第三章误差分析理论测量的目的是确定被测量的量值，然而由于下列因素的存在：1．测量设备的不完善；2．测量方法的不完善；3．测量环境的影响；4．测量人员的能力有限；使得测量值与被测量的真值之间，不可避免地存在差异，这种差异的数值表现即为误差。
一、误差概述测量是将被测的物理量与所规定的参考标准进行比较的过程。
例如，测量某一起重机械的外形尺寸大小，就是用米尺与其比较。
至于测量的标定就是为了提供进行比较的参考标准。
实验测定某一机械量，目的在于测出该机械量的真值。
但是在实测中，只能得到在一定程度上接近于真值的测量值，因此测量结果必然产生失真，这种失真则称为误差，即误差＝测量值－真值用符号表示为第一节误差的分类μ-=∆i x x真值：与给定的特定量的定义一致的值。
理论真值：已知的，如三角形内角和为180°约定真值：不确定的，根据多次测量给出，如平均值误差必然存在：误差产生的必然性已被大量实践所证实，也就是说，一切实验结果都会产生误差。
随着科技的发展，测量误差控制得越来越小，但不论小到什么程度误差总是存在的。
在实际测量中，对给定的测量任务只需达到规定的精度要求就行了，决不是精度愈高愈好，否则将导致浪费。
因此，在实际测量中，必须根据测量目的，全面考虑测量的可靠性、精度、经济性和使用简便性。
（一）按误差本身因次分类1.绝对误差某被测量的绝对误差定义为该量的测量值与真值之差，即：绝对误差＝测量值－真值绝对误差可为正或负。
例1：某一标准长度，其约定真值为X ＝100.02mm ，现有A 、B 两台仪器对其进行测量，测量结果如下：X A ＝100.05mm ，X B ＝100.00mm ，试比较两台仪器绝对误差的大小。
解：A仪器的测量误差为：V A ＝X A －X ＝100.05－100.02＝0.03mmB仪器的测量误差为：V B ＝X B －X ＝100.00－100.02＝-0.02mm由于|V A |>|V B |,所以B仪器的绝对误差小。
二、误差的分类（表示方法）例3.2：某电压表量程为50V，准确度级别为1.5级，在对其进行校准时，测30V的标准电压时其最大示值误差为1V，问该电压表是否处于合格状态？’＝1/50×100%=2%解：rα即α’＝2.0，根据实际测量得到的该表的准确度级别为2，达不到1.5级别要求，所以该电表处于不合格状态。
精度等级α：表征测试系统或装置在符合一定的计量要求情况下，能保持其误差在规定的极限范围内。
结果表明，用1.0级仪表比用0.5级仪表的示值相对误差反而小，所以更合适。
（二）测量误差根据其产生原因的分类1.仪器误差：由于仪器的结构、制造不完善，或调整、校正不当等原因而引起的。
（如仪器的结构、制造不完善）2.人为误差：由于测量工作者技术不熟练或其它主观原因而引起的。
（如测量人员视觉存在近视，斜视，弱听等，测量人员的精神状态的变化也会引入误差）3.环境误差：由于测量环境的影响或测量条件的变化而引起的。
（如温度变化引起传感器零漂等等）4.方法误差：由于测量方法不正确而引起的误差。
（如测量仪器的使用方法不对，压力表，航空用高度表）这种误差也称为理论误差和原理误差。
（三）测量误差根据其性质及变化规律的分类1)系统误差：保持一定数值或按一定规律变化的误差，称为系统误差。
例如，由于仪器标度尺刻划得不准确，测量时的温度与仪器的校正温度不相等，测量者观察仪器指针时习惯于斜视等原因引起的误差。
系统误差是有规律的，这种规律体现在每一次具体的测量之中。
因此，通过试验找到这种规律之后，就可以对测量值进行修正，以消除系统误差的影响。
2)随机误差：即使在相同的条件下，对同一个参数重复地进行多次测量，所得到的测定值也不可能完全相同。
这时，测量误差具有各不相同的数值与符号，这种误差称为随机误差。
随机误差反映了许多互相独立的因素有细微变化时的综合影响。
例如，在测量过程中，外界条件(温度、湿度、空气振动和电压波动)的瞬间变化，仪器内部或观测者视线的细微变化，都会导致随机误差的产生。
就个体而言，从单次测量结果来看时没有规律的，但就总体而言，即对一个量进行等精度的多次测量后就会发现，随机误差服从一定的统计规律。
3)疏失(粗大)误差：由于测量工作中的错误、疏忽大意等原因引起的误差，称为疏失(粗大)误差。
例如，仪器操作的错误，观察时读错了数字或小数点位置等等。
疏失(粗大)误差的数值和符号是没有任何规律的。
只要在测量时，做到认真仔细，反复核对数据，疏失误差是可以避免的。
加拿大魁北克省的铁桥多伦多大学Engineering ring根据误差的性质和特点将误差分为3类，但是各类误差之间在一定条件下可以相互转换，尤其是系统误差和随机误差。
三、测量的精密度、准确度和精度⏹在任何测量工作中，测量误差是不可避免的，测量值只是被测参数真值的某个近似值。
由于误差的性质不同，它们对测量值的影响程度也各不相同。
因此，在测量工作中，要使用精密度、准确度和精度等概念，用来判别测量误差的大小和好坏程度。
⏹精密度是指在测量某一参数中测量值的密集(或重复性)程度。
⏹准确度是指测量值与真值符合的程度。
⏹精度是综合地反映精密度和准确度的指标，它反映了测量的总误差，即表达测量结果与被测量的真值的接近程度。
精度反映了测试系统中系统误差和随机误差的综合影响在一组测量中，尽管精密度很好，但准确度不一定很好。
反之，若准确度很好，但精密度也不一定很好。
只有精密度和准确度都好，精度才能达到所需的要求。
四、随机误差的分布规律在讨论随机误差的规律时，一般假设系统误差、疏失(粗大)误差已被消除。
大量试验结果表明，虽然个别的随机误差可能大也可能小，可能为正也可能为负，它们的发生具有随机性(偶然性)，但是它们的总体却符合统计规律。
重复测量的次数越多，这种规律性就越明显。
实践证明随机误差是遵循正态分布规律的。
随机误差的特性：1)对称性——绝对值相等的正负误差，其出现的概率相同；2)有限性——绝对值很大的误差出现的概率接近于零，亦即误差的绝对值有一定的限度；3)分布规律性——绝对值小的误差出现的概率大，而绝对值大的误差出现的概率小；4)相互补偿性——随机误差的算术平均值随测量次数增加而趋于零。
因此，可以用增加测量次数来减小随机误差的影响。
第二节：直接测量与间接测量的误差分析在实际测量中，测量方法一般采用直接测量与间接测量两种方法。
所谓直接测量就是将被测量与标准量直接进行比较。
如用米尺测量起重机的工作幅度、用拉力计测量钢丝绳张力、用位移传感器测量构件变形位移等，都属于直接测量。
间接测量是指被测量不能或不易直接与标准量进行比较，而是通过另外几个可以直接测得的其他参数量与其构成某种函数关系式而求得。
如构件应力测量，是通过测量微应变，然后按一定的公式计算求得。
又如电机驱动功率的测量是通过分别测量输出轴的扭矩和转速，再通过公式计算求得。
诸如此类的测量都属于间接测量。
一、直接测量的误差分析1.测量结果的求取在直接测量中，测量的目的是要求如何从一组测量值中决定最接近真值的数值，也就是说通过有限次的测量求得一个最能代表这些测量数据的确定值。
由于随机误差具有相互补偿性，所以，当测量数据个数超过无穷大时，其算术平均值(数学期望值)不含有随机误差。
如果考虑随机误差的影响，可见算术平均值最能代表测量数据。
因此，可以知道真值的最佳估计就是测量数据的算术平均值。
2．直接测量误差分析1)测量的精密度参数在直接测量中，常用极差R 、标准偏差、变异系数、最大可能误差及概率误差等参数来描述测量精密度。
因此，这些参数被称为测量精密度参数。
①极差R ：极差R 是数据中最大值与最小值之差，即(3-10)式中：x max ——数据中的最大值；x min ——数据中的最小值。
极差R 是一种简单反映测量精密度的参数，反映实际情况的精密度较低，因为它没有利用最大值与最小值之间的其它数据作为评价数据。
min max x x R -=③最大可能误差与概率误差ρ误差之值出现在某一区间内的概率，可以通过式(3-4)来计算。
由于误差分布曲线是对称的，通常取对称区间[-b ，+b ]来估计值出现的概率，即是：一般令b ＝kσ，其中k 称为置信系数。
m δ)()(}|{|}{x d x p b x p b x b p b b∆∆=<∆=≤∆≤-⎰-当k ＝3时，p ＝99.7%,即误差介于±3σ范围内出现的概率为99.7％，这就是说随机误差的可能取值，几乎全部在±3σ之间。
同样当计算p ＝50%的区间时，k ＝0.6745，称为概率误差。
二、间接测量的误差分析间接测量的误差分析是在直接测量的误差分析基础上进行的，如何由直接测量的误差来计算间接测量的误差，此即误差传递规律问题。
1.间接测量结果的求取间接测量结果的求取就是把直接测量的各个参数，根据它们存在的一定函数关系，将直接测得的各参量的算术平均值代人该系数关系式，以求得间接测量的结果。
2.间接测量的误差分析间接测量中经常遇到这样两个问题：一种是已知直接测量值的误差，求间接测量的误差。
另一种是给定间接测量值的误差，求各直接测量值允许的最大误差。
1)由直接测量的误差计算间接测量的误差间接测量值y 与各直接测量参数x 1，x 2，…，x n 之间的关系用函数关系式表示为：y=f (x 1，x 2，…，x n )若各个直接误差导致间接误差为，则有：y ＋=f (x 1＋，x 2＋，…，x n ＋)i x ∆y ∆y ∆1x ∆2x ∆n x ∆例：测量一圆柱体的直径D 和高度H ，欲通过函数关系求出其体积，测量结果如下，试求圆柱体的体积及其偏差范围（置信概率为95％）。
4/2H D V π=n 12345D 9.810.010.19.910.2H1039997101100。
