统计学第六版贾俊平

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统计学(第6版)
6. 1 统计量
6. 1 统计量
6.1.1 统计量的概念
统计量是样本的函数，它不依赖于任何未知参 数； 根据不同的研究目的，可构造不同的统计量； 利用构造的统计量，用样本性质推断总体的性 质； 统计量是统计推断的基础，在统计学中占据着 非常重要的地位。
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统计学(第6版)
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n=1
n=4 n=10
当自由度增加时， 卡方分布的概率 密度曲线趋于对
n=20
称。当n趋于无
穷大时，卡方分
布的极限分布就
2 是正态分布。
不同容量样本的卡方分布
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6.3 由正态分布得到的几个重要分布
2分 布 的 性 质 1 . 数学期望为：2E)( n 2 . 方差为：D2() 2 n 3 .2分布的可加性，即12若~ 2( n 1 ),22 ~ 2( n 2 ) , 且独立，则
（1）抽检的100个元件中有3个不合格； （2）抽检的100个元件中前3个不合格；
100
在产品检验中，二项分布的统计量T X i是不合格
品率p的充分统计量。
i 1
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6. 2 关于分布的几个概念
6. 2 关于分布的几个概念
6.2.1 抽样分布
近代统计学的创始人之一，英国统计学家费希尔曾把 抽样分布、参数估计和假设检验看作统计推断的三个 中心内容。
6.2.2 渐近分布
当n无限增大时，统计量T(X1，X2，…Xn)的极限 分布常称为统计量的渐近分布； 第4节中的中心极限定理揭示的就是样本均值的 渐近分布； 不少重要的统计方法就是基于渐近分布提出的。
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统计学(第6版)
6. 2 关于分布的几个概念
6.2.3 随机模拟获得的近似分布
1.背景
第6章 统计量及其抽样分布
第6章 统计量及其抽样分布
本章将较系统地介绍统计量的概念，以正态 分布为基础导出常用的几个重要分布，并给出 一些常用统计量的抽样分布。
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统计学(第6版)
第6章 统计量及其抽样分布
6.1 统计量 6.2 关于分布的几个概念 6.3 由正态分布导出的几个重要分布 6.4 样本均值的分布与中心极限定理 6.5 样本比例的分布 6.6 两个样本均值之差的分布 6.7 关于样本方差的分布
6. 1 统计量
❖定义6.1 设X1，X2，…Xn是从总体中抽取的容 量为n的一个样本，如果由此样本构造一个函数 T(X1，X2，…Xn)，不依赖于任何未知参数，则称 函数 T(X1，X2，…Xn)是一个统计量。
❖对于T(X1，X2，…Xn), 也称样本统计量。当获得 样本的一组具体观测值x1，x2，…xn时，代入T， 就是一个具体的统计量值T(x1，x2，…xn) 。
12 22 ~ 2( n 1n 2 )
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6.3 由正态分布得到的几个重要分布
6. 3. 2 t分布
定义6. 4 设随机变量X～N(0,1), Y～ 2 (n)，且X与Y独立,则
t X Y /n
（6. 2）
其分布称为t分布，记为t(n), 其中n为自由度。
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6.3 由正态分布得到的几个重要分布
t分布的密度函数是 一个偶函数，因此 图形是关于t 0对 称的.
当n充分大时, 其图形 类似于标准正态变量 概率密度的图形.
所以当n足 ，t够 分大 布时 近似 1于 )分； N布 (0,
但对于n 较 t,分 小布 的与分 N布 (0相 ,1差 ) 很
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R(n) = X(n)－ X(1)称为样本极差 中位数、分位数、四分位数都是次序统计量。
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6. 1 统计量
6.1.4 充分统计量 在统计学中，假如一个统计量能把含在样本中有关总体的 信息一点都不损失地提取出来，则对以后的统计推断质量 具有重要意义。 在统计量加工过程中一点信息都不损失的统计量通常称为 充分统计量。 因子分解定理是判别充分统计量的方法，由奈曼和哈尔姆 斯在20世纪40年代提出的。
n i1
Xi
Sx2n11in1(Xi X)2
Y
1 m
m
Yi
i1
Sy2 m11im 1(Yi Y)2
Sxy2(n1)nS x2 m( m21)Sy2
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(XY)(12) mn ~t(nm 2)（6. 4）
Sxy
m n
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6.3 由正态分布得到的几个重要分布
证明：
X
1 n
【例】设一个总体，含有4个元素（个体），即总体 单位数N=4。4 个个体分别为X1=1、X2=2、X3=3 、 X4=4 。总体的均值、方差及分布如下：
总体的均值和方差：
N
Xi
i1
2.5
N
N
(Xi )2
2 i1
1.25
N
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6.4 样本均值的分布与中心极限定理
现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复 抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果 如下表
由度为m和n的 2 分布
Y~2(m ) Z~2(n )
则称
X
Y/m nY Z / nm Z
（6. 5）
X服从第一自由度为m，第二自由度为n的F分布，记为 F(m,n)，简记为X～F(m,n) 。
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6.3 由正态分布得到的几个重要分布
F分布的性质：
1.若X ~ F(m, n)分布，则数学期望 和方差为
~ χ2(n1)
Xμ
σ/ n
n(Xμ)~ t(n1)
(n1)S2 σ2
1 n1
s
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6.3 由正态分布得到的几个重要分布
2.设X和Y是两个相互独立的总体，X～N(μ1，σ2)， Y～N(μ2，σ2)，X1，X2，…，Xn是来自X的样本，Y1，
Y2， …，Ym是来自Y的样本，记
X
1 n
n
X i,Y
i1
1 m
m
Yi
i1
E(X Y ) 1 2
2 2 D (X Y ) D (X ) D (Y )
nm
X
Y
~
N
(1
2,
2 n
2) m
( X Y ) ( 1 2 ) ~ N (0, 1) 1 1 nm
S x 2
1 n 1
n
(X i
i1
X )2,
S y2
1 m 1
❖所有可能的n = 2 的样本（共16个）
第一个
第二个观察值
观察值
1
2
3
4
1
❖1,1
❖1,2
❖1,3
❖1,4
2
❖2,1
❖2,2
❖2,3
❖2,4
3
❖3,1
❖3,2
❖3,3
❖3,4
4
❖4,1
❖4,2
❖4,3
❖4,4
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6.4 样本均值的分布与中心极限定理
计算出各样本的均值，如下表。
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6. 1 统计量
充分统计量（算例）
【例6.2】某电子元件厂欲了解其产品的不合格率p，质 检员抽检了100个电子元件，检查结果是，除了前3个是 不合格品（记为X1=1, X2=1, X3=1）外，其他都是合格 品（记为Xi=0, i=4,5,…,100）。当企业领导问及抽检结 果时，质检员给出如下回答：
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6.3 由正态分布得到的几个 重要分布
6.3 由正态分布得到的几个重要分布
6. 3. 1 2 分布
定义6.3 设随机变量X1，X2，…Xn相互独立, 且Xi (i=1,2,…,n)
n
服从标准正态分布N(0,1)，则它们的平方和
X
2 i
服从自由度
为n的 2 分布。
i1
6. 1 统计量
6. 1. 3 次序统计量
定义6.2 设（X1，X2，…Xn）是从总体X中抽取的一个样 本,X(i)称为第i个次序统计量,它是样本（X1，X2，…Xn） 满足如下条件的函数： 每当样本得到一组观测值x1， x2，…,xn时，其由小到大的排序x(1)≤ x(2)≤ …≤x(i) ≤ … ≤ x(n) 中，第i个值x(i)就作为次序统计量X(i)的观测值， X(1), X(2) …X(n)称为次序统计量。其中X(1)和X(n)分别 为最小和最大次序统计量 。
1)S x 2 2
(m
1)S y 2 2
nm
S xy
mn
(n m 2)
( X Y ) ( 1 2 ) mn ~ t(n m 2)
S xy
mn
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(XY)(12) mn ~t(nm 2)
Sxy
m n
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6.3 由正态分布得到的几个重要分布
6. 3. 3 F分布 定义6.5 设随机变量Y与Z相互独立，且Y与Z分别服从自
2.思想
❖ 设有一个统计量T(X1，X2，…Xn)，其中n为样本容量， 求统计量T的分布函数F(n)(t)；
❖ 可连续作一系列类似试验，每次试验都是从总体中抽 取容量为n的样本，然后计算其统计量的值；
❖ 当这种试验进行了N次时，就得到统计量T的N个观测 值：T1，T2，…，TN；
❖ 根据这N个观测值可做其经验分布函数FN(n)(t)的一个 很好的近似。
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