复习：
1.数值计算方法的含义 2．误差及误差限 3.误差与有效数字
4.数值计算中应注意的问题
第二章 插值方法
一．插值的含义 问题提出：
已知函数()y f x =在n+1个点01,,,n x x x 上的函数值01,,,n y y y ，求任意一点x '的函数值()f x '。
说明：函数()y f x =可能是未知的；也可能是已知的，但它比较复杂，很难计算其函数值()f x '。
解决方法：
构造一个简单函数()P x 来替代未知（或复杂）函数()y f x =，则用()P x '作为函数值
()f x '的近似值。
二、泰勒（Taylor ）插值 1.问题提出：
已知复杂函数()y f x =在0x 点的函数值()0f x ，求0x 附近另一点0x h +的函数值
()0f x h +。
2.解决方法：
构造一个代数多项式函数()n P x ，使得()n P x 与()f x 在0x x =点充分逼近。 泰勒多项式为：
()()()()()()()()()200000002!!
n
n n f x f x P x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-
显然，()n P x 与()f x 在0x x =点，具有相同的i 阶导数值（i=0,1,…,n ）。 3.几何意义为：
()n P x 与()f x 都过点()()00,x f x ；
()n P x 与()f x 在点()()00,x f x 处的切线重合； ()n P x 与()f x 在点()()00,x f x 处具有相同的凹凸性；
其几何意义可以由下图描述，显然函数()3f x 能相对较好地在0x 点逼近()f x 。
4.误差分析（泰勒余项定理）：
()()()()()()1
101!
n n n f P x f x x x n ξ++-=-+，其中ξ在0x 与x 之间。
5.举例：
已知函数()f x =()
115f 。
分析：本题理解为，已知“复杂”函数()f x =0x =100点的函数值为()010f x =，求0x 的附近一点0x +15的函数值()015f x +。
解：
（1）构造1次泰勒多项式函数()1P x ：()()()()1000P x f x f x x x '=+-。
其中()()010010f x f ==，()1
212
f x x -'=，()()0110020f x f ''==，则有：
()150.05P x x =+
故有()()111511510.75f P ≈= 误差分析：
()()()()2
1
1151151151002!
f P f ξ''-=-
函数()f x ''在[100,115]区间绝对值的极大值为()4100 2.510f -''=⨯， 则有：
()()11151150.0281250.05P f -≤<
于是近似值10.75有三位有效数字。
几何意义：显然，()1P x 也过点（100,10），且()1P x 就是函数()f x =在点
（100,10）处的切线，如下图所示。
（2）构造2次泰勒多项式函数()2P x ：
()()()()()()2
0200002!
f x P x f x f x x x x x '''=+-+
-。 把()10010f =，()1
10020
f '=
及()4100 2.510f -''=⨯代入，有 ()()211511510.721875f P ≈=。 分析误差
()()()()321151151151003!
f P f ξ'''-=-
函数()f x '''在[100,115]区间绝对值的极大值为()6100 3.7510f -'''=⨯，则有
()()21151150.002109375<0.005P f -≤
于是近似值10.721875有四位有效数字。 运行文件taylor.m ：
%已知函数f(x)=x^(1/2)，求f(115) %一次泰勒插值 subplot(1,2,1); f=inline('x^(1/2)'); p1=inline('5+0.05*x'); fplot(f,[-50,300]); hold on
fplot(p1,[-50,300]); plot(115,10.75,'*')
line([115,115],[0,10.75])
%二次泰勒插值 subplot(1,2,2);
p2=inline('10+1/20*(x-100)-1/4000/2*(x-100)^2'); fplot(f,[-30,300]); hold on
fplot(p2,[-30,300]); plot(115,10.72,'*') line([115,115],[0,10.72]) 可以得到以下图形：
6.泰勒插值存在的问题：
1.函数()f x 必须存在n+1阶导函数，即使存在n+1阶导数，计算的工作量也比较大；
2.要求h 为个小量，若h 较大，则计算的误差就很大。
三．拉格朗日（Lagrange ）插值 1.问题提出：
已知函数()y f x =在n+1个点01,,,n x x x 上的函数值01,,,n y y y ，求任意一点x '的函数值()f x '。
说明：函数()y f x =可能是未知的；也可能是已知的，但它比较复杂，很难计算其函数值()f x '。
