤-，e a -≥，)(x F []上在2,e e 是增函数，21,012)()(222maxe e a e e a e F x F --≤≤+-+==无解．若2e a e ≤-<，e a e -<≤-2，)(x F 在],[a e -上是减函数；在],[2e a -上是增函数，.1,01)(-≤≤+=a a e F ,21,012)(222e e a e e a e F --≤≤+-+=.2122e e a e --≤≤-∴若2e a >-，2e a -<，)(x F 在],[2e e 上是减函数，1,01)()(max -≤≤+==a a e F x F ，.2e a -<∴综上所述.212e e a --≤（3）令1a =-（或1a =），此时()ln 3f x x x =-+-，所以(1)2f =-，由（1）知()ln 3f x x x =-+-在(1,)+∞上单调递增，∴当(1,)x ∈+∞时，()(1)f x f >，即ln 10x x -+->，∴ln 1x x <-对一切(1,)x ∈+∞成立，∵，则有， 要证2222ln(21)ln(31)ln(41)ln(1)12ln !(2,)n n n n N *++++++++<+≥∈，2,N*n n ≥∈2211111ln(1)(1)1n n n n n n+<<=---只需证22221111ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)1(2,),234n n N n*++++++++<≥∈ 2222111111111111ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)(1)()()()1 1.234223341n n n n++++++++<-+-+-+-=-<-所以原不等式成立46.（本小题满分12分）已知函数()(1)()x f x a x e a =--.（常数R a ∈且0a ≠）. （1）证明：当0>a 时，函数()x f 有且只有一个极值点； （2）若函数()x f 存在两个极值点12,x x ，证明：()2140e x f <<且()2240e x f <<. 【解答】：依题意，()[(1)()(1)()](),xxxf x a x e a x e a a x e a '''=--+--=⋅-令()()x h x a x e a =⋅-，则()(1)xh x a x e '=+⋅.（1）①当0x <时，0xx e ⋅<，0a >，故()()0h x f x '=<，所以()f x '在(,0)-∞上不存在零点，则函数)(x f 在(,0)-∞上不存在极值点；②当0x ≥时，由()(1)0xh x a x e '=+⋅>，故()h x 在[0,)+∞上单调递增. 又2(0)0h a =-<，2()()(1)0a a h a a a e a a e =⋅-=->，所以()()h x f x '=在[0,)+∞上有且只有一个零点.又注意到在()f x '的零点左侧，()0f x '<，在()f x '的零点右侧，()0f x '>，所以函数)(x f 在[0,)+∞有且只有一个极值点.综上所述，当0a >时，函数)(x f 在(,)-∞+∞内有且只有一个极值点.（2）因为函数)(x f 存在两个极值点1x ,2x （不妨设12x x <），所以1x ,2x 是()()h x f x '=的两个零点，且由（1）知，必有0a <. 令()(1)0xh x a x e '=+⋅=得1x =-；令()(1)0xh x a x e '=+⋅>得1x <-；令()(1)0xh x a x e '=+⋅<得1x >-.所以()()h x f x '=在(,1]-∞-单调递增，在[1,)-+∞单调递减，又因为2(0)(0)0h f a '==-<，所以必有1210x x <-<<.令()()0tf t a t e a '=⋅-=，解得ta t e =⋅，此时22232()(1)()(1)()(1)(2)t t t t t t f t a t e a te t e te e t t e t t t =--=--=--=--+.因为12,x x 是()()h x f x '=的两个零点，所以12321111()(2)x f x ex x x =--+，22322222()(2)x f x e x x x =--+.将代数式232(2)te t t t --+视为以t 为自变量的函数232()(2)tg t e t t t =--+，则22()(1)(21)t g t e t t '=---.当1t <-时，因为2210,210,0tt t e ->-<>，所以'()0g t >，则()g t 在(,1)-∞-单调递增.因为11x <-，所以1124()()(1)f x g x g e=<-=， 又因为122111()(1)0x f x ex x =-->，所以1240()f x e <<.因为210x -<<，所以22240(0)()()(1)g g x f x g e =<=<-=. 综上知，1240()f x e <<且2240()f x e<<．47.（本小题满分10分）从下列三题中选做一题(1).选修4-1：几何证明选讲如图所示，两个圆相内切于点T ，公切线为TN ，外圆的弦TC ，TD 分别交内圆于A 、B 两点，并且外圆的弦CD 恰切内圆于点M . (1)证明：//AB CD ；(2)证明：AC MD BD CM ⋅=⋅.【解答】：（1）由弦切角定理可知，NTB TAB ∠=∠, 同理，NTB TCD ∠=∠,所以TCD TAB ∠=∠, 所以//AB CD .（2）连接TM 、AM,因为CD 是切内圆于点M ， 所以由弦切角定理知，CMA ATM ∠=∠， 又由（1）知//AB CD ，所以，CMA MAB ∠=∠，又MTD MAB ∠=∠, 所以MTD ATM ∠=∠. 在MTD ∆中,由正弦定理知,sin sin MD TDDTM TMD =∠∠, 在MTC ∆中,由正弦定理知, sin sin MC TCATM TMC=∠∠, 因TMC TMD π∠=-∠,所以MD TD MC TC =,由//AB CD 知TD BDTC AC =, 所以MD BDMC AC=,即, AC MD BD CM ⋅=⋅. (2)选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）．（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,且AB 求直线l 的倾斜角α的值． 【答案】（1）()2224x y -+=；（2）4πα=或34π. 【解析】（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=．∵222x y ρ+=,cos x ρθ=,sin y ρθ=,∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=,即()2224x y -+=.（2）将1cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入圆的方程得()()22cos 1sin 4t t αα-+=,化简得22cos 30t t α--=．设,A B 两点对应的参数分别为1t 、2t ,则12122cos ,3.t t t t α+=⎧⎨=-⎩∴12AB t t =-===∴24cos 2α=,cos 2α=±,4πα=或34π．(3)选修4-5：不等式选讲设函数()121f x x x =--+的最大值为m . （1）求m ；（2）若()222,,0,,2a b c a b c m ∈+∞++=，求ab bc +的最大值.【答案】（1）2m =；（2）1．【解析】：（1）当1x ≤-时，()32f x x =+≤； 当11x -<<时，()132f x x =--<； 当1x ≥时，()34f x x =--≤-， 故当1x =-时，()f x 取得最大值2m =.（2）因为()()()22222222222a b c a b b c ab bc ab bc ++=+++≥+=+，当且仅当2a b c ===时取等号，此时ab bc +取得最大值1. 48.（本小题满分12分）从下列三题中选做一题 (1).选修4-1：几何证明选讲在△ABC 中，AB=AC ，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 延长线于点D ． （1）求证：PC PD =AC BD；（2）若AC=3，求AP •AD 的值．【解析】（1）∵∠CPD=∠ABC，∠D=∠D，∴△DPC～△DBA， ∴PC PD =AB BD ，又∵AB=AC，∴PC PD =AC BD.（2）∵∠ACD=∠APC，∠CAP=∠CAP，∴△APC∽△ACD . ∴AP AC =AC AD，∴.92=⋅=AD AP AC(2)选修4－4：坐标系与参数方程在以直角坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线1C 的方程是1ρ=，将1C 向上平移1个单位得到曲线2C . (1)求曲线2C 的极坐标方程；(2)若曲线1C 的切线交曲线2C 于不同两点,M N ,切点为T .求TM TN ⋅的取值范围. 【解答】（1）依题,因222x y ρ=+,所以曲线1C 的直角坐标下的方程为221x y +=, 所以曲线2C 的直角坐标下的方程为22(1)1x y +-=, 又sin y ρθ=，所以22sin 0ρρθ-=, 即曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=.(2)由题令00(,)T x y ，0(0,1]y ∈，切线MN 的倾斜角为θ，所以切线MN 的参数方程为:00cos sin x x t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩(t 为参数). 联立2C 的直角坐标方程得,20002(cos sin sin )120t x y t y θθθ++-+-= ,即由直线参数方程中,t 的几何意义可知,012TM TN y ⋅=-，因为012[1,1)y -∈-所以TM TN ⋅[0,1]∈.(解法二)设点()ααsin ,cos T ，则由题意可知当()πα 0∈时，切线与曲线2C 相交，由对称性可知，当⎥⎦⎤ ⎝⎛∈2,0πα 时斜线的倾斜角为2πα+，则切线MN 的参数方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ααπααααπααcos sin 2sin sin sin cos 2cos cos t t y t t x （t 为参数）， 与C 2的直角坐标联立方程，得0sin 21cos 22=-+-ααt t ， 则αsin 2121-==t t TN TM ,因为⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πα，所以[]1,0∈TN TM . (3)选修4－5：不等式选讲已知函数()|2|,f x m x m =--∈R ,且(2)1f x +≥的解集A 满足[]1,1A -⊆． （1）求实数m 的取值范围B ；（2）若(),,0,a b c ∈+∞,0m 为B 中的最小元素且011123m a b c++=, 求证：9232a b c ++≥. 【解析】：（1）因为()|2|,f x m x =--所以(2)1f x +≥等价于1x m ≤-,由[]1,1A -⊆知A 是非空集合,所以 11m x m -≤≤-,结合[]1,1A -⊆可得112m m -≥⇒≥,即实数m的取值范围是[)2,.B =+∞（2）由（1）知02m =,所以1112,23a b c++= ()11112323223a b c a b c a b c ⎛⎫∴++=++++ ⎪⎝⎭219≥=.22。

2016年河南省新乡市名校学术联盟高考数学押题卷（理科）（2）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合P={0，1，2}，若P∩（∁z Q）=∅，则集合Q可以为（）A．{x|x=2a，a∈P}B．{x|x=2a，a∈P}C．{x|x=a﹣1，a∈N} D．{x|x=a2，a∈N}2．已知i为虚数单位，是z的共轭复数，若（+i）（1﹣i）=1+3i，则|z|=（）A．2 B．C．1 D．3．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a2=，=21，则a8=（）A．32 B．32或﹣32 C．64 D．64或﹣644．将4名同学随机分成两组参加数学、英语竞赛，每组2人，则甲参加数学竞赛且乙参加英语竞赛的概率为（）A．B．C．D．5．已知点P是椭圆+y2=1上任一点，F为椭圆的右焦点，Q（3，0），且|PQ|=|PF|，则满足条件的点P的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．06．若tan2α=﹣，α∈（﹣，），则sinα+cosα等于（）A．﹣B．C．D．7．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为2，则输出的结果是（）□A．9 B．8 C．7 D．68．已知函数f（x）=2cos（ωx+ω）+1在（0，）上是减函数，则ω的最大值为（）A．12 B．10 C．8 D．69．设A为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点，直线x=a与双曲线的一条渐近线交于点M，点M关于原点的对称点为N，若双曲线的离心率为，则∠M A N=（）A．120°B．135°C．150°D．105°10．已知点P（x，y）为平面区域内的一个动点，z=|x+y|，若对满足条件的任意点P都有z≤3，则k的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．（﹣∞，1]C．[0，3]D．（﹣∞，1]∪[3，+∞）11．在三棱锥A﹣BCD中，AB=，其余各棱长都为2，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．3πB．π C．6πD．π12．已知函数f（x）=，若函数f（x）在定义域上有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，+∞）B．[0，+∞）C．[﹣1，0] D．[﹣1，0）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数f（x）=lnx+的图象在点P（1，f（1））处的切线方程为_______．14．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为1的正方形，俯视图由两个边长为1的正方形组成，则此几何体的体积是_______．15．若二项式（x2+）6的展开式中的常数项为m，则（x2﹣2x）dx=_______．16．已知S n、T n分别为数列{a n}、{b n}的前n项和，a1=0，a2=2，2S n+1=•，若T n=，则b n=_______．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A=．（1）若b=2，△ABC的面积为3，求a的值；（2）若2c2﹣2a2=b2，求证：2sin（C﹣）=sinB．18．某大学生利用自己课余时间开了一间网店，为了了解店里某商品的盈利情况，该学生对20（1）根据上表数据，求这20天的日平均利润；（2）若ξ表示销售该商品两天的利润和（单位：元），求ξ的分布列；（3）若销售该商品两天的利润和的期望值不低于178元，则可被评为创业先进个人，请计算该大学生能否被评为创业先进个人？19．如图，四边形ABCD为平行四边形，且SD=2，SC=DC=AS=AD=．平面ASD⊥平面SDC．（1）求证：SD⊥AC；（2）求二面角S﹣AB﹣D的余弦值．20．过抛物线y=ax2（a＞0）的焦点F作圆C：x2+y2﹣8y+15=0的切线，切点分别为M、N，已知直线MN：3y﹣11=0．（1）求实数a的值；（2）直线l经过点F，且与抛物线交于点A、B，若以AB为直径的圆与圆C相切，求直线l 的方程．21．已知函数f（x）=的单调递减区间为（﹣∞，0）和（0，+∞）．（1）求实数b的值；（2）当x＞0时，有+f（e x）≥a+1成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]（共1题，共10分）22．如图，A、B、C、D、E在圆周上，且A B∥C E，A E∥BD，BD交C E于点F，过A 点的圆的切线交C E的延长线于P，若PE=CF=1，P A=2．（1）求A E的长；（2）求证：点F是BD的中点．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数，a为常数），曲线C的参数方程为（α为参数，﹣≤α≤），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出直线l与曲线C的极坐标方程；（2）若直线l与曲线C有且只有一个公共点，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|+a（x2﹣2x），其中a≥0．（1）若a=0，求f（x）的最小值；（2）若存在实数x0，使得f（x0）=1，求实数a的取值范围．2016年河南省新乡市名校学术联盟高考数学押题卷（理科）（2）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合P={0，1，2}，若P∩（∁z Q）=∅，则集合Q可以为（）A．{x|x=2a，a∈P}B．{x|x=2a，a∈P}C．{x|x=a﹣1，a∈N} D．{x|x=a2，a∈N}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先根据P={0，1，2}，分别求出A，B，C，D中的集合的元素，根据P∩（∁z Q）=∅，可判断答案．【解答】解：选项A={0，2，4}，选项B={1，2，4}，选项C={﹣1，0，1，2，…}，选项D={0，1，4，9，…}，因为P∩（∁z Q）=∅，所以P⊊Q，故集合Q可以为C，故选：C．2．已知i为虚数单位，是z的共轭复数，若（+i）（1﹣i）=1+3i，则|z|=（）A．2 B．C．1 D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知等式变形，得到，然后代入复数模的计算公式得答案．【解答】解：由（+i）（1﹣i）=1+3i，得，∴．故选：B．3．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a2=，=21，则a8=（）A．32 B．32或﹣32 C．64 D．64或﹣64【考点】等比数列的前n项和．【分析】对公比q分类讨论，利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：当q=1时，，显然不成立；当q≠1时，由，得，解得q2=4或q2=﹣5（舍去），∴．故选：A．4．将4名同学随机分成两组参加数学、英语竞赛，每组2人，则甲参加数学竞赛且乙参加英语竞赛的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】设其他两名同学为丙和丁，4人分组参赛分组的情况共有6种，甲参加数学竞赛且乙参加英语竞赛的情况占2种，由此能求出甲参加数学竞赛且乙参加英语竞赛的概率．4所以甲参加数学竞赛且乙参加英语竞赛的概率是．故选：A．5．已知点P是椭圆+y2=1上任一点，F为椭圆的右焦点，Q（3，0），且|PQ|=|PF|，则满足条件的点P的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．0【考点】椭圆的简单性质．【分析】设P（x，y），又F（2，0），由，得2（x﹣2）2+2y2=（x﹣3）2+y2，化简与椭圆方程联立解出即可判断出结论．【解答】解：设P（x，y），又F（2，0），由，得2（x﹣2）2+2y2=（x﹣3）2+y2，即x2+y2﹣2x﹣1=0，由，化为：2x2﹣5x=0，解得x=0，x=（舍去）．∴，或，交点为（0，±1）．因此满足条件的点P的个数为2．故选：C．6．若tan2α=﹣，α∈（﹣，），则sinα+cosα等于（）A．﹣B．C．D．【考点】半角的三角函数．【分析】根据二倍角公式与同角的三角函数关系式，结合题意即可求出结果．【解答】解：∵，∴，即，∴；又由题意知，且，∴，∴；∴，结合得，．故选：B．7．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为2，则输出的结果是（）□A．9 B．8 C．7 D．6【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的n，S，i的值，当n=36，S=64时不满足判断框内的条件S≤n，退出循环，输出i的结果为7．【解答】解：模拟执行程序，可得：第一次循环：n=4，S=2，i=2；第二次循环：n=4，S=4，i=3；第三次循环：n=16，S=8，i=4；第四次循环：n=16，S=16，i=5；第五次循环：n=36，S=32，i=6；第六次循环：n=36，S=64，i=7．此时不满足判断框内的条件S≤n，退出循环，则输出i的结果为7．故选：C．8．已知函数f（x）=2cos（ωx+ω）+1在（0，）上是减函数，则ω的最大值为（）A．12 B．10 C．8 D．6【考点】余弦函数的图象．【分析】求出f（x）的减区间I，令（0，）⊂I，解得ω的范围，由ω得范围非空求出k 的最大值，代入ω得范围得出ω的最大值．【解答】解：令2kπ≤ωx+ω≤2kπ+π，解得﹣≤x≤+﹣，令（0，）⊂[﹣， +﹣]，得﹣≤0且+﹣≥，解得8k≤ω≤．∴8k≤，解得k≤1．∴当k=1时，8≤ω≤8．即ω=8．故选C．9．设A为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点，直线x=a与双曲线的一条渐近线交于点M，点M关于原点的对称点为N，若双曲线的离心率为，则∠M A N=（）A．120°B．135°C．150°D．105°【考点】双曲线的简单性质．【分析】联立方程求出交点M的坐标，结合双曲线的离心率建立方程进行求解即可．【解答】解：不妨设直线x=a与渐近线交于点M，将x=a代入渐近线得M（a，b），则N（﹣a，﹣b）．由得3c2=7a2，由c2=a2+b2得3b2=4a2，又∵A（﹣a，0），∴，∴∠M A N=120°．故选：A10．已知点P（x，y）为平面区域内的一个动点，z=|x+y|，若对满足条件的任意点P都有z≤3，则k的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．（﹣∞，1]C．[0，3]D．（﹣∞，1]∪[3，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域令u=x+y，分别讨论k的取值范围，结合目标函数的几何意义进行求解即可．【解答】解：令u=x+y，则y=﹣x+u．当﹣1≤k＜2时（如图1），将y=2x与y=kx+1的交点，代入y=﹣x+u得，即k≤1，所以﹣1≤k≤1；当k＜﹣1时（如图2），z max=u max=1，满足题意；当k≥2时（如图3），区域为不封闭区域，不存在最大值．故k的取值范围是（﹣∞，1]．故选：B11．在三棱锥A﹣BCD中，AB=，其余各棱长都为2，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．3πB．π C．6πD．π【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意画出几何体的图形，推出四面体的外接球的球心的位置，求出球的半径，即可求出三棱锥外接球的表面积．【解答】解：取A B，CD的中点分别为E，O，连接EO，AO，BO，由题意知AO=BO=．又，所以AO⊥BO，EO=，易知三棱锥外接球的球心G在线段EO上，有R2=AE2+GE2，R2=CO2+GO2，∴R2=（）2+GE2，R2=12+（﹣GE）2，求得，所以其表面积为．故选：D．12．已知函数f（x）=，若函数f（x）在定义域上有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，+∞）B．[0，+∞）C．[﹣1，0] D．[﹣1，0）【考点】函数零点的判定定理；函数的图象．【分析】问题转化为y=﹣t2﹣4t和的交点问题，结合函数的图象求出a的范围即可．【解答】解：令x+1=t，则，在同一坐标系内作出y=﹣t2﹣4t和的图象，如图示：，显然若函数f（x）在定义域上有三个零点，有a+1∈[0，1），即a∈[﹣1，0），故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数f（x）=lnx+的图象在点P（1，f（1））处的切线方程为y=1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求出f′（x），令x=2，求出f′（2），得出f（x），求出f（1），斜率f'（1），利用点斜式方程求出切线方程．【解答】解：，所以，所以，即．f′（x）=﹣，又f（1）=1，斜率为f'（1）=0，所以切线方程为y=1．故答案为：y=1．14．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为1的正方形，俯视图由两个边长为1的正方形组成，则此几何体的体积是．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体是一个正方体的前边挨着一个横放的三棱柱（如图），【解答】解：由三视图可知该几何体是一个正方体的前边挨着一个横放的三棱柱（如图），故几何体的体积为：．故答案为：．15．若二项式（x2+）6的展开式中的常数项为m，则（x2﹣2x）dx=．【考点】二项式系数的性质；定积分．【分析】由二项式系数的性质求得m，代入（x2﹣2x）dx，写出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限后作差得答案．【解答】解：由=．令12﹣3r=0，得r=4．∴m==3．则（x 2﹣2x ）dx===．故答案为：．16．已知S n 、T n 分别为数列{a n }、{b n }的前n 项和，a 1=0，a 2=2，2S n+1=•，若T n =，则b n =2n ﹣1．【考点】数列递推式．【分析】解法一：当n=1时，b 1=T 1=；当n ≥2时，b n =T n ﹣T n ﹣1=，由，代入值n=1，2，3，猜想即可得出．解法二：由和得，代入可得：，利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：解法一：当n=1时，；当n ≥2时，b n =T n ﹣T n ﹣1=，由，代入值n=1，2，3，…，得出S 3=6，a 3=4；S 4=12，a 4=6；S 5=20，a 5=8．猜想S n =n （n ﹣1），a n =2n ﹣2，从而b n =2n ﹣1．解法二：由和得，即，代入得：，即，由a 1=0，a 2=2得 T 1=1，T 2=4，∴是以1为首项，1为公差的等差数列．即，，∴{b n }为等差数列，易解得b n =2n ﹣1．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A=．（1）若b=2，△ABC 的面积为3，求a 的值；（2）若2c 2﹣2a 2=b 2，求证：2sin （C ﹣）=sinB ．【考点】余弦定理；正弦定理． 【分析】（1）根据面积公式计算c ，再利用余弦定理计算a ．（2）利用正弦定理将边化角，使用和差化积公式化简即可得出结论．【解答】解：（1）在△ABC 中，∵S △ABC =bcsinA==3，∴c=6．由余弦定理得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=4+36﹣12=28．∴a==2． （2）∵2c 2﹣2a 2=b 2，∴2（c +a ）（c ﹣a ）=b 2，∴2（sinC +sinA ）（sinC ﹣sinA ）=sin 2B ．∴2×2sincos×2cossin=sin 2B ．即2sin （A +C ）sin （C ﹣A ）=sin 2B ． ∵sin （A +C ）=sinB ≠0， ∴2sin （C ﹣A ）=sinB ，即2sin （C ﹣）=sinB ．18．某大学生利用自己课余时间开了一间网店，为了了解店里某商品的盈利情况，该学生对20（1）根据上表数据，求这20天的日平均利润；（2）若ξ表示销售该商品两天的利润和（单位：元），求ξ的分布列；（3）若销售该商品两天的利润和的期望值不低于178元，则可被评为创业先进个人，请计算该大学生能否被评为创业先进个人？【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（1）由题意知这20天的日平均利润为=89；（2）由题意知，ξ的取值有160，170，180，190，200；从而分别求概率即可；（3）求数学期望E （ξ）=160×+170×+180×+190×+200×=178即可．【解答】解：（1）由题意知， 这20天的日平均利润为=89；故这20天的日平均利润为89元；（2）由题意知，ξ的取值有160，170，180，190，200；P（ξ=160）==，P（ξ=170）=，P（ξ=180）=，P（ξ=190）=，P（ξ=200）=，ξ160 170 190（3）E（ξ）=160×+170×+180×+190×+200×=178；故该大学生可以被评为创业先进个人．19．如图，四边形ABCD为平行四边形，且SD=2，SC=DC=AS=AD=．平面ASD⊥平面SDC．（1）求证：SD⊥AC；（2）求二面角S﹣AB﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）取SD的中点O，连接OA，OC，证明SD⊥平面OAC，即可证明SD⊥AC；（2）求出S△ASB==1，S△ABD==，即可求二面角S﹣AB﹣D的余弦值【解答】（1）证明：取SD的中点O，连接OA，OC，则∵SC=DC=AS=AD=，∴AO⊥SD，CO⊥SD，∵AO∩CO=O，∴SD⊥平面OAC，∵AC⊂平面OAC，∴SD⊥AC；（2）解：连接BD，与AC交于E，连接SE，则∵SD=2，SC=DC=AS=AD=，∴AO=OC=1，∵AO⊥SD，平面ASD⊥平面SDC，平面ASD∩平面SDC=SD，∴AO⊥面SDC，∵CO⊂面SDC，∴AO⊥CO，∴AC=，∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD．∴cos∠DES==，∴SB==2，∴SA⊥SB，∴S△ASB==1，∵S△ABD==．∴二面角S﹣AB﹣D的余弦值为=．20．过抛物线y=ax2（a＞0）的焦点F作圆C：x2+y2﹣8y+15=0的切线，切点分别为M、N，已知直线MN：3y﹣11=0．（1）求实数a的值；（2）直线l经过点F，且与抛物线交于点A、B，若以AB为直径的圆与圆C相切，求直线l 的方程．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，圆C的圆心与半径，利用射影定理，建立方程，即可求实数a的值；（2）根据对称性，结合以AB为直径的圆与圆C相切，求直线l的方程．【解答】解：（1）抛物线y=ax2（a＞0）的焦点F（0，），圆C：x2+y2﹣8y+15=0的圆心（0，4），半径为1，C到直线MN：3y﹣11=0的距离为，∴由射影定理可，12=，∴a=；（2）抛物线的标准方程为x2=4y，焦点F（0，1），y=1时，x=±2，∵圆C：x2+y2﹣8y+15=0的圆心（0，4），半径为1，∴以（0，1）为圆心，2为半径的圆与圆C相切，∴直线l的方程为y=1．21．已知函数f（x）=的单调递减区间为（﹣∞，0）和（0，+∞）．（2）当x＞0时，有+f（e x）≥a+1成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，得到x（x+2b）＞0的解集为（﹣∞，0）∪（0，+∞），所求出b=0即可；（2）求出函数的导数，问题转化为（1+ax）（1﹣e﹣x）≤x，设h（x）=（1+ax）（1﹣e﹣x）﹣x，（x＞0），根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（1）∵，∴，所以的解集为（﹣∞，0）∪（0，+∞），即x（x+2b）＞0的解集为（﹣∞，0）∪（0，+∞），所以b=0．（2）由（1）知，又，则，由x＞0时，1﹣e﹣x＞0，故a≥0．所以，即（1+ax）（1﹣e﹣x）≤x，设h（x）=（1+ax）（1﹣e﹣x）﹣x，（x＞0）则h'（x）=e﹣x（1+ax﹣a）+a﹣1=e﹣x[1+ax﹣a+（a﹣1）e x]（x＞0）．设g（x）=1+ax﹣a+（a﹣1）e x，（x＞0）则g'（x）=a+（a﹣1）e x，g'（0）=2a﹣1当2a﹣1≤0时，即时，g''（x）=（a﹣1）e x＜0，所以g'（x）=a+（a﹣1）e x单调递减，g'（x）=a+（a﹣1）e x＜g'（0）≤0，故g（x）单调递减，g（x）＜g（0）=0，所以h'（x）＜0恒成立，h（x）=（1+ax）（1﹣e﹣x）﹣x在（0，+∞）上单调递减，h（x）＜h（0）=0符合题意．当2a﹣1＞0时，即时，存在x0＞0，当x∈（0，x0）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，g（x）＞0，h'（x）＞0，h（x）在（0，x0）上单调递增，h（x）＞0，与h（x）≤0恒成立矛盾．所以实数a的取值范围是．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]（共1题，共10分）22．如图，A、B、C、D、E在圆周上，且A B∥C E，A E∥BD，BD交C E于点F，过A 点的圆的切线交C E的延长线于P，若PE=CF=1，P A=2．（2）求证：点F是BD的中点．【考点】与圆有关的比例线段；弦切角．【分析】（1）利用△PAE∽△EB A，及切割线定理求AE的长；（2）利用相交弦定理证明BF=FD，即可证明点F是BD的中点．【解答】（1）解：∵PA2=PC•P E，PA=2，PE=1，∴PC=4，又∵P E=CF=1，∴EF=2，∵∠PA E=∠EB A，∠PE A=∠EA B，∴△PAE∽△EB A，∴，∴AE2=P E•A B=2，∴．（2）证明：∵，EF=2，而EF•FC=BF•FD，∴，∴BF=FD，∴点F是BD的中点．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数，a为常数），曲线C的参数方程为（α为参数，﹣≤α≤），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出直线l与曲线C的极坐标方程；（2）若直线l与曲线C有且只有一个公共点，求实数a的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C的参数方程为（α为参数，﹣≤α≤），利用cos2α+sin2α=1化为直角坐标方程，再利用ρ2=x2+y2，y=ρsinθ=0，可得极坐标方程（）．直线l的参数方程为（t为参数，a为常数），消去参数t可得直角坐标方程，利用极坐标与直角坐标互化公式即可化为极坐标方程．（2）将ρ=4sinθ（）代入ρcosθ﹣ρsinθ+a=0可得：，令，如图作出（）和y=2﹣a的图象，即可得出．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（α为参数，﹣≤α≤），化为直角坐标方程：x2+（y﹣2）2=4，展开可得：x2+y2﹣4y=0，化为极坐标方程：ρ2﹣4ρsinθ=0，即ρ=4sinθ（），直线l的参数方程为（t为参数，a为常数），消去参数t可得：y=a+x，化为极坐标方程：ρcosθ﹣ρsinθ+a=0．（2）将ρ=4sinθ（）代入ρcosθ﹣ρsinθ+a=0得：4sinθcosθ﹣4sinθsinθ+a=0，即，令，∵，则．如图作出（）和y=2﹣a的图象，由直线l与曲线C有且只有一个公共点，得或﹣2≤2﹣a＜2，即或0＜a≤4．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|+a（x2﹣2x），其中a≥0．（1）若a=0，求f（x）的最小值；（2）若存在实数x0，使得f（x0）=1，求实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值三角不等式，即可求f（x）的最小值；（2）求出f（x）的最小值，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|≥|（x﹣1）﹣（x﹣3）|=2，当且仅当1≤x≤3时f（x）取得最小值2．（2）设g（x）=|x﹣1|+|x﹣3|，h（x）=a（x2﹣2x），则h（x）=a（x﹣1）2﹣a，即当x=1时，h（x）取得最小值﹣a，由（1）知当1≤x≤3时，g（x）取最小值2，所以f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|+a（x2﹣2x）≥2﹣a（当x=1时取等号），所以1≥2﹣a，解得a≥1．2016年9月8日。

2016年河南省新乡市名校学术联盟高考数学押题卷（理科）（2）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合P={0，1，2}，若P∩（∁z Q）=∅，则集合Q可以为（）A．{x|x=2a，a∈P}B．{x|x=2a，a∈P}C．{x|x=a﹣1，a∈N} D．{x|x=a2，a∈N}2．已知i为虚数单位，是z的共轭复数，若（+i）（1﹣i）=1+3i，则|z|=（）A．2 B．C．1 D．3．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a2=，=21，则a8=（）A．32 B．32或﹣32 C．64 D．64或﹣644．将4名同学随机分成两组参加数学、英语竞赛，每组2人，则甲参加数学竞赛且乙参加英语竞赛的概率为（）A．B．C．D．5．已知点P是椭圆+y2=1上任一点，F为椭圆的右焦点，Q（3，0），且|PQ|=|PF|，则满足条件的点P的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．06．若tan2α=﹣，α∈（﹣，），则sinα+cosα等于（）A．﹣ B．C．D．7．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为2，则输出的结果是（）□A．9 B．8 C．7 D．68．已知函数f（x）=2cos（ωx+ω）+1在（0，）上是减函数，则ω的最大值为（）A．12 B．10 C．8 D．69．设A为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点，直线x=a与双曲线的一条渐近线交于点M，点M关于原点的对称点为N，若双曲线的离心率为，则∠M A N=（）A．120°B．135°C．150°D．105°10．已知点P（x，y）为平面区域内的一个动点，z=|x+y|，若对满足条件的任意点P都有z≤3，则k的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．（﹣∞，1]C．[0，3]D．（﹣∞，1]∪[3，+∞）11．在三棱锥A﹣BCD中，AB=，其余各棱长都为2，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．3πB．π C．6πD．π12．已知函数f（x）=，若函数f（x）在定义域上有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，+∞）B．[0，+∞）C．[﹣1，0] D．[﹣1，0）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数f（x）=lnx+的图象在点P（1，f（1））处的切线方程为_______．14．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为1的正方形，俯视图由两个边长为1的正方形组成，则此几何体的体积是_______．15．若二项式（x2+）6的展开式中的常数项为m，则（x2﹣2x）dx=_______．16．已知S n、T n分别为数列{a n}、{b n}的前n项和，a1=0，a2=2，2S n+1=•，若T n=，则b n=_______．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A=．（1）若b=2，△ABC的面积为3，求a的值；（2）若2c2﹣2a2=b2，求证：2sin（C﹣）=sinB．18．某大学生利用自己课余时间开了一间网店，为了了解店里某商品的盈利情况，该学生对这一商品20天的销量情况进行了统计，结果如下表所示：售价（单位：元）23 21 20日销量（单位：个）10 15 20频数 4 14 2已知此商品的进价为每个15元．（1）根据上表数据，求这20天的日平均利润；（2）若ξ表示销售该商品两天的利润和（单位：元），求ξ的分布列；（3）若销售该商品两天的利润和的期望值不低于178元，则可被评为创业先进个人，请计算该大学生能否被评为创业先进个人？19．如图，四边形ABCD为平行四边形，且SD=2，SC=DC=AS=AD=．平面ASD⊥平面SDC．（1）求证：SD⊥AC；（2）求二面角S﹣AB﹣D的余弦值．20．过抛物线y=ax2（a＞0）的焦点F作圆C：x2+y2﹣8y+15=0的切线，切点分别为M、N，已知直线MN：3y﹣11=0．（1）求实数a的值；（2）直线l经过点F，且与抛物线交于点A、B，若以AB为直径的圆与圆C相切，求直线l的方程．21．已知函数f（x）=的单调递减区间为（﹣∞，0）和（0，+∞）．（1）求实数b的值；（2）当x＞0时，有+f（e x）≥a+1成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]（共1题，共10分）22．如图，A、B、C、D、E在圆周上，且A B∥C E，A E∥BD，BD交C E于点F，过A 点的圆的切线交C E的延长线于P，若PE=CF=1，P A=2．（1）求A E的长；（2）求证：点F是BD的中点．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数，a为常数），曲线C的参数方程为（α为参数，﹣≤α≤），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出直线l与曲线C的极坐标方程；（2）若直线l与曲线C有且只有一个公共点，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|+a（x2﹣2x），其中a≥0．（1）若a=0，求f（x）的最小值；（2）若存在实数x0，使得f（x0）=1，求实数a的取值范围．2016年河南省新乡市名校学术联盟高考数学押题卷（理科）（2）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合P={0，1，2}，若P∩（∁z Q）=∅，则集合Q可以为（）A．{x|x=2a，a∈P}B．{x|x=2a，a∈P}C．{x|x=a﹣1，a∈N} D．{x|x=a2，a∈N}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先根据P={0，1，2}，分别求出A，B，C，D中的集合的元素，根据P∩（∁z Q）=∅，可判断答案．【解答】解：选项A={0，2，4}，选项B={1，2，4}，选项C={﹣1，0，1，2，…}，选项D={0，1，4，9，…}，因为P∩（∁z Q）=∅，所以P⊊Q，故集合Q可以为C，故选：C．2．已知i为虚数单位，是z的共轭复数，若（+i）（1﹣i）=1+3i，则|z|=（）A．2 B．C．1 D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知等式变形，得到，然后代入复数模的计算公式得答案．【解答】解：由（+i）（1﹣i）=1+3i，得，∴．故选：B．3．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a2=，=21，则a8=（）A．32 B．32或﹣32 C．64 D．64或﹣64【考点】等比数列的前n项和．【分析】对公比q分类讨论，利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：当q=1时，，显然不成立；当q≠1时，由，得，解得q2=4或q2=﹣5（舍去），∴．故选：A．4．将4名同学随机分成两组参加数学、英语竞赛，每组2人，则甲参加数学竞赛且乙参加英语竞赛的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】设其他两名同学为丙和丁，4人分组参赛分组的情况共有6种，甲参加数学竞赛且乙参加英语竞赛的情况占2种，由此能求出甲参加数学竞赛且乙参加英语竞赛的概率．【解答】解：设其他两名同学为丙和丁，4人分组参赛的所有情况如下表：竞赛 1 2 3 4 5 6数学甲乙甲丙甲丁乙丙乙丁丙丁英语丙丁乙丁乙丙甲丁甲丙甲乙分组的情况共有6种，甲参加数学竞赛且乙参加英语竞赛的情况占2种，所以甲参加数学竞赛且乙参加英语竞赛的概率是．故选：A．5．已知点P是椭圆+y2=1上任一点，F为椭圆的右焦点，Q（3，0），且|PQ|=|PF|，则满足条件的点P的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．0【考点】椭圆的简单性质．【分析】设P（x，y），又F（2，0），由，得2（x﹣2）2+2y2=（x﹣3）2+y2，化简与椭圆方程联立解出即可判断出结论．【解答】解：设P（x，y），又F（2，0），由，得2（x﹣2）2+2y2=（x﹣3）2+y2，即x2+y2﹣2x﹣1=0，由，化为：2x2﹣5x=0，解得x=0，x=（舍去）．∴，或，交点为（0，±1）．因此满足条件的点P的个数为2．故选：C．6．若tan2α=﹣，α∈（﹣，），则sinα+cosα等于（）A．﹣B．C．D．【考点】半角的三角函数．【分析】根据二倍角公式与同角的三角函数关系式，结合题意即可求出结果．【解答】解：∵，∴，即，∴；又由题意知，且，∴，∴；∴，结合得，．故选：B．7．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为2，则输出的结果是（）□A．9 B．8 C．7 D．6【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的n，S，i的值，当n=36，S=64时不满足判断框内的条件S≤n，退出循环，输出i的结果为7．【解答】解：模拟执行程序，可得：第一次循环：n=4，S=2，i=2；第二次循环：n=4，S=4，i=3；第三次循环：n=16，S=8，i=4；第四次循环：n=16，S=16，i=5；第五次循环：n=36，S=32，i=6；第六次循环：n=36，S=64，i=7．此时不满足判断框内的条件S≤n，退出循环，则输出i的结果为7．故选：C．8．已知函数f（x）=2cos（ωx+ω）+1在（0，）上是减函数，则ω的最大值为（）A．12 B．10 C．8 D．6【考点】余弦函数的图象．【分析】求出f（x）的减区间I，令（0，）⊂I，解得ω的范围，由ω得范围非空求出k的最大值，代入ω得范围得出ω的最大值．【解答】解：令2kπ≤ωx+ω≤2kπ+π，解得﹣≤x≤+﹣，令（0，）⊂[﹣， +﹣]，得﹣≤0且+﹣≥，解得8k≤ω≤．∴8k≤，解得k≤1．∴当k=1时，8≤ω≤8．即ω=8．故选C．9．设A为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点，直线x=a与双曲线的一条渐近线交于点M，点M关于原点的对称点为N，若双曲线的离心率为，则∠M A N=（）A．120°B．135°C．150°D．105°【考点】双曲线的简单性质．【分析】联立方程求出交点M的坐标，结合双曲线的离心率建立方程进行求解即可．【解答】解：不妨设直线x=a与渐近线交于点M，将x=a代入渐近线得M（a，b），则N（﹣a，﹣b）．由得3c2=7a2，由c2=a2+b2得3b2=4a2，又∵A（﹣a，0），∴，∴∠M A N=120°．故选：A10．已知点P（x，y）为平面区域内的一个动点，z=|x+y|，若对满足条件的任意点P都有z≤3，则k的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．（﹣∞，1]C．[0，3]D．（﹣∞，1]∪[3，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域令u=x+y，分别讨论k的取值范围，结合目标函数的几何意义进行求解即可．【解答】解：令u=x+y，则y=﹣x+u．当﹣1≤k＜2时（如图1），将y=2x与y=kx+1的交点，代入y=﹣x+u得，即k≤1，所以﹣1≤k≤1；当k＜﹣1时（如图2），z max=u max=1，满足题意；当k≥2时（如图3），区域为不封闭区域，不存在最大值．故k的取值范围是（﹣∞，1]．故选：B11．在三棱锥A﹣BCD中，AB=，其余各棱长都为2，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．3πB．π C．6πD．π【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意画出几何体的图形，推出四面体的外接球的球心的位置，求出球的半径，即可求出三棱锥外接球的表面积．【解答】解：取A B，CD的中点分别为E，O，连接EO，AO，BO，由题意知AO=BO=．又，所以AO⊥BO，EO=，易知三棱锥外接球的球心G在线段EO上，有R2=AE2+GE2，R2=CO2+GO2，∴R2=（）2+GE2，R2=12+（﹣GE）2，求得，所以其表面积为．故选：D．12．已知函数f（x）=，若函数f（x）在定义域上有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，+∞）B．[0，+∞）C．[﹣1，0] D．[﹣1，0）【考点】函数零点的判定定理；函数的图象．【分析】问题转化为y=﹣t2﹣4t和的交点问题，结合函数的图象求出a的范围即可．【解答】解：令x+1=t，则，在同一坐标系内作出y=﹣t2﹣4t和的图象，如图示：，显然若函数f（x）在定义域上有三个零点，有a+1∈[0，1），即a∈[﹣1，0），故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数f（x）=lnx+的图象在点P（1，f（1））处的切线方程为y=1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求出f′（x），令x=2，求出f′（2），得出f（x），求出f（1），斜率f'（1），利用点斜式方程求出切线方程．【解答】解：，所以，所以，即．f′（x）=﹣，又f（1）=1，斜率为f'（1）=0，所以切线方程为y=1．故答案为：y=1．14．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为1的正方形，俯视图由两个边长为1的正方形组成，则此几何体的体积是．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体是一个正方体的前边挨着一个横放的三棱柱（如图），【解答】解：由三视图可知该几何体是一个正方体的前边挨着一个横放的三棱柱（如图），故几何体的体积为：．故答案为：．15．若二项式（x2+）6的展开式中的常数项为m，则（x2﹣2x）dx=．【考点】二项式系数的性质；定积分．【分析】由二项式系数的性质求得m，代入（x2﹣2x）dx，写出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限后作差得答案．【解答】解：由=．令12﹣3r=0，得r=4．∴m==3．则（x2﹣2x）dx===．故答案为：．16．已知S n、T n分别为数列{a n}、{b n}的前n项和，a1=0，a2=2，2S n+1=•，若T n=，则b n=2n﹣1．【考点】数列递推式．=，由【分析】解法一：当n=1时，b1=T1=；当n≥2时，b n=T n﹣T n﹣1，代入值n=1，2，3，猜想即可得出．解法二：由和得，代入可得：，利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：解法一：当n=1时，；=，当n≥2时，b n=T n﹣T n﹣1由，代入值n=1，2，3，…，得出S3=6，a3=4；S4=12，a4=6；S5=20，a5=8．猜想S n=n（n﹣1），a n=2n﹣2，从而b n=2n﹣1．解法二：由和得，即，代入得：，即，由a1=0，a2=2得T1=1，T2=4，∴是以1为首项，1为公差的等差数列．即，，∴{b n}为等差数列，易解得b n=2n﹣1．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A=．（1）若b=2，△ABC的面积为3，求a的值；（2）若2c2﹣2a2=b2，求证：2sin（C﹣）=sinB．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）根据面积公式计算c，再利用余弦定理计算a．（2）利用正弦定理将边化角，使用和差化积公式化简即可得出结论．【解答】解：（1）在△ABC中，∵S△ABC=bcsinA==3，∴c=6．由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=4+36﹣12=28．∴a==2．（2）∵2c2﹣2a2=b2，∴2（c+a）（c﹣a）=b2，∴2（sinC+sinA）（sinC﹣sinA）=sin2B．∴2×2sin cos×2cos sin=sin2B．即2sin（A+C）sin（C﹣A）=sin2B．∵sin（A+C）=sinB≠0，∴2sin（C﹣A）=sinB，即2sin（C﹣）=sinB．18．某大学生利用自己课余时间开了一间网店，为了了解店里某商品的盈利情况，该学生对这一商品20天的销量情况进行了统计，结果如下表所示：售价（单位：元）23 21 20日销量（单位：个）10 15 20频数 4 14 2已知此商品的进价为每个15元．（1）根据上表数据，求这20天的日平均利润；（2）若ξ表示销售该商品两天的利润和（单位：元），求ξ的分布列；（3）若销售该商品两天的利润和的期望值不低于178元，则可被评为创业先进个人，请计算该大学生能否被评为创业先进个人？【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由题意知这20天的日平均利润为=89；（2）由题意知，ξ的取值有160，170，180，190，200；从而分别求概率即可；（3）求数学期望E（ξ）=160×+170×+180×+190×+200×=178即可．【解答】解：（1）由题意知，这20天的日平均利润为=89；故这20天的日平均利润为89元；（2）由题意知，ξ的取值有160，170，180，190，200；P（ξ=160）==，P（ξ=170）=，P（ξ=180）=，P（ξ=190）=，P（ξ=200）=，故ξ的分布列为：ξ160 170 180 190 200P（3）E（ξ）=160×+170×+180×+190×+200×=178；故该大学生可以被评为创业先进个人．19．如图，四边形ABCD为平行四边形，且SD=2，SC=DC=AS=AD=．平面ASD⊥平面SDC．（1）求证：SD⊥AC；（2）求二面角S﹣AB﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）取SD的中点O，连接OA，OC，证明SD⊥平面OAC，即可证明SD⊥AC；（2）求出S△ASB==1，S△ABD==，即可求二面角S﹣AB﹣D的余弦值【解答】（1）证明：取SD的中点O，连接OA，OC，则∵SC=DC=AS=AD=，∴AO⊥SD，CO⊥SD，∵AO∩CO=O，∴SD⊥平面OAC，∵AC⊂平面OAC，∴SD⊥AC；（2）解：连接BD，与AC交于E，连接SE，则∵SD=2，SC=DC=AS=AD=，∴AO=OC=1，∵AO⊥SD，平面ASD⊥平面SDC，平面ASD∩平面SDC=SD，∴AO⊥面SDC，∵CO⊂面SDC，∴AO⊥CO，∴AC=，∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD．∴cos∠DES==，∴SB==2，∴SA⊥SB，∴S△ASB==1，∵S△ABD==．∴二面角S﹣AB﹣D的余弦值为=．20．过抛物线y=ax2（a＞0）的焦点F作圆C：x2+y2﹣8y+15=0的切线，切点分别为M、N，已知直线MN：3y﹣11=0．（1）求实数a的值；（2）直线l经过点F，且与抛物线交于点A、B，若以AB为直径的圆与圆C相切，求直线l的方程．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，圆C的圆心与半径，利用射影定理，建立方程，即可求实数a的值；（2）根据对称性，结合以AB为直径的圆与圆C相切，求直线l的方程．【解答】解：（1）抛物线y=ax2（a＞0）的焦点F（0，），圆C：x2+y2﹣8y+15=0的圆心（0，4），半径为1，C到直线MN：3y﹣11=0的距离为，∴由射影定理可，12=，∴a=；（2）抛物线的标准方程为x2=4y，焦点F（0，1），y=1时，x=±2，∵圆C：x2+y2﹣8y+15=0的圆心（0，4），半径为1，∴以（0，1）为圆心，2为半径的圆与圆C相切，∴直线l的方程为y=1．21．已知函数f（x）=的单调递减区间为（﹣∞，0）和（0，+∞）．（1）求实数b的值；（2）当x＞0时，有+f（e x）≥a+1成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，得到x（x+2b）＞0的解集为（﹣∞，0）∪（0，+∞），所求出b=0即可；（2）求出函数的导数，问题转化为（1+ax）（1﹣e﹣x）≤x，设h（x）=（1+ax）（1﹣e﹣x）﹣x，（x＞0），根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（1）∵，∴，所以的解集为（﹣∞，0）∪（0，+∞），即x（x+2b）＞0的解集为（﹣∞，0）∪（0，+∞），所以b=0．（2）由（1）知，又，则，由x＞0时，1﹣e﹣x＞0，故a≥0．所以，即（1+ax）（1﹣e﹣x）≤x，设h（x）=（1+ax）（1﹣e﹣x）﹣x，（x＞0）则h'（x）=e﹣x（1+ax﹣a）+a﹣1=e﹣x[1+ax﹣a+（a﹣1）e x]（x＞0）．设g（x）=1+ax﹣a+（a﹣1）e x，（x＞0）则g'（x）=a+（a﹣1）e x，g'（0）=2a﹣1当2a﹣1≤0时，即时，g''（x）=（a﹣1）e x＜0，所以g'（x）=a+（a﹣1）e x单调递减，g'（x）=a+（a﹣1）e x＜g'（0）≤0，故g（x）单调递减，g（x）＜g（0）=0，所以h'（x）＜0恒成立，h（x）=（1+ax）（1﹣e﹣x）﹣x在（0，+∞）上单调递减，h（x）＜h（0）=0符合题意．当2a﹣1＞0时，即时，存在x0＞0，当x∈（0，x0）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，g（x）＞0，h'（x）＞0，h（x）在（0，x0）上单调递增，h（x）＞0，与h（x）≤0恒成立矛盾．所以实数a的取值范围是．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]（共1题，共10分）22．如图，A、B、C、D、E在圆周上，且A B∥C E，A E∥BD，BD交C E于点F，过A 点的圆的切线交C E的延长线于P，若PE=CF=1，P A=2．（1）求A E的长；（2）求证：点F是BD的中点．【考点】与圆有关的比例线段；弦切角．【分析】（1）利用△PAE∽△EB A，及切割线定理求AE的长；（2）利用相交弦定理证明BF=FD，即可证明点F是BD的中点．【解答】（1）解：∵PA2=PC•P E，PA=2，PE=1，∴PC=4，又∵P E=CF=1，∴EF=2，∵∠PA E=∠EB A，∠PE A=∠EA B，∴△PAE∽△EB A，∴，∴AE2=P E•A B=2，∴．（2）证明：∵，EF=2，而EF•FC=BF•FD，∴，∴BF=FD，∴点F是BD的中点．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数，a为常数），曲线C的参数方程为（α为参数，﹣≤α≤），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出直线l与曲线C的极坐标方程；（2）若直线l与曲线C有且只有一个公共点，求实数a的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C的参数方程为（α为参数，﹣≤α≤），利用cos2α+sin2α=1化为直角坐标方程，再利用ρ2=x2+y2，y=ρsinθ=0，可得极坐标方程（）．直线l的参数方程为（t为参数，a为常数），消去参数t可得直角坐标方程，利用极坐标与直角坐标互化公式即可化为极坐标方程．（2）将ρ=4sinθ（）代入ρcosθ﹣ρsinθ+a=0可得：，令，如图作出（）和y=2﹣a的图象，即可得出．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（α为参数，﹣≤α≤），化为直角坐标方程：x2+（y﹣2）2=4，展开可得：x2+y2﹣4y=0，化为极坐标方程：ρ2﹣4ρsinθ=0，即ρ=4sinθ（），直线l的参数方程为（t为参数，a为常数），消去参数t可得：y=a+x，化为极坐标方程：ρcosθ﹣ρsinθ+a=0．（2）将ρ=4sinθ（）代入ρcosθ﹣ρsinθ+a=0得：4sinθcosθ﹣4sinθsinθ+a=0，即，令，∵，则．如图作出（）和y=2﹣a的图象，由直线l与曲线C有且只有一个公共点，得或﹣2≤2﹣a＜2，即或0＜a≤4．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|+a（x2﹣2x），其中a≥0．（1）若a=0，求f（x）的最小值；（2）若存在实数x0，使得f（x0）=1，求实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值三角不等式，即可求f（x）的最小值；（2）求出f（x）的最小值，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|≥|（x﹣1）﹣（x﹣3）|=2，当且仅当1≤x≤3时f（x）取得最小值2．（2）设g（x）=|x﹣1|+|x﹣3|，h（x）=a（x2﹣2x），则h（x）=a（x﹣1）2﹣a，即当x=1时，h（x）取得最小值﹣a，由（1）知当1≤x≤3时，g（x）取最小值2，所以f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|+a（x2﹣2x）≥2﹣a（当x=1时取等号），所以1≥2﹣a，解得a≥1．2016年9月8日。