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第三篇函数专题14二次函数的图象和性质知识点名师点晴二次函数概念、图象和性质1．二次函数的概念会判断一个函数是否为二次函数．2．二次函数的图象知道二次函数的图象是一条抛物线．3．二次函数的性质会按在对称轴左右判断增减性．4．二次函数的解析式确定能用待定系数法确定函数解析式．二次函数与二次方程的关系5．判别式、抛物线与x轴的交点、二次方程的根的情况三者之间的联系．会用数形结合思想解决此类问题．能根据图象信息,解决相应的问题．归纳1：二次函数中各系数a、b、c的几何意义基础知识归纳：a决定开口方向,a＞0开口向上,a＜0开口向下,ab乘积决定对称轴的位置（左同右异）, c决定与y轴的交点位置．基本方法归纳：根据a、b、c的符号逐步分析判断．注意问题归纳：当只有ac或者bc时,要考虑用对称轴方程这个式子去代换变形．【例1】（2019辽宁省沈阳市,第10题,2分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示,则下列结论正确的是（）A．abc＜0B．b2﹣4ac＜0C．a﹣b+c＜0D．2a+b=0归纳2：二次函数图象与几何变换基础知识归纳：二次函数的平移．基本方法归纳：关键是熟练掌握二次函数平移主要考虑顶点的变化．注意问题归纳：平移规律是“左加右减,上加下减．【例2】（2019黑龙江省哈尔滨市,第6题,3分）将抛物线y=2x2向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,所得到的抛物线为（）A．y=2（x+2）2+3B．y=2（x﹣2）2+3C．y=2（x﹣2）2﹣3D．y=2（x+2）2﹣3归纳3：二次函数图象性质的综合应用基础知识归纳：用待定系数法确定二次函数解析式,二次函数的图象与其他函数图象交点,与三角形和四边形的综合,面积问题．基本方法归纳：解这类问题的一般方法是数形结合．注意问题归纳：数形结合思想,将线段长度,图形面积与点的坐标联系起来是关键,同时注意坐标与线段间的转化时符号的处理．【例3】（2019广安,第26题,10分）如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧）,与y 轴交于点N,过A点的直线l：y=kx+n与y轴交于点C,与抛物线y=﹣x2+bx+c的另一个交点为D,已知A（﹣1,0）,D（5,﹣6）,P点为抛物线y=﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）．（1）求抛物线和直线l的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时,过P点作PE∥x轴交直线l于点E,作PF∥y轴交直线l于点F,求PE+PF的最大值；（3）设M为直线l上的点,探究是否存在点M,使得以点N、C,M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在,求出点M的坐标；若不存在,请说明理由．【2019年题组】一、选择题1．（2019衢州,第6题,3分）二次函数y=（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是（）A．（1,3）B．（1,﹣3）C．（﹣1,3）D．（﹣1,﹣3）2．（2019湖北省咸宁市,第7题,3分）已知点A（﹣1,m）,B（1,m）,C（2,m﹣n）（n＞0）在同一个函数的图象上,这个函数可能是（）A．y=x B．y2x=-C．y=x2D．y=﹣x23．（2019辽宁省沈阳市,第10题,2分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示,则下列结论正确的是（）A．abc＜0B．b2﹣4ac＜0C．a﹣b+c＜0D．2a+b=04．（2019辽宁省葫芦岛市,第8题,3分）二次函数y=ax2+bx的图象如图所示,则一次函数y=ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．5．（2019重庆,第5题,4分）抛物线y=﹣3x2+6x+2的对称轴是（）A．直线x=2B．直线x=﹣2C．直线x=1D．直线x=﹣1 6．（2019陕西,第10题,3分）在同一平面直角坐标系中,若抛物线y=x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y=x2﹣（3m+n）x+n关于y轴对称,则符合条件的m,n的值为（）A．m57=,n187=-B．m=5,n=﹣6C．m=﹣1,n=6D．m=1,n=﹣27．（2019黑龙江省哈尔滨市,第6题,3分）将抛物线y=2x2向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,所得到的抛物线为（）A．y=2（x+2）2+3B．y=2（x﹣2）2+3C．y=2（x﹣2）2﹣3D．y=2（x+2）2﹣38．（2019黑龙江省齐齐哈尔市,第10题,3分）如图,抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3,0）,其对称轴为直线x12=-,结合图象分析下列结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③当x＜0时,y随x的增大而增大；④一元二次方程cx2+bx+a=0的两根分别为x113=-,x212=；⑤244b aca-＜0；⑥若m,n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3=0的两个根,则m＜﹣3且n＞2,其中正确的结论有（）A．3个B．4个C．5个D．6个9．（2019湖北省鄂州市,第9题,3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴是直线x=1．下列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．（2019湖北省随州市,第10题,3分）如图所示,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,OA=OC,对称轴为直线x=1,则下列结论：①abc＜0；②a12+b14+c=0；③ac+b+1=0；④2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．（2019内蒙古通辽市,第10题,3分）在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示,现给以下结论：①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c=0；④a﹣b≥m（am+b）（m为实数）；⑤4ac﹣b2＜0．其中错误结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．（2019辽宁省大连市,第10题,3分）如图,抛物线y14=-x212+x+2与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,点D在抛物线上,且CD∥AB．AD与y轴相交于点E,过点E的直线PQ平行于x轴,与拋物线相交于P,Q两点,则线段PQ的长为（）A．5B．25C．3D．23A．78-B．34-C．﹣1D．013．（2019四川省南充市,第10题,3分）抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c是常数）,a＞0,顶点坐标为（12,m）,给出下列结论：①若点（n,y1）与（32-2n,y2）在该抛物线上,当n12＜时,则y1＜y2；②关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1=0无实数解,那么（）A．①正确,②正确B．①正确,②错误C．①错误,②正确D．①错误,②错误14．（2019四川省资阳市,第10题,4分）如图是函数y=x2﹣2x﹣3（0≤x≤4）的图象,直线l∥x轴且过点（0,m）,将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折,在直线1下方的图象保持不变,得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5,则m的取值范围是（）A．m≥1B．m≤0C．0≤m≤1D．m≥1或m≤015．（2019莱芜区,第11题,3分）将二次函数y=x2﹣5x﹣6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新图象,若直线y=2x+b与这个新图象有3个公共点,则b的值为（）A．734-或﹣12B．734-或2C．﹣12或2D．694-或﹣1216．（2019广西梧州市,第12题,3分）已知m＞0,关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m=0的解为x1,x2（x1＜x2）,则下列结论正确的是（）A．x1＜﹣1＜2＜x2B．﹣1＜x1＜2＜x2C．﹣1＜x1＜x2＜2D．x1＜﹣1＜x2＜2二、填空题17．（2019江苏省徐州市,第17题,3分）已知二次函数的图象经过点P（2,2）,顶点为O（0,0）将该图象向右平移,当它再次经过点P 时,所得抛物线的函数表达式为 ．18．（2019江苏省无锡市,第14题,2分）某个函数具有性质：当x ＞0时,y 随x 的增大而增大,这个函数的表达式可以是 （只要写出一个符合题意的答案即可）．19．（2019江苏省镇江市,第12题,2分）已知抛物线y =ax 2+4ax +4a +1（a ≠0）过点A （m ,3）,B （n ,3）两点,若线段AB 的长不大于4,则代数式a 2+a +1的最小值是 ．20．（2019浙江省台州市,第16题,5分）如图,直线l 1∥l 2∥l 3,A ,B ,C 分别为直线l 1,l 2,l 3上的动点,连接AB ,BC ,AC ,线段AC 交直线l 2于点D ．设直线l 1,l 2之间的距离为m ,直线l 2,l 3之间的距离为n ,若∠ABC =90°,BD =4,且23m n =,则m +n 的最大值为 ．21．（2019湖北省武汉市,第15题,3分）抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A （﹣3,0）、B （4,0）两点,则关于x 的一元二次方程a （x ﹣1）2+c =b ﹣bx 的解是 ．22．（2019湖北省荆州市,第11题,3分）二次函数y =﹣2x 2﹣4x +5的最大值是 ．23．（2019湖北省荆门市,第17题,3分）抛物线y =ax 2+bx +c （a ,b ,c 为常数）的顶点为P ,且抛物线经过点A （﹣1,0）,B （m ,0）,C （﹣2,n ）（1＜m ＜3,n ＜0）,下列结论：①abc ＞0,②3a +c ＜0,③a （m ﹣1）+2b ＞0,④a =﹣1时,存在点P 使△P AB 为直角三角形． 其中正确结论的序号为 ．24．（2019内蒙古赤峰市,第18题,3分）二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示,下列结论：①b ＞0；②a ﹣b +c =0；③一元二次方程ax 2+bx +c +1=0（a ≠0）有两个不相等的实数根；④当x ＜﹣1或x ＞3时,y ＞0．上述结论中正确的是 ．（填上所有正确结论的序号）25．（2019吉林省长春市,第14题,3分）如图,在平面直角坐标系中,抛物线y =ax 2﹣2ax 83+（a ＞0）与y 轴交于点A,过点A作x轴的平行线交抛物线于点M．P为抛物线的顶点．若直线OP交直线AM于点B,且M为线段AB的中点,则a的值为．26．（2019四川省内江市,第24题,6分）若x、y、z为实数,且2421x y zx y z+-=⎧⎨-+=⎩,则代数式x2﹣3y2+z2的最大值是．27．（2019四川省凉山州,第17题,4分）将抛物线y=（x﹣3）2﹣2向左平移个单位后经过点A（2,2）．28．（2019四川省凉山州,第23题,5分）当0≤x≤3时,直线y=a与抛物线y=（x﹣1）2﹣3有交点,则a的取值范围是．29．（2019山东省泰安市,第16题,4分）若二次函数y=x2+bx﹣5的对称轴为直线x=2,则关于x的方程x2+bx ﹣5=2x﹣13的解为．30．（2019济宁,第15题,3分）如图,抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A（﹣1,p）,B（3,q）两点,则不等式ax2+mx+c＞n的解集是．31．（2019山东省潍坊市,第17题,3分）如图,直线y=x+1与抛物线y=x2﹣4x+5交于A,B两点,点P是y轴上的一个动点,当△P AB的周长最小时,S△P AB= ．三、解答题32．（2019黑龙江省大庆市,第26题,8分）如图,在Rt△ABC中,∠A=90°．AB=8cm,AC=6cm,若动点D从B 出发,沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B,A重合的情况）,运动速度为2cm/s,过点D作DE∥BC交AC于点E,连接BE,设动点D运动的时间为x（s）,AE的长为y（cm）．（1）求y关于x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时,△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？33．（2019南通,第26题,10分）已知：二次函数y=x2﹣4x+3a+2（a为常数）．（1）请写出该二次函数的三条性质；（2）在同一直角坐标系中,若该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y=2x﹣1的图象有两个交点,求a 的取值范围．34．（2019山东省威海市,第23题,10分）在画二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象时,甲写错了一次项的系数,列表如下x……﹣10123……y甲……63236……乙写错了常数项,列表如下：x……﹣10123……y乙……﹣2﹣12714……通过上述信息,解决以下问题：（1）求原二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的表达式；（2）对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）,当x时,y的值随x的值增大而增大；（3）若关于x的方程ax2+bx+c=k（a≠0）有两个不相等的实数根,求k的取值范围．35．（2019辽宁省盘锦市,第26题,14分）如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣1,0）和点C（0,4）,交x轴正半轴于点B,连接AC,点E是线段OB上一动点（不与点O,B重合）,以OE为边在x轴上方作正方形OEFG,连接FB,将线段FB绕点F逆时针旋转90°,得到线段FP,过点P作PH∥y轴,PH交抛物线于点H,设点E（a,0）．（1）求抛物线的解析式．（2）若△AOC与△FEB相似,求a的值．（3）当PH=2时,求点P的坐标．36．（2019浙江省台州市,第23题,12分）已知函数y=x2+bx+c（b,c为常数）的图象经过点（﹣2,4）．（1）求b,c满足的关系式；（2）设该函数图象的顶点坐标是（m,n）,当b的值变化时,求n关于m的函数解析式；（3）若该函数的图象不经过第三象限,当﹣5≤x≤1时,函数的最大值与最小值之差为16,求b的值．37．（2019江苏省泰州市,第22题,10分）如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数图象的顶点坐标为（4,﹣3）,该图象与x轴相交于点A、B,与y轴相交于点C,其中点A的横坐标为1．（1）求该二次函数的表达式；（2）求tan∠ABC．38．（2019江苏省淮安市,第26题,12分）如图,已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点,D为顶点,其中点B的坐标为（5,0）,点D的坐标为（1,3）．（1）求该二次函数的表达式；（2）点E是线段BD上的一点,过点E作x轴的垂线,垂足为F,且ED=EF,求点E的坐标．（3）试问在该二次函数图象上是否存在点G,使得△ADG的面积是△BDG的面积的35？若存在,求出点G的坐标；若不存在,请说明理由．39．（2019湖南省湘西州,第26题,22分）如图,抛物线y=ax2+bx（a＞0）过点E（8,0）,矩形ABCD的边AB 在线段OE上（点A在点B的左侧）,点C、D在抛物线上,∠BAD的平分线AM交BC于点M,点N是CD的中点,已知OA=2,且OA：A D=1：3．（1）求抛物线的解析式；（2）F、G分别为x轴,y轴上的动点,顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF,求四边形MNGF周长的最小值；（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点P,使△ODP中OD边上的高为6105？若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由；（4）矩形ABCD不动,将抛物线向右平移,当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L,且直线KL平分矩形的面积时,求抛物线平移的距离．【2018年题组】一、选择题1．（2018辽宁省丹东市,第8题,3分）平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示,现给出下列结论：①abc＜0；②c+2a＞0；③9a﹣3b+c=0；④a﹣b≤am2+bm（m为实数）；⑤4ac﹣b2＜0．其中正确结论的个数是（）A．2B．3C．4D．52．（2018辽宁省抚顺市,第10题,3分）已知抛物线y=ax2+bx+c（0＜2a≤b）与x轴最多有一个交点．以下四个结论：①abc＞0；②该抛物线的对称轴在x=﹣1的右侧；③关于x的方程ax2+bx+c+1=0无实数根；④a b cb++≥2．其中,正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．（2018辽宁省朝阳市,第9题,3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：x﹣1024y﹣122﹣6下列结论错误的是（）A．该函数有最大值B．该函数图象的对称轴为直线x=1C．当x＞2时,函数值y随x增大而减小D．方程ax2+bx+c=0有一个根大于34．（2018辽宁省阜新市,第10题,3分）如图,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点（﹣1,0）和（4,0）,那么下列说法正确的是（）A．ac＞0B．b2﹣4ac＜0C．对称轴是直线x=2.5D．b＞05．（2018陕西省,第10题,3分）对于抛物线y=ax2+（2a﹣1）x+a﹣3,当x=1时,y＞0,则这条抛物线的顶点一定在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（2018黑龙江省哈尔滨市,第6题,3分）将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得到的抛物线为（）A．y=﹣5（x+1）2﹣1B．y=﹣5（x﹣1）2﹣1C．y=﹣5（x+1）2+3D．y=﹣5（x﹣1）2+37．（2018黑龙江省大庆市,第10题,3分）如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1,0）、点B（3,0）、点C（4,y1）,若点D（x2,y2）是抛物线上任意一点,有下列结论：①二次函数y=ax2+bx+c的最小值为﹣4a；②若﹣1≤x2≤4,则0≤y2≤5a；③若y2＞y1,则x2＞4；④一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根为﹣1和1 3其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．48．（2018黑龙江省牡丹江市,第9题,3分）将抛物线y=x2+2x+3向下平移3个单位长度后,所得到的抛物线与直线y=3的交点坐标是（）A．（0,3）或（﹣2,3）B．（﹣3,0）或（1,0）C．（3,3）或（﹣1,3）D．（﹣3,3）或（1,3）9．（2018黑龙江省绥化市,第10题,3分）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示,与x轴的一个交点坐标为（4,0）,抛物线的对称轴是x=1．下列结论中：①abc＞0；②2a+b=0；③方程ax2+bx+c=3有两个不相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣2,0）；⑤若点A（m,n）在该抛物线上,则am2+bm+c≤a+b+c．其中正确的有（）A．5个B．4个C．3个D．2个10．（2018黑龙江省齐齐哈尔市,第10题,3分）抛物线C1：y1=mx2﹣4mx+2n﹣1与平行于x轴的直线交于A、B两点,且A点坐标为（﹣1,2）,请结合图象分析以下结论：①对称轴为直线x=2；②抛物线与y轴交点坐标为（0,﹣1）；③m＞25；④若抛物线C2：y2=ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点,则a的取值范围是225≤a＜2；⑤不等式mx2﹣4mx+2n＞0的解作为函数C1的自变量的取值时,对应的函数值均为正数,其中正确结论的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个11．（2018上海市,第3题,4分）下列对二次函数y =x 2﹣x 的图象的描述,正确的是（ ） A ．开口向下 B ．对称轴是y 轴C ．经过原点D ．在对称轴右侧部分是下降的 12．（2018内蒙古呼和浩特市,第10题,3分）若满足12＜x ≤1的任意实数x ,都能使不等式2x 3﹣x 2﹣mx ＞2成立,则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ＜﹣1B ．m ≥﹣5C ．m ＜﹣4D ．m ≤﹣413．（2018内蒙古通辽市,第9题,3分）已知抛物线y =x 2+2x +k +1与x 轴有两个不同的交点,则一次函数y =kx ﹣k 与反比例函数y =kx在同一坐标系内的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ．14．（2018四川省乐山市,第10题,3分）二次函数y =x 2+（a ﹣2）x +3的图象与一次函数y =x （1≤x ≤2）的图象有且仅有一个交点,则实数a 的取值范围是（ ） A ．a =3±23 B ．﹣1≤a ＜2 C ．a =323+或12-≤a ＜2 D ．a =3﹣23或﹣1≤a 12-＜ 15．（2018四川省凉山州,第12题,4分）二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示,则下列结论错误的是（ ）A．4a+b=0B．a+b＞0C．a：c=﹣1：5D．当﹣1≤x≤5时,y＞016．（2018四川省广元市,第10题,3分）若用“*”表示一种运算规则,我们规定：a*b=ab﹣a+b,如：3*2=3×2﹣3+2=5．以下说法中错误的是（）A．不等式（﹣2）*（3﹣x）＜2的解集是x＜3B．函数y=（x+2）*x的图象与x轴有两个交点C．在实数范围内,无论a取何值,代数式a*（a+1）的值总为正数D．方程（x﹣2）*3=5的解是x=517．（2018四川省广安市,第7题,3分）抛物线y=（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x2平移而得到,下列平移正确的是（）A．先向左平移2个单位长度,然后向上平移1个单位长度B．先向左平移2个单位长度,然后向下平移1个单位长度C．先向右平移2个单位长度,然后向上平移1个单位长度D．先向右平移2个单位长度,然后向下平移1个单位长度18．（2018四川省成都市,第10题,3分）关于二次函数y=2x2+4x﹣1,下列说法正确的是（）A．图象与y轴的交点坐标为（0,1）B．图象的对称轴在y轴的右侧C．当x＜0时,y的值随x值的增大而减小D．y的最小值为﹣319．（2018四川省攀枝花市,第6题,3分）抛物线y=x2﹣2x+2的顶点坐标为（）A．（1,1）B．（﹣1,1）C．（1,3）D．（﹣1,3）20．（2018四川省泸州市,第12题,3分）已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量）,当x≥2时,y随x的增大而增大,且﹣2≤x≤1时,y的最大值为9,则a的值为（）A．1或﹣2B．C D．121．（2018四川省达州市,第10题,3分）如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1,0）,与y轴的交点B在（0,2）与（0,3）之间（不包括这两点）,对称轴为直线x=2．下列结论：①abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（12,y1）,点N（52,y2）是函数图象上的两点,则y1＜y2；④35-＜a25-＜．其中正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个22．（2018山东省潍坊市,第9题,3分）已知二次函数y=﹣（x﹣h）2（h为常数）,当自变量x的值满足2≤x≤5时,与其对应的函数值y的最大值为﹣1,则h的值为（）A．3或6B．1或6C．1或3D．4或623．（2018广西,第9题,3分）将抛物线y=12x2﹣6x+21向左平移2个单位后,得到新抛物线的解析式为（）A．y=12（x﹣8）2+5B．y=12（x﹣4）2+5C．y=12（x﹣8）2+3D．y=12（x﹣4）2+324．（2018广西桂林市,第12题,3分）如图,在平面直角坐标系中,M、N、C三点的坐标分别为（12,1）,（3,1）,（3,0）,点A为线段MN上的一个动点,连接AC,过点A作AB⊥AC交y轴于点B,当点A从M运动到N时,点B随之运动．设点B的坐标为（0,b）,则b的取值范围是（）A．114b-≤≤B．514b-≤≤C．9142b-≤≤D．914b-≤≤二、填空题25．（2018黔西南州,第18题,3分）已知：二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示,那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是．x…﹣1012…y…0343…26．（2018辽宁省鞍山市,第14题,3分）已知,点A（﹣4,y1）,B（12,y2）在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上,则y1与y2的大小关系为．27．（2018黑龙江省哈尔滨市,第16题,3分）抛物线y=2（x+2）2+4的顶点坐标为．28．（2018黑龙江省牡丹江市,第20题,3分）如图,抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1,下列结论中：①abc＜0；②9a﹣3b+c＜0；③b2﹣4ac＞0；④a＞b．正确的结论是（只填序号）29．（2018吉林省长春市,第14题,3分）如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+mx交x轴的负半轴于点A．点B是y轴正半轴上一点,点A关于点B的对称点A'恰好落在抛物线上．过点A'作x轴的平行线交抛物线于另一点C．若点A'的横坐标为1,则A'C的长为．30．（2018四川省南充市,第16题,3分）如图,抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c是常数,a≠0）与x轴交于A,B两点,顶点P（m,n）．给出下列结论：①2a+c＜0；②若（32-,y1）,（12-,y2）,（12,y3）在抛物线上,则y1＞y2＞y3；③关于x的方程ax2+bx+k=0有实数解,则k＞c﹣n；④当n1a=-时,△ABP为等腰直角三角形．其中正确结论是（填写序号）．31．（2018四川省巴中市,第17题,3分）把抛物线y=x2﹣2x+3沿x轴向右平移2个单位,得到的抛物线解析式为．32．（2018山东省日照市,第16题,4分）在平面直角坐标系中,我们把横、纵坐标均为整数的点叫做整点．已知反比例函数y=mx（m＜0）与y=x2﹣4在第四象限内围成的封闭图形（包括边界）内的整点的个数为2,则实数m的取值范围为．33．（2018山东省淄博市,第16题,4分）已知抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧）,将这条抛物线向右平移m（m＞0）个单位,平移后的抛物线与x轴交于C,D两点（点C在点D的左侧）,若B,C是线段AD的三等分点,则m的值为．三、解答题34．（2018云南省,第20题,8分）已知二次函数y=﹣316x2+bx+c的图象经过A（0,3）,B（﹣4,﹣92）两点．（1）求b,c的值．（2）二次函数y=﹣316x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点？若有,求公共点的坐标；若没有,请说明情况．35．（2018云南省昆明市,第22题,9分）如图,抛物线y=ax2+bx过点B（1,﹣3）,对称轴是直线x=2,且抛物线与x轴的正半轴交于点A．（1）求抛物线的解析式,并根据图象直接写出当y≤0时,自变量x的取值范图；（2）在第二象限内的抛物线上有一点P,当P A⊥BA时,求△P AB的面积．36．（2018内蒙古赤峰市,第26题,14分）已知抛物线y=﹣12x2﹣32x的图象如图所示：（1）将该抛物线向上平移2个单位,分别交x轴于A、B两点,交y轴于点C,则平移后的解析式为．（2）判断△ABC的形状,并说明理由．（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P,使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,说明理由．37．（2018北京,第26题,6分）在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴,y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax2+bx﹣3a经过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围．38．（2018四川省乐山市,第23题,10分）已知关于x的一元二次方程mx2+（1﹣5m）x﹣5=0（m≠0）．（1）求证：无论m为任何非零实数,此方程总有两个实数根；（2）若抛物线y=mx2+（1﹣5m）x﹣5与x轴交于A（x1,0）、B（x2,0）两点,且|x1﹣x2|=6,求m的值；（3）若m＞0,点P（a,b）与Q（a+n,b）在（2）中的抛物线上（点P、Q不重合）,求代数式4a2﹣n2+8n的值．39．（2018黑龙江省,第23题,6分）如图,抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A（0,2）,对称轴为直线x=﹣2,平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点,点B在对称轴左侧,BC=6．（1）求此抛物线的解析式．（2）点P在x轴上,直线CP将△ABC面积分成2：3两部分,请直接写出P点坐标．40．（2018陕西省,第24题,10分）已知抛物线L ：y =x 2+x ﹣6与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）,并与y 轴相交于点C ．（1）求A 、B 、C 三点的坐标,并求△ABC 的面积；（2）将抛物线L 向左或向右平移,得到抛物线L ',且L '与x 轴相交于A '、B '两点（点A '在点B '的左侧）,并与y 轴相交于点C ',要使△A 'B 'C '和△ABC 的面积相等,求所有满足条件的抛物线的函数表达式．41．（2018黑龙江省牡丹江市,第23题,6分）如图,抛物线y =﹣x 2+bx +c 经过A （﹣1,0）,B （3,0）两点,交y 轴于点C ,点D 为抛物线的顶点,连接BD ,点H 为BD 的中点．请解答下列问题： （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）在y 轴上找一点P ,使PD +PH 的值最小,则PD +PH 的最小值为 ．（注：抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴是直线x =﹣2b a ,顶点坐标为（﹣2ba,244ac b a ）42．（2018辽宁省营口市,第26题,14分）已知抛物线y =ax 2+bx +8（a ≠0）经过点A （﹣3,﹣7）,B （3,5）,顶点为点E ,抛物线的对称轴与直线AB 交于点C ． （1）求直线AB 的解析式和抛物线的解析式．（2）在抛物线上A ,E 两点之间的部分（不包含A ,E 两点）,是否存在点D ,使得S △DAC =2S △DCE ？若存在,求出点D 的坐标；若不存在,请说明理由．（3）若点P在抛物线上,点Q在x轴上,当以点A,E,P,Q为顶点的四边形是平行四边形时,直接写出满足条件的点P的坐标．43．（2018辽宁省阜新市,第22题,10分）如图,已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1,0）,B（3,0）,交y轴于点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点,求△BCP面积的最大值；（3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M,N,当△BMN是等腰三角形时,直接写出m的值．一、选择题1．（2019成都石室联中一诊,第10题,3分）抛物线y=ax2+bx+c（对称轴为x=1）的图象如图所示,下列四个判断中正确的是（）A．a＞0,b＞0,c＞0B．b2﹣4ac＜0C．2a+b=0D．a+b+c＞02．（2019成都高新区一诊,第9题,3分）将抛物线y=2x2向左平移1个单位,再向下平移2个单位,得到的抛物线是（）A．y=2（x+1）2+2B．y=2（x﹣1）2+2C．y=2（x﹣1）2﹣2D．y=2（x+1）2﹣23．（2019历下区三模,第12题,4分）对某一个函数给出如下定义：如果存在常数M,对于任意的函数值y,都满足y≤M,那么称这个函数是有上界函数；在所有满足条件的M中,其最小值称为这个函数的上确界．例如,函数y=﹣（x+1）2+2,y≤2,因此是有上界函数,其上确界是2,如果函数y=﹣2x+1（m≤x≤n,m＜n）的上确界是n,且这个函数的最小值不超过2m,则m的取值范围是（）A．m13≤B．m13＜C．1132m≤＜D．m12≤4．（2019深圳中考预测一,第12题,3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分,它与x轴正半轴相交于点A,与y轴相交于点C,对称轴为直线x=2,且OA=OC,则下列结论：①abc＞0；②9a+3b﹣c＞0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为1a -．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．（2019玄武区二模,第6题,2分）二次函数y1=ax2+bx+c（a,b,c为常数）的图象如图所示,若y1+y2=2,则下列关于函数y2的图象与性质描述正确的是（）A．函数y2的图象开口向上B．函数y2的图象与x轴没有公共点C．当x＞2时,y2随x的增大而减小D．当x=1时,函数y2的值小于06．（2019高淳区二模,第6题,2分）已知二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：x…﹣3﹣2﹣1013…y…﹣27﹣13﹣335﹣3…下列结论：①a＜0；②方程ax2+bx+c=3的解为x1=0,x2=2；③当x＞2时,y＜0．其中所有正确结论的序号是（）A．①②③B．①C．②③D．①②7．（2019保定二模,第13题,3分）将二次函数y=x2﹣6x+5用配方法化成y=（x﹣h）2+k的形式,下列结果中正确的是（）A．y=（x﹣6）2+5B．y=（x﹣3）2+5C．y=（x﹣3）2﹣4D．y=（x+3）2﹣98．（2019保定二模,第15题,3分）已知抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：x…﹣10123…y…30﹣1m3…有以下几个结论：①抛物线y=ax2+bx+c的开口向下；②抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1；③方程ax2+bx+c=0的根为0和2；④当y＞0时,x的取值范围是x＜0或x＞2；其中正确的是（）A．①④B．②④C．②③D．③④9．（2019河南省实验中学模拟,第9题,3分）如图,将抛物线y=﹣x2+x+5的图象x轴上方的部分沿x轴折到x 轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新图象．则新图象与直线y=﹣5的交点个数为（）A．1B．2C．3D．410．（2019福建省名校联合三模,第10题,4分）已知二次函数y=（x﹣h）2（h为常数）,当自变量x的值满足﹣1≤x≤3时,与其对应的函数值y的最小值为4,则h的值为（）A．1或5B．﹣5成3C．﹣3或1D．﹣3或511．（2019重庆八中模拟,第10题,4分）已知,二次函数y=（x+2）2+k向左平移1个单位,再向下平移3个单位,得到二次函数y=（x+h）2﹣1,则h和k的值分别为（）A．3,﹣4B．1,﹣4C．1,2D．3,212．（2019陕西师大附中八模,第10题,3分）以x为自变量的二次函数y=x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限,则实数b的取值范围是（）A．b54B．b≥1或b≤﹣1C．b≥2D．1≤b≤2二、填空题13．（2019长春二模,第14题,3分）如图,二次函数y=x2﹣1与x轴交于A,B两点点B在点A的右侧）,与y 轴交于点C．将该函数图象x轴下方的部分和A,B两点绕着点B旋转180°得到的图象与x轴交于点D,点C 的对应点为点E,连结CE,将这两部分组成的新图象记为G,垂直于y轴的直线l与新图象交于点P1（x1,y1）,P2（x2,y2）,与线段CE交于点P3（x3,y3）,设x1,x2,x3均为正数,m=x1+x2+x3,则m的取值范围是．14．（2019长春四模,第14题,3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：x﹣303y033则函数y=ax+bc不经过的象限是第象限．15．（2019武侯区二诊,第14题,4分）如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x52=-,与y轴的交点是（0,3）,与x轴相交于A,B两点,有以下结论：①c＜0；②b2﹣4ac=0；③a+b+c＞0：④当x＞﹣2时,y的值随x值的增大而增大．其中正确结论的个数有个．16．（2019成都高新区一诊,第25题,4分）一段抛物线C：y=﹣x2+3x+m（0≤x≤3）与直线y=x+1有唯一公共点,若m为整数,则符合条件的所有m的值的和为．17．（2019松滋市三模,第16题,5分）已知：y关于x的函数y=k2x2﹣（2k+1）x+1的图象与坐标轴只有两个不同的交点A、B,P点坐标为（4,2）,则△P AB的面积为．18．（2019重庆八中模拟,第15题,5分）平移抛物线y=x2+2x﹣8,使它经过原点,写出平移后抛物线的一个解析式．三、解答题19．（2019北京人大附中模拟,第22题,9分）已知二次函数y=ax2﹣2ax﹣2（a≠0）．（1）该二次函数图象的对称轴是直线．（2）若该二次函数的图象开口向上,当﹣1≤x≤5时,函数图象的最高点为M,最低点为N,点M的纵坐标为11 2,求点M和点N的坐标；（3）对于该二次函数图象上的两点A（x1,y1）B（x2,y2）,设t≤x1≤t+1,当x2≥3时,具有y1≥y2,请结合图象,直接写出t的取值范围．20．（2019丰台区一模,第26题,6分）在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c过原点和点A（﹣2,0）．（1）求抛物线的对称轴；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点32B⎛⎫⎪⎝⎭，．记抛物线与直线AB围成的封闭区域（不含边界）为W．①当a=1时,求出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有3个整点,结合函数图象,直接写出a的取值范围．21．（2019吉林市二模,第26题,10分）我们规定抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个不同的交点A,B 时,线段AB称为该抛物线的“横截弦”,其长度记为d．（1）已知抛物线y=2x2﹣x﹣3,则d=；（2）已知抛物线y=ax2+bx+2经过点A（1,0）,当d=2时,求该抛物线所对应的函数解析式；（3）已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（1,0）,与y轴交于点D．①抛物线恒存在“横截弦”,求c的取值范围；②求d关于c的函数解析式；③连接AD,BD,△ABD的面积为S．当1≤S≤10时,请直接写出c取值范围．22．（2019长春二模,第24题,12分）如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y12=-x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1,0）和点B（3,0）．P为该抛物线上一动点,设点P的横坐标为m．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）将该抛物线沿y轴向下平移12AB个单位,点P的对应点为P',若OP=OP',求△OPP'的面积；（3）连结AP,BP,设△APB的面积为S,当﹣2≤m≤2时,求S的取值范围；（4）若二次函数的自变量x的取值范围是m≤x≤m+1,且最大值为32,直接写出m的值．。
2021中考数学 专题突破：二次函数的图象及其性质一、选择题1. 已知抛物线y=-x 2+bx+4经过(-2，n )和(4，n )两点，则n 的值为 ( )A .-2B .-4C .2D .42. （2020·衢州）二次函数2y x 的图象平移后经过点(2，0)，则下列平移方法正确的是（ ）A ．向左平移2个单位，向下平移2个单位B ．向左平移1个单位，向上平移2个单位C ．向右平移1个单位，向下平移1个单位D ．向右平移2个单位，向上平移1个单位3. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的y 与x 的部分对应值如下表：有下列结论：①抛物线的开口向上；①抛物线的对称轴为直线x ＝2；①当0<x<4时，y>0；①抛物线与x 轴的两个交点间的距离是4；①若A(x 1，2)，B(x 2，3)是抛物线上的两点，则x 1<x 2. 其中正确的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．54. 某人画二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象时，列出下表(计算没有错误)：根据此表判断：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根x 1满足下列关系式中的( )A ．3.2<x 1<3.3B ．3.3<x 1<3.4C ．3.4<x 1<3.5D ．3.1<x 1<3.25. 2019·雅安在平面直角坐标系中，对于二次函数y ＝(x －2)2＋1，下列说法中错误的是( ) A ．y 的最小值为1B ．图象的顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x ＝2C ．当x ＜2时，y 的值随x 值的增大而增大，当x ≥2时，y 的值随x 值的增大而减小D ．它的图象可以由y ＝x 2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到6. ①①①①①①y ①ax 2①bx ①c ①①①①①①①()A①b ①0①c ①0 B①b ①0①c ①0 C①b ①0①c ①0 D①b ①0①c ①07.①①①①y ①ax 2①bx ①c (a ≠0)①①①①①①①①①①①①①①b <0①①c >0①①a ①c <b ①①b 2①4ac >0①①①①①①①①①( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 48. （2020·随州）如图所示，已知二次函数c +bx +ax=y 2的图象与x 轴交于A （-1，0），B （3，0）两点，与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为D ，则下列结论：①2a +b =0；②2c <3b ；③当△ABC 是等腰三角形时，a 的值有2个；④当△BCD 是直角三角形时，22-=a .其中正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个9. 已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2＋bx与一次函数y2＝ax＋b的大致图象不可能是()10.①①①①①①2①①①①ABC①①①①1①①①①A′B′C′①①①①①B′C′①BC①①①①①①①l①①①①①①①C′①B①①①①ABC①①①①①①①①①A′B′C′①①①①①①①l①①①①①①ABC①(①B′①C①①)①①①①①A′B′C′①①①①①①x①①①①①①①①①①①①①①y①①y①①x①①①①①①()二、填空题11. ①①①①①①①①①①①①①①①①y①1 2x2①4x①3①①①①①①①①(①2①1)①①①①①①①①①①①①①________________①12.①①①y①①8x2①①①①________①①①①①________①①①①①①________①①x①0①①y ①x①①①①________①①x①0①①y①x①①①①________①13. ①①①①①①y①3x2①c①①①①①①y①4x①①①①①①①①①①①c①①①________①14. 已知实数x，y满足x2＋3x＋y－3＝0，则x＋y的最大值为________．15. 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，顶点C的纵坐标为－2，现将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线y＝a1x2＋b1x＋c1，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①b＞0；①a－b＋c＜0；①阴影部分的面积为4；①若c＝－1，则b2＝4a.16.①①①①①①①①①①①①①y①x2①①①①①①①①A①①①①(1①1)①①①A①AA1①x①①①①①①①A1①①①A1①A1A2①OA①①①①①①A2①①①A2①A2A3①x①①①①①①①A3①①①A3①A3A4①OA①①①①①①A4……①①①①①①①①①A2019①①①①________①三、解答题17.①①①①①①①①y①x2①(m①3)x①9①①①C①x①①①①①①①①①①y①x①3①①①①①①A①B①①①①x①y①①①①①D①E①①①(1)①m①①①(2)①A①B①①①①①①(3)①P(a①b)(①3<a<1)①①①①①①①①①①P AB①①①①①ABC①①①2①①①①a①b①①①18. ①①①①①y①①x①3①x①①y①①①①①①①B①C①①①B①C①①①①①①y①ax2①bx①c①x①①①①①①①①A①①①①P①①①①①①①①x①2.(1)①①①①①①①①①①(2)①①PB①PC①①①PBC①①①①(3)①①AC①①x①①①①①①①①Q①①①①①P①B①Q①①①①①①①①①ABC①①?①①①①①①①Q①①①①①①①①①①①①①①①19. 如图，在四边形OABC中，AB//OC，BC⊥x轴于点C，A(1,－1)，B(3,－1)，动点P从O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动．过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为Q．设点P移动的时间为t秒（0＜t＜2），△OPQ 与四边形OABC重叠部分的面积为S．（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标；（2）用含t的代数式表示点P、Q的坐标；（3）如果将△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°，是否存在t，使得△OPQ 的顶点O或Q在抛物线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）求出S与t的函数关系式．2021中考数学专题突破：二次函数的图象及其性质-答案一、选择题1. 【答案】B[解析]由抛物线过(-2，n)和(4，n)，说明这两个点关于对称轴对称，即对称轴为直线x=1，所以-=1，又因为a=-1，所以可得b=2，即抛物线的解析式为y=-x 2+2x +4，把x=-2代入解得n=-4.2. 【答案】C【解析】由于 A 选项平移后的解析式为y =(x +2)2-2，当x =2时，y =14，所以它不经过（2，0）；B 选项平移后的解析式为y =(x +1)2+2，当x =2时，y =7，所以它不经过（2，0）；C 选项平移后的解析式为y =(x -1)2-1，当x =2时，y =0，所以它经过（2，0）；D 选项平移后的解析式为y =(x -2)2+1，当x =2时，y =1，它不经过（2，0），因此本题选C.3. 【答案】B [解析] 先根据二次函数的部分对应值在坐标系中描点、连线，由图象可以看出抛物线开口向上，所以结论①正确．由图象(或表格)可以看出抛物线与x 轴的两个交点分别为(0，0)，(4，0)，所以抛物线的对称轴为直线x ＝2且抛物线与x 轴的两个交点间的距离为4，所以结论①和①正确．由图象可以看出当0<x<4时，y<0，所以结论①错误．由图象可以看出当抛物线上的点的纵坐标为2或3时，对应的点均有两个，若A(x 1，2)，B(x 2，3)是抛物线上两点，既有可能x 1<x 2，也有可能x 1>x 2，所以结论①错误．4. 【答案】B[解析] 从表格中的数据看，当3.2≤x≤3.5时，y 随x 的增大而增大，且x ＝3.3时，y ＝－0.17<0，x ＝3.4时，y ＝0.08>0，故y ＝0一定在3.3<x<3.4这个范围内取得，①方程的根也在此范围内．故选B.5. 【答案】C6.【答案】B [①①]①①①①①y①ax 2①bx①c①①①①①①①①①a①0.①①①①①①①①①①①x①①b2a①0①①b①0.①①①①①①①①y①①①①①①①①c①0.①①B.7.【答案】C①①①①①①①①①①①①①a ①0①①①①①①y ①①①①①a ①b ①①①①b ①0①①①①①①①①①①y ①①①x ①①①①①c ①0①①①①①①①x ①①1①①a ①b ①c <0①①a ①c <b ①①①①①①①①①x ①①①①①①①①b 2①4ac ①0①①①①①①8. 【答案】B【解析】本题考查了二次函数图象与系数的关系、等腰三角形的性质、勾股定理，解答过程如下：∵二次函数c +bx +ax =y 2的图象与x 轴交于A （-1，0），B （3，0）两点，∴对称轴为12312=+-=-=a b x ，∴2a +b =0，故①正确； ∵2a +b =0，∴b a 21-=.∵二次函数c +bx +ax =y 2的图象经过点A （-1，0），∴a -b +c =0.∴021=+--c b b ，∴3b =2c ，故②错误；∵AC 不可能等于BC ，∴当△ABC 是等腰三角形时，a 的值有2个.故③正确； ∵△BCD 是直角三角形时，∠BCD 和∠BDC 都可能是直角，∴a 的取值应该有两个，故④错误.综上所述，①③正确.因此本题选B ．9. 【答案】D [解析] 联立⎩⎨⎧y ＝ax 2＋bx ，y ＝ax ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－b a ，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝1，y ＝a ＋b.故二次函数y ＝ax 2＋bx 与一次函数y ＝ax ＋b(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象的交点坐标分别为(－ba ，0)，(1，a ＋b)．对于D 选项，由直线过第一、二、四象限，可知a<0，b>0.①|a|>|b|，①a ＋b<0，从而(1，a ＋b)应在第四象限，①D 选项不正确．10. 【答案】B【解析】由题意知：在①A ′B ′C ′移动的过程中，阴影部分总为等边三角形．当0＜x ≤1时，边长为x ，此时y ＝12x ×32x ＝34x 2；当1＜x ≤2时，重合部分为边长为1的等边三角形，此时y ＝12×1×32＝34；当2＜x ≤3时，边长为3－x ，此时y ＝12(3－x )×32(3－x )．综上，这个分段函数的图象左边为开口向上的抛物线的一部分，中间为直线的一部分，右边为开口向上抛物线的一部分，且最高点为34.故选B.二、填空题11. 【答案】y①12(x①2)2①1 [①①]①①①①①①①①①①①①①①①①①y①a(x①h)2①k.①①①①①①①①①①①①①①①①①①①y ①12x 2①4x①3①①①①①a①12①①①①①①①①①①①①①①y①12(x①2)2①1.12. 【答案】①y① (0①0) ①① ①①13.【答案】43①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①y①3x 2①c①y①4x①①①①①①①①y①3x 2①c①4x①①①①3x 2①4x①c①0①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①b 2①4ac①(①4)2①4×3c①0①①①c①43.14. 【答案】4[解析] x ＋y ＝－x2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，∴当x ＝－1时，x ＋y有最大值，最大值是4.15. 【答案】①①[解析] ①抛物线开口向上，①a ＞0.又①对称轴为直线x ＝－b2a ＞0，①b ＜0，①结论①不正确； ①当x ＝－1时，y ＞0，①a －b ＋c ＞0，①结论①不正确；根据抛物线的对称性，可将阴影部分的面积进行转化，从而求得阴影部分的面积＝2×2＝4，①结论①正确；①4ac －b 24a ＝－2，c ＝－1，①b 2＝4a ，①结论①正确． 综上，正确的结论是①①.16.【答案】(①1010①10102) [①①]①①A①①①①①①①OA①①①①①y①x.①AA 1①x①①①A 1(①1①1)①①①①A 1A 2①OA①①①①①A 1A 2①①①①①y①x①2①①①①①①①①①①①①A 2①①①①(2①4)①①①①①①A 3(①2①4)①A 4(3①9)①A 5(①3①9)①…①A 2019(①2019①12①10102)①①A 2019(①1010①10102)①三、解答题17. 【答案】①①(1)①①①①y①x 2①(m①3)x①9①①①①x①①①①①①①①①①x 2①(m①3)x①9①0①①①①①①①①①①①b 2①4ac①[①(m①3)]2①4×9①0①①①m①3①m①①9① ①①①①①①①①①①0①①m①3>0① ①m①3.(3①)(2)①(1)①①①①①①①①①y①x 2①6x①9①①①①①①①y①x①3①①①⎩⎪⎨⎪⎧y①x 2①6x①9y①x①3①①①⎩⎪⎨⎪⎧x①1y①4①⎩⎪⎨⎪⎧x①6y①9①①A(1①4)①B(6①9)①(6①)(3)①①①①①①①A①B①P①①①x①①①①①①①①①①R①S①T①①①①A(1①4)①B(6①9)①C(3①0)①P(a①b)①①AR①4①BS①9①RC①3①1①2①CS①6①3①3①RS①6①1①5①PT①b①RT①1①a①ST ①6①a①①S ①ABC ①S ①①ABSR ①S ①ARC ①S ①BCS ①12×(4①9)×5①12×2×4①12×3×9①15①S ①PAB ①S ①①PBST ①S ①①ARTP ①S ①①ARSB ①12(9①b)(6①a)①12(b①4)(1①a)①12×(4①9)×5①12(5b①5a①15)①(8①) ①①S ①PAB ①2S ①ABC ① ①12(5b①5a①15)①30①①b①a①15① ①b①15①a① ①P①①①①①①① ①b①a 2①6a①9①①15①a①a 2①6a①9①①①a①7±732① ①①3<a<1①①a①7①732①①b①15①7①732①37①732.(10①)18. 【答案】(1)①y ①①x ①3①x ①①y ①①①①B ①C ①①① ①C (0①3)①B (3①0)① ①①①①①①①①①①x ①2①①①①①①①①①①①①①①y ①a (x ①2)2①k (a ≠0)①①B (3①0)①C (0①3)①①①①①①,430⎩⎨⎧+=+=ka k a ①①①①,11⎩⎨⎧=-=a k ①①①①①①①①①①y ①(x ①2)2①1①①y ①x 2①4x ①3①(2)①y ①x 2①4x ①3①(x ①2)2①1① ①P (2①①1)①①①B (3①0)①C (0①3)①①PC ①2242+①52①PB ①212-322=+）（①BC ①23183322==+①①①PB 2①BC 2①2①18①20①PC 2①20① ①PB 2①BC 2①PC 2①①①PBC ①①①①①①①①S PBC △①12PB ·BC ①12×2×23①3①(3)①①①①Q (m ①0)①①①①①P ①B ①Q ①①①①①①①①①ABC ①①① ①①①ABC ①①ABP ①45°①①Q ①①B ①①①①①m <3① ①①AB ①2①BC ①23①BQ ①3①m ①BP ①2① ①①BQBA BPBC =①①①QBP ①①ABC ①①22323=-m①①①①m ①73①①Q (73①0)①①①BPBA BQBC =①①①PBQ ①①ABC ①①m-=32223①①①①m ①0①①Q (0①0)①①①①①Q ①①①①①P ①B ①Q ①①①①①①①①①ABC ①①①Q ①①①①①Q (73①0)①Q (0①0)①19. 【答案】（1）由A (1,－1)、B (3,－1)，可知抛物线的对称轴为直线x ＝1，点O 关于直线x ＝1的对称点为(4,0)．于是可设抛物线的解析式为y ＝ax (x －4)，代入点A (1,－1)，得－3a ＝－1． 解得13a =．所以2114(4)(2)333y x x x =-=--．顶点M 的坐标为4(2,)3-． （2）△OPQ 是等腰直角三角形，P (2t , 0)，Q (t ,－t )．（3）旋转后，点O ′的坐标为(2t ,－2t )，点Q ′的坐标为(3t ,－t )．将O ′(2t ,－2t )代入1(4)3y x x =-，得122(24)3t t t -=⨯-．解得12t =．将Q ′(3t ,－t )代入1(4)3y x x =-，得13(34)3t t t -=⨯-．解得t ＝1． 因此，当12t =时，点O ′落在抛物线上（如图2）；当t ＝1时，点Q ′落在抛物线上（如图3）．图2 图3（4）①如图4，当0＜t ≤1时，重叠部分是等腰直角三角形OPQ ．此时S ＝t 2． ②如图5，当1＜t ≤1.5时，重叠部分是等腰梯形OPF A ．此时AF ＝2t －2． 此时S ＝1(222)1212t t t +-⨯=-．图4 图5③如图6，当1.5＜t ＜2时，重叠部分是五边形OCEF A ．此时CE ＝CP ＝2t －3．所以BE ＝BF ＝1－(2t －3)＝4－2t ．所以S ＝221111(32)1(42)28222t t t +⨯--=-+-．图6 考点伸展在本题情景下，重叠部分的周长l 与t 之间有怎样的函数关系？如图4，(2l t =+．如图5，42l t =-+如图6，(42l t =-+．。
第15讲二次函数的图象与性质1．二次函数的概念、图象和性质考试内容考试要求二次函数的概念一般地，形如 (a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数．其中x是自变量，a、b、c分别为函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项．b二次函数的图象与性质a a>0 a<0bc 图象开口方向抛物线开口向_______，并向上无限延伸抛物线开口向_____，并向下无限延伸对称轴直线x＝－b2a直线x＝－b2a顶点坐标⎝⎛－b2a，⎭⎪⎫4ac－b24a⎝⎛－b2a，⎭⎪⎫4ac－b24a最值抛物线有最低点，当x＝－b2a时，y有最小值，y最小值＝4ac－b24a.抛物线有最高点，当x＝－b2a时，y有最大值，y最大值＝4ac－b24a.增减性在对称轴的左侧，即当x<－b2a时，y随x的增在对称轴的左侧，即当x<－b2a时，y随x2.二次函数的图象与字母系数的关系3.确定二次函数的解析式考试内容考试要求方法 适用条件及求法c一般式若已知条件是图象上的三个点或三对自变量与函数的对应值，则可设所求二次函数解析式为____________________.顶点式若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(最小值)，可设所求二次函数为____________________.交点式若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为(x 1，0)，(x 2，0)，可设所求的二次函数为 ．4.二次函数与一元二次方程以及不等式之间的关系考试内容考试要求二次函数与一元二次方程二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与 轴的交点的 坐标是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根．b二次函数与不等式 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 在x 轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x 的所有值就是不等式ax 2＋bx ＋c 0的解集；在x 轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x 的所有值就是不等式ax 2＋bx ＋c 0的解集．5.二次函数图象常见的变换考试内容考试要求平移顶点坐标的变化，按照“横坐标加减左右移”、“纵坐标加减上下移”的方法进行．c旋转 抛物线关于原点旋转180°，此时顶点关于原点对称，a 的符号相反． 轴对称抛物线关于x 轴对称，此时顶点关于x 轴对称，a 的符号相反；抛物b线关于y轴对称，此时顶点关于y轴对称，a的符号不变．考试内容考试要求基本思想数形结合，从二次函数的图象研究其开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值及其图象的平移变化，到利用二次函数图象求解方程与方程组，再到利用图象求解析式和解决实际问题，都体现了数形结合的思想．c1．(2015·台州)设二次函数y＝(x－3)2－4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l 上，则点M的坐标可能是( )A．(1，0) B．(3，0) C．(－3，0) D．(0，－4)2．(2017·金华)对于二次函数y＝－(x－1)2＋2的图象与性质，下列说法正确的是( )A．对称轴是直线x＝1，最小值是2B．对称轴是直线x＝1，最大值是2C．对称轴是直线x＝－1，最小值是2D．对称轴是直线x＝－1，最大值是23．(2017·宁波)抛物线y＝x2－2x＋m2＋2(m是常数)的顶点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．(2016·舟山)把抛物线y＝x2先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式是____________________．5．(2015·甘孜州)若二次函数y＝2x2的图象向左平移2个单位长度后，得到函数y＝2(x＋h)2的图象，则h＝____________________．【问题】如图是y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，且点A(－1，0)，B(3，0)．(1)你能从图象中想到哪些二次函数性质；(2)若点C为(0，－3)，你又能得到哪些结论．【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理二次函数的图象与性质．类型一二次函数的解析式例1(1)已知抛物线的顶点坐标为(－1，－8)，且过点(0，－6)，则该抛物线的表达式为________；(2)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(－1，－1)、B(0，2)、C(1，3)；则二次函数的解析式为________；(3)已知抛物线过点A(2，0)，B(－1，0)，与y轴交于点C，且OC＝2.则这条抛物线的解析式为________．【解后感悟】解题关键是选择合适的解析式：当已知抛物线上三点求二次函数的关系式时，一般采用一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；当已知抛物线顶点坐标(或对称轴及最大或最小值)求关系式时，一般采用顶点式y＝a(x－h)2＋k；当已知抛物线与x轴的交点坐标求二次函数的关系式时，一般采用交点式y＝a(x－x1)(x－x2)．1．(1)(2017·杭州模拟)如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数解析式是____________________．(2)(2017·长春模拟)已知二次函数的图象与x轴的两个交点A，B关于直线x＝－1对称，且AB＝6，顶点在函数y＝2x的图象上，则这个二次函数的表达式为____________________．类型二二次函数的图象、性质例2(1)对于抛物线y＝－(x＋1)2＋4，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为(－1，4)；④x≥1时，y 随x的增大而减小；⑤当x＝－1时，y有最大值是4；⑥当y≥0时，－3≤x≤1；⑦点A(－2，y1)、B(1，y2)在抛物线上，则y1＞y2.其中正确结论是______________；(2)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，下列结论：①－2≤x≤1，二次函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为4，最小值为0；②使y≤3成立的x 的取值范围是x≥0；③一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1＝－3，x2＝1；④一元二次方程ax2＋bx＋c－3＝0的两根为x1＝－2，x2＝0；⑤当二次函数的值大于一次函数y＝－x ＋3的值时，x取值范围是－1＜x＜0.其中正确结论是______________．【解后感悟】解题关键是正确把握解析式的特点、图象的特点、二次函数的性质，注意数形结合．2．(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列说法：①2a＋b＝0；②当－1≤x≤3时，y<0；③若(x1，y1)、(x2，y2)在函数图象上，当x1<x2时，y1<y2；④9a＋3b＋c＝0；⑤4a－2b＋c＞0.其中正确的是____________________．(2)(2015·杭州)设函数y＝(x－1)[(k－1)x＋(k－3)](k是常数)．①当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k 取0时函数的图象；②根据图象，写出你发现的一条结论；③将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3的图象，求函数y3的最小值．类型三二次函数的图象变换例3已知抛物线y＝2(x－4)2－1.(1)将该抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为________；(2)将该抛物线关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为________．(3)将该抛物线绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是________．【解后感悟】①平移的规律：左加右减，上加下减；②对称的规律：关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点横、纵坐标均互为相反数；③旋转的规律：旋转后的抛物线开口相反，顶点关于旋转点对称．3．(1)(2017·绍兴)矩形ABCD 的两条对称轴为坐标轴，点A 的坐标为(2，1)．一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A 重合，此时抛物线的函数表达式为y ＝x 2，再次平移透明纸，使这个点与点C 重合，则该抛物线的函数表达式变为( )A ．y ＝x 2＋8x ＋14B ．y ＝x 2－8x ＋14C ．y ＝x 2＋4x ＋3D ．y ＝x 2－4x ＋3(2)(2017·盐城)如图，将函数y ＝12(x －2)2＋1的图象沿y 轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A(1，m)，B(4，n)平移后的对应点分别为点A′、B′.若曲线段AB 扫过的面积为9(图中的阴影部分)，则新图象的函数表达式是( )A ．y ＝12(x －2)2－2B ．y ＝12(x －2)2＋7 C ．y ＝12(x －2)2－5 D ．y ＝12(x －2)2＋4类型四 二次函数的综合问题例4 如图，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋c 与x 轴交于A ，B 两点，它们的对称轴与x 轴交于点N ，过顶点M 作ME⊥y 轴于点E ，连结BE 交MN 于点F. 已知点A 的坐标为(－1，0)．(1)求该抛物线的解析式及顶点M 的坐标； (2)求△EMF 与△BNF 的面积之比．【解后感悟】抛物线与x 轴的交点问题；二次函数的性质；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；相似三角形的判定和性质．4．(1)(2016·长春)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为(4，3)，D是抛物线y＝－x2＋6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为____________________．(2)(2015·湖州)如图，已知抛物线C1∶y＝a1x2＋b1x＋c1和C2∶y＝a2x2＋b2x＋c2都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一个交点分别为M、N，如果点A与点B，点M与点N 都关于原点O成中心对称，则抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是和.类型五二次函数的应用例5(2017·杭州模拟)九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：售价(元/件) 100 110 120 130 …月销量(件) 200 180 160 140 …已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元．(1)请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是________元；②月销量是________件；(直接填写结果)(2)设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？【解后感悟】此题是二次函数的应用，准确分析题意，列出y与x之间的二次函数关系式是解题关键．5．(2017·重庆模拟)我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm(锅口直径与锅盖直径视为相同)，建立直角坐标系如图1所示(图2是备用图)，如果把锅纵断面的抛物线记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2.(1)求C1和C2的解析式；(2)如果炒菜锅里的水位高度是1dm，求此时水面的直径；(3)如果将一个底面直径为3dm，高度为3dm的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由．【探索研究题】如图，一段抛物线：y＝－x(x－3)(0≤x≤3)，记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得C13.若P(37，m)在第13段抛物线C13上，则m＝________．【方法与对策】本题是数形规律探究能力．图形类规律探索题，通常先把图形型问题转化为数字型问题，再从数字的特点来寻找规律，解题关键从操作中前面几个点的坐标位置变化，猜想、归纳出一般变化规律．该题型是图形变换和规律的探究题，是中考命题方向．【配方漏括号】用配方法求二次函数y＝512x2－53x＋54图象的顶点坐标及对称轴．参考答案第15讲二次函数的图象与性质【考点概要】1．y＝ax2＋bx＋c上下减小增大增大减小 2.上下小y左右原点 正 负 唯一 两个 没有 > < 3.y ＝ax 2＋bx ＋c y ＝a (x －m )2＋k y ＝a (x －x 1)(x －x 2) 4.x 横 > <【考题体验】1．B 2.B 3.A 4.y ＝(x －2)2＋3 5.2【知识引擎】【解析】(1)对称轴是直线x ＝1等；(2)当x ＝1时，y 的最小值为－4等．【例题精析】例1 (1)y ＝2(x ＋1)2－8；(2)y ＝－x 2＋2x ＋2；(3)y ＝x 2－x －2或y ＝－x 2＋x ＋2 例2 (1)①③④⑤⑥⑦；(2)①③④⑤ 例3 (1)y ＝2x 2＋1；(2)y ＝－2(x ＋4)2＋1；(3)y ＝－2(x －4)2－1 例4 (1)∵点A 在抛物线y ＝－x 2＋2x ＋c 上，∴－(－1)2＋2·(－1)＋c ＝0，解得：c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3.∵y＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴抛物线的顶点M(1，4)；(2)∵A(－1，0)，抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴点B(3，0)．∴EM＝1，BN ＝2.∵EM∥BN，∴△EMF ∽△BNF.∴S △EMF S △BNF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫EM NB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14. 例5 (1)①(x－60)；②(－2x ＋400) (2)依题意可得：y ＝(x －60)×(－2x ＋400)＝－2x 2＋520x －24000＝－2(x －130)2＋9800，当x ＝130时，y 有最大值9800.所以售价为每件130元时，当月的利润最大为9800元．【变式拓展】1．(1)y ＝－x 2＋2x ＋3 (2)y ＝29x 2＋49x －1692．(1)①④⑤ (2)①根据题意可得函数图象为：②图象都经过点(1，0)和点(－1，4)；图象总交x 轴于点(1，0)；k 取0和2时的函数图象关于点(0，2)成中心对称；③平移后的函数y 3的表达式为：y 3＝(x ＋3)2－2，∴当x ＝－3时，函数y 3的最小值为－2.3. (1)A (2)D4. (1)15 (2)y ＝－3x 2＋23x y ＝3x 2＋23x5.(1)由于抛物线C 1、C 2都过点A(－3，0)、B(3，0)，可设它们的解析式为：y ＝a(x －3)(x＋3)；抛物线C 1还经过D(0，－3)，则有：－3＝a(0－3)(0＋3)，解得：a ＝13，即：抛物线C 1：y ＝13x 2－3(－3≤x≤3)；抛物线C 2还经过C(0，1)，则有：1＝a(0－3)(0＋3)，解得：a ＝－19，即：抛物线C 2：y ＝－19x 2＋1(－3≤x≤3)．(2)当炒菜锅里的水位高度为1dm 时，y ＝－2，即13x 2－3＝－2，解得：x ＝±3，∴此时水面的直径为23dm . (3)锅盖能正常盖上，理由如下：当x ＝32时，抛物线C 1：y ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－3＝－94，抛物线C 2：y ＝－19×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋1＝34，而34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－94＝3，∴锅盖能正常盖上． 【热点题型】【分析与解】C 1：y ＝－x(x －3)(0≤x≤3)C 2：y ＝(x －3)(x －6)(3≤x≤6)C 3：y ＝－(x －6)(x －9)(6≤x≤9)C 4：y ＝(x －9)(x －12)(9≤x≤12)…C 13：y ＝－(x －36)(x －39)(36≤x≤39)，当x ＝37时，y ＝2，所以，m ＝2.【错误警示】y ＝512x 2－53x ＋54＝512(x 2－4x ＋3)＝512[(x －2)2－1]＝512(x －2)2－512，∴该函数图象的顶点坐标是(2，－512)，对称轴是直线x ＝2.。
浙江中考复习专题——二次函数知识点归纳二次函数知识点总结：1．二次函数的观点：一般地，形如y ax2 bx c（ a ，b ，c 是常数，a 0）的函数，叫做二次函数。
这里需要重申：和一元二次方程近似，二次项系数 a 0 ，而b，c能够为零．二次函数的定义域是全体实数．2.二次函数 y ax2 bx c 的构造特色：⑴等号左边是函数，右边是对于自变量x 的二次式， x 的最高次数是 2．⑵ a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数，b是一次项系数， c 是常数项．二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：y ax2的性质：oo结论： a 的绝对值越大，抛物线的张口越小。
总结：a 的符号张口方向极点坐标对称轴性质a 0 0 ，0 x 0 时， y 随x的增大而增大；x 0 时， y 随向上y 轴x 的增大而减小；x 0 时， y 有最小值 0 ．a 0 0 ，0 x 0 时， y 随x的增大而减小；x 0 时， y 随向下y 轴x 的增大而增大；x 0 时， y 有最大值 0 ．2. y ax2 c 的性质：结论：上加下减。
总结：a 的符号张口方向极点坐标对称轴性质a 0 0 ，c x 0 时， y 随x的增大而增大；x 0 时， y 随向上y 轴x 的增大而减小；x 0 时， y 有最小值c．a 0 0 ，c x 0 时， y 随x的增大而减小；x 0 时， y 随向下y 轴x 的增大而增大；x 0 时， y 有最大值c．23.y a x h 的性质：结论：左加右减。
总结：a 的符号张口方向极点坐标对称轴性质a 0 h ，0 x h 时， y 随x的增大而增大；x h 时， y 随向上X=hx 的增大而减小；x h 时， y 有最小值 0 ．a 0 h ，0 x h 时， y 随x的增大而减小；x h 时， y 随向下X=hx 的增大而增大；x h 时， y 有最大值 0 ．24. y a x h k 的性质：总结：a 的符号张口方向极点坐标 对称轴性质a 0h ，kx h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 随向上X=hx 的增大而减小； x h 时， y 有最小值 k ．a 0h ，kx h 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时， y 随向下X=hx 的增大而增大； x h 时， y 有最大值 k ．二次函数图象的平移1. 平移步骤：⑴ 将抛物线分析式转变成极点式y 2h ，k ；a x hk ，确立其极点坐标⑵ 保持抛物线 yax 2 的形状不变，将其极点平移到h ，k 处，详细平移方法以下：y=ax2向上 (k>0)【或向下 (k<0)】平移 |k|个单位y=ax 2+k向右 (h>0)【或左 (h<0)】 向右 ( h>0) 【或左 ( h<0) 】 向右 (h>0) 【或左 (h<0) 】 平移 |k|个单位平移 |k|个单位平移 |k|个单位向上 ( k>0) 【或下 ( k<0) 】平移 |k|个单位y=a( x-h)2向上 (k>0) 【或下 (k<0)】平移 |k|个单位y=a (x-h)2+k2.平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”．归纳成八个字“左加右减，上加下减” ．三、二次函数 y 2ax 2 bx c 的比较a x hk 与 y请将 y 2x 24x 5 利用配方的形式配成极点式。
专题1.3 二次函数的图象与性质（二）【八大题型】【浙教版】【题型1 利用二次函数的图象与性质比较函数值的大小】 (1)【题型2 利用二次函数的图象特征求参数的值或取值范围】 (4)【题型3 根据规定范围内二次函数函数的最值求参数的值】 (6)【题型4 根据规定范围内二次函数函数的最值求参数取值范围】 (9)【题型5 根据二次函数的性质求最值】 (11)【题型6 二次函数的对称性的运用】 (13)【题型7 二次函数的图象与一次函数图象共存问题】 (16)【题型8 利用二次函数的图象与系数的关系判断结论】 (19)【题型1利用二次函数的图象与性质比较函数值的大小】【例1】（2023春·天津滨海新·九年级校考期中）已知点A(−2,y1)，B(1,y2)，C(5,y3)在二次函数y=−3x2+k 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）A．y1<y2<y3B．y3<y2<y1C．y3<y1<y2D．y1<y3<y2【答案】C【分析】根据题意可得二次函数y=−3x2+k的图象的对称轴为y轴，从而得到点A(−2,y1)关于对称轴的对称点为(2,y1)，再由当x>0时，y随x的增大而减小，即可求解．【详解】解：∵二次函数y=−3x2+k的图象的对称轴为y轴，∴点A(−2,y1)关于对称轴的对称点为(2,y1)，∵−3<0，∴当x>0时，y随x的增大而减小，∵1<2<5，∴y3<y1<y2．故选：C【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【变式1-1】（2023春·九年级单元测试）若点C(x1,m)、D(x2,n)在抛物线y=−2(x−3)2的图象上，且x1>x2 >3，则m与n的大小关系为______．【答案】m<n【分析】根据二次函数解析式，求得二次函数的对称轴，开口方向，再根据二次函数的性质求解即可．【详解】解：由抛物线y=−2(x−3)2可得，a<0，开口向下，对称轴为x=3，∴当x>3时，y随x的增大而减小，又∵x1>x2>3，∴m<n故答案为：m<n【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质．【变式1-2】（2023春·福建漳州·九年级统考期末）已知点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)都在二次函数y=ax2−2ax−3a(a≠0)的图像上，若−1<x1<0,1<x2<2,x3>3，则下列关于y1，y2，y3三者的大小关系判断一定正确的是（）A．y1可能最大，不可能最小B．y3可能最大，也可能最小C．y3可能最大，不可能最小D．y2不可能最大，可能最小【答案】B【分析】求出函数图像的对称轴，与x轴的交点，分a>0和a<0两种情况，根据已知三点与对称轴的距离，结合开口方向分析即可．【详解】解：在y=ax2−2ax−3a(a≠0)中，=1，对称轴为直线x=−−2a2a令ax2−2ax−3a=0，解得：x1=−1，x2=3，∴函数图像与x轴交于(−1,0)，(3,0)，∵−1<x1<0,1<x2<2,x3>3，∴(x3,y3)离对称轴最远，(x2,y2)离对称轴最近，当a>0时，开口向上，∴y3>y1>y2；当a<0时，开口向下，∴y3<y1<y2；∴y2和y3可能最大，也可能最小，故选B．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是根据表达式求出对称轴和与x轴交点，利用性质进行分析．【变式1-3】（2023·浙江温州·校考三模）已知二次函数y =x 2−2x 的图象过A (a,y 1),B (2a,y 2)两点，下列选项正确的是（ ）A ．若a <0，则y 1>y 2B ．若0<a <23，则y 1<y 2C ．若23<a <1，则y 1<y 2D ．若a >1，则y 1>y 2【答案】C【分析】根据根据二次函数的解析式得到对称轴为直线x =1，再利用二次函数的性质对各项判断即可解答．【详解】解：∵二次函数y =x 2−2x 的图象过A (a,y 1),B (2a,y 2)两点，∴二次函数的顶点式为：y =x 2−2x =(x−1)2−1，∴当x <1时，y 随x 的增大而减小，当x >1时，y 随x 的增大而增大；∵a <0，∴2a <0，∴a >2a ，∴y 1<y 2，故A 错误；∵二次函数的顶点式为：y =x 2−2x =(x−1)2−1，∴抛物线的对称轴为直线x =1，若a 2a 2=1，∴解得：a =23，∴当a =23时，a 和2a 关于x =1对称，∴当0<a <23时，y 1>y 2；当23<a <1时，y 1<y 2，故B 错误，C 正确；当a >1时，y 随x 的增大而增大，∵a <2a ，∴y 1<y 2，故D 错误；故选C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的对称轴，掌握二次函数的性质是解题的关键．【题型2利用二次函数的图象特征求参数的值或取值范围】【例2】（2023·江苏苏州·模拟预测）若二次函数y=x2−2x−3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为___________．【答案】4【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线x=1，顶点为(1,−4)，由图象上恰好只有三个点到x轴的距离为m可得m=4．【详解】解：∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=1，顶点为(1,−4)，∴顶点到x轴的距离为4，∵函数图象有三个点到x轴的距离为m，∴m=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意，掌握求二次函数对称轴和顶点坐标的方法是解题的关键．【变式2-1】（2023·江苏南通·统考二模）若抛物线y=−x2+4x−n的顶点在x轴的下方，则实数n的取值范围是______．【答案】n>4【分析】先将抛物线解析式化为顶点式，再利用顶点在x轴下方，即可求出n的范围．【详解】解：y=−x2+4x−n，化为顶点式为：y=−(x−2)2+4−n，∵4−n<0，∴n>4，故答案为：n>4．【点睛】本题考查了抛物线的顶点式解析式，解题关键是理解当顶点纵坐标小于0时，顶点位于x轴下方．【变式2-2】（2023·黑龙江大庆·大庆一中校考模拟预测）二次函数y=kx2−x−4k（k为常数且k≠0）的图象始终经过第二象限内的定点A．设点A的纵坐标为m，若该函数图象与y=m在1<x<3内没有交点，则k 的取值范围是______．【答案】0<k<1或−1<k<0【分析】先计算二次函数过两个定点，确定m=2，根据函数图象与y=m在1<x<3内没有交点，分k>0和k<0两种情况列不等式即可解答．【详解】解：∵y=kx2−x−4k=k(x2−4)−x，∴x2−4=0，∴x=±2，当x=2时，y=−2，当x=−2时，y=2，∴二次函数y=kx2−x−4k（k为常数且k≠0）的图象始终经过定点−2，2，2，−2，∴m=2，∵函数y=kx2−x−4k的图象与y=2在1<x<3内没有交点，∴分两种情况：①当k>0时，x=3时，y<2，即9k−3−4k<2，∴k<1，∴0<k<1，②当k<0时，当x=1时，y<2，即k−1−4k<2，∴k>−1，∴−1<k<0，综上所述，k的取值范围是0<k<1或−1<k<0，故答案为：0<k<1或−1<k<0．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，计算定点A的坐标．【变式2-3】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象过点(−1,0)和(0,−1)，则a+b+c的取值范围是（）A ．−2<a +b +c <0B ．−2<a +b +c <−1C ．−32<a +b +c <0D ．−32<a +b +c <−1【答案】A【分析】由函数图象的开口方向可知a >0，由抛物线与y 轴的交点判断c 的值，当x =1时，二次函数的值小于零，由此可求出a 的取值范围，将a +b +c 用a 表示即可得出答案．【详解】由图象开口向上，可得a >0，∵图象过点(0,−1)，∴c =−1，∵图象过点(−1,0)，∴a−b−1=0，∴b =a−1，∵对称轴在y 轴的右侧，∴当x =1时，y =a +b +c =a +a−1−1=2a−2<0，∴a <1，∴0<a <1，∴−2<2a−2<0，即−2<a +b +c <0，故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，二次函表达式系数符号的确定，熟练掌握知识点是解题的关键．【题型3 根据规定范围内二次函数函数的最值求参数的值】【例3】（2023春·九年级单元测试）二次函数y =ax 2−4x +1有最小值−3，则 a 的值为（ ）A ．1B ．−1C ．±1D ．2【答案】A【分析】把二次函数y =ax 2−4x +1变成顶点式，根据二次函数的图象性质，得出结论．【详解】∵y=ax2−4x+1∴y=ax2−4x+1=ax−−4a+1∵二次函数y=ax2−4x+1有最小值−3,∴a>0−4a+1=−3∴a=1故选：A【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，把二次函数的一般式变成顶点式，求二次函数的最值，熟练掌握二次函数图象的相关性质是解本题的关键．【变式3-1】（2023春·浙江·九年级校联考期中）已知函数y=−x2+bx−3（b为常数）的图象经过点(−6,−3)．当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，则m的值为（）A．−2或−3+B．−2或−4C．−2或D．【答案】C【分析】将点(−6,−3)代入y=−x2+bx−3即可求得b的值，进而求得抛物线的最大值，结合二次函数图象的性质，分类讨论得出m的取值范围即可．【详解】把(−6,−3)代入y=−x2+bx−3，得b=−6，∴y=−x2−6x−3，∵y=−x2−6x−3=−(x+3)2+6∴当x=−3时，y有最大值为6；①当−3<x≤0时，当x=0时，y有最小值为−3，当x=m时，y有最大值为y=−m2−6m−3∵y的最大值与最小值之和为2，∴−m2−6m−3+(−3)=2，∴m=−2或m=−4(舍去)。
初三数学二次函数的图象和性质 知识精讲【同步教育信息】一. 本周教学内容：二次函数的图象和性质二. 重点、难点：重点：二次函数的图象与性质难点：是灵敏应用图象的性质二次函数y=ax 2+bx+c (a )0≠的图象是一条抛物线，它的顶点为〔a b 2-， a b ac 442-〕 图象对称于直线x=ab 2- 1. 其中，对称轴x=ab 2-是平行于或者重合于y 轴的一条直线。
2. 抛物线y=ax 2+bx+c (a )0≠的开口方向与开口大小均由二次项系数a 确定， 当a 大于0时，开口向上，且图象向上无限伸展。
当a 小于0时，开口向下，且图象向下无限伸展。
一般地，当a 越大，那么开口越小，反之开口越大。
3. 抛物线的平移是指：坐标轴不变，图象挪动。
平移可沿着x 轴或者者y 轴进展，一般对于抛物线y=a(x+m)2+k (a )0≠由抛物线y=ax 2平移得到。
① 当m 大于0时，向左平移m 个单位。
当m 小于0时，向右平移m 个单位。
② 当k 大于0时，向上平移k 个单位。
当k 小于0时，向下平移k 个单位。
以上规律可统称为：“左加右减，上加下减。
〞4. 假设抛物线y=ax 2+bx+c (a )0≠与x 轴交于A 〔x 1，0〕，B 〔x 2，0〕，那么AB=21x x - =a ∆可称为抛物线在x 轴上截得的弦长。
【典型例题】例1：抛物线与X 轴交于A(-2,0), B(4,0)且顶点到X 轴的间隔 为3，求它的解析式。
解：设y=a(x+2)(x-4) (a ≠0)又图象对称于直线x=242+- =1 ∴ 顶点为 (1,3) 或者(1,-3)当为(1,3)时, a= -31. ∴y= -31x 2+32x+38 当为(1,-3)时, a=31. ∴y= 31x 2-32x-38例2：将抛物线y=x 2-2x+4向左平移3个单位后，再向下平移4个单位，求平移后抛物线的解析式。
问题：怎么平移抛物线y=2x 2,使它通过点〔1，3〕和〔4，9〕？解：∵y=(x-1)2+3 ，顶点为(1,3)∴(1,3) 左移3u → (-2,3) 下移4u → (-2,-1)∴平移后抛物线为y=(x+2)2-1=x 2+4x+3问题：设平移后 y=2(x+m)2+k∴ 代入点(1,3)和(4,9)∴m=-2,k=1∴ y=2(x-2)2+1∴ 图象是先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到的.例3：二次函数y=-x 2+(k-2)x+3k+3的图象如图〔1〕当k ≠-4时，求证：图象与x 轴必有两个交点〔2〕求k 的取值范围〔3〕在〔2〕的情况下，且OA •OB=6，求点C〔4〕求A.B 两点间的间隔〔5〕求S ∆ABC解：〔1〕∆=(k-2)2+12(k+1)=(k+4)2∵k ≠-4∴∆>0∴图象必与x 轴交于两点〔2〕 由图知，-22--k <0，且3(k+1)>0， ∴-1<k<2〔3〕设x 1,x 2为方程-x 2+(k-2)x+3k+3=0的两根，且.0,021><x x 那么OA=- x 1 , OB= x 2 , 但OA·OB=6∴x 1x 2=-6∴-3(k+1)= -6∴k=1∴y= -x 2-x+6∴点C(0,6)〔4〕∵AB=a ∆=4+k , 又由〔3〕知 k=1 , ∴AB=5〔5〕 S ∆ABC=21AB ·OC=15 【模拟试题】〔答题时间是：20分钟〕1.抛物线y=x 2+(5-m)x-5m 与x 轴相交的一个点是A(8,0)，那么它的顶点坐标是 ？2.把一条抛物线向右平移2个单位，再加上平移3个单位后得到的抛物线的解析式为y=32X 2，那么原抛物线的解析式是 ？ 3.二次函数Y=AX 2+Bx+C 的图象如图，那么它的解析式为 ， ABC 的周长为 ，四边形APCB 的面积等于 。
2021中考数学 三轮专题突破：二次函数的图象及其性质一、选择题1. 已知二次函数y ＝x 2－x ＋14m －1的图象与x 轴有交点，则m 的取值范围是( )A ．m ≤5B ．m ≥2C ．m ＜5D ．m ＞22. 如图，抛物线的函数解析式是()A ．y ＝x 2－x ＋2B ．y ＝x 2＋x ＋2C ．y ＝－x 2－x ＋2D ．y ＝－x 2＋x ＋23. 在平面直角坐标系中，抛物线y ＝(x ＋5)(x －3)经过变换后得到抛物线y ＝(x ＋3)(x －5)，则这个变换可以是( ) A ．向左平移2个单位长度 B ．向右平移2个单位长度 C ．向左平移8个单位长度D ．向右平移8个单位长度4. (2019•成都)如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点1,0A ，()5,0B ，下列说法正确的是A ．0c <B ．240b ac -<C ．0a b c -+<D ．图象的对称轴是直线3x =5. 若二次函数y ＝x 2＋mx 的对称轴是x ＝3，则关于x 的方程x 2＋mx ＝7的解为( )A. x 1＝0，x 2＝6B. x 1＝1，x 2＝7C. x 1＝1，x 2＝－7D. x 1＝－1，x 2＝76. (2019•咸宁)已知点()()()()1,,1,,2,0A m B m C m n n -->在同一个函数的图象上，这个函数可能是 A ．y x ＝ B ．2y x=-C ．2y x ＝D ．2y x ＝﹣7. (2019•嘉兴)小飞研究二次函数y=–(x –m)2–m+1(m 为常数)性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y=–x+1上；②存在一个m 的值，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A(x1，y1)与点B(x2，y2)在函数图象上，若x1<x2，x1+x2>2m ，则y1<y2；④当–1<x<2时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围为m≥2其中错误结论的序号是 A ．① B ．② C ．③ D ．④8.关于二次函数)0(542≠--=a ax ax y 的三个结论：①对任意实数m ，都有m x +=21与m x -=22对应的函数值相等；②若3≤x ≤4，对应的y 的整数值有4个，则134-≤<-a 或341<≤a ；③若抛物线与x 轴交于不同两点A,B ，且AB≤6，则45-<a 或1≥a .其中正确的结论是（ ）A.①②B.①③C.②③D.①②③二、填空题9. 如图，抛物线y=ax 2与直线y=bx+c 的两个交点坐标分别为A (-2，4)，B (1，1)，则方程ax 2=bx+c 的解是 .10. 某抛物线的形状、开口方向与抛物线y＝12x2－4x＋3相同，顶点坐标为(－2，1)，则该抛物线的函数解析式为________________．11. 已知二次函数的图象经过原点及点(－12，－14)，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为________________．12. 已知二次函数y＝x2＋bx＋c中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：x …－1 0 1 2 3 4 …y …10 5 2 1 2 5 …则该二次函数的解析式为____________________．13. 如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，则不等式ax2－mx＋c＞n的解集是________．14. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中的x和y满足下表:x…-1 0 1 2 3 …y… 3 0 -1 0 m…(1)观察上表可求得m的值为;(2)这个二次函数的解析式为;(3)若点A(n+2，y1)，B(n，y2)在该抛物线上，且y1>y2，则n的取值范围为.15. 已知函数y ＝⎩⎨⎧－x 2＋2x （x >0），－x （x ≤0）的图象如图所示，若直线y ＝x ＋m 与该图象恰有三个不同的交点，则m 的取值范围为________．16. 已知实数x ，y 满足x2＋3x ＋y －3＝0，则x ＋y 的最大值为________．三、解答题17. 若关于x 的函数y ＝(m 2－1)x 2－(2m ＋2)x ＋2的图象与x 轴只有一个公共点，求m 的值．18. 如图，足球场上守门员徐杨在O 处抛出一高球，球从离地面1 m 处的点A 飞出，其飞行的最大高度是4 m ，最高处距离飞出点的水平距离是6 m ，且飞行的路线是抛物线的一部分．以点O 为坐标原点，竖直向上的方向为y 轴的正方向，球飞行的水平方向为x 轴的正方向建立坐标系，并把球看成一个点．(参考数据：4 3≈7)(1)求足球的飞行高度y (m)与飞行的水平距离x (m)之间的函数关系式；(不必写出自变量的取值范围)(2)在没有队员干扰的情况下，球飞行的最远水平距离是多少？(精确到1 m) (3)若对方一名1.7 m 的队员在距落地点C 3 m 的点H 处跃起0.3 m 进行拦截，则这名队员能拦到球吗？19. 如图①，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A(0，3)，B(3，0)，C(4，3)．(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴；(3)把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S(图②中阴影部分)．20. 如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．(1)求a，b的值；(2)点C是该二次函数图象上A、B两点之间的一动点，横坐标为x(2<x<6)．写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．21. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝34x＋m与x轴、y轴分别交于点A、点B(0，－1)，抛物线y＝12x2＋bx＋c经过点B，交直线AB于点C(4，n)．(1)分别求m、n的值；(2)求抛物线的解析式；(3)点D在抛物线上，且点D的横坐标为t(0＜t＜4)，DE∥y轴交直线AB于点E，点F在直线AB上，且四边形DFEG为矩形(如图)，若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式和p的最大值．22. (2019·四川资阳)如图，抛物线212y x bx c =-++过点(3,2)A ，且与直线72y x =-+交于B 、C 两点，点B 的坐标为(4,)m ．(1)求抛物线的解析式；(2)点D 为抛物线上位于直线BC 上方的一点，过点D 作DE x ⊥轴交直线BC 于点E ，点P 为对称轴上一动点，当线段DE 的长度最大时，求PD PA +的最小值； (3)设点M 为抛物线的顶点，在y 轴上是否存在点Q ，使45AQM ︒∠=？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．2021中考数学 三轮专题突破：二次函数的图象及其性质-答案一、选择题1. 【答案】A[解析] ∵抛物线y ＝x 2－x ＋14m －1与x 轴有交点，∴b 2－4ac≥0，即(－1)2－4×1×(14m －1)≥0，解得m≤5.2. 【答案】D[解析] 先设出函数解析式，然后把(0，2)，(－1，0)，(2，0)分别代入函数解析式，列出方程组，求出各系数即可．3. 【答案】B [解析] y ＝(x ＋5)(x －3)＝(x ＋1)2－16，顶点坐标是(－1，－16)．y ＝(x ＋3)(x －5)＝(x －1)2－16，顶点坐标是(1，－16)．所以将抛物线y ＝(x ＋5)(x －3)向右平移2个单位长度得到抛物线y ＝(x ＋3)(x －5)，故选B.4. 【答案】D【解析】由图象可知图象与y 轴交点位于y 轴正半轴，故c>0，A 选项错误； 函数图象与x 轴有两个交点，所以24b ac ->0，B 选项错误； 观察图象可知x=-1时y=a-b+c>0，所以a-b+c>0，C 选项错误； 根据图象与x 轴交点可知，对称轴是(1，0)，(5，0)两点的中垂线，1532x +==， 即x=3为函数对称轴，D 选项正确， 故选D ．5. 【答案】D【解析】∵二次函数y ＝x 2＋mx 的对称轴为x ＝－m2＝3，解得m ＝－6，则关于x 的方程为x 2－6x ＝7，解得，x 1＝－1，x 2＝7.6. 【答案】D【解析】()()1,,1,A m B m -， ∴点A 与点B 关于y 轴对称；由于2y x y x==-，的图象关于原点对称，因此选项A ，B 错误；∵0n >，∴m n m -<，由()()1,,2,B m C m n -可知，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小， 对于二次函数只有0a <时，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小， ∴D 选项正确，故选D ．7. 【答案】C【解析】把(m ，–m+1)代入y=–x+1，–m+1=–m+1，左=右，故①正确；当–(x –m)2–m+1=0时，x1=m x2=m 若顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形， 则1–m+(1–m)2+1–m+(1–m)2=4(1–m)，即m2–m=0，∴m=0或1时，∴存在一个m 的值，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形；故②正确； 当x1<x2，且x1、x2在对称轴右侧时，∵–1<0，∴在对称轴右侧y 随x 的增大而减小，即y1>y2，故③错误； ∵–1<0，∴在对称轴左侧y 随x 的增大而增大， ∴m≥2，故④正确， 故选C ．8. 【答案】D【解析】∵二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣5的对称轴为直线x ＝422aa-=，∴x 1＝2+m 与x 2＝2﹣m 关于直线x ＝2对称，∴对任意实数m ，都有x 1＝2+m 与x 2＝2﹣m 对应的函数值相等，所以①正确；因为二次函数在3≤x ≤4上y 随x 的增大而增大，或增大而减小，而且x =3时y =-3a -5，x =4时y =-5,所以y 要有4个整式值，则-9＜-3a -5≤-8,或-2≤-3a -5＜-1，所以134-≤<-a 或341<≤a ，故②正确；因为A B≤6，则21212212124)()x -(x |x -x |x x x x -+===2(5)2044166aa--⨯=+≤，则45-<a 或1≥a .所以③正确.故选D.二、填空题9. 【答案】x 1=-2，x 2=1 [解析]∵抛物线y=ax 2与直线y=bx +c 的两个交点坐标分别为A (-2，4)，B (1，1)，∴的解为即方程ax 2=bx +c的解是x 1=-2，x 2=1.10. 【答案】y ＝12(x ＋2)2＋1 [解析] 已知抛物线的顶点坐标，可以设顶点式y ＝a(x －h)2＋k.又因为该抛物线的形状、开口方向与抛物线y ＝12x 2－4x ＋3相同，所以a ＝12，所以该抛物线的函数解析式是y ＝12(x ＋2)2＋1.11. 【答案】y ＝x 2＋x 或y ＝－13x 2＋13x 【解析】依题意，所求函数有可能经过(－1，0)，(－12，－14) 或(1，0)，(－12，－14) .设所求函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，图象经过原点，则c ＝0，当图象经过(－1，0)，(－12，－14)时，代入可求得a ＝b＝1，即所求解析式为y ＝x 2＋x ; 当图象经过(1，0)，(－12，－14)时，代入可求得a ＝－13，b ＝13，即所求解析式为y ＝－13x 2＋13x .综上所述，所求函数的解析式为y＝x 2＋x 或y ＝－13x 2＋13x .12. 【答案】y ＝x2－4x ＋5 [解析] 从表格中的数据可以看出，当x ＝1和x ＝3时，函数值y ＝2，可见，抛物线的顶点坐标为(2，1)，故可设二次函数的解析式为y ＝a(x －2)2＋1，再由二次函数图象过点(1，2)，得2＝a(1－2)2＋1，解得a ＝1，故二次函数的解析式为y ＝(x －2)2＋1，即y ＝x2－4x ＋5.13. 【答案】．x ＜－1或x ＞314. 【答案】解:(1)3[解析]观察表格，根据抛物线的对称性可得x=3和x=-1时的函数值相等，∴m 的值为3，故答案为:3.(2)y=(x -1)2-1 [解析]由表格可得，二次函数y=ax 2+bx +c 图象的顶点坐标是(1，-1)，∴y=a (x -1)2-1.又当x=0时，y=0，∴a=1，∴这个二次函数的解析式为y=(x -1)2-1.(3)n>0 [解析]∵点A (n +2，y 1)，B (n ，y 2)在该抛物线上，且y 1>y 2，∴结合二次函数的图象和性质可知n>0.15. 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫23，00<m<14 [解析] 联立y ＝x ＋m 与y ＝－x 2＋2x ，得x ＋m ＝－x2＋2x ，整理得x 2－x ＋m ＝0，当有两个交点时，b 2－4ac ＝(－1)2－4m>0，解得m<14.当直线y ＝x ＋m 经过原点时，与函数y ＝⎩⎨⎧－x 2＋2x （x>0）x （x≤0）的图象有两个不同的交点，再向上平移，有三个交点，∴m>0， ∴m 的取值范围为0<m<14.故答案为0<m<14.16. 【答案】4 [解析] x ＋y ＝－x2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，∴当x ＝－1时，x ＋y 有最大值，最大值是4.三、解答题17. 【答案】解：①当m 2－1＝0且2m ＋2≠0，即m ＝1时，该函数是一次函数，其图象与x 轴只有一个公共点；②当m 2－1≠0，即m ≠±1时，该函数是二次函数，则 Δ＝[－(2m ＋2)]2－8(m 2－1)＝0， 解得m 1＝3，m 2＝－1(舍去)． 综上所述，m 的值是1或3.18. 【答案】解：(1)由题意，设y ＝a(x －6)2＋4. ∵A(0，1)在抛物线上， ∴1＝a(0－6)2＋4， 解得a ＝－112， ∴y ＝－112(x －6)2＋4.(2)令y ＝0，则0＝－112(x －6)2＋4，解得x 1＝4 3＋6≈13，x 2＝－4 3＋6＜0(舍去)，∴在没有队员干扰的情况下，球飞行的最远水平距离约是13 m. (3)当x ＝13－3＝10时，y ＝83＞1.7＋0.3＝2， ∴这名队员不能拦到球．19. 【答案】解：(1)把(0，3)，(3，0)，(4，3)代入y ＝ax2＋bx ＋c ，得 ⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，9a ＋3b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝3. 所以抛物线的解析式为y ＝x2－4x ＋3.(2)因为y ＝x2－4x ＋3＝(x －2)2－1，所以抛物线的顶点坐标为(2，－1)，对称轴是直线x ＝2.(3)阴影部分的面积为2.20. 【答案】解：(1)∵二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．∴⎩⎨⎧4a ＋2b ＝436a ＋6b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝3.(4分) (2)如解图①，过点A 作x 轴的垂线，垂足为点D(2，0)，连接CD ，过点C 作CE ⊥AD ，CF ⊥x 轴，垂足分别为点E ，点F ，则S △OAD ＝12OD·AD ＝12×2×4＝4，S △ACD ＝12AD·CE ＝12×4×(x －2)＝2x －4，S △BCD ＝12BD·CF ＝12×4×(－12x 2＋3x)＝－x 2＋6x ，则S ＝S △OAD ＋S △ACD ＋S △BCD ＝4＋(2x －4)＋(－x 2＋6x)＝－x 2＋8x.∴S 关于x 的函数表达式为S ＝－x 2＋8x(2<x<6)．(10分)∵S ＝－(x －4)2＋16，∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 取最大值，最大值为16.(12分)解图①【一题多解】解法一：由(1)知y ＝－12x 2＋3x ，如解图②，连接AB ，则S ＝S △AOB ＋S △ABC ，其中S △AOB ＝12×6×4＝12，设直线AB 解析式为y 1＝k 1x ＋b 1，将点A(2，4)，B(6，0)代入，易得，y 1＝－x ＋6，过C 作直线l ⊥x 轴交AB 于点D ，∴C(x ，－12x 2＋3x)，D(x ，－x ＋6)，∴S △ABC ＝S △ADC ＋S △BDC ＝12·CD·(x －2)＋12·CD·(6－x)＝12·CD·4＝2CD ，其中CD ＝－12x 2＋3x －(－x ＋6)＝－12x 2＋4x －6，∴S △ABC ＝2CD ＝－x 2＋8x －12，∴S ＝S △ABC ＋S △AOB ＝－x 2＋8x －12＋12＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16(2<x<6)， 即S 关于x 的函数表达式为S ＝－x 2＋8x(2<x<6)，∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 取最大值，最大值为16.解图②解法二：∵点C 在抛物线y ＝－12x 2＋3x 上，∴点C(x ，－12x 2＋3x)，如解图③，过点A 作AD ⊥x 轴，垂足为点D ，过点C 作CE ⊥x 轴，垂足为点E ，则点D 的坐标为(2，0)，点E 的坐标为(x ，0)，∴S ＝S △OAD ＋S 梯形ADEC ＋S △CEB ＝12×2×4＋12(4－12x 2＋3x)(x －2)＋12(6－x)(－12x 2＋3x)＝－x 2＋8x ，∵S ＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16(2<x<6)，∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 取最大值，最大值为16.解图③21. 【答案】(1)∵直线y ＝34x ＋m 与y 轴交于点B (0，－1)，∴m ＝－1，∴直线解析式为y ＝34x －1，∵直线经过点C (4，n )，∴n ＝34×4－1＝2；(2)∵抛物线经过点C 和点B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧12×42＋4b ＋c ＝2c ＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－54c ＝－1， ∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－54x －1；(3)∵点D 的横坐标为t (0＜t ＜4)，DE ∥y 轴交直线AB 于点E ，∴D (t ，12t 2－54t －1)，E (t ，34t －1)， ∴DE ＝34t －1－(12t 2－54t －1)＝－12t 2＋2t ，∵DE ∥y 轴，∴∠DEF ＝∠ABO ，且∠EFD ＝∠AOB ＝90°，∴△DFE ∽△AOB ，∴DF OA ＝EF OB ＝DE AB ，在y ＝34x －1中，令y ＝0可得x ＝43，∴A (43，0)，∴OA ＝43，在Rt △AOB 中，OB ＝1，∴AB ＝53，∴DF 43＝EF 1＝DE 53，∴DF ＝45DE ，EF ＝35DE ，∴p ＝2(DF ＋EF )＝2×(45＋35)DE ＝145DE ＝145(－12t 2＋2t )＝－75t 2＋285t ＝－75(t －2)2＋285(0＜t ＜4)， ∵－75＜0，∴当t ＝2时，p 有最大值285.22. 【答案】(1)将点B 的坐标为(4,)m 代入72y x =-+，71422m =-+=-， ∴B 的坐标为1(4,)2-，将(3,2)A ，1(4,)2B -代入212y x bx c =-++， 2213322114422b c b c ⎧-⨯++=⎪⎪⎨⎪-⨯++=-⎪⎩，解得1b =，72c =， ∴抛物线的解析式21722y x x =-++； (2)设217(,)22D m m m ++，则7(,)2E m m -+， 22217711()()2(2)222222DE m m m m m π=-++--+=-+=--+， ∴当2m =时，DE 有最大值为2，此时7(2,)2D ， 作点A 关于对称轴的对称点A '，连接A D '，与对称轴交于点P ．PD PA PD PA A D ''+=+=，此时PD PA +最小，∵(3,2)A ，∴(1,2)A '-，2273(12)(2)522A D '=--+-= 即PD PA +352(3)作AH y ⊥轴于点H ，连接AM 、AQ 、MQ 、HA 、HQ ，∵抛物线的解析式21722y x x =-++，∴(1,4)M ， ∵(3,2)A ，∴2AH MH ==，(1,2)H∵45AQM ︒∠=，90AHM ︒∠=，∴12AQM AHM ∠=∠， 可知AQM ∆外接圆的圆心为H ，∴2QH HA HM ===，设(0,)Q t ，则22(01)(2)2t -+-=，23t =23∴符合题意的点Q 的坐标：1(0,23)Q 、2(0,23)Q ．【名师点睛】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的图象的性质与一次函数的性质以及圆周角定理是解题的关键．。
