一、填空题（每小题3分，共15分）
1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发
生的概率为__________. 答案：0.3
解：
3.0)(=+B A B A P
即
)(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+=
所以
1.0)(=AB P
9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P .
2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______.
答案：
解答：
λλ
λ
λλ---=
=+==+==≤e X P e e
X P X P X P 2
)2(,
)1()0()1(2
由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ
λλ---=+e e e 22
即 0122
=--λλ 解得
1=λ，故
16
1)3(-=
=e X P
3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2
X Y =在区间)4,0(的概率密
度为=)(y f Y _________. 答案：
04,()()0,.
Y Y X y f y F y f <<'===⎩
其它
解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则
2
()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤=≤=-
因为~(0,2)X U
，所以(0X F =
，即()Y X F y F = 故
04,
()()
0,.
Y Y X
y
f y F y f
<<
'
===
⎩其它
另解在(0,2)上函数2
y x
=
严格单调，反函数为()
h y=
所以
04,
()
0,.
Y X
y
f y f
<<
==
⎩其它
4．设随机变量Y
X,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2
)1
(-
=
>e
X
P，则=
λ_________，}1
)
,
{min(≤
Y
X
P=_________.
答案：2
λ=，-4
{min(,)1}1e
P X Y≤=-
解答：
2
(1)1(1)
P X P X e e
λ
--
>=-≤==，故2
λ=
{min(,)1}1{min(,)1}
P X Y P X Y
≤=->
1(1)(1)
P X P Y
=->>
4
1e-
=-.
5．设总体X的概率密度为
⎪⎩
⎪
⎨
⎧<
<
+
=
其它
,0
,1
,
)1
(
)
(
x
x
x
f
θ
θ
1-
>
θ.
n
X
X
X,
,
,
2
1
是来自X的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________.
答案：
1
1
1
1
ln
n
i
i
x
n
θ
=
=-
∑
解答：
似然函数为
11
1
(,,;)(1)(1)(,,)
n
n
n i n
i
L x x x x x
θθ
θθθ
=
=+=+
∏
1
ln ln(1)ln
n
i
i
L n x
θθ
=
=++∑
1
ln
ln0
1
n
i
i
d L n
x
dθθ=
=+
+
∑
解似然方程得θ的极大似然估计为
1
111ln n
i i x n θ==
-∑.
二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．设,,A B C 为三个事件，且,A B 相互独立，则以下结论中不正确的是 （A ）若()1P C =，则AC 与BC 也独立. （B ）若()1P C =，则A
C 与B 也独立.
（C ）若()0P C =，则A C 与B 也独立.
（D ）若C B ⊂，则A 与C 也独立. （ ）
答案：（D ）.
解答：因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A ），（B ），（C ）都是正确的，只能选（D ）.
事实上由图
可见A 与C 不独立.
2．设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ，则(||2)P X >的值为 （A ）2[1(2)]-Φ. （B ）2(2)1Φ-.
（C ）2(2)-Φ. （D ）12(2)-Φ. （ ）
答案：（A ）
解答： ~(0,1)X N 所以(||2)1(||2)1(22)P X P X P X >=-≤=--<≤ 1(2)(2)1[2(2)1]2[1(2)]=-Φ+Φ-=-Φ-=-Φ 应选（A ）.
3．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是
（A ）X 与Y 独立. （B ）()D X Y DX DY -=+.
（C ）()D X Y DX DY -=-. （D ）()D XY DXDY =. （ ）
