【全国市级联考word】四川省成都市2017届高中毕业班第三次诊断检测数学(理)试题(原卷版)

成都市2017届高中毕业班第三次诊断性检测数学（理工农医类）本试卷分选择题和非选择题两部分。

第I 卷(选择题)1至2页，第∏卷(非选择题)3至 4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1. 答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2. 答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3. 答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5. 考试结束后，只将答题卡交回。

第I 卷(选择题，共60分）参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A ，B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ， 343V R π=那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()()()1,0,1,2,,n k k k n n P k C p k k n -=-=一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分)在每小题给出的四个选项中，有 且只有一项是符合题目要求的.(1) 已知等差数列{αn }中，a 3= 2，a 6 = - 4，则该数列的公差D = (A)3 (B)2 (C)-3 (D)-2(2) 复数（i 是虚数单位)的虚部为 (A)O (B)I (C)1 (D)2i(3)若抛物线上一点M 到其焦点的距离为3，则M 到直线x = — 2的距离为 (A)5 (B)3 (C)2 (D)4(4) 设y =f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x 〉0时，f(x)=-x 2，则y =f(x)的反函 数的大致图象是(5) 为了得到函数的图象，只需把函数的图象(A)按向量a=平移 (B)按向量a=平移(C)按向量a=平移（D)按向量a=平移(6) 已知l、m、n是三条不同的直线，是两个不同的平面，且，则下列命题中正确的是(A) (B)(C) (D)(7) 已知随机变量服从标准正态分布N(0，1)，以表示标准正态总体在区间内取值的概率，即，则下列结论不正确的是(A) (B)(C) (D)(8) 某校开设A类选修课4门，B类选修课5门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，且A类中的甲门课和β类中的乙门课不能同时选，则不同的选法共有(A)60种（B)63种（C)70种（D)76种(9) 某工厂用U、T两种型号的配件生产甲、乙两种产品.每生产一个甲产品使用4个U型配件，耗时1小时，获利1万元;每生产一个乙产品使用4个T型配件，耗时2小时，获利4万元.已知该厂每天工作不超过8小时，且一天最多可以从配件厂获得20个U型配件和12个T型配件，如果该厂想获利最大，则一天的生产安排应是(A)生产甲产品2个，乙产品3个（B)生产甲产品3个，乙产品2个(C)生产甲产品3个，乙产品3个（D)生产甲产品4个，乙产品3个(10) 已知ΔABC中，AB=l，AC=3，若O是该三角形内的一点，满足，，则等于(A) (B)3 (C)4 （D)y(11) 小张和小王两位同学课余玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”:有3个柱子甲、乙、丙，甲柱上有个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上(如图).把这〃个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束，在移动过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下.设游戏结束需要移动的最少次数为αn，则当n>3时，a n和a n+1满足(A) (B)(C) (D)(12) 设x是实数，定义[x]为不大于x的最大整数，如[2.3] = 2，[-2. 3] = - 3.已知函数，若方程的解集为M，方程的解集为N ，则集合中的所有元素之和为(A)-1 (B)O (C)1 (D)2第II卷(非选择题，共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题4分,共16分.答案填在答题卡上.(13) 的二项展开式中x的系数是_______.(14) 已知正三棱柱ABC—A1B1C1的顶点都在一个球面上，且，AA1=2，则这个球的体积为_______.(15) 已知双曲线C:(a>0，b>0)，F1 F2分别为其左,右焦点，若其右支上存在点P 满足=e(e为双曲线C的离心率），则E的最大值为_______.(16) 设函数f(x)和g(x)都在区间[a，b]上连续，在区间（a，b)内可导，且其导函数和在区间(a，b)内可导，常数.有下列命题:①过点作曲线y=f(x)的切线l，则切线L的方程是；②若M为常数，则;③若，若(A为常数），则；④若函数在包含x0的某个开区间内单调，则其中你认为正确的所有命题的序号是________.三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17) (本小题满分12分）已知锐角ΔABC的内角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，且a=4，A=.(I)设，若f(B) = -l，求tanC的值；(II)若，求ΔABC的面积.(18)(本小题满分12分）天府新区的战略定位是以城乡一体化、全面现代化、充分国际化为引领，并以现代制造业为主、高端服务业集聚、宜业宜商宜居的国际化现代新城区.为了提高企业竞争力以便在天府新区的建设中抢占商机，成都某制造商欲对厂内工人生产某种产品的能力进行调査，然后组织新的业务培训.承担调查的部门随机抽査了 20个工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[20，25)，[25，30)，[30，35)， [35，40)，[40，45]，频率分布直方图如图所示.(I)求图中A的值，并求被抽查的工人中生产的产品数量在[30，35)之间的人数；(II)若制造商想从这次抽査到的20个工人中随机选取3人进行再培训，记选取的3人中来自生产的产品数量在[30，35)之间的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.(19) (本小题满分12分）在如图所示的多面体中，AβEF为等腰梯形，AB//EF，矩形ABCD所在平面与平面ABEF垂直.已知M是AB的中点，AB=2，MF=EF=l，且直线ED和平面ABEF所成的角是30°.(I)求证:AF丄平面CBF;(III)求点B到平面AFC的距离.(20) (本小题满分12分）已知各项均为正数的数列{a n}满足：.(I)若，求数列{b n}的通项公式；(II)设数列的前n项的和为S n ，求的值.(21) (本小题满分12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率，且椭圆C经过点P(2，3).设F1是椭圆C的左焦点，A、B是椭圆C 上的两点，且.(I)求椭圆C的方程；(II)若，求的值；(III)若，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G ，求的面积S的取值范围.(22) (本小题满分14分）已知函数，定义在正整数集上的函数g(x)满足：0<g(1)<l，(I)求函数f(x)的单调区间；(II)证明:对任意，不等式0<g(x)<l都成立；(III)是否存在正整数K，使得当x>K时，都有？请说明理由.。

10 1 1 911 0 2 5 5 612 6 813 714 28 19 3 62017年成都市高三三诊考试数学试题（文理）理科：（1）设集合{0,1}A =，{|(2)(1)<0,}B x x x x =+-∈Z ，则A B = B （A ）{2,1,0,1}-- （B ）{1,0,1}- （C ） {0,1} （D ）{0} 文科：（1）设集合{0,1}A =，2{|2=0}B x x x =+-，则A B = C（A ）∅ （B ）{1} （C ）{2,0,1}- （D ）{1,0,1,2}- （2）已知复数126i z =+，22i z =-.若12z z ，在复平面内对应的点分别为,A B ，线段AB 的中点C 对应的复数为z ，则z = A（A（B ）5 （C）（D）（3）在等比数列{}n a 中，1=2a ，公比2q =.若1234m a a a a a =（*m ∈N ），则m = B （A ）11 （B ）10 （C ）9 （D ）8 （4）AQI 是表示空气质量的指数，AQI 指数值 越小，表明空气质量越好，当AQI 指数值不大 于100时称空气质量为“优良”. 如图是某地 4月1日到12日AQI 指数值的统计数据，图中 点A 表示4月1日的AQI 指数值为201.则下列 叙述不正确的是C（A ）这12天中有6天空气质量为“优良” （B ）这12天中空气质量最好的是4月9日 （C ）这12天的AQI 指数值的中位数是90 （D ）从4日到9日，空气质量越来越好 文科：（5）已知平面向量(2,3)=-a ，(1,2)=b ，向量+λa b 与b 垂直，则实数λ的值为 D（A ）413 （B ）413- （C ）54 （D ）54- 理科：（5）、文科：（6）已知双曲线2222:1(0x y C a a b-=>，0)b >，直线l ：22y x =-.若直线l 平行于双曲线C 的一条渐近线且经过C 的一个顶点，则双曲线C 的焦点到渐近线的距离为 B（A ）1 （B ）2 （C理科：（6）、文科：（7）高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1.执行图2所示的程序框图，若 输入的(1,2,,15)i a i = 分别为这15名学生的考试成绩， 则输出的结果为 D（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9 A日期AQI 指数值6433图1 图2理科：（7）已知22={(,)|+A x y x y ≤2}π，B 是曲线sin y x =与x 轴围成的封闭区域.若向区域A 内随机投入一点M ，则点M 落入区域B 的概率为 D （A ）2π （B ）4π （C ）32π （D ）34π（8）在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角 形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且AB BC CD ==，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为 A（A ）12 （B ）12- （C（D）理科：（9）已知抛物线2:(0)C y mx m =>的焦点为F ，点(0,A .若射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点D ，且 :1:2FM MD =，则点M 的纵坐标为 D（A ）13- （B）3- （C ）23- （D）3-文科：（9）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F，点(0,A .若线段FA 与抛物线C 相交于点M ，则=MF A（A ）43 （B（C ）23 （D理科：（10）已知函数2()2cos 22f x x =-.给出下列命题：①β∃∈R ，()f x β+为奇函数；②3(0,)4απ∃∈，()(2)f x f x α=+对x ∈R 恒成立；③12,x x ∀∈R ，若12()()2f x f x -=，则12min 4x x π-=；④12,x x ∀∈R ，若12()=()=0f x f x ，则12=x x k -π（k ∈Z ）.其中的真命题有 C（A ）①②（B ）③④（C ）②③ （D ）①④文科：（10）已知函数2()2cos 22f x x =-.给出下列命题：①函数()f x 的值域为[2,0]-；②8x π=为函数()f x 的一条对称轴.；③β∃∈R ，()f x β+为奇函数；④3(0,)4απ∃∈，()(2)f x f x α=+对x ∈R 恒成立.其中的真命题有 D（A ）①② （B ）③④ （C ）②③ （D ）①④（11）如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 C （A ）27π （B ）48π （C ）64π （D ）81πABD理科：（12）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若113m S -=，0m S =，+115m S =-，其中*m ∈N 且m ≥2.则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和的最大值为 D（A ）1143 （B ）24143 （C ）2413 （D ）613文科：（12）在递减等差数列{}n a 中，21324a a a =-.若113a =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和的最大值为 D （A ）24143 （B ）1143 （C ）2413 （D ）613理科：（13）6的展开式中，常数项为__________.（用数字作答）160- 文科：（13）若210x=，则2log 5x -的值为__________.1（14）若变量x 、y 满足约束条件0+3003x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤≤⎩，则3z x y =-的最小值为__________.3-理科：（15）从甲、乙等8名志愿者中选５人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天．若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为_________．（用数字作答）5040 文科：（15）已知函数32()3f x x bx cx =+++，其中,b c ∈R .若曲线()x f y =在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y +=，则(2)f =_________． -1 理科：（16）如图，计划将一块半径为2的半圆形纸板切割成 等腰梯形的形状，下底AB 是半圆的直径，上底CD 的端点在 半圆上，则所得梯形的最大面积为________．文科：（16）如图，计划将一块半径为2的半圆形纸板切割成 等腰梯形的形状，下底AB 是半圆的直径，上底CD 的端点在半圆上，则所得梯形的周长的最大值为________．10（17）（本小题满分12分）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos c a b A -=.（Ⅰ）求角B 的大小； 3B π= （理科）（Ⅱ）若b ，求a c +的最大值．AA（文科）（Ⅱ）若=2a，b c 的长．3 （18）（本小题满分12分）（理科）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形， 60=∠BAD ，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，2DE =．M 为线段BF 上一点，且DM ⊥平面ACE .（Ⅰ）求BM 的长； 1（Ⅱ）求二面角A DM B --的余弦值的大小. 14（文科）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形， 60=∠BAD ，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，2DE =，M 为线段BF 的中点．（Ⅰ）求三棱锥M CDE -（Ⅱ）求证：DM ⊥平面ACE .（19）（本小题满分12分）几个月前，成都街头开始兴起“mobike ”、“ofo ”等共享单车，这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题．然而，这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题．比如，乱停乱放或将共享单车占为“私有”等．为此，某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如下表：（Ⅰ）由以上统计数据填写下面的2×2列联表；能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系？ 238k .≈没有关系FBCEADMFB CEA DM（理科）（Ⅱ）若对年龄在[15,20)，[20,25)的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人中支持发展共享单车的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望．4915（文科）（Ⅱ）若对年龄在[15,20)的被调查人中随机选取两人进行调查，求恰好这两人都支持发展共享单车的概率. 35参考数据：参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.（20）（本小题满分12分）（理科）已知圆C ：22(1)8x y ++=，点(1,0)A ，P 是圆C 上任意一点，线段AP 的垂直平分线交CP 于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹为曲线E ．（Ⅰ）求曲线E 的方程；2212x y += （Ⅱ）若直线:l y kx m =+与曲线E 相交于,M N 两点，O 为坐标原点，求MON ∆面积的最大值．2（文科）已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆E 的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆E 上任意一点到两个焦点的距离之和为（Ⅰ）求椭圆E 的方程；2212x y += （Ⅱ）若直线:2l y x m =+与椭圆E 相交于,M N 两点，求MO N ∆面积的最大值．2（21）（本小题满分12分）（理科）已知函数()ln 1af x x x=+-，. （Ⅰ）若关于x 的不等式()f x ≤112x -在[)1,+∞上恒成立，求a 的取值范围；（Ⅱ）设函数()()f x g x x=，若()g x 在2[1,e ]上存在极值，求a 的取值范围，并判断极值的正负.（文科）已知函数()ln 1af x x x=+-，. （Ⅰ）若关于x 的不等式()1f x x >-+在[)1,+∞上恒成立，求a 的取值范围； （Ⅱ）设函数()()f x g x x=，在（Ⅰ）的条件下，试判断()g x 在2[1,e ]上是否存在极值.若存在，判断极值的正负；若不存在，请说明理由．（22）（本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程为2ρ=，在以极点为直角坐标原点O ，极轴为x 轴的正半轴建立的平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）. （Ⅰ）写出直线l 的普通方程与曲线C的直角坐标方程；y x =+224x y +=（Ⅱ）在平面直角坐标系中，设曲线C 经过伸缩变换1:2x xy yϕ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩得到曲线C '，若(,)M x y 为曲线C '上任意一点，求点M 到直线l（23）（本小题满分10分）已知()f x x a =-，a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求不等式()25f x x +-≥6的解集；{|x x ≤0或x ≥4}. （Ⅱ）若函数()()3g x f x x =--的值域为A ，且[1,2]A -⊆，求a 的取值范围．(][),15,-∞+∞a ∈R a ∈R成都市高2014级三诊考试数学试题答案（理科）1.B ；2.A ；3. B ；4.C ；5.B ；6. D ；7.D ；8.A ；9.D ； 10.C ； 11.C ； 12.D.13. 160-； 14. 3-； 15.5040; 16.（文科）1.C ；2.A ；3. B ；4.C ；5. D ；6. B ；7.D ；8.A ；9.A ； 10. D ； 11.C ； 12.D.13. 1； 14. 3-； 15.1-; 16. 10.（理科）17.解：（Ⅰ）由已知及正弦定理，得2sin sin 2sin cos C A B A -=.…………………2分 ∵180()C A B =-+，∴2sin()sin 2sin cos A B A B A +-=.化简，得sin (2cos 1)0A B ⋅-=. …………………4分 ∵sin 0A ≠，∴1cos 2B =. ∵0B <<π，∴3B π=. …………………6分 （Ⅱ）由已知及余弦定理，得2212a c ac +-=. …………………8分 即2()312a c ac +-=. …………………9分 ∵0,0a c >> ， ∴22()3()2a c a c ++-≤12，即2()a c +≤48. …………………11分∴a c +≤a c == .∴a c +的最大值为 …………………12分 （文科）17.解：（Ⅰ）由已知及正弦定理，得2sin sin 2sin cos C A B A -=.…………………2分 ∵180()C A B =-+，∴2sin()sin 2sin cos A B A B A +-=.化简，得sin (2cos 1)0A B ⋅-=. …………………5分 ∵sin 0A ≠，∴1cos 2B =. ∵0B <<π，∴3B π=. …………………7分 （Ⅱ）由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-.已知=2a，b 2742c c =+-，即2230c c --=. ………………10分解得3c =或1c =-（不合题意，舍去）.∴c 的长为3. ………………12分 （理科）18.解：（I ） 底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，∴A C B D⊥，且AC =2BD =. ················1分 四边形BDEF 是矩形，∴DE BD ⊥.平面BDEF ⊥平面ABCD ，且交线为BD ，∴DE ⊥平面ABCD ，AC ⊥平面BDEF . ···················3分 记AC BD O = .取EF 中点H ，则OH DE .OH ∴⊥平面ABCD .如图，以O 为原点，分别以,,OB OC OH的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立坐标系 Oxyz . ·················4分 由题意，得(1,0,0)B，C ，(1,0,0)D -，(0,,0)A ，(1,0,2)E -，(1,0,2)F .(0,3,0)AC ∴=，(1AE =-. M 为BF 上一点，设(1,0,)(0M t ≤t ≤2). ···················5分(2,0,)D M t∴=. DM ⊥ 平面ACE ，DM AE ⊥. ∴2020.DM AE t ⋅=-++=解得1t =.zO(1,0,1)M ∴.1BM ∴=. ··················7分 （II ）由（I ），可知AC ⊥平面BDEF .AC ∴⊥平面DMB .(,0)AD =-，(1AM =. 设平面ADM 的法向量为(,,)x y z =n .由00AD x AM x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩n n ，取1y =，则,=-n . ······9分∵1cos ,4||||AC AC AC ⋅<>===n n n ， ∴二面角A DM B --的余弦值为14. ············12分 （文科）18.解：（I ）如图，记AC BD O = .底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒， ∴AC BD ⊥，且AC =2BD =. ········1分 四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ， ∴DE ⊥平面ABCD ，AC ⊥平面BDEF . ·········3分 2DE =，M 为线段BF 的中点， ∴12222DEM S ∆=⨯⨯=. ·········4分∴11233M CDE C DEM DEMV V S OC --∆==⋅=⨯=. ·········6分 （II ）由（I ），可知AC ⊥平面BDEF .∴A C D M ⊥. ··················7分 则在正方形BDEF 中，1tan 2BDM ∠=，tan 2DOE ∠=. 90BDM DOE ∴∠+∠=︒. O E D M ∴⊥. ·················10分A C O E O = ，且AC ，OE ⊆平面ACE ， DM ∴⊥平面ACE . ·················12分19.解：（IFBCEADMO…………………………2分 根据22⨯列联表中的数据，得到2K 的观测值为()()()()()2503051052382706301055305105k ..⨯-⨯=≈<++++. ……………5分∴在犯错误的概率不超过0.1的前提下，年龄与是否支持发展共享单车没有关系. ……………6分 （理科）（II ）由题意，年龄在[15,20)的5个受访人中，有4人支持发展共享单车；年龄在[20,25)的6个受访人中，有5人支持发展共享单车. ∴随机变量X 的所有可能取值为2,3,4. ………………7分∵114522562(2)15C C P X C C ===，1221454522567(3)15C C C C P X C C +===，6(4)15P X ==， ∴随机变量X…………………10分 ∴随机变量X 的数学期望()2764923415151515E X =⨯+⨯+⨯=.……………12分 （文科）（II ）“对年龄在[15,20)的被调查人中随机选取两人进行调查，恰好这两人都支持发展 共享单车” 记为事件A ， ………………7分 对年龄在[15,20)的5个受访人中，有4人支持，1人不支持发展共享单车，分别记为1234,,,,A A A A B . 则从这5人中随机抽取2人的基本事件为：12{,}A A ，13{,}A A ，14{,}A A ，1{,}A B ， 23{,}A A ，24{,}A A ，2{,}A B ， 34{,}A A ，3{,}A B ，4{,}A B . 共10个. ………………………9分其中，恰好抽取的两人都支持发展共享单车的基本事件包含12{,}A A ，13{,}A A ，14{,}A A ，23{,}A A ，24{,}A A ，34{,}A A . 共6个. ………………………10分63()105P A ==. ∴对年龄在[15,20)的被调查人中随机选取两人进行调查，恰好这两人都支持发展共享单车的概率是35. …………………………12分（理科）20.解：（Ⅰ）∵点Q 在线段AP 的垂直平分线上，∴AQ PQ =.又CP CQ QP =+=2CQ QR CA +=>=. ………………2分∴曲线E 是以坐标原点为中心，(1,0)C -和(1,0)A为焦点，长轴长为. …………………3分设曲线E 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>.∵1c =，a =2211b =-=. …………………4分∴曲线E 的方程为2212x y +=. ……………………5分 （Ⅱ）设11(,)M x y ，22(,)N x y .联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得222(12)4220k x kmx m +++-=. 此时有2216880k m ∆=-+>.由一元二次方程根与系数的关系，得122412kmx x k -+=+, 21222212m x x k -=+. …………6分∴||MN ==………7分∵原点O 到直线l的距离d =， …………………………………8分∴ ||2MON S MN d ∆=⋅= 由0∆>，得22210k m -+>.又∵0m ≠，∴据基本不等式，得MON S ∆≤2222+(21)122m k m k -+⋅+=2当且仅当2221=2k m +时，不等式取等号. ………………………………………11分∴MON ∆面积的最大值为2． …………………………………12分 （文科）20.解：（Ⅰ）由已知，设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>.∵椭圆E 的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，∴b c =. ………………2分又2a =，∴a =………………3分由222a b c =+，得21b =. ………………4分∴椭圆E 的方程为2212x y +=. ………………5分 （Ⅱ）设11(,)M x y ，22(,)N x y .联立22212y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得2298220x mx m ++-=. 此时有27280m ∆=->.由一元二次方程根与系数的关系，得1298mx x -+=，212292m x x -=. ………… 6分∴||MN == ……… 7分 ∵原点O 到直线l的距离d =， ………8分∴||2MON S MN d ∆=⋅= 由0∆>，得290m ->. 又∵0m ≠，∴据基本不等式，得MON S ∆≤22+(9)92m m -=2. ………11分 当且仅当29=2m 时，不等式取等号.∴MON ∆面积的最大值为2． ………12分（理科）21.解：（Ⅰ）由 ()f x ≤112x -，得ln 1ax x +-≤112x -..即a ≤21ln 2x x x -+在[1,)+∞上恒成立. ……………… 1分 设函数21()ln 2m x x x x =-+，x ≥1.则 ()ln 1m x x x '=-+-. ………………2分 设()ln 1n x x x =-+-.则1()1n x x'=-+，易知当x ≥1时，()n x '≥0. ∴()n x 在[1,)+∞上单调递增，且()n x ≥(1)0n =. 即()m x '≥(1)0m '=对[1,)x ∈+∞恒成立. ∴()m x 在[1,)+∞上单调递增.∴当[1,)x ∈+∞时，()m x ≥min 1()(1)2m x m ==. ∴a ≤12，即a 的取值范围是1]2∞(-，. …………… 4分 （Ⅱ）2ln 1()x a g x x x x=+-，2[1,e ].x ∈ ∴22331ln 122ln 2().x a x x x ag x x x x x ---'=+-= 设()2ln 2h x x x x a =--，则()2(1ln )1ln .h x x x '=-+=- 由()0h x '=，得e x =.当1≤e x <时，()0h x '>；当e x <≤2e 时，()0h x '<.∴()h x 在[1,e)上单调递增，在(2e,e ⎤⎦上单调递减.且(1)22h a =-，(e)e 2h a =-，2(e )2h a =-. ………………5分 显然 2(1)(e )h h >.结合函数图象可知，若()g x 在2[1,e ]上存在极值， 则(e)0(1)0h h >⎧⎨<⎩或2(1)0(e )0h h ≥⎧⎨<⎩. ………………7分 （ⅰ）当(e)0(1)0h h >⎧⎨<⎩，即e12a <<时，则必定212,[1,e ]x x ∃∈，使得12()()0h x h x ==，且2121e e .x x <<<<当x 变化时，(),(),()h x g x g x '的变化情况如下表：∴当e 12a <<时，()g x 在2[1,e ]上的极值为1()g x ，2()g x ，且12()()g x g x <. ∵11111221111ln ln 1().x x x x aa g x x x x x -+=+-= 设()ln x x x x a ϕ=-+，其中e12a <<，1≤ e.x < ∵()ln 0x x ϕ'=>，∴()x ϕ在(1,e)上单调递增，()x ϕ≥(1)10a ϕ=->，当且仅当1x =时取等号.∵11e x <<，∴1()0g x >. ∴当e 12a <<时，()g x 在2[1,e ]上的极值21()()0g x g x >>. ………………10分 （ⅱ）当2(1)0(e )0h h ≥⎧⎨<⎩，即0a <≤1时，则必定23(1,e )x ∃∈，使得3()0.h x =易知()g x 在3(1,)x 上单调递增，在()23,e x 上单调递减.此时，()g x 在2[1,e ]上的极大值是3()g x ，且2234e ()(e )0ea g x g +>=>. ∴当0a <≤1时，()g x 在2[1,e ]上的极值为正数. ………………12分 综上所述：当e 02a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()g x 在2[1,e ]上存在极值，且极值都为正数.注：也可由()0g x '=，得22ln a x x x =-.设函数()2ln h x x x x =-后再研究()g x 在2[1,e ]上的极值问题.（文科）21.解：（Ⅰ）由 ()1f x x >-+，得ln 11ax x x+->-+. 即2ln 2a x x x x >--+在[1,)+∞上恒成立. ……………… 1分设函数2()ln 2m x x x x x =--+，x ≥1.则 ()ln 21m x x x '=--+. ………………2分 ∵[1,)x ∈+∞，∴ln x -≤0，210x -+<.∴当[1,)x ∈+∞时，()ln 210m x x x '=--+<.∴()m x 在[1,)+∞上单调递减. ……………… 3分 ∴[1,)x ∈+∞时，()m x ≤(1)1m =.∴1a >，即a 的取值范围是()1,+∞. ……………… 4分 （Ⅱ）2ln 1()x ag x x x x=-+，2[1,e ].x ∈ ∴22331ln 122ln 2().x a x x x ag x x x x x ---'=+-= ………………5分 设()2ln 2h x x x x a =--，则()2(1ln )1ln .h x x x '=-+=- 由()0h x '=，得e x =.当1≤e x <时，()0h x '>；当e x <≤2e 时，()0h x '<. ∴()h x 在[1,e)上单调递增，在(2e,e ⎤⎦上单调递减.且(1)22h a =-，(e)e 2h a =-，2(e )2h a =-.据（Ⅰ）可知，2(e )(1)0h h <<. ………………8分 （ⅰ）当(e)e 2h a =-≤0，即a ≥e2时，()h x ≤0即()g x '≤0. ∴()g x 在2[1,e ]上单调递减. ∴当a ≥e 2时，()g x 在2[1,e ]上不存在极值. ………………9分 （ⅱ）当(e)0h >，即e12a <<时，则必定212,[1,e ]x x ∃∈，使得12()()0h x h x ==，且2121e e .x x <<<<………10分当x 变化时，(),(),()h x g x g x '的变化情况如下表：∴当e 12a <<时，()g x 在2[1,e ]上的极值为1()g x ，2()g x ，且12()()g x g x <. ∵11111221111ln ln 1().x x x x aa g x x x x x -+=+-= 设()ln x x x x a ϕ=-+，其中e12a <<，1≤ e.x < ∵()ln 0x x ϕ'=>，∴()x ϕ在(1,e)上单调递增，()x ϕ≥(1)10a ϕ=->，当且仅当1x =时取等号.∵11e x <<，∴1()0g x >.∴当e 12a <<时，()g x 在2[1,e ]上的极值21()()0g x g x >>.………………12分 综上所述：当a ≥e 2时，()g x 在2[1,e ]上不存在极值；当e 12a <<时，()g x 在2[1,e ]上存在极值，且两个极值12()()g x g x ，均为正．注：也可由()0g x '=，得22ln a x x x =-.设函数()2ln h x x x x =-后再研究()g x 在2[1,e ]上的极值问题. 22.解：（Ⅰ）由22x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去参数t，得到y x =+ 即直线l的普通方程为0x y -+=. ……………………………………2分 ∵cos ,sin x y ρθρθ==，∴2224x y ρ+==.即曲线C 的直角坐标方程为224x y +=. ……………………………………5分（Ⅱ）由12x xy y ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩，得2x x y y '=⎧⎨'=⎩. 代入方程224x y +=，得2214y x ''+=. ……………………………7分 已知(,)M x y 为曲线C '上任意一点，故可设(cos ,2sin ),M αα其中α为参数. 则点Md ==，其中tan 2.β=∴点M 到直线l= ……………………………10分23.解：（Ⅰ）当1a =时，不等式即为125x x -+-≥6.当x ≤1时，不等式可化为()()125x x ----≥6，∴x ≤0； ………………1分 当512x <<时，不等式可化为()()125x x ---≥6， x ∴∈∅； ………………2分 当x ≥52时，不等式可化为()()125x x -+-≥6，∴x ≥4. .………………3分 综上所述：原不等式的解集为{|x x ≤0或x ≥4}. ………………5分 （Ⅱ）∵()33f x x x a x --=---≤3=3x a x a ----（）， ∴ ()333,3f x x x a x a a --=---∈⎡---⎤⎣⎦.∴函数()g x 的值域=3,3A a a ⎡---⎤⎣⎦. ………………7分[1,2]A -⊆ ，3132a a ⎧--≤-⎪∴⎨-≥⎪⎩. ………………8分解得 a ≤1或a ≥5.∴a 的取值范围是(][),15,-∞+∞ ． ………………10分。

试卷第1页，共7页绝密★启用前【全国校级联考】四川省大教育联盟2017届高中毕业班第三次诊断性考试数学（文）试题试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：69分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、设直角坐标平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于2的点的轨迹是.过点作与轴垂直的直线与曲线交于，两点，则（ ）A ．B ．C ．3D ．92、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就.书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（单位：）,则该阳马的外接球的体积为（ ）试卷第2页，共7页A ．B ．C ．D ．3、已知椭圆：（）的一个焦点为，离心率为，过点的动直线交于，两点，若轴上的点使得总成立（为坐标原点），则（ ）A ．B ．2C ．D ．4、在直角梯形中，，，，，分别为，的中点，以为圆心，为半径的圆交于，点在上运动（如图）.若，其中，，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．5、若，是两条不同的直线，是一个平面，则下列说法正确的是（ ）A ．若，，则B ．若，，则 C ．若，，则D ．若，，则6、已知函数，不等式（其中）的解集是（ ） A ．B ．C ．D ．7、已知为正整数，若函数在区间内单调递增，则函数最小正周期为（ ）试卷第3页，共7页A ．B ．C ．D ．8、运行如图所示的程序，若输出的值为1，则输入的值为（ ）A ．0B ．0或C ．D ．19、某青少年成长关爱机构为了调研所在地区青少年的年龄与身高壮况，随机抽取6岁，9岁，12岁，15岁，18岁的青少年身高数据各1000个，根据各年龄段平均身高作出如图所示的散点图和回归直线.根据图中数据，下列对该样本描述错误的是（ ）A ．据样本数据估计，该地区青少年身高与年龄成正相关B ．所抽取数据中，5000名青少年平均身高约为C ．直线的斜率的值近似等于样本中青少年平均身高每年的增量D ．从这5种年龄的青少年中各取一人的身高数据，由这5人的平均年龄和平均身高数据作出的点一定在直线上10、已知为锐角，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．试卷第4页，共7页11、已知复数满足（为虚数单位），则（ ）A ．B ．C ．D ．12、已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．试卷第5页，共7页第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、已知函数（其中）有两个零点，则的取值范围是__________．14、在中，，，，则的面积为__________．15、从3名男同学和2名女同学中任选2名参加体能测试，则恰有1名男同学参加体能测试的概率为__________．（结果用最简分数表示）16、已知实数，满足不等式则的最大值为__________．三、解答题（题型注释）17、选修4-5：不等式选讲 已知函数，其中.（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）对于任意，不等式的解集为空集，求实数的取值范围.18、选修4-4：坐标系与参数方程已知，在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）；在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程是.试卷第6页，共7页（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）设点的极坐标为，为直线，的交点，求的最大值.19、已知函数（，），曲线在处的切线方程为.（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）已知满足的常数为.令函数（其中是自然对数的底数，），若是的极值点，且恒成立，求实数的取值范围.20、过点作一直线与抛物线交于两点，点是抛物线上到直线：的距离最小的点，直线与直线交于点.(Ⅰ)求点的坐标；(Ⅱ)求证：直线平行于抛物线的对称轴.21、如图，三棱柱中，侧棱底面，，，是棱的中点.试卷第7页，共7页（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求平面将此三棱柱分成的两部分的体积之比.22、第96届（春季）全国糖酒商品交易会于2017年3月23日至25日在四川举办.展馆附近一家川菜特色餐厅为了研究参会人数与本店所需原材料数量的关系，在交易会前查阅了最近5次交易会的参会人数（万人）与餐厅所用原材料数量（袋），得到如下数据：（Ⅰ）请根据所给五组数据，求出关于的线性回归方程；（Ⅱ）若该店现有原材料12袋，据悉本次交易会大约有13万人参加，为了保证原材料能够满足需要，则该店应至少再补充原材料多少袋？（参考公式：，）23、已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列.（Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）若，求数列的前项和.参考答案1、A2、B3、B4、C5、B6、A7、D8、B9、D10、C11、D12、C13、14、15、16、717、（1）（2）18、（1）详解解析；（2）219、（1），.（2）详见解析；（3）20、(Ⅰ) ；(Ⅱ)证明见解析.21、（1）平面平面；（2）22、（1）.（2）2023、（1）（2）.【解析】1、根据题意知,轨迹E是以A,B为焦点的双曲线,方程为，x=2带入方程得：y=±3；∴，则：，求得：.本题选择A选项.2、由三视图可得，在长宽高分别为的长方体中，该几何体为如图所示的，设该几何体外接球的半径为R，由题意有：，解得：，该阳马的外接球的体积为。

成都七中2017届高三三诊模拟考试数学（理）试题时间:120分钟 满分:150分一、选择题：每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求． 1.设全集为实数集R ,集合{}|2A x x =<，{}|3B x x =≥，则（ ）A.R A C B R ⋃= Ｂ. R R C A C B R ⋃= Ｃ. R A C B φ⋂= Ｄ.()R C A B φ⋃=2.函数13(10)x y x +=-<≤的反函数是 （ ）Ａ．31log (0)y x x =+> Ｂ.31log (0)y x x =-+>Ｃ.31log (13)y x x =+<≤ Ｄ.31log (13)y x x =-+<≤3. 下列判断正确的是（ ）A. “正四棱锥的底面是正方形”的逆命题为真命题.B. 设,a b R ∈且0ab ≠,则a b >的一个充分条件是11a b<.C. 若“p 或q ”是真命题，则p ，q 中至少有一个真命题.D. 不等式111x ->的解集为{}x x |<2. 4.在数列}{n a 中，若2n a ＝1-n a ＋1+n a （*N n ∈，2≥n ），则下列不等式中成立的是（ ） A ．2342a a a ≤ B ．2342a a a < C ．2342a a a ≥ D ．2342a a a >5. 以椭圆221169144x y +=的右焦点为圆心，且与双曲线221916x y -=的渐近线相切的圆的方程是（ ）A ．221090x y x +-+=B ． 221090x y x +--= Ｃ．221090x y x +++= Ｄ.221090x y x ++-=6．任意实数x ，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则2a 的值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12 7．关于函数)125sin()12sin()(ππ+-=x x x f ，有下列命题：①此函数可以化为 15()sin(2)26f x x π=-+②函数)(x f 的最小正周期是π，其图像的一个对称中心是)0,12(π；C③函数)(x f 的最小值是1,2-其图像的一条对称轴是;3x π=④函数)(x f 的图象按向量)1,6(-=πa 平移后所得的函数是偶函数；⑤函数)(x f 在区间)0,3(π-上是减函数.其中所有正确命题的序号个数是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 58．如图是一个由三根细铁杆组成的支架，三根细铁杆的两夹角都是60︒，一个半径为1的球放在该支架上，则球心到P 的距离为（ ） ΑΒ.329. 三个实数a 、b 、c 成等比数列，若有1a b c ++=成立，则b 的取值范围是（ ）A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡31,0 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,1 C. 1(0,3D.[)⎥⎦⎤ ⎝⎛-31,00,110．将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次．．成等差数列的概率为（ ） Ａ．19 Ｂ．112 Ｃ．115 Ｄ．11811.若()()()()()f x y f x f y f x f y +=⋅++且(1)1f =，则(1)(2)(2006)f f f ++⋅⋅⋅+=( )A. 2007B. 2008C. 200722006-D. 200822007- 12.平面α的斜线AB 交α于点B ，斜线AB 与平面α成30角，过定点A 的动直线l 与斜线AB 成60的角，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是 （ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在答题卡上． 13. 知直线0ax bx c ++=被圆M :⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x 所截得的弦AB 的长为32，那么∙的值等于14．已知函数,1)(,log )(21-==x x g x x f 设⎩⎨⎧<≥=)()(,)()()(,)()(x g x f x g x g x f x f x h ，则使2)(≥a h 成立的a 的范围是 .15．设O 是ABC ∆内部的一点, 24,OA OB OC O ++= 则::BOC AOC AOB S S S ∆∆∆=16. 关于函数2,0()21,0x e x f x ax x -⎧-⎪=⎨->⎪⎩≤（a 为常数，且a >0）对于下列命题：①函数f (x )的最小值为-1； ②函数f (x )在每一点处都连续； ③函数f (x )在R 上存在反函数；④函数f (x )在x =0处可导；DPCABE⑤对任意的实数x 1<0, x 2<0且x 1<x 2，恒有1212()()()22x x f x f x f ++<. 其中正确命题的序号是_____________.三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. (本小题满分12分)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，ccos 1B B -=，1=b ．（Ⅰ）若125π=A ，求c ； （Ⅱ）若c a 2=，求△ABC 的面积．18. (本小题满分12分)已知8人组成的抢险小分队中有3名医务人员，将这8人分为A 、B 两组，每组4人. （Ⅰ）求A 、B 两组中有一组恰有一名医务人员的概率； （Ⅱ）求A 组中至少有两名医务人员的概率； （Ⅲ）求A 组中医务人员人数ξ的数学期望.19. (本小题满分12分)如图，四棱锥P —ABCD 中，PB ⊥底面ABCD ，CD ⊥PD ，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=AD=PB =3，BC =6，点E 在棱PA 上且PE =2EA .（Ⅰ）求异面直线PA 与CD 所成角； （Ⅱ）求证PC ∥平面EBD； （Ⅲ）求二面角A -BE -D 的大小.20. (本小题满分12分)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为e =过(0,)A b -和(,0)B a 的直线与原点的距离是23.（Ⅰ） 求双曲线方程;（Ⅱ） 直线(0)y kx m km =+≠与双曲线交于不同两点C 、D , 且C 、D 两点都在以A 为圆心的圆周上, 求m 的取值范围.21. (本小题满分12分)已知数列{}n a 中，11a =，且21231n n n na a n n --=+⋅-*(2,)n n N ≥∈． (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 令13n n nb a -=*()n N ∈，数列{}n b 的前n 项和为n S ，试比较2n S 与n 的大小； (Ⅲ) 令11n n a c n +=+*()n N ∈，数列22{}(1)n n c c -的前n 项和为n T ，求证：对任意*n N ∈，都有 2n T <．22.(本小题满14分)设定义在R 上的函数4320123401234()(,,,,)f x a x a x a x a x a a a a a a R =++++∈,函数()g x =当1x =-时，()f x 取得极大值23，且函数(1)y f x =+的图象关于点（-1,0）对称.（Ⅰ）求函数()f x 的表达式； （Ⅱ）求证：当0x >时，()1[1](()g x e e g x +<为自然对数的底数）； （Ⅲ）若1(1)()(),g n n b g n n N *+=∈数列{}n b 中是否存在()n m b b n m =≠？若存在，求出所有相等的两项；若不存在，请说明理由.成都七中2017届高三三诊模拟考试数学（理）参考答案一、选择题：BDCAA BCCDB DD 二、填空题：13. -2 14． [)+∞,3]41,0( 15． 1:2:4 16. ①②⑤.三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：（Ⅰ）由已知1cos sin 3=-B B ，整理得21)6sin(=π-B ． ………………2分 因为π<<B 0，所以π<π-<π-6566B . 故66π=π-B ，解得3π=B . ……………4分由512A π=，且π=++C B A ，得4π=C . 由BbC c sin sin =，即3sin 14sin π=πc ，解得36=c . ………………6分 （Ⅱ）因为B ac c a b cos 2222-+=，又32π==B c a ，， 所以21442222⨯-+=c c c b ，解得c b 3=. ………………8分 由此得222c b a +=，故△ABC 为直角三角形，2π=A ，31=c ． 其面积6321==bc S ． ………………12分 18. 解：（Ⅰ）设“A 、B 两组中有一组恰有一名医务人员”为事件1A ，1()P A =.76482523482523=+C C C C C C …………………………………………………………4分（Ⅱ）设“A 组中至少有两名医务人员”为事件2A ，2()P A =21481533482523=+C C C C C C .……………………………………………………8分 （Ⅲ）ξ可取0、1、2、3.413535448822313535448813(0),(1),14731(2),(3),714C C C P P C C C C C C P P C C ξξξξ============ 133130123.1477142E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=…12分 19.解：(1)∵PB ⊥平面ABCD ，CD ⊥PD ，∴CD ⊥BD，又AD =AB =3，过D 作DF ⊥BC 于F ， 则四边形ABFD 为正方形.BF =FC =3,∴∠CDF =45°,CF=FB =3，连结AF 则AF ∥CD ， ∴异面直线PA 和CD 所成角就是PA 和AF 的夹角，E 在△PAF中，AF=PA=PF =32，∴∠PAF =60°，即PA 和CD 所成角为60°. 另法：如图（1）所示建立空间坐标系，P （0，0，3）,A (3,0,0),C (0,-6,0),D (3,-3,0),=（3，0，-3），CD=（3，3，0）， ∴cos 2123239||||=∙=∙>=<CD PAPA∴><,=60°. (2)连AC 交BD 于G ，连结EG ， ∵21,21===EP AE BC AD GC AG 又， ∴EPAEGC AG =，∴PC ∥EG ，又EG ⊂平面EBD ， PC ⊄平面EBD ，∴PC ∥平面EBD.(3)作AH ⊥BE 于H ，连结DH ，∵DA ⊥平面HBD ，∴DH ⊥BE ， ∴∠AHD 即为二面角A-BE-D 的平面角， 在△ABE 中，BE =5，AH =55345sin =︒∙∙BE AE AB∴tan ∠AHD =5=AHAD,即二面角A-BE-D 为arctan 5. 20. 解: （Ⅰ）.b 3a 34ab a 34ac 332a c e 22222=⇒=+⇒=⇒== l AB : 0b 3y 3x a00x 0b b y =--⇒--=--+,…………2分原点)0,0( 到直线l AB 的距离为23, 得: 3a ,1b 31|b 3|2322==⇒+= , (3)分∴双曲线方程为: 1y 3x 22=-…………5分 （Ⅱ） 0m 33kmx 6x )k 31(1y 3x m kx y 22222=----⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+=. 0)1k 3m (1222>+-=∆………7分 ,k 31km 32x x 221-=+221k31m2y y -=+…………8分CD 在以A 为圆心的圆上, ∴CD 为弦, 设CD 的中点为M, 则CD ⊥AM,∴中点M (,k 31km 32-2k 31m-), A )b ,0(- 即A )1,0(- .∴km 31m k 31k 3km 301k 3m 1k 222AM ---=-+-+-=, 又直线m kx y +=(0km ≠)的斜率为k, , 则有:k 1km 31m k 32-=---1m 4k 32+=⇒…………10分 代入0)1k 3m (1222>+-=∆中, 得: 0m 4m 0m 4m 2<>⇒>-或,又 41m 0k 31m 42->⇒>=+∴),4()0,41(m ∞+-∈ …………12分21. 解：(Ⅰ)由题21231n n n na a n n --=+⋅-知， 21231n n n a a n n --=+⋅-， 由累加法，当2n ≥时，22122323231n n a an --=+⨯+⨯++⨯代入11a =得，2n ≥时，112(13)1313n n n a n ---=+=- 又11a =，故1*3()n n a n n N -=⋅∈． ．．．．．．．．．．．．．．．．3分（II ）*n N ∈时，131n n n b a n-==，则21111232n n S =++++记函数2111()(1)232n n f n S n n =-=++++- 所以1111(1)(1)(1)232n f n n ++=++++-+ ．．．．．．．．．5分则11112(1)()()1102122221n nn n n f n f n ++-=+++-<-<+++ 所以(1)()f n f n +<．由于121(1)1(1)102f S =-=+->，此时121S >；22111(2)2(1)20234f S =-=+++->，此时222S >；321111111(3)3(1)302345678f S =-=+++++++-<，此时323S <；由于，(1)()f n f n +<，故3n ≥时，()(3)0f n f ≤<，此时2n S n <．综上所述：当1,2n =时，2n S n >；当*3()n n N ≥∈时,2n S n <． ．．．．．．．．．．．7分（III ）131n n n a c n +==+ 当2n ≥时，121123232311(31)(31)(33)(31)(31)3131n n n nn n n n n n ---⨯⨯⨯≤==--------. 所以当2n ≥时，22222233232331111()()2(31)(31)22313131n n n T ⨯⨯=+++≤+-+------ ＋1111()22313131n n n-+-=-<---． 且1322T =<故对*n N ∈，2n T <得证． ．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 22.解：（Ⅰ） 函数(1)y f x =+的图象关于点（-1,0）对称∴函数()y f x =的图象关于点（0,0）对称，即()y f x =是奇函数。

2017年四川省成都市高考数学三诊试卷（理科）（附详细解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合A={0，1}，B={x|（x+2）（x﹣1）＜0，x∈Z}，则A∪B=（）A．{﹣2，﹣1，0，1}B．{﹣1，0，1}C．{0，1}D．{0}2．已知复数z1=2+6i，z2=﹣2i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，线段AB的中点C对应的复数为z，则|z|=（）A．B．5 C．2 D．23．在等比数列{a n}中，a1=2，公比q=2，若a m=a1a2a3a4（m∈N*），则m=（）A．11 B．10 C．9 D．84．AQI是表示空气质量的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，当AQI 指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据，图中点A表示4月1日的AQI指数值为201，则下列叙述不正确的是（）A．这12天中有6天空气质量为“优良”B．这12天中空气质量最好的是4月9日C．这12天的AQI指数值的中位数是90D．从4日到9日，空气质量越来越好5．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），直线l：y=2x﹣2，若直线l平行于双曲线C的一条渐近线且经过C的一个顶点，则双曲线C的焦点到渐近线的距离为（）A．1 B．2 C．D．46．高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1，执行图2所示的程序框图，若输入的a i （i=1，2，…，15）分别为这15名学生的考试成绩，则输出的结果为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．97．已知A={（x ，y ）|x 2+y 2≤π2}，B 是曲线y=sinx 与x 轴围成的封闭区域，若向区域A 内随机投入一点M ，则点M 落入区域B 的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．8．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且AB=BC=CD ，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣9．已知抛物线C ：y 2=mx （m ＞0）的焦点为F ，点A （0，﹣），若射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点D ，且|FM |：|MD |=1：2，则点M 的纵坐标为（ ）A ．﹣B ．﹣C ．﹣D ．﹣10．已知函数f （x ）=2cos 22x ﹣2，给出下列命题： ①∃β∈R ，f （x +β）为奇函数；②∃α∈（0，），f （x ）=f （x +2α）对x ∈R 恒成立；③∀x1，x2∈R，若|f（x1）﹣f（x2）|=2，则|x1﹣x2|的最小值为；④∀x1，x2∈R，若f（x1）=f（x2）=0，则x1﹣x2=kπ（k∈Z）．其中的真命题有（）A．①②B．③④C．②③D．①④11．如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形，若该三棱锥的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．27πB．48πC．64πD．81π12．设等差数列{a n}的前n项和为S n，S m﹣1=13，S m=0，S m+1=﹣15．其中m∈N*且m≥2，则数列{}的前n项和的最大值为（）A． B． C．D．二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．（2x﹣）6展开式中常数项为（用数字作答）．14．若变量x，y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为．15．从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天，若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为．（用数字作答）16．如图，将一块半径为2的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在半圆上，则所得梯形的最大面积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2c ﹣a=2bcosA ． （1）求角B 的大小； （2）若b=2，求a +c 的最大值．18．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，DE=2，M 为线段BF 上一点，且DM ⊥平面ACE ． （1）求BM 的长；（2）求二面角A ﹣DM ﹣B 的余弦值的大小．19．几个月前，成都街头开始兴起“mobike”、“ofo”等共享单车，这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题，然而，这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题，比如乱停乱放，或将共享单车占为“私有”等．为此，某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如表：（1）由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系；（2）若对年龄在[15，20）[20，25）的被调查人中随机选取两人进行调查，记选中的4人中支持发展共享单车的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望．参考数据：参考公式：K 2=，其中n=a +b +c +d ．20．已知圆C ：（x +1）2+y 2=8，点A （1，0），P 是圆C 上任意一点，线段AP 的垂直平分线交CP 于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E的方程；（2）若直线l ：y=kx +m 与曲线E 相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求△MON 面积的最大值．21．已知函数f （x ）=lnx +﹣1，a ∈R ．（1）若关于x 的不等式f （x ）≤x ﹣1在[1，+∞）上恒成立，求a 的取值范围；（2）设函数g （x ）=，若g （x ）在[1，e 2]上存在极值，求a 的取值范围，并判断极值的正负．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．已知曲线C 的极坐标方程为ρ=2，在以极点为直角坐标原点O ，极轴为x 轴的正半轴建立的平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t为参数）．（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）在平面直角坐标系中，设曲线C 经过伸缩变换φ：得到曲线C′，若M （x ，y ）为曲线C′上任意一点，求点M 到直线l 的最小距离．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x﹣a|，a∈R．（1）当a=1时，求不等式f（x）+|2x﹣5|≥6的解集；（2）若函数g（x）=f（x）﹣|x﹣3|的值域为A，且[﹣1，2]⊆A，求a的取值范围．2017年四川省成都市高考数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合A={0，1}，B={x|（x+2）（x﹣1）＜0，x∈Z}，则A∪B=（）A．{﹣2，﹣1，0，1}B．{﹣1，0，1}C．{0，1}D．{0}【考点】1D：并集及其运算．【分析】先求出集合B，由此利用并集的定义能求出A∪B的值．【解答】解：∵集合A={0，1}，B={x|（x+2）（x﹣1）＜0，x∈Z}={﹣1，0}，∴A∪B={﹣1，0，1}．故选：B．2．已知复数z1=2+6i，z2=﹣2i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，线段AB的中点C对应的复数为z，则|z|=（）A．B．5 C．2 D．2【考点】A8：复数求模．【分析】复数z1=2+6i，z2=﹣2i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A（2，6），B（0，﹣2），利用中点坐标公式可得：线段AB的中点C（1，2）．进而得出．【解答】解：复数z1=2+6i，z2=﹣2i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A（2，6），B（0，﹣2），线段AB的中点C（1，2）对应的复数为z=1+2i，则|z|==．故选：A．3．在等比数列{a n}中，a1=2，公比q=2，若a m=a1a2a3a4（m∈N*），则m=（）A．11 B．10 C．9 D．8【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】把a1和q代入a m=a1a2a3a4，求得a m=a1q6，根据等比数列通项公式可得m．【解答】解：a m=a1a2a3a4=a14qq2q3=2426=210=2m﹣1，∴m=11，故选：A．4．AQI是表示空气质量的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，当AQI 指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据，图中点A表示4月1日的AQI指数值为201，则下列叙述不正确的是（）A．这12天中有6天空气质量为“优良”B．这12天中空气质量最好的是4月9日C．这12天的AQI指数值的中位数是90D．从4日到9日，空气质量越来越好【考点】B9：频率分布折线图、密度曲线．【分析】对4个选项分别进行判断，可得结论．【解答】解：这12天中，空气质量为“优良”的有95，85，77，67，72，92，故A正确；这12天中空气质量最好的是4月9日，AQI指数值为67，故正确；这12天的AQI指数值的中位数是=90，故正确；从4日到9日，空气质量越来越好，不正确，4月9日，AQI指数值为135，故选D．5．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），直线l：y=2x﹣2，若直线l平行于双曲线C的一条渐近线且经过C的一个顶点，则双曲线C的焦点到渐近线的距离为（）A．1 B．2 C．D．4【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的方程分析可得其焦点位置以及渐近线方程，结合题意分析有=2，求出直线l与x轴交点坐标，即可得双曲线C的一个顶点坐标，即a的值，计算可得b的值，又由双曲线的焦点到渐近线的距离等于b，即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线C的方程为﹣=1（a＞0，b＞0），其焦点在x轴上，其渐近线方程y=±x，又由直线l平行于双曲线C的一条渐近线，则有=2，直线l：y=2x﹣2与x轴交点坐标为（1，0），即双曲线C的一个顶点坐标为（1，0），即a=1，则b=2a=2，故双曲线C的焦点到渐近线的距离为2；故选：B．6．高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1，执行图2所示的程序框图，若输入的a i（i=1，2，…，15）分别为这15名学生的考试成绩，则输出的结果为（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行算法流程图可知其统计的是成绩大于等于110的人数，由茎叶图知：成绩大于等于110的人数为9，从而得解．【解答】解：由算法流程图可知，其统计的是成绩大于等于110的人数，所以由茎叶图知：成绩大于等于110的人数为9，因此输出结果为9．故选：D．7．已知A={（x，y）|x2+y2≤π2}，B是曲线y=sinx与x轴围成的封闭区域，若向区域A内随机投入一点M，则点M落入区域B的概率为（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】先求构成试验的全部区域为圆内的区域的面积，再利用积分知识可得正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M的面积，代入几何概率的计算公式可求．【解答】解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为π3，正弦曲线y=sinx 与x轴围成的区域记为M，根据图形的对称性得：面积为S=2∫0πsinxdx=﹣2cosx|0π=4，由几何概率的计算公式可得，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率P=，故选：D．8．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC 与BD所成角的余弦值为（）A．B．﹣ C．D．﹣【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】如图所示，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，则EF∥BD，EG∥AC，FO⊥OG，∠FEG为异面直线AC与BD所成角．【解答】解：如图所示，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，则EF∥BD，EG∥AC，FO⊥OG，∴∠FEG为异面直线AC与BD所成角．设AB=2a，则EG=EF=a，FG==a，∴∠FEG=60°，∴异面直线AC与BD所成角的余弦值为，故选：A．9．已知抛物线C：y2=mx（m＞0）的焦点为F，点A（0，﹣），若射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点D，且|FM|：|MD|=1：2，则点M的纵坐标为（）A．﹣ B．﹣C．﹣ D．﹣【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】作出M在准线上的射影，根据|KM|：|MD|确定|KD|：|KM|的值，进而列方程求得m，再求出M的坐标【解答】解：依题意F点的坐标为（，0），设M在准线上的射影为K，由抛物线的定义知|MF|=|MK|，∵|FM|：|MD|=1：2：则|KD|：|KM|=：1，k FD=，k FD==∴=，求得m=4∴直线FM的方程为y=（x﹣1），与y2=4x，联立方程组，解得x=3（舍去）或x=，∴y2=，解y=﹣或y=（舍去），故M的坐标为（，﹣），故选：D10．已知函数f（x）=2cos22x﹣2，给出下列命题：①∃β∈R，f（x+β）为奇函数；②∃α∈（0，），f（x）=f（x+2α）对x∈R恒成立；③∀x1，x2∈R，若|f（x1）﹣f（x2）|=2，则|x1﹣x2|的最小值为；④∀x1，x2∈R，若f（x1）=f（x2）=0，则x1﹣x2=kπ（k∈Z）．其中的真命题有（）A．①②B．③④C．②③D．①④【考点】H7：余弦函数的图象；GT：二倍角的余弦．【分析】化简函数f（x），画出f（x）的图象，根据图象平移判断函数f（x+β）不是奇函数，判断①错误；根据f（x）=f（x+2α）求出方程在α∈（0，）的解，判断②正确；由|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|的最小值为=，判断③正确；当f（x1）=f（x2）=0时，x1﹣x2=kT=，判断④错误．【解答】解：由题意，f（x）=2cos22x﹣2=cos4x﹣1；对于①，∵f（x）=cos4x﹣1的图象如图所示；函数f（x+β）的图象是f（x）的图象向左或向右平移|β|个单位，它不会是奇函数的，故①错误；对于②，f（x）=f（x+2α），∴cos4x﹣1=cos（4x+8α）﹣1，∴8α=2kπ，∴α=，k∈Z；又α∈（0，），∴取α=或时，∴f（x）=f（x+2α）对x∈R恒成立，②正确；对于③，|f（x1）﹣f（x2）|=|cos4x1﹣cos4x2|=2时，|x1﹣x2|的最小值为==，∴③正确；对于④，当f（x1）=f（x2）=0时，x1﹣x2=kT=k•=（k∈Z），∴④错误；综上，真命题是②③．故选：C．11．如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形，若该三棱锥的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．27πB．48πC．64πD．81π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】作出几何体的直观图，确定外接球的球心位置，利用勾股定理求出外接球半径即可得出表面积．【解答】解：由三视图可知该几何体为三棱锥，棱锥的高VA=4，棱锥底面ABC是边长为6的等边三角形，作出直观图如图所示：∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴外接球的球心D在底面ABC的投影为△ABC的中心O，过D作DE⊥VA于E，则E为VA的中点，连结OA，DA，则DE=OA==2，AE=VA=2，DA为外接球的半径r，∴r==4，∴外接球的表面积S=4πr2=64π．故选C．12．设等差数列{a n}的前n项和为S n，S m﹣1=13，S m=0，S m+1=﹣15．其中m∈N*且m≥2，则数列{}的前n项和的最大值为（）A． B． C．D．【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】根据求出首项和公差，得到数列的通项公式，再判断数列的前7项为正数，再根据裂项求和即可得到答案．【解答】解：∵S m﹣1=13，S m=0，S m+1=﹣15，∴a m=S m﹣S m﹣1=0﹣13=﹣13，a m+1=S m+1﹣S m=﹣15﹣0=﹣15，又∵数列{a n}为等差数列，∴公差d=a m+1﹣a m=﹣15﹣（﹣13）=﹣2，∴，解得a1=13∴a n=a1+（n﹣1）d=13﹣2（n﹣1）=15﹣2n，当a n≥0时，即n≤7.5，≤0时，即n≥6.5，当a n+1∴数列的前7项为正数，∴==（﹣）∴数列{}的前n项和的最大值为（﹣+﹣+﹣+…+1﹣）=（1﹣）=．故选：D二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．（2x﹣）6展开式中常数项为60（用数字作答）．【考点】DA：二项式定理．【分析】用二项展开式的通项公式得展开式的第r+1项，令x的指数为0得展开式的常数项．【解答】解：（2x﹣）6展开式的通项为=令得r=4故展开式中的常数项．故答案为6014．若变量x，y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为﹣3．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，A（0，3），化目标函数z=3x﹣y为y=3x﹣z，由图可知，当直线y=3x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣3．故答案为：﹣3．15．从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天，若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为5040．（用数字作答）【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】根据题意，分2种情况讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论，若只有甲乙其中一人参加，有C21•C64•A55=3600种情况；若甲乙两人都参加，有C22•A63•A42=1440种情况，则不同的安排种数为3600+1440=5040种，故答案为：5040．16．如图，将一块半径为2的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在半圆上，则所得梯形的最大面积为．【考点】7F：基本不等式．【分析】连接OD，过C，D分别作DE⊥AB于E，CF⊥AB，垂足分别为E，F．设∠AOD=θ．OE=2cosθ，DE=2sinθ．可得CD=2OE=4cosθ，梯形ABCD的面积S==4sinθ（1+cosθ），平方换元利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．．【解答】解：连接OD，过C，D分别作DE⊥AB于E，CF⊥AB，垂足分别为E，F．设∠AOD=θ．OE=2cosθ，DE=2sinθ．可得CD=2OE=4cosθ，∴梯形ABCD的面积S==4sinθ（1+cosθ），S2=16sin2θ（1+2cosθ+cos2θ）=16（1﹣cos2θ）（1+2cosθ+cos2θ）令cosθ=t∈（0，1）．则S2=16（1﹣t2）（1+2t+t2）=f（t）．则f′（t）=﹣32（t+1）2（3t﹣1）．可知：当且仅当t=时，f（t）取得最大值：．因此S的最大值为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2c﹣a=2bcosA．（1）求角B的大小；（2）若b=2，求a+c的最大值．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）根据正弦定理与两角和的正弦公式，化简等式2bcosA=2c﹣a，可得（2cosB﹣1）sinA=0，结合sinA＞0得到cosB，从而解出B；（2）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB的式子，解出12=a2+c2﹣ac．再利用基本不等式得出结论．【解答】解：（1）∵2c﹣a=2bcosA，∴根据正弦定理，得2sinC﹣sinA=2sinBcosA，∵A+B=π﹣C，可得sinC=sin（A+B）=sinBcosA+cosBsinA，∴代入上式，得2sinBcosA=2sinBcosA+2cosBsinA﹣sinA，化简得（2cosB﹣1）sinA=0∵A是三角形的内角可得sinA＞0，∴2cosB﹣1=0，解得cosB=，∵B∈（0，π），∴B=；（2）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得12=a2+c2﹣ac．∴（a+c）2﹣3ac=12，∴12≥（a+c）2﹣ac，（当且仅当a=c=2时）∴a+c≤4，∴a+c的最大值为4．18．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，DE=2，M为线段BF上一点，且DM ⊥平面ACE．（1）求BM的长；（2）求二面角A﹣DM﹣B的余弦值的大小．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LZ：平面与平面垂直的性质．【分析】（1）建立坐标系，设BM=h，求出和的坐标，令=0解出h；（2）求出平面ADM和平面BDM的法向量，计算法向量的夹角即可得出二面角的夹角．【解答】解：（1）设AC∩BD=O，取EF中点N，连接NO，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵四边形BDEF是矩形，∴ON⊥BD，∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，ON⊂平面BDEF，∴ON⊥平面ABCD，以O为原点，以OC，OB，ON为坐标轴建立空间坐标系如图所示：∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，∴OB=OD=1，OA=OC=，∵四边形BDEF是矩形，DE=2，∴A（﹣，0，0），B（0，1，0），C（，0，0），E（0，﹣1，2），D（0，﹣1，0），设BM=h，则M（0，1，h），∴=（0，2，h），=（，﹣1，2），∵DM⊥平面ACE，∴，∴﹣2+2h=0，解得h=1，∴BM=1．（2）=（，﹣1，0），=（0，2，1），设平面ADM的法向量为=（x，y，z），则，∴，令x=得=（，3，﹣6），又AC⊥平面BDM，∴=（1，0，0）是平面BDM的一个法向量，∴cos＜＞===，∴二面角A﹣DM﹣B的余弦值为．19．几个月前，成都街头开始兴起“mobike”、“ofo”等共享单车，这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题，然而，这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题，比如乱停乱放，或将共享单车占为“私有”等．为此，某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如表：（1）由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系；（2）若对年龄在[15，20）[20，25）的被调查人中随机选取两人进行调查，记选中的4人中支持发展共享单车的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．参考数据：参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．【考点】BO：独立性检验的应用．【分析】（1）根据表中数据填写2×2列联表，计算K2，对照临界值表即可得出结论；（2）根据题意知X的可能取值，求出对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望值．【解答】解：（1）根据表中数据填写2×2列联表如下，计算K2=≈2.381＜2.706，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系；（2）根据题意，选出的4人中支持发展共享单车的人数为X，则X的可能取值为2，3，4；所以P（X=2）=•=，P（X=3）=•+•=，P（X=4）=•=；∴随机变量X的分布列为：数学期望为EX=2×+3×+4×=．20．已知圆C：（x+1）2+y2=8，点A（1，0），P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线交CP于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）若直线l：y=kx+m与曲线E相交于M，N两点，O为坐标原点，求△MON 面积的最大值．【考点】KK：圆锥曲线的轨迹问题；J3：轨迹方程．【分析】（1）根据椭圆的定义和性质，建立方程求出a，b即可．（2）联立直线和椭圆方程，利用消元法结合设而不求的思想进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）∵点Q 在线段AP 的垂直平分线上，∴|AQ|=|PQ|．又|CP|=|CQ|+|QP|=2，∴|CQ|+|QA|=2＞|CA|=2．∴曲线E是以坐标原点为中心，C（﹣1，0）和A（1，0）为焦点，长轴长为2的椭圆．设曲线E 的方程为=1，（a＞b＞0）．∵c=1，a=，∴b2=2﹣1=1．∴曲线E的方程为．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2）．联立消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0．此时有△=16k2﹣8m2+8＞0．由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=，x1x2=，．∴|MN|==∵原点O到直线l的距离d=﹣，==．，由△＞0，得2k2﹣m2+1＞0．∴S△MON又m≠0，=．≤∴据基本不等式，得S△MON=，当且仅当m2=时，不等式取等号．∴△MON面积的最大值为．21．已知函数f（x）=lnx+﹣1，a∈R．（1）若关于x的不等式f（x）≤x﹣1在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（2）设函数g（x）=，若g（x）在[1，e2]上存在极值，求a的取值范围，并判断极值的正负．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）由题意可知a≤﹣xlnx﹣x2在[1，+∞）上恒成立，构造辅助函数，求导根据函数的单调性及极值的判断，即可求得m（x）在[1，+∞）上单调递增，即可求得a的取值范围；（2）g（x）==+﹣，x∈[1，e2]，若g（x）在[1，e2]上存在极值，则或，分类讨论，分别构造辅助函数，根据导数与函数的关系，即可求得a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）≤x﹣1，即lnx+﹣1≤x﹣1，即a≤﹣xlnx﹣x2在[1，+∞）上恒成立，设函数m（x）=﹣xlnx﹣x2，x≥1，m′（x）=﹣lnx+x﹣1，设n（x）=﹣lnx+x﹣1，n′（x）=﹣+1，由x≥1时，n′（x）≥0，∴n（x）在[1，+∞）单调递增，且n（x）≥n（1）=0，即m′（x）≥m′（1）=0，对x∈[1，+∞）恒成立，∴m（x）在[1，+∞）上单调递增，当x∈[1，+∞）时，m（x）≥m（x）min=m（1）=，∴a≤，∴a的取值范围是（﹣∞，]；（2）g（x）==+﹣，x∈[1，e2]，求导g′（x）=+﹣=，设h（x）=2x﹣xlnx﹣2a，h′（x）=2﹣（1+lnx）=1﹣lnx，由h′（x）=0，解得：x=e，当1≤x＜e时，h′（x）＞0，当e＜x≤e2，h′（x）＜0，且h（1）=2﹣2a，h（e）=e﹣2a，h（e2）=﹣2a，显然h（1）＞h（e2），若g（x）在[1，e2]上存在极值，则或，当，即1＜a＜时，则必定存在x1，x2∈[1，e2]，使得h（x1）=h（x2）=0，且1＜x1＜x1＜e2，当x变化时，h（x），g′（x），g（x）的变化如表，当1＜a＜时，g（x）在[1，e2]上的极值为g（x1），g（x2），且g（x1）＜g（x2），由g（x1）=+﹣=，设φ（x）=xlnx﹣x+a，其中1＜a＜，1≤x＜e，则φ′（x）=lnx＞0，∴φ（x）在（1，e）上单调递增，φ（x）=φ（1）=a﹣1＞0，当且仅当x=1时，取等号；∵1＜x1＜e，g（x1）＞0，当1＜a＜，g（x）在[1，e2]上的极值g（x2）＞g（x1）＞0，当，即0＜a≤1时，则必定存在x3∈（1，e2），使得h（x3）=0，易知g（x）在（1，x3）上单调递增，在（x3，e2]上单调递减，此时，g（x）在[1，e2]上的极大值时g（x3），即g（x3）＞g（e2）=＞0，当0＜a≤1时，g（x）在[1，e2]上存在极值，且极值都为正数，综上可知：当0＜a＜时，g（x）在[1，e2]上存在极值，且极值都为正数，[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．已知曲线C的极坐标方程为ρ=2，在以极点为直角坐标原点O，极轴为x轴的正半轴建立的平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）在平面直角坐标系中，设曲线C经过伸缩变换φ：得到曲线C′，若M（x，y）为曲线C′上任意一点，求点M到直线l的最小距离．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C的极坐标方程为ρ=2，利用互化公式化为直角坐标方程．直线l的参数方程为（t为参数），相减消去参数t化为普通方程．（2）曲线C经过伸缩变换φ：，即，代入曲线C的方程可得：4（x′）2+（y′）2=4，即得到曲线C′：=1．设M（cosθ，2sinθ），点M到直线l的距离d==，即可得出最小值．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=2，化为直角坐标方程：x2+y2=4．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t化为普通方程：y=x+3．（2）曲线C经过伸缩变换φ：，即，代入曲线C的方程可得：4（x′）2+（y′）2=4，即得到曲线C′：=1．若M（x，y）为曲线C′上任意一点，设M（cosθ，2sinθ），点M到直线l的距离d==≥=，当且仅当sin（θ﹣φ）=1时取等号．因此最小距离为：．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x﹣a|，a∈R．（1）当a=1时，求不等式f（x）+|2x﹣5|≥6的解集；（2）若函数g（x）=f（x）﹣|x﹣3|的值域为A，且[﹣1，2]⊆A，求a的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）将a=1代入f（x），通过讨论x的范围求出各个区间上的x的范围，取并集即可；（2）通过讨论a的范围，得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）a=1时，|x﹣1|+|2x﹣5|≥6，x≤1时：1﹣x﹣2x+5≥6，解得：x≤0，∴x≤0，1＜x＜2.5时：x﹣1﹣2x+5≥6，解得：x≤﹣1，不成立；x≥2.5时：x﹣1+2x﹣5≥6，解得：x≥4，∴x≥4，故不等式的解集是{x|x≥4或x≤0}；（2）g（x）=|x﹣a|﹣|x﹣3|，a≥3时：g（x）=，∴3﹣a≤g（x）≤a﹣3，∵[﹣1，2]⊆A，∴，解得a≥5；a＜3时，a﹣3≤g（x）≤3﹣a，∴，解得：a≤1；综上：a≤1或a≥5．2017年6月8日。