相似形（一）
一、比例性质
1.基本性质: bc ad d c
b a =⇔=（两外项的积等于两内项积） 2.反比性质：c
d
a b d c b a =⇔= (把比的前项、后项交换)
3.合比性质：
d
d
c b b a
d c b a ±=
±⇒=（分子加（减）分母,分母不变） ．
4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）
如果
)0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么b
a n f d
b m e
c a =++++++++ ． 谈重点：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．
(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．
(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．
5.黄金分割：
○
1内容 ○2尺规作图作一条线段的黄金分割点
经典例题回顾：
例题1．已知a 、b 、c 是非零实数，且
k c
b a d
d a b c d c a b d c b a =++=++=++=++，求k 的值.
例题2．已知
111
x y x y
+=
+，求y x x y +的值。
概念： 谈重点：
⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关． ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况．
⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．
⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．
知识点二、平行线分线段成比例定理
①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1∥l2∥l3。
则，，，…
AB
BC
DE
EF
AB
AC
DE
DF
BC
AC
EF
DF
===
②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
○4推论：如果一条直线平行于三角形的一条边，截其它两边(或其延长线)，那么所截得的三角形与原三角形相似．推论○4的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；
知识点三、相似三角形的判定
判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．
符号语言：
拓展延伸：（1）有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似。
（2）顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似。
【重难点高效突破】
例题1．如图，直线DE分别与△ABC的边AB、AC的反向延长线相交于D、E，由ED∥BC可以推出
AD AE
BD CE
=吗？请说明理由。（用两种方法说明）
例题2．（射影定理）已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D.
求证：（1）2
AB BD BC
=⋅；（2）2
AD BD CD
=⋅；（3）CB
CD
AC⋅
=
2
例题3．如图，AD是RtΔABC斜边BC上的高，DE⊥DF，且DE和DF分别交AB、AC于E、F.则
BD
BE
AD
AF
=吗？说说你的理由.
例题精讲
A
E D
B C
A
B C
D
例题4．如图，在平行四边形ABCD中，已知过点B作BE⊥CD于E,连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C （1）求证：△ABF∽△EAD；
（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长；
（3）在（1）（2）条件下，若AD=3，求BF的长。
【即时训练】
一、选择题
1．如图，△ABC经平移得到△DEF，AC、DE交于点G，则图中共有相似三角形（）
A． 3对 B． 4对 C． 5对 D． 6对
2．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（）
A．
AC
AE
AB
AD
= B．
FB
EA
CF
CE
= C．
BD
AD
BC
DE
= D．
CB
CF
AB
EF
=.
3.在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF=90°，则一定有（）
A．ΔADE∽ΔAEF B.ΔECF∽ΔAEF C.ΔADE∽ΔECF D.ΔAEF∽ΔABF
4、如图，直线l1∥l2，AF∶FB=2∶3，BC∶CD=2∶1，则AE∶EC是（）
A.5∶2
B.4∶1
C.2∶1
D.3∶2
（1题图）（2题图）（3题图）（4题图）
5.如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连结AE交CD于F，则图中共有相似三角形（）
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
(5题图) (6题图) (7题图) ( 8题图)
6.ΔABC中，DE∥BC，且AD∶DB=2∶1，那么DE∶BC等于（）
A.2∶1
B.1∶2
C.2∶3
D.3∶2
7.如图，P是RtΔABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P做直线截ΔABC，使截得的三角形与ΔABC相似，满足这样条件的直线共有（）A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
8.如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（）
A
D C
B
E
F
G
F
E
D
C
B
A
