完整word版,苏州大学高数上期末复习题4
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复习题四
一. 填空题: 1.(5分)
()2
ln cos d x dx
⎡⎤=⎣⎦ 。
2.(5分)若()f x 在[],a b (其中a b <)上连续,在(),a b 上二阶 可导,且 ,则()y f x =在[],a b 上的曲线是凸的。
3.(5分)4
2
21x dx x
-=+⎰ 。 4.(5分)设()f x '在[]1,3上连续,则[]
3
2
1
()1()f x dx f x '=+⎰
。
5.(5分)已知3,5,8,a b a b ==+=r r r r 则a b =r r g 。
二. 单选题:
1.(5分)已知曲线L 的参数方程是2(sin )
2(1cos )
x t t y t =-⎧⎨=-⎩,则曲线L 上
2
t π=
处的切线方程是:
(A )x y π+=; (B )4x y π-=-; (C )x y π-=; (D )4x y π+=-; 答:( ) 2.(5分)设2()(1)()f x x g x =-,其中()g x 在1x =及其邻域有定义, 则1
lim ()x g x →存在是()f x 在1x =处可导的
(A )充分条件; (B) 必要条件; (C )既不充分又不必要条件; (D )充要条件; 答:( )
3.(5分)设()sin cos22
x
f x x =+,则()27()f π的值等于
(A )0; (B )27
1
2-; (C )2727122
-
; (D )27
2; 答:( )
4.(5分)下列各命题中哪一个是正确的?
(A )()f x 在(,)a b 内的极值点,必定是使()0f x '=的点。 (B )()0f x '=的点,必定是()f x 的极值点。
(C )()f x 在(,)a b 内取得极值的点处,其导数()f x '必不存在。 (D )()0f x '=的点是()f x 可能取得极值的点。
答:( )
5.(5分)若2,01
(),12x x f x x x ⎧≤<=⎨≤≤⎩
,则0()()x x f t dt φ=⎰在开区间(0,2)上
(A )有第一类间断点; (B )有第二类间断点; (C )两类间断点都可能有; (D )是连续的; 答:( )
三. 试解下列各题:
1.(5分)已知()y y x =由参数方程21cos x t y t
⎧=+⎨=⎩所确定,求220lim t d y
dx →。
2.(5分)求极限1lim
(1)x
x x e →∞
-。
3.(6分)计算4220cos sin x xdx π
⎰。
4.(6分)计算dx +⎰
5.(6分)计算(12sin )x x e dx --⎰。
6.(6分)证明:方程sin (,0)x a x b a b =+>至少有一正根,
并且它不超过a b +。
四.(6分)若存在两实数,()
<,使函数()
a b a b
f x对一切实数x
满足()(),()()
f a x f a x f b x f b x
-=-+-=-+,
试证:()
=-为周期的周期函数。
f x是以2()
T b a
五.(10分)求曲线
y=
==所围成的平面图形面积最小。
x x
0,2
苏州大学 高等数学(上)课程(十三)卷参考答案 共3页 院系
专业
一. 1.22tan x x - 2.()0f x ''<
3.3
arctan 3
x x x C -++
4.arctan (3)arctan (1)f f - 5.15 二.
1.B 2。D 3。A 4。D 5。D 三. 1. 解:
()sin ()2dy y t t dx x t t '-==', (2分) 22231cos sin 1sin cos 224d y t t t t t t
dx t t t --=-=, (1分) 2232000sin cos sin 1lim lim lim 41212
t t t d y t t t t t dx t t →→→-=== (2分) 2.解:原式=11
lim 1x
x e x
→∞
- (3分) 11
221()lim
lim 11
x
x x x e x e x
→∞
→∞-
===- (2分)
3.解:原式=4220cos (1cos )x x dx π
-⎰ (2分)
=4
6220031531cos cos 4226422
xdx xdx ππ
ππ
-=
-⎰⎰ (2分) =
32
π
(2分)
4
10
ln(1)2t
t t tdt +⎰g (2分)
=1
3
130
22ln(1)331t t t dt t +-+⎰ (2分) =
1202ln 221
(1)331t t dt t --+-+⎰ =2ln 22114ln 25(1ln 2)333239
--+-=- (2分) 5.解:原式=2sin x x e e xdx ----⎰ (2分)
sin sin cos x x x
e xdx e x e xdx ---=-+⎰⎰
=sin cos sin x x x e x e x e xdx ------⎰
1
sin (sin cos )2x x e xdx e x x C --∴=-++⎰ (3分)
∴原式=(sin cos )x x e e x x C ---+++
(1分)
6.证明:若有根,则sin x a x b a b =+≤+,不超过a b +, (2分) 设()sin f x x a x b =--,
则(0)0,()(1sin())0f b f a b a a b =-<+=-+≥, 若()0f a b +=,则x a b =+已满足题意,
否则()0f a b +>,在[0,]a b +上用零点存在定理知: (0,)a b +上有零点存在。 (4分) 四.证明:,(2())((2))x R f x b a f b x b a ∀∈+-=++-
=((2))(2)f b x b a f a x --+-=-- (3分) =(())(())()f a a x f a a x f x -+-=+--= (3分)
五.解:y '=
,故y =
(t 处的切线方程为: