广东省湛江二中12—13上学期高二数学第一次月考考试试卷

2024—2025学年高二上学期第一次月考联考高二数学试卷解析版满分150分，考试用时120分钟注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知()()2,1,3,1,1,1a b =−=− ，若()a a b λ⊥−，则实数λ的值为（ ）A ．2−B ．143−C ．73D ．2【答案】C【详解】 向量()()2,1,3,1,1,1a b =−=−若()a a b λ⊥−，则2()(419)(213)0a a b a a b λλλ⋅−−⋅++−++，73λ∴=．故选：C ．2．P 是被长为1的正方体1111ABCD A B C D −的底面1111D C B A 上一点，则1PA PC ⋅的取值范围是（ ）A ．11,4−−B ．1,02−C ．1,04 −D ．11,42 −−【答案】B【详解】如图，以点D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系， 则AA (1,0,0)，()10,1,1C ，设(),,P x y z ，01x ≤≤，01y ≤≤，1z =，()1,,1PA x y ∴=−−− ，()1,1,0PC x y =−− ，()()2222111111222PA PC x x y y x x y y x y ∴⋅=−−−−=−+−=−+−−，当12x y ==时， 1PA PC ⋅ 取得最小值12−，当0x =或1，0y =或1时，1PA PC ⋅取得最大值0， 所以1PA PC ⋅ 的取值范围是1,02−.故选：B.3．已知向量()4,3,2a =− ，()2,1,1b =，则a 在向量b上的投影向量为（ ）A ．333,,22B ．333,,244C ．333,,422D ．()4,2,2【答案】A【详解】向量a 在向量b()()2333cos ,2,1,12,1,13,,222b a b a a b b b b ⋅⋅⋅=⋅===. 故选：A.4．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E ，F 分别为棱1AA ，1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()102A G λλ=<<，则点G 到平面1D EF 的距离为（ ） ABCD【答案】D【详解】以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()2,,2G λ，()10,0,2D ，()2,0,1E ，()2,2,1F ， 所以()12,0,1ED =− ，()0,2,0= EF ，()0,,1EG λ=．设平面1D EF 的法向量为(),,n x y z = ，则12020n ED x z n EF y ⋅=−+= ⋅== ， 取1x =，得()1,0,2n =，所以点G 到平面1D EF的距离为EG n d n⋅== ， 故选：D ．5．已知四棱锥P ABCD −，底面ABCD 为平行四边形，,M N 分别为棱,BC PD 上的点，13CM CB =，PN ND =，设AB a=，AD b =，AP c = ，则向量MN 用{},,a b c 为基底表示为（ ）A ．1132a b c ++B ．1162a b c −++C ．1132a b c −+D ．1162a b c −−+【答案】D【详解】由条件易知()11113232MN MC CD DN BC BA DP AD BA AP AD =++=++=++−()11113262b ac b a b c =−+−=−−+. 故选：D6．在四面体OABC 中，空间的一点M 满足1146OM OA OB OC λ=++ ．若,,MA MB MC共面，则λ=（ ）A ．12B ．13 C ．512D ．712【答案】D【详解】在四面体OABC 中，,,OA OB OC不共面，而1146OM OA OB OC λ=++ ，则由,,MA MB MC ，得11146λ++=，所以712λ=. 故选：D7．已知向量()()1,21,0,2,,a t t b t t =−−=，则b a − 的最小值为（ ） AB CD 【答案】C【详解】因为()()1,21,0,2,,a t t b t t =−−=，所以b a −=≥当0t =时，等号成立，故b a −的最小值为.故选：C.8．“长太息掩涕兮，哀民生之多艰”，端阳初夏，粽叶飘香，端午是一大中华传统节日.小玮同学在当天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看作它的内切球（与其四个面均相切的球，图中作为球O ）.如图：已知粽子三棱锥P ABC −中，PAPB AB AC BC ====，H 、I 、J 分别为所在棱中点，D 、E 分别为所在棱靠近P 端的三等分点，小玮同学切开后发现，沿平面CDE 或平面HIJ .则肉馅与整个粽子体积的比为（ ）.A B C D 【答案】B 【详解】如图所示，取AB 中点为F ，PF DE G ∩=， 为方便计算，不妨设1PFCF ==， 由PA PB AB AC BC ====，可知PA PB AB AC BC =====又D 、E 分别为所在棱靠近P 端的三等分点， 则2233FG PF ==， 且AB PF ⊥，AB CF ⊥、PF CF F = ，PF ，CF ⊂平面PCF ， 即AB ⊥平面PCF ，又AB ⊂平面ABC ，则平面PCF ⊥平面ABC ， 设肉馅球半径为r ，CG x =，由于H 、I 、J 分别为所在棱中点，且沿平面HIJ 切开后，截面中均恰好看不见肉馅， 则P 到CF 的距离4d r =，sin 4d PFC r PF∠==，12414233GFC rS r =⋅⋅⋅=△，又2132GFC rS x =++⋅ ，解得：1x =，故22241119cos 223213CF FG CGPFCCF FG+−+−∠===⋅⋅⋅⋅， 又2222111cos 21132P PF CF PC PC F F C P F C +−+⋅−∠==⋅=⋅⋅，解得PC =，sin PFC ∠所以：4sin 1r PFC ∠==，解得r =343V r =π球， 由以上计算可知：P ABC −为正三棱锥，故111sin 4332ABC V S d AB AC BAC r =⋅⋅=⋅⋅⋅⋅∠⋅粽11432=⋅.故选：B.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E 为1BB 的中点，F 为11A D 的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ）A ．13DB =B ．向量AE 与1ACC ．平面AEF 的一个法向量是()4,1,2−D ．点D 到平面AEF【答案】BCD【详解】由题可知，AA (2,0,0),()0,0,0D ,()2,2,1E ,()1,0,2F ,()12,2,2B ,()10,2,2C ，所以1DB =A 错误；()0,2,1AE = ,()12,2,2AC =−，所以111·cos ,AE AC AE AC AE AC ==B 正确； ()0,2,1AE = ,()1,0,2AF =− ，记()4,1,2n =−， 则0,0AE AF n n == ，故,AE AF n n ⊥⊥，因为AE AF A ∩=,,AE AF ⊂平面AEF ，所以()4,1,2n =−垂直于平面AEF ，故选项C 正确；DDAA �����⃗=(2,0,0)，所以点D 到平面AEF的距离·DA n d n==，故选项D 正确；故选：BCD10．在正三棱柱111ABC A B C −中，1AB AA =，点P 满足][1([0,1,0,])1BP BC BB λµλµ=+∈∈，则下列说法正确的是（ ）A ．当1λ=时，点P 在棱1BB 上B ．当1µ=时，点P 到平面ABC 的距离为定值 C ．当12λ=时，点P 在以11,BC B C 的中点为端点的线段上 D ．当11,2λµ==时，1A B ⊥平面1AB P 【答案】BCD【详解】对于A ，当1λ=时，[]1,0,1CP BP BC BB µµ=−=∈ ， 又11CC BB =，所以1CP CC µ= 即1//CP CC ，又1CP CC C = ，所以1C C P 、、三点共线，故点P 在1CC 上，故A 错误；对于B ，当1µ=时，[]11,0,1B P BP BB BC λλ=−=∈， 又11B C BC =，所以111B P B C λ= 即111//B P B C ，又1111B B C P B = ，所以11B C P 、、三点共线，故点P 在棱11B C 上，由三棱柱性质可得11//B C 平面ABC ，所以点P 到平面ABC 的距离为定值，故B 正确； 对于C ，当12λ=时，取BC 的中点11,D B C 的中点E ， 所以1//DE BB 且1DE BB =，BP BD =+ []1,0,1BB µµ∈ ，即1DP BB µ= ， 所以DP E D µ= 即//DP DE，又DP DE D ∩=，所以D E P 、、三点共线，故P 在线段DE 上，故C 正确；对于D ，当11,2λµ==时，点P 为1CC 的中点，连接1,A E BE ， 由题111A B C △为正三角形，所以111A E B C ⊥，又由正三棱柱性质可知11A E BB ⊥，因为1111BB B C B = ，111BB B C ⊂、平面11BB C C ，所以1A E ⊥平面11BB C C ， 又1B P ⊂平面11BB C C ，所以11A E B P ⊥，因为1111B C BB CC ==，所以11B E C P =，又111π2BB E B C P ∠=∠=， 所以111BB E B C P ≌，所以111B EB C PB ∠=∠， 所以1111111π2PB C B EB PB C C PB ∠+∠=∠+∠=， 设BE 与1B P 相交于点O ，则1π2B OE ∠=，即1BE B P ⊥，又1A E BE E = ，1A E BE ⊂、平面1A EB ， 所以1B P ⊥平面1A EB ，因为1A B ⊂平面1A EB ， 所以11B P A B ⊥，由正方形性质可知11A B AB ⊥， 又111AB B P B = ，11B P AB ⊂、平面1AB P ， 所以1A B ⊥平面1AB P ，故D 正确. 故选：BCD.11．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达・芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ）A ．122CG AB AA =+B ．直线CQ 与平面1111DC B A 所成角的正弦值为23C ．点1C 到直线CQD ．异面直线CQ 与BD 【答案】BC【详解】A 选项，以A 为坐标原点，1,,DA AB AA所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()()10,0,0,0,1,0,0,0,1,1,1,2,0,1,2,1,1,0A B A G Q C −−−−，()()()110,1,1,1,1,1,1,0,0B C D −−，()()()10,2,2,0,1,0,0,0,1CG AB AA =−== ， 则()()()1220,2,00,0,20,2,2AB AA CG +=+=≠，A 错误； B 选项，平面1111D C B A 的法向量为()0,0,1m =， ()()()0,1,21,1,01,2,2CQ =−−−=− ，设直线CQ 与平面1111D C B A 所成角的大小为θ，则2sin cos 3CQ θ= ，B 正确；C 选项，()10,0,1CC =，点1C 到直线CQ 的距离为d ，C 正确； D 选项，()()()1,0,00,1,01,1,0BD =−−=−−，设异面直线CQ 与BD 所成角大小为α，则cos cos ,CQ α= D 错误.故选：BC三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．正三棱柱111ABC A B C −的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC的中点．在直线1CC 上求一点N ，当CN 的长为 时，使1⊥MN AB ． 【答案】18/0.125【详解】取11B C 的中点为1M ，连接1,MM AM ，由正三棱柱性质可得11,,AM MM BM MM AM BM ⊥⊥⊥， 因此以M 为坐标原点，以1,,AM BM MM 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：易知()11,0,,2,0,0,02A B M ，设CN 的长为a ，且0a >，可得10,,2N a− ； 易知1110,,,,222MN a AB=−=若1⊥MN AB ,则1112022MN AB a ⋅=−×+= ,解得18a =， 所以当CN 的长为18时，使1⊥MN AB .故答案为：1813．四棱锥P ABCD −中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且1PD =，3AB =，G 是ABC 的重心，则PG 与平面PAD 所成角θ的正弦值为 . 【答案】23【详解】因为PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，所以,,DA DC DP 两两垂直，以D 为坐标原点，,,DA DC DP的方向分别为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()0,0,1P ，()3,0,0A ，()3,3,0B ，()0,3,0C ，则重心()2,2,0G ，因而()2,2,1PG =− ，()3,0,0DA = ，()0,0,1DP = ，设平面PAD 的一个法向量为(),,m x y z = ，则300m DA x m DP z ⋅== ⋅== ，令1y =则()0,1,0m = ， 则22sin cos ,133m PG m PG m PG θ⋅====×⋅ ， 故答案为：23. 14．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮那，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形.若25m AB =，10m BC =，且等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面与平面ABCD的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为 .【答案】117m【详解】如图，过E 做EO ⊥平面，垂足为O ，过E 分别做EG BC ⊥，EM AB ⊥，垂足分别为G ，M ，连接OG ，OM ，由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为EMO ∠和EGO ∠，所以tan tan EMO EGO ∠=∠ 因为EO ⊥平面ABCD ，⊂BC 平面ABCD ，所以EO BC ⊥，因为EG BC ⊥，EO ，EG ⊂平面EOG ，EO EG E = ，所以⊥BC 平面EOG ，因为OG ⊂平面EOG ，所以BC OG ⊥，同理，OM BM ⊥，又BM BG ⊥，故四边形OMBG 是矩形，所以由10BC =得5OM =，所以EO =5OG =，所以在直角三角形EOG中，EG =在直角三角形EBG 中，5BG OM ==，8EB =， 又因为55255515EF AB −−−−，所有棱长之和为2252101548117×+×++×=． 故答案为：117m四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题13分）如图，在长方体1111ABCD A B C D −中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AB 上移动.(1)当点E 在棱AB 的中点时，求平面1D EC 与平面1DCD 所成的夹角的余弦值；(2)当AE 为何值时，直线1A D 与平面1D EC 所成角的正弦值最小，并求出最小值.【答案】(2)当2AE =时，直线1A D 与平面1D EC【详解】（1）以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，当点E 在棱AB 的中点时，则1(0,0,1),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,0),(1,0,0)E C D A D ，则1(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)ED EC DA =−−=−= ，设平面1D EC 的一个法向量为(,,)n x y z = ，则1·0·0n ED x y z n EC x y =−−+= =−+= ，令1x =，则1,2y z ==，所以平面1D EC 的一个法向量为(1,1,2)n = ，又平面1DCD 的一个法向量为(1,0,0)DA = ，所以·cos ,·DA n DA n DA n == 所以平面1D EC 与平面1DCD（2）设AE m =，则11(0,0,1),(1,,0),(0,2,0),(0,0,0),(1,0,1)E m C D A D ，则11(1,,1),(1,2,0),(02),(1,0,1)ED m EC m m DA =−−=−−≤≤= ，设平面1D EC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则1·0·(2)0n ED x my z n EC x m y =−−+= =−+−=，令1y =，则2,2x m z =−=， 所以平面1D EC 的一个法向量为(2,1,2)n m =− ， 设直线1A D 与平面1D EC 所成的角为θ，则11||sin ||||n DA n DA θ== 令4[2,4]m t −=∈，则sin θ= 当2t =时，sin θ16.（本小题15分） 如图所示，直三棱柱11ABC A B C −中，11,92,0,,CA CB BCA AA M N °==∠==分别是111,A B A A 的中点．(1)求BN 的长；(2)求11cos ,BA CB 的值．(3)求证：BN ⊥平面1C MN ．【答案】(3)证明见解析【详解】（1）如图，建立以点O 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系．依题意得(0,1,0),(1,0,1)B N ，∴BN = ；（2）依题意得，()()()()111,0,2,0,1,0,0,0,0,0,1,2A B C B ，∴1(1,1,2)BA =− ，1(0,1,2)CB = ，113BA CB =⋅，1BA =，1CB =所以11111cos ,BA CB BA CB BA CB ⋅==⋅ （3）证明：()()()10,0,2,0,1,0,1,0,1C B N ，11,,222M． ∴111,,022C M = ，()11,0,1C N =− ，()1,1,1BN =− ，∴1111(1)10022C M BN ⋅×+×−+× ， 1110(1)(1)10C N BN ⋅=×+×−+−×= ，∴1C M BN ⊥ ，1C N BN ⊥ ，即11,C M BN C N BN ⊥⊥， 又1C M ⊂平面1C MN ，1C N ⊂平面1C MN ，111= C M C N C ， ∴BN ⊥平面1C MN ．17.（本小题15分）如图，在四棱维P ABCD −中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==(1)求直线PB 与平面PCD 所成角的正切值；(2)在PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AM AP的值；若不存在，说明理由．【答案】 (2)存在点M ，使得//BM 平面PCD ，14AM AP =. 【详解】（1）取AD 的中点为O ，连接,PO CO ，因为PA PD =，所以PO AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD ∩平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，所以⊥PO 平面ABCD ，又AC CD =，所以CO AD ⊥，PA PD ⊥，2AD =，所以1PO =，AC CD ==2CO =， 所以以O 为坐标原点，分别以,,OC OA OP 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， PP (0,0,1)，()2,0,0C ，()0,1,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0D −，所以()2,0,1PC =− ，()0,1,1PD =−− ，()1,1,1PB =− ，设平面PCD 的一个法向量为mm��⃗=(xx ,yy ,zz )， 则00PC m PD m ⋅= ⋅=，200x z y z −= −−= ，令1,x =则2,2z y ==−， 所以()1,2,2m =− ，设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，sin cos ,m θ=所以cos θ==tan θ= 所以直线PB 与平面PCD. （2）在PA 上存在点M ，使得()01PMPA λλ=≤≤ ， 所以()0,1,1PA =− ，所以()0,,PM PA λλλ==− ，所以()0,,1M λλ−，所以()1,1,1BM λλ=−−− ，因为//BM 平面PCD ，所以BM m ⊥ ，即()()121210λλ−−−+−=，解得34λ=， 所以存在点M ，使得//BM 平面PCD ，此时14AM AP =. 18.（本小题17分）如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ∠=°，点M ，N 分别是边BC ，CD 的中点，1AC BD O ∩=，AC MN G ∩=．沿MN 将CMN 翻折到PMN 的位置，连接PA ，PB ，PD ，得到如图2 所示的五棱锥P ABMND −．(1)在翻折过程中是否总有平面PBD ⊥平面PAG ？证明你的结论；(2)若平面PMN ⊥平面MNDB ，线段PA 上是否存在一点Q ，使得平面QDN 与平面PMN 所成角的余弦值为Q 的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)总有平面PBD ⊥平面PAG ，证明详见解析(2)存在，Q 是PA 的靠近P 的三等分点，理由见解析.【详解】（1）折叠前，因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥， 由于,M N 分别是边BC ，CD 的中点，所以//MN BD ， 所以MN AC ⊥，折叠过程中，,,,,MN GP MN GA GP GA G GP GA ⊥⊥∩=⊂平面PAG ， 所以MN ⊥平面PAG ，所以BD ⊥平面PAG ，由于BD ⊂平面PBD ，所以平面⊥平面PAG .（2）存在，理由如下：当平面PMN ⊥平面MNDB 时，由于平面PMN 平面MNDB MN =，GP ⊂平面PMN ，GP MN ⊥， 所以GP ⊥平面MNDB ，由于AG ⊂平面MNDB ，所以GP AG ⊥， 由此以G 为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，依题意可知())(),2,0,2,0,0,1,0,2,P DB N PB −− ()A ，(PA = ，设()01PQ PA λλ=≤≤ ，则(()(),0,GQ GP PQ GP PA λ=+=+=+= ， 平面PMN 的法向量为()11,0,0n = ，()(),DQ DN ， 设平面QDN 的法向量为()2222,,n x y z = ，则()2222222200n DQ x y z n DN y ⋅=++= ⋅+= ，故可设()21n λλ=−+ ， 设平面QDN 与平面PMN 所成角为θ，由于平面QDN 与平面PMN所以1212cos n n n n θ⋅==⋅ 解得13λ=, 所以当Q 是PA 的靠近P 的三等分点时，平面QDN 与平面PMN19.（本小题17分）如图，四棱锥P ABCD −中，四边形ABCD 是菱形，PA ⊥平面,60ABCD ABC ∠= ，11,,2PA AB E F ==分别是线段BD 和PC 上的动点，且()01BE PF BD PC λλ==<≤．(1)求证：//EF 平面PAB ；(2)求直线DF 与平面PBC 所成角的正弦值的最大值；(3)若直线AE 与线段BC 交于M 点，AH PM⊥于点H ，求线段CH 长的最小值．【答案】(1)证明见解析【详解】（1）由于四边形ABCD 是菱形，且60ABC ∠= ，取CD 中点G ，则AG CD ⊥， 又PA ⊥平面ABCD ，可以A 为中心建立如图所示的空间直角坐标系， 则()()()()()2,0,0,,,0,0,1,B C D P G −，所以()()()1,,2,0,1PC BD BP −−=− ， 由()01BE PF BD PCλλ==<≤， 可知,,BE BD PF PC EF EB BP PF BD BP PC λλλλ==∴=++=−++ ()42,0,1λλ=−−，易知()AG = 是平面PAB 的一个法向量， 显然0EF AG ⋅= ，且EF ⊄平面PAB ，即//EF 平面PAB ；（2）由上可知()()()1,,DP PF DF λλλλ+==+−=+− ， 设平面PBC 的一个法向量为(),,n x y z =，则200n BP x z n PC x z ⋅=−+= ⋅=−= ， 令1x =，则2,z y ==2n =， 设直线DF 与平面PBC 所成角为α，则sin cos ,n DF n DF n DF α⋅===⋅ 易知35λ=时，()2min 165655λλ−+=，即此时sin α（3）设()(](),0,0,12,0BM tBC t t AM AB BM t ==−∈⇒=+=− ， 由于,,H M P 共线，不妨设()1AH xAM x AP =+− ，易知AM AP ⊥，则有()()22010AH PM AH AM AP xAM x AP ⋅=⋅−=⇒−−= ， 所以22114451x t t AM =−++ ， 则()()2CH CA AH t x x =+=−−− ， 即()()2222454454655445t CH t t x t x t t −−=−+−++=+−+ 记()(]()2450,1445t f t t t t −−=∈−+，则()()()2228255445t t f t t t −−+=−+′， 易知22550t t −+>恒成立，所以()0f t ′<，即()f t 单调递减，所以()()min 915f t f CH ≥=−⇒。

湛江市第二十一中学2024-2025学年第一学期10月高二月考数学考试时间：120分钟，满分：150分一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. i 是虚数单位，复数2i12i -=+（ ）A. 1-B. 1C. i -D. i【答案】C 【解析】【分析】借助复数的运算法则计算即可得.【详解】()()()()2i 12i 2i 25i 2i 12i 12i 12i 5-----===-++-.故选：C.2. 向量()()2,1,3,1,2,9a x b y ==-r r ，若a r∥b r ，则（ ）A. 1x y ==B. 11,22x y ==-C. 13,62x y ==- D. 12,63x y =-=【答案】C 【解析】【分析】利用空间向量平行列出关于,x y 的方程组，解之即可求得,x y 的值.【详解】因为a b r r ∥，所以a b l =r r，由题意可得()()()2,1,31,2,9,2,9x y y l l l l =-=-，所以21239x y l l l=ìï=-íï=î，则131632x y l ì=ïïï=íïï=-ïî．故选：C .3. 空间向量()1,0,1a =r 在()0,1,1b =r上的投影向量为（ ）A. 11,0,22æöç÷èøB. C. 110,,22æöç÷èøD. æççè【答案】C 【解析】【分析】根据投影向量公式计算即可.【详解】1a b =r rg ，2112b =+=r ，由投影向量的定义和公式可知a r 在b r 的投影向量为()21110,1,10,,222a b b b×æö==ç÷èør r r r ，故选：C.4. 已知点(1,0,0),(1,0,2),(1,1,1)A B C ，则点A 到直线BC 的距离是（ ）A. 1B.C. D. 4【答案】B 【解析】【分析】先求与BC uuu r同方向的单位向量和BA uuu r 的坐标，代入点到直线的距离的向量公式即得.【详解】由题意，(1,1,1)(1,0,2)(0,1,1)BC OC OB =-=-=-uuu r uuu r uuu r,则与BC uuu r同方向的单位向量为e =r ，又(0,0,2)BA =-uuu r ,于是，点A 到直线BC的距离是：d ===.故选：B.5. 空间四边形OABC 中，OA a =uuu r r ，OB b =uuu r r ，OC c =uuur r ，点M 在OA 上，23OM OA =uuuu r uuu r ，点N 为BC 的中点，则MN =uuuu r（）A. 121232a b c -+r r rB. 211322a b c-++r r rC. 111222a b c +-r r r D. 221332a b c +-r r r 【答案】B 【解析】【分析】结合图形和题设条件，利用向量的加减数乘运算即得.【详解】如图，连结ON ，因23OM OA =uuuu r uuu r ，点N 为BC 的中点，则11()()22ON OB OC b c =+=+uuu r uuu r uuu r r r，于是，12211()23322MN ON OM b c a a b c =-=+-=-++uuuu r uuu r uuuu r r r r r r r .故选：B.6. 如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，113CF CC =，则异面直线EF 与11B D 所成角的余弦值为（ ）A.23B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，11(2,2,0)D B =uuuu r ，21,0,3EF æö=-ç÷èøuuu r进而求出线线角的向量公式即可求出结果.【详解】如图，以D 为原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，因为正方体的棱长为2，则()()()1120,0,2,2,2,2,1,2,0,0,2,3D B E F æöç÷èø.所以11(2,2,0)D B =uuuu r ，又21,0,3EF æö=-ç÷èøuuu r所以11cos ,EF D B ==uuu r uu uur故选：C .7. 下列命题中正确的是（ ）A. 点()3,2,1M 关于平面yOz 对称的点的坐标是()3,2,1--B. 若直线l 方向向量为()1,1,2e =-r ，平面a 的法向量为()6,4,1m =-u r ，则l a ^C. 若{},,a b c r r r 和{},,a b b c m +-r r r r u r 都为基底，则m u r可以为a c+r r D. 若直线l 的方向向量与平面a 的法向量的夹角为120°，则直线l 与平面a 所成的角为30°【答案】D 【解析】【分析】利用空间直角坐标系对称判断A ；利用空间位置关系的向量证明判断B ；利用空间基底的意义判断C ；求出直线与平面所成角判断D.【详解】对于A ，点()3,2,1M 关于平面yOz 对称的点的坐标是()3,2,1-，A 错误；对于B ，若直线l 的方向向量为()1,1,2e =-r ，平面a 的法向量为()6,4,1m =-u r，()()1614210e m ×=´+-´+´-=r u r ，有e m ^r u r，则//l a 或l a Ì，B 错误；对于C ，由{},,a b c r r r 是空间向量的一个基底，得,,a b c r r r 不共面，则,a b b c +-r r r r不共线，的假设m a c =+u r r r，则()()m a b b c =+--u r r r r r ，即,,m a b b c +-u r r r r r 共面，与{},,a b b c m +-r r r r u r 是空间的一个基底矛盾，因此m u r 不可以为a c +r r ，C 错误；对于D ，若直线l 的方向向量与平面a 的法向量的夹角为120°，则直线l 与平面a 所成的角为()9018012030°°°°--=，D 正确.故选：D8. 已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面ABC ，π2BAC ∠=，2AD =，若球O 的表面积为22π，则三棱锥A BCD -（以A 为顶点）的侧面积的最大值为（ ）A. 6B.212C.252D.272【答案】B 【解析】【分析】求出球O 的半径，利用条件得到三棱锥A ﹣BCD 的外接球即为以,,AB AC AD 为棱的长方体的外接球，从而得到2218AB AC +=，结合基本不等式求出侧面积的最大值.【详解】设球O 半径为r ，则24π22πr =，解得r =因为AD ⊥平面ABC ，π2BAC ∠=，所以三棱锥A BCD -的外接球，即为以,,AB AC AD 为棱的长方体的外接球，r ==，其中2AD =，故2218AB AC +=，三棱锥A BCD -（以A 为顶点）的侧面积为12ABC ABD ACD S S S AB AC AB AC ++=×++V V V ，由基本不等式得22182AB AC AB AC +=³×，故9AB AC ×≤，当且仅当AB AC =时，等号成立，()2222182181836AB AC AB AC AB AC AB AC +=++×=+×£+=，的故6AB AC +£，当且仅当AB AC =时，等号成立，所以19216222ABC ABD ACD S S S AB AC AB AC ++=×++£+=V V V 故选：B【点睛】关键点点睛：特殊几何体的内切球或外接球的问题，常常进行补形，转化为更容易求出外接球或内切球球心和半径的几何体，比如墙角模型，对棱相等的三棱锥常常转化为棱柱来进行求解.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9. 下列命题正确的是（ ）A. 若23p x y =+r r r ，则p r与x r，y r共面B. 若23MP MA MB =+uuu r uuu r uuu r，则,,,M P A B 共面C. 若0OA OB OC OD +++=uuu r uuu r uuu r uuu r r，则,,,A B C D 共面D. 若151263OP OA OB OC =+-uuu r uuu r uuu r uuu r，则,,,P A B C 共面【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意，由共面向量定理即可判断ABD ，举出反例即可判断C.【详解】选项A ，根据共面向量基本定理可知，p r与x r，y r共面；所以选项A 是正确的；选项B ，根据共面向量基本定理可知，,,MP MA MB uuu r uuu r uuu r共面，由于它们有公共点M ，所以M P A B ，，，共面；选项C ，举反例说明，若OA uuu r ，OB uuu r ，OC uuu r是一个正方体同一个顶点O 的三条棱所对应的向量，则它们的和向量是以O 为起点的对角线向量，而OD uuu r是该对角线向量的相反向量，此时显然四个点A B C D ，，，不在同一个平面上，所以C 选项是错误的；选项D ，由151263OP OA OB OC =+-uuu r uuu r uuu r uuu r 可得6352OP OA OB OC =+-uuu r uuu r uuu r uuu r，则0335522OA OP OB OP OP OC =-+-+-r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，即0352PA PB CP =++r uuu r uuu r uuu r ，则3522PC PA PB =+uuu r uuu r uuu r，此时与选项B 一样，可以判断共面，即D 选项是正确的；故选：ABD ．10. 不透明盒子里装有除颜色外完全相同的2个黑球、3个白球，现从盒子里随机取出2个小球，记事件A =“取出的两个球是一个黑球、一个白球”，事件B =“两个球中至多一个黑球”，事件C =“两个球均为白.球”，则（ ）A. ()35P A = B. ()910P A C +=C. ()2150P AB =D. ()()P B P C=【答案】AB 【解析】【分析】利用列举法写出随机取出2个小球的基本事件，根据题设描述列举对应事件，由古典概型的概率求法求概率.【详解】记3个白球为,,E F G ，2个黑球为,a b ，随机取出2个小球的事件如下，(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)E F E G E a E b F G F a F b G a G b a b ，事件A 对应的基本事件有(,),(,),(,),(,),(,),(,)E a E b F a F b G a G b ，所以()63105P A ==，故A 正确；事件B 对应的基本事件有(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)E F E G E a E b F G F a F b G a G b ，所以()910P B =，事件C 对应的基本事件有 (,),(,),(,)E F E G F G ，所以()310P C =，又()()()37111010P C P C P B =-=-=¹，故D 错误；其中A C +对应的基本事件有()()()()()(),,,,,,,,,,,,E a E b F a F b G a G b (,),(,),(,)E F E G F G ，所以()910P A C +=，故B 正确；AB 对应的基本事件有(,),(,),(,),(,),(,),(,)E a E b F a F b G a G b ，所以()63105P AB ==，故C 错误.故选：AB11. 在ABC V 中，下列结论正确的是（ ）A. 若sin 2sin 2A B =，则ABC V 为等腰三角形B. 若sin cos B A =，则ABC V 是直角三角形C. 若222sin sin sin A B C +<，则ABC V 是钝角三角形D. 若coscoscos222ab c A B C ==，则ABC V 是等边三角形【答案】CD 【解析】【分析】由三角函数的性质结合诱导公式判断选项AB ；正弦定理角化边余弦定理得角的范围判断选项C ；正弦定理结合倍角公式化简判断选项D.【详解】对于A ，ABC V 中，若sin 2sin 2A B =，则有22A B =或2π2A B =-，当22A B =时，A B =，ABC V 为等腰三角形；当2π2A B =-时，π2A B =-，ABC V 为直角三角形，故A 选项不正确，对于B ，ABC V 中，若πsin cos sin 2B A A æö==-ç÷èø，则π2B A =-或ππ2B A æö=--ç÷èø，即π2A B +=或π2B A =+，因此ABC V 不一定是直角三角形，故B 选项不正确；对于C ，ABC V 中，若222sin sin sin A B C +<，则根据正弦定理得222a b c +<，余弦定理得222cos 02a b c C ab+-=<，则C 为钝角，ABC V 是钝角三角形，故C 选项正确；对于D ，ABC V 中，若coscoscos 222ab cAB C ==，则sin sin sin cos cos cos 222A B CA B C ==，即sin sin sin 222A B C ==，由,,(0,π)A B C Î，得π,,0,2222A B C æöÎç÷èø，所以222A B C==，A B C ==，ABC V 是等边三角形，故D 选项正确．故选：CD ．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12. 在空间直角坐标系中，若点()1,6,8A -，()1,5,7B ，则AB =_________________________【解析】【分析】直接利用空间向量的模长公式计算即可.详解】由题意知AB =13. 已知某7个数的平均数为2，方差为4，现加入一个新数据2，此时这8个数的方差为___________.【答案】72【解析】【分析】先由原7个数的方差求出()7212ii x =-å，再求出加入一个新数据2后所得8个数的平均数，即可根据方差公式求出新方差.【【详解】原7个数的方差为()7211247i i x =-=å，即()72124728i i x =-=´=å，加入一个新数据2后所得8个数的平均数为72228x ´+==，所以这8个数的方差为()2217282282s éù=+-=ëû.故答案为: 72.14. 在三棱锥M ABC -中，MA ^平面ABC ，ABC V 是边长为2的正三角形，点F 满足13CF CM =uuu r uuuu r，则BC AF ×=uuu r uuu r_________.【答案】43【解析】【分析】由题意可得MA AB ^uuu r uuu r ，MA AC ^uuu r uuu r，利用(21)()33BC AF AC AB AC AM ×=-+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuuu r g 计算可得结论.【详解】因为MA ^平面ABC ，,AB AC Ì平面ABC ，所以MA AB ^，MA AC ^，所以MA AB ^uuu r uuu r ，MA AC ^uuu r uuu r ，因为ABC V ，所以60BAC ∠=°，因为13CF CM =uuu r uuuu r ，所以1()3CF AM AC =-uuu r uuuu r uuu r ，因为3213AF AC CF AC AM =+=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuuu r ，2)21211()(2333333BC AF AC AB AC AM AC AC AM AB AC AB AM×=-+=+--uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuuu r g g g g 22022cos 60033333332121844=´+´-´´´°-´=-=．故答案为：43.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 在ABC V中，45,o B AC C ===（1）求AB 的长；（2）求BC 的长；（3）记AB 中点为D ，求中线CD 的长.【答案】（1）2 （2）BC =（3）CD =【解析】【分析】（1）由正弦定理可得答案；（2）（3）由余弦定理可得答案.【小问1详解】由正弦定理可得sinAC B 所以sin 2sin AC C AB B ===；【小问2详解】由余弦定理得2222sin =+-´AC BC AB BC ABB ，即21044=+-BC BC ，舍去负值，所以BC =；【小问3详解】在DBC △中由余弦定理得：22222cos 1182113CD BD BC BD BC B =+-×=+-´´=，则CD =.16. 如图,在四棱锥P －ABCD 中,四边形ABCD 是菱形,PA =PC ,E 为PB 的中点．求证:（1）PD ∥平面AEC ;（2）平面AEC ⊥平面PBD ．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】(1) 设AC BD O =I ,连接EO ,根据中位线可得PD EO ∥,再根据线面平行的判定定理即可证明;(2)根据PA PC =可得AC PO ^,根据四边形ABCD 为菱形,可得AC BD ^,再根据线面垂直的判断定理可得AC ^平面PBD ,再根据面面垂直的判定定理即可得出结果.【小问1详解】设AC BD O =I ,连接EO ,如图所示:因为O ,E 分别为BD ,PB 的中点,所以PD EO ∥,又因为PD Ú平面AEC ,EO Ì平面AEC ,所以PD ∥平面AEC ．【小问2详解】连接PO ,如图所示:因为PA PC =,O 为AC 的中点,所以AC PO ^,又因为四边形ABCD 为菱形,所以AC BD ^,因为PO Ì平面PBD ,BD Ì平面PBD ,且PO BD O =I ,所以AC ^平面PBD ,又因为AC Ì平面AEC ,所以平面AEC ^平面PBD ．17. 某中学高一年级的同学们学习完《统计与概率》章节后，统一进行了一次测试，并将所有测试成绩（满分100分）按照[)[)[]50,60,60,70,,90,100×××进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中3b a =．（1）求出a ，b ，估计测试成绩的75%分位数和平均分；（2）按照人数比例用分层随机抽样的方法，从成绩在[]80,100内的学生中抽取4人，再从这4人中任选2人，求这2人成绩都在[80,90)内的概率．【答案】（1）0.01a =，0.03b =，85，76.5（2）12【解析】【分析】（1）由所有长方形的面积和为1列方程，结合3b a =可求出,a b ，然后判断出75%分位数在第4组，从而可求出75%分位数；再由平均数的定义求解即可.（2）根据频率分布直方图可得抽取的4人中成绩在[80,90)内的有3人，成绩在[90,100]内的有1人，然后利用列举法可求得结果.【小问1详解】由频率分布直方图可知(0.0150.035)101a b a ++++´=，即20.05b a +=，又3b a =，所以0.01a =，0.03b =，前三组的频率之和为0.10.150.350.60.75++=<，前四组的频率之和为0.60.30.90.75+=>，则75%分位数[80,90)m Î，且0.750.68010850.90.6m -=+´=-．测试成绩的平均分为：550.1650.15750.35850.3950.176.5x =´+´+´+´+´=.【小问2详解】成绩在[80,90)和[90,100]内的人数之比为3:1，故抽取的4人中成绩在[80,90)内的有3人，设为a ，b ，c ，成绩在[90,100]内的有1人，设为D ，再从这4人中选2人，这2人所有可能情况为(,)a b ，(,)a c ，(,)a D ，(,)b c ，(,)b D ，(,)c D ，共6种，这2人成绩均在[80,90)内的情况有(,)a b ，(,)a c ，(,)b c ，共3种，故这2人成绩都在[80,90)内的概率为3162P ==．18. 如图所示，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，E ，F 分别是BD ，1DD 的中点，M 是11A B 上一点，且//BM 平面1EFA .（1）求1MA ；（2）求直线1EC 与平面1EFA 所成角的正弦值.【答案】（1）1（2【解析】【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，引入参数t 表示M 的位置，求出平面1EFA 的一个法向量n r 以及1MA uuuu r ，由题意0n BM ×=r uuuu r ，由此即可求出参数t ，进而得解；（2）求出1EC uuuu r ，结合第一问中求出的n r ，由向量夹角公式即可得解.【小问1详解】如图，以点A 为原点，分别以直线AB ，AD ，1AA 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，()3,0,0B ，A 1(0,0,3)，33,,022E æöç÷èø，30,3,2F æöç÷èø，()13,0,3B ，()13,3,3C ，的所以333,,222EF æö=-ç÷èøuuu r ，133,,322EA æö=--ç÷èøuuu r .设平面1EFA 的一个法向量为(),,n x y z =r ，由100EA n EF n ì×=ïí×=ïîuuu r r uuu r r 得3330223330222x y z x y z ì--+=ïïíï-++=ïî，取1y =，则32x z =ìí=î，故()3,1,2n =r .设(),0,3M t ，则()3,0,3BM t =-uuuu r .因为//BM 平面1EFA ，所以()33230n BM t ×=-+´=uuuu r r ，所以1t =，所以11MA =.【小问2详解】因为133,,322EC æö=ç÷èøuuuu r ，平面1EFA 的一个法向量为()3,1,2n =r ，设直线1EC 与平面1EFA 所成角为q ，故sin cos EC q ==，所以直线1EC 与平面1EFA .19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB^平面ABCD ，AB BC ^，//AD BC ，3AD =，22PA BC AB ===，PB =（1）求证：BC PB ^；（2）求平面PCD 与平面ABCD 夹角的余弦值；（3）棱PA 上是否存在点E ，它与点B 到平面PCD 的距离相等，若存在，求线段BE 的长；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2（3）存在，且BE =【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质可得出^BC 平面PAB ，再利用线面垂直的性质可证得结论成立；（2）推导出AB PB ^，然后以点B 为坐标原点，AB uuu r 、BC uuu r 、BP uuu r 的方向分别为x 、y 、z 的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面PCD 与平面ABCD 夹角的余弦值；（3）分析可知，//BE 平面PCD ，设AE AP l =uuu r uuu r ，其中01l ≤≤，求出向量BE uuu r 的坐标，根据题意可知，BE uuu r 与平面PCD 的法向量垂直，根据空间向量数量积的坐标运算求出l 的值，进而可求得线段BE 的长.【小问1详解】证明：因为平面PAB ^平面ABCD ，且平面PAB Ç平面=ABCD AB ，因为BC AB ^，且ÌBC 平面ABCD ，所以^BC 平面PAB .因为PB Ì平面PAB ，所以BC PB ^.【小问2详解】解：在PAB V 中，因为2PA =，PB =1AB =，所以222PA AB PB =+，所以PB AB ^.又因为^BC 平面PAB ，以点B 为坐标原点，AB uuu r 、BC uuu r 、BP uuu r 的方向分别为x 、y 、z 的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系B xyz -，所以，()1,0,0A -、()0,0,0B 、()0,2,0C 、()1,3,0D -、(P ，则()1,1,0CD =-uuu r，(0,2,PC =uuu r ，易知平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n =r .设平面PCD 的一个法向量为m =(x ,y ,z )，则020m CD x m PC y ì×=-ïí×=-=ïîuuu r r uuu r r ，取2z =，则)2m =r .则cos ,n m n m n m ×===×r r r r r r ，即平面PCD 与平面ABCD【小问3详解】解：因为B 、E 到平面PCD 的距离相等，且B 、E 在平面PCD 的同侧，则有//BE 平面PCD .因为点E 在棱PA ，所以AE AP l =uuu r uuu r ，其中01l ≤≤，因为(AP =uuu r，则()AE l =uuu r，所以()BE BA AE l =+=-uuu r uuu r uuu r .又因为//BE 平面PCD ，m u r为平面PCD 的一个法向量，所以0BE m ×=uu r u r u)1=0l -，所以13l =.所以23BE æ=-ççèuuu r，所以BE BE ==uuu r。

高二数学第一次月考试题高二数学第一次月考试题第一部分：选择题（每小题5分，共计50分）1.设函数f(x) = 2x + 3，g(x) = x^2 - 4x + 1，则f(g(2))的值为（） A.-3 B. 3 C. 7 D. 112.已知函数f(x) = x^2 - 2x - 3，则方程f(x) = 0的根为（） A. 1和-3B. 3和-1C. 1和3D. -1和33.若两个正整数x和y满足x^2 - y^2 = 48，则x - y的值为（） A. 4 B.6 C. 8 D. 124.已知函数f(x) = 2x + 5，g(x) = 3x - 1，则f(g(x))的值为（） A. 6x+ 14 B. 6x - 4 C. 6x + 4 D. 6x - 145.若函数f(x) = x^2 + kx + 8与函数g(x) = 2x^2 - 3x - 4相等，则k的值为（） A. -4 B. -2 C. 2 D. 46.若两个正整数x和y满足x + y = 7，x - y = 3，则x的值为（） A. 5B. 4C. 3D. 27.已知函数f(x) = x^2 - 2x - 3，g(x) = x + 1，则f(g(2))的值为（） A.6 B. 3 C. 0 D. -38.若函数f(x) = x^2 - 5x + 6与函数g(x) = x - 2相等，则x的值为（）A. 6B. 4C. 2D. 19.若两个正整数x和y满足x^2 + y^2 = 34，x - y = 2，则x + y的值为（） A. 8 B. 9 C. 10 D. 1110.设函数f(x) = 2x + 3，g(x) = x^2 - 2x + 1，则f(g(1))的值为（） A.-1 B. 1 C. 3 D. 5第二部分：填空题（每小题5分，共计50分）1.函数f(x) = x^2 - 4x - 3的图像开口向上，顶点的坐标为（）。

（本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 参考公式：若柱体的底面积为S ，高为h ，则柱体的体积 V Sh =．第Ⅰ卷 选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．设集合，}2,1{=A ，}4,3,2{=B ，则)(B A U等于（ ）A ．}2{B ．}5{C ．}4,3,2,1{D ．}5,4,3,1{2．若222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数 z = x + 2 y 的取值范围是 （ ）A ．[2 ，6]B ． [2，5]C ． [3，6]D ． [3，5]3．甲，乙，丙三名运动员在某次测试中各射击20次，三人测试成绩的频率分布条形图分别如图1，图2和图3，若甲s ，乙s ，丙s 分别表示他们测试成绩的标准差，则（ ） A ．丙乙甲s s s << B ．乙丙甲s s s << C ．丙甲乙s s s << D ．乙甲丙s s s <<4．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5．现用分层抽样的方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号的产品共有16件，那么此n =（ ）A ．80B ．90C ． 100D ．120 5．以（5，6）和（3，－4）为直径端点的圆的方程是（ ）A ．072422=+-++y x y xB ．064822=-+++y x y xC ．092822=---+y x y xD ． 052422=-+-+y x y x6．在一次数学测验中，统计7名学生的成绩分布茎叶图如右图所示，若这7名学生的平均成绩为77分，则x 的值为( ) A.5B.6C.7D.87．已知向量(3,4),(sin ,cos ),a b αα==且a ∥b ，则αtan = （ ） A ．34-B ．34 C ．34D ．34- 8．若函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)的最小正周期为π，则它的图象的一个对称中心为( ) A ．(0,0) B.）（0,8πC ．）—（0,8πD ．）—（0,4π9．数列}{n a 的前n 项和为S n ，若32()n n S a n N =+∈*，则这个数列一定是（ ） A ．等比数列 B ．等差数列 C ．从第二项起是等比数列 D ．从第二项起是等差数列10．方程3)2(42+-=-x k x 有两个不等实根，则k 的取值范围是（ ） A ．)125,0( B ．]43,31[ C ．),125(+∞ D ．]43,125(第Ⅱ卷 非选择题（共100分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．函数)5lg()(-=x x f 的定义域是______．12．一个三棱柱的底面是边长为3的正三角形，且侧棱垂直于底面， 它的三视图如下图所示．则这个三棱柱的体积是 ．13．运行右图所示的程序框图，则输出的结果是_______．14．设22 (1)() (12)2 (2)x x f x x x x x +-⎧⎪=-<<⎨⎪⎩≤≥，若()3f x =，则x =_______．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（本小题满分12分）如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下：请观察图形，求解下列问题：（1）79.5～89.5这一组的频率、频数分别是多少？（2）估计这次环保知识竞赛的及格率（60分及以上为及格）和平均分. 16．（本小题满分12分）右图是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若f ）（2α＝45，0<α<π3，求cos α的值． 17．（本小题满分14分）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点．求证：（１）1//C O 面11AB D ； （2 ）1AC ⊥面11AB D ． 18．（本小题满分14分）已知圆C ：226440x y x y +--+=，直线1l 被圆所截得的弦的中点为P （5，3）． （1）求直线1l 的方程；（2）若直线2l ：0x y b ++=与圆C 相交于两个不同的点，求b 的取值范围.19．（本小题满分14分）某漁业公司年初用98万元购买一艘捕魚船，第一年各种支出费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕魚收益50万元．（1）该公司第几年开始获利？ （2）若干年后，有两种处理方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船； ②总纯收入获利最大时，以8万元出售渔船． 问哪种处理方案最合算?20．（本小题满分14分）设函数2()21x f x a =-+, (1) 求证:不论a 为何实数()f x 在定义域上总为增函数; (2) 确定a 的值,使()f x 为奇函数; (3) 当()f x 为奇函数时,求()f x 的值域．湛江市第二中学2014届高二级第一次月考数学试题参考答案与评分标准一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11．}{|5x x > ； 12 ； 13． 24 ； 14．3=x 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）【解】(1)由图象知A ＝1 ．………………1分f (x )的最小正周期T ＝4×⎝⎛⎭⎫5π12－π6＝π，故ω＝2πT＝2．……3分 将点⎝⎛⎭⎫π6，1代入f (x )的解析式得sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1， ∴2,32k k Z ππϕπ+=+∈，即2,6k k Z πϕπ=+∈，又|φ|<π2，∴φ＝π6．……………………………………………………5分故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6．…………………………6分 (2)由f ⎝⎛⎭⎫α2＝45，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，由0<α<π3，得 π6<α＋π6<π2，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6=35．………………………………9分 ∴cos α＝[(α＋π6)－π6]＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π6＝33＋410．………12分17．（本小题满分14分） 【证明】（1）连结11A C ，设11111AC B D O =，连结1AO ．…1分1111ABCD A B C D -是正方体，11//AA CC ∴=，11A ACC ∴四边形是平行四边形．11//AC AC ∴且 11AC AC =，………………………………3分又1,O O 分别是11,AC AC 的中点，11//O C AO ∴且11O C AO =， 11AOC O ∴是平行四边形 ，11//,C O AO ∴…………………………5分∴1A C ⊥平面11AB D ……………………………………………………14分18．（本小题满分14分）【解】（1）由226440x y x y +--+=，得()()222323x y -+-=，∴圆心()3,2C ，半径为3.…………………2分D 1ODBAC 1B 1A 1CO 1由垂径定理知直线1l ⊥直线CP ， 直线CP 的斜率321532CP k -==-，故直线的斜率112l CPk k =-=-，……………5分 ∴直线1l 的方程为()325y x -=--，即2130x y +-=.…………………………7分（2）解法1：由题意知方程组226440x y x y x y b ⎧+--+=⎨++=⎩有两组解，由方程组消去y 得()22221440x b x b b +-+++=，该方程应有两个不同的解，…………………9分∴()()22218440b b b ∆=--++>⎡⎤⎣⎦，化简得21070b b ++>，………………10分19．（本小题满分14分）【解】（1）设第n 年的纯收入为)(n f .由题设知每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列， 故前n 年的费用总和为()211242102n n n S n n n -=+⋅=+，………………3分 前n 年的收入总和为50n ，则)(n f =50n －（2210n n +）－98=224098n n -+-．由 )(n f >0⇒ 220490n n -+<⇒10－51<n <10+51…………………6分 又∵n ∈N , ∴n =3,4，…，17．即该公司从第三年开始获利．………………7分 （2）①年平均收入为()()49402()402127.f n n n n n =-+≤-⨯==当且仅当时等号成立 所以当n ＝7时，年均获利最大，此时出售所得总收益为12×7＋26＝110（万元）．………10分②.102)10(2)(2+--=n n f ∴当n ＝10时，102)(max =n f ．即10n =总纯收入最大，此时出售所得总收益为102＋8＝110万元，………………………13分∵7＜10． ∴第一种方案更合算．……………………14分20．（本小题满分14分）则 22a aa a -=-⎧⎨=-⎩，解得: 1.a =2()1.21x f x ∴=-+………………………………………………………………10分 (4) 由(2)知2()121x f x =-+,211x +>,10121x ∴<<+,2220,111,1()12121x x f x ∴-<-<∴-<-<-<<++即故当()f x 为奇函数时，其值域为(1,1).-…………………………………14分另解：由(2)知2()121x f x =-+. 由2121xy =-+，得()121xy y -=--， 当1y =时，得02=-，矛盾，所以1y ≠； 故有121x y y --=-. 当x R ∈时，20x >，所以101y y -->-，解得11y -<<. 故当()f x 为奇函数时，其值域为(1,1).-…………………………………14分。

上学期高二数学12月月考试题03一、 选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1、已知角α的终边上一点的坐标为(sin 2π3，cos 2π3)，则角α的最小正值为( )A.11π6 B.5π3 C. 5π6D.2π32、数列{n a }的通项公式是n a ＝122+n n(n ∈*N )，那么n a 与1+n a 的大小关系是（ ） A.n a ＞1+n a B.n a ＜1+n a C.n a ＝ 1+n a D.不能确定 3、已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)的最小正周期为π，则该函数图象( )A. 关于直线x ＝π4对称B. 关于点(π3，0)对称C. 关于点(π4，0)对称D. 关于直线x ＝π3对称4、)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-=+则的值是（ ） A ．1813 B ．2213 C ．223 D ．615、函数b x A y ++=)sin(ϕω的图像如图所示，则它的解析式是（ ）6、若等差数列{}n a 满足234a S +=，3512a S +=，则47a S +的值是（ ）A ．20B ．24C ．36D ．72 7、数列2211,(12),(122),,(1222)n -+++++++的前n 项和为 ( ) A.21n - B. n n n -⋅2 C. 12n n +-D. 122n n +--8、已知正项等比数列}{n a 满足：5672a a a +=，若存在两项n m a a 、，使得14a a a n m =，则n m +的值为()A.10B.6C.4D.不存在9、数列{}()()=⊥+===+10011,,1,,,,1a b a n a b a n a a a n n n 则且中 （ ）A ．99100B ．—99100C ． 100D ．—10010、将正偶数集合{} ,6,4,2从小到大按第n 组有n 2个偶数进行分组：{}{}{} ,24,22,20,18,16,14,12,10,8,6,4,2则2120位于第（ ）组A.33B.32C.31D.3011、数列{}n a 满足21(*)2n n n a a a n N ++=∈，且121,2a a ==，则数列{}n a 的前2011项的乘积为 ( ) A ．20092B ．20102C ．20112D ．2012212、数列{}n a 满足2*113,1()2n n n a a a a n N +==-+∈，则122009111m a a a =+++的整数部分是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 二、填空题（每题5分，共20分。

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 考纲要求 例题分析 知识整理 强化训练 第21章 化学物质与健康、有机合成材料 1.了解某些元素(如钙、锌、铁等)对人体健康的重要作用。

2.了解对生命活动具有意义的有机物(如糖、淀粉、油脂、氨基酸、蛋白质、维生素等)。

3.知道某些物质(如一氧化碳、甲醛、黄曲霉素等)有损人体健康。

4.知道掌握化学知识能帮助人们战胜疾病与营养保健方面的重大贡献。

考纲要求 5.能通过物质的化学式正确区分无机物和有机物。

6.了解常见的合成纤维、塑料、合成橡胶及其应用。

7.了解使用合成材料对人和环境的影响。

8.了解新材料的开发与社会发展的密切关系。

9.知道鉴别天然纤维和合成纤维的方法。

1.营养物质 (1)食物成分中主要有： 、 、 、 、无机盐和水等六种营养素。

知识整理 一、人类重要的营养物质 糖类 蛋白质 油脂 维生素 (2)四种有机营养素的作用： 糖类 油脂 细胞 能量 备用 新陈代谢 ①蛋白质易受 和遇 等因素而被破坏，发生变性； 酶是一类蛋白质，是生命活动的 剂。

②人体缺维生素A会引起 症；缺 会引起坏血病。

热 甲醛、重金属 催化 夜盲 维生素C2.常见影响人体健康的物质 甲醛 一氧化碳 血红蛋白 甲醇 亚硝酸钠 1.常见影响人体健康的元素 (1)人体中含有110多种元素，其中含量最多的金属元素是 。

(2)常量元素(>0.01%)： 、 、、N、Ca、P等； 微量元素(<0.1%):如铁、锌、碘、硒等。

(3)对人体有毒的元素：铜、汞、镉、铊、铍、铅等。

。

钙 C 二、化学元素与健康 H O 2.某些元素对人体健康的影响 钙 缺铁性贫血 发育不良 甲状腺肿大 氟 1.有机物：含 元素的化合物。

注意：含碳元素的化合物不一定都是有机物，如。

2.三大合成材料分别是 、 、 。

3. 蛋白纤维与合成纤维的鉴别方法是 。

上学期高二数学11月月考试题01时间120分钟 分数150分第Ⅰ卷一、选择题:(本大题共12小题，每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知全集{1,2,3,4,5},{1,2,3},{3,4},()U U A B C A B ===⋃=则（ ） A ．{3} B ．{5} C ．{1，2，4，5} D ．{1，2，3，4}2.“m .n 〉0”是“方程表示焦点在x 轴上的双曲线”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3.已知命题p ：0x ∃∈R ，021x =．则p ⌝是（ ）A.0x ∀∈R ，021x ≠B.0x ∀∉R ，021x ≠C.0x ∃∈R ，021x ≠D.0x ∃∉R ，021x ≠4.若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率为（ ）A.22或2 D.25.已知函数x x x g x x x f cos sin )(,cos sin )(-=+=，下列四个命题：①将)(x f 的图像向右平移2π个单位可得到)(x g 的图像；②)()(x g x f y =是偶函数； ③]4,4[)()(ππ-均在区间与x g x f 上单调递增；④)()(x g x f y =的最小正周期为π2.其中真命题的个数是（ ）A.1B.2C.3D.46.若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且8320S S -=，则11S 的值为 ( )A.44B.22C.2203 D.88 7.已知点12,F F 是椭圆2222x y +=的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12PF PF +的最小值是（ ）A.0B.1C.2D.8.已知直线m 、n 、l 不重合，平面、β不重合，下列命题正确的是( ) A.若ββ⊂⊂n m ,，α//m ，α//n ，则βα// B.若ββ⊂⊂n m ,，n l m l ⊥⊥,，则β⊥l C.若βαβα⊂⊂⊥n m ,,，则n m ⊥； D. 若n m m //,α⊥，则α⊥n9．从221x y m n-=（其中,{1,2,3}m n ∈-）所表示的椭圆或双曲线方程中任取一个，则此方程是焦点在x 轴上的双曲线方程的概率为（ ） A ．12 B ．47C ．23 D ．3410.若不论k 为何值，直线(2)y k x b =-+与曲线221x y -=总有公共点，则b 的取值范围是A.(B.⎡⎣C.(2,2)-D.[]2,2-11．设F 为抛物线)0(22>=p px y 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，当FA →＋FB →＋FC →＝0，且|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝3时，此抛物线的方程为( )A ．x y 22= B ．x y 42= C ．x y 62= D ．x y 82=12.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点为12,F F ，过2F 的直线与圆222by x =+相切于点A ，并与椭圆C 交与不同的两点P ，Q ，如图，若A 为线段PQ 的靠近P 的三等分点，则椭圆的离心率为A B C D 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在答题纸上) 13.过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是 14.直线3430x y -+=与圆221x y +=相交所截的弦长为_________ 15.若P 为抛物线210yx =上的动点,则点P 到直线50x y ++=的距离的最小值为 .16.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，双曲线x ²-y ²＝1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分） 已知命题222:8200,:210(0)p x x q x x m m -->-+->>，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.18．（本小题满分12分）已知函数f(x)＝2sinxcosx ＋cos2x. (Ⅰ)求()4f π的值；(Ⅱ)设3(0,),4πα∈1()25f α=，求cos2α的值.19.（本小题满分12分）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +==(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式. (Ⅱ)设 nn a nb =，求数列{n b }的前n 项和Sn .20.（本题满分12分）甲打靶射击，有4发子弹，其中有一发是空弹（“空弹”即只有弹体没有弹头的子弹）. （1）如果甲只射击1次，求在这一枪出现空弹的概率； （2）如果甲共射击3次，求在这三枪中出现空弹的概率；（3）如果在靶上画一个边长为10的等边PQR ∆，甲射手用实弹瞄准了三角形PQR 区域随机射击，且弹孔都落在三角形PQR 内。

湛江市第二十一中学2024-2025学年第一学期10月高二月考数学考试时间：120分钟，满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．i 是虚数单位，复数（ ）A ．B ． C ． D ．12．向量，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．空间向量在上的投影向量为（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知点，则点A 到直线的距离是（ ）A ．BC ．D ．5．空间四边形中，，，，点在上，，点为的中点，则（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图所示，在棱长为2的正方体中，E 为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A ． BCD7．下列命题中正确的是（ ）A ．点关于平面对称的点的坐标是B ．若直线l 的方向向量为，平面的法向量为，则C ．若和都为基底，则可以为2i 12i -=+i -i 1-()()2,1,3,1,2,9a x b y ==- a ∥b 1x y ==11,22x y ==-13,62x y ==-12,63x y =-=()1,0,1a = ()0,1,1b = 11,0,22⎛⎫ ⎪⎝⎭110,,22⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛ ⎝(1,0,0),(1,0,2),(1,1,1)A B C BC 14OABC OA a = OB b = OC c = M OA 23OM OA = N BC MN = 121232a b c -+ 211322a b c -++ 111222a b c +- 221332a b c +- 1111ABCD A B C D -BC 113CF CC =EF 11B D 23()3,2,1M yOz ()3,2,1--()1,1,2e =- α()6,4,1m =- l α⊥{},,a b c {},,a b b c m +- m a c +D ．若直线l 的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线l 与平面所成的角为8．已知三棱锥的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面ABC ，，，若球O 的表面积为，则三棱锥（以A 为顶点）的侧面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．6二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分,有选错的得0分．）9．下列命题正确的是（ ）A ．若，则与，共面B ．若，则共面C ．若，则共面D ．若，则共面10．不透明盒子里装有除颜色外完全相同的2个黑球、3个白球，现从盒子里随机取出2个小球，记事件“取出的两个球是一个黑球、一个白球”，事件“两个球中至多一个黑球”，事件“两个球均为白球”，则（ ）A ．B ．C ．D ．11．在∆ABC 中，下列结论正确的是（ ）A ．若，则∆ABC 为等腰三角形B ．若，则∆ABC 是直角三角形C ．若，则∆ABC 是钝角三角形D ．若，则∆ABC 是等边三角形三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．)12．在空间直角坐标系中，若点，，则13．已知某7个数的平均数为2，方差为4，现加入一个新数据2，此时这8个数的方差为 .14．在三棱锥中，平面，∆ABC 是边长为2的正三角形，点F 满足，则 .α120 α30oA BCD -π2BAC ∠=2AD =22πA BCD -21225227223p x y =+ p x y 23MP MA MB =+ ,,,M P A B 0OA OB OC OD +++= ,,,A B C D 151263OP OA OB OC =+- ,,,P A B C A =B =C =()35P A =()910P A C +=()2150P AB =()()P B P C =sin 2sin 2A B =sin cos B A =222sin sin sin A B C +<cos cos cos 222ab c ABC ==()1,6,8A -()1,5,7B AB =M ABC -MA ⊥ABC 13CF CM = BC AF ⋅=四、解答题(本题共5小题，共77分。

湛江市高中上学期高二数学11月月考试卷汇总（共11套）上学期高二数学11月月考试题01时间120分钟 分数150分第Ⅰ卷一、选择题:(本大题共12小题，每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知全集{1,2,3,4,5},{1,2,3},{3,4},()U U A B C A B ===⋃=则（ ）A ．{3}B ．{5}C ．{1，2，4，5}D ．{1，2，3，4}2.“m .n 〉0”是“方程表示焦点在x 轴上的双曲线”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3.已知命题p ：0x ∃∈R ，021x =．则p ⌝是（ ）A.0x ∀∈R ，021x ≠B.0x ∀∉R ，021x ≠C.0x ∃∈R ，021x ≠D.0x ∃∉R ，021x ≠4.若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率为（ ） 3535355.已知函数x x x g x x x f cos sin )(,cos sin )(-=+=，下列四个命题：①将)(x f 的图像向右平移2π个单位可得到)(x g 的图像；②)()(x g x f y =是偶函数； ③]4,4[)()(ππ-均在区间与x g x f 上单调递增；④)()(x g x f y =的最小正周期为π2.其中真命题的个数是（ ）A.1B.2C.3D.46.若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且8320S S -=，则11S 的值为 ( ) A.44B.22C.2203D.887.已知点12,F F 是椭圆2222x y 的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12PF PF 的最小值是（ ）A.0B.1C.2D.228.已知直线m 、n 、l 不重合，平面、β不重合，下列命题正确的是( ) A.若ββ⊂⊂n m ,，α//m ，α//n ，则βα// B.若ββ⊂⊂n m ,，n l m l ⊥⊥,，则β⊥l C.若βαβα⊂⊂⊥n m ,,，则n m ⊥； D. 若n m m //,α⊥，则α⊥n9．从221x y m n-=（其中,{1,2,3}m n ∈-）所表示的椭圆或双曲线方程中任取一个，则此方程是焦点在x 轴上的双曲线方程的概率为（ ） A ．12 B ．47C ．23 D ．3410.若不论k 为何值，直线(2)y k x b =-+与曲线221x y -=总有公共点，则b 的取值范围是A.(3,3)-B.3,3⎡⎤-⎣⎦C.(2,2)-D.[]2,2-11．设F 为抛物线)0(22>=p px y 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，当FA →＋FB →＋FC →＝，且|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝3时，此抛物线的方程为( )A ．x y 22= B ．x y 42= C ．x y 62= D ．x y 82=12.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点为12,F F ，过2F 的直线与圆222b y x =+相切于点A ，并与椭圆C 交与不同的两点P ，Q ，如图，若A 为线段PQ 的靠近P 的三等分点，则椭圆的离心率为 A ．23B ．33C ．53D ．73第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在答题纸上) 13.过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是 14.直线3430x y -+=与圆221x y +=相交所截的弦长为_________ 15.若P 为抛物线210yx =上的动点,则点P 到直线50x y ++=的距离的最小值为 .16.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，双曲线x ²-y ²＝1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知命题222:8200,:210(0)p x x q x x m m -->-+->>，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.18．（本小题满分12分）已知函数f(x)＝2sinxcosx ＋cos2x. (Ⅰ)求()4f π的值；(Ⅱ)设3(0,),4πα∈1()25f α=，求cos2α的值.19.（本小题满分12分）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +==(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式. (Ⅱ)设 nn a nb =，求数列{n b }的前n 项和Sn .20.（本题满分12分）甲打靶射击，有4发子弹，其中有一发是空弹（“空弹”即只有弹体没有弹头的子弹）. （1）如果甲只射击1次，求在这一枪出现空弹的概率； （2）如果甲共射击3次，求在这三枪中出现空弹的概率；（3）如果在靶上画一个边长为10的等边PQR ∆，甲射手用实弹瞄准了三角形PQR 区域随机射击，且弹孔都落在三角形PQR 内。

高二上学期12月月考数学试题一、单选题1的倾斜角为（ ） 0y +=A ．B ．C ．D ．3π6π56π23π【答案】D【分析】得，所以0y +=y =tan k α==，结合直线的倾斜角的范围即可求得.α【详解】设该直线的倾斜角为α，则，解得. tan α=[)0,απ∈23πα=故选：D.2．已知圆C ：，则（ ） 2286100x y x y +---=A ．圆C 的圆心坐标为 B ．圆C 的圆心坐标为 ()4,3--()3,4C ．圆CD ．圆C 的半径为35【答案】C【分析】将圆的一般方程化为圆的标准方程，得到圆心和半径，得到答案. 【详解】因为圆C ：的标准方程为. 2286100x y x y +---=()()224335x y -+-=所以其圆心坐标为ABD 错误，C 正确. ()4,3故选：C3．甲、乙两人约定进行乒乓球比赛，采取三局两胜制（在三局比赛中，优先取得两局胜利的一方获胜，无平局），乙每局比赛获胜的概率都为，则最后甲获胜的概率是（ ）13A ．B ．C ．D ．1027162720272627【答案】C【分析】分前两局甲均赢，和前两局甲赢一场，输一场，第三局赢，分别求出概率相加得到答案. 【详解】因为乒乓球比赛的规则是三局两胜制（无平局），甲每局比赛获胜的概率都为，23若前两局甲均赢，则结束比赛，甲获得胜利，此时概率为，224339⨯=前两局甲赢一场，输一场，第三局甲赢，此时甲获得胜利，则概率为，212122833333327⨯⨯+⨯⨯=所以最后甲获胜的概率. 482092727P =+=故选：C4．已知圆C ：和直线l ：，若圆C 上存在A ，B 2222420x y kx y k +-++-=()25130kx k y +--=两点关于直线l 对称，则k ＝（ ） A ．－2 B ．C ．2D ．或21212【答案】B【分析】根据圆C 上存在A ，B 两点关于直线l 对称，得到直线l 经过圆C 的圆心求解. 【详解】解：因为圆C 上存在A ，B 两点关于直线l 对称， 所以直线l 经过圆C 的圆心，圆C 的标准方程为，圆心，()()221x k y -++243k k =-+(),1C k -所以，解得，222520430k k k k ⎧-+=⎨-+>⎩12213k k k k ⎧==⎪⎨⎪⎩或或所以. 12k =故选：B5．已知圆：和圆：，则圆与圆1C 2224230x y x ay a +-+++=2C 22224410x y x ay a ++-+-=1C 2C 的公切线的条数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D【分析】求出两圆的圆心和半径，根据圆心距大于半径之和，得到两圆外切，故公切线条数为4. 【详解】两圆的标准方程分别为和， ()()2221x y a -++=()()22122x y a ++-=圆心分别为，，半径分别为，()12,C a -()21,2C a -11r=2r =圆心距，故， 123C C ==≥1212C C r r >+所以圆与圆外离，所以圆与圆有4条公切线. 1C 2C 1C 2C 故选：D6．如图所示，M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点N 在线段OM 上，点P 在线段AN 上，且，，设，，，则下列等式成立的是（ ）3AP PN =23ON OM = OA a = OB b = OC c =A ．B ．111444OP a b c =++ 1133AN a b c =++C ．D ．311444AP a b c =-+- 1122OM b c =- 【答案】A【分析】根据空间向量的线性运算法则逐项进行计算即可判断.【详解】因，所以选项错误； ()2211133233AN AO ON AO OM AO OB OC b c a =+=+=+⨯+=+-B 因()()3333231144443422AP AN AO ON a OM a b c ==+=-+⨯=-+⨯+ .所以选项错误；311444a b c =-++C 因为，所以选项错误. ()111222OM OB OC b c =+=+ D 因为，所以选项正确；311111444444OP OA AP a a b c a b c ⎛⎫=+=+-++=++ ⎪⎝⎭A 故选：.A 7．已知点是平行四边形所在平面外的一点，，，P ABCD ()1,1,0AB =- ()1,0,2AD =()1,1,1AP =- ，为线段的中点，为线段的中点，则（ ） E AC F PD A ．直线与直线．是平面的法向量 BP CD AD PAB C ． D ．//EF PB AC BD ⊥ 【答案】C【分析】选项A 利用空间向量夹角公式计算即可，B 选项利用法向量性质判断即可，选项C 画出利用三角形的中位线判断即可，选项D ，利用向量垂直的条件判断即可.【详解】因为，，()0,2,1BP AP AB =-=-()1,1,0CD BA ==- 所以，cos ,BP CD BP CD BP CD ⋅<>===故A 错误；因为平面PAB ，且，所以不是平面PAB 的法向量，AB ⊂10AD AB ⋅=≠ AD故B 错误；连接，如图所示：BD因为为线段的中点，为线段的中点， E AC F PD 又为平行四边形的对角线， BD ABCD 所以为线段的中点 E BD 所以是的中位线，EF PBD △所以，即， //EF PB //EF PB故C 正确；因为，， ()2,1,2AC AB AD =+=-()0,1,2BD AD AB =-= 所，1430AC BD ⋅=-+=≠故不成立， AC BD ⊥故D 错误. 故选：C.8．如图，已知，，从点射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最()5,0A ()0,5B ()1,0P 后经直线OB 反射后又回到点P ，则光线所经过的路程长为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】求出关于的对称点和它关于y 轴的对称点,则就是所求的路程长. P AB 1P 2P 12PP【详解】易知直线AB 的方程为，设点关于直线AB 的对称点为，5y x =-+()1,0P ()1,P a b 则解得即．1,115,22b a b a ⎧=⎪⎪-⎨+⎪=-+⎪⎩5,4,a b =⎧⎨=⎩()15,4P 又点关于y 轴的对称点为，()1,0P ()21,0P -=故选：.A二、多选题9．连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察这两次骰子出现的点数．记事件A 为“第一次骰子出现的点数为3”，事件B 为“第二次骰子出现的点数为5”，事件C 为“两次点数之和为8”，事件D 为“两次点数之和为7”，则（ ） A ．A 与B 相互独立 B ．A 与D 相互独立 C ．B 与C 为互斥事件 D ．C 与D 为互斥事件【答案】ABD【分析】先求出, 再利用公式判断选项AB ，利用概念判断选项CD 得解. (),(),(),()P A P B P C P D 【详解】连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，不同结果如下：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5)．共36个． ,(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)依题意，，11(),()66P A P B ==事件C 包括，共5个，，事件D 包括(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)5()36P C =，共6个，． (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)61()366P D ==对于选项A ，事件只有结果，A 与B 相互独立，所以选项A 正AB 1(3,5),()()()36P AB P A P B ==⋅确；对于选项B ，事件只有结果，A 与D 相互独立，所以选项B 正AD 1(3,4),()()()36P AD P A P D ==⋅确；对于选项C ，当第一次的点数是3点，第二次是5点时，两个事件同时发生了，所以事件不B C ，是互斥事件，所以选项C 不正确；对于选项D ，事件是不可能事件，即C 与D 是互斥事件，所以选项D 正确． C D ，故选：ABD10．已知方程表示椭圆，下列说法正确的是（ ）221124x y m m +=--A ．m 的取值范围为 B ．若该椭圆的焦点在y 轴上，则 ()4,12()8,12m ∈C ．若，则该椭圆的焦距为4 D ．若，则该椭圆经过点6m =10m =(【答案】BC【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质依次判断选项即可.【详解】A ：因为方程表示椭圆，221124x y m m +=--所以，解得，且，故A 错误；12040124m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩412m <<8m ≠B ：因为椭圆的焦点在y 轴上，221124x y m m +=--所以，解得，故B 正确；4120m m ->->812m <<C ：若，则椭圆方程为，6m =22162x y +=所以，从而，故C 正确；222624c a b =-=-=24c =D ：若，则椭圆方程为，10m =22126x y +=点的坐标不满足方程，即该椭圆不经过点，故D 错误. ((故选：BC.11．已知O 为坐标原点，圆M ：，则（ ） ()()222cos 2sin 4x y θθ-+-=A ．圆M 与圆内切2216x y +=B ．直线与圆M 相离sin cos 0x y αα-=C ．圆M 上到直线的距离等于1的点最多有三个0x y +=D上任意一点P 作圆M 的切线，切点分别为A ，B ，则四边形PAMB面积100y +-=的最小值为【答案】AD【分析】根据圆与圆的位置关系即可判断A ；根据点到直线的距离公式和三角函数的有界性即可判断B ；根据点到直线的距离公式计算即可判断C ；根据点到直线的距离公式求出，利用三角的MP 恒等变换化简计算即可判断D.【详解】A ：圆M 的圆心，半径， ()2cos ,2sin M θθ12r =而圆的圆心，，2216x y +=()0,0O 24r =所以，，所以圆M 与圆内切，A 正确； 2OM ==21r r -2216x y +=B ：圆心M 到直线，故圆sin cos 0x y αα-=()2sin 2αθ-≤和直线相切或相交，B错误；C ：因为圆心到直线的距离()2cos ,2sin M θθ0x y +=， π14d θ⎛⎫+- ⎪⎝⎭因为，圆M 的半径为2，[]0,3d ∈所以圆M上到直线的距离等于1的点最多有四个，故C 错误； 0x y +=D ：四边形PAMB 的面积2S MA PA PA =⋅==当MP 时，有最小值，100y +-=MP ，πsin 52sin 53θθθ⎛⎫+-=+-⎪⎝⎭因为，所以，[]3,7MP ∈min 3MP =则四边形PAMB 面积的最小值D 正确. min S ==故选：AD.12．如图，已知正方体的棱长为2，P 为空间中一点，，1111ABCD A B C D -1AP xAA y AB z AD =++则（ ）A ．当，时，异面直线BP 与 12x z ==0y =1C D B ．当，时，三棱锥的体积为 1x y ==[]0,1z ∈1A PBC -43C ．当，，时，有且仅有一个点P ，使得平面 12x =1y =[]0,1z ∈1A C ⊥1AB P D ．当，时，异面直线BP 和所成角的取值范围是0y =[]0,1x z =∈1C D ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】ABD【分析】根据向量关系式确定动点位置或轨迹，然后逐项进行判断即可求解.【详解】对于，连接，.由下图可知，P 为的中点，取的中点O .连接PO ，BO ，A 11B D 1AD 1AD 11B D则，所以∠BPO 或其补角即异面直线BP 与所成的角，易得，，1//PO C D 1C D BP =PO =正确； BO =cos BPO ∠=A对于，由条件可知（），P 点的轨速为线段，因为，所以B 1BP zBC BB =+ []0,1z ∈11B C 11B C BC ∥P 到平面的面积为，所以三棱锥的体积为1A BC 1A BC A 122⨯=1P A BC -定值，故选项正确； 43B 对于，如下图，由条件可知（），所以点P 在线段EF 上（E ，F 分别为C 112BP zBC BB =+ []0,1z ∈，的中点）.因为平面，所以平面即平面，点P 则平面与直1BB 1CC 1A C ⊥11AB D 1AB P 11AB D 11AB D线EF 的交点，此交点在FE 的延长线上，故选项错误；C对于，由条件可知（），可知点P 的轨速为线段，如下图，建立空D ()1AP x AA AD =+ []0,1x ∈1AD 间直角坐标系，得，，设，，则，所()12,0,2C D =- ()2,0,2B ()0,,2P a a -[]0,2a ∈()2,,BP a a =--以，当，即时，cos <1,>BP C D ==[]20,2a t -=∈2a =0=t ，此时直线BP 和所成的角是；当，即时，1cos ,0BP C D <>= 1C D 2π2a ≠(]0,2t ∈， 1cos ,BP C D <>=令，11,2m t ⎡⎫=∈+∞⎪⎢⎣⎭1cos ,BP C D <>=所以，即时，， 112m t ==0a =1cos ,BP C D <> 直线BP 和所成角的最小值为，故选项正确.1C D π4D故选：.ABD三、填空题13．若直线与直线平行，则a ＝______________. ()2110x a y ---=()4230x a y -+-=【答案】4【分析】根据直线与直线平行时的条件计算即可.1110A x B y C ++=2220A x B y C ++=【详解】因为直线与直线平行， ()2110x a y ---=()4230x a y -+-=所以，解得， ()()2241a a -+=--4a =经检验，当时，两直线不重合， 4a =所以. 4a =故答案为：4.14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A ，B 两点，若221369x y +=1F 2F 1F ，则______________.2214AF BF +=AB =【答案】10【分析】根据椭圆的定义可得，结合题意即可求解. 22||4AF BF AB a ++=【详解】因为，，， 6a =122AF AF a +=122BF BF a +=两式相加得. 22||424AF BF AB a ++==又，所以. 2AF +214BF =10AB =故答案为：10.15．某校进行定点投篮训练，甲、乙、丙三个同学在固定的位置投篮，投中的概率分别，，1223p ，已知每个人投篮互不影响，若这三个同学各投篮一次，至少有一人投中的概率为，则p ＝78______________. 【答案】## 140.25【分析】由已知结合对立事件的概率关系及相互独立事件的概率公式即可求解.【详解】由题意可知，解得.()1271111238p ⎛⎫⎛⎫----= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭14p =故答案为：.1416．已知圆，M 是直线l ：上的动点，过点M 作圆O 的两条切线，切点22:2O x y +=40x y -+=分别为A ，B ，则的最小值为______.MA MB ⋅【答案】3【分析】画出图形，设,利用数量积公式将转化为求的最小值，从2AMB θ∠=MA MB ⋅2||cos 2MA θ而分析图形可知当时, 这时最小，即 最小. OM l ⊥2||cos 2MA θMA MB ⋅【详解】设, 则 ,2AMB θ∠=2||||cos 2||cos 2MA MB MA MB MA ⋅== θθ可知当 时, 最小且 最大, 最小, 这时 最小.OM l ⊥||MA 2θcos 2θMA MB ⋅设点 到直线 的距离为 , 则 O l d d =因为圆 的半径为 , 所以当 时, , 可得 , O OM l ⊥1sin 2θ=21cos 2,||2MA = θ226d =-=所以 的最小值为3.MA MB ⋅ 故答案为：3 .四、解答题17．已知△ABC 的顶点，，BC 边上的高所在直线的方程为.()5,0A -()2,2B -550++=x y (1)求直线BC 的方程；(2)若 ，求直线AC 的方程.在①点C 在直线上；②BC 边上的中线所在直线的方程为这两个条件中任选一0x y -=120x y +-=个，补充在横线上.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)5120x y --=(2)选①：；选②：38150x y -+=1811900x y -+=【分析】（1）由BC 边上的高所在直线的方程求出直线的斜率，再由点斜式求方程即可； BC （2）若选①联立直线方程求出点坐标，再求出斜率，点斜式得直线方程；若选②先求出C AC 中点坐标，再由中点坐标公式求出点坐标，利用点斜式求方程即可.BC C 【详解】（1）因为BC 边上的高所在直线的方程为，550++=x y 所以直线BC 的斜率.5k =直线BC 的方程为，即.()252y x +=-5120x y --=（2）若选①.由， 05120x y x y -=⎧⎨--=⎩解得，即， 33x y =⎧⎨=⎩()3,3C 所以，直线AC 的方程为， 38AC k =()3058y x -=+即.38150x y -+=若选②.由，解得，即线段BC 的中点坐标为. 1205120x y x y +-=⎧⎨--=⎩48x y =⎧⎨=⎩()4,8设点，则， ()11,C x y 11242282x y +⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩解得，即， 11618x y =⎧⎨=⎩()6,18C 所以，直线AC 的方程为， 1811AC k =()180511y x -=+即.1811900x y -+=18．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上．C ()1,1A ()2,2B -C :50l x y ++=（1）求圆的方程；C （2）若过点的直线被圆截得的弦长为的方程．()1,1D --m C m 【答案】（1）；()()223225x y +++=（2）直线的方程为或．m =1x -3470x y ++=【分析】（1）由圆的性质可得：的垂直平分线方程与直线联立方程组求得圆心为AB :50l x y ++=，用两点之间距离公式求得，即可求出圆的标准方差. ()3,2--5=（2）由圆的半径，弦长，利用垂径定理和勾股定理求出弦心距，再利用圆心2d ==到直线的距离为求出直线方程即可，需注意斜率不存在的情况. 2【详解】（1）因为，，所以线段的中点坐标为， ()1,1A ()2,2B -AB 31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭直线的斜率，因此线段的垂直平分线方程是：，即AB 21321AB k --==--AB 113232y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．330x y --=圆心的坐标是方程组的解．解此方程组得：， C 33050x y x y --=⎧⎨++=⎩32x y =-⎧⎨=-⎩所以圆心的坐标是．C ()3,2--圆的半径长， C 5r =所以圆心为的圆的标准方程是．C ()()223225x y +++=（2）因为，所以在圆内. ()()22131225-++-+<()1,1D --又因为直线被圆截得的弦长为m C所以圆心到直线的距离C m 2d ==①当直线的斜率不存在时，，m :1m x =-到的距离为，符合题意．()3,2--=1x -3(1)2---=②当直线的斜率存在时，设，即．m ():11m y k x +=+10kx y k -+-=，22⇒22(12)4(1)k k -=+解得，直线为：，即： 34k =-m 31(1)4y x +=-+3470x y ++=综上：直线的方程为或．m =1x -3470x y ++=【点睛】本题第一问考查了圆的标准方程，主要利用弦的垂直平分线过圆心来求圆的标准方差.第二问主要考查圆的弦长及垂径定理，直线斜率不存在的情况容易丢掉，熟练掌握公式及定理是解决本题的关键.属于中档题.19．某两个班的100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是．[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130](1)求语文成绩在内的学生人数．[]120,130(2)如果将频率视为概率，根据频率分布直方图，估计语文成绩不低于112分的概率．(3)若语文成绩在内的学生中有2名女生，其余为男生．现从语文成绩在内的学生中[)80,90[)80,90随机抽取2人背诵课文，求抽到的是1名男生和1名女生的概率．【答案】(1)5(2)0.21 (3)． 35【分析】（1）利用频率分布直方图中，频率和为求出，即可求出语文成绩在内的学生1a []120,130人数；（2）直接利用频率分布直方图求概率；（3）利用古典概型的概率公式直接求解.【详解】（1）由频率分布直方图，知，解得，()20.020.030.04101a +++⨯=0.005a =语文成绩在内的学生人数为．[]120,1300.005101005⨯⨯=（2）由频率分布直方图，知语文成绩不低于112分的概率． 1201120.02100.005100.2110-⨯⨯+⨯=（3）由频率分布直方图，知语文成绩在内的学生有人，其中女生2名，[)80,900.005101005⨯⨯=男生3名，分别记2名女生为A ，B ，3名男生为a ，b ，c .样本空间为，其中抽到1名男生和1名女生的情况有{,,,,,,,,,}AB Aa Ab Ac Ba Bb Bc ab ac bc ，,,,,,Aa Ab Ac Ba Bb Bc 所以抽到的是1名男生和1名女生的概率为． 63105=20．如图1，在△ABC 中，D 为AC 的中点，，△ABD 沿BD 折2BC =CD cos C =起，得到如图2所示的三棱锥P -BCD ，且平面PBD ⊥平面BDC .(1)证明：面PBD ；BC ⊥(2)求二面角C -PD -B 的余弦值.【答案】(1)证明见解析【分析】(1)根据余弦定理可得，利用勾股定理的逆定理可得，结合面面垂直的性1BD =BC BD ⊥质即可证明；(2)建立如图所示的空间直角坐标系，根据余弦定理求出AB ，进而求得点P 的坐标，得平面PCD 的法向量，利用空间向量的数量积的定义即可即可求解.【详解】（1）在△BCD 中，， 2BC =CD cos C =由余弦定理知，即， 2225221BD =+-⨯=1BD =所以，即.222BD BC CD +=BC BD ⊥因为平面PBD ⊥平面BDC ，平面平面，BCD PBD BD =所以BC ⊥平面PB D.（2）以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，BD 所在直线为y 轴，过点B 且垂直于平面BCD 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，. ()0,0,0B ()2,0,0C ()0,1,0D在△ABC 中，由余弦定理知， (222222AB =+-⨯⨯解得AB =所以，， cos ABD ∠=4ABD π∠=可求得，()0,2,2P 从而，. ()0,1,2DP = ()2,1,0DC =- 设平面PCD 的法向量为，(),,n x y z =由，得，令，可得. 00DP n DC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩2020y z x y +=⎧⎨-=⎩2y =()1,2,1n =- 因为BC ⊥平面PBD ，所以可取平面PBD 的一个法向量为，()1,0,0m = 所以，cos ,m n 〈〉== 即二面角C -PD -B21．已知圆.224：+=C x y (1)若圆与直线相切，求的值； C 320：-+-=l x my m m (2)已知点，过点作圆C 的切线，切点为，再过作圆的切线，()10M ，P Q P ()()221112：'-+-=C x y 切点为，若，求的最小值.R =PQ PR MP 【答案】(1)或 0m=125m =(2)【分析】（1）利用圆的圆心到与直线等于半径可得答案；C l （2）设点，求出，，利用，可得点所在直线方程， (),P x y PQ PR =PQ PR P 的最小值即为点到所求直线的距离可得答案.MP P 【详解】（1）圆的圆心为半径为， 224：+=C x y ()00C ，2因为圆与直线相切，C 320：-+-=l x my m ，解得或； 20m =125m =（2）圆的圆心为半径为， 224：+=C x y ()00C ，2的圆心为半径为()()221112：'-+-=C xy ()11，'C 设点(),P xy=，PR ==因为，所以，=PQ PR =整理得，30x y ++=因为到直线，所以直线与圆相离， ()00C ，30x y ++=1>30x y ++=C因为到直线与圆相离， ()11，'C 30x y ++=>30x y ++=C '即点在直线上，P 30x y ++=的最小值即为点到直线MP P 30x y ++=22．已知四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，SA ⊥平面ABCD ，，点E 在33AD AB ===棱BC 上.(1)若E 为BC 的中点，求直线SE 与平面SCD 所成角的正弦值；(2)是否存在一点E ，使得点A 到平面SDE ？若存在，求出的值；若不存在，说BE EC 明理由.【答案】(1)310(2)存在，2【分析】(1)建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求出平面SCD 的法向量，结合空间向量数量积的定义即可求解；(2)设点E 的坐标，利用空间向量法求出平面SDE 的法向量，结合向量法即可求出点A 到平面SDE 的距离，列出等式，解之即可.【详解】（1）由平面，平面得，又，SA ⊥ABCD ,AB AD ⊂ABCD ,SA AB SA AD ⊥⊥AD AB ⊥以A 为原点，，，的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. AB AD AS因为，，，，， ()0,0,0A (S ()1,3,0C ()0,3,0D 31,,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，，. 31,,2SE ⎛= ⎝ ()1,0,0CD =-(0,3,SD = 设平面SCD 的法向量为， (),,n x y z = 则，则，令，得. 00CD n SD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩030x y -=⎧⎪⎨=⎪⎩1y=(n = 设直线SE 与平面SCD 所成的角为θ，则， 332sin cos ,51022SE n SE n SE n θ⋅====⨯ 所以直线SE 与面SCD 所成角的正弦值为. 310（2）设，平面SDE 的法向量为， ()()1,,003E λλ≤≤()111,,m x y z = 则，则， 00SD m SEm ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 11111300y x yλ⎧=⎪⎨+=⎪⎩令. 1z =(3m λ=- 又， (AS = 当点A 到平面SDE，AS m m⋅==解得， 2λ=所以存在点，使得点A 到平面SDE ()1,2,0E 此时. 2BE EC =。