信号分析1-2

a < 1 时，序列是收敛的；
a若为负实数时，序列是正负摆动的。 序列的常规运算(The General Computation of Sequence) 与连续信号类似，离散信号也有相加（减）、乘、平 移等运算。
第一章 信号、系统及变换回顾
和与差：两序列相加减等于对应序列逐点相加减。 {z(n)}＝ {x(n)±y(n)} 常数与序列相乘： {z(n)}＝ {ax(n)} 乘与商： {z(n)}＝ {x(n)×y(n)} {z(n)}＝ {x(n)/y(n)} ， y(n)≠0，对任意n 序列的平移： x(n-k)表示x(n)右移k位； x(n＋k)表示x(n)左移k位。
m = −∞
因为系统是线性的，可以应用叠加原理，即： ∞ ∞
L[
又因为系统是时不变的，有： L[δ(n-m)]=h(n-m) ∞ 所以有：
m = −∞
∑ x(m)δ (n − m)] = ∑ x(m) L[δ (n − m)]
m = −∞
y(n) = L[x(n)] =
m=−∞
∑x(m)h(n − m) = x(n) ∗ h(n)
第一章 信号、系统及变换回顾
复习Z变换，重点掌握定义、收敛域、Z反变换和Z变 换的基本性质 复习离散系统分析，掌握离散系统的一般分析方法， 熟悉几种典型离散系统 了解模拟系统的数字仿真概念
几种常见的序列(Several Familiar Sequences)
定义x(n)为对所有整数n有意义的序列，x(n)也称作 离散信号。 n理解为离散的时间， x(n)仅在n为整数时有定义， 在其它地方视为无定义，而非取值为零。 单位脉冲序列（δ序列）
连续系统
在实际系统中，若“t”表示时间，则系统一定是因果的； 但并非所有实际系统都是因果的。如光学系统L表示 对物体的呈像，输入f(x)＝0，x<0（左半平面）的物 体，其输出则可能在x<0不等于零（有呈像）。 冲激响应(The Impulse Response) 对于线性时不变系统L，定义：h(t)=L[δ(t)]为系统的冲 激响应。h(t)仅取决于系统，与输入无关，它完整地 反映了系统特性。 推论：若x(t)为一个持续时间相对h(t)足够短的任意输 入信号，则有： L[x(t)] ≈Ah(t) 式中，A为x(t)的面积。 因为∫ δ(t)dt=1，x(t)相对h(t)足够短，所以有： x(t) ≈A δ(t)，即有： L[x(t)] ≈ L[A δ(t) ]= Ah(t)
离散系统(Discrion)
离散系统
将一个序列变换成另一个序列的运算。 线性系统(Linear System) 线性系统满足叠加原理，即：若a，b是常数，y1(n)＝ L[x1(n)]，y2(n)＝L[x2(n)]；有： L[ax1(n)+bx2(n)]=aL[x1(n)]+bL[x2(n)]成立，则系统 L[•]为线性系统。 时不变(Time-invariant) 系统的运算关系L[•]不随时间而变化。即： 若 y(n)=L[x(n)]，对任意整数k，有： L[x(n-k)]=y(n-k)成立，则系统是时不变系统。 若系统同时满足线性和时不变特性，即满足： L[ax1(n-k)+bx2(n-k)]=ay1(n-k)+by2(n-k)
连续信号(Continuous-Time Signals)
连续信号是指对时间连续变化的信号，或者从数学上 讲是对所有实数t定义的函数f(t)。 几种重要连续信号(Several Important ContinuousTime Signals)
冲激函数δ(t)
∞ δ (t ) = 0 t = 0 , t ≠ 0
∞
∫ δ ( t ) dt
=1
−∞
冲激函数在连续信号中是一个在概念上很重要的信号，在数 学上作为一个奇异函数具有许多特殊性质。 阶跃函数u(t) 1 t > 0 u (t ) = t < 0 0
第一章 信号、系统及变换回顾
δ(t)与u(t)之间有如下关系： 符号函数sgn(t)
1 = sgn( t ) − 1 t > 0 t < 0
du ( t ) = δ (t ) dt
显然，符号函数与阶跃函数间有关系：sgn(t)=2u(t)-1 矩形函数Pa(t)
1 Pa ( t ) = 0 t <a t >a
连续系统(Continuous-Time System)
定义(Definition) 连续系统是一个按一定规律将输入函数x(t)转换成输出 函数y(t)的运算，即：
∑ x(m)h(n − m) = x(n) ∗ h(n)
m = −∞
∞
符号“*”表示离散卷积运算。 证明：任意序列x(n)可表示为：
离散系统
x(n) =
m = −∞
∑ x ( m )δ ( n − m ) ∑ x ( m )δ ( n − m ) ]
∞
所以，系统输出可写作： ∞
y ( n ) = L[ x ( n )] = L[
容易看出，上述三个序列间有：
第一章 信号、系统及变换回顾
u (n ) =
∑
∞
δ (n − k )
k = 0
δ (n ) = u (n ) − u (n − 1)
指数序列
R
N
(n ) = u (n ) − u (n − N )
an x(n) = 0
a 式中，
n≥0 n<0
> 1 时，序列是发散的；
n = −∞
m =0
∑
∞
h (m ) x2 (n − m )
∑
h (n ) < ∞
离散系统
例1-2：判断线性时不变系统h(n)=anu(n)的稳定性。 1 h (n ) = ∑ a = , a < 1 ，所以，只有当满足 a < 1 解： ∑ − a 1 时，系统才是稳定的。 既满足稳定条件，又满足因果条件的系统称为稳定的 因果系统，此类是物理可实现系统中最重要的系统。 对线性时不变系统而言，稳定的因果系统的单位脉冲 响应是单边的，而且是有界的，即应满足：
∞ ∞ n n = −∞ n =0
h (n ) ≡ 0 ∞ < ∞ ∑0 h ( n ) n=
n < 0
离散卷积(Discrete Convolution) 离散卷积是离散（数字）信号与系统的重要运算。
离散系统
设有z(n)，x(n)和y(n)，∞ x(n)与y(n)的卷积记为： ∞
式中，N为阶次，称为N阶差分方程；ai，bi为常系数， 它们反映系统特性。 差分方程可由系统的线性时不变、稳定性和因果性推 导而得。
离散系统
递归型系统：系统n时刻输出不仅取 决于n时刻和以前的输入，还取决 于以前的输出；系统输出对系统有 X(n) 反馈，表达式如上式所示。 非递归型系统：系统输出仅决定于 输入；输出对系统无反馈。差分方 程中ai=0，i=1,2, …，M；写作： N −1 X(n) y (n ) = b x (n − i) y(n) =x(n-1)
∑
i= 0
i
y(n)=ax(n)
离散系统的框图描述(Block Diagram Representation of Discrete-Time System) 离散系统可用三种简单单元：乘法 器、延时单元和加法器组合连接形 象表述。框图表示如右图所示。
x2(n) x1(n)
＋
x1(n)＋x2(n)
第一章 信号、系统及变换回顾
∑
m = −∞
∞
h ( m ) x1 ( n − m ) =
∑
m =0
∞
h ( m ) x1 ( n − m )
离散系统
y2 (n ) =
m = −∞
∑
∞
h(m ) x2 (n − m ) =
对任意的n，当n<k0时， x1(n)=x2(n)，因而有 m=0,1,…时， x1(n-m)=x2(n-m)成立，因此可得：当 n<k0时， y1(n)=y2(n)成立。系统为因果系统。 稳定系统(Stable System) 只要输入是有界的，输出必定是有界的，这样的系统 称为稳定系统。即： 若︱x(n) ︱<∞，对一切n， 则︱y(n) ︱<∞，对一切n。 容易证明，对于线性时不变系统，稳定的充分必要条 件是单位脉冲响应绝对可积。即： ∞
z (n ) = x(n) ∗ y (n ) =
m = −∞
∑
x (m ) y (n − m ) =
k = −∞
∑
x(n − k ) y (k )
符号“*”表示卷积（线性卷积），容易证明：
卷积是可交换的，如上式所示； 参加卷积的两序列中只要有一个序列是无限长的，则结果 序列也是无穷长序列； 有限长序列的卷积仍是有限长的，而且，设x1(n)长度为N1， x2(n)长度为N2，则结果序列y(n)=x1(n)∗x2(n)长度为： N1 +N2-1。
连续系统
y(t)=L[x(t)] 线性系统(Linear System) 对于任意常数a1、a2，信号x1(t)、x2(t)，系统满足： L[a1x1(t)+a2x2(t)]=a1L[x1(t)]+a2L[x2(t)] 时不变系统(Time-invariant Systems) 对于任意实数t0有：L[x(t-t0)]=y(t-t0) 因果系统(Causal System) 若函数满足：x(t)=0，t<0，则称函数为因果函数。 对一个系统，若输入是一个因果函数，其输出仍是因 果函数，则系统是因果系统。即： 对t≤t0，有x(t)=0，则在t≤t0，应有： y(t)=L[x(t)]＝0
第一章 信号、系统及变换回顾
本课程是一门理论基础课，其目的是掌握信号分 析和处理的基本理论、基本概念和分析信号的基 本技巧及方法。为后续课程，如数字信号处理、 DSP原理等打下基础。 本章内容主要与本科相应课程内容衔接，起承上 启下的作用，其大多内容仅作复习。 本章重点