高中 任意角的三角函数 知识点+例题 全面
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辅导讲义――任意角的三角函数
教学内容
任意角和弧度制及任意角的三角函数
1.角的概念
(1)分类⎩⎨⎧
按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.
(2)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S ={β|β=α+k ·360°,k ∈Z }.
2.弧度的定义和公式
(1)定义:长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度记作rad.
(2)公式:①弧度与角度的换算:360°=2π弧度;180°=π弧度;②弧长公式:l =|α|r ;③扇形面积公式:
S 扇形=12lr 和12|α|r 2.
3.任意角的三角函数
(1)定义:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P (x ,y ),则sin α=y ,cos α=x ,tan α=y x (x ≠0).
(2)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x 轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0).
如图中有向线段MP ,OM ,AT 分别叫做角α的正弦线,余弦线和正切线.
1.易混概念:第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角.第一类是象限角,第二、第三类是区间角.
2.利用180°=π rad 进行互化时,易出现度量单位的混用.
3.三角函数的定义中,当P (x ,y )是单位圆上的点时有sin α=y ,cos α=x ,tan α=y x
,但若不是单位圆时,如圆的半径
为r ,则sin α=y r ,cos α=x r ,tan α=y x
. [试一试]
1.若α=k ·180°+45°(k ∈Z ),则α是第______象限角.
2.已知角α的终边经过点(3,-1),则sin α=________.
1.三角函数值在各象限的符号规律概括为:一全正、二正弦、三正切、四余弦;
2.对于利用三角函数定义解题的题目,如果含有参数,一定要考虑运用分类讨论,而在求解简单的三角不等式时,可利用单位圆及三角函数线,体现了数形结合的思想.
[练一练]
若sin α<0且tan α>0,则α是第______象限角.
考点一
角的集合表示及象限角的判定 1.给出下列四个命题:
①-3π4是第二象限角;②4π3
是第三象限角;③-400°是第四象限角;④-315°是第一象限角.其中正确的命题有______个.
2.终边在直线y =3x 上的角的集合为________.
3.在-720°~0°范围内找出所有与45°终边相同的角为________.
4.设集合M =⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭
⎬⎫x =k 2·180°+45°,k ∈Z , N =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪
x =k 4·180°+45°,k ∈Z ,那么集合M ,N 的关系是______.
[类题通法]
1.利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角.
2.已知角α的终边位置,确定形如kα,π±α等形式的角终边的方法:先表示角α的范围,再写出kα,π±α等形式的角范围,然后就k 的可能取值讨论所求角的终边位置.
考点二 三角函数的定义
[典例] (1)已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫sin 2π3
,cos 2π3,则角α的最小正值为______. (2)已知α是第二象限角,其终边上一点P (x ,5),且cos α=
24
x ,则sin ⎝⎛⎭⎫α+π2=________.
[类题通法]
用定义法求三角函数值的两种情况
(1)已知角α终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离r,然后用三角函数的定义求解;
(2)已知角α的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后用三角函数的定义来求相关问题.
[针对训练]
已知角α的终边在直线y=-3x上,求10sin α+
3
cos α的值.
考点三扇形的弧长及面积公式
[典例](1)已知扇形周长为10,面积是4,求扇形的圆心角.
(2)已知扇形周长为40,当它的半径和圆心角取何值时,才使扇形面积最大?
若本例(1)中条件变为:圆弧长度等于该圆内接正方形的边
长,则其圆心角的弧度数是________.
[类题通法]
弧度制应用的关注点
(1)弧度制下l=|α|·r,S=1
2lr,此时α为弧度.在角度制下,弧长l=
nπr
180,扇形面积S=
nπr2
360,此时n为角度,它们之间
有着必然的联系.
(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形.
[针对训练]
已知扇形的圆心角是α=120°,弦长AB=12 cm,求弧长l.
[课堂练通考点]
1.如图所示,在直角坐标系xOy中,射线OP交单位圆O于点P,若∠AOP=θ,则点P的坐标是________.
2.已知扇形的周长是6 cm,面积是2 cm2,则扇形的圆心角的弧度数是________.
3.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则实数a的取值范围是________.
4.在与2 010°终边相同的角中,绝对值最小的角的弧度数为________.
5.已知角α 的终边经过点P (x ,-6),且tan α=-35
,则x 的值为________. 6.已知sin α=13
,且α∈⎝⎛⎭⎫π2,π,则tan α=______.
第Ⅰ组:全员必做题
1.将表的分针拨快10分钟,则分针旋转过程中形成的角的弧度数是______.
2.已知cos θ·tan θ<0,那么角θ是第________象限角.
3.已知角α和角β的终边关于直线y =x 对称,且β=-π3
,则sin α=______. 4.点P 从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动2π3
弧长到达Q 点,则Q 点的坐标为________.
5.给出下列各函数值:①sin(-1 000°);②cos(-2 200°);③tan(-10);④sin 7π10cos πtan 17π9
,其中符号为负的是________(填写序号).
6.在直角坐标系中,O 是原点,A (3,1),将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点,则B 点坐标为__________.
7.如图所示,在平面直角坐标系xOy 中,角α的终边与单位圆交于点A ,点A 的纵坐标为45
,则cos α=________.
8.设角α是第三象限角,且⎪⎪⎪⎪sin α2=-sin α2,则角α2
是第________象限角.
9.一个扇形OAB 的面积是1 cm 2,它的周长是4 cm ,求圆心角的弧度数和弦长AB .
10.已知sin α<0,tan α>0.
(1)求α角的集合;
(2)求α2
终边所在的象限;
第Ⅱ组:重点选做题
巩固基础和能力提升训练