第五章相交线与平行线题型总结
5．1.1相交线
探究点一：对顶角和邻补角的概念
下列图形中∠1与∠2互为对顶角的是()
解析：观察∠1与∠2的位置特征，只有C中∠1和∠2同时满足有公共顶点，且∠1的两边是∠2的两边的反向延长线．故选C.
方法总结：判断对顶角只看两点：①有公共顶点；②一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线．
如图所示，直线AB和CD相交所成的四个角中，∠1的邻补角是________．
解析：根据邻补角的概念判断：有一个公共顶点、一条公共边，另一边互为延长线．∠1和∠2、∠1和∠4都满足有一个公共顶点和一条公共边，另一边互为延长线，故为邻补角．故答案为∠2和∠4.
方法总结：邻补角的定义包含了两层含义：相邻且互补．但需要注意的是：互为邻补角的两个角一定互补，但互补的角不一定是邻补角．
探究点二：对顶角的性质
如图，直线AB、CD相交于点O，若∠BOD＝42°，OA平分∠COE，求∠DOE 的度数．
解析：根据对顶角的性质，可得∠AOC与∠BOD的关系，根据OA平分∠COE，可得∠COE与∠AOC的关系，根据邻补角的性质，可得答案．
解：由对顶角相等得∠AOC＝∠BOD＝42°.∵OA平分∠COE，∴∠COE＝2∠AOC＝84°.由邻补角的性质得∠DOE＝180°－∠COE＝180°－84°＝96°.
方法总结：解决此类问题的关键是在图中找出对顶角和邻补角，根据两种角的性质找出已知角和未知角之间的数量关系．
如图，直线AC，EF相交于点O，OD是∠AOB的平分线，OE在∠BOC内，∠
BOE ＝12
∠EOC ，∠DOE ＝72°，求∠AOF 的度数．
解析：因为已知量与未知量的关系较复杂，所以想到列方程解答，根据观察可设∠BOE ＝x ，则∠AOF ＝∠EOC ＝2x ，然后根据对顶角和邻补角找到等量关系，列方程．
解：设∠BOE ＝x ，则∠AOF ＝∠EOC ＝2x .∵∠AOB 与∠BOC 互为邻补角，∴∠AOB
＝180°－3x .∵OD 平分∠AOB ，∴∠DOB ＝12∠AOB ＝90°－32
x .∵∠DOE ＝72°，∴90°－32
x ＋x ＝72°，解得x ＝36°.∴∠AOF ＝2x ＝72°. 方法总结：在相交线中求角的度数时，就要考虑使用对顶角相等或邻补角互补．若已知关系较复杂，比如出现比例或倍分关系时，可列方程解决角度问题．
如图，要测量两堵墙所形成的∠AOB 的度数，但人不能进入围墙，如何测量？请你写出测量方法，并说明几何道理．
解析：可以利用对顶角相等的性质，把∠AOB 转化到另外一个角上．
解：反向延长射线OB 到E ，反向延长射线OA 到F ，则∠EOF 和∠AOB 是对顶角，所以可以测量出∠EOF 的度数，∠EOF 的度数就是∠AOB 的度数．
方法总结：解决此类问题的关键是根据对顶角的性质把不能测量的角进行转化．
探究点三：与对顶角有关的探究问题
我们知道：两直线交于一点，对顶角有2对；三条直线交于一点，对顶角有6对；四条直线交于一点，对顶角有12对……
(1)10条直线交于一点，对顶角有________对；
(2)n (n ≥2)条直线交于一点，对顶角有________对．
解析：(1)仔细观察计算对顶角对数的式子，发现式子不变的部分及变的部分的规律，
得出结论，代入数据求解．如图①，两条直线交于一点，图中共有（4－2）×44＝2对对顶
角；如图②，三条直线交于一点，图中共有（6－2）×64
＝6对对顶角；如图③，四条直线交于一点，图中共有（8－2）×84
＝12对对顶角……按这样的规律，10条直线交于一点，那么对顶角共有（20－2）×204
＝90(对)．故答案为90； (2)利用(1)中规律得出答案即可．由(1)得n (n ≥2)条直线交于一点，对顶角的对数为2n （2n －2）4
＝n (n －1)．故答案为n (n －1)． 方法总结：解决探索规律的问题，应全面分析所给的数据，特别要注意观察符号的变化规律，发现数据的变化特征．
三、板书设计
两条直线相交⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫邻补角对顶角对顶角相等求角的大小
5．1.2 垂 线
探究点一：垂线的概念
如图，已知点O 在直线AB 上，CO ⊥DO 于点O ，若∠1＝150°，则∠3的度数为( )
A ．30°
B ．40°
C ．50°
D ．60°
解析：先根据邻补角关系求出∠2＝180°－150°＝30°，再由CO ⊥DO 得出∠COD ＝90°，最后由互余关系求出∠3＝90°－∠2＝90°－30°＝60°.故选D.
方法总结：两条直线垂直时，其夹角为90°；由一个角是90°也能得到这个角的两条边是互相垂直的．
如图，∠1＝30°，AB ⊥CD ，垂足为O ，EF 经过点O .求∠2、∠3的度数．
解析：首先根据垂直的概念得到∠BOD ＝90°，然后根据∠1与∠3是对顶角，∠2与
∠3互为余角，从而求出角的度数．
解：由题意得∠3＝∠1＝30°(对顶角相等)．∵AB⊥CD(已知)，∴∠BOD＝90°，(垂直的定义)，∴∠3＋∠2＝90°，即30°＋∠2＝90°，∴∠2＝60°.
方法总结：解决本题的关键是根据垂直的概念，得到度数为90°的角，然后根据对顶角、邻补角的性质解决．
探究点二：垂线的画法
(1)如图①，过点P画AB的垂线；
(2)如图②，过点P分别画OA、OB的垂线；
(3)如图③，过点A画BC的垂线．
解析：分别根据垂线的定义作出相应的垂线即可．
解：如图所示．
方法总结：垂线的画法需要三步完成：一落：让三角板的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合；二移：沿直线移动三角板，使其另一直角边经过所给的点；三画：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线．
探究点三：垂线的性质(垂线段最短)
如图，是一条河，C是河边AB外一点．现欲用水管从河边AB将水引到C处，请在图上画出应该如何铺设水管能让路线最短，并说明理由．
解析：根据垂线的性质可解，即过C作CE⊥AB，根据“垂线段最短”可得CE最短．解：如图所示，沿CE铺设水管能让路线最短，因为垂线段最短．
方法总结：在利用垂线的性质解决生活中最近、最短距离的问题时，要依据“两点之间，
