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等差数列一．等差数列知识点：知识点1、等差数列的定义:①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示知识点2、等差数列的判定方法：②定义法:对于数列，若(常数），则数列是等差数列③等差中项:对于数列,若,则数列是等差数列知识点3、等差数列的通项公式:④如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为该公式整理后是关于n的一次函数知识点4、等差数列的前n项和：⑤⑥对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数知识点5、等差中项:⑥如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项即：或在一个等差数列中,从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项知识点6、等差数列的性质:⑦等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有⑧对于等差数列，若，则也就是:⑨若数列是等差数列，是其前n项的和,，那么,,成等差数列如下图所示：10、等差数列的前项和的性质：①若项数为，则，且，．②若项数为,则，且，（其中,）．二、题型选析：题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用)1、。
等差数列{a n｝的前三项依次为a-6，2a -5, -3a +2，则a 等于（）A . -1B . 1C 。
—2 D. 22．在数列｛a n}中，a1=2，2a n+1=2a n+1，则a101的值为( ）A．49 B．50 C．51 D．523．等差数列1,－1,－3，…，－89的项数是（)A．92 B．47 C．46 D．454、已知等差数列中,的值是（）（)A 15B 30C 31D 645. 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（）A.d＞B.d＜3 C。
≤d＜3 D.＜d≤36、。
在数列中，，且对任意大于1的正整数,点在直上,则=_____________。
10.等差数列的性质教学目标 班级：_____ 姓名：____________1.掌握等差数列的性质.2.能熟练应用等差数列的性质解决相关问题.教学过程一、等差数列的性质.1.等差数列的通项公式：____________________________2.等差数列的通项公式的推广形式：____________________________3.若正整数m,n,p,q 满足q p n m +=+，则：=+n m a a _________________ 注意：（1）该性质可拓展至多项；（2）只有在等式两边“下标之和相等”且“项数相同”时才成立；（3）思想方法：在等差数列中，多项相加通常转化为几个相同的项相加，可求出一项.4.等差数列的函数性：（1）当0≠d 时，等差数列{}n a 的通项公式是n a 关于n 的一次函数，即)0(≠+=k b kn a n 一次项系数k 即为公差d ；当0>d 时，数列递增；当0<d 时，数列递减. 当0=d 时，数列为常数列，它也是等差数列.（2）等差数列的图象是分布在斜率为d 的直线上的一列孤立的点.5.判断等差数列的方法：（1）定义法：d a a n n =-+1（2）通项公式：)0(≠+=k b kn a n（3）等差中项的性质：212+++=n n n a a a（4）若}{n a 、}{n b 都是等差数列，则“}{c a n +”、“}{n a c ⋅”、“}{k n n a a ++”、 “}{n n b q a p ⋅+⋅”（其中k 、p 、q 均为常数）也都是等差数列.（5）在等差数列}{n a 中，下标成等差数列的项,......,,2m k m k k a a a ++也成等差数列.6.等差数列的设法技巧：（1）三个数构成等差数列：可设为.,,d a a d a +-（2）四个数构成等差数列：可设为.3,,,3d a d a d a d a ++--二、等差数列性质的应用.例1：已知等差数列{}n a 的公差为)0(≠d d ，且32131063=+++a a a a ，若8=m a ，则=m __________.练1：等差数列{}n a 中，若45076543=++++a a a a a ，则=+82a a _________.例2：在等差数列{}n a 中，21512841=+---a a a a a ，则=+133a a __________.例3：在等差数列{}n a 中，45741=++a a a ，39852=++a a a ，则______.练3：在等差数列{}n a 中，10...97741=++++a a a a ，20...98852=++++a a a a ，则=++++99963...a a a a ____________.作业：在等差数列{}n a 中，15741=++a a a ，45642=a a a ，求数列的通项公式.。
1. 等差数列
定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个数，那么这个数列就叫做 等差数列 ，
这个常数叫做等差数列的 公差，公差通常用字母 d 表示
1(,*)n n a a d d n N +-=∈是常数
如果等差数列 {n a } 的首项是 1a ，公差是 d 我们根据等差数列的定义可以得到等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=
Eq ：求等差数列8， 5， 2，......的第20项
-401 是不是等差数列 -5， -9， -13， ... 的项。
Eq ：已知数列 {n a } 的通项公式为 q pn a n += ，其中 p ，q 为常数，且 0≠p ，那么这个数列一定是等差数列吗？
Eq 在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列：
（1）、2 ，( ) ,4 （2）、-12,( ) ，0 ( 3 ) a ,( ),b
如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。
也可以说 a ，A ，b 成等差数列
1. 等差数列{a n }的前三项依次为 a -6，-3a -5，-10a -1,则a =（ ）。
A. 1 B. -1 C. -2 D. 2
2. 等差数列的前 n 项和
我们称 n a a a a ++++ 321 为数列 {n a } 的前 n 项和，用 n S 表示即n n a a a a S ++++= 321
通过上面前 n 项和的定义我们可知 11S a = ，1--=n n n S S a 如果 {n a } 是等差数列则我们求得 {n a } 的前 n 项和公式为：
n S = n 1a +
(1)2
n n d -2
)
(1n a a n +=
，1a 为 {n a } 的首项，d 为 {n a } 的公差
我们发现n S 具有形式：Bn An S n +=2
22
a b A a b A +=+⇒=
Eq ：为了参加冬运会的5000m 长跑比赛，某同学给自己制定了7天的训练计划：第1天跑5000m ，以后每天比前一天多跑500m ，这个同学7天一共将跑多长的距离？
Eq ： 等差数列-10，-6，-2，2， …前多少项的和为54？
Eq ：
3．等差数列的性质：
（1）数列{a n }成等差数列，则
①a n =a m +(n －m)d(m,n ∈N*) ②若m+n=p+q ，则a m +a n =a p +a q (m,n,p,q ∈N*) 特别地：若2t=p+q ，则2a t =a p +a q
（2）证明数列{a n }成等差数列的方法：
定义法：a n+1－a n =d （常数） 中项法：2a n+1=a n +a n+2.
Eq ：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3=12，S 12>0，S 13<0. （1）求公差d 的取值范围.
（2）指出S 1，S 2，S 3，……，S 12中那个值最大，并说明理由
Eq ．已知数列{a n }中，a 1=1，)2(1
22
≥-=n S S a n n
n 求这个数列的前n 项的和S n .
11
616151252,20)2(,36:)1(}{S a S a a a a a n 求已知：求已知中在等差数列==+++
练习题
1．．已知等差数列{}n a 中，26a =，515a =，若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于（ ） A ．30
B ．45
C ．90
D ．186
2．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1=4,S 4=20,则该数列的公差d = （ ）
A .7
B .6
C .3
D .2
3． 已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（ ） A ．64
B ．100
C ．110
D ．120
5．设{}n a 是等差数列，若273,13a a ==，则数列{}n a 前8项和为（ ） Ａ．128
Ｂ．80
Ｃ．64
Ｄ．56
6．若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =（ ） A ．12
B ．13
C ．14
D ．15
7．已知｛a n ｝为等差数列，a 2+a 8=12,则a 5等于 ( )
(A)4 (B)5
(C)6
(D)7
8．已知{}n a 为等差数列，1322a a +=，67a =，则5a =
9. 四个数成等差数列，把它们分别加上4，3，3，5后又依次成等比数列，求这四个数。
