有理数的乘除法
(一)有理数乘法
有理数乘法是乘法意义的一次扩展，由于负数的出现，有理数乘法的意义很难寻求到直观的解释，因而有理数乘法法则也就很难像整数、分数那样从直观的角度得到推导和证明。1、我们用两个例子来帮助大家理解有理数乘法法则的合理性。
直观：一只蜗牛在数轴上爬行，它现在的位置恰好在原点处。我们规定：向左为负，向右为正。
(1)如果蜗牛一直以每分钟2cm的速度向右爬行，3分钟后它在什么位置？
表示为：(+2)×(+3)= +6
(+2)×(+3)的意义是(+2)×(+3)= +2 + +2 + +2
(2)如果蜗牛一直以每分钟2cm的速度向左爬行，3分钟后它在什么位置？
表示为：(-2)×(+3)= -6
(-2)×(+3)的意义是(-2)×(+3)= -2 + -2 + -2
对此(+2)×(+3)= +6
(-2)×(+3)= -6 (-2)×(+3)= -6
(-2)×(-3)= +6
如果在最后一个填空时遇到困难，可以从另一个角度理解：如果蜗牛一直以每分钟2cm 的速度向左爬行，那么3分钟前它在什么位置？(原点右侧6cm)
从旧知识的发展看，按照规律填写下列式子：
(1)3×3= 9 3×2= 6 3×1= 3 3×0= 0
3×(-1)= -3 3×(-2)= -6 3×(-3)= -9
(2)(-3)×3= -9 (-3)×2= -6 (-3)×1= -3
(-3)×0= 0 (-3)×(-1)= 3 (-3)×(-2)= 6
(-3)×(-3)= 9
2、由此归纳出有理数乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。
练习：①(-7)×(-4)= + (7×4)= 28
②-7×4= - (7×4)= -28
③
④-99×0= 0
3、在有理数范围内，我们仍然规定：乘积是1的两个数互为倒数。
练习：写出下列各数的倒数：
(1)的倒数是；(2)的倒数是
(3)-5的倒数是；(4)+1的倒数是 1
(5)-1的倒数是-1 ；(6)负数a的倒数是
(7)倒数等于它本身的数有1，-1
4、有理数乘法法则的推广：
几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。
因此，与两个有理数相乘一样，几个不等于0的有理数相乘，要先确定积的符号，再确定积的绝对值。
练习：
计算：(1)-2×(-3)×(-4) (2)100×(-1)×(-0.1)
解：原式=-(2×3×4) 解：原式=+(100×1×0.1)
=-24 =10
(3)(-8)×(-1)×0.5 (4)21×(-71)×0×43
解：原式=+(8×1×0.5) 解：原式=0
=4
注意：有理数乘法运算中务必先定符号再定绝对值5、有理数乘法的运算律：(用字母表示)
乘法交换律：
乘法结合律：
乘法分配律：
注意：1. 乘法的运算律与加法运算律类似，可以推广到多个有理数的情况：
如三个以上有理数相乘时，
再如分配律使用时扩展到一个数同多个数的和相乘的情况：
2．在运算律的使用过程中，首先要充分审题，观察其特点，进而找到使运算简便的方法
3．易错点：在使用分配律时，要特别注意符号，最好不要特易跳步。
练习：
(1)25×2004×(-4) (2)
解：原式=-(254)2004 解：原式=
=-1002004=
=-200400=-1999
(3)(4)
解：原式=解：原式=
==
==
=
(5)(6)
解：原式=解：原式=
=10-3 =
=7 =-1200+(-2)
=-1202
思考1. 当、是什么有理数时，等式成立
解：由绝对值性质，再确定、符号
因此，①当时，等式成立
②当时，等式成立
即、异号时，等式成立
③当、两数中至少有一个数为零时，等式成立
思考2. 比较与的大小。
解：当时，
当时，
当时，
(二)有理数除法
1、回顾除法的意义：
除法是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
2、有理数除法法则
(1)除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数
(2)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。
练习：
1．化简下列分数：
(1)；(2)；(3)；(4)
解：(1)
(2)
(3)
(4)
点评：①由可知，
②的结果不要写成，而应写为
③可以直接约分，而不一定写成的形式2．若，则________
解：当时，原式
当时，原式
当时，原式
当时，原式
综上：
注意：讨论须不重不漏
3．比较与的大小
解：先找“分界点”，再分类
(1)当时，无意义
(2)当或-1时，
(3)当时，
(4)当时，
(5)当时，
(6)当时，
综上：当时，无意义，当时，；
当或时，，当或时，4．若，，则________0，b________0
解：∵
∴、同号
又∵
∴、均为负数
∴
5．已知的相反数为，的倒数为，求代数式的值解：据题意，知
∴
