计算机算法设计与分析求解递归方程的方法

算法设计与分析知到章节测试答案智慧树2023年最新天津大学第一章测试1.下列关于效率的说法正确的是（）。

参考答案:提高程序效率的根本途径在于选择良好的设计方法，数据结构与算法;效率主要指处理机时间和存储器容量两个方面;效率是一个性能要求，其目标应该在需求分析时给出2.算法的时间复杂度取决于（）。

参考答案:问题的规模;待处理数据的初态3.计算机算法指的是（）。

参考答案:解决问题的有限运算序列4.归并排序法的时间复杂度和空间复杂度分别是（）。

参考答案:O(nlog2n);O(n)5.将长度分别为m,n的两个单链表合并为一个单链表的时间复杂度为O(m+n)。

（）参考答案:错6.用渐进表示法分析算法复杂度的增长趋势。

（）参考答案:对7.算法分析的两个主要方面是时间复杂度和空间复杂度的分析。

（）参考答案:对8.某算法所需时间由以下方程表示，求出该算法时间复杂度（）。

参考答案:O(nlog2n)9.下列代码的时间复杂度是（）。

参考答案:O(log2N)10.下列算法为在数组A[0,...,n-1]中找出最大值和最小值的元素，其平均比较次数为（）。

参考答案:3n/2-3/2第二章测试1.可用Master方法求解的递归方程的形式为（）。

参考答案:T(n)=aT(n/b)+f(n) , a≥1, b＞1, 为整数, f(n)＞0.2.参考答案:对3.假定，, 递归方程的解是. ( )参考答案:对4.假设数组A包含n个不同的元素，需要从数组A中找出n/2个元素，要求所找的n/2个元素的中点元素也是数组A的中点元素。

针对该问题的任何算法需要的时间复杂度的下限必为。

( )参考答案:错5.使用Master方法求解递归方程的解为（）.参考答案:6.考虑包含n个二维坐标点的集合S，其中n为偶数，且所有坐标点中的均不相同。

一条竖直的直线若能把S集合分成左右两部分坐标点个数相同的子集合，则称直线L为集合S的一条分界线。

若给定集合S，则可在时间内找到这条分界线L。

递归方程的主方法求解
递归方程是一种重要的数学方程，它通常可以用递归的方式来定义。

递归方程在计算机科学、数学、物理学等领域中都有着广泛的应用。

求解递归方程是数学研究中的一个重要问题。

主方法是求解递归方程的一种有效方法。

主方法是一种基于递归的思想，它将递归方程转化为迭代形式的算法。

通过主方法，我们可以将递归方程的求解转化为一系列的迭代计算，从而大大提高了求解效率。

下面我们将介绍如何应用主方法求解递归方程的步骤。

假设我们有一个递归方程 $f(x) = g(x) + h(x)$,其中
$g(x)$ 和 $h(x)$ 都是已知的函数。

我们可以通过以下步骤应用主方法求解这个递归方程:
1. 定义一个迭代函数 $F(x)$ 使得 $F(x)$ 的值等于
$f(x)$ 的值，即 $F(x) = f(x)$。

2. 定义一个迭代函数 $G(x)$ 使得 $G(x)$ 的值等于
$g(x)$ 的值，即 $G(x) = g(x)$。

3. 定义一个迭代函数 $H(x)$ 使得 $H(x)$ 的值等于
$h(x)$ 的值，即 $H(x) = h(x)$。

4. 应用主方法，得到递归方程的迭代解 $x_n$ 序列，即
$x_{n+1} = F(x_n) = G(x_n) + H(x_n)$。

通过以上步骤，我们可以将递归方程的求解转化为迭代计算，从而大大提高了求解效率。

递归方程求解方法综述递归方程是数学中常见的一种表示方式，它描述了一个数列或函数之间的递推关系。

递归方程求解方法是指寻找递归方程的解析解或近似解的过程。

在许多应用领域，递归方程都是非常重要的，例如在计算机科学、自然科学及经济学等各个领域。

本文将从递归方程的求解方法综述入手，介绍常见的求解方法，包括代入法、特征根法、母函数法等，并举例说明其应用。

一、代入法代入法是求解递归方程的常见方法之一、它的基本思想是通过猜测法求得递归方程的解的形式，然后通过代入递归方程验证该猜测解是否成立。

如果成立，我们就可以得到递归方程的解析解；如果不成立，我们需要修改猜测解的形式，重复上述过程直到找到正确的解。

例如，考虑递推关系式$f(n) = 2f(n-1) + 3$，其中$f(0)=1$。

我们首先猜测$f(n) = a\cdot 2^n + b$，代入递推关系式可得：$a\cdot 2^n + b = 2(a\cdot 2^{n-1} + b) + 3$。

整理得$a\cdot 2^n + b = 2a\cdot 2^{n-1} + 2b + 3$。

化简可得$a\cdot 2^{n-1} = 2b + 3$。

由此可知，$b = \frac{a\cdot 2^{n-1} - 3}{2}$。

将$b$的值代入原方程得到$a\cdot 2^n + \frac{a\cdot 2^{n-1} - 3}{2} = 2(a\cdot2^{n-1} + \frac{a\cdot 2^{n-1} - 3}{2}) + 3$。

进一步化简可得$a = 6$。

因此，递归方程的解析解为$f(n) =6\cdot 2^n + \frac{3}{2}(2^n - 1)$。

二、特征根法特征根法是求解线性递归方程的常用方法。

这种方法基于线性递归方程的特征方程和特征根的性质，通过求解特征方程的根来得到递归方程的解析解。

考虑递归关系式$f(n) = af(n-1) + b$，其中$f(0)=c$。

求解递归式的方法递归式是计算机科学中常见的数学表示方法，用于描述一个函数或算法在运行过程中自我调用的特性。

在求解递归式时，我们希望找到一个封闭的表达式，从而得到问题的解析解。

本文将介绍几种常见的求解递归式的方法。

一、递归展开法递归展开法是求解递归式的一种常用方法。

它的基本思想是将递归式进行展开，直到得到一个不再含有递归项的等式。

通过这种方式，我们可以得到递归式的解析解。

例如，考虑递归式T(n) = T(n-1) + n，其中T(1) = 1。

我们可以使用递归展开法来求解这个递归式。

将递归式展开一次，得到T(n) = T(n-2) + (n-1) + n。

接着，再次展开，得到T(n) = T(n-3) + (n-2) + (n-1) + n。

继续展开，我们可以得到T(n) = T(n-k) + (n-k+1) + (n-k+2) + ... + (n-1) + n。

当展开到T(n) = T(1) + 2 + 3 + ... + (n-1) + n时，我们可以发现这个式子等于等差数列的和，即T(n) = 1 + 2 + 3 + ... + (n-1) + n。

利用等差数列求和公式，我们可以得到T(n) = (n+1)*n/2。

因此，递归式T(n) = T(n-1) + n的解析解为T(n) = (n+1)*n/2。

二、主定理主定理是求解递归式的另一种常用方法。

它适用于一类常见的递归式，即形如T(n) = aT(n/b) + f(n)的递归式。

其中，a是递归式中递归调用的次数，b是递归式中问题规模的缩小比例，f(n)是递归式中除了递归调用外的其他操作。

主定理的基本思想是通过比较递归式中不同部分的增长速度，判断递归式的解析解的形式。

主定理的具体表述如下：设递归式T(n) = aT(n/b) + f(n)，其中a≥1，b>1，f(n)是一个非负函数。

1. 如果存在一个常数ε>0，使得f(n) = O(n^log_b(a-ε))，则T(n) = Θ(n^log_b(a))。

递归方程求解方法综述摘要：随着计算机科学的逐步发展，各种各样的算法相继出现，我们需要对算法进行分析，以选择性能更好的解决方案。

算法分析中计算复杂度常用递归方程来表达，因此递归方程的求解有助于分析算法设计的好坏。

阐述了常用的3种求解递归方程的方法：递推法、特征方程法和生成函数法。

这3种方法基本上可以解决一般规模递归方程的求解问题。

关键词：递归；递推法；特征方程；生成函数0引言寻求好的解决方案是算法分析的主要目的，问题的解决方案可能不只一个，好的方案应该执行时间最短，同时占有存储空间最小，故算法分析一般考虑时间复杂性、空间复杂性两方面的参数。

在算法分析时我们采用时间耗费函数来表示时间参数，用当问题规模充分大时的时间耗费函数的极限表示时间复杂度。

一般算法对应的时间耗费函数常用递归方程表示，找出递归方程的解，就可以表示其对应算法复杂度的渐进阶，从而比较算法的优劣。

因此研究递归方程的解法意义重大。

下文将分析并给出常用递归方程的3种解法。

1递归方程的解法递归方程是对实际问题求解的一种数学抽象,递归的本质在于将原始问题逐步划分成具有相同解题规律的子问题来解决,原始问题与子问题仅在规模上有大小区别,并且子问题的规模比原始问题的规模要小。

对于规模为n的原始问题,我们通常会寻找规模n的问题与规模n-1或者规模n/2的问题之间存在的联系,从而进一步推导出具有递归特性的运算模型。

根据递归方程的一般形式，常用的解法有三种，分别是递推法、公式法及生成函数法。

下面就分别来分析其求解过程。

1.1递推法当递归方程形式简单且阶数较低时，一般可以采用递推法求解，根据一步一步递推找到方程的递推规律，得到方程的解。

下面举例说明： t(1)=0t(n)=2t(n/2)+n2(n≥2)t(n)=2t(n/2)+n2=2(2t(n/22)+(n/2)2)+n2=22t(n/2)2+2n2/22+n2=22(2t(n/23)+(n/22)2)+2n2/22+n2=23(2t(n/23)+22n2/(22)2)+2n2/(22)1+n2…=2kt(n/2k)+∑k-1i=02in2(22)i递推到这里我们就可以发现递归规律，找到递归出口， t(1)=0，令n=2k 则可以得到如下结果：t(n) =2kt(1) +∑k-1i=0n2(1/2)i)=n2(1-(1/2)k1-1/2)=2n2-2n 上面得到方程的解，我们来分析其对应算法复杂性的渐进阶，根据渐进阶定理有：设有函数f(n)，g(n）均是规模n的函数，则o(f(n))+o(g(n))=o(max(f(n), g(n)))。

递归式的三种求解⽅式求解递归式对于分冶算法的重要性不⾔⽽喻以下介绍了三种求解递归式的⽅法1，代换法：缺点：代换法主要的缺点在于，对于任何递归式，我们先得去猜其解，对于猜错了同学，如果不幸猜出的结果和正确结果相差太⼤，虽然可以推导，但是意义不⼤；优点：代换法相较于递归树法更为严谨，相较于主定理应⽤范围更⼴，主定理只能求解类似于T(n) = aT(n/b)+n/c这种形式的递归式；下⾯给出⼀个递归表达式T(n) = 2T(n/2)+n，求其解；⾸先猜⼀下其解为O(nlgn);那么我们只需要证明T(n)<cnlgn即可先假设T(n)<cnlgn对于n/2也成⽴，那么T(n/2)<=c(n/2)lg(n/2)也成⽴那么必然的T(n)<=2(c(n/2)(lgn/2))+n-=cnlgn-cnlg2+n<=cnlgn-cn+n以上表达式，在c>=1时永远成⽴，得证递归式T(n) = 2T(n/2)+n的解为O(nlgn)其他递归式的求解⽅式和上⾯的⼤体相似；2,递归树法递归树⽅法利⽤了将递归式分解为⼀棵递归树的形式来更加直观的求解递归式；缺点：递归树⽅法求解递归式因为丢弃了很多低阶项，所以不够严谨；优点：递归树⽅法求解递归式从视觉上更为直观，简单。

⼀般可以先运⽤递归树求解，然后利⽤代换法更加严谨得证明⽤递归树求解的解的数学上的正确性；下⾯求T(n) = 2T(n/2)+n的解⾸先将上述递归表达式⽤递归树表达出来，不会画图，⽐较丑。

以上递归式的深度为lgn,每层的代价为n,⾃然推导出T(n) = T(n/2)的解为O(nlgn)以上递归式的求解⽐较简单更为复杂的求解参考算法导论；3,主定理主定理是最为简单求解递归式的解的⽅法，也是我最为喜欢的⼀种分析⽅法主定理给出如下的如下形式的通⽤的递归式:T(n) = aT(n/b)+f(n)主定理套公式分为以下三种情况符号打得⼼累直接截图：以上为三种递归式的求解⽅法。

《算法设计与分析》教案算法设计与分析是计算机科学与技术专业的一门核心课程，旨在培养学生具备算法设计、分析和优化的能力。

本课程通常包括算法基础、算法设计方法、高级数据结构以及算法分析等内容。

本教案主要介绍了《算法设计与分析》课程的教学目标、教学内容、教学方法和评价方法等方面。

一、教学目标本课程的教学目标主要包括以下几个方面：1.掌握算法设计的基本思想和方法。

2.熟悉常见的算法设计模式和技巧。

3.理解高级数据结构的原理和应用。

4.能够进行算法的时间复杂度和空间复杂度分析。

5.能够使用常见的工具和软件进行算法设计和分析。

二、教学内容本课程的主要教学内容包括以下几个方面：1.算法基础：算法的定义、性质和分类，时间复杂度和空间复杂度的概念和分析方法。

2.算法设计方法：贪心算法、分治算法、动态规划算法、回溯算法等算法设计思想和方法。

3.高级数据结构：堆、树、图等高级数据结构的原理、实现和应用。

4.算法分析：渐进分析法、均摊分析法、递归方程求解等算法分析方法。

5. 算法设计与分析工具：常见的算法设计和分析工具，如C++、Java、Python和MATLAB等。

三、教学方法本课程采用多种教学方法结合的方式，包括讲授、实践和讨论等。

1.讲授：通过教师讲解理论知识，引导学生掌握算法的基本思想和方法。

2.实践：通过课堂上的编程实验和课后作业，培养学生动手实践的能力。

3.讨论：通过小组讨论和学生报告，促进学生之间的交流和合作，提高学习效果。

四、评价方法为了全面评价学生的学习情况，本课程采用多种评价方法，包括考试、作业和实验报告等。

1.考试：通过期中考试和期末考试，检验学生对算法设计和分析的理解和掌握程度。

2.作业：通过课后作业，检验学生对算法设计和分析的实践能力。

3.实验报告：通过编程实验和实验报告，检验学生对算法设计和分析工具的应用能力。

五、教学资源为了支持教学工作，我们为学生准备了如下教学资源：1.课件：编写了详细的教学课件，包括理论知识的讲解和案例分析。

主定理求解递归方程在计算机科学和算法设计中，递归是一种常见的问题解决方法。

递归方程是描述递归算法执行时间复杂度的重要工具。

然而，解决递归方程并确定算法的时间复杂度并不总是容易的。

这时，主定理（Master Theorem）就发挥了重要的作用，它提供了一种快速计算递归方程时间复杂度的方法。

主定理是由计算机科学家Jon Bentley和Robert Sedgewick在1976年提出的，它给出了一种通用的递归方程求解方法，适用于一类形式化的递归方程。

具体来说，主定理适用于具有以下形式的递归方程：T(n) = aT(n/b) + f(n)其中，T(n)表示问题规模为n时的时间复杂度，a是递归调用的子问题个数，n/b是子问题的规模，f(n)表示分解和合并子问题所需的额外工作量。

主定理的关键是通过比较f(n)和n^log_b(a)的大小关系，将递归方程划分为三个不同的情况，分别对应着递归算法的时间复杂度。

第一种情况是当f(n) = O(n^log_b(a-ε))，其中ε>0，存在一个常数c<1，使得af(n/b) ≤ cf(n)对于足够大的n成立。

这时，主定理给出的时间复杂度为T(n) = Θ(n^log_b(a))。

第二种情况是当f(n) = Θ(n^log_b(a))，即f(n)与n^log_b(a)同阶。

这时，主定理给出的时间复杂度为T(n) = Θ(n^log_b(a) * log n)。

第三种情况是当f(n) = Ω(n^log_b(a+ε))，其中ε>0，存在一个常数c>1，使得af(n/b) ≥ cf(n)对于足够大的n成立，并且存在一个常数d<1，使得对于足够大的n，af(n/b) ≤ df(n)。

这时，主定理给出的时间复杂度为T(n) = Θ(f(n))。

通过应用主定理，我们可以快速得到递归方程的时间复杂度，而无需详细展开递归式并进行复杂的推导。

这为算法设计和分析提供了便利，使得我们能够更快速地估计算法的运行时间。

算法设计与分析的基本方法1.递推法递推算法是一种用若干步可重复的简运算（规律）来描述复杂问题的方法.递推是序列计算机中的一种常用算法。

它是按照一定的规律来计算序列中的每个项，通常是通过计算机前面的一些项来得出序列中的指定象的值。

其思想是把一个复杂的庞大的计算过程转化为简单过程的多次重复，该算法利用了计算机速度快和不知疲倦的机器特点。

2.递归法程序调用自身的编程技巧称为递归（recursion）。

一个过程或函数在其定义或说明中有直接或间接调用自身的一种方法，它通常把一个大型复杂的问题层层转化为一个与原问题相似的规模较小的问题来求解，递归策略只需少量的程序就可描述出解题过程所需要的多次重复计算，大大地减少了程序的代码量。

递归的能力在于用有限的语句来定义对象的无限集合。

一般来说，递归需要有边界条件、递归前进段和递归返回段。

当边界条件不满足时，递归前进；当边界条件满足时，递归返回。

注意：(1) 递归就是在过程或函数里调用自身;(2) 在使用递归策略时，必须有一个明确的递归结束条件，称为递归出口。

3.穷举法穷举法，或称为暴力破解法，是一种针对于密码的破译方法，即将密码进行逐个推算直到找出真正的密码为止。

例如一个已知是四位并且全部由数字组成的密码，其可能共有10000种组合，因此最多尝试10000次就能找到正确的密码。

理论上利用这种方法可以破解任何一种密码，问题只在于如何缩短试误时间。

因此有些人运用计算机来增加效率，有些人辅以字典来缩小密码组合的范围。

4.贪心算法贪婪算法是一种对某些求最优解问题的更简单、更迅速的设计技术。

用贪婪法设计算法的特点是一步一步地进行，常以当前情况为基础根据某个优化测度作最优选择，而不考虑各种可能的整体情况，它省去了为找最优解要穷尽所有可能而必须耗费的大量时间，它采用自顶向下,以迭代的方法做出相继的贪心选择,每做一次贪心选择就将所求问题简化为一个规模更小的子问题, 通过每一步贪心选择,可得到问题的一个最优解，虽然每一步上都要保证能获得局部最优解，但由此产生的全局解有时不一定是最优的，所以贪婪法不要回溯。

求解递归方程的方法递归方程是一种用于描述数列、函数或其他对象的数学方程。

它通常通过将问题分解成更小的子问题来定义。

解递归方程的方法可以包括：递归直接求解、递归树、主定理、特征根法等。

首先，我们来介绍递归直接求解的方法。

递归直接求解是指通过不断展开递归式，直到出现边界条件，从而得到一系列的函数值，最终可以得到递归式的解。

这种方法通常适用于递归方程比较简单的情况。

举个例子来说明递归直接求解的方法。

假设我们要解递归方程f(n)=f(n-1)+2n，其中f(1)=1、我们可以展开递归式，得到f(n)=f(n-1)+2n=[f(n-2)+2(n-1)]+2n=...=f(1)+2(2)+...+2n=1+2+4+...+2n。

这个等式可以通过求和公式得到解为f(n)=2^(n+1)-2递归树是一种用于解递归方程的图形化工具，它将递归式展开为一个树形结构。

每个结点代表一个递归表达式的计算步骤，而边表示从一个结点到另一个结点的计算关系。

通过分析递归树的结构和计算路径，可以得到递归方程的解。

接下来我们以斐波那契数列的求解为例来介绍递归树的方法。

斐波那契数列的递归方程为f(n)=f(n-1)+f(n-2)，其中f(0)=0，f(1)=1、我们可以通过递归树来展示每一步的计算过程。

```f(5)/\f(4)f(3)/\/\f(3)f(2)f(2)f(1)/\f(2)f(1)```从递归树中可以看出，计算f(5)需要计算f(4)和f(3)，而计算f(4)需要计算f(3)和f(2)，以此类推。

在递归树中，每个结点的计算次数总是与其所对应的递归次数一致。

因此，通过递归树可以推导出递归方程的求解。

主定理是解递归方程的一种重要的数学工具，它适用于形如T(n)=aT(n/b)+f(n)的递归方程的求解。

其中，a≥1，b>1是常数，f(n)是一个任意函数。

主定理给出了递归方程求解的一般公式。

主定理有三种形式：第一种形式适用于f(n) = O(n^c)，其中c<log_b(a)；第二种形式适用于f(n) = Θ(n^c log^k(n))，其中k≥0，c=log_b(a)；第三种形式适用于f(n) = Ω(n^c)，其中c>log_b(a)。

求解递归式的方法递归是一种问题解决方法，它基于将问题分解为更小的子问题，然后通过解决子问题来解决原始问题。

递归式是一种表示一些问题与其子问题之间关系的方程式。

求解递归式的方法包括数学归纳法、递归树、主方法和代换法等。

一、数学归纳法数学归纳法是求解递归式的一种常用方法，它基于递推式的思想。

首先，我们需要证明基础情况的正确性，即递归式是否在一些起始点成立。

然后，我们需要假设递归式在一般情况下成立，即假设递归式对n=k成立，然后证明递归式在n=k+1时也成立。

通过推理和证明，可以得到递归式的解。

二、递归树递归树是一种图形化的表示方法，用于描述递归式的求解过程。

它将问题划分为不同的子问题，并将其表示为树的结构。

递归树的深度表示递归的层数，每个节点表示一个子问题，叶子节点表示基本情况。

通过计算每个节点的代价，可以得到递归式的解。

三、主方法主方法是求解递归式的一种常用方法，它适用于形如T(n) = aT(n/b) + f(n)的递归式，其中a≥1，b>1、主方法的基本原理是通过比较a、b和f(n)的关系，判断递归式的求解复杂度。

主方法分为三种情况：若f(n) = O(n^c)，其中c<log_ba，则T(n) =Θ(n^log_ba)；若f(n) = Θ(n^c)，其中c=log_ba，则T(n) = Θ(n^c logn)；若f(n)= Ω(n^c)，如果af(n/b)≤kf(n)，其中k<1，且存在d≥0使得af(n/b)≥df(n)，则T(n) = Θ(f(n))。

.专业整理..学习帮手.第二章 常用的数学工具2.2 用生成函数求解递归方程 2.2.1 生成函数及其性质一、生成函数的定义定义2.1 令Λ,,,210a a a 是一个实数序列，构造如下的函数：k k kz az a z a a z G ∑∞==+++=02210)(Λ （2.2.1）则函数)(z G 称为序列Λ,,,210a a a 的生成函数。

例：函数nn n n n n n x C x C x C C x ++++=+Λ2210)1(则函数n x )1(+便是序列nn n n n C C C C ,,,,210Λ的生成函数。

二、生成函数的性质1. 加法 设k k k z a z G ∑∞==0)(是序列Λ,,,210a a a 的生成函数，k k kz bz H ∑∞==)(是序列Λ,,,210b b b 的生成函数，则)()(z H z G βα+k k kkk kz bz az H z G ∑∑∞=∞=+=+0)()(βαβαk k k kz b a)(0∑∞=+=βα（2.2.2）.专业整理..学习帮手.是序列Λ,,,221100b a b a b a βαβαβα+++的生成函数。

2．移位 设k k k z a z G ∑∞==0)(是序列Λ,,,210a a a 的生成函数，则)(z G z mkmk m k mzaz G z ∑∞=-=)( （2.2.3）是序列ΛΛ,,,,0,,0210a a a 的生成函数。

3．乘法 设k k k z a z G ∑∞==0)(是序列Λ,,,210a a a 的生成函数，k k kz bz H ∑∞==)(是序列Λ,,,210b b b 的生成函数，则)()(z H z G)()()()(22102210ΛΛ++++++=z b z b b z a z a a z H z GΛ++++++=2021120011000)()(z b a b a b a z b a b a b ak k k z c ∑∞==0（2.2.4）是序列Λ,,,210c c c 的生成函数，其中，k n nk k n b a c -=∑=04. z 变换 设k k k z a z G ∑∞==0)(是序列Λ,,,210a a a 的生成函数，则)(z c GΛ++++=332210)()()()(z c a z c a z c a a z c GΛ++++=33322210z a c z a c z a c a （2.2.5）.专业整理..学习帮手.是序列Λ,,,2210a c a c a 的生成函数。