当前位置：文档之家 › 线性代数—解线性方程组的消元法PPT课件

线性代数—解线性方程组的消元法PPT课件

  • 格式：ppt
  • 大小：794.50 KB
  • 文档页数：26

下载文档原格式

  / 26

合集下载

高等数学线性代数线性方程组教学ppt(4)

高等数学线性代数线性方程组教学ppt(4)

1.2 高斯消元法
对线性方程组消元的三种变换(统称为线性方程组 的初等变换):
（1）交换方程组中某两个方程的位置； （2）以非零常数k乘以方程组中某个方程； （3）用数k乘以方程组中某个方程后加到另一个方程 上去.
定理1 线性方程组经过初等变换后得到的新方程组 与原方程组同解.
例1
解线性方程组
R( A) n;
(2)若R(A) n 1,则 A 0, AA* A E O,
由例5知:R( A) R( A*) n, R( A*) n R( A) n (n 1) 1, 即R( A*) 1.
另一方面,由于R(A) n 1, 因此A存在n 1阶非零子式,即A* O, 从而R( A*) 1.
R( A*) 1;
任一解都可以表示为
x 0 k11 knrnr ,
其中k1, , knr R. 即,当R(A) R(A | b)时,有
Ax b的通解
Ax b的一个特解 Ax 0的通解.
行阶梯形矩阵对应的方程组，叫行阶梯 形方程组；
行阶梯形方程组中，每个方程的第一个 未知量称为主未知量(主变量)，其余变量叫 自由未知量(自由变量);
用消元法解线性方程组，就是用初等行 变换将方程组的增广矩阵化为行阶最简形， 得到的行阶梯方程组与原方程组同解．
例2 求解非齐次方程组的通解
x1 x1
3.设0是Ax b的某个解(称为特解),则Ax b 的任一个解向量都可表示成0与对应的 Ax 0的解之和,即有
0 .
证 :由于 0 ( 0 ),记 0,由性质1知 是导出组Ax 0的解,则 0 .
故只要 取遍Ax 0的全部解, 0 就取遍了 Ax b的所有解.
三、Ax b解的结构定理 定理4 若Ax b有解,1, ,nr是对应的Ax 0 的基础解系,0是Ax b的一个特解,则Ax b的

W084线性代数-3.1 线性方程组的消元解法

W084线性代数-3.1 线性方程组的消元解法

解线性方程组
2x1 x1
2x2 2x2
x3 4x3
6 3
5x1 7x2 x3 28
解
2x1 x1
2x2 2x2
4
x3 x3
6 3
5x1 7x2 x3 28
2
x1
2x2 3x2
(9
/
x3 2)x3
6 0
2x2 (7 / 2)x3 13
2
x1
2x2 3x2
0 0 1 2
可以看出用消元法解线性方程组的过程 实质上就是对
该方程组的增广矩阵施以初等行变换的过程 解线性方程组
时 为了书写简便 只写出方程组的增广矩阵的变换过程即可
2x1
2x2 3x2
8 9
x3 2
2
x1
2
x2 x2
8 3
x3 2
2x1
x2
2 3
x3 2
xxx121 x3
233
0001
5 1 0 0
1 1 0 0
1 2
0 0
0021
0001
1 1 0 0
2 1 6 0
3 4
3 0
2911
都是阶梯形矩阵
阶梯形矩阵与简化的阶梯形矩阵
如果矩阵自上而下的各行中 每一非零行的第一个非零
元素的下方全是零 元素全为零的行(如果有的话)都在非零行
的下边 则称该矩阵为阶梯形矩阵
阶梯形矩阵与简化的阶梯形矩阵
如果矩阵自上而下的各行中 每一非零行的第一个非零
元素的下方全是零 元素全为零的行(如果有的话)都在非零行
的下边 则称该矩阵为阶梯形矩阵
如果阶梯形矩阵的每一非零行的第一个非零元素为1 且

线性方程组的消元法

线性方程组的消元法
（1）交换方程组中某两个方程的位置； （2）用一个非零数乘某一个方程； （3）用一个数乘以某一个方程后加到另一个方程上． 以上三种变换称为线性方程组的初等变换． 定义 1 如果两个方程组有相同的解集合，就称它们是同解的或等价的方程组．
1.2 消元法与矩阵初等变换的关系
定义
定义 2 设 n 元线性方程组
1( 3 )
2
x1
x 2 x2
2x x3
3
2 2
x3 4
(1) ， (2) ， (3) ，
解得 x3 4 ，x2 6 ，x1 12 ．
系数矩阵是阶梯形矩阵的方程组称为阶梯形方程组。
（4-1）
1.1 消元法
定义
消元法解线性方程组的实质是反复地对方程组进行变换，得到阶梯形方程组．而所作的 变换，也只有以下三种类型．
线性代数
1.1 消元法
例题
例1
2x1 x2 5x3 2
解线性方程组
x1
x2 2x3 2
x1 2x2 x3 4
(1) ， (2) ， (3) ．
解：为了更方便地表达解题过程，可用符号来表示，符号含义如下： (1) (2) 表示交
换方程 (1) 与 (2) ； (2) 2(1) 表示方程 (2) 减去方程 (1) 的 2 倍，类似地， (3) (1) 表示方程 (3)
加方程 (1) ， (3) (2) 表示方程 (3) 减去方程 (2) ； 1 (3) 表示方程 (3) 乘以 1 ．
2
2
消元法解方程组的过程表示如下．
2x1 x2 5x3 2 (1)
x1 x2 2x3 2 (1)
x1
x2 2x3 2
(2) (1)(2) 2x1 x2 5x3 2

线性方程组解PPT课件

线性方程组解PPT课件

VS
详细描述
高斯消元法的基本思想是将线性方程组转 化为上三角矩阵，然后通过回代过程求解 未知数。在消元过程中，通过行变换将方 程组的系数矩阵变为上三角矩阵，然后通 过回代过程求解未知数。该方法具有较高 的计算效率和精度，适用于大规模线性方 程组的求解。
迭代法
总结词
迭代法是一种求解线性方程组的方法，通过不断迭代逼近解的过程。
在物理领域的应用
力学系统
利用线性方程组描述多体系统的 运动状态，分析系统的平衡点和 稳定性，以及如何通过调整系统
参数实现稳定运动。
电路分析
通过线性方程组表示电路中的电流 和电压关系，分析电路的阻抗、导 纳和转移矩阵等参数，为电路设计 和优化提供依据。
波动方程
利用线性方程组描述波动现象，如 声波、光波和水波等，分析波的传 播规律和特性。
线性方程组解ppt课件
目录 CONTENT
• 线性方程组的基本概念 • 线性方程组的解法 • 线性方程组的解的性质 • 线性方程组的应用 • 线性方程组解的软件实现
01
线性方程组的基本概念
线性方程组的定义
线性方程组
由有限个线性方程组成的方程组，其中每个方程包含一个或多个 未知数。
线性方程
形如 ax + by + c = 0 的方程，其中 a, b, c 是常数，x 和 y 是未 知数。
详细描述
迭代法的基本思想是通过不断迭代逼近解的过程，最终得到线性方程组的近似解。迭代法有多种形式，如雅可比 迭代法、高斯-赛德尔迭代法和松弛迭代法等。这些方法通过迭代更新解的近似值，最终得到满足精度要求的解。 迭代法适用于大规模线性方程组的求解，但计算效率相对较低。
矩阵求解法
总结词

线性代数课件(第三章第一节)

线性代数课件(第三章第一节)
School of Mathematics & Information Science
数学与信息科学学院
由于R A R B 2,
故方程组有解，且有
x1 x2 x4 1 2 x1 x2 x4 1 2 x x 0x 2 2 4 x3 2 x4 1 2 x 3 0 x 2 2 x4 1 2 x4 0 x 2 x4
所以方程组的通解为
x1 1 0 1 2 x 1 2 k k 0 0 . x3 1 0 2 2 1 2 x 0 1 0 4
5 School of Mathematics & Information Science
数学与信息科学学院 三、线性方程组解的判定定理
必要条件是系数矩阵 A 的秩等于增广矩阵 B A, b 的秩.
证明：不失一般性，假设矩阵经过初等行变换化成： d1 1 0 0 c1, r 1 c1n 0 1 0 c c d 2, r 1 2n 2 dr 0 0 1 cr , r 1 crn 0 0 0 0 0 d r 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
数学与信息科学学院
商丘师范学院数学学院
1 School of Mathematics & Information Science
数学与信息科学学院 线性方程组 向量 ？ （向量的有关 理论）
（线性方程组
有解的条件）
线性方程组 矩阵 （矩阵初等变 换、矩阵的秩） 线性方程（组）

【VIP专享】1--消元法

【VIP专享】1--消元法

x1 2 x2 4 x3 3
6x2 9x3 0
5 x1 7 x2 x3 28
r1 ( 2 ) r2
1 2 4 3 0 6 9 0
5
7
1
28
x1 2 x2 4 x3 3
6x2 9x3 0
5 x1 7 x2 x3 28
x1 2 x2 4 x3 3
1 2 4 3 阶
梯
( Ab) 1 2 4 3 0 2 3 0 形
5
7
1
28
0
0
13
26
矩 阵
解线性方程组的第 2 个步骤： 对 增广矩阵 进行初等行变换，将之化作阶梯形矩阵。
接下来，判断线性方程组是否有解。准则： 阶梯形矩阵的最后一个首元是否在最后一列。 若在最后一列，则原来的线性方程组无解。否则有解。
x1 c1
x2 xn
c2 cn
线性方程组 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 .................................................
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
若常数项 b1，b2， ，bn 全为0，则称方程组为齐 次线性方程组； 否则称为非齐次线性方程组。
若 x1 c1，x2 c2， ，xn cn 满足方程 组，则称之为方程组的一个解。
通常我们将线性方程组的解写成列向量 的形式，并称之为一个解向量：
系数矩阵
a11
A
a21
am1
a12 a22 am 2
... a1n
...

线性代数ppt课件

例如 排列32514 中， 逆序
32514
逆序 逆序
定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数. 例如 排列32514 中，
0 01
32514
1 逆序数为3
故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.
排列的奇偶性
逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列.
计算排列逆序数的方法
a11
0 00
a21 a22 0 0
an1
an2
an3 ann
a11a22 ann .
例4（第7页例5） 证明对角行列式
1 2
12 n;
n
2
1
nn1
1 2 12 n .
n
1 2
证明 第一式是显然的,下面证第二式.
n
若记 i ai,ni1, 则依行列式定义
2
1
a1n
a2,n1
n
an1
其中 p1 p2 pn 为自然数1，2，，n 的一个排列， t 为这个排列的逆序数．
a11 a12 a1n
D
a21 a22 a2n
an1 an2 ann
1
a a a t p1 p2pn
1 p1 2 p2
npn
p1 p2 pn
说明 1、行列式是一种特定的算式;
2、 n 阶行列式是 n! 项的代数和;
3、 n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同 列 n 个元素的乘积;
4、 a1 p1a2 p2 anpn 的符号为 1t .
5、 一阶行列式 a a 不要与绝对值记号相混淆;
（补充例题）例1 计算对角行列式
0001 0020 0300 4000

线性方程组的消元解法课件

+ + - = am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm
可以用矩阵形式表示为 Ax=b，其中
矩阵
a11 a12 a1n b1
(A b)=
a21
a22 a2n
b2
am1 am2 amn bm
称为线性方程组的增广矩阵。
PPT学习交流
3
下页
一、线性方程组的矩阵表示：
1 5 -1 -1 -1
解： (A b)=
1 1
6 -2 -3 -3 3133
11377
1 5 -1 -1 -1
0 1 -1 -2 -2 0 -2 2 4 4
0 -4 4 8 8
1 5 -1 -1 -1
10499
0 1 -1 -2 -2 00000
0 1 -1 -2 -2 00000
，
00000
00000
形矩阵继续施以初等行变换，化成行最简形矩阵；
第四步，写出方程组的解。
PPT学习交流
10
下页
例2．解线性方程组
x1 + 5x2 - 5x3 - x4 =- 1 x1 + 6x2 - 2x3 - 3x4 =- 3 。 x1 + 3x2 + x3 + 3x4 = 3 x1 + x2 + 3x3 + 7x4 = 7
8
线性方程组解的判定定理：
定理3：n元线性方程组Ax=b
（1）无解
R(A)R(A,b);
（2）有唯一解 R (A )=R (A ,b)=n;
（3）有无穷多解 R (A )=R (A ,b)n.
PPT学习交流
9

线性代数ppt课件


c12 1
c1r c2r 1
dr1 0且rn时，唯一解；
dr1 0且rn时，无穷多解。
c1n d1 c2n d2
crn 0
ddrr1
x1x23x4x5 2 例、求解方程组4x1x1x22x22x36x3x43x144x5 7
2x14x22x34x47x5 1
x1 c12x2

x2

c1nxn d1 c2nxn d2

xr crnxn dr 0dr1
(r n)
（其中r为阶梯形方程组中方程式的个数。）
5
线性代数
第二章 线性方程组
第1节 Gauss消元法
由阶梯形方程组知原方程组（*）的解有以下三种情况：
（ 1 ） d r 1 0 ， 则 方 程 组 无 解 ；
（2）dr1 0且rn，则方程组（*）可化为如下
x1 c12x2 ...c1nxn d1
阶梯形方程组...... x2 ...c2nxn d2

xn dn
1 c12 由于系数行列式D 1
c1n c2n 10，
1
由Cramer法则，方程组（*）解唯一。
6
线性代数

6 x2 9 x2
3x3 5 10 x3 2
x1 3x2 2 x3 6
（3） 2x1x1 3x62x2 5x33x351 x1 3x2 5x3 4
第1节 Gauss消元法
4
线性代数
第二章 线性方程组
第1节 Gauss消元法
用Gauss消元法可以解一般的线性方程组（*），消元的结 果得到一个与原方程组同解的“标准”的阶梯形方程组或 出现矛盾式，可得如下一般形式：

线性代数—解线性方程组的消元法


2 x1 x2 x3 x4 2, 2 x1 3 x2 x3 x4 2,
2 3
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4
3
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
2 x1 x2 x3 x4 2, 2 x1 3 x2 x3 x4 2,
2 3
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4
a11 a12 a1n
系数矩阵
A
a21 am1
a22 am2
a2n amn
,
a11 a12 a1n b1
增广矩阵
A
(
A,
b)
a21 am1
a22 am2
a2n amn
b2 bm
,
15
利用矩阵的初等行变换将A 化为阶梯形,
c11 c12 c1r c1n d1
1 2 3 1 1 0 5 4 0 1 0 0 0 0 2
最后一个为矛盾方程组 0 2 , 故方程组无解.
14
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 ,
线性方程组
a21
x1
a22
x2
a2n xn
b2
,
am1 x1 am2 x2 amn xn bm .
例1 用高斯消元法解线性方程组
2 x1 x2 x3 x4 2, 1
4
x1 x2 2 x3 x1 6 x2 2 x3
x4 2 x4
4, 4,
2 3
(1)
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4
解(1)12 来自 2x1 x2 2 x3 x4 4, 1
x2
4
x3
3
.
5 x1 7 x2 x3 28
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三章
.
1
本章讨论关于线性方程组的两个问题：
一、探讨n个未知数m个方程的线性方程组的解法 （即下面介绍的高斯消元法）。
二、从理论上探讨线性方程组解的情况：何时有 解，何时无解。若有解，则有多少组解；若有无 穷多解，如何表示。
运用n维向量的理论可全面地解决第二个方面 的问题。
.
2
第一节 解线性方程组的消元法
（3）一个方程加上另一个方程的 k 倍． （以 i k j 替换 i ）
.
7
3．上述三种变换都是可逆的． 若( A) i j (B), 则(B) i j ( A); 若( A) i k (B), 则(B) i k ( A); 若( A) i k j (B), 则(B) i k j ( A).
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种 变换是同解变换．
2x22x32x40, 2
4 31 5 x 2 5 x 3 3 x 4 6 , 3
3x23x34x4 3, 4
.
4
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
2 x2 2 x3 2 x4 0,
2
5x2 5x3 3x4
6,
3
3 x2 3 x3 4 x4 3, 4
2 1 2
1 2 4 3 0 6 9 0
5 7 1 28
0 1719 13
1 2 4 3 0 1 8 13 0 2 3 0
1 2 4 3
0 1 8 13
0
0
1326
解得唯一解 x1 1, x2 3, x3 2.
.
13
例3 解线性方程组 x31x12xx2235xx33x34x41,2, 2x1x22x32x4 3.
例1 用高斯消元法解线性方程组
2x1 x2 x3 x4 2, 1
4xx116xx2222xx33x24x4
4, 4,
2 3
(1)
3x1 6x2 9x3 7x4 9, 4
解
x1 x2 2x3 x4 4, 1
(1)
1 2 3 2
2x1 x2 x3 x4 2, 2x1 3x2 x3 x4 2,
x2 x3 x4 0,
x4 3,
2 3
0 0, 4
用“回代”的方法求出解：
x1 x34
x2 x3 3 其中x3为任意取. 值
x4 3
.
6
小结：
1．上述解方程组的方法称为高斯消元法。 2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如 下三种变换
（1）交换方程次序； （ i 与 j 相互替换）
（2）以不等于０的数乘某个方程； （以 i k 替换 i）
3 52 4 32
x1 x2 2 x3 x4 4,
x2x3x40,
2x4 6,
x4 3,
1 2 3 4
.
5
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
x2 x3 x4 0,
2
2 x4 6, 3
x4 3, 4
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
3 4
4 23
0 c22
0
A
0
0 0
0 0
0 0
c1r c2r c rr 0 0 0
c1n d 1
c2n d2
c rn d r
0
d
r
1
0 0
0 0
其 中 cii0(i1 , ,r),
方程组有解的充分必要条件是 dr r 即 为 系 数 矩 阵 A 的 秩 , r r ( A ) ,
2 3
3x1 6x2 9x3 7x4 9, 4
.
3
x1 x2 2x3 x4 4, 1
2x1 x2 x3 x4 2, 2x1 3x2 x3 x4 2,
2 3
3x1 6x2 9x3 7x4 9, 4
2 3 x1 x2 2 x3 x4 4, 1
3 2 1
解
1 2 3 1 1 (A,b)3 1 5 3 2
2 1 2 2 3
1 2 3 1 1 0 5 4 01 0 54 0 1
1 2 3 1 1 0 5 4 0 1 0 0 0 0 2
最后一个为矛盾方程组 0 2, 故方程组无解.
.
14
线性方程组
a11x1 a12x2 a1nxn b1 , a21x1 a22x2 a2nxn b2 , am1x1 am2x2 amnxn bm .
r2 2 1 1 2 1 4
r3 5r2 0 1 1 1 0
r4 3r2
0 0
0 0 2 6 0 0 1. 3
11
1
0 0 0
1 1 0 0
2 1
0 0
1 1 2 1
4 0
r3 r4
1 0
6 3
r4 2r3
0 0
1 1 0 0
2 1
0 0
1 1 1 0
4
0
3 0
对应的方程组为
a11
系数矩阵
A
a21 am1
a12 a22 am2
a1n
a2n amn
,
a11 a12 a1n b1
增广矩阵
A(A, b) aam211
.
a2 2 am2
a2n am n
bbm 2 ,
15
利 用 矩 阵 的 初 等 行 变 换 将 A 化 为 阶 梯 形 ,
c11 c12
x1 x2 2x3 x4 4
x2 x3 x4 0
,
x4 3
x1 x34 由下到上逐个解得 x2 x3 3 ，其中 x3为任意取. 值
x4 3
.
12
2x1 2x2 x3 6 例2 解线性方程组 x1 2x2 4x3 3 .
5x1 7x2 x3 28
解
2 2 1 6 (A,b)1 2 4 3
1 6
2 2
1 2
4 4
3 6 9 7 9
1 1 2
r1 r2
2
1
1
1 4 1 2
r3 2
2 3
3 6
1 9
1 7
2 9
.
10
1 1 2 2 1 1
1 4 1 2
2 3
3 6
1 9
1 7
2 9
r2 r3
r3 2r1
r4 3r1
1 1 2 1 4
0 2 2 2 0
0 03 55 33 4 6 3
.
8
因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系 数和常数进行运算，未知量并未参与运算．
若记
2 1 1 1 2
A(Ab) 341
1 6
6
2 2
9
1 2
7
4 94
称为方程组(1)的增广矩阵．
对方程组的变换完全可以转换为对增广矩阵的行变 换．
.
9
用矩阵的初等行变换解方程组(1)：
2 1 1 1 2
B
1 4
若 d r 1 0 , 则 r (A ) r (A ) r,