精品文档-经济数学基础(张涛)-第5章

经济数学基础与实践操作指南第1章微积分基础 (4)1.1 极限与连续 (4)1.1.1 极限的定义及性质 (4)1.1.2 连续性及其判断 (4)1.2 微分与积分 (5)1.2.1 微分的定义及性质 (5)1.2.2 积分的定义及性质 (5)1.3 多元函数微积分 (5)1.3.1 偏导数与全微分 (6)1.3.2 多重积分 (6)第2章线性代数 (6)2.1 矩阵与行列式 (6)2.1.1 矩阵的定义与基本性质 (6)2.1.2 行列式的定义与性质 (6)2.1.3 矩阵的秩与行列式的应用 (6)2.2 线性方程组 (7)2.2.1 高斯消元法 (7)2.2.2 克莱姆法则 (7)2.2.3 线性方程组的解的性质 (7)2.3 特征值与特征向量 (7)2.3.1 特征值与特征向量的定义 (7)2.3.2 特征值与特征向量的计算方法 (7)2.3.3 特征值与特征向量的应用 (7)第3章概率论与数理统计 (7)3.1 随机事件与概率 (7)3.1.1 随机试验与样本空间 (7)3.1.2 随机事件的运算 (7)3.1.3 概率的定义与性质 (8)3.1.4 条件概率与独立性 (8)3.2 随机变量及其分布 (8)3.2.1 随机变量的概念 (8)3.2.2 离散型随机变量的分布律 (8)3.2.3 连续型随机变量的概率密度 (8)3.2.4 随机变量的函数分布 (8)3.3 统计量与假设检验 (8)3.3.1 总体与样本 (8)3.3.2 统计量及其分布 (8)3.3.3 假设检验的基本原理 (8)3.3.4 常见假设检验方法 (8)3.3.5 假设检验的误差与功效 (8)第4章线性规划 (9)4.1.1 目标函数 (9)4.1.2 约束条件 (9)4.1.3 决策变量 (9)4.1.4 可行解 (9)4.1.5 最优解 (9)4.2 线性规划求解方法 (9)4.2.1 单纯形法 (9)4.2.2 内点法 (9)4.3 线性规划应用实例 (10)第5章非线性规划 (10)5.1 非线性规划模型 (10)5.1.1 非线性规划的定义与特点 (10)5.1.2 非线性规划的标准形式 (10)5.2 无约束优化方法 (10)5.2.1 梯度下降法 (10)5.2.2 牛顿法与拟牛顿法 (11)5.2.3 共轭梯度法 (11)5.3 有约束优化方法 (11)5.3.1 等式约束优化方法 (11)5.3.2 不等式约束优化方法 (11)5.3.3 遗传算法 (11)5.3.4 粒子群优化算法 (11)5.3.5 模拟退火算法 (11)5.3.6 人工神经网络法 (11)第6章投资组合理论 (11)6.1 证券市场概述 (11)6.1.1 证券市场的定义与功能 (12)6.1.2 证券市场的分类 (12)6.1.3 证券市场的运作机制 (12)6.2 风险与收益 (12)6.2.1 风险与收益的概念 (12)6.2.2 风险与收益的关系 (12)6.2.3 风险与收益的衡量方法 (12)6.3 资本资产定价模型 (12)6.3.1 资本资产定价模型的假设条件 (12)6.3.2 资本资产定价模型的表达式 (13)6.3.3 资本资产定价模型的应用 (13)第7章筹资决策与融资成本 (13)7.1 筹资方式与融资工具 (13)7.1.1 直接筹资与间接筹资 (13)7.1.2 股权融资与债务融资 (13)7.1.3 创新型融资工具 (13)7.2 资本成本与融资结构 (13)7.2.2 融资结构 (14)7.2.3 融资结构优化 (14)7.3 股利政策与股利分配 (14)7.3.1 股利政策类型 (14)7.3.2 股利分配方式 (14)7.3.3 股利政策的影响因素 (14)第8章金融市场与衍生品 (14)8.1 金融市场概述 (14)8.1.1 金融市场基本概念 (14)8.1.2 金融市场功能 (14)8.1.3 金融市场分类 (15)8.1.4 金融市场运行机制 (15)8.2 金融衍生品定价 (15)8.2.1 金融衍生品概述 (15)8.2.2 金融衍生品定价原理 (15)8.2.3 金融衍生品定价方法 (15)8.3 期权交易策略 (15)8.3.1 买入看涨期权 (15)8.3.2 买入看跌期权 (15)8.3.3 卖出看涨期权 (15)8.3.4 卖出看跌期权 (16)8.3.5 期权组合策略 (16)第9章宏观经济分析与政策 (16)9.1 宏观经济指标 (16)9.1.1 国内生产总值（GDP） (16)9.1.2 通货膨胀率 (16)9.1.3 失业率 (16)9.1.4 贸易余额 (16)9.2 宏观经济政策分析 (16)9.2.1 宏观经济政策目标 (16)9.2.2 货币政策分析 (16)9.2.3 财政政策分析 (16)9.2.4 汇率政策分析 (16)9.3 宏观经济模型及应用 (16)9.3.1 总供给与总需求模型 (16)9.3.2 ISLM模型 (16)9.3.3 联立方程模型 (16)9.3.4 宏观经济计量模型 (17)第10章经济预测与决策 (17)10.1 经济预测方法 (17)10.1.1 描述性预测法 (17)10.1.2 因果关系预测法 (17)10.1.3 主成分分析预测法 (17)10.2 决策分析与评价 (17)10.2.1 确定型决策 (17)10.2.2 风险型决策 (17)10.2.3 不确定型决策 (18)10.2.4 多目标决策 (18)10.3 风险分析与管理 (18)10.3.1 风险识别 (18)10.3.2 风险评估 (18)10.3.3 风险控制 (18)10.3.4 风险管理策略 (18)第1章微积分基础1.1 极限与连续微积分的起源可追溯至17世纪，其基础概念为极限与连续。

（2008.05.22）经济数学基础复习指导（文本）第一部 微分学 第1章 函数1．理解函数概念。

理解函数概念时，要掌握函数的两要素−−定义域和对应关系，这要解决下面四个方面的问题：（1）掌握求函数定义域的方法，会求初等函数的定义域和函数值。

函数的定义域就是使函数有意义的自变量的变化范围。

学生要掌握常见函数的自变量的变化范围，如分式的分母不为0，对数的真数大于0，偶次根式下表达式大于0，等等。

例1 求函数xx y --=2)1ln(的定义域。

解 )1ln(-x 的定义域是1>x ，x -2的定义域是2≤x ，但由于x -2在分母上，因此2≠x 。

故函数xx y --=2)1ln(的定义域就是上述函数定义域的公共部分，即1<x <2。

（2）理解函数的对应关系f 的含义：f 表示当自变量取值为x 时，因变量y 的取值为)(x f 。

例如，对于函数x x x x f y 2ln )(2++==，f 表示运算：)(22)ln()(++于是，321ln 1)1(12=++=f ，2222ln 2)2(++=f 2ln 8+=。

例2 设1)(+=x x f ，求)1)((+x f f 。

解 由于1)(+=x x f ，说明f 表示运算：1)(+，因此)1)((+x f f 1)1)((++=x f ＝2)(+x f 再将1)(+=x x f 代入，得)1)((+x f f =32)1(+=++x x（3）会判断两函数是否相同。

从函数的两个要素可知，两个函数相等，当且仅当他们的定义域相同，对应规则相同，而与自变量或因变量所用的字母无关。

例3 下列函数中，哪两个函数是相等的函数：A.2)(x x f =与t t g =)(B. 11)(2--=x x x f 与1)(+=x x g解 A 中的两个函数定义域相同， 对应规则也相同，故它们是相等的函数；B 中的两个函数定义域不同，故它们是不相等的函数。

经济数学基础期末复习第1章函数复习知识点：函数的概念、函数的奇偶性、复合函数、分段函数、基本初等函数和初等函数、经济分析中的儿个常见函数、建立函数关系式复习要求：(1)理解函数概念，掌握求函数定义域的方法，会求初等函数的定义域和函数值：(2)了解复合函数概念，会对复合函数进行分解；(3)了解分段函数概念，掌握求分段函数定义域和函数值的方法；(4)知道初等函数的概念，理解常数函数、幕函数、指数函数、对数函数和三角函数(止弦、余弦、正切和余切)的解析表达式、定义域、主要性质及图形；(5)了解需求、供给、成本、平均成本、收入和利润函数的概念；下而我们来看例题.例1 设/(x) = x + l，则/(/(x) +1)=( ).A. xB. x+ 1 C・ x + 2 D・ x + 3解由于 /(尢)=无+1,得 /(/(兀)+ 1)=(/(劝 + 1) + 1 = /(兀)+ 2将/(尢)=尤+ 1代入，得/(/(尢)+ i)二(兀+1)+ 2 =尢+ 3正确答案：D例2下列函数中，( )不是基本初等函数./1、v , 7 sin 兀 3 FTA. y = (―)B. y = lnx~C. y = -----------------------------D. y = six'' e " ‘ cos x解因为y = Inx2是由y = lnw, u = x2复合组成的，所以它不是基本初等函数.正确答案：Bfcos X. x < 0例3设函数f(x)=，则( ).[0, x > 0TT 7TA. /(-—) = /(—)B. /(0) = /(2龙)4 4C. /(0) = /(-2龙)D. /(y) = -^-4 2解因为一2龙v 0 ,故/(-2zr) = cos(-2兀)=1且/(0) = 1,所以 /(()) = /(—2龙)正确答案：C例4生产某种产品的固定成本为1万元，每生产一个该产品所需费用为20元，若该产品出售的单价为30元，试求：(1)生产尢件该种产品的总成本和平均成本；(2)售出尢件该种产品的总收入；(3)若生产的产品都能够售出，则生产x件该种产品的利润是多少？解(1)生产兀件该种产品的总成本为C(Q = 10000 +20,平均成本为：C(x) =巴叫+ 20・x(2)售出兀件该种产品的总收入为：R(x) = 30x.(3)生产x件该种产品的利润为：L(x) = R(Q — C(x) = 30x-(10000 + 20兀)=10x-10000第2章一元函数微分学复习知识点：极限的概念、无穷小量与无穷大量、极限的四则运算法则、两个重耍极限、函数的连续性和间断点、导数的定义、导数的儿何意义、导数基本公式和导数的四则运算法则、复合函数求导法则、高阶导数、微分的概念及运算法则复习要求：(1)了解极限概念，知道函数在某点极限存在的充分必要条件是该点左右极限都存在且相等；(2)了解无穷小量的概念，了解无穷小量与无穷大量的关系，知道无穷小量的性质；(3)棠握极限的四则运算法则，棠握两个重要极限，学握求简单极限的常用方法；(4)了解函数在某点连续的概念，知道左连续和右连续的概念，知道连续与极限；会判断函数在某点的连续性；(5)理解导数定义，会求曲线的切线方程，知道可导与连续的关系；(6)熟练掌握导数基本公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则，掌握求简单的隐函数导数的方法；(7)知道微分的概念，会求函数的微分；(8)知道高阶导数概念，会求函数的二阶导数.下而我们举一些例题复习本章的重点内容.例5 极限lim%sin — = _________ .go x解因为当XT 0时，兀是无穷小量，sin丄是有界变量.故当兀_>0时，兀sin —仍然是无穷小量.所以limxsin—= 0.X XTO x正确答案：0例6 若lim /(x) = A ,则f(x)在点处( )XT%A.有定义B.没有定义C.极限存在D.有定义，且极限存在解函数在一点处有极限与函数在该点处有无定义无关.正确答案：C兀 +1x > 0 例7当k时，f(x) = \ .在尢=0处仅仅是左连续.[x 2+kx<0解因为函数是左连续的，即/(0_)= lim(x+l) = l = /(0)A->0-若/(0+)= Iim(，+Q = R = 1XT O 十即当£ = 1时，/（x ）在x = 0不仅是左连续，而且是连续的. 所以，只有当k^\时，/（尢）在x = 0仅仅是左连续的. 正确答案：H 1解 因为/（.r ） = cos-是常数函数，常数函数是可导的，而且它的导数是0. 4所以由导数定义可得lim /（X +^）-/（A ）=r （0）=（） 心 TO Ax正确答案：A注意：这里的/（x ） = cos-不是余弦函数.4例9曲线y = %5 - x 在点（1, 0 ）处的切线是（）.A. y = 2x-2B. y = -2x + 2C. y = 2 兀 + 2D. y = —2x — 2解由导数的定义和它的几何意义可知，y\\） = （x 3-xY\ =（3x 2-l ）|=2X=1X=1是曲线y = x 3-X 在点（1, 0）处的切线斜率，故切线方程是y-0 = 2(x-1),即 y = 2x 一2正确答案：A例10已知y = *“,则-()・A. x 3 B ・ 3x 2 C. 6x D. 6A. 0若/(尢)=COS—则］饰/（2）7⑴ 心TOArC.• 71 -sin — D..71sin—解直接利用导数的公式计算：y' = (: X 4)' = r\ y" = (x 3), = 3x 2 4正确答案：B例11计算下列极限z、v V9 + sin3x -3(1)lim ----------------- 戈TO x3- r 1(3) lim( ---------------- )Z x 2-l x-\(l)解 对分子进行有理化，即分子、分母同乘j9 + sin3x + 3,然后利用第一重要极限和四则运算法则进行计算.即1. 79 +sin 3% -3 v (j9 + sin3x _ 3)(j9 + sin3兀 + 3) lim ---------------------- = lim - ------------- / --------------- 入 TO x so 9 + sin 3x + 3) ..sin 3x 1 1 1 = lim ------- x lim , ------ ------- 二3x —=— 工TO x V9 + sin3x + 3 6 2(2)解将分子、分母中的二次多项式分解因式，然后消去零因子，再用四则运算法 则和连续函数定义进行计算.即r (x — 1)4 — 1 3=lim - ------ = ------- =— XT 4 (兀 + 3) 4 + 3 7(3)解 先通分，然后消去零因子，再四则运算法则和连续函数定义进行计算.即=lim —— = -1Si % + 1 例12求下列导数或微分：设 y =(仮 +1)(^^ -1)，求 dy . Qx 设 y = J^ + e v sin 兀，求 dy.iS y = COSA /X + ln ------- ,求・ 2x-l ・解因为丿=(頁+1)(厶一1)=一頁+厶A/XV X⑵ iin /「％ + 4YT 4 无一 -X -\2— 5x + 4Jimcm)IT4 (X -4)(X + 3) (3— 兀)一(兀+1) 1)(1)(1)----- )= limx 一 1XT1dy = ----- —（I H—）dv2y/x X注意：求导数时，要先观察函数，看看能否将函数化简，若能，应将函数化简后再求导数, 简化计算过程.导数运算的重点是复合函数求导数，难点是复合函数求导数和隐函数求导数.（2）解因为）/_0严血才一1 +罕11兀+ 7宁兀2厶 + e v sin x 2 Jx + e v sin x所以d尸畑」2jx + e' sinx）（3）解y f = （cos- ln（2^- l））z-sin Vx •(V%)/ ------ -- =2x — 1一〔2頁绅后2-1】复合函数求导数要注意下而两步：①分清函数的复合步骤，明确所有的中间变量；②依照法则依次对屮间变量直至白变量求导，再把相应的导数乘起来.第3章导数的应用复习知识点：函数的单调性、函数的极值和最大（小）值、导数在经济问题中的应用复习要求：（1）掌握函数单调性的判别方法，会求函数的单调区间；（2）了解函数极值的概念，知道函数极值存在的必要条件，掌握极值点的判别方法，知道函数的极值点与驻点的区别与联系，会求函数的极值；（3）了解边际概念和需求弹性概念，掌握求边际函数的方法；（4）熟练学握求经济分析中的应用问题（如平均成本最低、收入最大和利润最大等）.下面通过例题复习本章重点内容例13函数f（x） = x-\nx的单调增加区间是________________解因为= （x-[nxY=\- —x令y,（x） = l-->0,得X>\x故函数的单调增加区间是（l,+oo）・正确答案：（l,+oo）例14满足方程f(x) = 0的点是函数y = /(x)的().A.极大值点B.极小值点 解由驻点定义可知，正确答案：C 例15下列结论中()不正确.A. /(x)在x = x 0处连续，则一定在兀o 处可微.B. /⑴在x = x 0处不连续，则一定在兀o 处不可导.C. 可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D. 若/(兀)在［G,刃内恒有f\x) < 0 ,则在⑷ 川内函数是单调下降的.解因为函数在一点处连续并不能保证在该点处可导，所以，正确答案：A求经济分析中的最值问题是本课程的重点之一，要掌握利用函数的导数求经济问题中的平 均成本最低、总收入最大、总利润最大等问题的方法.下面举一个求获得最大利润时的产量的应用问题，而其它两种类型的应用问题请大家自 己练习.例16生产某种产品g 台时的边际成本C'⑷= 2.5g + l()()()(元/台)，固定成本500 元，若已知边际收入为= 2q + 2000,试求(1) 获得最大利润时的产量；(2) 从最大利润的产量的基础再生产100台，利润有何变化? 解(1) L'=R'-C‘二 2g + 2000 —(2.5q + 1000) =-0.5^ + 1000令r = 0,求得唯一驻点q = 2000 .因为驻点唯一，且利润存在着最大值，所以当产 量为2000时，可使利润达到最大.(2)在利润最大的基础上再增加100台，利润的改变量为「2100 1 。

《经济数学基础》线性代数第3章 线性方程组1．了解n 元线性方程组、线性方程组的矩阵表示、系数矩阵、增广矩阵、一般解的概念．2. 理解并熟练掌握线性方程组的有解判定定理；熟练掌握用消元法求线性方程组的一般解．• 线性方程组AX = b 的解的情况归纳如下：AX = b 有唯一解的充分必要条件是秩(A ) = 秩(A ) = n ；AX = b 有无穷多解的充分必要条件是秩(A ) = 秩(A ) < n ；AX = b 无解的充分必要条件是秩(A ) ≠ 秩(A )．• 相应的齐次线性方程组AX = 0的解的情况为：AX = 0只有零解的充分必要条件是 秩(A ) = n ；AX = 0有非零解的充分必要条件是 秩(A ) < n ．例1 线性方程组⎩⎨⎧=-=+0223221x x x x 的系数矩阵是( ) ．A ．2×3矩阵B ．3×2矩阵C ．3阶矩阵D ．2阶矩阵 解 此线性方程组有两个方程，有三个未知量，故它的系数矩阵是2×3矩阵． 正确的选项是A ．例2 线性方程组AX = B 有唯一解，那么AX = 0 ( ) ．A ．可能有解B ．有无穷多解C ．无解D ．有唯一解 解 线性方程组AX = B 有唯一解，说明秩,)(n A =故AX = 0只有唯一解（零解）．正确的选项是D ．例3 若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=41221λA ，则当λ＝（ ）时线性方程组有无穷多解．A ．1B ．4C ．2D ．12解 将增广矩阵化为阶梯形矩阵， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=41221λA ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λ-λ→021021此线性方程组未知量的个数是2，若它有无穷多解，则其增广矩阵的秩应小于2，即021=λ-，从而λ＝12． 正确的选项是D ．例4 若非齐次线性方程组A m ×n X = B 有唯一解,那么有 ( )．A ．秩(A ，B ) ＝ n B ．秩(A ) ＝ rC ． 秩(A ) ＝ 秩(A ，B )D ．秩(A ) ＝ 秩(A ，B ) ＝ n 解 根据非齐次线性方程组解的判断定理可知选项D 是正确．例5 求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=+-+-=++-1232122023432143214321x x x x x x x x x x x x解 将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=001001301038001002001311001231131101311001231123211212101231A 因为 ，秩(⎺A ) = 秩(A ) = 3，所以，方程组有解．一般解为⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=0318334241x x x x x (x 4是自由未知量)例6 设线性方程组212132123123123x x x x x x x x x c-+=--+=--+=⎧⎨⎪⎩⎪试问c 为何值时，方程组有解？若方程组有解时，求一般解．解 因为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=13501350112123111211112c c A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→c 00013501121 可见，当c = 0时，方程组有解．且⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→0000515310535101A 所以，原方程组的一般解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=323153515153x x xx（x 3是自由未知量）。

经济数学基础微积分第一编微分学第二编一元函数积分学线性代数第一编微分学第1章函数第2章极限、导数与微分第3章导数应用第1章函数1.1 函数概念1.2 几类基本初等函数1.3 函数的运算1.4 利息与贴现(略)1.5 经济分析中常见的函数1.1 函数概念1.定义2.几点解释3.基本属性2.几点解释(1)记号(2)两要素(3)单值性(4)图形(5)表示法()y f x=定义域、对应规则一个x只有一个y与之对应解析法、图示法、表格法定义域1)分母≠02)被开偶次方根的数≥03)真数>04)三角函数的定义域列出不等式(组)后解不等式(组)tan ,2cot ,y x x k k Zy xx k k Z πππ=≠+∈=≠∈3.基本属性(1)单调性(2)奇偶性(3)有界性(4)周期性(1)单调性()()()()()()12121212, , x x D f x f x f x x x D f x f x f x ∀<∈∃<∀<∈∃>则称函数单调增加则称函数单调减少(2)奇偶性()()()()()() f x f x f x f x f x f x -=--=则称函数为奇函数则称函数为偶函数(3)有界性()()()()0f x M M f x M f x M M ≤-≤≤>，即则称函数有界显然，注：不是唯一的(4)周期性()()() f x T f x f x T +=则称函数为周期函数注：不是唯一的，其中最小的正数称为最小正周期，简称周期。

1.2 几类基本初等函数1.常数函数2.幂函数3.指数函数4.对数函数5.三角函数6.反三角函数(略)1.常数函数y c=yxcy c=2.幂函数y xα=0(1,1)yxq x() = x-1h x() = x3g x() = x2f x() = x()0,1xy aa a =>≠(0,1)y=(12)xy=2xyx()log 0,1a y x a a =>≠(1,0)ln y x=1lny x=Oxy5.三角函数y=t a n xy=c o s xy=s in xyx1.3 函数的运算1.复合()()(),,y u u x y x y f u u x y f x ϕϕ===⎡⎤⎣⎦是的函数，是的函数，则是的函数，即则2.初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算或复合而得到的能用一个式子表示的函数1.5 经济分析中常见的函数1.需求与供给①需求函数②供给函数③供需平衡点2. 成本、收入、利润①成本②收入③利润()0,0d q aq b a b =+<>()11110,0s q a q b a b =+><d sq q =①成本()()()()0C q c c q C q C q q=+=+==总成本固定成本变动成本总成本平均成本产量②收入()()()()R q q p R q q pq=⨯==⋅收入产价格不变时：量销售量价格③利润()()()()()()0 0 ()0 L q L L q R q C q L q q ==>-=<盈利盈亏平利润收入衡-本本保成亏损第2章极限、导数与微分2.1 极限的概念2.2 极限的运算2.3 函数的连续性2.4 导数与微分的概念2.5 导数计算2.6 高阶导数2.1 极限的概念1.极限的概念(1)数列的极限(2)函数的极限2. 左右极限3. 极限存在定理4. 无穷小量(1)数列的极限“一尺之棰，日截其半，万世不竭”──庄子·天下11111,,,,,,2482n 12n n 当无限增大时，越来越接近于(1)数列的极限{}{}(), lim n n n n n n x n x A n x A x A x A n →∞=→→∞数列当无限增大时，无限地接近于某个固定的常数则称趋于无穷时，数列或以为极限，记作(2)函数的极限①自变量趋于无穷的情形②自变量趋于有限值的情形①自变量趋于无穷xy观察函数1y x=()()()lim lim lim x x x f x f x f x →+∞→∞→-∞⎧⎪⎨⎪⎩②自变量趋于有限值观察函数211x y x -=-()()()0lim lim lim x x x x x x f x f x f x +-→→→⎧⎪⎨⎪⎩0x yx32132012.左右极限()()00lim lim x x x x f x L f x R-+→→==左极限右极限3. 极限存在定理()()()0lim lim lim x x x x x x f x A f x f x A-+→→→⇔===函数在某一点的左、右极限都存在且相等称函数在这点的极限存在4.无穷小量10sin 10sin x x xx x x→→ 如：时是无穷小量时，无穷小，而有界极限为零的量叫无穷小量无穷小量与有界变量的积仍为无穷小量无穷小量的倒数是无穷大量1. 运算法则加、减、乘、除、乘方、开方以后求极限等于先求极限再进行加、减、乘、除、乘方、开方()00lim lim x x x x x C C x x →→→∞==2.求极限的方法：①无穷小量性质()()0→∞→∞有界即无穷大量趋近于0有界即无穷小量趋近于00x x x ②当时，将代入后计算2.求极限的方法：因式分解或分子(分母)有理化，约去零因子后，代入计算0x 0若将代入后为“”型2.求极限的方法：x x ∞→∞∞③当时，将代入后为“”型分子分母同除以的最高次结果有三种：分子次数高：∞分母次数高：0分子分母次数同：最高次的系数比x2.求极限的方法：④两个重要极限()010sin lim 11lim 1lim 1xz x zx z x e x xe →→∞→=⎛⎫→+=+= ⎪⎝⎭3.注意区分0sin lim 1sin lim 01sin x x x xx xx x x →→∞==⎛⎫→∞ ⎪⎝⎭时，是无穷小，有界1.连续：简单讲就是函数在某点的极限等于该点的函数值()()0lim x x f x f x →=()()()()()()()0000000 lim lim lim li m x x x x x x x x f x f x f x f x f x f x f x -+-+→→→→====连续左连续右连续2.间断点：不连续的点就是间断点存在三种情况：()()()()0000lim lim x x x x f x f x f x f x →→≠①不存在②不存在③x 02.4 导数与微分的概念1.引入导数的概念的实例2.导数的概念3.导数的几何意义4.可导与连续的关系5.函数的相对变化率(弹性)6.微分的定义①平均速率()()()()1010100000,0lim t s v t t t t t tts t s t s t t s t v t tst tv t ∆→∆=∆=-=+∆∆-+∆-==∆∆∆∆→∆,令当时，如果极限存在，即为时刻的瞬时速率②切线问题()()()()1010100000tan ,tan 0lim tan x yxx x x x x x f x f x f x x f x xxyx xx ααα∆→∆=∆∆=-=+∆-+∆-==∆∆∆∆→∆割线的斜率令当时，如果极限存在，即为处切线的斜率①函数在某一点的导数()()()0000000000lim lim x x x x x x x x f x x f x yx xx x dfdy f x y dxdx∆→∆→===+∆-∆=∆∆''极限存在,称函数在点处可导，极限值为处的导数，记作或或或注：若是左极限，则为左导数若是右极限，则为右导数②导函数()()()()()()(),,y f x a b x f x f x x y f x a b df dyf x y dx dx=''=''如果函数在区间内每一点都可导，则每取一个，都有一个导数与之对应，也就是说也是的一个函数，称其为函数在区间内的导函数，记为或或或，也简称为导数3. 导数的几何意义函数在某一点的导数，就是函数在这点切线的斜率4. 可导与连续的关系可导一定连续连续不一定可导5. 函数的相对变化率函数的相对变化率─ ─弹性()E ()()()()0000000000lim lim x x x xy y x x y Ef x x x y f x x x xEf x y f x y∆→∆→∆∆'==⋅=∆∆''==⋅()1%%xx f x E含义：当产生的改变时， 近似地改变6. 微分的定义dydy y dx y dx''=→=()()()()000000,,x x x x x x y f x x f x x x dydyf x xdx x x x dyf x dx===='∆'=∆''=∆=∆∴= 若函数在点处可导，则称为函数在点处的微分，记作即2.5 导数计算1.导数(微分)的四则运算法则2.复合函数求导法则3.隐函数求导4.基本初等函数求导公式。

经济数学基础电子教案第一章函数主要内容及数学目的1.理解函数概念、了解函数的两要要素–定义域和对应关系,会判断两函数是否相同.2.掌握求函数定义域的方法,会求函数值,会确定函数的值域.3.了解函数的属性,掌握函数奇偶性的判断,知道它的几何特点.4.了解复合函数概念,会对复合函数进行分解,知道初等函数的概念.5.知道初等函数的概念,理解常数函数、幂函数.指数函数、对数函数和三角函数.6.了解需求、供给、成本、平均成本、收入和利润等经济分析中常见的函数.7.回列简单应用问题的函数关系式.本章重点:函数的概念,函数的奇偶性,几类基本初等函数.第二章一元函数微分学主要内容及数学目的.1.知道极限概念,知道极限存在的充分必要条件:2.了解无穷小量概念,无穷小量于无穷大量的关系,知道无穷小量的性质,如有界变量乘无穷小量仍为无穷小量.3.掌握极限的四则运算法则，掌握两个重要极限，掌握求极限的一般方法。

4.了解函数在一定连续的概念，知道左连续和右连续的概念。

知道函数在一点间断的概念，会求函数的间断点。

5.理解导数定义，会求曲线的切线。

知道可导与连续的关系。

6.熟练掌握导数基本公式、导数的四则运算法则、复合函数求导数法则，掌握求简单隐函数的导数。

7.了解微分概念，会求函数的微分。

8.知道高阶导数概念，会求函数的二阶导数。

本章重点：导数概念，极限，导数和微分的计算。

第三章导数的应用主要内容及数学目的：1.掌握函数单调性的判别方法，会求函数的单调区间。

2.了解函数极值的概念，知道极值存在的必要条件，掌握极值点的判别方法。

知道函数的极值点与驻点的区别与联系，会求函数的极值。

3.了解边际概念和需求价格弹性概念，掌握求边际函数的方法，会求需求弹性。

4.熟练掌握经济分析中的平均成本最底，收入最大和利润最大和利润最大等应用的解法，会求简单的几何问题的最大（小）问题。

本章重点：函数的极值及其应用—最值问题。

第四章一元函数积分学主要内容及数学目的：1.理解原函数与不定积分概念，会求当曲线的切线斜率以知时，满足一定条件的曲线方程，知道不定积分与导数（微分）之间的关系。

10.1 随机事件与概率10.1.1 随机现象与随机事件1.在相同条件下抛掷同一枚硬币．2.用同一门炮在同样的条件下射击向同一目标多次射击．3.同一品牌的电视机使用了10年．在大量重复试验或观测下，基结果所呈现出的固有规律性，称为统计规律性． 在个别试验中呈现出不确定性，在大量重复试验中具有统计规律性的现象，称为随机现象．如果一个试验在相同的条件下可以重复进行，并且试验的所有可能结果是明确不变的，但是每次试验的具体结果在试验前是无法预知的，这种试验称为随机试验，简称为试验，记为E ．对一次试验结果可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中却具有某种规律性的试验结果，称为此随机试验的随机事件．一般把随机事件简称为事件，用英文大写字母A ，B ，C ，…表示．有时，为了区分事件中的某种数值特征．可用英文大写字母配合脚标来表示事件，如事件｛打中10环｝可用10A 表示．例1 为了解一批产品的质量情况，从中随机抽出100件来检查．结果可能是｛没有次品｝，｛有1件次品｝，｛有2件次品｝，…，｛全都是次品｝，等等，其中每一个结果都是一个事件．=0A ｛没有次品｝，=1A ｛有1件次品｝，=2A ｛有2件次品｝，…，=100A ｛有100件次品｝．称为基本事件统一表述为：i A 表示100件产品中“有i 件次品” )100,,2,1,0( =i ． ｛次品不多于2件｝、｛次品在5件与10件之间｝、｛次品多于60件｝、等等．也都是事件．称为复合事件基本事件为不可分解的事件，复合事件为可分解的事件．随机试验中有些结果是必然发生的，我们称为必然事件，记作U ；还有些结果是不可能发生的，我们称为不可能事件，记作∅．例2 盒子中有红、白、黄三个球，现随机抽出2个，会有什么结果呢？ 不考虑抽出的顺序｛1红1白｝，｛1白1黄｝,｛1黄1红｝．考虑抽出的顺序｛红，白｝，｛白，红｝，｛白，黄｝，｛黄，白｝，｛黄，红｝，｛红黄｝． 显然，｛红，红｝、｛白，白｝、｛黄，黄｝是不可能事件，而｛两球异色｝是必然事件．10.1.2 事件间的关系和运算向平面上某一矩形内随机掷一点，观察点落的位置．假设试验的每一结果对应矩形内的一个点，所有的基本事件对应矩形内的全部点．1.事件的包含与相等设事件=A ｛点落在小圆内｝，事件=B ｛点落在大圆内｝．定义10.1 如果事件A 发生，必然导致事件B 发生，则称B 包含A ，或称A 包含于B ．记作B A ⊂．如果B A ⊂和A B ⊂同时成立，则称事件A 与B 相等．记作B A =．例3 一批产品中有合格品与不合格品，合格品中有一、二、三等品，从中随机抽取一件，是合格品记作A ，是一等品记作B ，显然B 发生时A 一定发生，因此A B ⊂．2.事件的和设事件=A ｛点落在小圆内｝，事件=B ｛点落在大圆内｝．定义10.2 事件A 与事件B 至少一个发生，是一事件，称之为事件A 与事件B 的和，记作B A +，即=+B A ｛A 与B 至少发生一个｝． 例4 在10件产品中，有8件正品，2件次品，从中任意取出2件，用1A 表示｛恰有1件次品｝，2A 表示｛恰有2个次品｝，B 表示｛至少有1件次品｝．根据事件和的定义可知，U U A =+，A A =∅+．3.事件的积设事件=A ｛点落在小圆内｝，事件=B ｛点落在大圆内｝定义10.3 事件A 与事件B 同时发生，是一个事件，称为事件A 与事件B 的积，记作AB ，即=AB ｛A 与B 同时发生｝．例5 设=A ｛甲厂生产的产品｝，=B ｛合格品｝，=C ｛甲厂生产的合格品｝，则 B A U A A BUAB C =．根据事件积的定义可知，对任一事件A ，有A AU =，∅=∅A ．4.事件的差定义10.4 事件A 发生而事件B 不发生，这一事件称为事件A 与事件B 的差，记作B A -．例6 已知条件同例5，设=D ｛甲厂生产的不合格品｝，则D 就是｛甲厂生产的产品｝与｛合格品｝两个事件的差，即B A D -=．5.互斥事件(或互不相容事件)定义10.5 若事件A 与B 满足∅=AB ，则称事件A 与B 互斥，或称A 与B 是互不相容的．同一试验中的各个基本事件是互斥的．例7 掷一颗骰子，令A 表示“出偶数点”，B 表示“出奇数点”，则事件A 、B 是互斥的，即∅=AB ．6.互逆事件(或对立事件)定义10.6 若在随机试验中，事件A 与B 必有一个事件且仅有一个事件发生，则称事件A 与B 互逆，称A 是B 的逆事件(或对立事件)，记作B A =．如果A 与B 互逆，则B 也是A 的逆事件(对立事件)，记作A B =． 若A 与B 互逆，则有U B A =+，∅=AB ．注意：互逆与互斥是不同的两个概念，互逆必互斥，但互斥不一定互逆． 例如，事件｛射中10环｝与｛射中9环｝是互斥的，但不是互逆的． 例8 在10件产品中，有8件正品，2件次品,从中任取2件．令A 表示｛恰有2件次品｝，B 表示｛至多有1件次品｝，则A B =．根据事件互逆的定义，对任意两个事件A ，B ，有下列结论成立：（1）B A B A =-．（2）A A =．（3）(摩根律) B A B A =+，B A AB +=．以直径和长度作为衡量一种零件是否合格的指标，规定两项指标中有一种不合格，则认为此零件不合格．设=A ｛零件直径合格｝，=B ｛零件长度合格｝, =C ｛零件合格｝，则=A ｛零件直径不合格｝，=B ｛零件长度不合格｝，=C ｛零件不合格｝ 于是 AB C =，B A C +=．即有 B A AB +=．。