状态反馈控制器设计综述
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5.状态反馈控制器的设计
Chapter5 状态反馈控制器设计控制方式有“开环控制”和“闭环控制”。
“开环控制”就是把一个确定的信号（时间的函数）加到系统输入端，使系统具有某种期望的性能。
然而，由于建模中的不确定性或误差、系统运行过程中的扰动等因素使系统产生一些意想不到的情况，这就要求对这些偏差进行及时修正，这就是“反馈控制”。
在经典控制理论中，我们依据描述控制对象输入输出行为的传递函数模型来设计控制器，因此只能用系统输出作为反馈信号，而在现代控制理论中，则主要通过更为广泛的状态反馈对系统进行综合。
通过状态反馈来改变和控制系统的极点位置可使闭环系统具有所期望的动态特性。
利用状态反馈构成的调节器，可以实现各种目的，使闭环系统满足设计要求。
参见138P 例5.3.3，通过状态反馈的极点配置，使闭环系统的超调量%5≤p σ，峰值时间（超调时间）s t p 5.0≤，阻尼振荡频率10≤d ω。
5.1 线性反馈控制系统的结构与性质设系统),,(C B A S =为 Bu Ax x+= Cx y = （5-1）经典控制中采用输出(和输出导数)反馈（图5-1）：其控制规律为： v Fy u +-= F 为标量，v 为参考输入 （5-2）Bv x BFC A v Fy B Ax Bu Ax x+-=+-+=+=）（）（ 可见，在经典控制中，通过适当选择F ，可以利用输出反馈改善系统的动态性能。
现代控制中采用状态反馈（图5-2）：其控制规律为： v Kx u +-=，n m K ⨯~ （5-3） （K 的行=u 的行，K 的列=x 的行）称为状态反馈增益矩阵。
状态反馈后的闭环系统),,(C B A S K K =的状态空间表达式为Bv x A Bv x BK A xK +=+-=)( Cx y = （5-4） 式中： BK A A K -≡图5-1 经典控制-输出反馈闭环系统图5-2 现代控制-状态反馈闭环系统若FC K =，“状态反馈”退化成“输出反馈”，表明“输出反馈”只是“状态反馈”的一种特例，因此，在经典控制理论中的“输出反馈”（比例控制P ）和“输出导数反馈”（微分控制D ）能实现的任务，状态反馈必能实现，反之则未必。
状态反馈实验报告总结(3篇)
第1篇一、实验背景在现代控制理论中，状态反馈是控制系统设计中的重要方法之一。
它通过将系统的状态信息反馈到控制输入，实现对系统动态特性的调节和优化。
本实验旨在通过MATLAB软件，验证状态反馈在控制系统设计中的应用，并分析其效果。
二、实验目的1. 理解状态反馈的原理和设计方法；2. 掌握状态反馈在控制系统中的应用；3. 分析状态反馈对系统性能的影响；4. 比较不同状态反馈策略的优劣。
三、实验内容1. 系统模型建立：根据实验要求，建立被控对象的传递函数模型。
2. 状态反馈设计：采用极点配置法，将闭环系统的极点配置在期望的位置上，实现状态反馈。
3. 仿真分析：通过MATLAB软件进行仿真实验，分析不同状态反馈策略对系统性能的影响。
4. 结果比较：比较不同状态反馈策略的优劣，总结实验结论。
四、实验步骤1. 系统模型建立：根据实验要求，建立被控对象的传递函数模型。
2. 状态反馈设计：根据极点配置法，确定闭环系统的极点位置，设计状态反馈控制器。
3. 仿真分析：在MATLAB软件中，搭建仿真模型，设置不同状态反馈策略，进行仿真实验。
4. 结果比较：分析仿真结果，比较不同状态反馈策略的优劣。
五、实验结果与分析1. 系统模型建立根据实验要求，建立被控对象的传递函数模型如下：G(s) = 1 / (s^2 + 2s + 2)2. 状态反馈设计采用极点配置法，将闭环系统的极点配置在期望的位置上，设计状态反馈控制器如下：K = [k1, k2]其中，k1和k2为待定系数。
通过求解以下方程组，确定k1和k2的值：(sI - A - BK)^-1B = C其中，A为系统矩阵，B为输入矩阵，C为输出矩阵，I为单位矩阵。
3. 仿真分析在MATLAB软件中，搭建仿真模型，设置不同状态反馈策略，进行仿真实验。
（1）无状态反馈将K置为零，观察系统响应。
（2）状态反馈根据上述设计的控制器，设置不同的k1和k2值，观察系统响应。
4. 结果比较通过仿真实验，比较不同状态反馈策略的优劣。
状态反馈控制器设计
第五章 状态反馈控制器的设计题目：系统结构图如下图所示：要求：闭环系统的输出超调量σ≤5%，峰值时间t p ≤0.5s 。
分别求出开环、PID 闭环、状态反馈闭环、PID/状态反馈闭环的单位阶跃响应，并分析相应曲线得出结论。
1．开环系统单位阶跃响应图 1 开环系统仿真模型0.0.0.0.1.1.仿真时间（s ）阶跃响应图2 开环系统单位阶跃响应分析：由图中的响应曲线可知开环系统不稳定，通过开环传递函数G K （s ）=3211872s s s++也可以判断出开环系统不稳定。
2．闭环传递函数及其单位阶跃响应（1）闭环传递函数G B (s)=32118721s s s +++，特征根分别为λ1=-12.0138，λ2=-5.9722，λ3=-0.0139。
（2）闭环传递函数仿真模型及其单位阶跃响应曲线见图3、图4。
图3 闭环传递函数仿真模型图4 闭环传递函数单位阶跃响应分析：响应曲线表明，系统是稳定的，但是系统的响应时间太长，远达不到要求。
3．加入PID控制器，并进行参数整定后的单位阶跃响应图 5 PID控制仿真模型其中参数设置为：K p =256.8 ，K i =0.2，K d=23.2。
图6 PID 闭环控制输出波形图分析：通过Workspace 数据查询可知峰值时间tp=0.98686s ，最大输出值为1.0485，所以超调量为4.85%，满足要求，峰值时间达不到要求。
4．加入状态反馈控制器的单位阶跃响应图7 状态反馈控制仿真模型其中H1 到H3依次为10000、284.8、96.1。
0.0.0.0.1.-4t i m e(sec)O u t p u t图8 状态反馈控制单位阶跃响应分析：通过Workspace数据查询可知峰值时间tp=0.4492s，最大输出值为1.0449，所以超调量为4.49%，满足性能指标要求。
5．状态反馈/PID控制的单位阶跃响应图9 状态反馈/PID控制仿真模型其中PID参数设置为：K p =1.05 ，K i =0.01，K d=0；状态反馈控制H1 到H3依次为10000、284.8、96.1。
现代控制理论状态反馈控制器设计
[ ] K = b0 − a0 b1 − a1 L bn−2 − an−2 bn−1 − an−1 T
例 已知被控系统的传递函数是
G(s) =
10
s(s + 1)(s + 2)
设计一个状态反馈控制器，使得闭环极点是-2，−1 ± j 解 确定能控标准型实现
⎡0 1 0⎤ ⎡0⎤ x& = ⎢⎢0 0 1⎥⎥ x + ⎢⎢0⎥⎥u
实现极点配置的条件：
3 + k3 = 4 2 + k2 = 6
k1 = 4
⇒ k1 = 4, k2 = 4,
极点配置状态反馈控制器是 u = −[4 4 1]x
k3 =1
分析：ห้องสมุดไป่ตู้点：能控标准型使得计算简单；
缺点：能控标准型中的状态往往难以直接测量；
解决方法：考虑新的实现。串连分解
u
1
x3
s+2
1 x2 s +1
确定参数 a0 , a1 , L, an−1 3。确定转化为能控标准型的变换矩阵 T = Γc[A~, B~](Γc[A, B])−1 4。确定期望特征多项式系数
（λ − λ1（) λ − λ2 )L（λ − λn ) = λn + bn−1λn−1 + L + b1λ + b0
5。确定极点配置反馈增益矩阵
状态反馈控制律：
u = −[k0 k1 k2 ]x
得到的闭环系统： 特征多项式：
⎡0
x&
=
⎢ ⎢
0
⎢⎣− a0 − k0
1 0 − a1 − k1
0⎤
1
⎥ ⎥
x
=
Ac
x
例 已知被控系统的传递函数是
G(s) =
10
s(s + 1)(s + 2)
设计一个状态反馈控制器，使得闭环极点是-2，−1 ± j 解 确定能控标准型实现
⎡0 1 0⎤ ⎡0⎤ x& = ⎢⎢0 0 1⎥⎥ x + ⎢⎢0⎥⎥u
实现极点配置的条件：
3 + k3 = 4 2 + k2 = 6
k1 = 4
⇒ k1 = 4, k2 = 4,
极点配置状态反馈控制器是 u = −[4 4 1]x
k3 =1
分析：ห้องสมุดไป่ตู้点：能控标准型使得计算简单；
缺点：能控标准型中的状态往往难以直接测量；
解决方法：考虑新的实现。串连分解
u
1
x3
s+2
1 x2 s +1
确定参数 a0 , a1 , L, an−1 3。确定转化为能控标准型的变换矩阵 T = Γc[A~, B~](Γc[A, B])−1 4。确定期望特征多项式系数
（λ − λ1（) λ − λ2 )L（λ − λn ) = λn + bn−1λn−1 + L + b1λ + b0
5。确定极点配置反馈增益矩阵
状态反馈控制律：
u = −[k0 k1 k2 ]x
得到的闭环系统： 特征多项式：
⎡0
x&
=
⎢ ⎢
0
⎢⎣− a0 − k0
1 0 − a1 − k1
0⎤
1
⎥ ⎥
x
=
Ac
x
极点配置状态反馈控制器的设计
极点配置状态反馈控制器的设计王俊伟于新海(河套学院机电工程系)摘要围绕双级倒立摆案例，对极点配置状态反馈控制器的设计方法展开讨论，对最终的计算结果进行仿真,并通过仿真结果分析了系统的稳定性、动态性能和稳态误差情况。
倒立摆的开环系统状态空间模型状态不稳定且动态性能较差，通过引进极点配置状态反馈控制器，倒立摆的闭环系统状态达到稳定，而且动态性能得到改善。
关键词状态反馈控制器双级倒立摆极点配置能控标准型爱克曼公式动态特性稳态误差中图分类号TH865文献标识码B文章编号1000-3932(2021)01-0015-05极点配置状态反馈控制器设计得好坏直接决定了控制系统动态性能的优劣！配置极点的目的不仅是使系统稳定还要使系统的动态性能满足控制要求[1]!在配置状态反馈控制器时，根据被控制对象的要求，可以采用3种方法实现:极点配置状态反馈控制器的直接法、极点配置状态反馈控制器的变换法和爱克曼公式[2]'这3种方法仅适用于单输入系统，优点是只要系统能控，就可以实现极点配置的状态反馈，缺点是不能用于多输入系统的极点配置状态反馈控制器。
对于单输入系统，如果系统能控可以实现极点的任意配置,改善动态性能，但有可能使闭环控制系统的稳态误差变大[3]!1极点配置状态反馈控制器的直接法线性时不变系统如下:x=Ax+Bu(])'=Cx其中,X是系统的*维状态向量;*是状态向量对时间的导数;u是状态反馈控制律；#、B和C是适当维数的已知常数矩阵;'是系统的输出。
采用的状态反馈控制律是:u=-kx+v(2)其中，-是一维外部输入;k是反馈增益矩阵。
将式(2)代入式(1)得到闭环系统状态方程：*二(.-Bk)x+B-(3)极点配置状态反馈控制器的直接法分5步实现⑷。
第1步,检验系统(1)的能控性,如果系统能控,进行第2步。
第2步，计算闭环系统特征多项式：)et[!0—(#—Bk)]二！*+(3*_]+k*_14!*i1--------(3]+k])!+30+,0(4)其中，！是闭环极点。
现代控制理论5状态反馈控制器的设计2
应速度等等 • 系统稳定性的决定因素：系统极点 • 影响动态性能的因素：二阶系统（极点位置），
高阶系统（一对主导极点） • 结论：极点影响系统的稳定性和动态性能。
• 线性系统：
x& Ax Bu
状态反馈：u Kx
闭环系统的状态方程为：
x& (A BK)x
• 需要回答两个问题：
➢在什么条件下，或者说对什么样的系统， 极点配置问题可解，即使得闭环系统具 有给定极点的状态反馈控制器存在性。
• 状态空间模型的线性系统：
状态反馈控制： 闭环系统：
• 输出反馈控制：
x& (A BFC)x Bv
y
Cx
5.1.2 反馈控制的性质
• 在静态反馈下，闭环系统矩阵分别变为：
• 结论：反馈可以改变系统的动态特性。
• 定理5.1.1 状态反馈不改变被控系统的能 控性。
证明方法一；
证明方法二。
K=-[0.3125 0.9375]x
5.3 极点配置
• 5.3.1 问题的提出 • 5.3.2 极点配置可解的条件和方法 • 5.3.3 极点配置状态反馈控制器的设计算
法
5.3.1 问题的提出
• 系统性能：稳态性能和动态性能 • 稳态性能：稳定性、静态误差 • 动态性能：调节时间、超调量、上升时间、响
解；
✓导出了极点配置状态反馈控制律； ✓极点配置状态反馈控制律是唯一的。
• 例： 考虑系统
设计一个状态反馈控制器，使得闭环系统 的极点分别是－2和－3。
• 例：已知被控系统的传递函数为
设计一个状态反馈控制器，使得闭环系统
的极点为
。
• 例：已知被控系统为：
0 0 0 1
x& 1 6
高阶系统（一对主导极点） • 结论：极点影响系统的稳定性和动态性能。
• 线性系统：
x& Ax Bu
状态反馈：u Kx
闭环系统的状态方程为：
x& (A BK)x
• 需要回答两个问题：
➢在什么条件下，或者说对什么样的系统， 极点配置问题可解，即使得闭环系统具 有给定极点的状态反馈控制器存在性。
• 状态空间模型的线性系统：
状态反馈控制： 闭环系统：
• 输出反馈控制：
x& (A BFC)x Bv
y
Cx
5.1.2 反馈控制的性质
• 在静态反馈下，闭环系统矩阵分别变为：
• 结论：反馈可以改变系统的动态特性。
• 定理5.1.1 状态反馈不改变被控系统的能 控性。
证明方法一；
证明方法二。
K=-[0.3125 0.9375]x
5.3 极点配置
• 5.3.1 问题的提出 • 5.3.2 极点配置可解的条件和方法 • 5.3.3 极点配置状态反馈控制器的设计算
法
5.3.1 问题的提出
• 系统性能：稳态性能和动态性能 • 稳态性能：稳定性、静态误差 • 动态性能：调节时间、超调量、上升时间、响
解；
✓导出了极点配置状态反馈控制律； ✓极点配置状态反馈控制律是唯一的。
• 例： 考虑系统
设计一个状态反馈控制器，使得闭环系统 的极点分别是－2和－3。
• 例：已知被控系统的传递函数为
设计一个状态反馈控制器，使得闭环系统
的极点为
。
• 例：已知被控系统为：
0 0 0 1
x& 1 6
倒立摆系统状态反馈控制器的设计【开题报告】
许多新的控制理论，都通过倒立摆实验加以验证，如模糊控制、神经网络控制、 拟人控制都受到倒立摆的检验。通过对倒立摆的控制，我们能用来检验新的控制方 法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。因此倒立摆具有重要的理论价 值。该课题的研究一直受到国内外者的广泛关注，成为控制热门研究课题之一。
在国外，对倒立摆系统稳定控制的研究始于 60 年代，我国则从 70 年代中期开始 研究。对倒立摆系统的研究，主要是对两个问题进行考虑。一个是如何使倒立摆起 摆；另一个是如何使倒立摆稳定摆动。目前，对这两个问题的研究非常热门。很多学 者已对这两个问题提出了不同的控制方法。
用不同的控制方法控制不同类型的倒立摆，已经成为了最具有挑战性的课题之 一。国内外对倒立摆系统提出并实现多种控制方法，状态反馈控制是其中的一种。状 态反馈控制实际上指系统的状态变量通过比例环节送到输入端去的反馈方式。状态反 馈控制方式体现了现代控制理论的特色。状态反馈中的状态变量能较好地反映系统的 内部特性，所以状态反馈控制比输出反馈控制能更好地改善系统的性能。因为状态反 馈的状态变量反映的是系统内部特性，故状态变量一般很难从外部直接测量出。
开题报告
电气工程及自动化
倒立摆系统状态反馈控制器的设计
一、综述本课题国内外研究动态，说明选题的依据和意义 倒立摆作为一个研究控制理论的实验装置，其系统具有高阶次、不稳定、多变
量、非线性和强耦合等特性，现代控制理论的研究人员将它视为典型的研究对象，这 是因为倒立摆的控制过程能有效地反映控制中的许多关键问题，问题随动问题以及 跟踪问题。并且可以不断从中发掘出新的控制策略和控制方法。二十世纪九十年代以 来，更加复杂多种形式的倒立摆系统成为控制理论研究领域的热点。随着摆杆上端继 续再铰链另外的摆杆，控制难度将不断增大。因此，多级倒立摆的高度非线性和不确 定性，使其控制稳定成为控制界公认的难题。
在国外，对倒立摆系统稳定控制的研究始于 60 年代，我国则从 70 年代中期开始 研究。对倒立摆系统的研究，主要是对两个问题进行考虑。一个是如何使倒立摆起 摆；另一个是如何使倒立摆稳定摆动。目前，对这两个问题的研究非常热门。很多学 者已对这两个问题提出了不同的控制方法。
用不同的控制方法控制不同类型的倒立摆，已经成为了最具有挑战性的课题之 一。国内外对倒立摆系统提出并实现多种控制方法，状态反馈控制是其中的一种。状 态反馈控制实际上指系统的状态变量通过比例环节送到输入端去的反馈方式。状态反 馈控制方式体现了现代控制理论的特色。状态反馈中的状态变量能较好地反映系统的 内部特性，所以状态反馈控制比输出反馈控制能更好地改善系统的性能。因为状态反 馈的状态变量反映的是系统内部特性，故状态变量一般很难从外部直接测量出。
开题报告
电气工程及自动化
倒立摆系统状态反馈控制器的设计
一、综述本课题国内外研究动态，说明选题的依据和意义 倒立摆作为一个研究控制理论的实验装置，其系统具有高阶次、不稳定、多变
量、非线性和强耦合等特性，现代控制理论的研究人员将它视为典型的研究对象，这 是因为倒立摆的控制过程能有效地反映控制中的许多关键问题，问题随动问题以及 跟踪问题。并且可以不断从中发掘出新的控制策略和控制方法。二十世纪九十年代以 来，更加复杂多种形式的倒立摆系统成为控制理论研究领域的热点。随着摆杆上端继 续再铰链另外的摆杆，控制难度将不断增大。因此，多级倒立摆的高度非线性和不确 定性，使其控制稳定成为控制界公认的难题。
第五章状态反馈控制器设计ppt课件
检验：eig(A-B*K)
极点配置的优点：
可以改善系统的稳定性、动态性能
5.4 跟踪控制器设计
极点配置的优点：改善系统的稳定性、动态性能
那么，对稳态性能、静态误差等的影响？
例 已知被控对象的状态空间模型为
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
如何从能控标准型模型的解导出一般模型的极
点配置控制器。
系统模型
假定该状态空间模型是能控的，则存在线性变换
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
其中
对能控标准型和给定的极点
可得极点配置状态反馈增益矩阵
矩阵P是对称的，
若选取
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
控制器设计转化为以下矩阵方程的求解问题：
（黎卡提矩阵方程）
优点：若对给定的常数，以上矩阵方程有解，
则对任意的
都是系统的稳
例 考虑系统在状态反馈
下的闭环系统
能控能观性。
结论：能控，不能观。
状态反馈使得闭环系统产生了零极点的对消。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
定理5.1.2输出反馈不改变系统的能控能观性。
状态反馈控制系统的设计与实现
控制工程学院课程实验报告:现代控制理论课程实验报告实验题目：状态反馈控制系统的设计与实现班级自动化（工控）姓名曾晓波学号2009021178 日期2013-1—6一、实验目的及内容实验目的:(1 ）掌握极点配置定理及状态反馈控制系统的设计方法；（2 ）比较输出反馈与状态反馈的优缺点;（3 ）训练Matlab程序设计能力。
实验内容：(1 )针对一个二阶系统,分别设计输出反馈和状态反馈控制器；（2 ）分别测出两种情况下系统的阶跃响应；（3 )对实验结果进行对比分析。
二、实验设备装有MATLAB的PC机一台三、实验原理一个控制系统的性能是否满足要求，要通过解的特征来评价，也就是说当传递函数是有理函数时,它的全部信息几乎都集中表现为它的极点、零点及传递函数。
因此若被控系统完全能控，则可以通过状态反馈任意配置极点,使被控系统达到期望的时域性能指标。
闭环系统性能与闭环极点(特征值）密切相关，在状态空间的分析和综合中，除了利用输出反馈以外，主要利用状态反馈来配置极点,它能提供更多的校正信息.(一) 利用状态反馈任意配置闭环极点的充要条件是：受控系统可控。
设SIMO （Single Input —Multi Output ）受控系统的动态方程为状态向量x 通过状态反馈矩阵k ，负反馈至系统参考输入v ，于是有这样便构成了状态反馈系统，其结构图如图1-1所示图1—1 SIMO 状态反馈系统结构图状态反馈系统动态方程为闭环系统特征多项式为()()f I A bk λλ=-+ （1—2) x b v u 1s C A k-y x设闭环系统的期望极点为1λ，2λ，…，n λ，则系统的期望特征多项式为)())(()(21*n f λλλλλλλ---= （1—3） 欲使闭环系统的极点取期望值，只需令式（1—2)和式（1-3）相等,即)()(*λλf f = (1-4） 利用式（1-4）左右两边对应λ的同次项系数相等,可以求出状态反馈矩阵 []n k k k 21=k(二) 对线性定常连续系统∑(A ，B ,C ），若取系统的输出变量来构成反馈,则所得到的闭环控制系统称为输出反馈控制系统。
稳定化状态反馈控制器设计 - 稳定化状态反馈控制器设计(ppt文档)
对任意的 k 1 ，稳定化控制律：
p3 3 2
u kB T Px k[ p2 p3 ]x
k 1 3 31 4 x 2
线性矩阵不等式处理方法。
控制器设计问题转化为以下矩阵方程的求解问题：
ATP PA 2kPBBTP I 0 （黎卡提矩阵方程） 优点：若对给定的常数 k0 ，以上矩阵方程有解，则对 任意的 k k0 ，u kBTPx 都是系统的稳定化控制律。 结论：正无穷大的稳定增益裕度！
例 设计系统的一个稳定化状态反馈控制律
dV (x) dt xT (AT P PA)x 2xT PBu
若选取 u kBT Px, k 0
dV ( x) dt xT ( AT P PA) x 2kxT PBBT Px xT ( AT P PA 2kPBBT P) x
ATP PA 2kPBBTP I dV (x) dt xT x 0
0 1[0
1]
p1 p2
p2 p3
1 0
0 1 0
展开矩阵方程，得到
2 p2
2
p
2 2
1
0
2 p2 2 p32 1 0
p1 p3 2 p2 p3 0
求取一个正定的解矩阵
p1 3 3 2, p2 (1 3) 2 ,
取k=1，则
x1 x 2
0 1
1 x1
0
x
2
0 1u
0 1 p1
1
0
p
2
p2 p3
p3 3 2
u kB T Px k[ p2 p3 ]x
k 1 3 31 4 x 2
线性矩阵不等式处理方法。
控制器设计问题转化为以下矩阵方程的求解问题：
ATP PA 2kPBBTP I 0 （黎卡提矩阵方程） 优点：若对给定的常数 k0 ，以上矩阵方程有解，则对 任意的 k k0 ，u kBTPx 都是系统的稳定化控制律。 结论：正无穷大的稳定增益裕度！
例 设计系统的一个稳定化状态反馈控制律
dV (x) dt xT (AT P PA)x 2xT PBu
若选取 u kBT Px, k 0
dV ( x) dt xT ( AT P PA) x 2kxT PBBT Px xT ( AT P PA 2kPBBT P) x
ATP PA 2kPBBTP I dV (x) dt xT x 0
0 1[0
1]
p1 p2
p2 p3
1 0
0 1 0
展开矩阵方程，得到
2 p2
2
p
2 2
1
0
2 p2 2 p32 1 0
p1 p3 2 p2 p3 0
求取一个正定的解矩阵
p1 3 3 2, p2 (1 3) 2 ,
取k=1，则
x1 x 2
0 1
1 x1
0
x
2
0 1u
0 1 p1
1
0
p
2
p2 p3
现代控制理论__状态反馈控制系统的设计与实现
现代控制理论 课程实验报告实验题目： 状态反馈控制系统的设计与实现班级 姓名 学号 日期一、 实验目的及内容实验目的：1.1.掌握极点配置定理及状态反馈控制系统的设计方法；1.2.比较输出反馈与状态反馈的优缺点；1.3.训练Matlab 程序设计能力。
实验内容：2.1.针对一个二阶系统，分别设计输出反馈和状态反馈控制器；2.2.分别测出两种情况下系统的阶跃响应；2.3.对实验结果进行对比分析。
2.4.首先应该选取一个既可控又可观测的二阶系统，设置其在未加任何反馈的情况下，观察期波形，可以直观了解系统特性；2.5.其次在前面二阶系统的前提下，加入状态反馈，对系统最后特性产生的变化也可以由示波器来表示，方便直观比较并进行分析；状态反馈 ()()B BK A sI c s G k 1-+-= 2.6.最后对无反馈的二阶系统，加入输出反馈至状态微分，利用仿真示波器观察该情况下的阶跃响应；输出反馈至状态微分 ()()B HC A sI C s G H 1-+-= 二、 实验设备MATLAB 软件 PC 机三、 实验原理3.1.状态反馈进行极点配置的充分必要条件是：系统完全可控；输出反馈进行极点配置的充分必要条件是：系统完全可观测。
3.2.线性定常系统完全可控的充要条件：rank B AB … 1-n A B =n ，n 为A 的维数3.3.线性定常系统完全可观测的充要条件:rank C T C T A T ⋯ A T n −1C T =n,n 为A 的维数。
3.4极点配置：二阶系统的状态反馈矩阵]2k 1[ k K ,输出反馈矩阵]21[h h H 。
四、 实验步骤4.1.选取一个既可控有可观测的二阶系统，其对应的系统闭环传递函数如：()()1212++=s s s U s Y ,设置希望配置的闭环极点：4]3[--= P 。
4.2.进行可控、可观测判断：因为系统传递函数的分子、分母不存在零极点对消，故系统可控可观测。
线性时不变系统的状态反馈控制器设计
线性时不变系统的状态反馈控制器设计前言前面一篇博客介绍了基于状态空间模型的系统分析。
本篇博客将针对线性时不变系统，基于状态空间模型并根据系统的性能要求来设计控制系统。
一个系统的控制方式有开环控制和闭环控制。
开环控制指的是把一个确定的控制信号（关于时间的函数）加到系统的输入端，使得系统具有其中一种期望的性能，如稳定的跟踪一些参考输入或者使系统的状态达到一些特定值，等等。
上一篇博客讲的系统的能控性就是利用了开环控制，即存在一个特定的控制作用（开环控制）使得系统在有限时间内，从初始状态转移到零状态。
然而，由于建模存在的不确定性或误差、系统运行过程中的扰动等因素，使得我们没办法获得实际物理系统的真实动态方程，我们能得到的仅仅是粗略的低阶的名义模型或有时又称标称模型。
因此在对实际系统的控制过程中，若不能根据系统当前的运行状况及时修改系统的行为，而仍按照名义模型设计的开环控制作用会使得实际系统产生一些意想不到的情况，很难使实际物理系统按我们原先所期望的方式运行。
因此，我们必须根据系统的运行状况实时地来确定控制信号而不是采用预先设计好的控制信号，这就是反馈控制（feedback control）。
在经典控制理论中，我们依据描述对象输入输出行为的传递函数模型来设计控制器，因此只能用系统的可测量输出作为反馈信号。
而现代控制理论则是用刻画系统内部特征的状态空间模型来描述对象，出了可测量的输出信号外，还可以用系统的内部状态来作为反馈信号。
根据可利用的信息是系统的输出还是状态，相应的反馈控制可分为输出反馈和状态反馈。
本篇博客以状态空间模型描述的线性时不变系统为研究对象，介绍状态反馈控制器的一些设计方法。
首先介绍反馈控制的种类、结构及其对系统性能的影响。
进而介绍改善系统动态性能的极点配置方法，提出极点配置状态反馈控制律的设计算法。
针对极点配置方法可能影响系统稳态性能的问题，介绍了实现精确跟踪的控制系统设计方法。
线性反馈控制系统控制系统结构控制系统由被控对象和控制器（controller）两部分组成。
状态反馈实验报告分析(3篇)
第1篇一、实验背景状态反馈是自动控制系统中一种重要的控制策略，它通过利用系统的状态信息来调节系统的控制量，从而实现对系统性能的改善。
本实验旨在通过搭建一个简单的状态反馈控制系统，验证状态反馈对系统稳定性和性能的影响。
二、实验目的1. 理解状态反馈的基本原理；2. 掌握状态反馈控制系统的设计方法；3. 分析状态反馈对系统稳定性和性能的影响；4. 通过实验验证状态反馈控制策略的有效性。
三、实验原理状态反馈控制系统的基本原理是将系统的状态信息通过传感器反馈到控制器，控制器根据反馈信息调整控制量，进而改变系统的状态，实现控制目标。
状态反馈控制系统的数学模型如下：$$\begin{align}\dot{x}(t) &= A\cdot x(t) + B\cdot u(t) \\y(t) &= C\cdot x(t) + D\cdot u(t)\end{align}$$其中，$x(t)$ 为系统状态向量，$u(t)$ 为控制量，$y(t)$ 为输出量，$A$、$B$、$C$、$D$ 为系统矩阵。
四、实验设备1. 信号发生器：产生不同频率和幅值的正弦信号；2. 数据采集器：实时采集实验数据；3. 控制器：实现对系统的状态反馈；4. 仿真软件：MATLAB/Simulink。
五、实验步骤1. 搭建状态反馈控制系统模型，设置系统参数；2. 通过信号发生器输入不同频率和幅值的正弦信号，观察系统的输出；3. 在系统中引入状态反馈，观察系统输出变化；4. 分析状态反馈对系统稳定性和性能的影响；5. 记录实验数据，进行实验结果分析。
六、实验结果与分析1. 实验结果（1）未引入状态反馈时，系统输出随输入信号频率增加而逐渐衰减，但稳定性较差；（2）引入状态反馈后，系统输出随输入信号频率增加而衰减速度加快，稳定性得到显著提高；（3）随着反馈系数的增大，系统稳定性逐渐提高，但可能引入饱和现象。
2. 实验分析（1）状态反馈能够提高系统的稳定性，减小系统输出误差；（2）反馈系数的选择对系统稳定性有重要影响，过大或过小都可能影响系统性能；（3）在实际应用中，需要根据系统特性和控制目标选择合适的反馈系数。
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状态反馈控制器 闭环多项式： 期望多项式：
实现极点配置的条件：
极点配置状态反馈控制器是 分析：优点：能控标准型使得计算简单； 缺点：能控标准型的状态难以直接测量； 解决方法：考虑新的实现。串连分解
状态空间实现是
直接法 反馈增益矩阵
闭环特征多项式 期望特征多项式
比较后可得 极点配置状态反馈控制器是 变换法 确定变换矩阵
第5章 状态反馈控制器设计
√ 建立了状态空间模型������ √ 提出了基于状态空间模型的运动分析������ √ 探讨了系统的定性分析： 稳定性、能控性、能观性 设计控制系统！ 开环控制、闭环控制 经典控制中，用系统输出作为反馈控制器的入； 根据系统信息：状态反馈、输出反馈。
5.1 线性反馈控制系统 系统模型
5.2.1 黎卡提方程处理方法 如何使 是闭环系统李雅普诺夫方程？
矩阵P是对称的，
若选取
控制器设计转化为以下矩阵方程的求解问题： （黎卡提矩阵方程） 优点：若对给定的常数，以上矩阵方程有解， 则对任意的 都是系统的稳 定化控制律。 结论：正无穷大的稳定增益裕度！ 例 设计系统的一个稳定化状态反馈控制律
从能控系统入手，以3阶能控标准型为例：
状态反馈控制律： 得到的闭环系统是
其特征多项式是
期望的闭环特征多项式 要实现极点配置，须
结论：������ 对3阶能控标准型系统，极点配置问题可解； 导出了极点配置状态反馈控制律；������ 极点配置状态反馈控制律是惟一的。 例 对系统 设计状态反馈控制，使得闭环系统的极点是-2和-3
极点配置状态反馈增益矩阵
Hale Waihona Puke 直接法和变换法得到的结果是一致的。说明了惟一性。
例 对系统设计状态反馈控制器，使得闭环系统渐 近稳定，
且闭环系统的输出超调量 系统的一个状态空间模型
，峰值时间
系统能控，故可以通过状态反馈任意配置极点。 系统无开环零点，闭环系统性能完全由极点决定！ 一对主导极点：
ζ和
是二阶系统的阻尼比和无阻尼自振频率
系统模型 假定该状态空间模型是能控的，则存在线性变换 其中
对能控标准型和给定的极点 可得极点配置状态反馈增益矩阵
，
即： 问题：目前的增益矩阵用到变换后的状态。 如何得到适合于原来模型的控制律呢？ 利用特征值的关系：
定理 对一个能控系统，可以通过状态反馈任意配 置闭环系统极点。 理论上可以证明：若一个系统可以通过状态反馈 任意配置极点，那么它一定是能控的。
5.1.1 反馈控制系统结构。 v为外部输入； 控制器：动态补偿器、静态反馈控制器。 状态反馈控制器： K称为是状态反馈增益矩阵。 闭环系统：
静态线性输出反馈控制：
若v表示系统的参考输入，用 代替， 可得 用输出误差来校正系统。当 时，状态 反馈变为输出反馈。一类特殊输出反馈。
5.1.2 反馈控制的性质 在静态反馈下，闭环系统矩阵变为
5.3.1 问题的提出 闭环系统： 根据系统性能要求确定闭环极点 求矩阵K，使得
，
5.3.2 极点配置问题可解的条件和方法 在什么条件下，极点配置问题可解？即存在使 得闭环系统具有给定极点的控制器。������ 如何设计具有给定闭环极点的控制器？
解决问题的思路：首先对特殊的系统讨论； 对一般的系统，设法化成特殊系统分析算法的可行性。
状态和输出反馈均可保持闭环系统的能控性； 输出反馈保持闭环系统的能观性，但状态反馈不能； 利用系统的信息多，所能达到的性能好。
5.2 稳定化状态反馈控制器设计
基于李雅普诺夫稳定性理论设计稳定化控制器 系统模型： 控制律： 闭环系统： 闭环系统渐近稳定的充分必要条件是： 即李雅普诺夫稳定性定理 关键的问题：如何确定以上的矩阵K 和P。
分别乘以
，再相加可得
由能控性，可得
爱克曼公式： 例 对传递函数描述的二阶系统 ，确定 一个状态反馈控制律，使得闭环极点位于 解 期望闭环多项式： 对象的状态空间实现：
能控性矩阵：
爱克曼公式：
关于极点配置问题：
1。n个极点，以共轭对的形式出现； 2。主导极点； 3。考虑到零点的影响； 4。系统响应速度并非越快越好； 5。单输入系统，极点配置不影响零点分布； 6。单输入能控系统，控制器惟一，多输入则不惟一； 7。区域极点配置。 不足：需要用到全部状态。
结论：反馈可以改变系统的动态特性。 定理5.1.1 状态反馈不改变系统的能控性。 例 考虑系统在状态反馈 下的闭环系统 能控能观性。 结论：能控，不能观。
状态反馈使得闭环系统产生了零极点的对消。
定理5.1.2输出反馈不改变系统的能控能观性。 定理5.1.3状态反馈不改变单输入单输出系统零点 5.1.3 两种反馈形式的讨论：������ ������
闭环特征多项式： 期望特征多项式：
比较可得：
极点配置状态反馈控制律： 闭环系统状态变量图：
以上的方法可以推广到n阶能控标准型模型
问题：对一般状态空间模型，如何解极点配置？ 思路：考虑能控状态空间模型 将能控状态空间模型等价地转化为能控标准型 如何从能控标准型模型的解导出一般模型的极 点配置控制器。
可得 取 则 为保证主导极点，第3个极点选为
期望特征多项式：
原模型等价变换为能控标准型
要求的状态反馈增益矩阵
闭环系统：
单位阶跃响应： 峰值时间为0.4到0.5秒 5.3.4 爱克曼（Ackermann）公式 极点配置状态状态反馈增益矩阵K的解析表达式 闭环系统特征多项式：
闭环矩阵满足 问题：如何从以上的关系式来确定增益矩阵K？ 从关系式
展开矩阵方程，得到
求取一个正定的解矩阵
对任意的
，稳定化控制律：
5.3 极点配置 系统性能：稳态性能和动态性能 稳态性能：稳定性、静态误差 动态性能：调节时间、振荡、超调、上升时间... 系统稳定性的决定因素：系统极点 影响动态性能的因素：二阶系统（极点位置） 高阶系统（一对主导极点） 结论：极点影响系统的稳定性和动态性能
5.3.3 极点配置状态反馈控制器的设计算法 给定系统模型 和闭环极点 1。检验系统的能控性； 2。根据 确定参数 3。确定转化为能控标准型的变换矩阵 4。确定期望特征多项式系数 5。确定极点配置反馈增益矩阵
例
已知被控系统的传递函数是
设计一个状态反馈控制器，使闭环极点是-2,-1±j 解 确定能控标准型实现