2015年浙教版初中数学八年级下册知识点总结

(a ≥ 0) ；注意使用 a = ( a ) 2 (a ≥ 0) . a ) 2 = a (a ≥ 0) ,（2） a 2 = a = ⎨

- a (a < 0)

= (a ≥ 0 , b > 0) ，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除

八年级下册知识点及典型例题

第一章

二次根式

1．二次根式：一般地，式子

a , (a ≥ 0) 叫做二次根式.注意：

（1）若a ≥ 0 这个条件不成立，

则

a 不是二次根式；

（2） a 是一个重要的非负数，即； a ≥0.

2．重要公式：（1）(

⎧a ⎩ 3．积的算术平方根：

ab = a ⋅ b (a ≥ 0, b ≥ 0) ，积的算术平方根等于积中各因式的算术

平方根的积；注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求.

4．二次根式的乘法法则：

a ⋅

b = ab (a ≥ 0, b ≥ 0) .

5．二次根式比较大小的方法：

（1）利用近似值比大小；

（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小； （3）分别平方，然后比大小.

6．商的算术平方根：

a a

b b

以除式的算术平方根.

7．二次根式的除法法则：

（1） a = a (a ≥ 0 , b > 0) ；（2） a ÷ b = a ÷ b (a ≥ 0, b > 0) ；

b

b

（3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘

分母的有理化因式，使分母变为整式.

8．常用分母有理化因式：

a 与 a ， a -

b 与 a + b ， m a + n b 与 m a - n b ，

它们也叫互为有理化因式.

9．最简二次根式：

（1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，① 被开方数的因数是整数，因式

是整式，② 被开方数中不含能开的尽的因数或因式；

（2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于 2，且不含分母； （3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式； （4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式.

10．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次

根式叫做同类二次根式.

11．二次根式的混合运算：

如： x 2 - - 3 = 0 是分式方程，所以 x 2 - - 3 = 0 不是一元二次方程。

（ ( （1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在

有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；

（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；

除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等.

第二章

一元二次方程

1、认识一元二次方程：

概念：只含有一个未知数，并且可以化为 ax 2 + bx + c = 0 ( a , b , c 为常数，a ≠ 0 )的整式

方程叫一元二次方程。

构成一元二次方程的三个重要条件：

①、方程必须是整式方程(分母不含未知数的方程)。

2 2 x x

②、只含有一个未知数。

③、未知数的最高次数是 2 次。

2、一元二次方程的一般形式：

一般形式：ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )，系数 a , b , c 中，a 一定不能为 0，b 、c 则可以为 0，

所以以下几种情形都是一元二次方程：

①、如果 b = 0, c ≠ 0 ，则得 ax 2 + c = 0 ，例如： 3x 2 - 2 = 0 ；

②、如果 b ≠ 0, c = 0 ，则得 ax 2 + bx = 0 ，例如： 3x 2 + 4 x = 0 ； ③、如果 b = 0, c = 0 ，则得 ax 2 = 0 ，例如： 3x 2 = 0 ；

④、如果 b ≠ 0, c ≠ 0 ，则得 ax 2 + bx + c = 0 ，例如： 3x 2 + 4 x - 2 = 0 。

其中， ax 2 叫做二次项， a 叫做二次项系数； b x 叫做一次项， b 叫做一次项系数； c 叫做常数

项。任何一个一元二次方程经过整理(去括号、移项、合并同类项…)都可以化为一般形式。

例题：将方程 ( x - 3)(3x + 1) = x 2 化成一元二次方程的一般形式.

解：

( x - 3)(3x + 1) = x 2

去括号，得： 3x 2 - 8x - 3 = x 2

移项、合并同类项，得： 2 x 2 - 8x - 3 = 0

(一般形式的等号右边一定等于 0)

3、一元二次方程的解法：

(1)、直接开方法： 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解） 形式： x

+ a )2 = b

(3)、公式法：（求根公式： x = ）

n=2

(2)、配方法：（理论依据：根据完全平方公式： a 2 ± 2ab + b 2 = (a ± b )2 ，将原方程配成

( x + a )2 = b 的形式，再用直接开方法求解.）

-b ± b 2 - 4ac 2a

(4)、分解因式法：（理论依据： a • b = 0 ，则 a = 0 或 b = 0 ；利用提公因式、运用

公式、十字相乘等分解因式方法将原方程化成两个因式相乘等于

0 的形

4、一元二次方程的应用

例 1 ：商场某种新商品每件进价是 120 元，在试销期间发现，当每件商品售价为 130

元时，每天可销售 70 件，当每件商品售价高于 130 元时，每涨价 1 元，日销售量就减少 1 件．据

此规律，请回答：

（1）当每件商品售价定为 170 元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？

（2）在上述条件不变、商品销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少元时，商场日盈

利可达到 1600 元？（提示：盈利＝售价－进价）

分析：这是一个一元二次方程应用题，关键在于理清数量关系，列出方程。 （1）解：销售件数：70- (170-130)⨯1 = 30 (件)

日获利： 30 ⨯ (170 -120) = 1500(元)

（2）解：设每件商品的销售价定为 x 元

由题意得： (x - 120 )⎡⎣70 - (x - 130 )⨯1⎤⎦ = 1600

整理得： x 2 - 320 x + 25600 = 0

即： (x - 160 )2 = 0

∴ x = 160

答：每件商品的销售价定为 160 元时，商场日盈利可达 1600 元。

例 2 如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设长方形地面，请观察下列图形，并解答有

关问题：

n=1

（1）铺设地面所用瓷砖的总块数为

（用含n=3的代数式表示，n 表示第 n 个图

形）