原子物理——量子力学部分2共37页文档

用微分算符表示为
2 h m 2 2 (x,t)2 p m 2(x,t)E k(x,t)
其中
2
2 x2
y22
2 z2
拉普拉斯算符
Ek
p2 2m
p2 px2py2pz2
粒子的动能
由于自由粒子不受外力，没有势能，它的总能量就是它的动
能，即
E
Ek
p2 2m
所以
ih (tx,t)E (x,t)E k(x,t)
3. 皮卡尔德、E.Henriot、埃伦费斯特、Ed.Herzen、Theophile Donder、薛定谔、E.Verschaffelt、 泡利、海森堡、福勒、里昂.布里渊
2. 德拜、弄森、布拉格、克拉莫斯、狄拉克、康普顿、德布罗意、玻恩、玻尔 1. 朗谬尔、普朗克、玛丽●居里、洛伦兹、爱因斯坦、朗之万、Ch.E.Guye、威尔逊、理查森
方程中含有虚数i ,对时间的微商是一阶导数，所以由 方程求解出的波函数一定是复数。
众所周知，有实际物理意义的物理量均是由实数来表 示的，而量子力学波函数其本身其实不代表具有什么 物理意义。但是它的绝对值平方是实数，它具有非常 明确的物理意义：
—— 它代表粒子在空间出现的概率密度。
3）定态薛定谔方程
t
2m
E ih t
pih
Ek
h2 2 2m
力学量算符 h2 2 V(x,t) 2m
哈密顿算符
ih (x,t)[h2 2 V (x,t)](x,t)
t
2m
方程物理意义的讨论：
1）描述了一个质量为m的粒子，在势场中随时间变化运动状 态。由于方程只含有一次微商，也就是说只要t=o的初始状态 此后任意时刻的状态就可完全确定。 2）薛定谔波动方程揭示了微观世界中物质运动的基本规律， 提供了系统、全面、定量处理微观粒子运动的理论。 3）方程给出了波函数随时间变化的因果关系关系，其因果关 系的实际含义与经典力学不同：
再一次对坐标变量求微分，有 ih x ( ih x) ih ( x x ,t)p x p x 2(x ,t)
即
h22x(x2,t)px2(x,t)
同理
h2
2(x,t)
y2
py2(x,t)
h22(zx2,t)pz2(x,t)
h 2 [ x 2 2 y 2 2 z 2 2](x ,t) [p x 2 p 2 y p z 2 ](x ,t)
波函数
(x ,t)0 e i(k x t)0 e i(p x E t)/h
x(xex,yey,zez) k(kxex,kyey,kzez) p(pxex,pyey,pzez)
位矢
波矢
粒子的动量
利用粒子的能量和动量表达式
Eh2h2h
ph h 2hk 2
对波函数进行一系列微分运算
对波函数
如果势能函数不含时间，即对于定态势能场，则有
V(x,t)V(x)
势场中粒子的薛氏方程，利用分离变量法，波函数可写成
(x,t)u(x)f(t)
把上式代入
ih(x,t)[h2 2V (x,t)](x,t)
t
2m
薛定谔方程变为
ihd f(t)u (x ) [h 2 2 u (x ) V (x )u (x )]f(t)
• 对波函数的要求 • 粒子不能产生和湮灭，即总能在空间某处发现该粒子，必须有
V
(x,t)2d3X1
由于几率总是相 对的，该积分也
可等于常数A
(x,t)2d3XA
V
对于上述积分不
等于1的波函数 可进行“归一化”
(x,t)
2
d3 X
1
← 波函数的
归一化条件
VA
1 A
归一化 因子
几率是相对的，都乘以一个因子后，没有变化
d t
2 m
进一步整理后，薛定谔方程可以写成：
ih1d f(t)1[h 2 2 u (x ) V (x )u (x )] f(t) d t u (x ) 2 m
方程的左端只是时间t的函数，与x完全无关。而右端只是x的函数，因此 方程两端必须等于一个不依赖于t和x的常数，等式才能成立。设其为E
(x ,t)0 e i(k x t)0 e i(p x E t)/h进行时间微分
有
(x ,t)
e i(k x t)
ih t
ih0
h (x ,t) E (x ,t) t
再对坐标变量进行微分
ih ( x x ,t) ih0 e i( k x x t) h k x(x ,t) p x(x ,t)
r k
2 pr
h
pr h
h h 2
若用复数表示为：
(r r,ห้องสมุดไป่ตู้)
ei(k rr rt)
0
若用粒子动量和能量
p rhkr,Eh
则自由粒子的 波函数可写为
(rr,t)0exphi(p rrrEt)
或者一般波函数可以写为
( x ,t) 0 e i( k x t) 0 e i( p r x r E t) /h
ih(x,t)h2 2(x,t)
t
2m
自由粒子的薛定谔方程
P53, 2.3.5式
2）势场(外场)中粒子的薛定谔方程
对于处于势场中的粒子，除了动能，还有势能
EEk Ep
p2 V(x,t) 2m
哈密顿量
重复上述计算过程，可得到势场中运动粒子的薛定谔方程
ih(x,t)[h2 2V (x,t)](x,t)
特点：
薛定谔方程是量子力学的最基本方程； 不是经过严格的推导而获得的； 它是用试探方法找到的或者说是“猜”到的。
• 既然所有物质都具有波粒二象性，理所当然可以用波的形
式表达式来描述粒子的行为。波具有时、空两种周期性，
最简单的平面单色波振动的波函数可以表示为:
r
rr
(r,t)0 c o s (krt)
§2-3 薛定谔方程
量子理论的两种表达方式：
1）海森堡、波恩和约丹等人1925年发展起来 的矩阵方法 — 数学模型较复杂。
2）薛定谔与狄拉克于1926年建立的波动方法 —描述物质波连续时空演化的偏微分方程 —薛定愕方程，给出了量子论的另一个数 学描述——波动力学。
Erwin Schrodinger 1887～1961
事实上，归一化并非总是需要的，而且有些波函数 不能归一化，例如，单色波或自由粒子，由于它们 在空间各处的几率都相等，因而有：
V
2
(x,t)d X
0ei(K rr r t)2d X
02
dX
1）自由粒子的薛定谔方程（或者单色平面波的薛定谔方程）
若把该方程视为量子力学的基本假设，不必要推导它。下面 我们只对方程的合理性进行说明，再引入有关算符的概念。