一元一次方程学生讲义

3.1 从算式到方程

3.1.1一元一次方程

知识点1

定义1：含有未知数的等式就叫做方程.

2. 一元一次方程：只含有一个未知数(元)x，未知数x的指数都是1(次)，这样的方程叫做一元一次方程.例如： 1700+50x=1800， 2（x+1.5x）=5等都是一元一次方程.

1、如果(m-1)x|m| +5=0是一元一次方程，那么m＝＿＿＿．

2、下列各式：①3x+2y=1②m-3=6③x/2+2/3=0.5④x2+1=2⑤z/3-6=5z

⑥(3x-3)/3=4⑦5/x+2=1⑧x+5中，一元一次方程的个数是（）

Ａ、1 Ｂ、2 Ｃ、3 Ｄ、4

3、若(a－1)x|a|＋3＝－6是关于x的一元一次方程，则a＝＿＿；x ＝＿＿＿。

知识点2

方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.

注：⑴ 方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程.

⑵ 方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论.

1、若x=1是方程k （x-2）=2的解，则k= ．

2、（2009·芜湖）已知方程3x 2x -9x+m=0的一个根是1，则m 的值是 。

解：把x=1代入原方程，得3×21-9×1+m=0，

解得m=6

答案：6

3、y=1是方程12()23m y y --=的解，求关于x 的方程(4)2(3)m x mx +=+的解。

4、（2004·吉林）已知m 是方程2x -x-2=0的一个根，则代数式2m m -的

值等于____.

3.1.2 等式的性质

等式的性质(1)：等式两边都加上(或减去)同个数(或式子)，结果仍相等.

等式的性质(1)用式子形式表示为：如果a=b ，那么a ±c=b ±c

(2)等式的性质(2)：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，等式的性质(2)用式子形式表示为：如果a=b ，那么

ac=bc;如果a=b(c ≠0)，那么a c =b c

1、等式2-3

1-x =1变形，应得（ ） A ．6-x+1=3 B ．6-x-1=3 C ．2-x+1=3 D ．2-x-1=3

五、解方程的一般步骤

1. 去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)

2. 去括号(按去括号法则和分配律)

3. 移项(把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号)

4. 合并(把方程化成ax = b (a ≠0)形式)

5. 系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解x=b a

). 1、要解方程4.5(x+0.7)=9x ,最简便的方法应该首先（ ）

Ａ、去括号 Ｂ、移项 Ｃ、方程两边同时乘以１０ Ｄ、方程两边同时除以4.5

分析：由于９是4.5的２倍，所以选择Ｄ最简便．

2、解方程512(69)812()8323

x x x ---=- 解：去括号 ８x －２０x ＋６ ＝８－４x ＋６

移项 ８x －２０x ＋４x ＝８＋６－６

合并 －８x ＝８

系数化为１ x ＝－１ 3、如果2005200.520.05x -=-,那么x 等于（ ）

(A)1814.55 (B)1824.55 (C)1774.45 (D)1784.45

分析与解：移项，得2005-200.5+20.05=x ，解得：x=1824.55.答案为A.

4、（2008·江苏）解方程：341

13843242x x ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 解：去括号，得113624

2x x --=

移项、合并同类项，得-x=614，

系数化为1，得x=-614

5、（2003·黄州）解方程：2(1)0.4(1)3430.2

4

x x -+-=-. 6、解方程（1）50714x -+= （ 2）()()()3121451y y y -+-=+-

（3）11234x x x +--=+ （4）()0.110.70.110.40.3x x x ---=+

（5）133

12612657x x ⎡⎤⎛⎫--+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ （6）2138x -+= 3.4 实际问题与一元一次方程

（1）用方程思想解决实际问题的一般步骤

1. 审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系．

2. 设：设未知数(可分直接设法，间接设法)

3. 列：根据题意列方程．

4. 解：解出所列方程．

5. 检：检验所求的解是否符合题意．

6. 答：写出答案(有单位要注明答案)

（2）有关常用应用类型题及各量之间的关系

1. 和、差、倍、分问题：

（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现.

（2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现.

2. 等积变形问题：

“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常用等量关系为： ①形状面积变了，周长没变；

②原料体积＝成品体积.

3.调配问题：

这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：

（1）既有调入又有调出；

（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；

（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变

（1）有两个工程队，甲工程队有32人，乙工程队有28人，如果是甲工程队的人数是工程队人数的2倍，需从乙工程队抽调多少人到甲工程队？

（2）某班同学利用假期参加夏令营活动，分成几个小组，若每组7人还余1人，若每组8人还缺6人，问该班分成几个小组，共有多少名同学？

4. 数字问题

（1）要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9， 0≤b≤9，0≤c≤9）则这个三位数表示为：100a+10b+c.

（2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+1或2n—1表示.

（1）已知三个连续偶数的和是2004，求这三个偶数各是多少？