人教版八年级数学上册课时练 第十三章轴对称 13.4 课题学习--最短路径问题
一、选择题
1．如图，在锐角△ABC 中，∠ACB ＝50°；边AB 上有一定点P ，M 、N 分别是AC 和BC 边上的动点，当△PMN 的周长最小时，∠MPN 的度数是（ ）
A ．50°
B ．60°
C ．70°
D ．80°
2．某平原有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村庄供水. 某同学用直线（虛线）l 表示小河，,P Q 两点表示村庄，线段（实线）表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是（ ）. A ． B ． C ． D ．
3．如图，已知24AOB ∠=︒，OP 平分AOB ∠，1OP =，C 在OA 上，D 在OB 上，E 在OP 上．当CP CD DE ++取最小值时，此时PCD ∠的度数为（ ）
A ．36︒
B ．48︒
C ．60︒
D ．72︒
4．如图,在公路 MN 两侧分别有 A 1, A 2......A 7,七个工厂,各工厂与公路 MN(图中粗线)之间有小公路连接.现在需要在公路 MN 上设置一个车站,选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”.则下面结论中正确的是（ ）. ①车站的位置设在 C 点好于 B 点;
②车站的位置设在 B 点与 C 点之问公路上任何一点效果一样;
③车站位置的设置与各段小公路的长度无关.
A ．①
B ．②
C ．①③
D ．②③
5．如图，在ABC ∆中，10BC =，CD 是ACB ∠的平分线．若P ，Q 分别是CD 和AC 上的动点，且ABC ∆的面积为24，则PA PQ +的最小值是（ ）
A ．125
B ．4
C ．245
D ．5
6．在△ABC 中，AB=BC ，点D 在AC 上，BD=6cm ，E ，F 分别是AB ，BC 边上的动点，△DEF 周长的最小值为6 cm ，则ABC ∠=( )
A ．20°
B ．25°
C ．30°
D ．35°
7．如图，∠AOB=60°，点P 是∠AOB 内的定点且若点M、N 分别是射线OA、OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是（ ）
A B C ．6 D ．3
8．如图，在等边△ABC 中，BF 是AC 边上的中线，点D 在BF 上，连接AD ，在AD 的右侧作等边△ADE ，连接EF ，当△AEF 周长最小时，∠CFE 的大小是( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
9．如图，某公司有三个住宅区，A ，B ，C 各区分别住有职工10人，15人，45人，且这三个区在一条大道上(A ，B ，C 三点共线)，已知AB ＝150m ，BC ＝90m ．为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在( )
A ．点A
B ．点B
C ．点A ，B 之间
D ．点C
10．如图，30AOB ∠=︒，M ，N 分别是边,OA OB 上的定点，P ，Q 分别是边,OB OA 上的动点，记,OPM OQN αβ∠=∠=，
当MP PQ QN ++的值最小时，关于α，β的数量关系正确的是（ ）
A ．60βα-=︒
B ．210βα+=︒
C ．230βα-=︒
D ．2240βα+=︒
二、填空题 11．如图，AD 为等边△ABC 的高，E 、F 分别为线段AD 、AC 上的动点，且AE ＝CF ，当BF ＋CE 取得最小值时，∠AFB ＝_______°．
12．如图，∠AOB=60°，点P 是∠AOB 内的定点且OP=4，若点M 、N 分别是射线OA 、OB 上异于点O 的动点，则△PMN
周长的最小值是_________．
13．已知∠AOB=45°，点P 在∠AOB 内部，点P 1与点P 关于OA 对称，点P 2与点P 关于OB 对称，连接P 1P 2交OA 、OB
于E 、F ，若P 1E=12
，EF 的长度是_____．
14．如图，在锐角ABC ∆中，8AC cm =，218ABC S cm ∆=，AD 平分BAC ∠，M 、N 分别是AD 和AB 上 的动点，
则BM MN +的最小值是__________cm ．
15．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB=4，点D 是BC 上一动点，以BD 为边在BC 的右侧作等边△BDE ，F 是DE 的中点，连结AF ，CF ，则AF+CF 的最小值是_____.
三、解答题
16．在平面直角坐标系中，B(2，)，以OB 为一边作等边△OAB （点A 在x 轴正半轴上）．
（1）若点C 是y 轴上任意一点，连接AC ，在直线AC 上方以AC 为一边作等边△ACD ．
①如图1，当点D 落在第二象限时，连接BD ，求证：AB ⊥BD ；
②若△ABD 是等腰三角形，求点C 的坐标；
（2）如图2，若FB 是OA 边上的中线，点M 是FB 一动点，点N 是OB 一动点，且OM+NM 的值最小，请在图2中画出点M 、N 的位置，并求出OM+NM 的最小值．
17．如图1，已知直线l 的同侧有两个点A 、B ，在直线l 上找一点P ，使P 点到A 、B 两点的距离之和最短的问题，
可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线l 的对称点，对称点与另一点的连线与直线l 的交点就是所要找的点，通过这种方法可以求解很多问题.
（1）如图2，在平面直角坐标系内，点A 的坐标为()1,1，点B 的坐标为()4,3，动点P 在x 轴上，求PA PB +的最小值；
（2）如图3，在锐角三角形ABC 中，6AB =，60BAC ∠=︒，BAC ∠的角平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值为______.
（3）如图4，30AOB ∠=︒，5OC =，12OD =，点E ，F 分别是射线OA ，OB 上的动点，则CF EF DE ++的最小值为__________.
18．如图所示，已知点A 是锐角MON ∠内一点，试分别在,OM ON 上确定,B C 两点，使三角形ABC
的周长最小，写出你作图的主要步骤并标明你确定的点．
19．、1）如图1，在△ABC 中∠A、60 º、BD、CE 均为△ABC 的角平分线且相交于点O.
①填空、∠BOC、 度；
②求证、BC、BE+CD、(写出求证过程)
、2）如图2，在△ABC 中，AB=AC=m、BC=n、 CE 平分∠ACB、
①若△ABC 的面积为S ，在线段CE 上找一点M ，在线段AC 上找一点N ，使得AM+MN 的值最小，则AM+MN 的最小值是 、(直接写出答案)、
②若∠A=20°，则△BCE 的周长等于 、(直接写出答案)、
20．如图所示，两条河12l l 、交于点O ，某人牧马，早上从家点C 出发，先到河岸1l 的点1P 处让马饮水，
然后再到河岸2l 的点2P 处放牧，傍晚骑马到达马舍点D ．他应如何选择马的饮水点1P 和放牧点2P ，才
