第36658号中考总复习之规律性问题

初三数学规律题归纳总结数学是一门需要逻辑思维和规律总结的科学，而初三数学规律题是培养学生分析问题、归纳总结的重要方式之一。

在这篇文章中，将对初三数学规律题进行全面的归纳总结，帮助同学们更好地理解和应用规律题。

一、数字规律题数字规律题是初三数学中常见的题型，通过观察和分析数字的变化规律来推测接下来的数字。

在解答该类题目时，同学们可以根据以下几个方面来总结规律：1. 顺序规律：观察数字的排列顺序，比较数字之间的差异，如果发现数字之间存在等差或等比关系，则可以推测出接下来的数字。

2. 位数规律：关注数字的位数，观察数字位上的变化规律。

有时候数字会在个位、十位、百位等不同位置上产生规律性变化，同学们需要灵活应用数学运算和进制知识来推测接下来的数字。

3. 运算规律：观察数字之间的运算规律，有时候数字之间存在加法、减法、乘法或除法等规律。

同学们需要通过运算规律推测出接下来的数字。

二、图形规律题图形规律题是初三数学中另一个常见的题型，通过观察图形的形状、大小、颜色等特征来总结规律。

在解答该类题目时，同学们可以从以下几个方面入手：1. 形状规律：观察图形的形状变化规律，有时候图形会在数个几何形状之间轮换，同学们可以通过观察和比较来推测接下来的图形。

2. 大小规律：注意观察图形的大小变化规律，有时候图形会在数个大小之间交替变化，同学们需要通过比较来找出规律。

3. 颜色规律：关注图形的颜色变化规律，有时候图形会在几种颜色之间循环出现。

同学们可以通过观察和分析来总结出接下来的图形颜色。

三、函数规律题函数规律题是初三数学中较为复杂的题型，涉及到多个变量的关系。

在解答该类题目时，同学们可以通过以下几个步骤进行推测：1. 建立函数关系：首先要明确给定的变量之间存在什么函数关系，可以通过列出函数表达式或者绘制函数图像来进行分析。

2. 推测函数值：根据函数关系，推测给定变量对应的函数值。

可以通过计算、观察图像或者多组数据的对比来确定函数值。

数学中考中的规律问题解析摘要：在数学中考中，规律问题是考查学生在处理数学问题中必须掌握的基本技能之一，也是非常重要的考点之一。

本文旨在解析规律问题的特点、分类、分析求解方法，以及解题的技巧和策略，帮助学生更好地处理规律问题，提高数学中考的答题效率和得分率。

关键词：数学中考；规律问题；技巧；策略1 介绍数学中考是重要的考试，是考察学生在不同学科基础知识和能力、分析思维和解决问题能力方面的能力考察。

在数学中考中，规律问题是一种考查学生掌握实际问题解决能力和数学基础知识和能力的重要题型。

2律问题的特点规律问题是以序列为研究对象的模式问题，它是通过观察数列中的特征，利用给定的数学原理和知识，深入分析、归纳、比较、概括，总结抽象出一定的规律，并依此规律给出正确答案的问题，它常常考查和考察学生观察能力、分析能力、归纳能力和推理能力。

3律问题的分类(1)据序列的形式，规律问题可以分为等差数列、等比数列和非等差等比数列等三类。

等差数列的特征是：序列中任意一项减去前项的差都是相等的，它的每一项都是方程的根。

等比数列的特征是：任意一项除以前项的商都是相等的，它的每一项都是方程的根。

非等差等比数列的特征是：序列中任意一项减去前项的差值或任意一项除以前项的商值都不相等，它的每一项也可以是方程的根。

(2)据问题内容，规律问题可以分为求规律问题、求极限问题以及求解方程的特征解等三类。

求规律问题指的是通过观察或直接构造给出的序列，找出它的某种规律，如求序列的通项公式、求序列的平均值、求序列项数、求序列中元素之和等。

求极限问题指的是通过观察给出的序列，分析序列的规律，确定序列的极限值。

求解方程的特征解问题指的是将解方程所得序列中的某个数作为特征解，使原方程成立。

4析求解方法(1) 从数学原理入手。

处理规律问题时，首先要熟练掌握和运用等差数列、等比数列、化简、代数思维、计算等数学原理和技法。

(2) 从实际情况出发。

处理规律问题时，要注意结合实际情况，从中找出合理的解法。

中考数学规律题攻略1、经历探索数量关系、运用符号表示规律、通过运算验证规律的过程。

拥有一定的问题解决、课题研究、社会调查的经验。

2、培养面对挑战勇于克服困难的意志，鼓励学生大胆尝试，从中获得成功的体验，激发学习热情。

教学方法：探索讨论，总结归纳。

知识结构：1、探究规律题的一般步骤：①观察（发现特点）；②找出规律（找出某个数与其对应序号之间的关系）；③实验（用具体数值代入规律）。

2、探究规律题的一般方法：①等差规律：把第一项拆为公差×序数+某数，再改序数为n；②平方规律：把第一项拆为（序数+某数）2；③组合图问题（由一个小图重叠部分而成）④握手问题和单循环比赛问题：n（n-1）/2 ⑤分裂、折叠规律：2n；提出问题：一列数3，8，13，18，23，28……依此规律，在此数列中比2000大的最小整数是。

探究1：(1)观察一列数2,4,6,8,( ),( )…第n个数是( )(2)观察一组数据4,7,10,13,( ),( )…第n个数是( )(3)观察一组数2,5,8,11,( ),( )…第n个数是( )一、等差数列规律：如果一列数，从第二项起，每一项与它前一项的差都相等，那么这列数叫做等差数列。

每相邻两项的差叫做公差。

基本方法：把第一项拆为公差×序数+某数，再改序数为n；例1、一组数据6,11,16,21,…第n个数是( )例2、一组数4、6、8、10、12…第n个数是( )（1）1、3、5、7…（）（2）6、8、10、12…（）（3）6、11、16、21…（）（4）1、4、7、10、13…（）（5）树的高度与树生长的年数有关，测得某棵树的有关数据如下表：（树苗原高100厘米）年数n高度h（单位：厘米）1)填出第4年树苗可能达到的高度；2)请用含n的代数式表示高度h：____________探究2：(1)观察一列数1,4,9,16,25,36…第n个数是( )(2)观察一列数4,9,16,25,36…第n个数是( )二、平方数列规律：基本方法：把第一项拆为（序数+某数）2例：3，8,15，24，35，…练一练：（1）9，16，25，36，。

聚焦泰安类型一 数式规律(2016·绥化)古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a 1，第二个三角数记为a 2，…第n 个三角数记为a n ，计算a 1＋a 2，a 2＋a 3，a 3＋a 4，…，由此推算a 399＋a 400＝ ．1．(2017·遵义)按一定规律排列的一列数依次为23，1，87，119，1411，1713，…，按此规律，这列数中的第100个数是__________． 类型二 图形规律这类题目通常是给出一组图形的排列(或通过操作得到一系列的图形)，探求图形的变化规律，以图形为载体考查图形所蕴含的数量关系．解决此类问题：先观察图案的变化趋势是增加还是减少，然后从第一个图形进行分析，运用从特殊到一般的探索方式，分析归纳找出增加或减少的变化规律，并用含有字母的代数式进行表示，最后用代入法求出特殊情况下的数值．(2016·重庆)下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为( )A ．64B ．77C ．80D ．85【分析】 观察图形特点，可将图形分为两部分：上面的三角形和下面的正方形，因此小圆圈的个数分别是3＋12，6＋22，10＋32，15＋42，…，据此总结出规律求解即可．3．(2017·随州)在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数(n)和芍药的数量规律，那么当n ＝11时，芍药的数量为( )A ．84株B ．88株C ．92株D ．121株4．(2017·绵阳)如图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a 1，第2幅图形中“●”的个数为a 2，第3幅图形中“●”的个数为a 3，…，以此类推，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 19的值为( )A.2021B.6184C.589840D.431760 类型三 点的坐标规律这类问题要求探索图形在运动过程中的规律，通常以平面直角坐标系为载体探索点的坐标的变化规律．解答时，应先写出前几次的变化过程，并将相邻两次的变化过程进行比对，明确哪些地方发生了变化，哪些地方没有发生变化，逐步发现规律，从而使问题得以解决．(2017·东营)如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y ＝33x －33与x 轴交于点B1，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l 于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，则点A2 017的横坐标是．【分析】利用直线的表达式及等边三角形的性质计算出A1，A2，A3，A4的横坐标，得出规律，写出A2 017的横坐标即可．5．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3…都在x轴上，点B1，B2，B3…都在直线y＝x上，△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，且OA1＝1，则点B2 018的坐标是( )A．(22 017，22 017) B．(22 018，22 018)C．(22 017，22 018) D．(22 018，22 017)6．(2017·安顺)如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x＋2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A 1OB 1，△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x 轴上，则第n 个等腰直角三角形A n B n －1B n 的顶点B n 的横坐标为_________.参考答案【聚焦泰安】【例1】 ∵a 1＋a 2＝1＋3＝4＝22，a 2＋a 3＝3＋6＝9＝32，a 3＋a 4＝6＋10＝16＝42，…，∴a n ＋a n ＋1＝(n ＋1)2.∴a 399＋a 400＝4002＝160 000.故答案为160 000. 变式训练 1. 299201 2.nn ＋1【例2】 通过观察，得到小圆圈的个数分别是： 第①个图形：3＋12＝（1＋2）×22＋12＝4；第③个图形：10＋32＝（1＋4）×42＋32＝19；第④个图形：15＋42＝（1＋5）×52＋42＝31；…所以第n 个图形：（n ＋1）（n ＋2）2＋n 2.当n ＝7时，图中小圆圈的个数为（7＋2）（7＋1）2＋72＝85.故选D .变式训练 3.B 4.C【例3】 由直线l ：y ＝33x －33与x 轴交于点B 1，可得B 1(1，0)，D(0，－33)，∴OB 1＝1，∠OB 1D ＝30°.如图，过A 1作A 1A⊥OB 1于A ，则OA ＝12OB 1＝12，由题可得∠A 1B 2B 1＝∠OB 1D ＝30°， ∠B 2A 1B 1＝∠A 1B 1O ＝60°，∴∠A 1B 1B 2＝90°，∴A 1B 2＝2A 1B 1＝2. 过A 2作A 2B⊥A 1B 2于B ，则A 1B ＝12A 1B 2＝1，即A 2的横坐标为12＋1＝32＝22－12.过A 3作A 3C⊥A 2B 3于C ，同理可得，A 2B 3＝2A 2B 2＝4，A 2C ＝12A 2B 3＝2，即A 3的横坐标为12＋1＋2＝72＝23－12.同理可得，A 4的横坐标为12＋1＋2＋4＝152＝24－12，由此可得，A n 的横坐标为2n －12，∴点A 2 017的横坐标为22 017－12.故答案为22 017－12.变式训练 5.A 6.2n ＋1－2。

初中数学专题复习学案（六）规律探索问题数学规律一直以来是中学数学教材经常出现的类型题，通过观察、发现、总结以及推理来探究图形或者数字之间的序列关系，新课标明确要求：用代数式表示数量关系及所反映的规律，培养学生的抽象思维能力,根据一列数或一组图形的特例进行归纳、猜想，找出一般规律，进而列出通用的代数式，称为规律探究。

探究规律题在历年的中考或学业水平考试中屡见不鲜，考查频繁，往往出现在选择题或填空题的压轴题中.以下为规律探索题的总结和归纳.【基本模型】模型1. 数字（式）规律解题技巧：一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横向比(比较同一代数式、等式或不等式中不同部分的数量关系)或纵向比(比较分不同代数式、等式和不等式间相同位置的数量关系)找出各部分的特征，改写成要求的格式。

【典型例题】例1.（2019滨州）观察下列一组数：a 1= 13 ，a 2= 35 ，a 3=6 9 ，a 4= 1017 ,a 5= 1533 ，… .它们是按一定规律排列的，请利用其中规律写出第n 个数:a n = (用含n 的式子表示) 【变式训练】变式1．（2020滨州）观察下列各式：1234523101526,,,,,357911a a a a a =====， 根据其中的规律可得n a =________（用含n 的式子表示）变式2．(2019枣庄) 观察下列各式：11111122⎛⎫+=+- ⎪⨯⎝⎭；111112323⎛⎫=+=+- ⎪⨯⎝⎭；111113434⎛⎫=+=+- ⎪⨯⎝⎭ ……请利用你发现的规律，计算:12018++其结果为________________.变式3．（2020泰安）右表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第一个数记为1a ，第二个数记为2a ，第三个数记为3a ，……，第n 个数记为n a ，则4200a a +=_________．【基本模型】模型2. 图形变化规律解题技巧：解题时，首先要从已知图形入手，观察图形随着“序号”或“编号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上的变化情况或图形的变化情况，找出变化的规律，从而推出一般性结论探索图形面积变化规律时，一般需要抓住图形面积的增减变化特点，进行分析、猜想归纳、验证，进而得出结果.例1.（2018烟台）如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆下去，第n个图形中有120朵玫瑰花，则n的值为（）A.28B.29C.30D.31【变式训练】变式1．小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案(如图所示),每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字,寓意“不忘初心”.其中第(1)个图案中有1个正方体,第(2)个图案中有3个正方体,第(3)个图案中有6个正方体，……按照此规律，从第(100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是（）A.1100B.120C.1101D.2101变式2．用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第10个图案中共有圆点的个数是（）A.59B.65C.70D.71模型3. 点的坐标变化规律解题技巧：点的坐标发生变化主要是点所在的图形发生变化，解决这类问题，应先分析坐标系中图形的变化规律，然后根据图形的变化规律寻找图形上点的坐标的变化规律.【典型例题】例1.（2018潍坊）如图，点A 1的坐标为(2,0)，过点A 1作x 轴的垂线交直线l ：y=√3x 于点B 1，以原点O 为圆心OB 1的长为半径画弧交x 轴正半轴于点A 2：再过点A 2作x 轴的垂线交直线l 于点B 2，以原点O 为圆心，以OB 2的长为半径画弧交x 轴正半轴于点A 3；按此作法进行下去，则 的长是 .【变式训练】变式1．（2019泰安）在平面直角坐标系中,直线l :y=x+1与y 轴交于点A 1，如图所示,依次作正方形OA 1B 1C 1、正方形C 1A 2B 2C 2、正方形C 2A 3B 3C 3、正方形C 3A 4B 4C 4、…，点A 1，A 2，A 3，A 4，…在直线l上,点C 1，C 2，C 3，C 4，…在x 轴正半轴上，则前n 个正方形对角线长的和是 .变式2．（2019潍坊）如图所示，在平面直角坐标系xoy 中，一组同心圆的圆心为坐标原点O ，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，l 0，l 1，l 2，l 3，…都与x 轴垂直，相邻两直线的间距为1，其中l 0与y 轴重合若半径为2的圆与l 1在第一象限内交于点P 1，半径为3的圆与l 2在第一象限内交于点P 2，…，半径为n +1的圆与l n 在第一象限内交于点，则点P n 的坐标为__________．（n 为正整数）20192018A B【专题检测评价】1.(2020德州)如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（）A．148B．152C．174D．2022.（2020•潍坊）如图，四边形ABCD是正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的．其中：的圆心为点A，半径为AD；的圆心为点B，半径为BA1；的圆心为点C，半径为CB1；的圆心为点D，半径为DC1；，…的圆心依次按点A，B，C，D循环．若正方形ABCD的边长为1，则的长是．。

初中数学规律性问题归纳●【教学目标】理解并掌握规律探究性问题的方法 ●【重点难点】理解并掌握规律探究性问题的方法●【基础知识】专题诠释规律探索型题是根据已知条件或题干所提供的若干特例，通过观察、类比、归纳，发现题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题。

这类问题在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都比较新颖新。

其目的是考查学生收集、分析数据，处理信息的能力。

所以规律探索型问题备受命题专家的青睐，逐渐成为中考数学的热门考题。

解题策略和解法精讲规律探索型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律．它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力．题型可涉及填空、选择或解答．。

●【例题讲解】(一) 与数与式有关的规律探究性问题例1 一组按规律排列的式子：－b 2a ，b 5a 2，－b 8a 3，b 11a 4，…(ab ≠0)，其中第7个式子是________，第n 个式子是______________(n 为正整数)．[解析] 第7个式子是－b 20a 7，第n 个式子是(－1)n b 3n －1an .观察给出的一列数，发现这一列数的分母a 的指数分别是1、2、3、4、…，与这列数的项数相同，故第7个式子的分母是a 7，第n 个式子的分母是a n ；这一列数的分子b 的指数分别是2、5、8、11、…，这一组数首项为2，从第二项起，每一项与它的前一项的差等于3，第n 项应为2＋3(n －1)＝3n －1.故第7个式子的分子是b 3×7－1＝b 20，第n 个式子的分子是b 3n －1；特别要注意的是这列数字每一项的符号，它们的规律是奇数项为负，偶数项为正，故第7个式子的符号为负，第n 个式子的符号为()－1n.例2 小东玩一种“挪珠子”游戏，根据挪动珠子的难度不同而得分不同，规定每次挪动珠子的颗数与所得分数的对应关系如下表所示：按表中规律，当所得分数为71分时，则挪动的珠子数为________颗； 当挪动n 颗珠子时(n 为大于1的整数), 所得分数为___________(用含n 的代数式表示)．[解析] 从表格中能看出所得分数为5、11、19、29、41….从上图中，我们能看出这一组数的增幅不相等，但是增幅以2的幅度在增加，∴所得分数是挪动珠子数的二次函数．设挪动n 颗珠子时(n 为大于1的整数), 所得分数为y n ＝an 2＋bn ＋c ， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝5，9a ＋3b ＋c ＝11，16a ＋4b ＋c ＝19，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，c ＝－1，∴y n ＝n 2＋n －1. 令y n ＝71，解得n ＝8.例3 如图Z2－1为手的示意图，在各个手指间标记字母A ，B ，C ，D .请你按图中箭头所指方向(即A →B →C →D →C →B →A →B →C →…的方式)，从A 开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是_____； 当字母C 第201次出现时，恰好 数到的数是______；当字母C 第 2n ＋1次出现时(n 为正整数)， 恰好数到的数是________(用含n 的代数式表示)．[解析] 通过对字母观察可知：前六个字母为一组，后边就是这组字母反复出现.12除以6刚好余数为零，则表示这组字母刚好出现两次，∴最后一个字母应该是B .当字母C 第201次出现时，由于每组字母中C 出现两次，则这组字母应该出现100次后还要加一次C 字母出现，而第一个C 字母在第三个出现，∴100×6＋3＝603.当字母C 第2n ＋1次出现时，则这组字母应该出现2n 次后还要加一次C 字母出现，∴应该是n ×6＋3＝6n ＋3.例4 如图Z2－2所示，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，过直角顶点C 作CA 1⊥AB ，垂足为A 1，再过A 1作A 1C 1⊥BC ，垂足为C 1，过C 1作C 1A 2⊥AB ，垂足为A 2，再过A 2作A 2C 2⊥BC ，垂足为C 2，…，这样一直作下去，得到了一组线段CA 1，A 1C 1，C 1A 2，A 2C 2，…，A n C n ，则A 1C 1＝______，A n C n ＝__6·⎝⎛⎭⎫452n ______．[解析] 在Rt △ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，利用勾股定理得AB ＝10，可由△A 1CA ∽△CBA 计算得CA 1＝245(也可由Rt △ABC 斜边上的高h ＝ab c 求得)，同理可求A 1C 1＝9625，A n C n＝6·⎝⎛⎭⎫452n . 例5例5 在平面直角坐标系xOy 中，我们把横A (0，4)，点B 是x 轴正半轴上的整点，记△AOB 内部(时，点B 的横坐标的所有可能值是__________；当点B ________(用含n 的代数式表示)．[解析] 根据题意画出图形，再找出点B 之间的关系．当点B 在(3，0)点或(4，0)点时，△AOB 内部(共三个点，∴当m ＝3时，点B 的横坐标的所有可能值是3或学生通过在试卷上精确作图，能够发现当n ＝1时，点B 的横坐标为4，此时m ＝3；当n ＝2时，点B 的横坐标为8，此时m ＝9；当n ＝3时，点B 的横坐标为12，此时m ＝15.我们能够发现3、9、15为首项为3，公差为6的等差数列，很容易能够得到6n －3.此类题解答的关键是先练后想，通过精确作图，列出关于两个变量变化情况的表格，再通过寻找数式规律得到解答．例6 在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图Z2－4所示，点A 的坐标为(1，0)，点D 的坐标为(0，2)．延长CB 交x 轴于点A 1，作正方形A 1B 1C 1C ；延长C 1B 1交x 轴于点A 2，作正方形A 2B 2C 2C 1…按这样的规律进行下去，第3个正方形的面积为________；第n 个正方形的面积为________(用含n 的代数式表示).[解析] 观察图形可知，正方形都相似，△A 1B 1A 2∽△A 2B 2A 3， 这些三角形的三边比等于1∶2∶5，可求出A 1B 1∶AB ＝2∶3. 同理可知每一个正方形与后一个正方形的相似比等于3∶2，∵第1 个正方形的面积为5，∴2个正方形的面积为5(32)2，第3个正方形的面积为5(32)4，第n 个正方形的面积为5⎝⎛⎭⎫322n －2以平面直角坐标系为载体的规律探究性问题，体现了“数”与“形”的完美结合．在坐标系中研究几何图形，实现线段长度和点的坐标的正确转换是关键，要注重横、纵坐标两者各自变化的规律以及两者之间的关系．解决问题的方法与前两种类型一致．例7 在下表中，我们把第i 行第j 列的数记为a i ，j (其中i ，j 都是不大于5的正整数)，对于表中的每个数a i ，j 规定如下：当i ≥j 时，a i ，j ＝1；当i <j 时，a i ，j ＝0.例如：当i ＝2，j ＝1时，a i ，j ＝a 2，1＝1.按此规定，a 1，3＝________；表中的25个数中，共有________个1；计算a 1，1·a i ，1＋a 1，2·a i ，2＋a 1，3·a i ，3＋a 1，4·a i ，4＋a 1，5·a i ，5的值为________．[解析] 因为1<3，根据规定，当i <j 时，a i ，j ＝0，所以 a 1，3＝0；按照方格中排序可知，满足i ＝j 的恰好为对角线 上的五个数，从而可知i ≥j 的数共有15个；第3空按规律 可知后四项都为0，因此结果为1.定义新运算是指用一种新的运算符号或表达式表示一种新的运算规则，解决此类题的关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计[达标检测]A 组1..对于任意两个实数对（a ，b ）和（c ，d ），规定：当且仅当a ＝c 且b ＝d 时， （a ，b ）=（c ，d ）．定义运算“⊗”：（a ，b ）⊗（c ，d ）=（ac －bd ，ad ＋bc ）．若（1，2）⊗（p ，q ）=（5，0），则p ＝ ，q ＝ ．2. 在平面直角坐标系xOy 中, 正方形A 1B 1C 1O 、A 2B 2C 2B 1、A 3B 3C 3B 2, …,按如图所示的方式放置. 点A 1、A 2、A 3, …和 B 1、B 2、B 3, … 分别在直线y=kx+b 和x 轴上. 已知C 1(1, -1), C 2(23,27-), 则点A 3的坐标是 .第2题 第3题3、将边长分别为1、2、3、4……19、20的正方形置于直角坐标系第一象限，如 图中方式叠放，则按图示规律排列的所有阴影部分的面积之和为 ▲ .4、若x 是不等于1的实数，我们把11x -称为x 的差倒数，如2的差倒数是1112=--，1-的差倒数为111(1)2=--，现已知11x 3=-，2x 是1x 的差倒数，3x 是2x 的差倒数，4x 是3x 的差倒数，……，依次类推，则2012x = ▲ ．5、观察图给出的四个点阵，s 表示每个点阵中的点的个数，按照图形中的点的个数变化规律，猜想第n 个点阵中的点的个数s 为（ ）A.3n ﹣2B.3n ﹣1C.4n +1D.4n ﹣3B 组6、如图所示，直线y ＝x ＋1与y 轴相交于点A 1，以OA 1为边作正方形OA 1B 1C 1，记作第一个正方形；然后延长C 1B 1与直线y ＝x ＋1相交于点A 2，再以C 1A 2为边作正方形C 1A 2B 2C 2，记作第二个正方形；同样延长C 2B 2与直线y ＝x ＋1相交于点A 3，再以C 2A 3为边作正方形C 2A 3B 3C 3，记作第三个正方形；…，依此类推，则第n 个正方形的边长为_________．6题7、设12211=112S ++,22211=123S ++,32211=134S ++,…, 2211=1(1)n S n n +++，设S …S=_______________ (用含n 的代数式表示，其中n 为正整数)。

第二部分专题复习专题一规律题探索专题考纲要求探索规律型问题：指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形或是给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察、分析、推理，探求其中所隐含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．常见的类型有三种：(1)数与式变化规律型；(2)图形变化规律型；(3)猜想论证型．这种类型的解题方法和步骤有三步：(1)通过对几个特例的观察与分析，寻找规律并进行归纳；(2)猜想符合规律的一般性结论；(3)对一般性结论进行【课堂精讲】例1观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是＿＿．数字的变化类，观察已知一组数发现：分子为从1开始的连线奇数，分母为从2开始的连线正整数的平方，写出第n个数即可．解答：解：根据题意得：这一组数的第n个数是．故答案为：．点评：此题考查了数字规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．例2.如图，是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭n条“金鱼”需要火柴________根．分析：图形规律，观察图形发现：搭1条金鱼需要火柴8根，搭2条金鱼需要14根，即发现了每多搭1条金鱼，需要多用6根火柴．则搭n条“金鱼”需要火柴8+6（n-1）=6n+2．点评：此题考查了图形规律型：图形的变化类，弄清题中的递增规律是解本题的关键．例3. 正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y=x+1和x轴上，则点B6的坐标是．解答：解：∵直线y=x+1，x=0时，y=1，∴A1B1=1，点B2的坐标为（3，2），∴A2的纵坐标是：1+1=21，A2的横坐标是：1=21﹣1，∴A3的纵坐标是：2+2=4=22，A3的横坐标是：1+2=3=22﹣1，∴A4的纵坐标是：4+4=8=23，A4的横坐标是：1+2+4=7=23﹣1，即点A4的坐标为（7，8）．据此可以得到A n的纵坐标是：2n﹣1，横坐标是：2n﹣1﹣1．即点A n的坐标为（2n﹣1﹣1，2n﹣1）．∴点A6的坐标为（25﹣1，25）．∴点B6的坐标是：（26﹣1，25）即（63，32）．故答案为：（63，32）．此题主要考查了一次函数图象上点的坐标性质和坐标的变化规律，正确得到点的坐标的规律是解题的关键．②42－4×2＝22＋4；③52－4×3＝32＋4；…则第n个等式可以表示为__________________2.阅读下列材料：1×2＝13(1×2×3－0×1×2)， 2×3＝13(2×3×4－1×2×3)， 3×4＝13(3×4×5－2×3×4)， 由以上三个等式相加，可得1×2＋2×3＋3×4＝13×3×4×5＝20. 读完以上材料，请你计算下各题：(1)1×2＋2×3＋3×4＋…＋10×11(写出过程)；(2)1×2＋2×3＋3×4＋…＋n ×(n ＋1)＝________；(3)1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋7×8×9＝________.3.如下图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n (n 是大于0的整数)个图形需要黑色棋子的个数是________4.如图，在等腰Rt △OAA 1中，∠OAA 1=90°，OA =1，以OA 1为直角边作等腰Rt △OA 1A 2，以OA 2为直角边作等腰Rt △OA 2A 3，…则OA 4的长度为 ．5. 如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺时针旋转到△AB 1C 1的位置，点B 、O 分别落在点B 1、C 1处，点B 1在x 轴上，再将△AB 1C 1绕点B 1顺时针旋转到△A 1B 1C 2的位置，点C 2在x 轴上，将△A 1B 1C 2绕点C 2顺时针旋转到△A 2B 2C 2的位置，点A 2在x 轴上，依次进行下去…．若点A （，0），B （0，4），则点B 2014的横坐标为 ．6.有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2014次后，骰子朝下一面的点数是．【高效作业本】专题一规律题探究专题1如图，按此规律，第6行最后一个数字是，第行最后一个数是2014．2.观察分析下列数据：0，﹣，，﹣3，2，﹣，3，…，根据数据排列的规律得到第16个数据应是（结果需化简）．3.如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，…，则第n（n为正整数）个图案由个▲组成．4.观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第5个图中共有点的个数是（）A．31B．46C．51D．66)．A ．38B ．52C ．66D ．746．如右图，物体从点A 出发，按照A →B (第1步)→C (第2步)→D →A →E →F →G →A →B →…的 顺序循环运动．则第2011步到达的点处是( )A ．A 点B ．B 点C ．D 点 D ．F 点7.为了求1+2+22+23+…+2100的值，可令S=1+2+22+23+…+2100，则2S=2+22+23+24+…+2101，因此2S ﹣S=2101﹣1，所以S=2101﹣1，即1+2+22+23+…+2100=2101﹣1，仿照以上推理计算1+3+32+33+…+32014的值．【答案】专题一 规律题探索专题1.：(n ＋2)2－4n ＝n2＋42. 解析：(1)∵1×2＝13(1×2×3－0×1×2) 2×3＝13(2×3×4－1×2×3) ⋮10×11＝13(10×11×12－9×10×11) ∴以上各式相加得1×2＋2×3＋…＋10×11＝13×10×11×12＝440. (2)13n (n ＋1)(n ＋2)． (3)14×7×8×9×10＝1 260.3. n(n ＋2)解：∵△OAA1为等腰直角三角形，OA=1，∴AA1=OA=1，OA1=OA=；∵△OA1A2为等腰直角三角形，∴A1A2=OA1=，OA2=OA1=2；∵△OA2A3为等腰直角三角形，∴A2A3=OA2=2，OA3=OA2=2；∵△OA3A4为等腰直角三角形，∴A3A4=OA3=2，OA4=OA3=8．故答案为：8．点评：此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定理得出是解题5.解：由题意可得：∵AO=，BO=4，∴AB=，∴OA+AB1+B1C2=++4=6+4=10，∴B2的横坐标为：10，B4的横坐标为：2×10=20，∴点B2014的横坐标为：×10=10070．故答案为：10070．点评：此题主要考查了点的坐标以及图形变化类，根据题意得出B点横坐标变化规律是解题关键．2.解：由题意知道：题目中的数据可以整理为：，（﹣1）2+1，…（﹣1n+1），故答案为：．3.解：观察发现：第一个图形有3×2﹣3+1=4个三角形；第二个图形有3×3﹣3+1=7个三角形；第一个图形有3×4﹣3+1=10个三角形；…第n个图形有3（n+1）﹣3+1=3n+1个三角形；故答案为：3n+1．4..解：第1个图中共有1+1×3=4个点，第2个图中共有1+1×3+2×3=10个点，第3个图中共有1+1×3+2×3+3×3=19个点，…第n个图有1+1×3+2×3+3×3+…+3n个点．故选：B．5. D6. C7.解：设M=1+3+32+33+…+32014 ①，①式两边都乘以3，得3M=3+32+33+…+32015 ②．②﹣①得2M=32015﹣1，两边都除以2，得M=，故答案为：．。