同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方练习

幂的运算1、同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加.公式表示为：()mnm na a am n +⋅=、为正整数同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即()m n p m m p a a a a m n p ++⋅⋅=、、为正整数注意：〔1〕同底数幂的乘法中，首先要找出一样的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数.〔2〕 在进展同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转化为一样的底数，再按法那么进展计算.例1： 计算列以下各题 〔1〕 34a a ⋅； 〔2〕 23b b b ⋅⋅ ； 〔3〕 ()()()24c c c -⋅-⋅-练习：简单 一选择题1. 以下计算正确的选项是( )A.ａ2+ａ3=ａ5B.ａ2·ａ3=ａ5C.3m +2m =5mD.ａ2+ａ2=2ａ42. 以下计算错误的选项是( )A.5ｘ2-ｘ2=4ｘ2B.ａm +ａm =2ａmC.3m +2m =5mD.ｘ·ｘ2m-1= ｘ2m3. 以下四个算式中①ａ3·ａ3=2ａ3 ②ｘ3+ｘ3=ｘ6 ③ｂ3·ｂ·ｂ2=ｂ5④p 2+p 2+p 2=3p 2正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4. 以下各题中，计算结果写成底数为10的幂的形式，其中正确的选项是( ) A.100×102=103 B.1000×1010=103C.100×103=105D.100×1000=104二、填空题1. ａ4·ａ4=_______；ａ4＋ａ4=_______。

2、 b 2·b ·b 7=________。

3、103·_______=1010 4、(-ａ)2·(-ａ)3·ａ5=__________。

5、ａ5·ａ( )=ａ2·( ) 4=ａ186、(ａ+1)2·(1+ａ)·(ａ+1)5=__________。

同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方复习卷 2014.9.班级___________姓名___________学号___________得分___________1．同底数幂的乘法知识点：法则：同底数幂相乘，____________________________________.字母表示：m n a a = m n （、为正整数）逆用法则：=+n m a __________m n （、为正整数）练习：一．判断题1．325x x x += （ ） 2．5210x x x = （ ） 3．279a a a a = （） 4．4442m m m = （ ） 5．57y y y y = （ ）二．填空题：（1）53m m =_______ （2）26a a - =_______ （3）26()a a -=_______（4）5522+=________二．计算题（1）35(2)(2)(2)b b b +++ （2）23(2)(2)x y y x --（3）3534x x x x x + （4）[]234(21)(21)(21)(21)x x x x --+---三、 一种计算机每秒可做8410⨯次运算，它工作3310⨯秒共可做多少次运算？四、 解答题：（1）若53=a ，63=b ，求b a +3的值 （2）若62=-a m ,115=+b m ,求3++b a m 的值知识点：法则：幂的乘方，____________________________________.字母表示：nm a )(= m n （、为正整数）逆用法则：）（）（)()(n m mn a a a ==m n （、为正整数） 练习：一．计算题(1)(103)3 (2)(x 4)3 (3)43)(-x （4）[]43)(x -(5)(a 2)3·a 5 (6)(x 2)8·(x 4)4 （7） 1415()()m m b b +-=（8）3223()()x x -- （9）()=-+-2332)(a a （10） 3423()()x y x y ⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦二．解答题：（1）若52=n ，求n 28的值 （2）若63=a ，5027=b ，求a b +33的值（3）已知105,106a b ==，求2310a b +的值 （4）若0542=-+y x ，求y x 164⋅的值知识点：法则：积的乘方，____________________________________.字母表示：m ab )(= m n （、为正整数）逆用法则：=m m b a _________ m n （、为正整数）练习：一．计算题（1）(-3x)3 (2) (-5ab)2 (3) (x ·y 2)2 (4) (-2x ·y 3z 2)4（5）a 3·a 4·a+(a 2)4+(-2a 4)2 (6)2(x 3)2·x 3-(3x 3)3+(5x)2·x 7二．用简便方法计算（1）2⨯1001001（）2 （2）49⨯841（）7 （3）201020092010)2.1()65()1(-⨯⨯-三、解答题（1）若13310052+++=⨯x x x ， 求x 的值 （2）已知332=-b a ，求96b a 的值。

专题11 同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方考点一 同底数幂相乘 考点二 同底数幂乘法的逆用考点三 幂的乘方运算 考点四 幂的乘方的逆用考点五 幂的混合运算 考点六 积的乘方运算考点七 积的乘方的逆用考点一 同底数幂相乘 例题：（2022·河南平顶山·七年级期末）计算：44a a ⋅=______．【答案】8a【分析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，进行运算即可．【详解】解：448a a a ⋅=，故答案为：8a ．【点睛】此题考查同底数幂的乘法，解题关键在于掌握运算法则并熟练计算．【变式训练】 1．（2022·湖南·新化县东方文武学校七年级期中）5a a -⋅=________________．【答案】6a -【分析】根据同底数的乘法进行计算即可求解．【详解】解：56a a a -⋅=-，故答案为：6a -．【点睛】本题考查了同底数幂相乘，掌握运算法则是解题关键．2．（2022·湖南省岳阳开发区长岭中学七年级期中）计算：2323m m ⋅= ____________．【答案】56m【分析】根据同底数幂乘法来进行计算求解．【详解】解：2323523236m m m m +⋅=⨯⨯=．答案为：56m ．【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法的运算法则，理解同底数幂相乘，底数不变，指点数相加是解答关键．3．（2022·山东·北辛中学七年级阶段练习）()()34--b a a b ⋅＝_____．【答案】()7b a -【分析】根据同底数幂乘法的计算法则求解即可．【详解】解：()()34b a a b -⋅- ()()34b a b a =-⋅- ()7b a =-，故答案为：()7b a -．【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法，熟知同底数幂乘法底数不变，指数相加减是解题的关键．考点二 同底数幂乘法的逆用例题：（2022·广东·高州市第一中学附属实验中学七年级阶段练习）已知 32m =，35n =，则3m n +=____【答案】10【分析】根据同底数幂的乘法的逆运算可得答案．【详解】解：32m =，35n =，3332510m n m n +∴=⨯=⋅=，故答案为：10．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，解题的关键是掌握相应的运算法则．【变式训练】1．（2022·江苏·江阴市青阳初级中学七年级阶段练习）已知3,4a b x x ==，a b x +的值是_______．【答案】12【分析】根据同底数幂相乘的逆运算，即可求解．【详解】解：∵3,4a b x x ==，∵3412a b a b x x x +=⋅=⨯=．故答案为：12【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘的逆运算，熟练掌握m nm n a a a a （其中m ，n 为正整数）是解题的关键．2．（2022·江苏·南师附中新城初中黄山路分校七年级期中）若5m a =，2n a =，则2m n a +=______．【答案】20【分析】根据m n a a a =m n +（m ，n 是正整数）可得22m n m n m n n a a a a a a +==，再代入5m a =，2n a =计算即可．【详解】解：2252220m n m n m n n a a a a a a +===⨯⨯=，故答案为：20．【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法，关键是掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．考点三 幂的乘方运算例题：（2022·湖南永州·七年级期中）计算()42=x ______． 【答案】8x【分析】根据幂的乘方法则求解即可．【详解】解：()42248x x x ⨯==． 故答案为：8x ．【点睛】本题考查了幂的运算法则，掌握幂的乘方法则是解本题的关键．【变式训练】 1．（2022·福建·晋江市南侨中学八年级阶段练习）当24m =时，则8m =_____【答案】64【分析】先将8改成32，再用幂的乘方公式将8m 化为()32m ，最后将24m =代入计算即可；也可以利用24m =求出m ，代入8m 计算．【详解】解法一：∵24m =，∵()()33338222464m m m m =====． 解法二：∵2242m ==，∵2m =，∵28864m ==．故答案为：64．【点睛】本题考查幂的乘方公式，掌握幂的乘方公式是解题的关键．由于数字的特殊性导致m 的值可求，但解法一适用范围更广更需掌握．2．（2022·河北·顺平县腰山镇第一初级中学一模）已知2m ＝8n ＝4，则m ＝_____，2m+3n ＝_____．【答案】 2 16【分析】先求得m ，n 的值，再代入代数式计算即可．【详解】∵()33822nn n ==，242=， ∵32222m n ==，∵32m n ==，∵322422216m n ++===，故答案为：2；16．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法和乘方，熟练掌握运算性质是解题的关键． 3．（2022·江西抚州·七年级期中）已知：23m =，325n =，则52m n +=______．【答案】15【分析】利用同底数幂的乘法法则的逆运算及幂的乘方的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．【详解】解：∵23m =，53225n n ==，∵552223515m n m n +=⨯=⨯=；故答案为：15．【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法的逆运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．考点四 幂的乘方的逆用例题：（2022·广东·佛山市顺德区勒流育贤实验学校七年级期中）已知93m =，274n =，则233m n +＝（ ） A ．24B ．36C ．48D ．12【答案】D【分析】利用幂的乘方的法则对已知条件进行整理，再利用同底数幂的乘法的法则对所求的式子进行运算即可．【详解】解：∵93m =，274n =，∵233m =，334n =∵2323333m n m n +=⨯34=⨯ 12=．故选：D ．【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方，解答的关键是熟记相应的运算法则并灵活运用．【变式训练】 1．（2021·河北·石家庄市藁城区尚西中学八年级阶段练习）已知5x a =，250xy a ，则y a ＝（ ） A ．10B ．5C ．2D ．40 【答案】C【分析】逆向运用同底数幂的乘法法则可得22xy x y a a a ，再根据幂的乘方运算法则求解即可． 【详解】解：∵5x a =，250xy a ， ∵22250x y x y x y a a a a a ，∵2550y a ，∵25052y a ．故选：C ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方．掌握幂的运算法则是解答本题的关键．2．（2021·浙江·嵊州市马寅初初级中学七年级期中）已知3181a =，4127b =，619c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．a b c <<D ．b c a >>【答案】A【分析】根据幂的乘方是逆运算将各数的底数变为相同的数字，进而比较即可．【详解】解：∵3181a ==962=3124，4127b ==3123，619c ==3122，∵a >b >c ，故选：A ．【点睛】此题考查了幂的乘方的运算法则，熟记法则是解题的关键．考点五 幂的混合运算例题：（2022·安徽阜阳·八年级期末）计算:()()4273342a a a a -⋅-÷； 【答案】0【分析】先计算积的乘方与幂的乘方，再计算同底数除法，然后计算整式的减法即可得．【详解】解：原式273121616a a a a ⋅-÷=991616a a -=0=．【点睛】本题考查了积的乘方与幂的乘方，再计算同底数除法，等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键．【变式训练】 1．（2021·上海市民办新复兴初级中学七年级期末）计算：()()23222n n n a a a ⎡⎤-⋅+-⎣⎦． 【答案】0【分析】先根据幂的乘方计算，计算同底数幂，最后合并，即可求解．【详解】解：原式426660n n n n n a a a a a =⋅-=-=．【点睛】本题主要考查了幂的混合运算，熟练掌握相关幂的运算法则是解题的关键．2．（2022·江苏·七年级专题练习）计算：(1)()3242a a a ⋅+-； (2)()()()345222a a a ⋅÷-； (3)432()()()p q q p p q -÷-⋅-．【答案】(1)0(2)4a -(3)3()p q --【分析】（1）根据同底数幂的乘法和幂的乘方以及合并同类项的计算法则求解即可；（2）根据幂的乘方和同底数幂的除法计算法则求解即可；（3）根据同底数幂的乘除法计算法则求解即可．(1)解：()3242a a a ⋅+- ()66a a =+-66a a =-0=；(2)解：()()()345222a a a ⋅÷- ()6810a a a =⋅÷-4a =-；(3)解：432()()()p q q p p q -÷-⋅-432()()()q p q p q p =-÷-⋅-3()q p =-()3p q =--．【点睛】本题主要考查了幂的混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键．考点六 积的乘方运算 例题：（2022·湖南·测试·编辑教研五七年级期末）计算()232x y 的结果是（ ）A ．8x 6 y 2B ．4 x 6 y 2C ．4 x 5 y 2D ．8 x 5 y 2【答案】B【分析】根据幂的乘方、积的乘方进行运算即可．【详解】解：()()22323226422x y x y x y ==． 故选B ．【点睛】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方等知识点，掌握相关运算法则是解答本题的关键．【变式训练】 1．（2022·安徽·合肥新华实验中学七年级期中）计算423(3)a b -的结果是（ ）A ．1269a b -B ．7527a b -C ．1269a bD ．12627a b - 【答案】D【分析】根据积的乘方运算法则，进行计算即可解答．【详解】解：126423(73)2b a a b --=，故选：D ．【点睛】本题考查了积的乘方，熟练掌握积的乘方运算法则是解题的关键．2．（2021·黑龙江·哈尔滨顺迈学校八年级阶段练习）下列计算正确的是（ ）A ．3332b b b ⋅=B ．()326ab ab = C ．()2510a a = D ．()2349a a a ⋅= 【答案】C【分析】分别根据同底数幂的乘法法则幂的乘方与积的乘方运算法则逐一判断即可．【详解】解：A 、33632b b b b ⋅=≠，故本选项不合题意；B 、()32366ab a b ab =≠，故本选项不合题意； C 、()2510a a =，故本选项符合题意； D 、()234109a a a a ⋅=≠，故本选项不合题意； 故选：C ．【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方运算，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．考点七 积的乘方的逆用 例题：（2021·河南·鹤壁市外国语中学八年级开学考试）计算：(1)已知()3240n a =，求6n a 的值； (2)已知n 为正整数，且27n x =，求()()223234nn x x -的值． 【答案】(1)25(2)2891【分析】（1）由积的乘方公式解题；（2）由积的乘方公式解得()()223234n n x x -23229()4()n n x x =-，再利用整体代入法解题．(1)解：()3322n a =3=40n a 3=5n a ∴322()=5n a ∴6=25n a ∴．(2)()()223234n n x x -26434n n x x =-23229()4()n n x x =-27n x =∴原式3229747(634)72891=⨯-⨯=-⨯=．【点睛】本题考查积的乘方、幂的乘方等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．【变式训练】1．（2021·江苏·南京钟英中学七年级阶段练习）若m n a a =（0a >且1a ≠，m 、n 是正整数），则m n =．利用上面结论解决下面的问题：（1）如果528162x x ÷⋅=，求x 的值；（2）如果212224x x +++=，求x 的值；（3）若53m x =-，425m y =-，用含x 的代数式表示y ．【答案】（1）4x =；（2）2x =；（3）265y x x =---【分析】（1）先,将底数都化为2，再利用同底数幂的乘除法法则计算；（2）利用积的乘方逆运算解答；（3）利用等式的性质及幂的乘方逆运算将式子变形为35m x +=，24255m m y -==，即可得到x 与y 的关系式，由此得到答案．【详解】解：（1）∵528162x x ÷⋅=，∵3452222x x ÷⋅=，∵1345x x -+=，解得4x =；（2）∵212224x x +++=，∵2222224x x ⋅+⋅=，2(42)24x +=，2242x ==，2x =；（3）∵53m x =-，425m y =-，∵35m x +=，24255m m y -==，∵243)(x y +-=，∵223)654(x y x x +=--=--．【点睛】此题考查整式的乘法公式：同底数幂相乘、同底数幂相除、积的乘方以及幂的乘方的计算法则，熟记法则及其逆运算是解题的关键．2．（2020·吉林·长春市第十三中学校七年级期中）已知222()ab a b =，333()ab a b =， 444()ab a b =． （1）当1a =，2b =-时，5()ab = ，55a b = ．（2）当1a =-，10b =时，6()ab = ，66a b = ．（3）观察（1）和（2）的结果，可以得出结论：()n ab = （n 为正整数）．一、选择题1．（2022·湖南·新田县云梯学校七年级阶段练习）下列运算正确的是（ ）A ．235x x x +=B ．3412a a a ⋅=C ．44(2)8x x =D ．()2362x y x y -= 【答案】D【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方、合并同类项法则逐项判断即可得．【详解】解：A 、2x 与3x 不是同类项，无法合并，故错误；n m，即可求解．9,3159,315n m，n m．解得：3,5故选：B【点睛】本题考查了积的乘方的运用，关键是检查学生能否正确运用法则进行计算，题目比较好，但是一【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题的关键．三、解答题9．（2022·福建·晋江市南侨中学八年级阶段练习）计算：(1)322··x x x x + (2)34a a a +()()42242a a +-【答案】(1)2x 4(2)6a 8【分析】（1）先计算同底数幂的乘法，然后合并同类项计算即可；（2）先计算同底数幂的乘法，幂的乘方及积的乘方，然后合并同类项计算即可．（1）解：原式44x x =+42x =； （2）原式8884a a a =++86a =．【点睛】题目主要考查整式的加减运算，同底数幂的乘法，幂的乘方及积的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．10．（2022·重庆市第十一中学校七年级期中）计算：(1)()()3222332x x x x x ⋅⋅+-； (2)()()321422m m a a a +⎡⎤-+⋅⎢⎥⎣⎦． 【答案】(1)0；(2)3321648m m a a ++-+．【分析】(1)利用同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则即可求解；(2)利用积的乘方法则、同底数幂的乘法法则即可求解．(1)解：原式=6662x x x +-6622x x =-0=；(2)解：原式=33264(24)m m a a a +-+⨯⋅42x，，()42)a a --()2 33b ⎛-+-⎝)63278b a b -102+≥，(14．（2022·山东济南·七年级期中）我们定义：三角形 ＝ab •ac ，五角星 ＝z •（xm •yn ）；(1)求 的值；(2)若 ＝4，求 的值．【分析】（1）直接根据新定义的公式，代入即可求解；（2）由条件可得出算式233=4x y ，根据同底数幂的乘法得出+2y 3=4x ，再根据题意得出所求的代数式是2(981)x y ，根据幂的乘方和积的乘方可得242[(3)(3)]x y ，即为+222(3)x y 代入即可求出答案．（1）解：由题意可得，＝31×32＝33＝27；（2）解：∵＝4，∵233=4x y∵+2y 3=4x ，∵=2(981)x y=242[(3)(3)]x y=2222[(3)(3)]x y=222[(33)]x y=+222(3)x y=2×24=2×16=32．【点睛】本题属于自定义题，考查了幂的运算法则的运用，解题的关键是正确识别自定义公式，和灵活运用积的乘方法则．15．（2022·江苏·滨海县振东初级中学七年级阶段练习）阅读下列各式：（ab ）2＝a 2b 2，（ab ）3＝a 3b 3，（ab ）4＝a 4b 4…16．（2022·江苏·南外雨花分校七年级阶段练习）算一算：(1)()()2228233m m m m ⋅⋅－； (2)()()53253a b ⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦； (3)()()453t t t -⋅-⋅-；(4)已知24m n a a ==，，求32m n a +的值；(5)已知2328162x ⨯⨯=，求x 的值．【答案】(1)102m(2)7530a b(3)12t(4)128(5)6【分析】）（1）运用同底数幂乘法公式和幂的乘方公式运算，再合并即可；（2）运用幂的乘方和积的乘方公式运算即可；（3）先确定符号，再用同底数幂乘法公式运算即可；（4）逆用同底数幂乘法公式和幂的乘方公式，再整体代入即可；（5）将等式两边转化成同底数幂，再让指数相等得到一个一元一次方程，解之即可．（1）解：原式1046101010332m m m m m m ⋅===－－；（2）原式()()()5551561567530a b a b a b =⋅=⋅=； （3）原式34512t t t t =⋅⋅=；（4）∵24m n a a ==，，∵()()3232323224816128m n m n m n a a a a a +=⋅=⋅⨯=⨯==； （5）∵2328162x ⨯⨯=，即()34232222x⨯⨯=， ∵352322x +=，∵3523x +=，解得：6x =．【点睛】本题考查了同底数幂乘法公式，积的乘方公式，幂的乘方公式，灵活掌握这三个公式正逆用是解题的关键．。

同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方练习卷同底数幂的乘法同底数幂相乘的法则是：底数不变，指数相加。

例如，a^m * a^n = a^(m+n)。

逆用法则是：a^(m+n) = a^m * a^n。

练：一．判断题1.x^3 + x^2 = x^5 (×)2.x^5 * x^2 = x^10 (√)3.a * a^2 * a^7 = a^9 (√)4.m^4 * m^4 = 2m^4 (×)5.y^y^5 = y^7 (√)二．填空题：1.m^5 * m^3 = m^82.-a^2 * a^6 = -a^83.(-a)^2 * a^6 = a^84.2^5 + 2^5 = 2^6二．计算题1.(b+2)^3 * (b+2)^5 * (b+2) = (b+2)^92.(x-2y)^2 * (2y-x)^3 = (x-2y)^53.x^3 * x^5 + x * x^3 * x^4 = 2x^84.(2x-1)^2 * (2x-1)^3 + (2x-1)^4 * (-2x+1) = (2x-1)^5三、一种计算机每秒可做4×10^8次运算，它工作3×10^3秒共可做多少次运算？总共可做的次数为：4 * 10^8 * 3 * 10^3 = 1.2 * 10^12.四、解答题：1.若3a=5，3b=6，求3a+b的值。

3a+b = 3a * 3b/3a = 5 * 6/3 = 10.2.若ma-2=6，mb+5=11，求ma+b+3的值。

ma+b+3 = ma * mb/ma-2 + 3 = 6 * 11/4 + 3 = 18.75.幂的乘方幂的乘方的法则是：底数不变，指数相乘。

例如，(a^m)^n = a^(m*n)。

逆用法则是：a^(m*n) = (a^m)^n。

练：一．计算题1.(10^3)^3 = 10^92.(x^4)^3 = x^123.(-x^3)^4 = x^124.(-x)^3 * (-x)^2 = -x^55.(a^2)^3 * a^5 = a^116.(x^2)^8 * (x^4)^4 = x^247.(b*m+1)^4 * (b*m-1)^5 = b^9 * m^98.(-x^3)^2 * (-x^2)^3 = -x^109.(-a^2)^3 + (-a)^3 = -2a^3二．解答题：1.若2^x+2^y-5=0，求4*16的值。

人教版八年级数学上册《幂的运算》专项练习题-附含答案一．同底数幂的乘法1．已知2m•2m•8＝211则m＝4．试题分析：将已知中的2m•2m•8化为同底数的幂然后利用同底数幂的乘法法则进行计算再根据指数相同列式求解即可．答案详解：解：2m•2m•8＝2m•2m•23＝2m+m+3∵2m•2m•8＝211∴m+m+3＝11解得m＝4．所以答案是4．2．已知2x+3y﹣2＝0 求9x•27y的值．试题分析：直接利用幂的乘方运算法则将原式变形进而化简得出答案．答案详解：解：∵2x +3y ﹣2＝0∴2x +3y ＝2∴9x •27y ＝32x •33y ＝32x +3y ＝32＝9．3．已知3x +2＝m 用含m 的代数式表示3x （ ）A ．3x ＝m ﹣9B ．3x =m 9C ．3x ＝m ﹣6D ．3x =m 6 试题分析：根据同底数幂的乘法法则解答即可．答案详解：解：∵3x +2＝3x ×32＝m∴3x =m 9． 所以选：B ．二．同底数幂的除法4．已知：3m ＝2 9n ＝3 则3m ﹣2n ＝ 23 ．试题分析：先利用幂的乘方变为同底数幂 再逆用同底数幂的除法求解．答案详解：解：∵9n ＝32n ＝3∴3m ﹣2n ＝3m ÷32n =23所以答案是：23．5．已知m =154344 n =54340 那么2016m ﹣n ＝ 1 ． 试题分析：根据积的乘方的性质将m 的分子转化为以3和5为底数的幂的积 然后化简从而得到m ＝n 再根据任何非零数的零次幂等于1解答．答案详解：解：∵m =154344=34⋅54344=54340 ∴m ＝n∴2016m ﹣n ＝20160＝1． 所以答案是：1．6．已知k a ＝4 k b ＝6 k c ＝9 2b +c •3b +c ＝6a ﹣2 则9a ÷27b ＝ 9 ． 试题分析：先将9a ÷27b 变形 再由k a ＝4 k b ＝6 k c ＝9 2b +c •3b +c ＝6a ﹣2分别得出a b c 的关系式 然后联立得方程组 整体求得（2a ﹣3b ）的值 最后代入将9a ÷27b 变形所得的式子即可得出答案．答案详解：解：9a ÷27b＝（32）a ÷（33）b＝（3）2a ﹣3b∵k a ＝4 k b ＝6 k c ＝9∴k a •k c ＝k b •k b∴k a +c ＝k 2b∴a +c ＝2b ①；∵2b +c •3b +c ＝6a ﹣2∴（2×3）b +c ＝6a ﹣2∴b +c ＝a ﹣2②；联立①②得：{a +c =2b b +c =a −2∴{c =2b −a c =a −2−b∴2b ﹣a ＝a ﹣2﹣b∴2a ﹣3b ＝2∴9a ÷27b＝（3）2a ﹣3b＝32＝9．所以答案是：9．三．幂的乘方与积的乘方（注意整体思想的运用）7．已知2m ＝a 32n ＝b m n 为正整数 则25m +10n ＝ a 5b 2 ．试题分析：根据积的乘方与幂的乘方及同底数幂的乘法的运算法则解答．答案详解：解：∵2m ＝a 32n ＝b∴25m +10n ＝（2m ）5•（25）2n ＝（2m ）5•322n ＝（2m ）5•（32n ）2＝a 5b 2所以答案是：a 5b 2．8．计算：（﹣0.2）100×5101＝ 5 ．试题分析：根据幂的乘方与积的乘方运算法则 将所求的式子变形为（﹣0.2×5）100×5再求解即可．答案详解：解：（﹣0.2）100×5101＝（﹣0.2）100×5100×5＝（﹣0.2×5）100×5＝5所以答案是：5．9．若x+3y﹣3＝0 则2x•8y＝8．试题分析：根据已知条件求得x＝3﹣3y然后根据同底数幂的乘法法则进行解答．答案详解：解：∵x+3y﹣3＝0∴x＝3﹣3y∴2x•8y＝23﹣3y•23y＝23＝8．所以答案是：8．四．幂的运算中的规律10．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22017+22018的值．解：设S＝1+2+22+23+24+…+22017+22018①将等式两边同时乘 2 得2S＝2+22+23+24+25+…+22018+22019②②﹣①得2S﹣S＝22019﹣1 即S＝22019﹣1所以1+2+22+23+24+…+22017+22018＝22019﹣1．请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+…+29+210；（2）1+3+32+33+34+…+3n﹣1+3n（其中n为正整数）．试题分析：（1）直接利用例题将原式变形进而得出答案；（2）直接利用例题将原式变形进而得出答案．答案详解：解：（1）设S＝1+2+22+23+24+ (210)将等式两边同时乘2得：2S＝2+22+23+24+…+210+211②②﹣①得2S﹣S＝211﹣1即S＝211﹣1∴1+2+22+23+24+…+210＝211﹣1．（2）设S＝1+3+32+33+34+…+3n①将等式两边同时乘3得：3S＝3+32+33+34+…+3n+3n+1②②﹣①得3S﹣S＝3n+1﹣1即S=12（3n+1﹣1）∴1+3+32+33+34+…+3n=12（3n+1﹣1）．11．（1）通过计算比较下列各式中两数的大小：（填“＞”、“＜”或“＝”）①12＜21②23＜32③34＞43④45＞54⑤56＞65…（2）由（1）可以猜测n n+1与（n+1）n（n为正整数）的大小关系：当n≤2时n n+1＜（n+1）n；当n≥3时n n+1＞（n+1）n；（3）根据上面的猜想可以知道：20082009＞20092008．试题分析：先要正确计算（1）中的各个数根据计算的结果确定所填的符号观察所填符号总结规律．答案详解：解：（1）①∵12＝1 21＝2∴12＜21②∵23＝8 32＝9∴23＜32③∵34＝81 43＝64∴34＞43④∵45＝1024 54＝625∴45＞54⑤∵56＝15625 65＝7776∴56＞65…（2）由（1）可以猜测n n+1与（n+1）n（n为正整数）的大小关系：当n≤2时n n+1＜（n+1）n；当n≥3时n n+1＞（n+1）n；（3）∵n ＝2008＞3∴20082009＞20092008．12．求1+2﹣1+2﹣2+2﹣3+2﹣4+…+2﹣200的值．试题分析：依据12=1−12 12+14=1−14 12+14+18=1−18 …可得规律12+14+18+⋯+12200=1−12200 进而得到1+2﹣1+2﹣2+2﹣3+2﹣4+…+2﹣200的值．答案详解：解：∵12=1−1212+14=1−1412+14+18=1−18…12+14+18+⋯+12200=1−12200∴1+2﹣1+2﹣2+2﹣3+2﹣4+…+2﹣200＝1+12+14+18+⋯+12200＝1+1−12200＝2−12200．13．探究：22﹣21＝2×21﹣1×21＝2（ 1 ）23﹣22＝ 2×22﹣1×22 ＝2（ 2 ）24﹣23＝ 2×23﹣1×23 ＝2（ 3 ）……（1）请仔细观察 写出第4个等式；（2）请你找规律 写出第n 个等式；（3）计算：21+22+23+…+22019﹣22020．试题分析：（1）根据给出的内容 直接可以仿写25﹣24＝2×24﹣1×24＝24（2）2n +1﹣2n ＝2×2n ﹣1×2n ＝2n（3）将原式进行变形 即提出负号后 就转化为原题中的类型 利用（1）（2）的结论 直接得出结果．答案详解：解：探究：22﹣21＝2×21﹣1×21＝2123﹣22＝2×22﹣1×22＝2224﹣23＝2×23﹣1×23＝23（1）25﹣24＝2×24﹣1×24＝24；（2）2n+1﹣2n＝2×2n﹣1×2n＝2n；（3）原式＝﹣（22020﹣22019﹣22018﹣22017﹣……﹣22﹣2）＝﹣2．所以答案是：1；2×22﹣1×22；2；2×23﹣1×23；3五．新定义14．定义一种新运算（a b）若a c＝b则（a b）＝c例（2 8）＝3 （3 81）＝4．已知（3 5）+（3 7）＝（3 x）则x的值为35．试题分析：设3m＝5 3n＝7 根据新运算定义用m、n表示（3 5）+（3 7）得方程求出x 的值．答案详解：解：设3m＝5 3n＝7依题意（3 5）＝m（3 7）＝n∴（3 5）+（3 7）＝m+n．∴（3 x）＝m+n∴x＝3m+n＝3m×3n＝5×7＝35．所以答案是：35．15．规定两数a b之间的一种运算记作（a b）；如果a c＝b那么（a b）＝c．例如：因为23＝8 所以（2 8）＝3．（1）根据上述规定填空：①（5 125）＝3（﹣2 ﹣32）＝5；②若（x 18）＝﹣3 则x＝2．（2）若（4 5）＝a（4 6）＝b（4 30）＝c试探究a b c之间存在的数量关系；（3）若（m8）+（m3）＝（m t）求t的值．试题分析：（1）①根据新定义的运算进行求解即可；②根据新定义的运算进行求解即可；（2）根据新定义的运算进行求解即可；（3）根据新定义的运算进行求解即可．答案详解：解：①∵53＝125∴（5 125）＝3∵（﹣2）5＝﹣32∴（﹣2 ﹣32）＝5所以答案是：3；5；②由题意得：x﹣3=1 8则x﹣3＝2﹣3∴x＝2所以答案是：2；（2）∵（4 5）＝a（4 6）＝b（4 30）＝c ∴4a＝5 4b＝6 4c＝30∵5×6＝30∴4a•4b＝4c∴a+b＝c．（3）设（m8）＝p（m3）＝q（m t）＝r ∴m p＝8 m q＝3 m r＝t∵（m8）+（m3）＝（m t）∴p+q＝r∴m p+q＝m r∴m p•m r＝m t即8×3＝t∴t＝24．16．规定两数a b之间的一种运算记作（a b）：如果a c＝b那么（a b）＝c．例如：因为23＝8 所以（2 8）＝3．（1）根据上述规定填空：（3 27）＝3（5 1）＝0（2 14）＝﹣2．（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n4n）＝（3 4）小明给出了如下的证明：设（3n4n）＝x则（3n）x＝4n即（3x）n＝4n所以3x＝4 即（3 4）＝x所以（3n4n）＝（3 4）．请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3 4）+（3 5）＝（3 20）试题分析：（1）分别计算左边与右边式子即可做出判断；（2）设（3 4）＝x（3 5）＝y根据同底数幂的乘法法则即可求解．答案详解：解：（1）∵33＝27∴（3 27）＝3；∵50＝1∴（5 1）＝0；∵2﹣2=1 4∴（2 14）＝﹣2；（2）设（3 4）＝x（3 5）＝y则3x＝4 3y＝5∴3x+y＝3x•3y＝20∴（3 20）＝x+y∴（3 4）+（3 5）＝（3 20）．所以答案是：3 0 ﹣2．六．阅读类---紧扣例题化归思想17．阅读下列材料：一般地n个相同的因数a相乘a⋅a⋯a︸n个记为a n．如2×2×2＝23＝8 此时3叫做以2为底8的对数记为log28（即log28＝3）．一般地若a n＝b（a＞0且a≠1 b＞0）则n叫做以a为底b的对数记为log a b（即log a b＝n）．如34＝81 则4叫做以3为底81的对数记为log381（即log381＝4）．（1）计算以下各对数的值：log24＝2log216＝4log264＝6．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；（3）由（2）的结果你能归纳出一个一般性的结论吗？log a M+log a N＝log a（MN）；（a＞0且a≠1 M＞0 N＞0）（4）根据幂的运算法则：a n•a m＝a n+m以及对数的含义证明上述结论．试题分析：首先认真阅读题目准确理解对数的定义把握好对数与指数的关系．（1）根据对数的定义求解；（2）认真观察不难找到规律：4×16＝64 log24+log216＝log264；（3）由特殊到一般得出结论：log a M+log a N＝log a（MN）；（4）首先可设log a M＝b1log a N＝b2再根据幂的运算法则：a n•a m＝a n+m以及对数的含义证明结论．答案详解：解：（1）log24＝2 log216＝4 log264＝6；（2）4×16＝64 log24+log216＝log264；（3）log a M+log a N＝log a（MN）；（4）证明：设log a M＝b1log a N＝b2则a b1=M a b2=N∴MN=a b1⋅a b2=a b1+b2∴b1+b2＝log a（MN）即log a M+log a N＝log a（MN）．18．阅读下列材料：若a3＝2 b5＝3 则a b的大小关系是a＞b（填“＜”或“＞”）．解：因为a15＝（a3）5＝25＝32 b15＝（b5）3＝33＝27 32＞27 所以a15＞b15所以a ＞b ．解答下列问题：（1）上述求解过程中 逆用了哪一条幂的运算性质 CA ．同底数幂的乘法B ．同底数幂的除法C ．幂的乘方D ．积的乘方（2）已知x 7＝2 y 9＝3 试比较x 与y 的大小．试题分析：（1）根据幂的乘方进行解答即可；（2）根据题目所给的求解方法 进行比较．答案详解：解：∵a 15＝（a 3）5＝25＝32 b 15＝（b 5）3＝33＝27 32＞27 所以a 15＞b 15 所以a ＞b 所以答案是：＞；（1）上述求解过程中 逆用了幂的乘方 所以选C ；（2）∵x 63＝（x 7）9＝29＝512 y 63＝（y 9）7＝37＝2187 2187＞512∴x 63＜y 63∴x ＜y ．19．阅读下面一段话 解决后面的问题．观察下面一列数：1 2 4 8 … 我们发现 这一列数从第二项起 每一项与它前一项的比都等于2．一般地 如果一列数从第二项起 每一项与它前一项的比都等于同一个常数 这一列数就叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的比．（1）等比数列5 ﹣15 45 …的第四项是 ﹣135 ．（2）如果一列数a 1 a 2 a 3 a 4 …是等比数列 且公比为q 那么根据上述的规定 有a 2a 1=q ，a 3a 2=q ，a 4a 3= …所以a 2＝a 1q a 3＝a 2q ＝（a 1q ）q ＝a 1q 2 a 4＝a 3q ＝（a 1q 2）q ＝a 1q 3 … a n ＝ a 1q n ﹣1 （用含a 1与q 的代数式表示）．（3）一个等比数列的第二项是10 第三项是20 则它的第一项是 5 第四项是 40 ． 试题分析：（1）由于﹣15÷5＝﹣3 45÷（﹣15）＝﹣3 所以可以根据规律得到第四项．（2）通过观察发现 第n 项是首项a 1乘以公比q 的（n ﹣1）次方 这样就可以推出公式了；（3）由于第二项是10 第三项是20 由此可以得到公比然后就可以得到第一项和第四项．答案详解：解：（1）∵﹣15÷5＝﹣3 45÷（﹣15）＝﹣3∴第四项为45×（﹣3）＝﹣135．故填空答案：﹣135；（2）通过观察发现第n项是首项a1乘以公比q的（n﹣1）次方即：a n＝a1q n﹣1．故填空答案：a1q n﹣1；（3）∵公比等于20÷10＝2∴第一项等于：10÷2＝5第四项等于20×2＝40．a n＝a1q n﹣1．故填空答案：它的第一项是5 第四项是40．七．整式除法（难点）20．我阅读：类比于两数相除可以用竖式运算多项式除以多项式也可以用竖式运算其步骤是：（i）把被除式和除式按同一字母的降幂排列（若有缺项用零补齐）．（ii）用竖式进行运算．（ii）当余式的次数低于除式的次数时运算终止得到商式和余式．我会做：请把下面解答部分中的填空内容补充完整．求（5x4+3x3+2x﹣4）÷（x2+1）的商式和余式．解：答：商式是5x2+3x﹣5 余式是﹣x+1；我挑战：已知x4+x3+ax2+x+b能被x2+x+1整除请直接写出a、b的值．试题分析：我会做：根据“我阅读”的步骤计算填空即可；我挑战：用竖式计算令余式为0即可算出a b的值．答案详解：解：我阅读：（iii）余式是﹣x+1所以答案是：0x2﹣5x2﹣5x2﹣5x2+0x﹣5 ﹣x+1；我挑战：∴x4+x3+ax2+x+b＝（x2+x+1）（x2+a﹣1）+（2﹣a）x+b﹣a+1 ∵x4+x3+ax2+x+b能被x2+x+1整除∴（2﹣a）x+b﹣a+1＝0∴2﹣a＝0且b﹣a+1＝0解得a＝2 b＝1．21．计算：3a3b2÷a2+b•（a2b﹣3ab）．试题分析：根据单项式的除法以及单项式乘以多项式进行计算即可．答案详解：解：原式＝3ab2+a2b2﹣3ab2＝a2b2．22．计算：（2a3•3a﹣2a）÷（﹣2a）试题分析：依据单项式乘单项式法则进行计算然后再依据多项式除以单项式法则计算即可．答案详解：解：原式＝（6a4﹣2a）÷（﹣2a）＝6a4）÷（﹣2a）﹣2a÷（﹣2a）＝﹣3a3+1．八．巧妙比大小---化相同23．阅读下列解题过程试比较2100与375的大小．解：∵2100＝（24）25＝1625375＝（33）25＝2725而16＜27∴2100＜375请根据上述解答过程解答：比较255、344、433的大小．试题分析：根据幂的乘方的逆运算把各数化为指数相同、底数不同的形式再根据底数的大小比较即可．答案详解：解：∵255＝3211344＝8111433＝6411且32＜64＜81∴255＜433＜344．24．比较20162017与20172016的大小我们可以采用从“特殊到一般”的思想方法：（1）通过计算比较下列各式中两数的大小：（填“＞”、“＜”或“＝”）①12＜21②23＜32③34＞43④45＞54⑤56＞65…（2）由（1）可以猜测n n+1与（n+1）n（n为正整数）的大小关系：当n≤2时n n+1＜（n+1）n；当n＞2时n n+1＞（n+1）n；（3）根据上面的猜想则有：20162017＞20172016（填“＞”、“＜”或“＝”）．试题分析：（1）通过计算可比较大小；（2）观察（1）中的符号归纳n n+1与（n+1）n（n为正整数）的大小关系；（3）由（2）中的规律可直接得到答案；答案详解：解：（1）①∵12＝1 21＝2∴12＜21②∵23＝8 32＝9∴23＜32③∵34＝81 43＝64∴34＞43④∵45＝1024 54＝625∴45＞54⑤∵56＝15625 65＝7776∴56＞65（2）通过观察可以看出；n≤2时n n+1＜（n+1）n；n＞2时n n+1＞（n+1）n；（3）由（2）得到的结论；2016＞2∴20162017＞20172016．所以答案是：（1）＜＜＞＞；≤2 ＞2；＞．25．（1）用“＞”、“＜”、“＝”填空：35＜3653＜63（2）比较下列各组中三个数的大小并用“＜”连接：①41086164②255344433．试题分析：（1）根据底数为大于1的正数时底数相同指数越大幂越大和指数相同时底数越小幂越小填空即可；（2）①先把这3个数化为底数都为2的幂比较大小；②根据（a m）n＝a mn（m n是正整数）的逆运算把三个数化为指数相同的数再比较底数的大小即可．答案详解：解：（1）∵3＞1∴35＜36所以答案是：＜；∵1＜5＜6∴53＜63所以答案是：＜；（2）①∵410＝（42）5＝220164＝（42）4＝21686＝218∵220＞218＞216∴164＜86＜410；②∵255＝（25）11344＝（34）11433＝（43）11又∵25＝32＜43＝64＜34＝81∴255＜433＜344．九．幂的运算的综合提升26．已知5a＝2b＝10 求1a +1b的值．试题分析：想办法证明ab＝a+b即可．答案详解：解：∵5a＝2b＝10∴（5a）b＝10b（2b）a＝10a∴5ab＝10b2ab＝10a∴5ab•2ab＝10b•10a∴10ab＝10a+b∴ab＝a+b∴1a+1b=a+bab=127．已知6x＝192 32y＝192 则（﹣2017）（x﹣1）（y﹣1）﹣2＝−1 2017．试题分析：由6x＝192 32y＝192 推出6x＝192＝32×6 32y＝192＝32×6 推出6x﹣1＝32 32y ﹣1＝6 可得（6x﹣1）y﹣1＝6 推出（x﹣1）（y﹣1）＝1 由此即可解决问．答案详解：解：∵6x＝192 32y＝192∴6x＝192＝32×6 32y＝192＝32×6∴6x﹣1＝32 32y﹣1＝6∴（6x﹣1）y﹣1＝6∴（x﹣1）（y﹣1）＝1∴（﹣2017）（x﹣1）（y﹣1）﹣2＝（﹣2017）﹣1=−1 201728．已知三个互不相等的有理数既可以表示为1 a a+b的形式又可以表示0 bab的形式试求a2n﹣1•a2n（n≥1的整数）的值．试题分析：由于ba 有意义则a≠0 则应有a+b＝0 则ba=−1 故只能b＝1 a＝﹣1了再代入代数式求解．答案详解：解：由题可得：a≠0 a+b＝0∴ba=−1 b＝1∴a＝﹣1又∵2n﹣1为奇数﹣1的奇数次方得﹣1；2n为偶数﹣1的偶数次方得1∴a2n﹣1•a2n＝（﹣1）2n﹣1×（﹣1）2n＝﹣1×1＝﹣1．29．化简与求值：（1）已知3×9m×27m＝321求（﹣m2）3÷（m3•m2）m的值．（2）已知10a＝5 10b＝6 求①102a+103b的值；②102a+3b的值．试题分析：（1）先根据幂的乘方的运算法则求出m的值然后化简（﹣m2）3÷（m3•m2）m并代入求值；（2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则求解．答案详解：解：（1）3×9m×27m＝3×32m×33m＝35m+1＝321∴5m+1＝21解得：m＝4则（﹣m2）3÷（m3•m2）m＝﹣m6﹣5m将m＝4代入得：原式＝﹣46﹣20＝﹣4﹣14；（2）①102a+103b＝（10a）2+（10b）3＝52+63＝241；②102a+3b＝（10a）2•（10b）3＝25×216＝5400．。

同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方1、同底数幂的乘法法则：逆用2、幂的乘方法则：逆用：3. 积的乘方法则：逆用：练习：1.=_____,=____ _，32m·3m=_______，23·(－2)4=_____，x·(－x)4·x7=_____， 1 000×10m-3=_______，=______，=______，=___________.2. (－x2y3)2=_________；a2·(a3)4·a=_________.3. 若成立，则m= ,n=4. ①若,则m=___ __;②若,则a=__ _ _;③若,则y=___ _;④若,则x=__ ___; ⑤若644×83＝2x，则x＝_________.5. ①若x2n＝4，则x6n＝________;②a12＝(_________)6＝(________)3 ; ③若,则x=____ ____;④若xn=2，yn=3，则(xy)3n=_______;⑤若xn-3·x n+3=x10，则n=_________.6. 一个正方体的边长是，则它的表面积是_________.7.下面计算正确的是( ) A．； B．； C．； D．8. 81×27可记为( ) A.; B.; C.; D.9.若,则下面等式不成立的是( ) A; B.C.;D.10.下列说法中正确的是( ) A. 和一定是互为相反数 B. 当n为奇数时, 和相等C. 当n为偶数时, 和相等D. 和一定不相等计算11、⑴⑵⑶⑷⑸⑹－(a3-m)2 ⑺(－2x5y4z) 5 ⑻0.12516×(－8)17 ⑼()199×(－2)199 ⑽ 0.299×5101 ⑾12、⑴⑵⑶⑷⑸（-2a b）+8（a）·（-a）·（-b）；⑹⑺13、⑴已知，，求、、的值. ⑵，已知10a＝5，10b ＝6，求102a+3b的值.⑷，求n的值。

❖ 知识点一：同底数幂的乘法大山坪一长方形草坪的长比宽多2米，如果草坪的长和宽都增加3米，则这个长方形草坪的面积将增加75平方米，这块草坪原来的长和宽各是多少米？ 解：设这个长方形草坪的宽是x 米，则长为（x+2）米。

x （ x+2）+75=（x+3)（x+5）解这个方程需要用到整式的乘法。

思考： a n 表示的意义是什么？其中a 、n 、a n分 别叫做什么?概念：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在n a 中，a 叫做底数，n 叫做指数.含义：n a 中，a 为底数，n 为指数，即表示a 的个数，n a 表示有n 个a 连续相乘.问题：25表示什么？10×10×10×10×10 可以写成什么形式?25= . 10×10×10×10×10 = .思考： 式子103×102的意义是什么？幂的运算知识讲解这个式子中的两个因数有何特点？先根据自己的理解，解答下列各题。

103×102 =23×22 =a3×a2 =思考：观察下面各题左右两边，底数、指数有什么关系？103×102 = 10（） = 10（）；23×22 = 2（） = 2（）；a3× a2 = a（）= a（）。

猜想: a m · a n=? (当m、n都是正整数)分组讨论，并尝试证明你的猜想是否正确。

a m·a n=（aa…a）（aa…a）=aa…a=a m+nm个a n个a (m+n)个a即：a m·a n =a m+n (当m、n都是正整数)猜想是正确的！同底数幂的乘法：a m·a n =a m+n (当m、n都是正整数)同底数幂相乘，底数______，指数________。

运算形式（同底、乘法）运算方法（底不变、指数相加）如 43×45=43+5=48想一想：a m·a n·a p= （m、n、p都是正整数）问题：光在真空中的速度大约是3×105千米/秒，太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要4.22年。

第8章《幂的运算》复习课练习【培优题】（满分100分 时间：40分钟） 班级 姓名 得分【知识点回顾】1、同底数幂相乘，底数不变，指数相加；即：n m a a a n m n m ,(+=⋅是正整数）2、幂的乘方，底数不变，指数相乘；即：n m a a mn n m ,()(=是正整数）3、积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；即：n m b a ab nn n ,()(=是正整数） 4、同底数幂相除，底数不变，指数相减；即：n m n m a a a a n m n m ,;,0(>≠=÷-是正整数） 5、任何不等于0的数的0次幂等于1；即：)0(10≠=a a6、任何不等于0的数的n -（n 是正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数；即：n a aa n n ,0(1≠=-是正整数） 7、科学计数法：把一个正数写成n a 10⨯的形式，其中,101<≤n n 是整数；类似的：一个负数也可以用科学计数法表示； 【课时练习】一、单项选择题：（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）1. 下面是一名学生所做的4道练习题：①−22=4②a 3+a 3=a 6③4m −4=14m4④(xy 2)3=x 3y 6，他做对的个数（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方，合并同类项法则，负整数指数次幂的运算，幂的乘方与积的乘方，是基础题，熟记各性质是解题的关键．根据有理数的乘方，合并同类项法则，负整数指数次幂等于正整数指数幂的倒数，幂的乘方与积的乘方的性质对各小题分析判断即可得解．【解答】解：①−22=−4，故本小题错误；②a3+a3=2a3，故本小题错误；③4m−4=4，故本小题错误；m4④(xy2)3=x3y6，故本小题正确；综上所述，做对的个数是1．故选：A．2.已知a、b、c是自然数，且满足2a×3b×4c=192，则a+b+c的取值不可能是（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】【分析】本题考查了同底数幂乘法以及分解质因数，熟练掌握同底数幂乘法以及分解质因数是解题关键，把2a×3b×4c变形，再把192分解成26×3，最后分类讨论即可．【解答】解：2a×3b×4c=2a×3b×22c=2a+2c×3b，192=26×3，∵a、b、c是自然数，∴b=1，a+2c=6，当a=0时，a+2c=6，c=3，则a+b+c=0+1+3=4，当a=1时，a+2c=6，c=2.5(舍去)，当a=2时，a+2c=6，c=2，则a+b+c=2+1+2=5，当a=3时，a+2c=6，c=1.5(舍去)，当a=4时，a+2c=6，c=1，则a+b+c=4+1+1=6，当a=5时，a+2c=6，c=0.5(舍去)，当a=6时，a+2c=6，c=0，则a+b+c=6+1+0=7，∴a+b+c的取值不可能是8．故选D．3.比较355，444，533的大小正确是（）A. 355<444<533B. 444<355<533C. 444<533<355D. 5533<355<444【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了幂的乘方和积的乘方的应用.先根据幂的乘方法则把四个式子转化为指数相同的式子，再根据底数的大小比较即可．【解答】解：∵355=(35)11=24311，444=(44)11=25611，533=(53)11=12511，∵125<243<256．∴533<355<444．故选D．4.已知x2n=3，求(x3n)2−3(x2)2n的结果（）A. 1B. −1C. 0D. 2【答案】C【解析】【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方，整体代入法求代数式的值，解题的关键是根据幂的运算法则对原式进行变形．把原式变形后进行整体代入即可求值．【解答】解：(x3n)2−3(x2)2n=(x2n)3−3(x2n)2=33−3⋅32=27−27=0．故选C．5.若a=999999，b=119990，则下列结论正确是（）A. a<bB. a=bC. a>bD. ab=1【答案】B【解析】【分析】此题考查积的乘方和同底数幂的乘法及除法的运算，灵活运用法则是解题的关键.根据积的乘方法则首先把999变形为119×99，999变形为990×99，然后根据同底数幂的除法法则计算即可得到结论．【解答】解：∵a=999999=(11×9)9990+9=119×99990×99=119990，∴a=b．故选B．6.定义一种新运算∫ab n⋅x n−1dx=a n−b n，例如∫kn2xdx=k2−n2.若∫m5m−x−2dx=−2，则m=()A. −2B. −25C. 2 D. 25【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了新定义问题，根据题意，进行求解即可． 【解答】 解：由题意得： m −1−(5m)−1=−2，1m−15m=−2，5−1=−10m ， m =−25． 故选：B ．二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分） 7. −22017×(−0.5)2018= ．【答案】−12 【解析】 【分析】此题主要考查了积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．(ab)n =a n b n (n 是正整数).首先把(−0.5)2018=(−12)2017×(−12)，然后再利用积的乘方进行计算即可． 【解答】解：原式=−22017×(−0.5)2018， =−22017×(−12)2017×(−12)， =[−2×(−12)]2017×(−12)， =1×(−12)， =−12． 故答案为−12．8.已知4x=10，25y=10，则(x−2)(y−2)+3(xy−1)的值为______________．【答案】1【解析】【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方的逆运算，掌握幂的乘方和积的乘方的法则是解决问题的关键．【解答】解：∵4x=10，25y=10，∴4xy=10y，25xy=10x，4xy×25xy=10y×10x，(4×25)xy=10x+y，∴102xy=10x+y，∴2xy=x+y，(x−2)(y−2)+3(xy−1)=4xy−2×2xy+1=1．故答案为1．9.阅读材料：①1的任何次幂都等于1；②−1的奇数次幂都等于−1；③−1的偶数次幂都等于1；④任何不等于零的数的零次幂都等于1.根据以上材料探索可得，使等式(2x+3)x+2018=1成立的x的值为______________．【答案】−1，−2，−2018【解析】【分析】本题主要考查零指数幂，有理数的乘方.根据1的乘方，−1的乘方，非零的零次幂，可得答案．【解答】解：①当2x+3=1时，解得：x=−1，此时x+2018=2017，则(2x+3)x+2018=12017=1，所以x=1；②当2x+3=−1时，解得：x=−2，此时x+2018=2016，则(2x+3)x+2018=(−1)2016=1，所以x=−2；③当x+2018=0时，x=−2018，此时2x+3=−4039，则(2x+3)x+2018=(−4039)0=1，所以x=−2018．综上所述，当x=−1，或x=−2，或x=−2018时，代数式(2x+3)2018的值为1．故答案为：−1或−2或−2018．)2÷273=2a×3b，则a+b=．10.若(−6)4×8−1×(19【答案】−8【解析】【分析】此题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘除，可先将已知化简，对照后得到a与b的值，代入a+b可求得代数式的值．【解答】)2÷273=24×34×2−3×3−4÷39解：∵(−6)4×8−1×(19=2×3−9=2a×3b即a=1，b=−9，∴a+b=1−9=−8．故答案为−8．三、解答题：（本题共4小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）11.已知：x=3m−2，y=5+9m，用含x的代数式表示y．【答案】解：∵x=3m−2，∴x+2=3m，∴y=5+9m=5+(3m)2=5+(x+2)2=5+x2+4x+4=x2+4x+9．【解析】此题主要考查了幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．幂的乘方运算法则将原式变形进而得出答案．12.设x为正整数，且满足3x+1⋅2x−3x⋅2x+1=36，求(x x−1)2的值．【答案】解：∵3x+1⋅2x−3x⋅2x+1=36，∴3×3x·2x−3x·2x×2=36，即3×6x−2×6x=36，∴6x=36，解得x=2，∴(x x−1)2=(22−1)2=22=4．【解析】本题主要考查同底数幂的乘法法则与积的乘方法则，逆用同底数幂的乘法法则、积的乘方进行计算是解题的关键.逆用同底数幂的乘法法则将指数相加转化为同底数幂乘法，然后逆用积的乘方法则得到3×6x−2×6x=36，进而得到6x=36，根据乘方的意义求出x的值，即可作答．13.阅读：为了求1+2+22+23+⋯+21000的值，令S=1+2+22+23+⋯+21000，则2S=2+22+23+24+⋯+21001，因此2S−S=________，所以1+2+22+23+⋯+21000=________．应用：仿照以上推理计算出1+6+62+63+⋯+62019的值．【答案】解：21001−1；21001−1；应用：令S=1+6+62+63+⋯+62019，则6S=6+62+63+64+⋯+62020，因此6S−S=62020−1，，所以S=62020−15∴1+6+62+63+⋯+62019=62020−1．5【解析】【分析】此题考查了同底数幂的乘法，弄清题中的推理，利用错位相减法，消掉相关值，是解题的关键．学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律．依照题目中类似推理，找出其中规律，利用错位相减法求解本题．6S与S之间的差就是s 的值，即可得到结果．【解答】解：阅读：2S−S=21001−1，所以1+2+22+23+⋯+21000=21001−1，故答案为21001−1；21001−1；应用：见答案．14.阅读下列材料，并解决后面的问题．材料：我们知道，n个相同的因数a相乘记为a n，如23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28(即log28=3)．一般地，若a n=b(a>0且a≠1，b>0)，则n叫做以a为底b的对数，记为log a b(即log a b=n)，如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381(即log381=4)．(1)计算以下各对数的值：log24=______；log216=______；log264=______．(2)通过观察(2)中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式？(3)由(2)题猜想，你能归纳出一个一般性的结论吗？log a M+log a N=______(a>0且a≠1，M>0，N>0)，(4)根据幂的运算法则：a m⋅a n=a m+n以及对数的定义证明(3)中的结论．【答案】(1)2；4；6；(2)由题意可得，4×16=64，log24、log216、log264之间满足的关系式是log24+log216=log264；(3)log a MN；(4)证明：设log a M=m，log a N=n，则M=a m，N=a n，∴MN=a m+n，∴log a MN=m+n，∴log a M+log a N=log a MN．【解析】【分析】本题考查同底数幂的乘法、新定义，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．(1)根据题意可以得到题目中所求式子的值；(2)根据题目中的式子可以求得它们之间的关系；(3)根据题意可以猜想出相应的结论；(4)根据同底数幂的乘法和对数的性质可以解答本题．【解答】解：(1)log24=log222=2，log216=log224=4，log264=log226=6，故答案为：2；4；6；(2)见答案；(3)猜想的结论是：log a M+log a N=log a MN，故答案为：log a MN；(4)见答案．。

10. 若 3 X 9m X 27m x 81m = 319，则 m 的值为()A. 2B. 3C. 4同底数幕的乘法、幕的乘方与积的乘方训练题及答案、选择题（共10小题；共30分） 1.下列运算正确的是（） A. m 4?m 2= m 8B. （m 2）3 = m 5C. m 3 十m 2 = mD. 3m - m = 22.下列计算结果正确的是A. 3a - (-a ) = 2a C. a 5 十 a = a 5B. a 3 x (-a )2 = a 5 D. (-a 2)3 = a 63.下列运算，结果正确的是（）A. m 6十m 3= m 2C. （m + n ）2 = m 2 + n 2 223 3B. 3mn 2?m 2n = 3m 3n 3 2 2D. 2mn + 3mn = 5m n4.下列各式计算正确的是A. (a 7)2a 9B. a 7 ?a 2=評C. 2a 2 + 3a 3 = 5a 5D. (ab)3 = a 3b 35.如图，阴影部分的面积是 __________11A. y xyC. 6xyD. 3xy6. (a+ 2b -c ）（ 2a - b + c ）展开后的项数为（）A. 6B. 7C. 87.已知：N ： =220 x 518，则N 是位正整数.A. 10B. 18C. 1913B .〒xy8.若x 取全体实数，则代数式3x 2 - 6x + 4的值（）D. 9D. 20A. 一定为正B. 一定为负C.可能是0D.正数、负数、0都有可能9.将一多项式 (17x 2- 3x + 4) - (ax 2 + bx + c)，除以(5x+ 6)后，得商式为 0 .求 a - b - c =() （2x + 1），余式为A. 3B. 23C. 25D. 29D. 5、填空题（共5小题；共15分）11. 如图，多边形的各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上，这样的多边形称为格点1多边形，它的面积S可用公式S= a + -b- 1（a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为皮克定理”.现有一张方格纸共有200个格点，画有一个格点多边形，它的面积S=40 .（1）这个格点多边形边界上的格点数 b = ________ （用含a的代数式表示）；（2）设该格点多边形外的格点数为c,则c- a = ___________ .r T T T _「1卜V HH H卜H卜十十十TH」丄丄JL ■L」12. (-2a m ?b m+n )3 = ka9b15，则k + m + n = _____________13.在公式(x- 1)n = =a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + ? a n x n中，a1 + ? + a n = .14.若a2n = 5, b2n : =16，则(ab)n = .15.已知m = 19962 1994 1995 + 1995 X 1996 + 1995 X 1996 2 + ? + 1995 X 1996 + 1995 X 1996 ,n= 1996 1996，贝U m与n满足的关系为三、解答题(共7小题；共55 分)16. 计算：(1) (-x 2)3?(-x 2)4；⑵(-x 5)8- (-x 8)5；(3) -a ?a5 - (a2)3 + (-2 ) ?(a3)2.17. 计算5a3b?(-3b )2 + (-6ab )2 ?(-ab )- ab3?(-4a 2).18. 若[(x3)m ]2 = x12，求m 的值.19.先化简，再求值: (1 + x)( 1 - x) + x(x + 2)- 1，其中x =20. 小丽给小强和小亮出了一道计算题：若(-3 )x(-3 )2(-3 3) = (-3 )7，求x的值•小强的答案是x = -2，小亮的答案是x = 2，二人都认为自己的结果正确，假如你是小丽，你能判断谁的计算结果正确吗？1 1 321. 先化简，再代入求值：当a= -, b = 4时，求整式a3(-b 3)2 + (- -ab2)的值.22. 比较下列式子的大小：a n与a n+2(a为正数，n为正整数))7第一部分 1. C 2. B 3. B 4. D 5. A6. A7. C8. A9. D10. A答案第二部分 11. (1) 82 - 12. -3 13. 1 或-1 2a ；( 2) 11814. ±4V 5 15. m = n 16. (1) 原式= =-X 6 ?X 8 = ：-x 14 . 16. (2) 原式= =X 40-(-X 40)= X 40 + X 40 16. (3) 原式= =-a 6 -a 6 -2a 6 = -4a 6.第三部分 2X 4°. 17. (1) =5a 3b ?9b =45a 3b 3-=13a 3b 3.18. (1) •- [(x 3)m ]2 = ... (x 3m )2 = x 12 . • •• X 6m =X 12 ..6m =12 .• m = 2 .19. (1) 原式 = 1 -2X ,当X = 1 z2时，原式= 1 =2 x 2 =1 .x 12,2 2X2+ X 2 + 2X - 120. (1)小亮的答案是正确的. 因为 5a 3b ?(-3b )2 + (-6ab )2 ?(-ab ) - ab 3?(-4a 2) 2 - 36a 2b 2 ?ab+ ab 3 ?4a 236a 3b 3 + 4a 3b 3 (-3 )X (-3 )2(-3 3) (-3 (-3 (-3 )X (-3 )2(-3 )3 X +2+3所以x+2+3=7,即卩X = 2 .故小亮的答案是正确的.21. (1)原式=a3b6 - 1a3b6= ?a3b6.o o1当 a = 一，b = 4 时，47 1 3 7原式=0X (4)x46 = o X 43 = 56 .22. (1)①当a> 1 时，贝U a2 > 1,a n+2 > a n；②当 a = 1 时，贝U a2 = 1, a n+2 = a n;③当0 < a < 1时，贝Ua2 < 1,a n+2 < a n.。