2.1.1 等式的性质与方程的解集 学案(教师版) Word版2020年新人教B版高中数学必修第一册

《2.1.1 等式的性质与方程的解集》作业设计方案（第一课时）一、作业目标：1. 理解等式的性质，能够根据等式性质进行等式变形；2. 掌握方程的解集概念，能够判断方程的解；3. 培养观察、分析和解决问题的能力。

二、作业内容：1. 基础练习：(1)请用等式性质说明如何变形等式；(2)求解下列方程的解集：x^2 + 2 = 5x, x^2 - 3x + 2 = 0。

2. 综合练习：(1)设计一个简单的数学模型，应用等式的性质和方程的解集来解决实际问题；(2)观察下列等式，找出规律：x^2 - 3x + 2 = 0, (x - 1)(x - 2) = 0, (x - 2)(x + 3) = 0, ...。

根据这个规律，请你写出一个方程，并判断其解集。

三、作业要求：1. 请同学们独立完成作业，遇到问题可以与同学讨论或请教老师；2. 请同学们认真观察等式的变形过程，确保理解等式的性质；3. 作业完成后，请同学们将答案和解题过程写在作业纸上，上交时一并上交。

四、作业评价：1. 根据同学们的作业情况，我们将给予相应的评价和反馈；2. 对于普遍存在的问题，我们将进行集中讲解和指导；3. 对于优秀的作业，我们将给予表扬和鼓励，激励同学们不断进步。

五、作业反馈：1. 请同学们在完成作业后，认真反思自己的学习情况，总结经验教训；2. 请同学们积极提出自己的问题和建议，帮助我们改进教学工作；3. 希望同学们在今后的学习中，能够更加积极主动地参与课堂活动，不断提高自己的数学水平。

总之，通过本次作业，同学们不仅能够加深对等式的性质和方程的解集的理解，还能够锻炼自己的观察、分析和解决问题的能力。

希望大家能够认真对待本次作业，争取取得更好的成绩。

作业设计方案（第二课时）一、作业目标：1. 进一步理解和掌握等式的性质；2. 能够运用等式的性质解简单的一元一次方程；3. 通过对作业问题的解决，提高学生解决数学问题的能力。

二、作业内容：1. 判断题：（1）如果等式两边同时乘或除以一个不为零的数，等式仍然成立。

《2.1.1 等式的性质与方程的解集》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本次作业旨在让学生：1. 熟练掌握等式的性质；2. 理解方程的解集概念；3. 能够应用所学知识解决实际问题。

二、作业内容1. 基础练习（1）判断下列等式是否成立：a. x=2是一元一次方程ax=b的解，则a和b应满足什么条件？b. 方程x^2+2=0的解集是什么？c. 已知等式两边同时除以一个不为零的数，等式是否成立？（2）请举例说明等式的性质2。

（3）方程x^2+2=0的解集中，元素个数为几个？这个元素有哪些可能的取值？2. 提升练习（1）根据等式的性质，解决以下问题：对于任意实数x，是否存在一次函数y=kx+b使得等式x+1=3k-b成立？如果存在，求出这个一次函数的表达式；如果不存在，请说明理由。

（2）在某个问题中，我们需要解方程$x^{2} - 6x + 9 = 0$。

试说明这个方程有几个解，并画出对应的图形。

3. 探究活动（1）收集一些方程的解集，并尝试总结解集的一般规律。

例如：方程$x^{2} + 4 = 0$的解集是$\{ - \sqrt{- 4}, \sqrt{- 4}\}$。

请尝试解释这个规律，并写出其他类似的问题。

（2）结合生活实际，提出一个实际问题，并尝试用等式及其性质解决该问题。

例如：一辆汽车以$50km/h$的速度行驶了$3h$，求该汽车行驶的路程。

这个问题可以用等式$x = v \times t$解决，其中$x$表示路程，$v$表示速度，$t$表示时间。

请尝试解决这个问题，并解释所使用的方法。

三、作业要求1. 学生需独立完成作业，认真思考并寻求答案；2. 学生需按照题目要求回答问题，避免出现主观臆断；3. 学生需注意解题过程的规范性和准确性。

四、作业评价本次作业的评价标准包括：解题过程的规范性、答案的正确性以及问题的理解程度。

评价方式可由学生自评、小组互评和教师评价相结合。

评价结果将作为下次课程教学内容安排的重要依据。

《2.1.1 等式的性质与方程的解集》教学设计方案（第一课时）一、教学目标：1. 理解等式的性质，能够运用等式性质进行等式变形。

2. 掌握一元一次方程的解法，能够求出一元一次方程的解。

3. 了解方程的解集的含义，能够正确求出方程的解集。

二、教学重难点：1. 教学重点：理解等式的性质，掌握一元一次方程的解法。

2. 教学难点：正确求出方程的解集。

三、教学准备：1. 准备教学用具：黑板、白板、笔、几何图形等。

2. 制作PPT，包含例题和相关练习。

3. 复习相关概念，如方程、解集等。

4. 布置预习内容，让学生自行阅读教材，了解基础知识。

四、教学过程：1. 引入教师展示一些等式，让学生观察这些等式的特点，并引导学生总结等式的性质。

通过讨论和思考，学生将了解到等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数或式，等式仍然成立。

2. 探究教师给出一些方程，让学生尝试解这些方程。

在解方程的过程中，学生将遇到各种情况，如无解、有无数个解、只有一个解等。

教师引导学生理解这些情况背后的原因，并让学生了解方程的解集的概念。

3. 探究实践教师为学生提供一些实际问题，让学生应用等式的性质和方程的解集的知识来解决这些问题。

这些问题将涵盖各个方面，如代数、几何、经济等。

学生将通过实践，加深对等式性质和方程解集的理解。

4. 案例分析教师选取一些典型的案例，详细分析等式的性质和方程的解集在实际中的应用。

通过案例分析，学生将了解到数学在现实生活中的应用价值，并增强学习的兴趣和动力。

5. 课堂小结在课堂结束前，教师引导学生回顾本节课的主要内容，帮助学生梳理知识，加深印象。

教师还可以让学生分享自己的收获和感受，增强学生的学习积极性和参与度。

6. 作业布置教师为学生布置一些与本节课内容相关的作业，包括基础练习题和思考题，以巩固学生对知识的掌握和应用。

7. 拓展阅读教师推荐一些与本节课内容相关的阅读材料，鼓励学生通过阅读进一步拓展知识面，增强对数学的理解和应用能力。

第二章 等式与不等式2．1 等式2.1.1 等式的性质与方程的解集素养目标·定方向课程标准 学法解读掌握等式的性质及常用的恒等式，会用因式分解法解一元二次方程.1．从具体实例中探索等式的性质，培养逻辑推理素养．2．理解恒等式的应用，熟练掌握用“十字相乘法”分解因式．3．会求方程的解集.必备知识·探新知基础知识1．等式的性质文字语言符号语言性质1等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立. 如果a ＝b ，则对任意c ，都有__a ＋c ＝b ＋c __.性质2等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立.如果a ＝b ，则对任意不为零的c ，都有__ac ＝bc __.①若x a ＝y a，则x ＝y ； ②若x ＝y ，则x a ＝y b； ③若x ＋a ＝y －a ，则x ＝y ； ④若x ＝y ，则ax ＝by . 提示：①正确，②③④错误． 2．方程的解集(1)方程的解(根)：能使方程左右两边相等的未知数的值． (2)方程的解集：一个方程所有的解组成的集合．思考2：把方程通过适当变换后，求出的未知数的值都是这个方程的解(根)吗？ 提示：把方程通过变换，求出的未知数的值不一定是这个方程的根，也可能是这个方程的增根．基础自测1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”) (1)计算(2a ＋5)(2a －5)＝2a 2－25( × )(2)因式分解过程为：x 2－3xy －4y 2＝(x ＋y )(x －4)．( × ) (3)用因式分解法解方程时部分过程为：(x ＋2)(x －3)＝6，所以x ＋2＝3或x －3＝2( × ) 解析：(1)(2a ＋5)(2a －5)＝(2a )2－25＝4a 2－25. (2)x 2－3xy －4y 2＝(x ＋y )(x －4y )．(3)若(x ＋2)(x －3)＝0，可化为x ＋2＝0或x －3＝0. 2．方程2(x －2)＋x 2＝(x ＋1)(x －1)＋3x 的解集为__{－3}__. 3．若m (3x －y 2)＝9x 2－y 4，则m ＝__3x ＋y 2__. 4．若4x 2－3(a －2)x ＋25是完全平方式，则a ＝__－143__或__263__. 解析：因为4x 2－3(a －2)x ＋25＝(2x )2－3(a －2)x ＋(±5)2＝(2x ±5)2， 即4x 2－3(a －2)x ＋25＝(2x ＋5)2或4x 2－3(a －2)x ＋25＝(2x －5)2. 所以－3(a －2)＝20或－3(a －2)＝－20. 解得a ＝－143或263.5．方程x 2＋2x －15＝0的解集为__{3，－5}__. 解析：x 2＋2x －15＝0，即(x －3)(x ＋5)＝0， 所以x ＝3或x ＝－5. 所以方程的解集为{3，－5}．关键能力·攻重难类型 常用乘法公式的应用 ┃┃典例剖析__■典例1 (1)化简(m 2＋1)(m ＋1)(m －1)－(m 4＋1)的值是( C )A．－2m2B．0C．－2 D．－1(2)计算(x＋3y)2－(3x＋y)2的结果是( B )A．8x2－8y2B．8y2－8x2C．8(x＋y)2D．8(x－y)2思路探究：掌握常用公式是解题的关键．解析：(1)(m2＋1)(m＋1)(m－1)－(m4＋1)＝(m2＋1)(m2－1)－(m4＋1)＝(m4－1)－(m4＋1)＝m4－1－m4－1＝－2.(2)方法一：(x＋3y)2－(3x＋y)2＝x2＋6xy＋9y2－(9x2＋6xy＋y2)＝x2＋6xy＋9y2－9x2－6xy－y2＝8y2－8x2.方法二：(x＋3y)2－(3x＋y)2＝[(x＋3y)＋(3x＋y)][(x＋3y)－(3x＋y)]＝(x＋3y＋3x＋y)(x＋3y－3x－y)＝(4x＋4y)(－2x＋2y)＝4(x＋y)×2(－x＋y)＝8y2－8x2.归纳提升：(1)使用公式化简时，一定要分清公式中的a，b分别对应题目中的哪个数或哪个整式．(2)利用公式化简时，要注意选择公式，公式选择恰当，可以有效地简化运算．┃┃对点训练__■1．(1)如果(a－b－3)(a－b＋3)＝40，那么a－b的值为( D )A．49 B．7C．－7 D．7或－7(2)已知a2＋b2＋2a－4b＋5＝0，则2a2＋4b－3的值为__7__.解析：(1)(a－b－3)(a－b＋3)＝(a－b)2－9＝40，即(a－b)2＝49，则a－b＝±7.(2)a2＋b2＋2a－4b＋5＝(a2＋2a＋1)＋(b2－4b＋4)＝(a＋1)2＋(b－2)2＝0，所以a＝－1，b＝2，所以2a2＋4b－3＝2×(－1)2＋4×2－3＝7.类型十字相乘法分解因式典例2 分解因式：(1)x 2＋x －2；(2)x 2－52x ＋1；(3)2x 2＋11x ＋12；(4)5x 2－7x －6.思路探究：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项．分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．归纳提升：十字相乘法因式分解的形式尝试把某些二次三项式如ax 2＋bx ＋c 分解因式，先把a 分解成a ＝a 1a 2，把c 分解成c ＝c 1c 2，并且排列如下：这里按斜线交叉相乘的积的和就是a 1c 2＋a 2c 1，如果它正好等于二次三项式ax 2＋bx ＋c 中一次项的系数b ，那么ax 2＋bx ＋c 就可以分解成(a 1x ＋c 1)(a 2x ＋c 2)，其中a 1，c 1是上图中上面一行的两个数，a 2，c 2是下面一行的两个数．┃┃对点训练__■ 2．分解因式： (1)x 2＋x －6； (2)6x 2－x －1.解析：(1)x 2＋x －6＝(x －2)(x ＋3)． (2)6x 2－x －1＝(2x －1)(3x ＋1)． 类型 方程的解集典例3 求下列方程的解集：(1)2x ＋13－5x －16＝1；(2)x 0.7－0.17－0.2x 0.03＝1.思路探究：解析：(1)去分母，得2(2x ＋1)－(5x －1)＝6. 去括号，得4x ＋2－5x ＋1＝6. 移项，得4x －5x ＝6－2－1. 合并同类项，得－x ＝3. 系数化为1，得x ＝－3. 所以方程的解集为{－3}． (2)原方程可化为10x 7－17－20x 3＝1.去分母，得30x －7(17－20x )＝21. 去括号，得30x －119＋140x ＝21. 移项、合并同类项，得170x ＝140. 系数化为1，得x ＝1417.所以方程的解集为{1417}．归纳提升：解含有分数系数的一元一次方程时应注意以下三点：(1)分母含有小数的应先化小数分母为整数分母，再去分母；(2)分子如果是一个多项式，去掉分母后，要添上括号；(3)去分母时，方程两边所有的项都乘以各分母的最小公倍数．┃┃对点训练__■ 3．如果方程x －43－8＝－x ＋22的解集与方程4x －(3a ＋1)＝6x ＋2a －1的解集相同，求式子a －1a的值．解析：解方程x －43－8＝－x ＋22，去分母，得2(x －4)－48＝－3(x ＋2)，去括号，得2x －8－48＝－3x －6， 移项、合并同类项，得5x ＝50. 系数化为1，得x ＝10.把x ＝10代入方程4x －(3a ＋1)＝6x ＋2a －1， 得4×10－(3a ＋1)＝6×10＋2a －1，解得a ＝－4. 当a ＝－4时，a －1a ＝－4－1－4＝－154.易混易错警示 忽略系数为零 ┃┃典例剖析__■典例4 求关于x 的方程(a ＋3)x ＝b －1的解集．错因探究：未知数的系数含有字母，a ＋3与0的关系不确定，因此应对a 进行讨论，切勿直接利用等式的性质得出x ＝b －1a ＋3. 解析：当a ＝－3，b ＝1时，由(a ＋3)x ＝b －1得0·x ＝0，此时解集为R ； 当a ＝－3，b ≠1时，由(a ＋3)x ＝b －1得0·x ＝b －1， 此时解集为∅；当a ≠－3时，由(a ＋3)x ＝b －1， 得x ＝b －1a ＋3，此时解集为{b －1a ＋3}． 综上，当a ＝－3，b ＝1时，方程的解集为R ； 当a ＝－3，b ≠1时，方程的解集为∅； 当a ≠－3时，方程的解集为{b －1a ＋3}． 误区警示：在解方程时，若未知数的系数含有字母，则利用等式的性质2进行变形时，必须考虑未知数的系数是否等于0.学科核心素养 恒等式的定义及其证明 ┃┃典例剖析__■恒等式的定义：一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．(1)恒等变形：把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称为代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等．(2)恒等式的证明方法：证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简捷．一般可以把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明．典例5 求证：a 2－bc a ＋b a ＋c ＋b 2－ca b ＋c b ＋a ＝ab －c 2c ＋a c ＋b.思路探究：用作差法证明左－右＝0.解析：a 2－bc a ＋b a ＋c ＝a 2＋ac －ac －bca ＋b a ＋c＝a a ＋c －c a ＋b a ＋b a ＋c ＝a a ＋b －ca ＋c，∴b 2－ca b ＋c b ＋a ＝b b ＋c －a b ＋a ，c 2－ab c ＋a c ＋b ＝c c ＋a －bb ＋c.∴左－右＝a 2－bc a ＋b a ＋c ＋b 2－ca b ＋a b ＋a ＋c 2－ab c ＋a c ＋b＝aa ＋b －ca ＋c ＋bb ＋c －ab ＋a ＋cc ＋a －bb ＋c＝0.故原式恒成立．课堂检测·固双基1．下列由等式的性质进行的变形，错误的是( D ) A ．如果a ＝3，那么1a ＝13B ．如果a ＝3，那么a 2＝9 C ．如果a ＝3，那么a 2＝3a D ．如果a 2＝3a ，那么a ＝3解析：如果a ＝3，那么1a ＝13，正确，故选项A 不符合题意；如果a ＝3，那么a 2＝9，正确，故选项B 不符合题意；如果a ＝3，那么a 2＝3a ，正确，故选项C 不符合题意；如果a ＝0时，两边都除以a ，无意义，故选项D 符合题意．故选D ．2．下列分解因式正确的是( C ) A ．x 2＋y 2＝(x ＋y )(x －y )B ．m 2－2m ＋1＝(m ＋1)2C ．(a ＋4)(a －4)＝a 2－16 D ．x 3－x ＝x (x 2－1)解析：A ．原式不能分解，错误；B ．原式＝(m －1)2，错误；C ．原式＝a 2－16，正确；D ．原式＝x (x 2－1)＝x (x ＋1)(x －1)，错误．故选C ．3．若方程(x －2)(3x ＋1)＝0，则3x ＋1的值为__7或0__. 解析：由方程(x －2)(3x ＋1)＝0，可得x －2＝0或3x ＋1＝0，解得x 1＝2，x 2＝－13，当x ＝2时，3x ＋1＝3×2＋1＝7； 当x ＝－13时，3x ＋1＝3×(－13)＋1＝0.4．不论x 取何值等式2ax ＋b ＝4x －3恒成立，则a ＋b ＝__－1__. 解析：∵不论x 取何值等式2ax ＋b ＝4x －3恒成立， ∴x ＝0时，b ＝－3，x ＝1时，a ＝2，即a ＝2，b ＝－3， ∴a ＋b ＝2＋(－3)＝－1. 5．因式分解：(1)x 2＋3xy ＋2y 2＋2x ＋4y . (2)4xy ＋1－4x 2－y 2.解析：(1)x 2＋3xy ＋2y 2＋2x ＋4y ＝(x ＋2y )(x ＋y )＋2(x ＋2y ) ＝(x ＋2y )(x ＋y ＋2)． (2)4xy ＋1－4x 2－y 2＝1－(4x 2－4xy ＋y 2) ＝1－(2x －y )2＝(1＋2x －y )(1－2x ＋y )．。

《2.1.1 等式的性质与方程的解集》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过实际操练和巩固练习，加深学生对等式性质和方程解集的理解。

学生需掌握等式的基本性质，能够识别并应用不同形式的等式；理解方程的解集概念，并能根据给定条件判断解集的范围。

二、作业内容1. 基础练习：- 练习等式的基本性质，如等式的加法、减法、乘法、除法性质。

- 识别并应用等式中的恒等式、比例关系等。

2. 方程解集探索：- 分析一元一次方程的解集，通过实际操作，了解方程的解与解集的关系。

- 针对不同类型的方程（如线性方程、二次方程等），理解其解集的确定方法。

3. 实际问题应用：- 结合实际生活问题，建立等式和方程模型，并求解。

- 让学生体验数学在现实生活中的应用，如物理问题中的等式关系、经济问题中的线性规划等。

三、作业要求1. 要求学生独立完成作业，注重过程和结果，不仅仅是答案的正确性。

2. 对于基础练习部分，要求熟练掌握并准确应用等式性质和方程解集的相关知识。

3. 在实际问题应用部分，学生需运用所学知识，合理建立数学模型，并能够用准确的语言解释其过程和结果。

4. 学生在作业中需体现思考过程，不仅仅是答案的堆砌，要展示对知识的理解和运用能力。

5. 作业需按时提交，不得抄袭他人成果。

四、作业评价1. 教师将根据学生作业的完成情况、解题思路和答案的准确性进行评价。

2. 鼓励学生对作业进行自评和互评，培养学生自我反思和批判性思维的能力。

3. 评价时注重学生的努力程度和学习态度，鼓励学生在学习过程中积极思考和创新。

五、作业反馈1. 教师将对学生的作业进行详细批改，指出错误并给出正确答案及解题思路。

2. 对于共性问题，将在课堂上进行讲解和讨论，帮助学生更好地理解相关知识点。

3. 对于学生的进步和优点，及时给予肯定和表扬，激发学生的学习兴趣和自信心。

4. 根据学生的反馈情况，及时调整教学策略和方法，以提高教学质量和效果。

通过以上作业设计方案的实施，旨在帮助学生巩固等式的性质和方程的解集知识，提高其运用数学知识解决实际问题的能力。

2.1.1 等式的性质与方程的解集教案教学课时：1课时教学目标：1.使学生学会用量词和逻辑语言呈现等式的性质；2.训练学生掌握用集合呈现方程的解集；3.使学生学会用“十字相乘法”分解因式；4.让学生体会用符号语言表述，训练学生数学抽象.数学运算的学科素养. 教学重点：从量词和逻辑的角度呈现等式的性质；从集合的角度呈现方程的解集. 教学难点：熟练使用“十字相乘法”分解因式.教学过程：一、复习回顾：【学生活动1】1.自己阅读书P42 —《本章导语》；2.再举出两个描述相等关系和不等关系的例子.【设计意图】使学生体会到相等关系与不等关系是数量关系中的两种重要的类型，它们分别对应的等式与不等式，是代数基础知识的重要组成部分.除了汇总学生所举出的实例外，也可以补充些数学中的实例，如：（1）勾股定理：c2=a2+b2；（2）费马大定理：x n+y n=z n(n>2，且n为整数）没有正整数解；（3）三角形两边之和大于第三边：a+c>b，a+b>c，b+c>a；（4）任何实数的平方非负：x2≥0.【学生活动2】3.回忆初中学习过哪些等式的性质；4.用第一章学习过的量词和符号语言表达上述性质吗；5.与同伴进行交流.【设计意图】回顾等式性质，为后面类比学习不等式性质做铺垫；复习第一章所学知识，学会自然语言与符号语言之间的转换；体会数学表达的简洁美.二、讲授新课：（一）等式的性质：【学生活动3】6.回答书中P43 —“尝试与发现”中的问题；7.与同伴交流分类的标准.【设计意图】分类的标准可以有很多，可以帮助学生从多种角度认识等式；可以从量词的角度对等式进行分类.（二）恒等式含有字母的等式中，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称这样的等式为恒等式，也称等式两边恒等.1、平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)2、两数和的完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2【学生活动4】8.计算：(a-b)2和(a+b+c)2；9.思考上面两个等式是恒等式吗？运算结果与(a+b)2=a2+2ab+b2的关系是什么？10.用发现的结论继续完成下面的计算：（1）(a-b+c)2；（2）(a-b-c)2；（3）(a+b-c)2【设计意图】借助恒等式教学，复习和介绍一些常用的乘法公式，并从量词的角度帮助学生认识和记忆公式.事实上，在恒等式(a+b)2=a2+2ab+b2中，用-b替换b，有：(a-b)2=a2-2ab+b2用b+c替换b：(a-b+c)2=a2+2a(b+c)+(b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 例1 化简(2x+1)2-(x-1)2.解：(方法一）可以利用两数和的平方公式与两数差的平方公式展开，然后合并同类项，即(2x +1)2-(x-1)2= 4x2+4x+1-(x2-2x +1)=3x2+6x .(方法二）可以将2x +1和x-1分别看成一个整体，然后使用平方差公式，即(2x +1)2-(x-1)2=[(2x+1)+(x-1)][(2x+1)-(x-1)]= 3x(x + 2) = 3x2 +6x .【设计意图】引导学生对比两种方法的优劣，培养学生选取适当方法进行运算的数学素养.例2 （1）计算：(x-6)(x+1)（2）分解因式：x2+5x+6【设计意图】对比恒等式两个方向的运算差别；讲解“十字相乘法”分解因式.【练习1】（1）计算：(x-2)(x-3)（2）分解因式：x2+5x-6答案:例2(1)x2-5x-6; (2）(x+2)(x+3)练习1(1)x2-5x+6;(2）(x＋6)(x-1)（三）方程的解集使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解（或根）.一个方程所有的解所组成的集合叫做这个方程的解集.例3 求方程x2+5x+6=0的解集.解：因为x2+5x+6=(x+2)(x+3)所以原方程可以化为(x＋2)x＋3)=0，从而可知x+2=0或x＋3=0，即x= -2或x =-3，因此方程的解集为{-2,-3}【设计意图】练习“十字相乘法”；复习集合的表达，可以让学生比较“描述法”与“列举法”的不同表达.【练习2】求下列方程的解集：(1)x2-5x+6=0; (2) x2 -x-12=0; (3）x2-2x+1=0答案:（1）{2,3} (2){4,-3} （3）{1}【设计意图】巩固“十字相乘法”；熟练解集的表达；可根据学生情况增加适当的练习.例4 求关于x的方程ax=2的解集，其中a是常数.解：当a≠0时,在等式ax = 2两边同时乘以1a ，得x =2a，此时解集为{2a}。

《2.1.1 等式的性质与方程的解集》作业设计方案（第一课时）一、作业目标通过本次作业，学生应掌握等式的性质，理解方程的解集概念，能够运用所学知识解决相关问题。

二、作业内容1. 基础题：请学生完成课本上的基础练习题，包括等式性质的简单应用和方程解集的基本概念。

2. 提高题：给学生一组含有多个未知数的方程，让他们找出所有解，并尝试解释这些解的含义。

3. 思考题：提供一些具有实际意义的等式，如速度=距离/时间，让学生思考这些等式的意义，并尝试解释其解集在现实生活中的应用。

三、作业要求1. 独立完成：作业应在规定时间内独立完成，不得互相抄袭。

2. 正确解答：解题过程应完整、规范，确保答案的准确性。

3. 书写整洁：书写应整洁美观，以培养良好的学习习惯。

4. 按时提交：请学生在完成作业后，按时提交至作业平台。

四、作业评价1. 批改：教师将对提交的作业进行批改，对学生的完成情况给出评价。

2. 反馈：对于错误率较高的题目，教师将在课堂上进行集中讲解，并给出正确解答。

对于普遍存在的问题，将在下次作业中加强相关内容的练习。

3. 优秀作业展示：对于完成质量较高的作业，将在班级内进行展示，以激励更多的学生积极参与。

五、作业反馈1. 学生自评：请学生对自己的作业完成情况进行评价，总结自己的优点和不足，以便在今后的学习中加以改进。

2. 同学互评：请同学之间互相评价，指出对方的优点和不足，共同进步。

3. 教师点评：教师将对全班同学的作业完成情况进行总体点评，对普遍存在的问题和典型案例进行分析，以便学生更好地掌握等式的性质和方程的解集概念。

通过本次作业，学生应能够更好地理解和运用等式的性质和方程的解集概念，为今后的数学学习打下坚实的基础。

同时，教师也将根据学生的完成情况及时调整教学策略，以提高教学效果。

作业设计方案（第二课时）一、作业目标1. 巩固学生对等式性质的理解，掌握如何利用等式性质解方程。

2. 提高学生的方程解题能力，学会解决不同类型的方程。

《2.1.1 等式的性质与方程的解集》作业设计方案（第一课时）一、作业目标：通过本次作业，学生应能：1. 理解和掌握等式的性质；2. 了解方程的解集概念；3. 运用所学知识解决实际问题。

二、作业内容：1. 基础练习：a. 请列举几个等式和不等式的例子，并说明它们的性质；b. 请解释方程的解集是什么，并给出几个例子；c. 完成课后习题，检验对等式性质和方程解集的理解。

2. 拓展思考：a. 请根据等式性质，分析以下情况：（1）等式两边同时加上一个数；（2）等式两边同时乘或除以一个不为零的数；（3）等式两边同时乘以一个数再除以一个数。

b. 请自行设计一道题目，验证上述分析的正确性。

三、作业要求：1. 独立完成作业，禁止抄袭；2. 认真阅读题目，理解题目含义，确保解题正确；3. 尽量用数学语言或图表等方式，清晰地表达自己的解题思路。

四、作业评价：1. 批改：教师将对每位学生的作业进行批改，记录错误点，以便进行讲解；2. 评价：根据学生作业完成情况，教师将对学生的学习态度、解题思路、计算准确性等方面进行评价，并给出相应的评语。

五、作业反馈：1. 学生应根据教师的评价及时修改和完善自己的作业，对于无法理解的问题应及时向老师请教；2. 教师将收集学生普遍存在的问题，在下次上课时进行集中讲解，并对个别问题进行个别指导；3. 鼓励学生在学习小组内进行交流和讨论，共同提高学习效果。

在具体实施作业的过程中，教师还需要注意以下几点：1. 针对不同层次的学生，设计不同难度的题目，以保护学生的学习积极性；2. 提醒学生注意解题的规范性和准确性，避免因粗心等原因导致的错误；3. 对于学生在解题过程中遇到的困难和问题，要给予足够的支持和帮助，引导学生找到解决问题的方法。

通过本次作业，学生应该能够更加深入地理解和掌握等式的性质和方程的解集概念，并将其运用到解决实际问题中。

同时，教师也应该根据学生的反馈，不断调整和优化教学方法，提高教学质量。

《等式的性质与方程的解集》导学案一、学习目标1、理解等式的基本性质。

2、掌握利用等式的性质解方程的方法。

3、能够求出简单方程的解集。

二、知识回顾1、什么是等式？用等号“＝”连接两个代数式的式子叫做等式。

2、举例说明等式：例如：2 ＋ 3 ＝ 5，x ＋ 5 ＝ 8 等。

三、等式的性质1、等式的对称性如果 a ＝ b，那么 b ＝ a 。

例如：如果 5 ＝ 3 ＋ 2，那么 3 ＋ 2 ＝ 5 。

2、等式的传递性如果 a ＝ b 且 b ＝ c，那么 a ＝ c 。

比如：已知 2x ＝ 6 ，6 ＝ 3×2 ，则 2x ＝ 3×2 。

3、等式的加（减）性质如果 a ＝ b，那么 a ± c ＝ b ± c 。

例如：因为 5 ＝ 5 ，所以 5 ＋ 3 ＝ 5 ＋ 3 ，5 2 ＝ 5 2 。

4、等式的乘（除）性质如果 a ＝ b ，那么 ac ＝ bc （c ≠ 0 时，a÷c ＝ b÷c）比如：已知 3 ＝ 3 ，则 3×5 ＝ 3×5 ，当 c ＝ 2 且c ≠ 0 时，3÷2 ＝3÷2 。

四、利用等式的性质解方程1、示例一方程 x ＋ 3 ＝ 5解：根据等式的性质 1，等式两边同时减去 3 ，得：x ＋ 3 3 ＝ 5 3即：x ＝ 22、示例二方程 2x ＝ 6解：根据等式的性质 2，等式两边同时除以 2 ，得：2x÷2 ＝ 6÷2即：x ＝ 3五、方程的解集1、方程的解使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

2、方程的解集一个方程的所有解组成的集合叫做这个方程的解集。

例如：方程 x² 4 ＝ 0 的解为 x ＝ 2 或 x ＝－2 ，则其解集为{2, －2}六、巩固练习1、解方程：3x 5 ＝ 7解：首先，等式两边同时加上 5 ，得到 3x 5 ＋ 5 ＝ 7 ＋ 5 ，即 3x ＝ 12 。

2.1.1等式的性质与方程的解集【课程标准】1.梳理等式的性质，理解恒等式是进行代数变形的依据之一.2.利用“十字相乘法”证明恒等式，运用因式分解法解一元二次方程，并运用集合的形式表示方程的所有解，即理解解集的定义.教学重点：1.等式的性质，包等式.2.方程的解集.教学难点：方程的解集.【情境导学】小华和小明是同一个年级的同学.小华说：“咱们两个年龄一样大”，小明说：“若干年后，咱们两个年龄还是一样大."你能用等式的相关知识来刻画他们之间的对话内容吗？【知识导学】知识点一等式的性质(1)如果a=b,那么aic=b上.(2)如果 a=b,那么 a c= b c, a=*cw 0).c c、(3)如果 a=b, b=c,那么 a= c.知识点二包等式一般地，含有字母的等式,如果其中的字母取任意实数时等式都成立,则称其为恒等式，也称等式两边包等.知识点三方程的解集一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集.【新知拓展】1 .恒等式的证明一般可以把恒等式的证明分为两类：(1)无附加条件的恒等式证明；(2)有附加条件的恒等式证明.2.因式分解法解一元二次方程(1)常用的方法主要是提公因式法、运用平方差公式、完全平方公式等分解因式.(2)几种常见的恒等式：①(a + b)(a — b) = a2— b2；②(a 治)2 = a2受ab+ b2；③(a + b)(a2— ab+ b2)= a3+b3；④(a —b)(a 2 + ab+ b 2)=a 3—b 3； a 2+ b 2=(a+ b)2—2ab ；(a — b)2=(a+b)2—4ab ；⑤(a+ b+ c)2= a 2 + b 2+ c2 + 2ab+ 2ac+ 2bc ；(a 坨)3 = a 3 书a 2b + 3ab 2 坨3. 【课堂自测】1 .判一判(正确的打“，”，错误的打"x” )⑴若 a=b,则 3a=3b.( )(2)若(a+b)c= 0,则 ac+ bc 不一定等于 0.() 2 2(3)xy+ x — 2y =(x+2y)(x —y).() 、-1⑷万程a(2x+1)—1=x 的解集为{2}.()3 (5)方程(x — 3)(x- 1)=3 的解集为{0,4}.() 答案 ⑴，⑵X ⑶，(4)X(5)V 2 .做一做C. —17D. { -17} (2)一元二次方程x 2—x —6=0的解集为() A. {3 , — 2}B. { -3,2}C. {1,5}D. {-1, -5}(3)解方程t 2x+ 1 = x+ t(t 为任意实数). 答案(1)B (2)A(3)解 原方程变形为(t 2—1)x= t —1. ①当tw 土时，x = 1,因此方程的解集为^71 ；②当t= — 1时，方程无解；③当t=1时，方程的解集为R.A. 0.3x+0.5 _ 2x — 1 0.2x 二 17 5的解集为（ B.一 17 5【例题】题型一一元二次方程的解集2x— 1 x 1例1 (1)把万程3x+二一=3一—去分母，正确的是( )3 2A.18x+ 2(2x—1)= 18 —3(x+ 1)B.3x+(2x—1) = 3—(x+1)C.18x+ (2x- 1)=18—(x+1)D.3x+2(2x— 1) = 3—3(x+ 1)(2)已知关于x的方程2x+a—9=0的解集是{2},则a的值为( )A. 2B. 3C. 4D. 5［解析］(1)原方程可左右同时乘以6,得18x+ 2(2x- 1) = 18—3(x+ 1).故选A.9— a 9— a(2)方程可化为x= -2一,又方程的解集是{2},所以-2- = 2,解得a = 5.故选D. ［答案］(1)A (2)D【解析】解方程按相应的解法和步骤求解一般不会存在问题.含参数的方程，解题时确定参数的值或范围是关键.【跟踪训练】(1)若关于x的方程(2+2k)x= 1无解，则(A. k= — 1B. k=1C. kw - 1D. "1(2)解方程：① 2(2x—1) = 3x—7;、x+ 3 2x-1r一k=1.答案(1)A (2)见解析解析(1)当2+2k=0时，方程无解，即k= -1.(2)①4x— 2=3x—7, x= —5.②可得 3(x+ 3)-4(2x- 1)=12,3x+9 —8x+ 4=12, — 5x= -1, x=1.5 题型二解一元二次方程(因式分解法)例2 (1)因式分解:①x2－ (m＋ n)xy＋ mny2；②4x2－ 4xy－ 3y2－ 4x＋ 10y－ 3；(2)求一元二次方程的解集：①x2—2x= 0;②x2 + 2x+ 1=0;③x2—23x+ 42=0.［解］(1)①原式=(x— my)(x—ny).②原式=(4x2-4xy- 3y2)+(— 4x+ 10y)-3=(2x— 3y)(2x+ y) +(-4x+10y)-3= (2x— 3y+1)(2x+y-3).(2)①方程可化为x(x —2) = 0,解得乂=0或乂= 2,即方程的解集为{0,2}.②方程可化为(x+ 1)2=0,解得x= —1,即方程的解集为{ — 1}.③方程可化为(x- 2)(x —21)=0,解得x= 2或x = 21,即方程的解集为{2,21}.【解析】用因式分解法解一元二次方程的关键是把方程分解为两个一次因式的积，并令每个因式分别为0，即可得一元二次方程的解集.【跟踪训练】(1)因式分解：①x2－ xy－ 2y2；②3x2＋ 2xy－ y2；(2)求一元二次方程的解集：① x2—4x+ 3 = 0;② 2(x— 3) = 3x(x— 3).解(1)①原式=(x-2y)(x+y).②原式=(x+ y)(3x-y).(2)①方程可化为(x-1)(x-3)=0,解得x=1或x= 3,即方程的解集为{1,3}.②原式可化为2(x— 3) -3x(x-3) = 0,得(x—3)(2 —3x) = 0,- ， 2 r 、2解得乂=3或乂= 3,即方程的解集为3, 3.【随堂测试】1.如果a=b,则下列变形正确的是( )A. 3a = 3+bB. -2=-2C. 5—a=5+bD. a+b=0答案 B解析根据等式的性质可得等式两边同乘以一个数，等式仍然成立.2.在解方程x# + x：%1时，方程两边同时乘以6,去分母后，正确的是() 3 2A.2x—1+6x= 3(3x+1)B.2(x- 1)+6x=3(3x+1)C.2(x- 1) + x= 3(3x+ 1)D.(x—1) + x=3(x+1)答案 B解析方程左边乘以6后得2(x—1)+6x,方程右边乘以6后得3(3x+1).故选B.3.一元二次方程x2—3x+2 = 0的解集为( )A. x=—1 或 x= —2 B, {-1, -2}C. x= 1 或 x=2D. {1,2}答案 D解析原方程可化为(x-1)(x-2) = 0,解得x=1或乂= 2,即方程的解集为{1,2}.4.x=1是关于x的方程2x-a=0的解，则a的值是( )A. -2B. 2C. — 1D. 1答案 B解析原方程可化为x=2,又乂= 1,所以：=1,即a = 2.故选B.5.求方程的解集：2x+1 1+x- Z - = Z(1)2 —3 2 ' (2)x2 = 3x;― 2(3)x —7x+ 10= 0.解 (1)方程可化为12 —2(2x+ 1) = 3(1+x), 7 —4x —3x= 0,即x=1,方程的解集为{1}.(2)方程可化为x(x- 3) = 0,解得x= 0或x=3,即方程的解集为{0,3}.(3)方程可化为(x— 2)(x—5) = 0,解得x = 2或x=5,即方程的解集为{2,5}.。