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第13讲二次函数的图象和性质考点1 二次函数的概念一般地，形如① (a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a、b、c分别为函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.【易错提示】二次函数的增减性一定要分在对称轴的左侧或右侧两种情况讨论.考点3 二次函数的图象与字母系数的关系考点4 确定二次函数的解析式【易错提示】(1)用顶点式代入顶点坐标时横坐标容易弄错符号；(2)所求的二次函数解析式最后要化成一般式.1.二次函数y=(x-h)2+k的图象平移时，主要看顶点坐标的变化，一般按照“横坐标加减左右移”、“纵坐标加减上下移”的方法进行.2.二次函数的图象由对称轴分开，在对称轴的同侧具有相同的性质，在顶点处有最大值或最小值，如果自变量的取值中不包含顶点，那么在取最大值或最小值时，要依据其增减性而定.3.求二次函数图象与x轴的交点的方法是令y=0解关于x的方程；求函数图象与y轴的交点的方法是令x=0得y的值，最后把所得的数值写成坐标的形式.命题点1 二次函数的图象和性质例1 (2013·内江)若抛物线y=x2-2x+c与y轴的交点坐标为(0，-3)，则下列说法不正确的是( )A.抛物线的开口向上B.抛物线的对称轴是直线x=1C.当x=1时，y的最大值为-4D.抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0)方法归纳：解答此类题首先将点坐标代入函数解析式，确定二次函数的各项系数.然后根据二次函数解析式、图象、性质的相互关系解题.1.(2014·毕节)抛物线y=2x2，y=-2x2,y=12x2的共同性质是( )A.开口向上B.对称轴是y轴C.都有最高点D.y随x的增大而增大2.(2013·泰安)对于抛物线y=-12(x+1)2+3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为(-1,3)；④x>1时，y随x的增大而减小.其中正确结论的个数为( )A.1B.2C.3D.43.(2014·白银)二次函数y=x2+bx+c，若b+c=0，则它的图象一定过点( )A.(-1，-1)B.(1，-1)C.(-1，1)D.(1，1)4.(2014·枣庄)已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：则该二次函数图象的对称轴为( )A.y轴B.直线x=52C.直线x=2D.直线x=32命题点2 二次函数的图象与字母系数的关系例2 (2014·南充)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③当m≠1时，a+b＞a m2+bm；④a-b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2.其中正确的有( )A.①②③B.②④C.②⑤D.②③⑤方法归纳：解答二次函数信息问题时，通常先抓住抛物线对称轴和顶点坐标，再依据图象与字母系数之间的关系特征来求解.1.(2013·长沙)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列关系式错误的是( )A.a＞0B.c＞0C.b2-4ac＞0D.a+b+c＞02.(2013·株洲)二次函数y=2x2+mx+8的图象如图所示，则m的值是( )A.-8B.8C.±8D.63.(2014·达州)如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x=1.①b2＞4ac；②4a-2b+c＜0；③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x≥3.5；④若(-2，y1),(5,y2)是抛物线上的两点，则y1＜y2.上述4个判断中，正确的是( )A.①②B.①④C.①③④D.②③④4.(2013·贵阳)已知二次函数y=x2+2mx+2，当x>2时，y的值随x的增大而增大，则实数m的取值范围是 . 命题点3 确定二次函数的解析式例3 (2014·宁波)如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(2,0)，B(0，-1)和C(4,5)三点.(1)求二次函数的解析式；(2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；(3)在同一坐标系中画出直线y=x+1,并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值？【思路点拨】(1)二次函数y=ax2+bx+c的图象过B(0，-1)，所以可得c=-1，故二次函数解析式为y=ax2+bx-1.将A、C两点坐标代入即可求得a、b.(2)令y=0，即可求得D点坐标；(3)利用描点连线画出y=x+1图象，利用图象决定x的取值范围.【解答】方法归纳：(1)待定系数法是求函数解析式的常用方法；(2)两函数图象的交点往往是不等关系的界点.1.若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，则抛物线的函数关系式为y= .2.(2013·湖州)已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3，0)，B(-1，0).(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线的顶点坐标.3.(2013·温州)如图，抛物线y=a(x-1)2+4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C.过点C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D，连接BD.已知点A的坐标为(-1,0).(1)求抛物线的解析式；(2)求梯形COBD的面积.1.(2014·维吾尔自治区)对于二次函数y=(x-1)2+2的图象，下列说法正确的是( )A.开口向下B.对称轴是x=-1C.顶点坐标是(1，2)D.与x轴有两个交点2.(2014·滨州)下列函数，图象经过原点的是( )A.y=3xB.y=1-2xC.y=4xD.y=x2-13.(2014·荆门)将抛物线y＝x2-6x＋5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是( )A.y＝(x-4)2-6B.y＝(x-4)2-2C.y＝(x-2)2-2D.y＝(x-1)2-34.(2014·金华)如图是二次函数y=-x2+2x+4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是( )A.-1≤x≤3B.x≤-1C.x≥1D.x≤-1或x≥35.(2014·陕西)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )A.c>-1B.b>0C.2a+b≠0D.9a+c>3b6.(2014·遵义)已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图所示，其中正确的是( )7.(2014·东营)若函数y=mx2+(m+2)x+12m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为( )A.0B.0或2C.2或-2D.0，2或-28.(2014·丽水)写出图象经过点(-1，1)的一个函数的解析式是 .9.(2014·云南)抛物线y=x2-2x+3的顶点坐标为 .10.如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(-1，0)，(1，-2)，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是 .11.(2014·扬州)如图，抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y轴的直线，若点P(4，0)在该抛物线上，则4a-2b+c的值为 .12.(2014·滨州)已知二次函数y=x2-4x+3.(1)用配方法求其函数图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而增减的情况；(2)求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积.13.(2013·泉州)已知抛物线y=a(x-3)2+2经过点(1，-2).(1)求a的值；(2)若点A(m，y1)，B(n，y2)(m＜n＜3)都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小.14.若二次函数y=ax2+bx+a2-2(a，b为常数)的图象如下，则a的值为( )C.1D.15.(2014·宁波)已知点A(a-2b，2-4ab)在抛物线y=x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为( )A.(-3,7)B.(-1,7)C.(-4,10)D.(0,10)16.(2014·淄博)已知二次函数y=a(x-h)2+k(a>0)，其图象过点A(0，2)，B(8，3)，则h的值可以是( )A.6B.5C.4D.317.(2014·威海)已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列说法：①c＝0；②该抛物线的对称轴是直线x＝-1；③当x＝1时，y＝2a；④am2+bm+a＞0(m≠-1).其中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.418.(2014·菏泽)如图，平行于x轴的直线AC分别交函数y1＝x2(x≥0)与y2＝23x(x≥0)的图象于B，C两点，过点C作y轴的平行线交y1的图象于点D，直线DE∥AC，交y2的图象于E，则DEAB＝ .19.(2013·潍坊)如图，抛物线y=ax 2+bx+c 关于直线x=1对称，与坐标轴交于A ，B ，C 三点，且AB=4，点D(2，32)在抛物线上，直线l 是一次函数y=kx-2(k ≠0)的图象，点O 是坐标原点.(1)求抛物线的解析式；(2)若直线l 平分四边形OBDC 的面积，求k 的值.20.(2013·宁夏)如图,抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，点A 的坐标为(2，0)，点C 的坐标为(0，3)，它的对称轴是直线x=-12.(1)求抛物线的解析式；(2)M 是线段AB 上的任意一点，当△MBC 为等腰三角形时，求M 点的坐标.参考答案 考点解读①y=ax 2+bx+c ②上 ③下 ④减小 ⑤增大 ⑥增大 ⑦减小 ⑧上 ⑨下 ⑩小⑪y ⑫左 ⑬右 ⑭原点 ⑮正 ⑯负 ○17唯一 ○18两个不同 ○19没有 ○20a+b+c ○21a-b+c ○22＞ ○23＜ ○24y=ax 2+bx+c ○25y=a(x-h)2+k ○26y=a(x-x 1)(x-x 2) ○27x ○28横 ○29＞ ○30＜ 各个击破例1 C题组训练 1.B 2.C 3.D 4.D 例2 D解析:∵图象开口向下，∴a<0.∵对称轴x=-2ba=1,∴b=-2a ，得b ＞0，2a+b=0.∵坐标轴与抛物线交点在y 轴正半轴，∴c>0，∴abc<0，故①错，②对；排除A;∵对称轴是x=1，∴y 最大值为a+b+c ，当x=m(m ≠1)时，y=am 2+bm+c ，可知a+b+c>am 2+bm+c ，故当m ≠1时，a+b ＞am 2+bm ，故③对，可得答案D. 题组训练 1.D 2.B 3.B 4.m ≥-2例3 (1)∵二次函数的图象过B(0，-1)，∴二次函数解析式为y=ax 2+bx-1.∵二次函数的图象过A(2,0)和C(4,5)两点，∴4210,1641 5.a b a b +-=⎧⎨+-=⎩解得1,21.2a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴y=12x 2-12x-1. (2)当y=0时，12x 2-12x-1=0，解得x=2或x=-1，∴D(-1,0).(3)如图，当-1＜x ＜4时一次函数的值大于二次函数的值.题组训练 1.-x 2+4x-32.(1)∵抛物线y=-x 2+bx+c 经过点A(3，0)，B(-1，0)， ∴930,10.b c b c -++=⎧⎨--+=⎩解得23.b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为y=-x 2+2x+3.(2)∵y=-x 2+2x+3=-(x-1)2+4， ∴抛物线的顶点坐标为(1，4).3.(1)把A(-1,0)代入y=a(x-1)2+4，得 0=4a+4，∴a=-1.∴y=-(x-1)2+4.(2)当x=0时，y=3，∴OC=3.∵抛物线y=-(x-1)2+4的对称轴是直线x=1，∴CD=1. ∵A(-1,0)，∴B(3,0)，∴OB=3.∴S 梯形COBD=()1332+⨯=6.整合集训1.C2.A3.B4.D5.D 提示：因为抛物线与y 轴的交点(0，c)在(0，-1)的下方，所以c ＜-1,所以选项A 错；对称轴为x=1，所以2ba=-1,所以b=-2a<0，2a+b=0，所以选项B 、C 错.6.D7.D8.答案不唯一，如：y=-x ，y=x 2等 9.(1,2) 10.x>1211.0 12.(1)y=x 2-4x+3=(x-2)2-1.∴其函数的顶点C 的坐标为(2，-1)， ∴当x<2时，y 随x 的增大而减小； 当x>2时，y 随x 的增大而增大.(2)令y=0，则x 2-4x+3=0,解得x 1=1,x 2=3. ∴当点A 在点B 左侧时，A(1，0)，B(3，0)； 当点A 在点B 右侧时，A(3，0)，B(1，0). ∴AB=|1-3|=2.过点C 作CD ⊥x 轴于D ，则 △ABC 的面积=12AB ·CD=12×2×1=1. 13.(1)∵抛物线y=a(x-3)2+2经过点(1，-2)， ∴a(1-3)2+2=-2.解得a=-1.(2)由(1)得a=-1＜0，抛物线的开口向下. ∵对称轴为x=3，∴在x ＜3时，y 随x 的增大而增大. 又∵m ＜n ＜3，∴y 1＜y 2. 14.D15.D 提示：由题意，得2-4ab=(a-2b)2+4(a-2b)+10，整理得(a+2)2+4(b-1)2=0,∴a=-2,b=1,∴点A(-4，10).又抛物线的对称轴为x=-2，∴点A 关于抛物线的对称轴对称的点的坐标为(0，10).16.D 提示：∵a>0,∴抛物线开口向上，对称轴为x=h ，当对称轴在A 、B 左侧时，h<0，此时4个选项都不满足.当对称轴位于A 、B 之间时，由二次函数的对称性知，A （0，2）到对称轴的距离比B （8，3）到对称轴的距离小，所以x=h<4，故选D.17.C 提示：①②④正确.18.19.(1)∵抛物线关于直线x=1对称，AB=4， ∴A(-1，0)，B(3，0).∴设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3). 又点D(2，32)在抛物线上， ∴32=a ·(2+1)·(2-3).解得a=-12. ∴y=-12(x+1)(x-3).即抛物线的解析式为y=-12x 2+x+32.▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌ ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓ (2)由(1)知C(0，32).∵D(2,32),∴CD ∥AB. 令kx-2=32，得l 与CD 的交点F(72k ，32). 令kx-2=0，得l 与x 轴的交点E(2k ，0). 由S 四边形OEFC =S 四边形EBDF ，得OE+CF=DF+BE. 即2k +72k =(3-2k )+(2-72k ).解得k=115. 20.(1)依题意，设抛物线的解析式为y=a(x+12)2+k. 由A(2，0)，C(0，3)得250,41 3.4a k a k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得1225.8a k ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线的解析式为y=-12(x+12)2+258. (2)当y=0时，有-12(x+12)2+258=0. 解得x 1=2，x 2=-3.∴B(-3,0).∵△MBC 为等腰三角形，则①当BC=CM 时，M 在线段BA 的延长线上，不符合题意.即此时点M 不存在； ②当CM=BM 时，∵M 在线段AB 上，∴M 点在原点O 上.即M 点坐标为(0,0)；③当BC=BM 时，在Rt △BOC 中,BO=CO=3,由勾股定理得，∴∴M 点坐标为综上所述，M 点的坐标为(0,0)或。
