高中数学三角形内心的性质及其应用素材

三角形的外心垂心重心内心及应用三角形的外心、垂心、重心、内心被认为是三角形的四个重要元素。

它们的性质在数学的许多分支中起着至关重要的作用。

在本文中，我们将探讨这些元素的定义、性质和应用。

一、外心外心是三角形外接圆的圆心。

外接圆是唯一通过三角形三个顶点的圆。

外心到三角形各顶点的距离相等。

通过这个事实，我们可以证明外接圆为三角形三边的垂直平分线的交点。

外心具有一个重要的性质：对于给定的三角形，外接圆的半径始终保持不变。

然而，外接圆的直径却可能发生变化。

外接圆直径的长度等于三条边长的最长边。

这个性质可以用勾股定理来证明。

二、垂心垂心是三条高线的交点。

高线是一个垂直于线段的直线，以线段的端点为顶点。

垂心到三角形的三边的距离相等，并且它还到三边的垂足的距离相等。

垂心有一个重要的应用：用于寻找三角形的垂心中心。

垂心中心是垂心和外心的中垂线的交点。

它们的距离等于外心到垂心的距离的一半。

三、重心重心是三角形三个中线的交点。

中线是一个连接三角形两个顶点的线段的中点。

重心到三角形的每个顶点的距离相等，它也到三角形每一条边的中点的距离相等。

重心在三角形中心的下方三分之一处。

重心具有一个重要的性质：如果将三角形看作一个平面图形，而重心看作该平面图形上一件物体的重量中心，则平面图形的平衡点就是重心。

平面图形的平衡点是一个很重要的概念，它包含了许多关于物理、工程和结构力学的信息。

四、内心内心是三角形三条内角平分线的交点。

内角平分线将一个角分为两个相等的角。

内心到三角形三边的距离相等，且每条内角平分线都与外接圆相切。

内心有一个非常重要的性质，即它是所有内切圆的圆心。

内切圆是唯一与三角形的三条边都相切的圆。

内部每个角的内切圆切点连接在一起形成一个三角形，称为内切三角形。

内切三角形的垂心、外心和重心与原始三角形的垂心、外心和重心共线。

这些点的共线性质称为欧拉线。

欧拉线是一些几何学问题的重要解决工具。

五、应用上述四个点每一个都有着重要的性质，可以帮助我们解决许多问题。

三角形的内心与内切圆三角形是几何学中最基本的形状之一，在研究三角形的性质时，我们常常会接触到内心与内切圆这两个概念。

在本文中，我将详细介绍三角形内心与内切圆的定义、性质和应用。

一、内心的定义与性质内心是指一个三角形中，三条角平分线的交点。

在任意三角形ABC 中，角平分线AD、BE和CF的交点O称为三角形ABC的内心。

内心的位置十分特殊，它到三角形的三条边的距离相等，即OD=OE=OF，这是内心的重要性质之一。

此外，内心到三角形三边的距离之和等于三角形的周长，即AD+BD+CD=AB+BC+CA。

这个性质也为我们的后续讨论提供了便利。

二、内切圆的定义与性质内切圆是指一个圆与三角形的三条边都相切。

在任意三角形ABC 中，与三边AB、BC和CA相切的圆称为三角形ABC的内切圆。

内切圆有很多有趣的性质。

首先，内切圆的圆心与内心重合，即内心就是内切圆的圆心。

其次，内切圆的半径r等于三角形的面积S除以半周长s的值，即r=S/s。

这个性质为计算内切圆的半径提供了一种简便的方法。

三、内心与内切圆的应用内心与内切圆在几何学中有着广泛的应用。

下面，我将分别介绍内心与内切圆在三角形分类、面积计算和问题解决中的应用。

1. 三角形分类内心与内切圆可以帮助我们分类三角形。

如果一个三角形的内心到三边的距离相等，那么这个三角形一定是等边三角形。

如果一个三角形的内心到某一边的距离最小，那么这个三角形一定是锐角三角形。

如果一个三角形的内心到某一边的距离最大，那么这个三角形一定是钝角三角形。

2. 面积计算利用内心与内切圆的关系，我们可以更简便地计算三角形的面积。

根据前面提到的性质，三角形的面积可以表示为S=r*s，其中r为内切圆的半径，s为三角形的半周长。

这个公式可以帮助我们快速计算三角形的面积，省去了繁琐的高中几何学方法。

3. 问题解决内心与内切圆也常常在解决实际问题中发挥重要作用。

例如，在定向走行系统中，内心与内切圆可以帮助我们确定最佳路径。

第十二章 三角形内心的性质及应用【基础知识】三角形的内切圆的圆心简称为三角形的内心，内心有下列有趣的性质： 性质1：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点．性质2：设I 为ABC △内一点．I 为其内心的充要条件是：I 到ABC △三边的距离相等．性质3：设I 为ABC △内一点，AI 所在直线交ABC △的外接圆于D ．I 为ABC △内心的充要条件是：ID DB DC ==．证明 如图12-1，必要性：连BI ，由1122DIB A B CBD IBC DBI ∠=∠+∠=∠+∠=∠，知ID B D D C ==．B充分性：由DB DC =，即知AD 平分BAC ∠．由DI DB =，有DIB DBI ∠=∠，即DBC CBI IAB ABI ∠+∠=∠+∠，而IAB IAC DBC ∠=∠=∠，从而CBI IBA ∠=∠，即BI 平分ABC ∠，故I 为ABC △的内心．性质4 设I 为ABC △内一点，I 为ABC △的内心的充要条件是：1902BIC A ∠=︒+∠，1902AIC B ∠=︒+∠，1902AIB C ∠=︒+∠证明 必要性显然．反正充分性：作ABC △的外接圆，与射线AI 交于点D ，连DB ，DC ，如图12-1由1902AIB ACB ∠=︒+∠，知1902DIB ACB ∠=︒-∠．又IDB ADB ACB ∠=∠=∠，在D I B △中，求得1902DBI ACB ∠=︒=-∠，则D I B D B I ∠=∠，故D B D I =．同样地，DC DI =，即DI DB DC ==，由性质3即证得结论成立．性质5 设I 为ABC △内一点，I 为ABC △的内心的充要条件是：IBC △，ICA △，IAB △的外心均在ABC △的外接圆上．证明 必要性：如图122-，设ABC △的内心，AI ，BI ，CI 的延长线分别交ABC △的外接圆于1A ，1B ，1C ，于是由性质3，知111A B A I AC ==，因此，1A 是IBC △的外心． 图 12-2I 'ABCIC 1B 1A 1A 2B 2C 2同理，1B ，1C 分别是ICA △，IAB △的外心．故必要性获证．充分性：又设I '为ABC △内另一点，I BC '△，I CA '△，I AB '△的外心2A ，2B ，2C 均在ABC △的外接圆上，由22A B A C =，11A B AC =，知2A 与1A 重合．同理2B 与1B 重合，2C 与1C 重合． 由于1A ，1C 分别是IBC △，IAB △的外心，知11A C 垂直平分线段BI '，由此可知I '与I 重合，即I '为ABC △的内心．注 性质5中，三个三角形I BC '△，I CA '△，I AB '△中有两个的外心在ABC △的外接圆上即可． 性质6 一条直线截三角形，把周长l 与面积S 分为对应的两部分：1l 与2l ，1S 与2S ．此直线过三角形内心的充要条件是1122l Sl S =．证明 必要性：如图12-3，设I 是ABC △的内心，过I 的直线交AB 于P ，交AC 于Q ．记BC a =，CA b =，AB c =，AP m =，AQ n =，内切圆半径为r ，则1()2ABC S a b c r s =++⋅=△，1()2APQ API AQI S S S m n r =+=+⋅△△△．图 12-3A BPQ nIm由111()21()2a b c rS a b c lS m n l m n r ++⋅++===++⋅，有1122l S l S =．充分性：设直线PQ 把ABC △的周长l 与面积S 分为对应的两部分成等比1122l S l S =，且与AB 交于P ，与AC 交Q ，与A ∠的平分线交于I ．记BC a =，CA b =，AB c =，AP m =，AQ n =，I 到AB ，AC 的距离为r ，I 到BC 的距离为d ．由1211()21()2a b c r l l a b c l m n m n r ++⋅+++==++⋅得1211112221122b rc r a dS S S m r n r ⋅+⋅+⋅+=⋅+⋅ 注意到121211l l S S l S ++=，从而有ad ar =，即d r =，故I 为ABC △的内心，即直线PQ 过内心．性质7 设I 为ABC △的内心，BC a =，AC b =，AB c =，I 在BC ，AC ，AB 边上的射影分别为D ，E ，F ；内切圆半径为r ，令1()2p a b c =++，则（1）ID IE IF r ===，S ABC pr =△；（2）2ABCS r a b c=++△，AE AF p a ==-，BD BF p b ==-，CE CD p c ==-；（3）abc r p AI BI CI ⋅=⋅⋅⋅．证明 仅证（3）．在ABI △中，11sin sin cos 22AI C cAIB B C ==∠∠∠． 类似地还有两式，此三式相乘，即有111tan tan tan 222AI BI CI A B C abc ⋅⋅=∠⋅∠⋅∠=32ABC r r r pr rp a p b p c S p⋅⋅==---△，由此即证． 性质8 设I 为ABC △的内心，BC a =，AC b =，AB c =，A ∠的平分线交BC 于K ，交ABC △的外接圆于D ，则AI AD DI b cKI DI DK a+===． 证明 如图12-1，由AI BA AC AB AC b c KI BK KC BK KC a ++====+及ADC CDK △∽△，有AD AC CDDC CK DK==，亦有AD AC AB AB AC b c DI CK BK CK BK a ++====+，DI CD AC AB AB AC b cDK DK CK BK CK BK a ++=====+． 性质9 过ABC △内心I 任作一直线，分别交AB ，AC 于P 及Q 两点， 则AB AC AC AB AB AC BC AP AQ ⋅+⋅=++或sin sin sin sin sin AB AC B C A B C AP AQ⋅∠+⋅∠=∠+∠+∠． MABCNPQ图 12-4证明 如图12-4，先看一般情形：设M 为BC 上任意一点，直线PQ 分别交AB ，AM ，AC ，于P 、N 、Q ，则APQ MPQ APM AQMAPQABCS S S S AM AN NM AP AQ AN AN S S AB AC+++===⋅⋅⋅△△△△△△ ABM ACMABC AP AQ S S AC BM AB CM AB AC AP AQ AQ BC AP BC S AB AC⋅+⋅==⋅+⋅⋅⋅△△△． ①当N 为ABC △的内心时，由三角形内角平分线性质及合比、等比定理，有BM ABBC AB AC=+，MC AC BC AB AC =+，AM AB AC BCAN AB AC ++=+． 将上述三式代入①式即证得结论．性质10 设ABC △的内心为I ，ABC △内一定P 在BC ，CA ，AB 上的射影分别为D ，E ，F ，当P与I 重合时，BC CA ABPD PE PF++的值最小． 证明 设BC a =，CA b =，AB c =，PD x =，PE y =，PF z =，显然有2ABC ax by cz S ++=△是定值．由柯西不等式，有2()()()a b cax by cz a b c x y z ++++≥++，故2()2ABCBC CA AB a b c a b c PD PE PF x y z S ++++=++≥△（定值）． 其中等号当且仅当a b cax by cz x y z==∶∶∶即x y z ==时成立，此时P 与I 重合． 对于内切圆我们还有如下性质： 性质11 三角形一内（外）角平分线上的点为三角形一顶点的射影的充分必要条件是另一顶点关于内切圆（旁切圆）的切点弦直线与这条角平分线的交点．证明 如图12-5，在ABC △中，内切圆I ⊙切边BC 、CA 、AB 分别于点E 、E 、F ，直线AI 、BI 、CI 为三条内角平分线．图 12-5X ZI YM NS FEDH GTABC仅证直线CI 上的点G ，有CG AG D ⊥⇔、G 、F 三点共线．充分性．由D 、G 、F 共线．联结FI ，11180180909018022AIG AIC B B BFD AFG ⎛⎫∠=︒-∠=︒︒+∠=︒-∠=∠=︒-∠ ⎪⎝⎭（当G 在ABC △外时，为AFG ∠）．于是，A 、F 、G 、I 四点共圆，即90AGI AFI ∠=∠=︒．故CG AG ⊥． 必要性．由CG AG ⊥，联结FI ，由IF AB ⊥，知A 、F 、G 、I 四点共圆，又I 为内心，知1902AIC B ∠=︒+∠，则1180902A F G A I G A I C B ∠=︒-∠=∠=︒+∠．注意到，在等腰BDF △中，1902BFD B BFG ∠=︒-=∠．故D 、G 、F 三点共线．同理，直线CI 上的点H ，CH BH E ⊥⇔、F 、H 三点共线． 直线BI 上的点M ，BM AM D ⊥⇔、E 、M 三点共线． 直线BI 上的点N ，BN CN E ⊥⇔、N 、F 三点共线． 直线AI 上的点T ，AT BT E ⊥⇔、D 、T 三点共线． 直线AI 上的点S ，AS CS D ⊥⇔、S 、F 三点共线． 推论 三角形的一条中位线，与平行于此中位线的边的一端点处的内（外）角平线及另一端点关于内（旁）切圆的切点弦直线，这三条直线相交于一点，且该点为与中位线对应的顶点在这条内（外）交平分线上的射影． 事实上，若设Z 为AB 的中点，则ZM ZB =，且Z M B C ∥，有Z B M △为等腰三角形，从而知ZM 与AC 的交点Y 为AC 的中点，即ZY 为中为线．如图12-5，G 、M 在中位线ZY 上，H 、T 在中位线ZX 上，S 、N 在中位线XY 上．M 、N 、G 、H 、S 、T 均为三条直线的交点．注 在上述性质11及推论中，旁心的情形留给读者推证．性质12 设ABC △的内切圆（旁内圆）I ⊙分别切BC 、CA 、AB 边于点D 、E 、F ，设K 是DI 延长线上一点，AK 的延长线交BC 于点M ，则M 为BC 的中点的充要条件是点K 在线EF 上． 证明 如图12-6，过点K 用ST BC ∥交AB 于点S ，交AC 于点T ，则I K S T ⊥．联结SI 、FI 、TI 、EI ． 充分性．当点K 在EF 上时，注意到F 、S 、I 、K 及I 、E 、T 、K 分别四点共圆，有ISK IFK IEK ITK ∠=∠=∠=，即知SIT △为等腰三角形．图 12-6C 'B 'Q K P M SF ED T IAB C注意到IK ST ⊥，知K 为ST 的中点．又ST BC ∥，故知M 为BC 中点．必要性．当M 为BC 中点时，则知K 为ST 的中点．由IK ST ⊥，知I S I T =，即有Rt Rt ISF ITE △≌△，亦有SIF TIE ∠=．注意到F 、S 、I 、K 及I 、E 、T 、K 分别四点共圆，有SKF SIF TIE TKE ∠=∠=∠=∠，于是E 、K 、F 三点共线．故点K 在直线EF 上．注 若P 为DK 延长线一点，直线AP 交BC 于点Q ，则BQ DC =的充要条件是点P 在I ⊙上． 事实上，过P 作B C BC ''∥分别交AB 于B '，交AC 于C '，如图12-6．充分性．若P 在I ⊙上时，则知B C '为I ⊙的切线．由Rt Rt PIC DCI '△∽△，有PI ID PC DC '⋅=⋅．同理PI ID B P BD '⋅=⋅．从而B P DCPC BD '='． 又由平行线性质，有B P BQ PC QC '='．即DC BQ BD QC =，亦即DC BQBC BC=． 从而BQ DC =．必要性．当BQ DC =，由旁切圆性质（第十六章性质7）知Q 为ABC △的旁切圆的切点．由位似形性质知P 为AB C ''△的旁切圆点，故P 在I ⊙上．性质13 设ABC △的内切圆I ⊙分别切BC 、CA 、AB 边于点D 、E 、F ，L 为劣弧EF 上一点，过点L 作内切圆的切线与BC 所在直线交于点G ，则G 、E 、F 三点共线的充要条件是A 、L 、D 三点共线．证法1 充分性．当A 、L 、D 共线时，如图127-，联结AI 交EF 于点K ，则KI EF ⊥． ① 联结EI 、DI 、KD ，则22ID EI IK IA ==⋅图 12-7BK IREDFL CA G即ID IKIA ID=．又DIK ∠公用，有IDA IKD △∽△，即有IDA IKD ∠=∠． ② 联结IL ，则ILD IDA IKD ∠=∠=∠，知D 、L 、K 、I 四点共圆． 又I 、D 、G 、L 四点共圆，从而I 、D 、G 、L 、K 五点共圆．于是90IKG ILG ∠=∠=︒，即K I K G ⊥． 由①、③可知，G 、E 、F 三点共线．必要性．当G 、E 、F 三点共线时，如图12-7，联结GI 交DL 于点R ，则IR DL ⊥．类似于充分性证明，由22FI ID IR IG ==⋅，得F 、I 、R 、E 四点共圆，又A 、F 、I 、E 四点共圆，即有90IRA IEA ∠=∠=︒，有IR AR ⊥．故A 、L 、D 三点共线．证法2 应用定差幂线定理，并注意AI FE ⊥，GI LD ⊥，则G 、E 、F 三点共线2222AI FG AF AG IF IG ⇔⊥⇔-=-．④ A 、L 、D 三点共线2222GI AD GA GD IA ID ⇔⊥⇔-=-．⑤ 由ID IF =及222222IG GD ID IF IA AF -===-， 既有2222IG AF IA GD +=+． ⑥而④式22222222IG AF IF AG ID AF IA GD ⇔+=+===+=+⇔⑥⑤式． 故G 、E 、F 三点共线A ⇔、L 、D 三点共线． 【典型例题与基本方法】例1 如图12-8，D 是ABC △的内心，E 是ABD △的内心，F 是BDE △的内心，若BFE ∠的读数为整数，求BFE ∠的最小度数．图 12-8F E DAB解 由性质4，知11111909090(90)112(4)24428BFE BDE BDA ACB ACB ∠=︒+∠=︒+∠=︒+︒+∠=︒+︒+∠．故当4ACB ∠=︒时，BFE ∠的最小度数为113︒．例2 如图12-9，设点M 是ABC △的BC 边的中点，I 是其内心，AH 是BC 边上的高，E 为直线IM 为AH 的交点．求证：AE 等于内切圆半径r ．图 12-9M E IBP HA证明 设P 为内切圆与边BC 的切点，连IP ，设B C a =，CA b =，AB c =，则12M C a =，2a b cPC +-=，222cos 2a b c HC AC C a+-=⋅=． 由IMP EMH △∽△，有2EH HM MC HC a HC b cIP PM MC PC c b a--+====--． 又2()AH a S ABC r a b c ⋅==++△，即AH a b cr a++=． 再由EH b c r a +=（注意IP r =），及AE AH EH =-，有1A E A H E H a b c b c r r r a a +++=-=-=，故A E r =．注（1）此例的逆命题也是成立的，即若AE r =，则M 、I 、E 共线．（2）在图12-9，还可推证有如下结论：①直线MI 平分AP ；②设ABC △的内切圆I ⊙切AC 于Q ，切AB 于L ，则QL 与直线PI 的交点T 的直线AM 上；③设直线PI 交I ⊙于G ，即G 为直径端点，直线AG 交BC 于K ，则BK PC =；④ABC △的外心O 为KI 的中点……这些结论的证明可参见笔者著作《走向国际数学奥林匹克的平面几何试题诠释》（下册），哈尔滨工业大学出版社2007年元月出版． 例3 如图12-10，设ABC △的外接圆O ⊙的半径为R ，内心为I ，60B ∠=︒，A C ∠<∠，A ∠的外角平分线交O ⊙于E ．证明：（1）IO AE =；（2）2(1R IO IA IC R <++<．图 12-10MIBOAEC证明（1）连BI 并延长交O ⊙于M ，则M 为AC 的中点．连OM ，AM ，OC ，MC ，由60B ∠=︒，则知AOM △，MOC △均为正三角形．由性质3知IM AM MC ==，即知M 为过点A ，O ，I ，C 四点的圆的圆心，且半径为R ，从而此圆与O ⊙为等圆．延长AI 交O ⊙于F ，由题设条件可证F ，O ，E 三点共线．于是12OAI OMI ∠=∠，12AFE EOA ∠=∠，而OAI AFE ∠=∠，故OMI EOA ∠=∠，由此即有IO AE =．（2）连FC ，由性质3知IF FC =，又60AFC B ∠=∠=︒，从而IC IF =， 故2IO AI IC AE AF EF R ++=+>=．又2cos 2sin IO AI IC AE AF R AEF R AEF ++++=⋅∠+⋅∠245)245)275R AEF R R =∠+︒<︒+︒=︒12(14R R ==．（其中60AEF ∠>︒）即证． 例4 如图12-11，在ABC △中，4AB =，6AC =，5BC =，A ∠的平分线AD 交ABC △的外接圆于K ．O ，I 分别为ABC △的外心，内心．求证：OI AK ⊥．图 12-11证明 连接KO 并延长交O ⊙于E ，连AE ，则90KAE ∠=︒，2EKOK=． 因I 为ABC △的内心，由性质8知4625AK AB AC IK BC ++===． 于是OI AE ∥．从而90OIK KAE ∠=∠=︒，故OI AK ⊥． 【解题思维策略分析】1．注意到内心是角平分线的交点例5 如图12-12，设P 为ABC △内一点，APB ACB APC ABC ∠-∠=∠-∠，又设D ，E 分别是APB △及APC △的内心．证明：AP ，BD ，CE 交于一点．图 12-12PM N SED TRABC证明 过P 向三边作垂线，垂足分别为R ，S ，T ．连RS ，ST ，TR ，易知，P ，R ，A ，S ；P ，T ，B ，R ；P ，S ，C ，T 分别四点共圆，则(180)(180)APB ACB ABP BAP B A PAC PBC PRS PRT SRT ∠-∠=︒-∠-∠-︒-∠-∠=∠+∠=∠+∠=∠． 同理，APC ABC RST ∠-∠=∠．由条件APB ACB APC ABC ∠-∠=∠-∠，知SRT RST ∠=∠，亦即RT ST =． 由sin RT PB B =⋅∠，sin ST PC C =⋅∠，知sin sin PB B PC C ⋅∠=⋅∠． 即sin sin PB C AB PC B AC ∠==∠，亦即PB PC AB AC=． 设BD 交AP 于M ，CE 交AP 于N ，则由角平分线性质，有AN AC AB AM NP PC PB MP ===，即AN AMAP AP=，故M ，N 重合，从而AP ，BD ，CE 交于一点．例6 如图12-13，设三角形的外接圆半径、内切圆半径分别为R ，r ，其外心、内心分别为O ，I ．若IO d =，则222d R Rr =-．图 12-13证明 连AI 并延长交O ⊙于D ，作直径DE ，连BD ，BE ，设I ⊙切AB 于F ，连IF ，则IF r =．在Rt EBD △和Rt AFI △中，由BED FAI ∠=∠，知EBD AFI △∽△，从而DE BD AI FI =，即2R BDAI r=． 由性质3，知BD ID =，所以2Rr AI BD AI ID =⋅=⋅．将OI 两端延长交O ⊙于M ，N ，则由相交弦定理，得22()()AI ID MI IN R d R d R d ⋅=⋅=+-=- 故222d R Rr =-．例7 如图12-14，在ABC △中，有一个圆O '⊙内切于ABC △的外接圆O ⊙，并且与AB ，AC 分别相切于P ，Q ．求证：线段PQ 的中点I 是ABC △的内心．图 12-14证明 设AI 的延长线交O ⊙于M ，则O '在AM 上．连O P '，由O P AB '⊥，O A PQ '⊥，有2O P O I O A '''=⋅． ①作两圆连心线OO '交O ⊙于R ，T ，则O R TO O A MO ''''⋅=⋅． ② ①+②并注意到O P O T ''=，有O P TR O A MI ''⋅=⋅ ③再作O ⊙的直径MN ，可知B M B N ⊥，MNB MAB ∠=∠，从而R t R t B M N P O A △∽△，即有O P MN O A BM ''⋅=⋅．比较③，④，注意到MN TR =，故BM MI +． 由性质3，即知I 为ABC △的内心．另证 显然，PQ 的中点I ，圆心O '，BC 的中点M 都在BAC ∠的平分线上，若设2BAC α∠=，O '⊙的半径为r ，则s i n rAO α'=．设直线OO '交O ⊙于R ，T ，且O ⊙的半径为*r ，则，即**(2)s i n (2)/s i nR O O T r r rO M αr r AO r α'⋅-⋅'===⋅-'．由Rt PIO '△，知sin IO αr '=⋅，**sin sin (2)sin 2IM IO O M αr αr r αr ''=+=⋅+⋅-=⋅．由ABM △，知*2sin BM r αBM IM =⋅⇒=，即证．例8 ABC △的A ∠的平分线与ABC △的外接圆交于D ，I 是ABC △的内心，M 是边BC 的中点，P 是I 关于M 的对称点（设点P 在圆内），延长DP 与外接圆相交于点N ．试证：在AN ，BN ，CN 三条线段中，必有一条线段是另两条线段之和．证明 如图12-15，不妨设N 在BC 上，即证BN CN AN +=．图 12-15θθPMNDAB C连BD ，MN ，MD ，CD ，注意到共底ND 的三个三角形面积，即由2BND QND MND S S S +=△△△，及P 在ND 上，且IM MP =，知2MND IND BND CND S S S S ===△△△△．令NAD θ∠=，则NBD NCD θ∠=∠=，于是1sin 2BND S BD BN θ=⋅⋅△，1sin 2CND S CD CN θ=⋅⋅△，1sin 2IND NAD NAI S S S ID AN θ=-=⋅⋅△△△．注意到性质3，知BD CD ID ==，从而由①式即得BN CN AN +=．例9 如图12-16，在ABC △中，O 是外心，I 是内心，30C ∠=︒，边AC 上的点D 与边BC 上的点E 使AD BE AB ==．求证：OI DE ⊥，OI DE =．图 12-16BCD IE AMO证明 连AI 并延长交ABC △的外接圆于M ，连BD ，OM ，OB ，BM ．由I 为内心，知BM CM =．又OC OB =，则OM EB ⊥．由AI 平分BAC ∠，且AB AD =，则AI BD ⊥．从而知OMI ∠与EBD ∠的两组对边分别垂直，且它们都是锐角，因此，OMI EBD ∠=∠． ①由正弦定理，有2sin 2sin 30AB R C R R OB OM =⋅=⋅︒===，又12BAD BMC ∠=的度数=BM 的度数=BOM ∠，从而DAB MOB △≌△，即有BD BM =． 由性质3知BM IM =，从而BD IM =． 又AD BE AB ==，则BE OM =．由①，②，③得OMI EBD △≌，从而知通过旋转90︒和平移可使用两个三角形重合，故OI DE ⊥，OI DE =．2．注意过内心的直线的性质 例10 如图12-17，在R ABC △中，AD 是斜边BC 上的高，连接ABD △的内心与ACD △的内心的直线，分别与AB 边交于K ，AC 边交于L ，ABC △与AKL △的面积分别记为S 与T ．求证：2S T ≥．图 12-17证明 设AD 与KL 交于E ，由性质9可得AB AD AD AB AB AD BD AK AE ⋅+⋅=++，AD AC AC AD AC AD DC AE AL ⋅+⋅=++．此两式可变为1111BDAK AE AD AB AB AD +=++⋅， ① 1111DCAE AL AD A C AC AD+=++⋅． ② 由ADB CAB △∽△，有AC AB AD BD =，即1BD AB AD AC =⋅． ③ 由ADC BAC △∽△，AB AC AD DC =，即1DC AC AD AB=⋅． ④ 由①，②，③，④得AK AL =，即1145AKO ALO ∠=∠=︒． 又1O 是ABD △的内心，易得11AKO ADO △≌△．从而AK AD =．于是111122sin sin sin cos sin 2S AB AC AB AC T AK AL AD AD B C B B B⋅==⋅=⋅=⋅=≥⋅∠∠∠∠∠， 故2S T ≥．例11 如图12-18，在ABC △中，AB AC ≠，AD BC ⊥，D 为垂足，过Rt ABD △的内心1O 和Rt ACD △的内心2O 的直线啊交AB 于K 交AC 于L ．若AK AL =，则90BAC ∠=︒．图 12-18证明 设KAD α∠=，LAD β∠=，由性质9及正弦定理，有sin sin90sin sin sin90AB ADB B αAK AE ∠⋅+︒⋅=∠++︒，sin90sin sin sin sin90AD ACC C βAE AL︒⋅+∠⋅=∠++︒．将AK AL =，sin AD B AB ∠=，sin ADC AC∠=，代入上述两式，得sin sin sin sin B αC β∠+=∠+．又sin BD αAB =，sin DC βAC =，即有ADBD AD DCAB AB AC AC+=+．而AB =AC， =，亦即2()()0BD DC AD BD DC --⋅=． 因AB AC ≠，知BD DC ≠，从而20AD BD DC -⋅=， 则Rt Rt ABD CAD △∽△，即有B β∠=，C α∠=．又180BAC B C ∠+∠+∠=︒，故90BAC βαB C ∠=+=∠+∠=︒．注 例10，例11的证法见孙哲先生的文章《三角形内心的一个性质与三道几何名题的新证》（《中学数学》1999年第6期）．3．注意内切圆(旁切圆性质的应用)例12 设E 、F 分别为ABC △内切圆I ⊙与边AC 、AB 的切点，M 为BC 的中点，AM 与EF 交于点N ，以BC 为直径的圆M ⊙分别交BI 、CI 于点X 、Y ．证明：NX ACNY AB=． 证明 如图12-19，由题设知X 、Y 分别为C 、B 在角平分线BI 、CI 上的射影，由性质11知，X 、Y 均在内切圆的切点弦EF 所在直线上．又由性质12知，N 、I 、D 三点共线．图 12-19IMN F DX Y BC ATES延长BY 、CX 交于点S ．则I 为SBC △的垂心，即知S 在直线ND 上，又由垂心性质11知I 为DXY△的内心，有1122ABC DBI CYX DYX ∠=∠=∠=∠，即得ABC DYX ∠=∠．同理ACB DXY ∠=∠．于是sin sin sin sin NX XD DYX ABC AC NY DY DXY ACB AB∠∠====∠∠． 例13 已知ABC △的中线AM 交其内切圆Γ于点K ，L ，分别过K 、L 且平行于BC 的直线交圆Γ于点X 、Y 、A 、AY 分别交BC 于P 、Q ．证明：BP CQ =．证明 如图12-20，设内切圆圆心为I ，I ⊙分别切BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，直线DI 交EF 于点T ，则由性质12知点T 在直线AM 上．图 12-20LTPM FZDY I ΓQK XCSEBA设过点K 、L 的两条切线交于点S ，则由性质13知，F 、E 、S 三点共线．由调和点列性质5后的推论8知KA KTAL TL=． ① 设直线YL 交AP 于点Z ，由KX YL ∥知KX AKLZ AL=． ② 注意到等腰梯形YLXK 中KL 为其对角线，两底的公垂线为TI ．从而KX KTYL TL=．再注意到①、②式KX KXLZ YL=，即知L 识YZ 的中点．因此，M 是QP 的中点．故BQ PC =，即有BP CQ =． 例14 设J 是ABC △顶点A 所对旁切圆的圆心，该旁切圆与边BC 切于点M ，与直线AB 、AC 分别切于点K 、L ，直线LM 与BJ 交于点F ，直线KM 与CJ 交于点G ．设S 是直线AF 与BC 的交点，T 是直线AG 与BC 的交点．证明：M 是线段ST 的中点．图 12-21LMF YG JXSKA B C证明 如图12-21，由性质11及其推论，知AF FJ ⊥，AF JG ⊥．设直线FG 分别交AB 、AC 于X 、Y ，则XY 为ABC △的中位线．从而S 关于直线FB 与A 对称，T 关于直线GC 与A 对称，于是SJ AJ TJ ==．注意到Jm ST ⊥，故SM MT =． 【模拟实战】习题A1．已知1O ⊙与2O ⊙相交于A 、B 两点，延长1O A 交2O ⊙于点C ，延长2O A 交1O ⊙于D ．求证：A 是BCD △的内心．2．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，CD 是斜边上的高．1O ，2O 分别是ACD △和BCD △的内心．求证：21AO C BO C ∠=∠．3．设ABC △的内切圆I 与AB 、AC 边分别切于点E 、F ，射线BI 、CI 分别交EF 于点M 、N ．试证：四边形AMIN 与IBC 的面积相等．4．在梯形ABCD 中，BC DA ∥，对角线AC 与BD 相交于P ．记PAB △、PBC △、PCD △、PDA△的内切线半径依次为1r 、2r 、3r 、4r ，且13241111r r r r +=+．求证：AB CD BC DA +=+．5．在凸四边形ABCD 中，AC BD AB ==，且AC BD ⊥，垂足为E ．设I 为AEB △的内心，M 为AB边的中点．求证：MI CD ⊥，且12MI CD =．6．设I 为ABC △的内心，A B C '''△是从I 向BC ，CA ，AB 所作垂线的垂足三角形．证明：cot cot cot cot cot cot A B C A B C '''∠+∠+∠≥∠+∠+∠．7．已知AO 是等腰AEF △的底EF 上的高，有AO EF =，延长AE 到B ，使B E A E =，过点B 作AF 的垂线，垂足为C ．求证：点O 是ABC △的内心．8．设ABC △的外接圆半径为R ，内切圆的半径r ，内心为I ，延长AI 交外接圆于D ．求证：2AI ID Rr ⋅=．9．在ABC △中，C ∠的平分线交边AB 及三角形的外接圆于D ，K ，I 是ABC △的内心．求证：（1）111ID IK IC -=；（2）1IC IDID DK-=．10．I 为ABC △的内心，且A '，B '，C '分别为IBC ∠，IAC ∠，IAB ∠的外心．求证：A B C '''△与ABC 有相同的外心．习题B1．在ABC △中，A ∠，B ∠，C ∠的平分线分别交外接圆于点P ，Q ，R ．求证： AP BQ CR BC CA AB ++>++．2．四边形ABCD 内接圆，BCD △，ACD △，ABD △，ABC △的内心依次记为A I ，B I ，C I ，D I ．证明：A B C D I I I I 是矩形．3．在锐角ABC △中，A ∠，B ∠，C ∠的平分线延长后分别与ABC △的外接圆交于1A ，1B ，1C ．直线1AA 与B ∠，C ∠的外角平分线相交于0A ，0B ，0C 与此类似．求证：（1）000A B C △的面积是六边形111AC BACB 的2倍；（2）000A B C △的面积至少是ABC △面积的4倍． 4．ABC △的A ∠，B ∠，C ∠的内角平分线分别与外接圆交于1A ，1B ，1C ．证明：111A B C △的面积大于或等于ABC △的面积．5．设K 为ABC △的内心，点1C ，1B 分别为边AB ，AC 的中点，直线AC 与1C K 交于点2B ，直线AB 与1B K 交于点2C ．若22AB C ABC S S =△△，求CAB ∠．6．设I 是ABC △的内心，并设ABC △的内切圆与三边BC ，CA ，AB 分别相切于点K ，L ，M ．过B 点平行于MK 的直线分别交直线LM 及LK 于点R 和S ．证明：RIS ∠是锐角．7．在Rt ABC △中，AD 是斜边BC 上的高，连接ABD △的内心与ACD △的内心的直线分别交AB 边于K ，交AC 边于L ，KL 与AD 交于E ．求证：111AB AC AE+=． 8．设ABC △的内心为I ，外接圆分别交AI ，BI ，CI 于A '，B '，C '．证明：IA IB IC I IB IC '''⋅⋅≤⋅⋅． 9．已知等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，又BCD △的内切圆切CD 于E ，F 是DAC ∠的角平分线上一点，且EF CD ⊥，ACF △的外接圆交CD 于G ．证明：AFG △是等腰三角形．10．ABC △具有下面性质：存在一个内部的点P 使10PAB ∠=︒，20PBA ∠=︒，30PCA ∠=︒，40PAC ∠=︒．证明：ABC △是等腰三角形． 11．已知R ，Q 分别是ABC △的边BC ，AB 上的点．并且使AB BR AC CR +=+，CB BQ CA AQ +=+，AR ，CQ 相交于J ，又M 是BC 的中点，I 是ABC △的内心．求证：AJ MI ∥，2AJ MI =．12．在ABC △中，30BAC ∠=︒，70ABC ∠=︒，M 为形内一点，20MAB MCA ∠=∠=︒，求MBA ∠的度数．13．在ABC △，AD 为A ∠的平分线，M ，N 分别为AB ，AC 的中点．若B ∠，MDN ∠，C ∠成等差数值，求证：AB ，BC ，AC 也成等差数值．。

三角形内心
目录：
1. 三角形内心的定义
1.1 三角形内心的特点
1.1.1 内心到三角形三边的距离相等
1.1.2 内心到三角形三边的连线交点为内心
1.1.3 内心是三角形的重心、垂心和外心的交点
2. 内心在三角形中的应用
2.1 内心是三角形的三条角平分线的交点
2.2 内心是三角形的内接圆心
2.3 内心相关定理的证明方法
3. 怎样找到三角形的内心
3.1 利用内心到三边的距离相等的性质确定内心位置
3.2 利用内心是三角形的重心、垂心和外心的交点确定内心位置
3.3 利用内心到三边的连线交点为内心确定内心位置
4. 怎样利用内心解决三角形相关问题
4.1 内心是解三角形的关键
4.2 利用内心定位求解三角形的相关角度和边长问题
4.3 内心定理在三角形计算中的应用案例
5. 结语
5.1 总结三角形内心的重要性和应用价值
5.2 鼓励读者深入学习三角形内心相关知识，提高数学学习能力。

三角形中的内心外心垂心与重心三角形是几何学中最基本的图形之一，它有很多有趣和重要的性质。

其中，内心、外心、垂心和重心是与三角形密切相关的四个特殊点。

本文将探讨这四个点的定义、性质及其在三角形中的应用。

一、内心内心是指三角形内部与三边各自相切的圆的圆心，记为I。

对于任意三角形ABC，I的定义如下：1. 点I到三角形的每条边的距离相等，即IA=IB=IC。

2. 点I恰好在三边的内部。

3. 内切圆的半径为r，称为三角形的内切圆半径。

内心有很多重要的性质：1. 内心到三边的距离分别是三边长度的函数，可以通过海伦公式计算。

2. 内心是三角形的垂心和重心的共轭点，也是三角形的唯一一个同时与三边相切的圆心。

3. 对于等边三角形，内心、重心和外心重合于同一个点。

4. 内心是三角形三条角平分线的交点。

二、外心外心是指三角形外接圆的圆心，记为O。

对于任意三角形ABC，O 的定义如下：1. 三角形的三条边的中垂线相交于一点，该点就是外心。

2. 外接圆半径为R，称为三角形的外接圆半径。

外心也有一些重要的性质：1. 外心到三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC=R。

2. 外心是垂心和内心的共轭点，也是三角形的唯一一个同时与三边相切的圆心。

3. 对于钝角三角形，外心在三角形外部；对于直角三角形，外心在三角形斜边上；对于锐角三角形，外心在三角形内部。

4. 外心是三角形三个垂直平分线的交点。

三、垂心垂心是指三角形三条高或垂直平分线的交点，记为H。

对任意三角形ABC，H的定义如下：1. 三角形的三条高或垂直平分线相交于一点，该点就是垂心。

垂心有以下重要性质：1. 垂心到三边距离之积为定值，等于三角形面积的两倍。

2. 垂心是内心和外心的共轭点，也是三角形的唯一一个同时与三边相切的圆心。

3. 对于锐角三角形，垂心在三角形内部；对于直角三角形，垂心在斜边上；对于钝角三角形，垂心在三角形外部。

4. 垂心是三角形三个中线的交点。

四、重心重心是指三角形三条中线的交点，记为G。

平面几何：有关三角形五心的经典试题三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心.一、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.例1．过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN∥BA 交AC 于N .作点P 关于MN 的对称点P ′.试证：P ′点在△ABC 外接圆上.(杭州大学《中学数学竞赛习题》) 分析：由已知可得MP ′=MP =MB ，NP ′=NP =NC ，故点M 是△P ′BP 的外心，点 N 是△P ′PC 的外心.有 ∠BP ′P =21∠BMP =21∠BAC ， ∠PP ′C =21∠PNC =21∠BAC .∴∠BP ′C =∠BP ′P +∠P ′PC =∠BAC .从而，P ′点与A ，B ，C 共圆、即P ′在△ABC 外接圆上. 由于P ′P 平分∠BP ′C ，显然还有 P ′B :P ′C =BP :PC .例2．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S .证明以△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似.(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析：设O 1，O 2，O 3是△APS ，△BQP ， △CSQ 的外心，作出六边形O 1PO 2QO 3S 后再由外 A B C PP MN'AB CQK P O O O ....S123心性质可知 ∠PO 1S =2∠A ， ∠QO 2P =2∠B ， ∠SO 3Q =2∠C .∴∠PO 1S +∠QO 2P +∠SO 3Q =360°.从而又知∠O 1PO 2+∠O 2QO 3+∠O 3SO 1=360°将△O 2QO 3绕着O 3点旋转到△KSO 3，易判断△KSO 1≌△O 2PO 1，同时可得△O 1O 2O 3≌△O 1KO 3. ∴∠O 2O 1O 3=∠KO 1O 3=21∠O 2O 1K =21(∠O 2O 1S +∠SO 1K ) =21(∠O 2O 1S +∠PO 1O 2) =21∠PO 1S =∠A ；同理有∠O 1O 2O 3=∠B .故△O 1O 2O 3∽△ABC . 二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每 条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.例3．AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，P 是任意一点.证明：在△PAD ，△PBE ，△PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和.(第26届莫斯科数学奥林匹克) 分析：设G 为△ABC 重心，直线PG 与AB ，BC 相交.从A ，C ，D ，E ，F 分别作该直线的垂线，垂足为A ′，C ′， D ′，E ′，F ′.AA 'F F 'G E E 'D 'C 'P C B D易证AA ′=2DD ′，CC ′=2FF ′，2EE ′=AA ′+CC ′， ∴EE ′=DD ′+FF ′. 有S △PGE =S △PGD +S △PGF .两边各扩大3倍，有S △PBE =S △PAD +S △PCF .例4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.分析：将△ABC 简记为△，由三中线AD ，BE ，CF 围成的三角形简记为△′.G 为重心，连DE 到H ，使EH =DE ，连HC ，HF ，则△′就是△HCF .(1)a 2，b 2，c 2成等差数列⇒△∽△′. 若△ABC 为正三角形，易证△∽△′. 不妨设a ≥b ≥c ，有 CF =2222221c b a -+， BE =2222221b ac -+， AD =2222221a cb -+.将a 2+c 2=2b 2，分别代入以上三式，得 CF =a 23，BE =b 23，AD =c 23. ∴CF :BE :AD =a 23:b 23:c 23=a :b :c .故有△∽△′.(2)△∽△′⇒a 2，b 2，c 2成等差数列. 当△中a ≥b ≥c 时， △′中CF ≥BE ≥AD .∵△∽△′， ∴∆∆S S '＝(aCF )2.据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的43”，有∆∆S S '=43.∴22aCF =43⇒3a 2=4CF 2=2a 2+b 2-c2a 2+c 2=2b 2.三、垂心三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利. 例5．设A 1A 2A 3A 4为⊙O 内接四边形，H 1，H 2，H 3，H 4依次为△A 2A 3A 4，△A 3A 4A 1，△A 4A 1A 2，△A 1A 2A 3的垂心.求证：H 1，H 2，H 3，H 4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置. (1992，全国高中联赛) 分析：连接A 2H 1，A 1H 2，H 1H 2，记圆半径为R .由△A 2A 3A 4知13212sin H A A H A ∠=2R ⇒A 2H 1=2R cos ∠A 3A 2A 4；由△A 1A 3A 4得A 1H 2=2R cos ∠A 3A 1A 4.但∠A 3A 2A 4=∠A 3A 1A 4，故A 2H 1=A 1H 2.易证A 2H 1∥A 1A 2，于是，A 2H 1 A 1H 2，故得H 1H 2 A 2A 1.设H 1A 1与H 2A 2的交点为M ，故H 1H 2与A 1A 2关于M 点成中心对称.同理，H 2H 3与A 2A 3，H 3H 4与A 3A 4，H 4H 1与A 4A 1都关于M 点成中心对称.故四边形H 1H 2H 3H 4与四边形A 1A 2A 3A 4关于M 点成中心∥=∥=.O A A A A 1234H H 12对称，两者是全等四边形，H 1，H 2，H 3，H 4在同一个圆上.后者的圆心设为Q ，Q 与O 也关于M 成中心对称.由O ，M 两点，Q 点就不难确定了.例6．H 为△ABC 的垂心，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中心.一个以H 为圆心的⊙H 交直线EF ，FD ，DE 于A 1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2.求证：AA 1=AA 2=BB 1=BB 2=CC 1=CC 2.(1989，加拿大数学奥林匹克训练题)分析：只须证明AA 1=BB 1=CC 1即可.设BC =a ， CA =b ，AB =c ，△ABC 外 接圆半径为R ，⊙H 的半径为r .连HA 1，AH 交EF 于M .A 21A =AM 2+A 1M 2=AM 2+r 2-MH 2=r 2+(AM 2-MH 2)， ① 又AM 2-HM 2=(21AH 1)2-(AH -21AH 1)2=AH ·AH 1-AH 2=AH 2·AB -AH 2=cos A ·bc -AH 2， ② 而ABHAH∠sin =2R ⇒AH 2=4R 2cos 2A ,Aasin =2R ⇒a 2=4R 2sin 2A . ∴AH 2+a 2=4R 2，AH 2=4R 2-a 2. ③ 由①、②、③有A 21A =r2+bca cb 2222-+·bc -(4R 2-a 2)=21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2.H H HM AB BA ABC C C F12111222DE同理，21BB =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2，21CC =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2. 故有AA 1=BB 1=CC 1. 四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：设I 为△ABC 的内心，射线AI 交△ABC 外接圆于A ′，则有A ′I =A ′B =A ′C .换言之，点A ′必是△IBC 之外心(内心的等量关系之逆同样有用). 例7．ABCD 为圆内接凸四边形，取△DAB ，△ABC ，△BCD ，△CDA 的内心O 1， O 2，O 3， O 4.求证：O 1O 2O 3O 4为矩形.(1986，中国数学奥林匹克集训题) 证明见《中等数学》1992；4例8．已知⊙O 内接△ABC ，⊙Q 切AB ，AC 于E ，F 且与⊙O 内切.试证：EF 中点P 是△ABC 之内心.(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析：在第20届IMO 中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件AB =AC .当AB ≠AC ，怎样证明呢？如图，显然EF 中点P 、圆心Q ，BC 中点K 都在∠BAC 平分线上.易知AQ =αsin r .∵QK ·AQ =MQ ·QN ，∴QK =AQQNMQ ⋅AB C D O O O 234O1AααMBCKNE R OQF r P=αsin /)2(r r r R ⋅-=)2(sin r R -⋅α.由Rt △EPQ 知PQ =r ⋅αsin .∴PK =PQ +QK =r ⋅αsin +)2(sin r R -⋅α=R 2sin ⋅α. ∴PK =BK .α利用内心等量关系之逆定理，即知P 是△ABC 这内心. 五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于 一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起， 旁心还与三角形的半周长关系密切.例9．在直角三角形中，求证：r +r a +r b +r c =2p .式中r ，r a ，r b ，r c 分别表示内切圆半径及与a ，b ，c 相切的旁切圆半径，p 表示半周.(杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析：设Rt △ABC 中，c 为斜边，先来证明一个特性：p (p -c )=(p -a )(p -b ).∵p (p -c )=21(a +b +c )·21(a +b -c )=41[(a +b )2-c 2]=21ab ；(p -a )(p -b )=21(-a +b +c )·21(a -b +c ) =41[c 2-(a -b )2]=21ab .∴p (p -c )=(p -a )(p -b ). ① 观察图形，可得K r r r r O O O 213AO ECBabcr a =AF -AC =p -b ， r b =BG -BC =p -a ， r c =CK =p .而r =21(a +b -c )=p -c . ∴r +r a +r b +r c=(p -c )+(p -b )+(p -a )+p =4p -(a +b +c )=2p . 由①及图形易证.例10．M 是△ABC 边AB 上的任意一点.r 1，r 2，r 分别是△AMC ，△BMC ，△ABC 内切圆的半径，q 1，q 2，q 分别是上述三角形在∠ACB 内部的旁切圆半径.证明：11q r ·22q r =qr .(IMO -12)分析：对任意△A ′B ′C ′，由正弦定理可知OD =OA ′·2'sin A=A ′B ′·'''sin 2'sinB O A B ∠·2'sin A =A ′B ′·2''sin2'sin 2'sinB A B A +⋅，O ′E = A ′B ′·2''sin2'cos 2'cosB A B A +.A ...'B 'C 'OO 'ED∴2'2''B tg A tgEO OD=. 亦即有11q r ·22q r =2222B tg CNB tg CMA tg A tg∠∠ =22B tg A tg=qr. 六、众心共圆这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的心；(2)同一图形出现了同一三角形的几个心.例11．设在圆内接凸六边形ABCDFE 中，AB =BC ，CD =DE ，EF =FA .试证：(1)AD ，BE ，CF 三条对角线交于一点；(2)AB +BC +CD +DE +EF +FA ≥AK +BE +CF . (1991，国家教委数学试验班招生试题)分析：连接AC ，CE ，EA ，由已知可证AD ，CF ，EB 是△ACE 的三条内角平分线，I 为△ACE 的内心.从而有ID =CD =DE ，IF =EF =FA ， IB =AB =BC . 再由△BDF ，易证BP ，DQ ，FS 是它的三条高，I 是它的垂心，利用 不等式有：BI +DI +FI ≥2·(IP +IQ +IS ). 不难证明IE =2IP ，IA =2IQ ，IC =2IS . ∴BI +DI +FI ≥IA +IE +IC .∴AB +BC +CD +DE +EF +FA=2(BI +DI +FI )≥(IA +IE +IC )+(BI +DI +FI ) =AD +BE +CF .I 就是一点两心.Erdos..I P A BCD EFQS例12．△ABC 的外心为O ，AB =AC ，D 是AB 中点，E 是△ACD 的重心.证明OE 丄CD .(加拿大数学奥林匹克训练题)分析：设AM 为高亦为中线，取AC 中点 F ，E 必在DF 上且DE :EF =2:1.设 CD 交AM 于G ，G 必为△ABC 重心. 连GE ，MF ，MF 交DC 于K .易证：DG :GK =31DC :(3121-)DC =2:1.∴DG :GK =DE :EF ⇒GE ∥MF .∵OD 丄AB ，MF ∥AB ，∴OD 丄MF ⇒OD 丄GE .但OG 丄DE ⇒G 又是△ODE 之垂心. 易证OE 丄CD .例13．△ABC 中∠C =30°，O 是外心，I 是内心，边AC 上的D 点与边BC 上的E 点使得AD =BE =AB .求证：OI 丄DE ，OI =DE .(1988，中国数学奥林匹克集训题)分析：辅助线如图所示，作∠DAO 平分线交BC 于K . 易证△AID ≌△AIB ≌△EIB ，∠AID =∠AIB =∠EIB . 利用内心张角公式，有 ∠AIB =90°+21∠C =105°，∴∠DIE =360°-105°×3=45°. ∵∠AKB =30°+21∠DAO=30°+21(∠BAC -∠BAO )AB C D E FO KGO A BCDEF I K30°=30°+21(∠BAC -60°)=21∠BAC =∠BAI =∠BEI .∴AK ∥IE .由等腰△AOD 可知DO 丄AK ，∴DO 丄IE ，即DF 是△DIE 的一条高. 同理EO 是△DIE 之垂心，OI 丄DE . 由∠DIE =∠IDO ，易知OI =DE .例14．锐角△ABC 中，O ，G ，H 分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d 外，重心到三边距离和为d 重，垂心到三边距离和为d 垂. 求证：1·d 垂+2·d 外=3·d 重. 分析：这里用三角法.设△ABC 外接圆 半径为1，三个内角记为A ，B ， C . 易知d 外=OO 1+OO 2+OO 3=cos A +co sB +cos C ，∴2d 外=2(cos A +cos B +cos C ). ① ∵AH 1=sin B ·AB =sin B ·(2sin C )=2sin B ·sin C ， 同样可得BH 2·CH 3.∴3d 重=△ABC 三条高的和=2·(sin B ·sin C +sin C ·sin A +sin A ·sin B ) ② ∴BCHBH sin =2，∴HH 1=cos C ·BH =2·cos B ·cos C . 同样可得HH 2，HH 3. ∴d 垂=HH 1+HH 2+HH 3=2(cos B ·cos C +cos C ·cos A +cos A ·cos B ) ③B C O IAO G H O G H GO G H 123112233欲证结论，观察①、②、③，须证(cos B·cos C+cos C·cos A+cos A·cos B)+( cos A+ cos B+ cos C)=sin B·sin C+sin C·sin A+sin A·sin B.即可.练习题1.I为△ABC之内心，射线AI，BI，CI交△ABC外接圆于A′，B′，C′.则AA′+BB′+CC′＞△ABC周长.(1982，澳大利亚数学奥林匹克)2.△T′的三边分别等于△T的三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.(1989，捷克数学奥林匹克)3.I为△ABC的内心.取△IBC，△ICA，△IAB的外心O1，O2，O3.求证：△O1O2O3与△ABC有公共的外心.(1988，美国数学奥林匹克)4.AD为△ABC内角平分线.取△ABC，△ABD，△ADC的外心O，O1，O2.则△OO1O2是等腰三角形.5.△ABC中∠C＜90°，从AB上M点作CA，CB的垂线MP，MQ.H是△CPQ的垂心.当M是AB上动点时，求H的轨迹.(IMO-7)1(AB+AC)，取AB，AC中点M，N，G为重心，I为6.△ABC的边BC=2内心.试证：过A，M，N三点的圆与直线GI相切.(第27届莫斯科数学奥林匹克)7.锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1，H2，H3.已知：H1，H2，H3，求作△ABC.(第7届莫斯科数学奥林匹克)8.已知△ABC的三个旁心为I1，I2，I3.求证：△I1I2I3是锐角三角形.9.AB，AC切⊙O于B，C，过OA与BC的交点M任作⊙O的弦EF.求证：(1)△AEF与△ABC有公共的内心；(2)△AEF与△ABC有一个旁心重合.中学数学几何问题：有关三角形五心的经典试题三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心.一、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每 条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.例1．AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，P 是任意一点.证明：在△PAD ，△PBE ，△PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和.(第26届莫斯科数学奥林匹克) 分析：设G 为△ABC 重心，直线PG 与AB ，BC 相交.从A ，C ，D ，E ，F 分别作该直线的垂线，垂足为A ′，C ′， D ′，E ′，F ′.易证AA ′=2DD ′，CC ′=2FF ′，2EE ′=AA ′+CC ′， ∴EE ′=DD ′+FF ′. 有S △PGE =S △PGD +S △PGF .两边各扩大3倍，有S △PBE =S △PAD +S △PCF .例2．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.分析：将△ABC 简记为△，由三中线AD ，BE ，CF 围成的三角形简记为△′.G 为重心，连DE 到H ，使EH =DE ，连HC ，HF ，则△′就是△HCF .(1)a 2，b 2，c 2成等差数列⇒△∽△′. 若△ABC 为正三角形，易证△∽△′. 不妨设a ≥b ≥c ，有 CF =2222221c b a -+，AA 'F F 'G E E 'D 'C 'P C B DBE =2222221b a c -+， AD =2222221a cb -+.将a 2+c 2=2b 2，分别代入以上三式，得 CF =a 23，BE =b 23，AD =c 23. ∴CF :BE :AD =a 23:b 23:c 23=a :b :c .故有△∽△′.(2)△∽△′⇒a 2，b 2，c 2成等差数列. 当△中a ≥b ≥c 时， △′中CF ≥BE ≥AD . ∵△∽△′， ∴∆∆S S '＝(aCF )2.据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的43”，有∆∆S S '=43.∴22aCF =43⇒3a 2=4CF 2=2a 2+b 2-c2a 2+c 2=2b 2.二、垂心三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利. 例3．设A 1A 2A 3A 4为⊙O 内接四边形，H 1，H 2，H 3，H 4依次为△A 2A 3A 4，△A 3A 4A 1，△A 4A 1A 2，△A 1A 2A 3的垂心.求证：H 1，H 2，H 3，H 4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.(1992，全国高中联赛)分析：连接A 2H 1，A 1H 2，H 1H 2，记圆半径为R .由△A 2A 3A 4知13212sin H A A H A ∠=2R ⇒A 2H 1=2R cos ∠A 3A 2A 4；由△A 1A 3A 4得A 1H 2=2R cos ∠A 3A 1A 4.但∠A 3A 2A 4=∠A 3A 1A 4，故A 2H 1=A 1H 2.易证A 2H 1∥A 1A 2，于是，A 2H 1 A 1H 2，故得H 1H 2 A 2A 1.设H 1A 1与H 2A 2的交点为M ，故H 1H 2与A 1A 2关于M 点成中心对称.同理，H 2H 3与A 2A 3，H 3H 4与A 3A 4，H 4H 1与A 4A 1都关于M 点成中心对称.故四边形H 1H 2H 3H 4与四边形A 1A 2A 3A 4关于M 点成中心对称，两者是全等四边形，H 1，H 2，H 3，H 4在同一个圆上.后者的圆心设为Q ，Q 与O 也关于M 成中心对称.由O ，M 两点，Q 点就不难确定了.例4．H 为△ABC 的垂心，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中心.一个以H 为圆心的⊙H 交直线EF ，FD ，DE 于A 1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2.求证：AA 1=AA 2=BB 1=BB 2=CC 1=CC 2.(1989，加拿大数学奥林匹克训练题) 分析：只须证明AA 1=BB 1=CC 1即可.设 BC =a ， CA =b ，AB =c ，△ABC 外 接圆半径为R ，⊙H 的半径为r . 连HA 1，AH 交EF 于M . A 21A =AM 2+A 1M 2=AM 2+r 2-MH 2=r 2+(AM 2-MH 2)， ①∥=∥=.OA A A A 1234H H 12H H HM AB BA ABC CC F12111222DE又AM 2-HM 2=(21AH 1)2-(AH -21AH 1)2=AH ·AH 1-AH 2=AH 2·AB -AH 2=cos A ·bc -AH 2， ② 而ABHAH∠sin =2R ⇒AH 2=4R 2cos 2A ,Aasin =2R ⇒a 2=4R 2sin 2A . ∴AH 2+a 2=4R 2，AH 2=4R 2-a 2. ③ 由①、②、③有A 21A =r2+bca cb 2222-+·bc -(4R 2-a 2)=21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2. 同理，21BB =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2，21CC =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2. 故有AA 1=BB 1=CC 1.三、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.例5．过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN∥BA 交AC 于N .作点P 关于MN 的对称点P ′.试证：P ′点在△ABC 外接圆上.(杭州大学《中学数学竞赛习题》) 分析：由已知可得MP ′=MP =MB ，NP ′=NP ABCPP MN'=NC ，故点M 是△P ′BP 的外心，点 N 是△P ′PC 的外心.有 ∠BP ′P =21∠BMP =21∠BAC ，∠PP ′C =21∠PNC =21∠BAC .∴∠BP ′C =∠BP ′P +∠P ′PC =∠BAC .从而，P ′点与A ，B ，C 共圆、即P ′在△ABC 外接圆上. 由于P ′P 平分∠BP ′C ，显然还有 P ′B :P ′C =BP :PC .例6．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S .证明以△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似.(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析：设O 1，O 2，O 3是△APS ，△BQP ， △CSQ 的外心，作出六边形O 1PO 2QO 3S 后再由外 心性质可知 ∠PO 1S =2∠A ， ∠QO 2P =2∠B ， ∠SO 3Q =2∠C .∴∠PO 1S +∠QO 2P +∠SO 3Q =360°.从而又知∠O 1PO 2+∠O 2QO 3+∠O 3SO 1=360°将△O 2QO 3绕着O 3点旋转到△KSO 3，易判断△KSO 1≌△O 2PO 1，同时可得△O 1O 2O 3≌△O 1KO 3. ∴∠O 2O 1O 3=∠KO 1O 3=21∠O 2O 1K =21(∠O 2O 1S +∠SO 1K )AB C QK P O O O ....S123=21(∠O 2O 1S +∠PO 1O 2)=21∠PO 1S =∠A ；同理有∠O 1O 2O 3=∠B .故△O 1O 2O 3∽△ABC . 四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：设I 为△ABC 的内心，射线AI 交△ABC 外接圆于A ′，则有A ′I =A ′B =A ′C .换言之，点A ′必是△IBC 之外心(内心的等量关系之逆同样有用). 例7．ABCD 为圆内接凸四边形，取△DAB ，△ABC ，△BCD ，△CDA 的内心O 1， O 2，O 3， O 4.求证：O 1O 2O 3O 4为矩形.(1986，中国数学奥林匹克集训题) 证明见《中等数学》1992；4例8．已知⊙O 内接△ABC ，⊙Q 切AB ，AC 于E ，F 且与⊙O 内切.试证：EF 中点P 是△ABC 之内心.(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析：在第20届IMO 中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件AB =AC .当AB ≠AC ，怎样证明呢？如图，显然EF 中点P 、圆心Q ，BC 中点K 都在∠BAC 平分线上.易知AQ =αsin r .∵QK ·AQ =MQ ·QN ，∴QK =AQQNMQ ⋅AB C D O O O 234O1AααMBCKNE R OQF r P=αsin /)2(r r r R ⋅-=)2(sin r R -⋅α.由Rt △EPQ 知PQ =r ⋅αsin .∴PK =PQ +QK =r ⋅αsin +)2(sin r R -⋅α=R 2sin ⋅α. ∴PK =BK .α利用内心等量关系之逆定理，即知P 是△ABC 这内心. 五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于 一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起， 旁心还与三角形的半周长关系密切.例9．在直角三角形中，求证：r +r a +r b +r c =2p .式中r ，r a ，r b ，r c 分别表示内切圆半径及与a ，b ，c 相切的旁切圆半径，p 表示半周.(杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析：设Rt △ABC 中，c 为斜边，先来证明一个特性：p (p -c )=(p -a )(p -b ).∵p (p -c )=21(a +b +c )·21(a +b -c )=41[(a +b )2-c 2]=21ab ；(p -a )(p -b )=21(-a +b +c )·21(a -b +c ) =41[c 2-(a -b )2]=21ab .∴p (p -c )=(p -a )(p -b ). ① 观察图形，可得K r r r r O O O 213AO ECBabcr a =AF -AC =p -b ， r b =BG -BC =p -a ， r c =CK =p .而r =21(a +b -c )=p -c . ∴r +r a +r b +r c=(p -c )+(p -b )+(p -a )+p =4p -(a +b +c )=2p . 由①及图形易证.例10．M 是△ABC 边AB 上的任意一点.r 1，r 2，r 分别是△AMC ，△BMC ，△ABC 内切圆的半径，q 1，q 2，q 分别是上述三角形在∠ACB 内部的旁切圆半径.证明：11q r ·22q r =qr .(IMO -12)分析：对任意△A ′B ′C ′，由正弦定理可知OD =OA ′·2'sin A=A ′B ′·'''sin 2'sinB O A B ∠·2'sin A =A ′B ′·2''sin2'sin 2'sinB A B A +⋅，O ′E = A ′B ′·2''sin2'cos 2'cosB A B A +.A ...'B 'C 'OO 'ED∴2'2''B tg A tgEO OD=. 亦即有11q r ·22q r =2222B tg CNB tg CMA tg A tg∠∠ =22B tg A tg=qr. 六、众心共圆这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的心；(2)同一图形出现了同一三角形的几个心.例11．设在圆内接凸六边形ABCDFE 中，AB =BC ，CD =DE ，EF =FA .试证：(1)AD ，BE ，CF 三条对角线交于一点；(2)AB +BC +CD +DE +EF +FA ≥AK +BE +CF . (1991，国家教委数学试验班招生试题)分析：连接AC ，CE ，EA ，由已知可证AD ，CF ，EB 是△ACE 的三条内角平分线，I 为△ACE 的内心.从而有ID =CD =DE ，IF =EF =FA ， IB =AB =BC . 再由△BDF ，易证BP ，DQ ，FS 是它的三条高，I 是它的垂心，利用 不等式有：BI +DI +FI ≥2·(IP +IQ +IS ). 不难证明IE =2IP ，IA =2IQ ，IC =2IS . ∴BI +DI +FI ≥IA +IE +IC .∴AB +BC +CD +DE +EF +FA=2(BI +DI +FI )≥(IA +IE +IC )+(BI +DI +FI ) =AD +BE +CF .I 就是一点两心.Erdos..I P A BCD EFQS例12．△ABC 的外心为O ，AB =AC ，D 是AB 中点，E 是△ACD 的重心.证明OE 丄CD .(加拿大数学奥林匹克训练题)分析：设AM 为高亦为中线，取AC 中点 F ，E 必在DF 上且DE :EF =2:1.设 CD 交AM 于G ，G 必为△ABC 重心. 连GE ，MF ，MF 交DC 于K .易证：DG :GK =31DC :(3121-)DC =2:1.∴DG :GK =DE :EF ⇒GE ∥MF .∵OD 丄AB ，MF ∥AB ，∴OD 丄MF ⇒OD 丄GE .但OG 丄DE ⇒G 又是△ODE 之垂心. 易证OE 丄CD .例13．△ABC 中∠C =30°，O 是外心，I 是内心，边AC 上的D 点与边BC 上的E 点使得AD =BE =AB .求证：OI 丄DE ，OI =DE .(1988，中国数学奥林匹克集训题)分析：辅助线如图所示，作∠DAO 平分线交BC 于K . 易证△AID ≌△AIB ≌△EIB ，∠AID =∠AIB =∠EIB . 利用内心张角公式，有 ∠AIB =90°+21∠C =105°，∴∠DIE =360°-105°×3=45°. ∵∠AKB =30°+21∠DAO=30°+21(∠BAC -∠BAO )AB C D E FO KGO A BCDEF I K30°=30°+21(∠BAC -60°)=21∠BAC =∠BAI =∠BEI .∴AK ∥IE .由等腰△AOD 可知DO 丄AK ，∴DO 丄IE ，即DF 是△DIE 的一条高. 同理EO 是△DIE 之垂心，OI 丄DE . 由∠DIE =∠IDO ，易知OI =DE .例14．锐角△ABC 中，O ，G ，H 分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d 外，重心到三边距离和为d 重，垂心到三边距离和为d 垂. 求证：1·d 垂+2·d 外=3·d 重. 分析：这里用三角法.设△ABC 外接圆 半径为1，三个内角记为A ，B ， C . 易知d 外=OO 1+OO 2+OO 3=cos A +co sB +cos C ，∴2d 外=2(cos A +cos B +cos C ). ① ∵AH 1=sin B ·AB =sin B ·(2sin C )=2sin B ·sin C ， 同样可得BH 2·CH 3.∴3d 重=△ABC 三条高的和=2·(sin B ·sin C +sin C ·sin A +sin A ·sin B ) ② ∴BCHBH sin =2，∴HH 1=cos C ·BH =2·cos B ·cos C . 同样可得HH 2，HH 3. ∴d 垂=HH 1+HH 2+HH 3=2(cos B ·cos C +cos C ·cos A +cos A ·cos B ) ③B C O IAO G H O G H GO G H 123112233欲证结论，观察①、②、③，须证(cos B·cos C+cos C·cos A+cos A·cos B)+( cos A+ cos B+ cos C)=sin B·sin C+sin C·sin A+sin A·sin B.即可.练习题1.I为△ABC之内心，射线AI，BI，CI交△ABC外接圆于A′，B′，C′.则AA′+BB′+CC′＞△ABC周长.(1982，澳大利亚数学奥林匹克)2.△T′的三边分别等于△T的三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.(1989，捷克数学奥林匹克)3.I为△ABC的内心.取△IBC，△ICA，△IAB的外心O1，O2，O3.求证：△O1O2O3与△ABC有公共的外心.(1988，美国数学奥林匹克)4.AD为△ABC内角平分线.取△ABC，△ABD，△ADC的外心O，O1，O2.则△OO1O2是等腰三角形.5.△ABC中∠C＜90°，从AB上M点作CA，CB的垂线MP，MQ.H是△CPQ的垂心.当M是AB上动点时，求H的轨迹.(IMO-7)1(AB+AC)，取AB，AC中点M，N，G为重心，I为6.△ABC的边BC=2内心.试证：过A，M，N三点的圆与直线GI相切.(第27届莫斯科数学奥林匹克)7.锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1，H2，H3.已知：H1，H2，H3，求作△ABC.(第7届莫斯科数学奥林匹克)8.已知△ABC的三个旁心为I1，I2，I3.求证：△I1I2I3是锐角三角形.9.AB，AC切⊙O于B，C，过OA与BC的交点M任作⊙O的弦EF.求证：(1)△AEF与△ABC有公共的内心；(2)△AEF与△ABC有一个旁心重合.1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

1 / 3 三角形内心的性质及其应用一．基础知识三角形的内切圆的圆心简称为三角形的内心，内心有下列优美的性质：性质1：设I 为ΔABC 的内心，则I 到ΔABC 三边的距离相等；反之亦然。

性质2：设I 为ΔABC 的内心，则∠BIC = 90 °+∠A/2,类似地还有两式。

性质3：设I 为ΔABC 的内心，BC = a, AC = b, AB = c, I 在BC 、AC 、AB 上射影分别为D 、E 、F ；内切圆半径为r,令p = (a+b+c) /2 , 则⑴S ΔABC = p r ; ⑵2ABC S r a b c∆=++ ； ⑶AE = AF = p-a ,BD = BF = p-b , CE = CD = p-c ; ⑷ abcr = p·AI·BI·CI .性质4：三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若I 为ΔABC 的∠A 平分线AD （D 在ΔABC 的外接圆上）上的点，且DI = DB ，则I 为ΔABC 的内心。

性质5：设I 为ΔABC 的内心，BC = a, AC = b, AB = c, ∠A 的平分线交BC 于K ，交ΔABC的外接圆于D ，则AI AD DI b c KI DI DK a+=== 性质6：过ΔABC 内心I 任作一直线，分别交AB 、AC 于P 及Q 两点，则AB AC AC AB AB AC BC AP AQ+=++ 或sin sin sin sin sin AB AC B C A B C AP AQ∠+∠=∠+∠+∠ 性质7：设ΔABC 的内心为I ，ΔABC 内一点P 在BC 、CA 、AB 上的射影分别为D 、E 、F ，当P 与I 重合时，和式BC CA AB PD PE PF++的值最小。

2 / 3性质8：设I 1为ΔABC 的内心，R 为ΔABC 的外接圆的半径，则sin sin sin sin sin sin 222222IA IB IC B C A C B A ==∠∠∠∠∠∠ 二、综合应用：例1．如图，D 是ΔABC 的内心，E 是ΔABD 的内心，F 是ΔBDE 的内心。

三角形的内心与外心的性质三角形是平面几何中最基本的图形之一，而三角形的内心和外心则是这个图形中具有重要性质的点。

本文将介绍三角形内心和外心的定义、性质以及它们在解决几何问题中的应用。

一、三角形的内心内心是指三角形内一个特殊的点，它与三角形的三个顶点之间的距离之和最短。

我们将这个点称为三角形的内心，用I来表示。

内心具有以下性质：1. 内心是三角形的内切圆的圆心。

所谓内切圆，是指与三角形的三条边相切于各边的中点，且与三边的交点构成的圆。

2. 内心到三角形的三条边的距离相等。

这是因为内切圆相切于三边的中点，所以到各边的距离相等。

3. 内心所在的直径和三角形的内角平分线重合。

因此，通过内心可以得到三角形内角平分线的重要性质。

二、三角形的外心外心是指三角形外接圆的圆心，此圆恰好与三角形的三个顶点共线。

我们将这个点称为三角形的外心，用O来表示。

外心具有以下性质：1. 外心位于三角形的三边的垂直平分线交点上。

所谓垂直平分线，是指与三边垂直且通过三边中点的直线。

2. 外心到三角形的三个顶点的距离相等。

外心是外接圆的圆心，而外接圆与三个顶点相切，所以到各个顶点的距离相等。

3. 外心所在的直径和三角形的外角平分线重合。

因此，通过外心可以获得三角形外角平分线的重要性质。

三、内心和外心的应用内心和外心是三角形中非常重要的点，它们在解决几何问题中有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 定位：内心和外心可以用来定位三角形在平面坐标系中的位置，帮助我们准确地画出三角形。

2. 证明：内心和外心可以用来证明三角形性质。

通过利用内心和外心所在的直径与角平分线重合的性质，可以推导出许多三角形性质的定理。

3. 问题求解：内心和外心在解决三角形相关问题时提供了有用的信息。

例如，通过外心可以确定三角形的外接圆半径和外接圆心坐标，从而帮助我们计算三角形的面积和周长。

总结：三角形内心和外心是基于三角形内切圆和外接圆的特殊点。

它们具有许多重要的性质，可以应用于几何证明、问题求解等方面。

三角形的内心外心与垂心三角形是几何学中常见的形状，具有许多重要的性质和特点。

其中，内心、外心和垂心是三角形的三个重要点，它们在三角形的研究和应用中扮演着重要的角色。

本文将介绍并探讨三角形的内心、外心和垂心的定义、性质以及在几何学和实际生活中的应用。

一、内心内心是三角形内部的一个特殊点，它与三角形的三条边相切。

具体来说，内心是三角形的三条角平分线的交点，记作I。

对于任意三角形ABC，其内心I满足以下性质：1. 内心到三角形三边的距离相等，即IA = IB = IC。

2. 三角形的内心是内切圆的圆心，该圆称为内切圆。

内切圆与三角形的三条边都相切于一个点，且该点即为内心I。

3. 内心是三角形内角平分线的交点，即∠BAI = ∠CAI，∠CBI =∠ABI，∠ACI = ∠BCI。

内心的性质使得它在几何学和实际生活中具有重要的应用。

例如，在导航系统中，我们可以利用内心与三个信号源的距离来确定自身的位置，从而实现定位的功能。

二、外心外心是三角形外部的一个特殊点，它与三角形的三个顶点都相切。

具体来说，外心是三角形的三条中垂线的交点，记作O。

对于任意三角形ABC，其外心O满足以下性质：1. 外心到三角形的三顶点的距离相等，即OA = OB = OC。

2. 三角形的外心是外接圆的圆心，该圆称为外接圆。

外接圆与三角形的三条边都相切于一个点，且该点即为外心O。

3. 外心是三角形三条中垂线的交点，即AO ⊥ BC，BO ⊥ AC，CO ⊥ AB。

外心的性质使得它在许多几何学问题的解决中发挥了重要的作用。

例如，在设计建筑物或道路的过程中，我们需要确定三个支撑点的位置，使得它们能够稳定地支撑结构物。

此时，我们可以利用外心的位置来确定这三个支撑点的最佳位置。

三、垂心垂心是三角形内部的一个特殊点，它与三角形的三条高线相交。

具体来说，垂心是三角形的三条高线的交点，记作H。

对于任意三角形ABC，其垂心H满足以下性质：1. 垂心到三角形的三个顶点的距离相等，即HA = HB = HC。

内心、外心、重心、垂心定义及性质总结[借鉴]内心、外心、重心、垂心是几何学中与三角形相关的四个重要概念。

以下是它们的定义及性质总结：1.内心（Incenter）定义：内心是三角形内切圆的圆心。

性质：o内心到三角形三个顶点的距离相等。

o内心与三角形各边之间的距离等于三角形半周长与内切圆半径之差的一半。

o在内心分线上，任意两边的向量之积等于另外两边向量之积的负值。

2.外心（Excenter）定义：外心是三角形外接圆的圆心。

性质：o外心到三角形三个顶点的距离相等。

o外心与三角形各顶点连线所成的角等于三角形内角和的一半。

o在外心分线上，任意两边的向量之积等于另外两边向量之积的值。

3.重心（Centroid）定义：重心是三角形三条中线的交点。

性质：o重心到三角形三个顶点的距离与到三条中线的距离相等。

o重心与三角形各边之间的距离等于三角形半周长与外接圆半径之差的一半。

o在重心分线上，任意两边的向量之积等于另外两边向量之积的值。

4.垂心（Hypotenuse）定义：垂心是三角形各边上的高线的交点。

性质：o垂心到三角形三个顶点的距离与到三条高的距离相等。

o垂心与三角形各顶点连线所成的角等于三角形内角和的一半。

o在垂心分线上，任意两边的向量之积等于另外两边向量之积的负值。

总结：内心、外心、重心和垂心在几何学中具有特殊的性质和重要性。

这些概念之间的关系可以用于证明定理和解决问题。

对于内心和外心，它们分别与三角形的内切圆和外接圆相关，而重心和垂心则分别与三角形的中线和高的交点相关。

这些概念及其性质在几何学中具有广泛的应用，例如在解决几何问题、绘制图形和证明定理等方面都有重要的应用价值。

在几何学中，内心和外心是三角形中的两个重要点。

内心是三角形的内接圆心，而外心则是三角形的外接圆心。

利用这两个点，我们可以证明许多有关三角形的性质和定理。

首先，我们来介绍一下三角形的内心。

内心是三角形的三条内角平分线的交点。

也就是说，内心到三角形的三个顶点的距离是相等的。

这个性质被称为内心的等距性质。

我们可以利用内心的等距性质证明三角形的一些性质。

例如，我们可以证明内心到三角形三边的距离之和等于四个三角形的面积除以三角形的周长。

这个性质被称为内心的混合定理。

接下来，我们来介绍一下三角形的外心。

外心是三角形的三条边的垂直平分线的交点。

也就是说，外心到三角形的三个顶点的距离是相等的。

同样地，我们可以利用外心的等距性质证明三角形的一些性质。

例如，我们可以证明外心到三角形三个顶点的距离等于三角形的外接圆的半径。

这个性质被称为外心的等距性质。

利用内心和外心的性质，我们可以证明许多有关三角形的定理。

例如，我们可以证明在任意三角形中，内心、外心和重心三个点在一条直线上。

这个定理被称为欧拉定理。

另外，我们还可以证明在等边三角形中，内心和外心是同一个点，这个点也是等边三角形的中心点。

在解决几何问题时，内心和外心的存在和性质可以帮助我们更好地分析和理解三角形。

我们可以利用这些性质推导出一些重要的定理，并解决一些复杂的问题。

例如，我们可以利用内心和外心的性质证明著名的费马点定理，即求得离给定三角形三个顶点距离和最小的点一定在三角形的内部，这个点就被称为费马点。

此外，内心和外心的性质还可以用来证明其他的几何定理。

例如，我们可以利用内心的等距性质证明垂心和外心的位置有关系，从而推导出三角形的垂心定理。

垂心是三角形三个顶点到对边垂直平分线的交点，也是三角形的高的交点。

利用这些点的性质和定理，我们可以进一步推导出一些复杂的几何定理。

综上所述，几何证明中的三角形的内心和外心是解决几何问题的重要工具。

利用这些点的性质和定理，我们可以证明和解决许多有关三角形的问题。

三角形内心定理证明一、三角形内心的定义。

三角形的内心是三角形三条角平分线的交点。

这个点到三角形三边的距离相等。

二、定理内容。

设ABC的内心为I，则I到AB、BC、CA三边的距离相等。

三、证明方法。

（一）利用角平分线的性质证明。

1. 回顾角平分线性质。

- 角平分线上的点到角两边的距离相等。

2. 证明过程。

- 设I是ABC的内心，连接AI、BI、CI，它们分别是∠ BAC、∠ ABC、∠ACB的角平分线。

- 过点I作ID⊥ AB于点D，IE⊥ BC于点E，IF⊥ AC于点F。

- 因为AI是∠ BAC的角平分线，根据角平分线的性质，点I在AI上，所以ID = IF。

- 同理，因为BI是∠ ABC的角平分线，所以ID=IE。

- 由ID = IF且ID = IE，可得ID = IE=IF。

即内心I到三角形三边的距离相等。

（二）利用三角形全等证明。

1. 构建全等三角形。

- 同样设I是ABC的内心，连接AI、BI、CI，过点I作ID⊥ AB于点D，IE⊥ BC于点E，IF⊥ AC于点F。

- 在AID和AIF中，- ∠ DAI=∠ FAI（因为AI是∠ BAC的角平分线）。

- ∠ ADI=∠ AFI = 90^∘。

- AI = AI（公共边）。

- 根据角角边（AAS）全等判定定理，可得AID≅ AIF。

- 所以ID = IF。

2. 同理证明其他距离相等。

- 在BID和BIE中，- ∠ DBI=∠ EBI（因为BI是∠ ABC的角平分线）。

- ∠ BDI=∠ BEI = 90^∘。

- BI = BI（公共边）。

- 根据AAS全等判定定理，可得BID≅ BIE，所以ID = IE。

- 因为ID = IF且ID = IE，所以ID = IE=IF，即内心到三角形三边的距离相等。

三角形内心到三角形三边的距离相等得证。

三角形的内心与外心三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条边和三个角组成。

在三角形中，内心和外心是两个重要的概念。

本文将介绍三角形的内心和外心的定义、性质以及它们在三角形中的应用。

一、内心的定义与性质内心通常被定义为三角形内部到三边距离之和最小的点。

具体而言，设三角形的三边分别为a、b、c，内心的坐标为（x，y），内心到三边的距离分别为d1、d2、d3。

则内心满足以下性质：1. 内心到三边的距离相等：d1 = d2 = d3 = r，其中r为内切圆的半径。

2. 内心是三角形的角平分线的交点：内心到三个角的距离相等，即∠AIB = ∠BIC = ∠CIA = π/2，其中I为内心。

3. 内心到三角形边上的点的连线上的冲心：内心到三角形边上的点的距离之和最小。

内心作为三角形的一个重要特点，具有许多应用。

其中最常见的是与三角形的面积有关。

根据欧几里得几何的知识，三角形的面积可以用海伦公式表示：S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s = (a+b+c)/2是半周长。

利用内心的性质，可以得到另外一个表示三角形面积的公式：S = r * s，其中r为内切圆的半径。

这个公式更加简洁，且容易推广到其他几何形状。

二、外心的定义与性质外心是三角形外接圆的圆心，三角形的三个顶点都在外接圆上。

设三角形的三个顶点分别为A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），外心坐标为（x，y）。

外心满足以下性质：1. 外心到三个顶点的距离相等：AO = BO = CO = R，其中R为外接圆的半径。

2. 外心是三角形边的垂直平分线的交点：外心到三边的距离相等，即∠AOC = ∠BOA = ∠COB = π/2，其中O为外心。

3. 外心是三角形的三条中垂线的交点：三角形的中垂线经过外心。

外心也具有许多应用，特别是在三角形的外接圆和直角三角形的性质中。

利用外心的性质，可以求解三角形的面积、高、周长等问题。

此外，在航空、建筑、地理等领域中，外心的位置和特性有时也被广泛应用。

三角形的外心与内心的性质三角形是几何学中的基本图形之一，研究三角形的性质一直是几何学中的重点之一。

在三角形中，外心和内心是两个重要的点，它们具有一些特殊的性质和特点。

本文将探讨三角形的外心和内心的性质，并分析它们在三角形中的作用。

一、外心的性质外心是三角形外接圆的圆心，它有一些独特的性质。

1. 外接圆的半径等于外心到三角形三个顶点的距离相等。

证明：设三角形的三个顶点分别为A、B、C，外心为O，连接AO、BO、CO。

因为O是外接圆的圆心，所以AO=BO=CO，即外心到三个顶点的距离相等，且等于外接圆的半径。

2. 外心是三角形的垂心。

证明：垂心是三角形三条高线的交点，由于外接圆的直径是过三角形某一顶点和该顶点对边中点的直线，所以外接圆的直径与三角形的高线相交于一点，该点即为外心。

因此，外心是三角形的垂心。

3. 外心是三角形三条中线的交点。

证明：中线是过三角形某一边中点的直线，而外接圆的直径是过三角形某一顶点和该顶点对边中点的直线，所以外接圆的直径与三角形的中线相交于一点，该点即为外心。

因此，外心是三角形三条中线的交点。

二、内心的性质内心是三角形内切圆的圆心，它也有一些独特的性质。

1. 内切圆的半径等于内心到三角形三边的距离相等。

证明：设三角形的三个顶点分别为A、B、C，内心为I，连接AI、BI、CI。

由于内切圆与三角形的三边相切，所以内心到三边的距离等于内切圆的半径，在三角形中是相等的。

2. 内心是三角形的重心。

证明：重心是三角形三条中线的交点，而内切圆与三角形三边相切，所以内切圆的半径与三角形三边的中线相交于一点，该点即为内心。

因此，内心是三角形的重心。

3. 内心是三角形的内角平分线交点。

证明：内角平分线是过三角形某一内角顶点的直线，而内切圆与三角形的三边相切，所以内切圆的半径与三边的内角平分线相交于一点，该点即为内心。

因此，内心是三角形的内角平分线交点。

三、外心和内心在三角形中的作用外心和内心是三角形中与圆相关的重要点，它们在几何学中有着重要的应用。