0高中数学人教版A版高一年级向量在平面几何和物理的应用—课后检测

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2.5。

1 平面几何中的向量方法1。

已知A，B,C，D四点的坐标分别是（1，0），(4，3)，（2，4），(0，2），则四边形ABCD为（)A.梯形B。

菱形 C.矩形 D.正方形解析:由题意知，=（3,3），=（2，2），所以。

又因为｜｜≠｜｜,所以四边形ABCD为梯形.答案:A2。

已知直角梯形ABCD中，AB⊥AD,AB=2,DC=1,AB∥DC，则当AC⊥BC时，AD=（)A.1B.C。

D。

2解析：建立如图的平面直角坐标系，则A（0,0），B(2，0).设AD=a,则C（1,a），=(1,a),=(-1,a).∵AC⊥BC,∴.∴=-1+a2=0,∴a=1（负值舍去）。

答案:A3。

在△ABC中,∠C=90°,且CA=CB=3,点M满足=2，则=()A。

18 B.3 C.15 D。

12解析：如图,建立平面直角坐标系,则A（3,0）,B（0，3),设M(x,y），则=（x，y-3),=(x-3，y），∵=2，∴∴M(6，-3）,∴=(6，—3)·(3，0）=18。

1.21(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系．2一、选择题1．已知点A (－2，－3)，B (2,1)，C (0,1)，则下列结论正确的是( ) A ．A ，B ，C 三点共线 B.AB →⊥BC →C ．A ，B ，C 是等腰三角形的顶点D ．A ，B ，C 是钝角三角形的顶点 答案：D解析：∵BC →＝(－2,0)，AC →＝(2,4)，∴BC →·AC →＝－4<0，∴∠C 是钝角．2．已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3,2)，f 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f 4，则f 4＝( )A ．(－1，－2)B ．(1，－2)C ．(－1,2)D ．(1,2) 答案：D解析：由物理知识知f 1＋f 2＋f 3＋f 4＝0，故f 4＝－(f 1＋f 2＋f 3)＝(1,2)．3．在四边形ABCD 中，若AB →＝－CD →，AB →·BC →＝0，则四边形为( ) A ．平行四边形 B ．矩形 C ．等腰梯形 D ．菱形 答案：D解析：由AB →＝－CD →知四边形ABCD 是平行四边形，又AB →·BC →＝0，∴AB →⊥BC →，∴此四边形为菱形． 4．已知一条两岸平行的河流河水的流速为2 m/s ，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )A ．10 m/sB ．226 m/sC ．4 6 m/sD ．12 m/s 答案：B解析：设河水的流速为v 1，小船在静水中的速度为v 2，船的实际速度为v ，则|v 1|＝2，|v |＝10，v⊥v 1，∴v 2＝v －v 1，v ·v 1＝0，∴|v 2|＝v 2－2v ·v 1＋v 21＝226(m/s)．5．人骑自行车的速度为v 1，风速为v 2，则逆风行驶的速度为( ) A ．v 1－v 2 B ．v 2－v 1 C ．v 1＋v 2 D ．|v 1|－|v 2| 答案：C解析：对于速度的合成问题，关键是运用向量的合成进行处理，逆风行驶的速度为v 1＋v 2，故选C.6．点O 在△ABC 所在平面内，给出下列关系式： ①OA →＋OB →＋OC →＝0；②OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AC →|AC →|－AB →|AB →|＝OB →·⎝⎛⎭⎪⎪⎫BC →|BC →|－BA →|BA →|＝0； ③(OA →＋OB →)·AB →＝(OB →＋OC →)·BC →＝0. 则点O 依次为△ABC 的( ) A ．内心、重心、垂心 B ．重心、内心、垂心 C ．重心、内心、外心 D ．外心、垂心、重心 答案：C解析：①由于OA →＝－(OB →＋OC →)＝－2OD →，其中D 为BC 的中点，可知O 为BC 边上中线的三等分点(靠近线段BC )，所以O 为△ABC 的重心；②向量AC →|AC →|，AB →|AB →|分别表示在AC 和AB 上取单位向量AC ′→和AB ′→，它们的差是向量B ′C ′→，当OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AC →|AC →|－AB →|AB →|＝0，即OA ⊥B ′C ′时，则点O 在∠BAC 的平分线上，同理由OB →·⎝⎛⎭⎪⎪⎫BC →|BC →|－BA →|BA →|＝0，知点O 在∠ABC 的平分线上，故O 为△ABC 的内心；③OA →＋OB →是以OA →，OB →为边的平行四边形的一条对角线，而AB →是该四边形的另一条对角线，AB →·(OA →＋OB →)＝0表示这个平行四边形是菱形，即|OA →|＝|OB →|，同理有|OB →|＝|OC →|，于是O 为△ABC 的外心．二、填空题7．已知两个粒子A 、B 从同一点发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为v a ＝(4,3)，v b ＝(3,4)，则v a 在v b 上的投影为________．答案：245解析：由题知v a 与v b 的夹角θ的余弦值为cos θ＝12＋1`25×5＝2425.∴v a 在v b 上的投影为|v a |cos θ＝5×2425＝245.8．已知点A (0,0)，B (3，0)，C (0,1)．设AD ⊥BC 于D ，那么有CD →＝λCB →，其中λ＝________.答案：14解析：如图|AB →|＝3，|AC →|＝1，|CB →|＝2，由于AD ⊥BC ，且CD →＝λCB →，所以C 、D 、B 三点共线，所以|CD →||CB →|＝14，即λ＝14.9．在四边形ABCD 中，已知AB →＝(4，－2)，AC →＝(7,4)，AD →＝(3,6)，则四边形ABCD 的面积是________． 答案：30解析：BC →＝AC →－AB →＝(3,6)＝AD →，∵AB →·BC →＝(4，－2)·(3,6)＝0，∴AB →⊥BC →，∴四边形ABCD 为矩形，|AB →|＝20，|BC →|＝45，∴S ＝|AB →|·|BC →|＝30.三、解答题 10.如图，在平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BN ＝13BD ，求证：M ，N ，C 三点共线．证明：依题意，得BM →＝12BA →，BN →＝13BD →＝13(BA →＋BC →)． ∵MN →＝BN →－BM →，∴MN →＝13BC →－16BA →.∵MC →＝BC →－BM →＝BC →－12BA →，∴MC →＝3MN →，即MC →∥MN →. 又MC →，MN →有公共点M ，∴M ，N ，C 三点共线．11．两个力F 1＝i ＋j ，F 2＝4i －5j 作用于同一质点，使该质点从点A (20,15)移动到点B (7,0)(其中i, j 分别是与x 轴、y 轴同方向的单位向量)．求：(1)F 1，F 2分别对该质点做的功； (2)F 1，F 2的合力F 对该质点做的功．解：AB →＝(7－20)i ＋(0－15)j ＝－13i －15j .(1)F 1做的功W 1＝F 1·s ＝F 1·AB →＝(i ＋j )·(－13i －15j )＝－28；F 2做的功W 2＝F 2·s ＝F 2·AB →＝(4i －5j )·(－13i －15j )＝23. (2)F ＝F 1＋F 2＝5i －4j ，所以F 做的功W ＝F ·s ＝F ·AB →＝(5i －4j )·(－13i －15j )＝－5.12．如图，作用于同一点O 的三个力F 1→、F 2→、F 3→处于平衡状态，已知|F 1→|＝1，|F 2→|＝2，F 1→与F 2→的夹角为2π3，则F 3→的大小________．答案： 3解析：∵F 1→、F 2→、F 3→三个力处于平衡状态， ∴F 1→＋F 2→＋F 3→＝0即F 3→＝－(F 1→＋F 2→)，∴|F 3→|＝|F 1→＋F 2→|＝ F 1→＋F 2→ 2＝F 21→＋2F 1→·F 2→＋F 22→ ＝1＋2×1×2×cos 2π3＋4＝ 3.13．已知A (2,1)、B (3,2)、D (－1,4)．(1)求证：AB →⊥AD →；(2)若四边形ABCD 为矩形，试确定点C 的坐标，并求该矩形两条对角线所成的锐角的余弦值．解：(1)证明：∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， ∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)．又∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB →⊥AD →.(2)∵四边形ABCD 为矩形，且AB ⊥AD ， ∴AD →＝BC →.设C (x ，y )，则(－3,3)＝(x －3，y －2)，⎩⎪⎨⎪⎧－3＝x －33＝y －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5.∴点C (0,5)．又∵AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)， ∴AC →·BD →＝(－2)×(－4)＋4×2＝16. 而|AC →|＝ －2 2＋42＝2 5，|BD →|＝ －4 2＋22＝2 5， 设AC →与BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →||BD →|＝162 5×2 5＝45∴该矩形两条对角线所成锐角的余弦值为45.【…、￥。

课时达标检测（二十四） 平面向量应用举例一、选择题1．若向量1OF ＝(1,1)，2OF ＝(－3，－2)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为( ) A.10B ．2 5 C. 5 D.15答案：C2．设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且a 与b 不共线，a ⊥c ，|a |＝|c |，则|b ·c |的值一定等于( )A ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积B ．以b ，c 为两边的三角形的面积C ．以a ，b 为两边的三角形的面积D ．以b ，c 为邻边的平行四边形的面积答案：A3．两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N ，则当它们的夹角为120°时，合力大小为( )A ．40 NB ．10 2 NC ．20 2 ND ．10 3 N 答案：B 4．已知△ABC 满足AB 2＝AB ·AC ＋BA ·BC ＋CA ·CB ，则△ABC 是( ) A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形答案：C5．△ABC 中，D ，E ，F 分别为BC ，CA ，AB 的中点，则AD ＋BE ＋CF ＝( )A ．0B ．0C ．ABD ．AC 答案：B二、填空题6．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝⎛⎭⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB ⊥BC ，则动点C 的轨迹方程为________．答案：y 2＝8x 7．已知A ，B 是圆心为C ，半径为5的圆上的两点，且|AB |＝5，则AC ·CB ＝________.答案：－528．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N ，则每根绳子的拉力大小为________ N.答案：10三、解答题9．如图所示，若D 是△ABC 内的一点，且AB 2－AC 2＝DB 2－DC 2，求证：AD ⊥BC .证明：设AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝e ，DB ＝c ，DC ＝d ，则a ＝e ＋c ，b ＝e ＋d ，所以a 2－b 2＝(e ＋c )2－(e ＋d )2＝c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2.由已知可得a 2－b 2＝c 2－d 2，所以c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2＝c 2－d 2，所以e ·(c －d )＝0.因为BC ＝BD ＋DC ＝d －c ，所以AD ·BC ＝e ·(d －c )＝0，所以AD ⊥BC ，即AD ⊥BC .10．如图，用两根分别长52米和10米的绳子，将100 N 的物体吊在水平屋顶AB 上，平衡后，G 点距屋顶距离恰好为5米，求A 处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．解：如图，由已知条件可知AG 与铅直方向成45°角，BG 与铅直方向成60°角． 设A 处所受力为F a ，B 处所受力为F b ，物体的重力为G ，∠EGC ＝60°，∠EGD ＝45°，则有|F a |cos 45°＋|F b |cos 60°＝|G |＝100，①且|F a |sin 45°＝|F b |sin 60°.②由①②解得|F a |＝1502－506，∴A 处所受力的大小为(1502－506) N.11.如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，AB 的中点，G 为BE 与DF 的交点．若AB ＝a ，AD ＝b .(1)试以a ，b 为基底表示BE ，DF ；(2)求证：A ，G ，C 三点共线．解：(1)BE ＝AE －AB ＝12b －a ，DF ＝AF －AD ＝12a －b .(2)证明：D ，G ，F 三点共线，则DG ＝λDF ，AG ＝AD ＋λDF ＝12λa ＋(1－λ)b .B ，G ，E 三点共线，则BG ＝μBE ，AG ＝AB ＋μBE ＝(1－μ)a ＋12μb ，由平面向量基本定理知⎩⎨⎧ 12λ＝1－μ，1－λ＝12μ，解得λ＝μ＝23，∴AG ＝13(a ＋b )＝13AC ，所以A ，G ，C 三点共线．。

2022版人教A 版高中数学必修第二册--6.4 平面向量的应用6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例基础过关练题组一 向量在平面几何中的应用1.已知A ,B ,C 是平面上的三点,其坐标分别为(1,2),(4,1),(0,-1),则△ABC 的形状为( )A.直角(非等腰)三角形B.等腰(非等边)三角形C.等腰直角三角形D.以上均不正确2.在直角三角形ABC 中,点D 是斜边AB 的中点,点P 为线段CD 的中点,则PA 2+PB 2PC 2=( )A.2B.4C.5D.103.已知O 是△ABC 所在平面内的一点,若(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )·CA⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则点O 是△ABC 的 ( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心4.已知点P 在△ABC 所在的平面内,若2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +4PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则△PAB 与△PBC 的面积的比值为 .5.已知正方形ABCD 中,E 、F 分别是CD 、AD 的中点,BE 、CF 交于点P ,连接AP.用向量法证明: (1)BE ⊥CF ;(2)AP=AB.题组二向量在物理中的应用6.(2021江苏无锡、江阴两市高一下期末联考)体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动处于如图所示的平衡状态时,若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为400 N,则该学生的体重约为(参考数据:重力加速度的大小g=10 N/kg,√3≈1.732)()A.63 kgB.69 kgC.75 kgD.81 kg7.一艘渔船距对岸4 km,以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向航行,到达对岸时,船的实际航程为8 km,则河水的流速为()A.2√3km/hB.2 km/hC.√3km/hD.3 km/h8.一个重20 N的物体从倾斜角为30°,长为1 m的光滑斜面顶端下滑到底端,则重力做的功是J.9.如图所示,在细绳O处用水平力F2缓慢拉起重力为G的物体,绳子与铅垂方向的夹角为θ,绳子所受到的拉力为F1.(1)请说明|F1|、|F2|随角θ的变化而变化的情况;(2)当|F1|≤2|G|时,求角θ的取值范围.能力提升练题组一向量在平面几何中的应用1.()已知P 是△ABC 所在平面内一点,且|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |−|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ −2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=0,则△ABC 的形状一定是 ( )A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形 2.()过△ABC 内部(含边界)一点M 任作一条直线EF ,AD ⊥EF 于点D ,BE ⊥EF 于点E ,CF ⊥EF 于点F ,且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则点M 是△ABC 的 ( )A.三条高的交点B.三条中线的交点C.三边中垂线的交点D.三个内角平分线的交点 3.(2020安徽六安第一中学高一下阶段测试,)已知a =(-12,√32),OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a -b ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b .若△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形,则△AOB 的面积是 . 4.()如图,已知△ABC 的面积为14 cm 2,D ,E 分别为边AB ,BC 上的点,且AD ∶DB =BE ∶EC =2∶1,AE ,CD 交于点P ,连接BP ,则△APC 的面积为 cm 2.5.()如图,在△ABC 中,∠BAC =120°,AB =AC =3,点D 在线段BC 上,且BD =12DC.求:(1)AD 的长; (2)∠DAC 的大小.题组二向量在物理中的应用6.()一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行,直扑猎物,太阳光从头上直照下来,鹰在地面上的影子的速度的大小是40 m/s,则鹰的飞行速度的大小为()A.803 m/s B.40√33m/s C.80√33m/s D.403m/s7.()一条河的两岸互相平行,一艘小船从岸边向河对岸航行.已知水流的速度的大小为1 m/s,小船的速度的大小为2 m/s,为使船的航程最短,小船应朝的方向行驶.8.()如图,一个力F作用于小车G,使小车G发生了40米的位移s,F的大小为50 N,且与小车的位移方向的夹角为60°,e是与小车位移方向相同的单位向量,则F在小车位移上的投影向量为,力F做的功为.9.()如图所示,一条河的两岸互相平行,河的宽度d=500 m,一艘船从A点出发航行到河对岸,船航行速度的大小为|v1|=10 km/h,水流速度的大小为|v2|=4 km/h,设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°).(1)当cos θ多大时,船能垂直到达对岸?(2)当船垂直到达对岸时,航行所需时间是否最短?为什么?答案全解全析 基础过关练1.C 由题意,得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,-1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-3),∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3×(-1)+(-1)×(-3)=0,且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√10,∴△ABC 为等腰直角三角形.2.D PA 2+PB 2PC 2=|PA ⃗⃗⃗⃗ |2+|PB ⃗⃗⃗⃗ |2|PC⃗⃗⃗⃗ |2=PA ⃗⃗⃗⃗ 2+PB ⃗⃗⃗⃗ 2PC⃗⃗⃗⃗ 2=(PC⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗ )2+(PC ⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗ )2PC⃗⃗⃗⃗ 2=2|PC⃗⃗⃗⃗ |2+2PC ⃗⃗⃗⃗ ·(CA ⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗ )+|AB ⃗⃗⃗⃗ |2|PC⃗⃗⃗⃗ |2=|AB⃗⃗⃗⃗ |2|PC ⃗⃗⃗⃗ |2-6=42-6=10.3.A 由已知得(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,即OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=0,所以|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以点O 是△ABC 的外心.故选A .4.答案 45解析 ∵2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +4PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +4PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ), ∴5PA⃗⃗⃗⃗⃗ =−4PC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴点P 在线段AC 上,且|PA⃗⃗⃗⃗⃗ |=45|PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |. ∵△PAB 与△PBC 分别以PA ,PC 为底时,高相同, ∴△PAB 与△PBC 的面积的比值为|PA⃗⃗⃗⃗ ||PC ⃗⃗⃗⃗ |=45.5.证明 如图,建立平面直角坐标系xOy ,不妨设AB =2,则A (0,0),B (2,0),C (2,2),E (1,2),F (0,1).(1)∵BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =OE ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)-(2,0)=(-1,2),CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1)-(2,2)=(-2,-1), ∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =-1×(-2)+2×(-1)=0, ∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CF⃗⃗⃗⃗⃗ ,即BE ⊥CF. (2)设P (x ,y ),则FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y -1),BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x -2,y ),由(1)知CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-1),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2), ∵FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴-x =-2(y -1),即x =2y -2.① 同理,由BP⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得y =-2x +4.② 联立①②,解得{x =65,y =85,即P65,85.∴AP⃗⃗⃗⃗⃗ 2=652+852=4=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2,∴|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,即AP =AB. 6.B 设两只胳膊的拉力分别为F 1,F 2,学生的体重为m kg , 则mg =|F 1+F 2|=√(F 1+F 2)2=√4002+2×400×400×cos60°+4002 =400√3≈692.8,可得m ≈69.故选B .7.A 如图,设A 为渔船,BC 所在直线为对岸,AB =4 km ,实际航程AC =8 km ,则∠BCA =30°,又|v AB |=2 km/h ,∴|v BC |=2√3 km/h ,故选A .8.答案 10解析 ∵物体的重力为20 N ,物体在重力方向上的位移大小是1×sin 30°=12(m ),∴重力做的功为12×20=10(J ).9.解析 画出物体的受力分析图,如图.(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则得,G =-(F 1+F 2),|F 1|=|G |cosθ,|F 2|=|G |·tan θ.当角θ从0趋向于π2时,|F 1|、|F 2|都逐渐增大.(2)由|F 1|=|G |cosθ≤2|G |,得cos θ≥12.∵0≤θ<π2,∴0≤θ≤π3, ∴角θ的取值范围是[0,π3].能力提升练1.B ∵P 是△ABC 所在平面内一点,且|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |−|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ −2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=0, ∴|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |-|(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −PA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ −PA⃗⃗⃗⃗⃗ )|=0, ∴|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |, 两边平方并化简得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴∠BAC =90°,即△ABC 是直角三角形.无法判断△ABC 是不是等腰三角形.故选B . 2.B 根据特殊位置法,可以判断,当直线EF 经过C 点时,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,于是|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |,EF 即为AB 边上的中线,同理,当EF 经过A 点时,EF 是BC 边上的中线,当EF 经过B 点时,EF 是AC 边上的中线,因此,点M 是△ABC 的三条中线的交点,故选B. 3.答案 1解析 由题意得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a -b )·(a +b )=0, ∴a 2-b 2=0, ∴|a |=|b |, ∵|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |, ∴|a -b |=|a +b |,∴a 2+b 2-2a ·b =a 2+b 2+2a ·b , ∴a ·b =0,又|a |=√(-12)2+(√32)2=1,∴a ,b 是互相垂直的单位向量,∴|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2, ∴S △OAB =12|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |×|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1. 4.答案 4解析 设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +23b ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ =13a +b . ∵点A ,P ,E 共线,点D ,P ,C 共线,∴存在实数λ和μ,使AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λa +23λb ,DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =μDC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13μa +μb . 又∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DP⃗⃗⃗⃗⃗ =(23+13μ)a +μb , ∴{λ=23+13μ,23λ=μ,解得{λ=67,μ=47,∴S △PAB =47S △ABC =14×47=8(cm 2),S △PBC =14×(1-67)=2(cm 2), ∴S △APC =14-8-2=4(cm 2).5.解析 (1)设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AC⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC⃗⃗⃗⃗⃗ =23a +13b . ∴|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(23a +13b)2=49a 2+2×29a ·b +19b 2=49×9+2×29×3×3×cos 120°+19×9=3,∴AD =√3(负值舍去). (2)设∠DAC =θ(0°<θ<120°), 则θ为AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角. ∴cos θ=AD⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗ |AD ⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗ |=(23a+13b )·b √3×3=23a ·b+13b 23√3=23×3×3×(-12)+13×93√3=0,∴θ=90°,即∠DAC =90°.6.C 如图所示,设鹰的飞行速度为v 1,鹰在地面上的影子的速度为v 2,则|v 2|=40 m/s .因为鹰的运动方向与水平方向成30°角,所以|v 1|=2√32=80√33m/s .7.答案 与水流方向成120°角解析 如图,为使小船的航程最短,v 水+v 船应与河岸垂直.又|v 水|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1 m/s ,|v 船|=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2 m/s ,∠ADC =90°,所以∠CAD =30°.所以小船应朝与水流方向成120°角的方向行驶.8.答案 25e ;1 000 J解析 ∵|F |=50,且F 与小车的位移方向的夹角为60°,∴F 在小车位移上的投影向量为|F |·cos 60°e =25e .∵力F 作用于小车G ,使小车G 发生了40米的位移,∴力F 做的功W =25×40=1 000(J ).9.解析 (1)船垂直到达对岸,即v 1+v 2与v 2垂直,即(v 1+v 2)·v 2=0,所以v 1·v 2+v 22=0,即|v 1||v 2|cos θ+|v 2|2=0,所以40cos θ+16=0,解得cos θ=-25. 所以当cos θ=-25时,船能垂直到达对岸. (2)设船航行到对岸所需的时间为t ,则t =d|v 1|sinθ=0.510sinθ=120sinθ(h ).故当θ=90°时,船的航行时间最短,最短时间为120h .故当船垂直到达对岸时,航行所需时间不是最短的.。

新人教A版必修4一、选择题1．已知作用在点A(1,1)的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，则合力F ＝F1＋F2＋F3的终点坐标是( )A．(8,2) B．(9,1)C．(－1,9) D．(3,1)解析：F＝(8,0)，∵点A(1,1)为始点，∴终点坐标为(8,0)＋(1,1)＝(9,1)，故选B.答案：B2．用力F推动一物体水平运动s m，且F与水平面的夹角为θ，则对物体所做的功为( )A．|F|·s B．F·cosθ·sC. F·sinθ·s D．|F|·cosθ·s解析：F在水平方向上的力的大小为|F|·cosθ，故W＝|F|·cosθ·s.答案：D3．一条河的宽度为d，一只船从A出发到河的正对岸B处，船速为v1，水速为v2，则船行到B处时，行驶速度的大小为( )A．v21－v22B．|v1|2－|v2|2解析：如图，由平行四边形法则和解直角三角形知识，可得|v|2＝|v1|2－|v2|2.答案：D4．如右图，用两条绳提一个物体，每条绳用力5 N，两绳夹角为60°，则物体所受的重力为( )A．5 N B．5 3 NC．5 2 N D．10 N解析：物体所受的重力＝|F1|cos30°＋|F2|cos30°＝5×32＋5×32＝53(N)．答案：B二、填空题5．已知速度v1＝(1，－2)，速度v2＝(3,4)，则合速度v＝(4,2)．解析：v＝v1＋v2＝(4,2)．6．一条两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为2，为使所走路程最短，小船应朝与水速成135°角的方向行驶．解析：如图，为使小船所走路程最短，v水＋v船应与岸垂直．又|v水|＝|AB→|＝1，|v 船|＝|AC→|＝2，∠ADC＝90°，∴∠CAD＝45°.7．一个物体在大小为20 N的力F的作用下的位移为s，力F所做的功W＝40 J，且F与s的夹角为60°，则位移s的大小为4 m.解析：W＝F·s，∴40＝20·|s|cos60°.∴|s|＝4即s的大小是4 m.三、解答题8．两个力F1＝i＋j，F2＝4i－5j作用于同一质点，使该质点从点A(20,15)移动到点B(7,0)(其中i、j是x轴、y轴正方向上的单位向量)．求：(1)F1、F2分别对该质点做的功；(2)F1、F2的合力F对该质点做的功．解：(1)AB→＝(－13，－15)，WF＝F1·AB→＝－13－15＝－28(J)，1WF＝F2·AB→＝4×(－13)＋(－5)×(－15)＝23(J)．2(2)F＝F1＋F2＝(5，－4)，W＝F·AB→＝－5(J)．F9．某人在一条河中游泳，河水的流速为3 km/h，此人在静水中的游泳速度为4 km/h.(1)如果他径直游向河对岸，他实际是沿什么方向前进？速度大小为多少？(2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？解：(1)如图，设水流速度为OA→，此人游泳的速度为OB→，以OA→、OB→为邻边作矩形OACB，则此人的实际速度为OC→＝OA→＋OB→.由已知，|OA→|＝3，|OB→|＝4，由勾股定理，得|OC→|＝5，且在Rt△OAC中，∠AOC≈53°8′.故此人实际是沿与水流方向的夹角为53°8′的方向前进，速度大小为5 km/h.(2)如图，设水流速度为OA→，实际游泳速度为OC→，实际前进速度为OB→，则OA→＋OC→＝OB→，∴四边形OABC为平行四边形．据题意，OB→⊥OA→，|OA→|＝3，|OC→|＝4，则在Rt△AOB中，|OB→|＝42－32＝7.cos∠BAO＝34，∴∠BAO≈41°25′.故此人应沿与河岸夹角为41°25′且逆着水流的方向前进，实际前进的速度大小为7 km/h.28974 712E 焮27466 6B4A 歊C 26657 6821 校22192 56B0 嚰34248 85C8 藈37373 91FD 釽y32908 808C 肌。

第六章 平面向量及其应用 复习参考题——高一数学人教A 版（2019）必修第二册洞悉课后习题【教材课后习题】1.判断下列命题是否正确（正确的在括号内打“√”，错误的打“×”）. （1）AB BA +=0.( ) （2）AB BC AC +=.( ) （3）AB AC BC -=.( ) （4）00AB =.( )2.选择题（1）如果a ，b 是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是( ). A.=a bB.1⋅=a bC.22≠a bD.22||||=a b（2）对于任意两个向量a 和b ，下列命题中正确的是( ). A.若a ，b 满足||||>a b ，且a 与b 同向，则>a b B.||||||+≤+a b a b C.||||||⋅≥a b a b D.||||||-≤-a b a b（3）在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+，则( ). A.四边形ABCD 是矩形 B.四边形ABCD 是菱形 C.四边形ABCD 是正方形D.四边形ABCD 是平行四边形（4）设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ). A.a 与λ-a 的方向相反 B.||||λ-≥a a C.a 与2λa 的方向相同D.||||λλ-=a a（5）设M 是ABCD 的对角线的交点，O 为任意一点，则OA OB OC OD +++=( )A.OMB.2OMC.3OMD.4OM（6）在下列各组向量中，可以作为基底的是( ). A.1(0,0)=e ，2(1,2)=-e B.1(1,2)=-e ，2(5,7)=eC.1(3,5)=e ，2(6,10)=eD.1(2,3)=-e ，213,24⎛⎫=- ⎪⎝⎭e3.已知六边形ABCDEF 为正六边形，且AC =a ，BD =b ，分别用a ，b 表示DE ，AD ，BC ，EF ，FA ，AB ，CE .4.已知平面直角坐标系中，点O 为原点，(3,4)A --，(5,12)B -. （1）求AB 的坐标及||AB 的值；（2）若OC OA OB =+，OD OA OB =-，求OC 与OD 的坐标； （3）求OA OB ⋅的值.5.已知点(1,1)A ，(1,0)B -，(0,1)C .若AB CD =，则点D 的坐标是什么?6.已知向量(1,0)=a ，(1,1)=b ，(1,0)=-c ，求满足λμ=+c a b 的λ和μ的值.7.已知ABC △的顶点坐标分别为(1,1)A ，(4,1)B ，(4,5)C ，求cos A ，cos B ，cos C 的值.8.已知向量(1,0)=a ，(1,1)=b .当λ为何值时，λ+a b 与a 垂直?9.已知向量a 与b 的夹角为30°，||=a ，||2=b ，求||+a b ，||-a b 的值. 10.如图，支座A 受1F ，2F 两个力的作用，已知1F 与水平线成θ角，140N =F ，2F 沿水平方向，270N =F ，1F 与2F 的合力F 的大小为100N ，求cos θ以及F 与2F 的夹角β的余弦值.11.在ABC △中，分别根据下列条件解三角形（角度精确到1′，边长精确到0.01cm ）：（1）12cm a =，5cm b =，120A =︒； （2）6cm a =，8cm b =，30A =︒； （3）7cm a =，23cm b =，130C =︒； （4）2cm a =，3cm b =，4cm c =.12.海中有一座小岛，周围3nmile 内有暗礁.一艘海轮由西向东航行，望见该岛在北偏东75°；海轮航行8nmile 以后，望见该岛在北偏东55°.如果这艘海轮不改变航向继续前进，有没有触礁的危险? 13.选择题（1）已知a ，b 是不共线的向量，且5AB =+a b ，28BC =-+a b ，3()CD =-a b ，则( ).A.A ，B ，D 三点共线B.A ，B ，C 三点共线C.B ，C ，D 三点共线D.A ，C ，D 三点共线（2）已知正方形ABCD 的边长为1，AB =a ，BC =b ，AC =c ，则||++=a b c ( ).A.0B.3D.（3）已知OA =a ，OB =b ，OC =c ，OD =d ，且四边形ABCD 为平行四边形，则( ).A.0+++=a b c dB.0-+-=a b c dC.0+--=a b c dD.0--+=a b c d（4）若1e ，2e 是夹角为60°的两个单位向量，则122a =+e e 与1232=-+b e e 的夹角为( ). A.30°B.60°C.120°D.150°（5）已知等边三角形ABC 的边长为1，BC =a ，CA =b ，AB =c ，那么⋅+⋅+⋅=a b b c c a ( ).A.3B.-3C.32 D.32-（6）若平面向量a ，b ，c 两两的夹角相等，且||1=a ，||1=b ，||3=c ，则||++=a b c ( ).A.2B.5C.2或514.已知a ，b ，c ，d 为非零向量，证明下列结论，并解释其几何意义. （1）||||⊥⇔+=-a b a b a b ；（2）若+=a b c ，-=a b d ，则||||=⇔⊥a b c d .15.已知123PP P △，向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1230OP OP OP ++=，123OP OP OP ==.求证：123PP P △是等边三角形.16.如图，已知OA =a ，OB =b ，任意点M 关于点A 的对称点为S ，点S 关于点B 的对称点为N ，用a ，b 表示向量MN .（本题可以运用信息技术发现规律）17.一个人骑自行车由A 地出发向东骑行了9km 到达B 地，然后由B 地行了16km 到达D 地，求这个人由A 地到D 地的位移（角度精确到1°）.【定点变式训练】18.在ABC △中，设,,AB AC D ==a b 为AC 边的中点，则BD =( ) A.12+a bB.12+a bC.12-a bD.12-b a19.已知向量,a b 不共线，若向量λ+a b 与λ+b a 的方向相反，则λ的值为( ) A.1B.0C.-1D.1±20.如图所示，在四边形ABCD 中，1,3DC AB E =为BC 的中点，且AE xAB y AD =+，则32x y -=( )A.12B.32C.1D.221.已知作用在点A 的三个力1(3,4)=f ，2(2,5)=-f ，3(3,1)=f ，且(1,1)A ，则合力123=++f f f f 的终点坐标为( )A.(9,1)B.(1,9)C.(9,0)D.(0,9)22.P 是 ABC 所在平面内一点，满足|||2|0PB PC PB PC PA --+-=，则ABC 的形状是( )A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形23.在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若60A =︒，1b =，其面积sin sin sin a b cA B C++=++( )A. 24.在ABC △中，2cos 3C =，4AC =，3BC =，则tan B =( )B. C. D.25.自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“岱宗夫如何？齐鲁青未了.造化钟神秀，阴阳割昏晓.荡胸生层云，决毗入归鸟.会当凌绝顶，一览众山小.”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再人们出行的阻碍，伟大领袖毛主席曾作词：“一桥飞架南北，天堑变通途”.在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等.如图为某工程队将A 到D 修建一条隧道，测量员测得一些数据如图所示(A ，B ，C ，D 在同一水平面内)，则A ，D 间的距离为( )kmkm26.在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若()()3a b c b c a bc +++-=，且sin 2sin cos A B C =，则ABC △是( )A.直角三角形B.等边三角形C.等腰（非等边）三角形D.等腰直角三角形27.已知向量(3,4),(2,4)m =-=a b .若向量23-a b 与b 共线，则实数m =________. 28.平面向量(1,2),(4,2),()m m ===+∈R a b c a b ，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =________.29.已知在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足22sin sin sin 6sin 0A A B B +-=，且c a =，则cos B =____________.30.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100m BC =，则山高MN =__________m.31.设,a b 是不共线的两个非零向量.(1)若2,3,3OA OB OC =-=+=-a b a b a b ，求证：A ，B ，C 三点共线； (2)若8k +a b 与2k +a b 共线，求实数k 的值；(3)若,23,2AB BC CD k =+=-=-a b a b a b ，且A ，C ，D 三点共线，求实数k 的值.32.已知||=a ||=b 5⋅=-a b ，(1)x x =+-c a b . （1）当⊥b c 时，求实数x 的值；（2）当||c 取最小值时，求向量a 与c 的夹角的余弦值. 33.ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 2A Ca b A +=. (1)求B .(2)若ABC △为锐角三角形，且1c =，求ABC △面积的取值范围.34.如图，在海岸A 处，发现南偏东45°方向距A 为2)海里的B 处有一艘走私船，在A 处正北方向，距A 为C 处的缉私船立即奉命以海里/时的速度追截走私船.(1)刚发现走私船时，求两船的距离.(2)若走私船正以/时的速度从B 处向南偏东75°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(精确到分钟，参考数据：2.5≈≈)35.已知在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足222sin sin sin sin A B C A B +-=.(1)求角C 大小.(2)若2c =b +的取值范围.答案以及解析1.答案：（1）√ （2）√ （3）× （4）×解析：（1）AB 与BA 是相反向量，它们的和为零向量.故正确.（2）当第一个向量的终点是第二个向量的起点时，这两个向量的和等于第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量.故正确.（3）当两个向量有共同的起点时，那么这两个向量的差等于减向量的终点指向被减向量的终点的向量.故不正确.（4）实数0与任意向量的数乘结果是零向量，而不是实数0.故不正确. 2.答案：（1）D （2）B （3）D （4）C （5）D （6）B解析：（1）因为a ，b 是两个单位向量，所以||||=a b ，因此22||||=a b ，也即22=a b ，故C 项错误，D 项正确；两个单位向量尽管长度相等，但方向不一定相同，故A 项错误；||||cos θ⋅=⋅a b a b ，只有a ，b 的夹角θ为0时，才有1⋅=a b ，故B 项错误.（2）A 项错误，向量不能比较大小；B 项正确；C 项错误，||||||⋅≤a b a b ；D 项错误，||||||-≤-a b a b .故选B.（3）AC AB AD =+是向量加法的平行四边形法则.（4）当0λ>时，a 与λ-a 的方向相反，当0λ<时，a 与λ-a 的方向相同，故A 项错误；||||||λλ-=a a ，只有当||1λ≥时，才有||||λ-≥a a ，故B 项错误；因为20λ>，所以a 与2λa 同向，故C 项正确；D 项错误.故选C.（5）因为2,2OA OC OM OB OD OM +=+=， 所以4OA OB OC OD OM +++=.（6）两个不共线的向量可以作为基底.A 项中12//e e ，故不能作为基底；B 项中1e ，2e 不共线，可以作为基底；C 项中1212=e e ，所以12//e e ，不能作为基底；D 项中124=e e ，不能作为基底，故选B.3.答案：2133DE =-+a b ，2233AD =+a b ，1133BC =+b a ，1133EF =--a b ，1233FA =-a b ，1233CD =-+a b ，CE =-+a b解析：如图，设ACBD M =.因为六边形ABCDEF 为正六边形， 所以120ABC BCD ∠=∠=︒， 且ABC DCB ≌△△. 又ABC △是等腰三角形， 所以30BAC BCA ∠=∠=︒， 从而可有90ACD DBA ∠=∠=︒，则1sin 302CM BM AM AM ==︒=， 则1sin 302CM BM AM AM ==︒=，所以13MC =a ，23AM =a ，同理有13BM =b ，23MD =b .所以2133DE BA MA MB ==-=-+a b ，2233AD AM MD =+=+a b ，1133BC BM MC =+=+b a .1133EF BC =-=--a b ，1233FA DC DM MC ==+=-a b ，1233CD FA =-=-+a b ，2133AB DE =-=-a b ，CE CD DE =+=-+a b .4.答案：（1）(8,8)AB =-，||82AB = （2）(2,16)OC =-，(8,8)OD =- （3）33解析：（1）(5,12)(3,4)(8,8)AB =----=-，2||8AB ==. （2）(3,4)(5,12)(2,16)OC OA OB =+=--+-=-，(3,4)(5,12)(8,8)OD OA OB =-=----=-.（3）(3,4)(5,12)154833OA OB ⋅=--⋅-=-+=. 5.答案：(2,0)-解析：设(,)D x y ，由(1,1)A ，(1,0)B -，(0,1)C 知(2,1)AB =--，(,1)CD x y =-，要使AB CD =，则有2,11,x y =-⎧⎨-=-⎩解得2,0.x y =-⎧⎨=⎩所以点D 的坐标为(2,0)-.6.答案：10λμ=-⎧⎨=⎩解析：由λμ=+c a b ，得(1,0)(1,0)(1,1)(,)λμλμμ-=+=+.即1,0,λμμ+=-⎧⎨=⎩解得1,0.λμ=-⎧⎨=⎩7.答案：3cos 5A =，cos 0B =，4cos 5C = 解析：由(1,1)A ，(4,1)B ，(4,5)C 可知(3,0)AB =，(0,4)BC =，所以0AB BC ⋅=，即AB BC ⊥，所以90B ∠=︒，||3AB =，||4BC =，所以||5AC =，故3cos 5A =，cos 0B =，4cos 5C =. 8.答案：1λ=-解析：(1,0)=a ，(1,1)=b ，(1,)λλλ∴+=+a b . 又λ+a b 与a 垂直，()0λ∴+⋅=a b a ，(1,)(1,0)0λλ∴+⋅=，即10λ+=，1λ∴=-.9.答案：||+=a b ，||1-=a b解析：||||cos3023⋅=︒==a b a b ，||∴+====a b||1-====a b . 10.答案：5cos 8θ=，19cos 20β=解析：12+=F F F ，()2212∴+=F F F ，即22212122++⋅=F F F F F .222407024070cos 100θ∴++⨯⨯⨯=，解得5cos 8θ=.又21-=F F F ，()2221∴-=F F F ，即2222212-⋅+=F F F F F ， 222100210070cos 7040β∴-⨯⨯⨯+=，解得19cos 20β=. 11.答案：见解析解析：（1）在ABC △中，根据正弦定理，得219B '=︒，602193851C ''=︒-︒=︒，8.69cm c ≈（2）在ABC △中，根据正弦定理，得2sin 3B =，因为b a >，所以4149B '≈︒或13811B '≈︒；当4149B '=︒时，10811C '=︒，11.40cm c ≈； 当13811B '=︒时，1149C '=︒， 2.46cm c ≈.（3）在ABC △中，根据余弦定理，得28.02cm c ≈，根据正弦定理，得112A '≈︒，501123858B ''≈︒-︒=︒.（4）在ABC △中，根据余弦定理的推论，得cos 0.875A ≈，即2857A '≈︒，同理可得4634B '≈︒，10429C '≈︒. 12.答案：没有解析：设海轮在B 处望见小岛A 在北偏东75°，在C 处望见小岛A 在北偏东55°，从小岛A 向海轮的航线BC 作垂线，垂足为D .设垂线段AD 的长度为x nmile ，CD 为y nmile （如图），则tan 35,tan15,8x y x y ⎧=︒⎪⎪⎨⎪=︒⎪+⎩即，,tan 358,tan15xy x y ⎧=⎪⎪︒⎨⎪=+⎪︒⎩则8tan 35tan15x x =-︒︒，解得8tan15tan 35 3.473tan 35tan15x ︒︒=≈>︒-︒.所以这艘海轮不改变航向继续前进，没有触礁的危险.13.答案：（1）A （2）D （3）B （4）C （5）D （6）C解析：（1）283()5BD BC CD AB =+=-++-=+=a b a b a b ，∴A ，B ，D 三点共线.（2）因为AB BC AC +=，所以|||2|++=a b c c .因为||=c，所以||++=a b c 故选D.（3）易知OB OA AB -=，OC OD DC -=，而在平行四边形ABCD中，AB DC =，所以OB OA OC OD -=-，即-=-b a c d ，也即-+-=0a b c d =0，故选B.（4）12121cos602⋅=⋅︒=e e e e ， ()()221212112217232626222a b ∴⋅=+⋅-+=-+⋅+=-++=-e e e e e e e e ， ()222221211221||24444172==+=+⋅+=+⨯+=e a a e e e e e ，()222221211221||329124912472==-+=-⋅+=-⨯+=b b e e e e e e .设向量a 与向量b 的夹角为θ，则71cos ||2θ-⋅===-‖a b a b .又0180θ︒≤≤︒，所以120θ=︒，故选C.（5）311cos12011cos12011cos1202⋅+⋅+⋅=⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒=-a b b c c a .（6）由向量a ，b ，c 两两所成的角相等，故向量a ，b ，c 两两所成的角都等于0或2π3.当a ，b ，c 两两所成的角为2π3时，2π111cos 32⋅=⨯⨯=-a b ，2π313cos 32⋅=⨯⨯=-b c ，2π331cos 32⋅=⨯⨯=-c a .则22222||()222c ++=++=+++⋅+⋅+⋅a b c a b a b c a b b c c a1331192224222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⨯-+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，||2∴++=a b c .当a ，b ，c 唡两所成的角为0时，||||||||5++=++=a b c a b c .故选C. 14.答案：（1）见解析 （2）见解析解析：（1）先证||||⊥⇒+=-a b a b a b .||+==a b||-==a b .因为⊥a b ，所以，于是||||+=-a b a b . 再证||||+=-⇒⊥a b a b a b .由||||+=-a b a b ，两边平方得2222||2||||2||+⋅+=-⋅+a a b b a a b b ， 所以0⋅=a b ，于是⊥a b .几何意义是矩形的两条对角线相等. （2）先证||||=⇒⊥a b c d .22()()||||⋅=+⋅-=-c d a b a b a b .又||||=a b ，所以0⋅=c d ， 所以⊥c d .再证||||⊥⇒=c d a b ， 由⊥c d 得0⋅=c d ，即22()()||||0+⋅-=-=a b a b a b ， 所以||||=a b ，几何意义是菱形的对角线互相垂直，如图所示.15.答案：见解析解析：由已知，可得123OP OP OP +=-， 两边平方得222121232OP OP OP OP OP +⋅+=，令2311OP OP OP ===，2112OP OP ∴⋅=-， ()222212121121211232PP OP OP OP OP OP OP ⎛⎫∴=-=+-⋅=+-⨯-= ⎪⎝⎭，123PP ∴=. 同理233112OP OP OP OP ⋅=⋅=-，1223313PP P P P P ∴=== 故123PP P △是等边三角形.16.答案：22MN =-b a解析：连接AB （图略），由对称性可知，AB 是SMN △的中位线，22()2()22MN AB OB OA ==-=-=-b a b a .17.答案：这个人的位移是沿北偏东约67°方向前进了 解析：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系如图.由题意可得(0,0)A ，(9,0)B ，(12,C -，D .AD AB BC CD ∴=++=，||20AD ==tan 204DOx ∠==， 23DOx ∴∠≈︒，902367DOy ∠≈-=︒︒︒.∴这个人的位移是沿北偏东约67°方向前进了.18.答案：D解析：因为,,AB AC D ==a b 为AC 边的中点，所以12AD AC =.由向量减法的三角形法则可得，1122BD AD AB AC AB =-=-=-b a ，故选D. 19.答案：C解析：向量λ+a b 与λ+b a 的方向相反，()//()λλ∴++a b b a .由向量共线的性质定理可知，存在一个实数m ，使得()m λλ+=+a b b a ， 即(1)()m m λλ-=-a b .a 与b 不共线，10m m λλ∴-=-=，可得2.10,1m λλλ=∴-==±.当1λ=时，向量+a b 与+b a 是相等向量，其方向相同，不符合题意，故舍去.1λ∴=-.20.答案：C解析：由题意，得11()22AE AB BE AB BC AB AB AD DC =+=+=+-++11212332AB AB AD AB AB AD ⎛⎫=+-++=+ ⎪⎝⎭.21,32AE xAB yAD xAB yAD AB AD =+∴+=+. AB 与AD 不共线，∴由平面向量基本定理得2,31.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 213232132x y ∴-=⨯-⨯=.故选C.21.答案：A解析：123(3,4)(2,5)(3,1)(8,0)=++=+-+=f f f f ，设合力f 的终点为(,)P x y ，O 为坐标原点，则(1,1)(8,0)(9,1)OP OA =+=+=f .故选A. 22.答案：B解析：P 是ABC 所在平面上一点，且||2|0,|||()()0PB PC PB PC PA CB PB PA PC PA --+-=∴--+-=∣∣，即||||,||||CB AB AC AB AC AB AC =+∴-=+，两边平方并化简得0,,90AC AB AC AB A ︒⋅=∴⊥∴=，即ABC 是直角三角形.故选B. 23.答案：C解析：设ABC △的面积为S ，由题意知1sin 2S bc A =1sin602c =⋅︒，解得4c =.由余弦定理得22212cos 1168132a b c bc A =+-=+-⨯=，即a =由正弦定理可得sin sin sin sin a b c a A B C A ++===++.故选C.24.答案：C解析：方法一：在ABC △中，由余弦定理可得22222cos 16924393AB AC BC AC BC C =+-⋅=+-⨯⨯⨯=，所以3AB =，则2221cos 29AB BC AC B AB BC +-==⋅.又因为(0,π)B ∈，所以sin B，所以sin tan cos BB B==.故选C.方法二：过点B 作BD AC ⊥交AC 于点D ，则1cos 22DC BC C AC ===，可得ABC △为等腰三角形，且AB BC =.在Rt BCD △中，BD ==，所以tan 2B DC BD ===，所以22tan2tan 1tan 2BB B ==-故选C. 25.答案：A解析：本题考查两角差的余弦公式以及余弦定理的应用.连接AC ，设ACB α∠=，ACD β∠=，则在ACB △中，4AB =，5BC =，90ABC ∠=︒，所以AC =sin α=cos α=，所以()1cos cos 1202βα=︒-=-+=2222cos 4192365AD AC CD AC CD β=+-⋅⋅=+-=-AD =故选A.26.答案：B解析：()()3a b c b c a bc +++-=，22()3b c a bc ∴+-=，222b bc c a -+=.根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222222cos b bc c a b c bc A -+==+-，即2cos bc bc A =，1cos 2A ∴=.0180A <<︒︒，60A ∴=︒.又sin 2sin cos A B C =，sin 2cos sin A C B∴=，即22222a a b c b ab+-=⋅，化简可得22b c =，即b c =，ABC ∴△是等边三角形.故选B.27.答案：32-解析：因为23(66,4)m -=---a b ，所以(66)42(4)m m --⨯=⨯-，故32m =-. 28.答案：2解析：由(1,2),(4,2)==a b ，得(4,22),|||m m m =+=++==c a b a b ，58,820m m ⋅=+⋅=+a c b c .c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，||||||||⋅⋅∴=c a c bc a c b ，即=，解得2m =.29.答案：78解析：根据正弦定理得2222sin sin sin 6sin 60A A B B a ab b +-=+-=，即(3)(2)0,2a b a b a b +-=∴=，则2c b =，根据余弦定理得2222222447cos 288a c b b b b B ac b +-+-===.30.答案：150解析：在ABC △中，45BAC ∠=︒，90ABC ∠=︒，100BC =，100sin 45AC ∴==︒在AMC △中，75MAC ∠=︒，60MCA ∠=︒，45AMC ∴∠=︒，由正弦定理可得sin sin AM ACACM AMC=∠∠，即sin 60sin 45AM =︒︒，解得AM =在Rt AMN △中，sin MN AM MAN =⋅∠sin 60=︒150(m)=. 故答案为150. 31.答案：(1)见解析 (2)值为4± (3)43k =解析：(1)2,2AB OB OA AC OC OA =-=+=-=--a b a b ， 所以AC AB =-.又因为A 为公共点，所以A ，B ，C 三点共线.(2)设8(2),k k λλ+=+∈a b a b R ，则8,2, k k λλ=⎧⎨=⎩解得4,2k λ=⎧⎨=⎩或4,2,k λ=-⎧⎨=-⎩所以实数k 的值为4±.(3)()(23)32AC AB BC =+=++-=-a b a b a b . 因为A ，C ，D 三点共线，所以AC 与CD 共线. 从而存在实数μ使AC CD μ=，即32(2)k μ-=-a b a b ，得32,2,k μμ=⎧⎨-=-⎩解得3,24.3k μ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以43k =.32.答案：（1）12x = （2解析：（1）⊥b c ，2[(1)](1)55(1)0x x x x x x ∴⋅=⋅+-=⋅+-=-+-=b c b a b b a b ，解得12x =.（2）222222||[(1)]2(1)(1)x x x x x x =+-=+-⋅+-=c a b a a b b 222221010(1)5(1)252052515x x x x x x x ⎛⎫--+-=-+=-+ ⎪⎝⎭.当25x =时，2||c 有最小值1，即||c 有最小值1.此时，2355=+c a b .223232310(5)1555555⎛⎫⋅=⋅+=+⋅=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭a c a a b a a b ，设向量a ，c 的夹角为θ，则cos ||||θ⋅===a c a c . 33.答案：(1)60B =︒(2)⎝⎭解析：(1)由题设及正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=. 因为sin 0A ≠，所以sinsin 2A CB +=. 由180A BC ++=︒，可得sin cos 22A C B+=， 故cos2sin cos 222B B B =. 因为cos 02B≠，故1sin22B =，因此60B =︒.(2)由题设及(1)知ABC △的面积ABC S =△.由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2C c A a C C ︒-===+. 由于ABC △为锐角三角形，故090,090A C ︒<<︒︒<<︒， 由(1)知120A C +=︒，所以3090C ︒<<︒，故122a <<，ABC S <<△.因此，ABC △面积的取值范围是⎝⎭. 34.答案：(1)4海里.(2)南偏东60°方向，需47分钟才能追上走私船.解析：(1)在ABC △中，因为2)AB =海里，AC =海里，135BAC ∠=︒，由余弦定理，得4BC =(海里). (2)根据正弦定理，可得sin1351sin 2AC ABC BC ︒∠==. 所以30ABC ∠=︒，易知15ACB ∠=︒，设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，如图所示.则有CD =(海里)，BD =(海里).而120CBD ∠=︒，在BCD △中，根据正弦定理，可得sin sin BD CBD BCD CD ∠∠===所以45,15BCD BDC ∠∠=︒=︒，所以60ACD ∠=︒.在CBD △中根据正弦定理，得sin sin CB CD BDC CBD =∠∠，解得0.78t ≈小时≈47分钟. 故缉私船沿南偏东60°方向，需47分钟才能追上走私船.35.答案：(1)5π6C =. (2)取值范围是(2,.解析：(1)因为222sin sin sin sin A B C A B +-=，所以由正弦定理得222a b c +-=，所以222cos 2a b c C ab +-=== 因为(0,π)C ∈，所以5π6C =. (2)由正弦定理得24sin c R C==，2sin )b R A B +=+π4sin 6A A ⎤⎛⎫=+- ⎪⎥⎝⎭⎦14cos 2A A A ⎫=+⎪⎪⎭π4sin 6A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为π0,6A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以πππ,663A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π1sin 62A ⎛⎛⎫+∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，b +的取值范围是(2,.。

人教A版高中数学必修第二册6.4　平面向量的应用6.4.1　平面几何中的向量方法 6.4.2　向量在物理中的应用举例基础过关练题组一　向量在平面几何中的应用4.=(4,-2),AC=(7,4),AD(1)求|AF|;(2)求证:AF⊥BE;(3)若线段BE上一动点P满足2PB+PA+PC=0,试确定点P的位置.6.(2023安徽蚌埠期末)如图,在△ABC 中,AC=2,AB=4,点D 在边BC 上,且CD =t CB (t ∈R).(1)若t=12,∠BAC=2π3,求|AD |;t=1,ADC.1572 km/h,与水流方向夹角为41°D.1572 km/h,垂直于河岸9.(2023山东滨州阶段练习)加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的部分.某学生做引体向上运动,当他处于如图所示的平衡状态时,两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为2003 N,则该学生的体重(单位:kg)约为(参考数据:g=10 N/kg)( )A.603B.61C.75D.6010.(多选题)(教材习题改编)在日常生活中,我们会看到两个人共提一个旅行包的场景,如图所示.已知旅行包所受的重力为G,作用在旅行包上的两个拉力分别为F1,F2,且|F1|=|F2|,F1与F2的夹角为θ,则下列结论中正确的是( )A.θ越大越费力,θ越小越省力B.θ的取值范围为0,C.当θ=π时,|F1|=|G|2D.当θ=2π时,|F1|=|G|311.如图,一个力F作用于小车G,使小车G发生了40 m的位移s,F的大小为50 N,且与小车的位移方向的夹角为60°,e是与小车位移方向相同的单位向量,则F在小车位移上的投影向量为 ,力F做的功为 .12.已知一条东西方向的小河两岸平行,河的宽度为d m,某人从河的北岸出发到河对岸,河水的流速自西向东,大小为|v0|=1 m/s,设某人在静水中游泳的速度为v1,在流水中的实际速度为v2.(1)要使此人游的路程最短,且|v1|=2m/s,求此人游泳的方向与水流方向的夹角α和v2的大小;(2)要使此人游的时间最短,且|v1|=3m/s,求此人实际前进的方向与水流方向的夹角β和v2的大小.答案与分层梯度式解析6.4　平面向量的应用6.4.1　平面几何中的向量方法6.4.2　向量在物理中的应用举例基础过关练1.B2.BD 7.D 8.A 9.D 10.AD1.B 易知AC =,BC =-12则AC ·BC =32×+32×32=0,故AC⊥BC ,又|AC |=3≠|BC |=1,所以△ABC 是直角三角形.故选B.2.BD 由题可知M,N 分别为BC,AC 的中点,则AM =12(AB +AC ),所以AM 2=14(AB 2+AC 2+2AB ·AC )=14(|AB |2+|AC |2+2|AB |·|AC |cos ∠BAC)=14×4+25+2×2×5×12=394,则|AM |=392,故A 错误;BN =AN -AB ,则BN 2=(AN -AB )2=AN 2+AB 2-2AN ·AB =254+4-2×52×2×12=214,则|BN |=212,故B 正确;由题可知P 为△ABC 的重心,则cos ∠MPN=PM ·PN |PM ||PN |=13AM ·13BN 13|AM |·13|BN |==12×-AB 2+12AC 2-12AB ·AC |AM |·|BN |=12×-4+252-12×2×5×12392×212=49191,故C 错误;PA +PB +PC =-AP +(AB -AP )+(AC -AP )=AB +AC -3AP =AB +AC -3×23AM =AB +AC -3×23×12(AB+AC )=0,故D 正确.故选BD.3.答案　6解析　设AD =a,AB =b,则BD =a-b,AC =a+b,∴|BD |=|a-b|=a 2-2a ·b +b 2=1+4−2a ·b =5−2a ·b =2,则a·b=12,∴|AC |2=|a+b|2=a 2+2a·b+b 2=|a|2+2a·b+|b|2=1+4+2a·b=6,∴|AC |=6,即AC=6.4.答案　30解析　易得BC =AC -AB =(3,6)=AD ,所以四边形ABCD 为平行四边形.因为AB ·BC =(4,-2)·(3,6)=0,所以AB⊥BC ,所以四边形ABCD 为矩形,易得|AB |=42+(-2)2=25,|BC |=32+62=35,所以S 四边形ABCD =|AB ||BC |=25×35=30.5.解析　(1)记AB =a,AC =b,则|a|=2,|b|=4,a·b=2×4cos 60°=4,因为BF =13BC ,所以AF =AB +BF =AB +13BC =AB +13(AC -AB )=23AB +13AC =23a+13b,则|AF |2+13b 2=49a 2+49a·b+19b 2=49×4+49×4+19×16=163,故|AF |=433.(2)证明:因为AE =12AC ,所以BE =BA +12AC =-AB +12AC =-a+12b,所以AF ·BE =a +13b ·-a +12b =-23a 2+16b 2=-23×4+16×16=0,则AF⊥BE ,即AF ⊥BE.因为AE =1AC ,(3)由题意得AD =AC +CD =AC +t CB =AC +t(AB -AC )=t AB +(1-t)AC ,所以AD 2=t 2AB 2+(1-t)2AC 2+2t(1-t)AB ·AC ,即9=16t 2+4(1-2t+t 2)+(16t-16t 2)cos ∠BAC,易知0<t<1,所以cos ∠BAC=20t 2-8t-516t 2-16t (用t 表示cos ∠BAC,利用余弦函数的有界性求t 的范围),因为∠BAC ∈(0,π),所以-1<cos ∠BAC<1,即-1<20t 2-8t-516t 2-16t <1,又0<t<1,所以12<t<56.所以t 7.D 因为A(-1,-1),B(1,-1),所以AB =(2,0),又F=(6,24),所以力F 对冰球所做的功为F·AB =12.故选D.8.A 如图,AB 为水流速度,AC 为小船航行速度,以AB,AC 为邻边作平行四边形ABDC,则AD 为小船实际的航行速度,易知∠ADC=90°,∠CAD=30°,|AC |=15,|AB |=7.5,∴|AD |=152-7.52=1532.∴小船实际航行的速度的大小为1532 km/h,方向为正北.9.D 如图,|OA |=|OB |=2003,∠AOB=60°,作平行四边形OACB,则平行四边形OACB 是菱形,OC =OA +OB ,|OC |=2|OA |sin 60°=600,所以|G|=|OC |=600,因此该学生的体重为|G |g =60(kg).故选D.10.AD 根据题意得|G|=|F 1+F 2|,所以|G|2=|F 1|2+|F 2|2+2|F 1||F 2|cos θ=2|F 1|2(1+cos θ),易知θ∈(0,π),解得|F 1|2=|G |22(1+cos θ),当θ∈(0,π)时,y=cos θ单调递减,所以|F 1|2随θ的增大而增大,故θ越大越费力,θ越小越省力,故A 正确,B 错误;当θ=π2时,|F 1|2=|G |22,所以|F 1|=22|G|,故C 错误;当θ=2π3时,|F 1|2=|G|2,所以|F 1|=|G|,故D 正确.故选AD.11.答案　25e;1 000 J解析　∵|F|=50,且F与小车位移方向的夹角为60°,∴F在小车位移上的投影向量为|F|cos 60°e=25e.∵力F作用于小车G,使小车G发生了40 m的位移,∴力F做的功为25×40=1 000(J).12.解析　(1)要使此人游的路程最短,只需此人的游泳速度与水流速度的和速度与对岸垂直,如图1.的夹角为β,设v0与1的夹角为θ,实际游泳的路程为|sin θ=|v2|sin β,sinβ=,(过v1,v2的终点作,|vθ此人游到对岸用时最短。

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2.5.2 向量在物理中的应用举例课时目标经历用向量方法解决某些简单的力学问题与其他的一些实际问题的过程，体会向量是一种处理物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力．1．力向量力向量与前面学过的自由向量有区别．（1）相同点：力和向量都既要考虑________又要考虑________．(2）不同点：向量与________无关，力和________有关，大小和方向相同的两个力，如果________不同，那么它们是不相等的．2．向量方法在物理中的应用(1）力、速度、加速度、位移都是________．(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的________运算,运动的叠加亦用到向量的合成．(3)动量mν是______________．（4)功即是力F与所产生位移s的________．一、选择题1．用力F推动一物体水平运动s m，设F与水平面的夹角为θ，则对物体所做的功为( ) A．｜F|·s B．F cos θ·sC．F sin θ·s D．|F|cos θ·s2．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为（）A．40 N B．10 2 N C．20错误!N D．10错误! N3．共点力F1＝(lg 2,lg 2），F2＝（lg 5,lg 2)作用在物体M上,产生位移s＝(2lg 5,1),则共点力对物体做的功W为（）A．lg 2 B．lg 5 C．1 D．24．一质点受到平面上的三个力F1，F2,F3(单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知F1,F2成90°角，且F1，F2的大小分别为2和4,则F3的大小为（)A．6 B．2 C．2错误! D．2错误!5．质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量ν＝(4，－3）(即点P的运动方向与ν相同，且每秒移动的距离为｜ν|个单位）．设开始时点P的坐标为（－10,10)，则5秒后点P的坐标为（）A．（－2，4) B．（－30,25）C．（10，－5） D．（5,－10）6．已知作用在点A的三个力f1＝(3，4）,f2＝(2，－5），f3＝（3,1)且A（1，1）,则合力f＝f＋f2＋f3的终点坐标为（)1A．（9题号123456答案二、填空题7．若错误!＝（2,2）,错误!＝（－2,3)分别表示F1，F2，则|F1＋F2｜为________．8．一个重20 N的物体从倾斜角30°,斜面长1 m的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是________．9．在水流速度为4千米/小时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/小时的速度航行，则船实际航行的速度的大小为________．10. 如图所示,小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是________(写出正确的所有序号)．①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小;④船的浮力保持不变．三、解答题11。