习题参考答案
1、设无向图G有16条边，有3个4度结点，4个3度结点，其余结点的度数均小于3，问：G中至少有几个结点。
阮允准同学提供答案:
解：设度数小于3的结点有x个，则有
3×4＋4×3＋2x≥2×16
解得：x≥4
所以度数小于3的结点至少有4个
所以G至少有11个结点
2、设无向图G有9个结点，每个结点的度数不是5就是6，证明：G中至少有5个6度结点或至少有6个5度结点。
阮允准同学答案：
证明：由题意可知：度数为5的结点数只能是0,2，4,6，8。
若度数为5的结点数为0,2，4个，则度数为6的结点数为9，7,5个结论成立。
若度数为5的结点数为6,8个，结论显然成立。
由上可知，G中至少有5个6度点或至少有6个5度点。
3、证明：简单图的最大度小于结点数。
阮同学认为题中应指定是无向简单图.
晓津证明如下：设简单图有n个结点，某结点的度为最大度，因为简单图任一结点没有平行边，而任一结点的的边必连有另一结点，则其最多有n-1条边与其他结点相连，因此其度数最多只有n-1条，小于结点数n.
4、设图G有n个结点，n+1条边，证明：G中至少有一个结点度数≥3 。
阮同学给出证明如下：
证明：设G中所有结点的度数都小于3，即每个结点度数都小于等于2，则所有结点度数之和小于等于2n，所以G的边数必小于等于n，这和已知G有n+1条边相矛盾。所以结论成立。
5、试证明下图中两个图不同构。
晓津证明：同构的充要条件是两图的结点和边分别存在一一对应且保持关联关系。我们可以看出，(a)图和(b)图中都有一个三度结点，(a)图中三度结点的某条边关联着两个一度结点和一个二度结点，而(b)图中三度结点关联着两个二度结点和一个一度结点，因此可断定二图不是同构的。
6、画出所有5个结点3条边，以及5个结点7条边的简单图。
解：如下图所示： (晓津与阮同学答案一致)
7、证明：下图中的图是同构的。
证明如下：
在两图中我们可以看到有
a→e,b→h,c→f,d→g
两图中存在结点与边的一一对应关系，并保持关联关系。
8、证明：下面两图是同构的。
阮同学给出证明如下：
证明：找出对应关系：a---q, b----r, c-----s, d----t, e-----u,
f------v, g-----w, h----x
9、证明：三次正则图必有偶数个结点。
阮同学证明如下：
由题意可知每个结点度数都是3度，即每个结点均为奇结点，根据有偶数个奇结点可知，三次正则图必有偶数个奇结点。
习题参考答案
1、给定图G，如下图所示，求出G中从A到F的所有初级路。
解：从A到F的初级路有：
ABCF、ABEF、ADEF、ABECF、ABCEF、ADECF、ADEBCF
2、给定图G，如下图所示，找到G中从v2出发的所有初级回路。
晓津认为图中少了一个箭头：从V1到V2有一箭头。
从V2出发的初级回路有：V2V4V1V2、V2V3V4V1V2.
3、设G为无向连通图，有n个结点，那么G中至少有几条边？为什么？对有向图如何？
解：若G为无向连通图，有n个结点，则G中至少有n-1条边。因为在n个结点的图中，任取一个结点为起始点，若要连通其他每个结点，则其他每个结点至少应有1度,此结点则有n-1度。因此总的度数至少为2n-2度，而度数为边的2倍，可算得边数为n-1.
对于有向图，若是弱连通，则与无向图一样至少为n-1,若是单侧连通也是如此，而强连通边数至少为n。(此题根据阮允准同学的答案更正)
4、设V'和E'分别为无向连通图G的点割集和边割集，G-E'的连通分支数一定是多少？G-V'的连通分支数也是定数吗?
解：
G-E'的连通分支数一定是2，而G-V'的连通分支数就不是定数了。有可能大于2.
5、设有七人a,b,c,d,e,f,g,已知：a会讲英语，b会讲汉语和英语，c会讲英语、意大利语和俄语，d会讲日语和汉语,e会讲德语和意大利语，f会讲法语、日语和俄语，g会讲法语和德语，试问这七人间可以任意交谈吗？
答：可以。设七个人为图中的7个结点，以他们之间有共同语言为条件画边，可以看出，七个人的结点在图中是连通的，因此这七个人间可以通过相互翻译任意交谈。
6、一个有向图是强连通的，当且仅当G中有一个回路，它至少包含每个结点一次。
证明如下：
必要性：如果图中的任何一个回路都不能包含所有结点,则可知未被包含在回路内的结点不能与其他结点中的某一结点连通。这与本图是强连通的相矛盾。因此必有这样一个路它至少包含每个结点一次。
充分性：当G中有一个回路，它至少包含每个结点一次时，可以知道，任一结点可达其他所有结点，因此它是强连通的。
7、若有简单图至多有2n个结点，每个结点度数至少为n，G是连通图。
又若简单图G至多有2n个结点，每个结点度数至少为n-1，那么G是连通图吗？为什么？
答：G不再是连通图，假若n=1时，G中至多可有2个结点，而每个结点度数至少可以为0，显然这两个结点不能连通。
以下是阮同学的答案：
方法一：设v1、v2是这个简单图的任意两个结点，由已知可得，v1、v2的度数至少为n，
（1）若v1、v2之间有边，则显然v1、v2是连通的。
（2）若v1、v2无边，则v1和剩下的结点中的n个结点有边相连，v2也和剩下的结点中的n个结点有边相连。因为剩下的结点最多只有2n-2个，由抽屉原理可得，至少存在一个结点，它和v1、v2都有边相连，此时v1和v2也是连通的。
由（1）（2）可知，结论成立
方法二：显然这个图中任意的一对结点的度数之和大于等于2n，所以这个图是汉密尔顿图，所以这个图是连通的。
8、简单图G有n个结点，e条边，设e>(n-1)(n-2),证明：G是连通的。
