中考数学专题复习教学案

分类讨论题

类型之一直线型中的分类讨论

直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要.

例1．（·沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）

A．50° B．80° C．65°或50°D．50°或80°

【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角，所以要分类讨论：（1）当50°角是顶角时，则（180°－50°）÷2=65°，所以另两角是65°、65°；（2）当50°角是底角时，则180°－50°×2=80°，所以顶角为80°。故顶角可能是50°或80°.

答案：D .

同步测试：

1.(•乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）

A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm

2. （·江西省）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A 落在点A′处，

(1)求证：B′E=BF；

(2)设AE=a，AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明.

类型之二圆中的分类讨论

圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等．例2.（•湖北罗田）在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC＝4.若以C点为圆心， r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是___ __．

【解析】圆与斜边AB只有一个公共点有两种情况,1、圆与AB相切，此时r＝2.4；2、圆与线段相交，点A在圆的内部，点B在圆的外部或在圆上，此时3＜r≤4。

【答案】 3＜r≤4或r＝2.4

同步测试：

3.（上海市）在△ABC中，AB=AC=5，

3

cos

5

B ．如果圆O的半径为10，且经过点B、C，

那么线段AO的长等于．

4.（•威海市）如图，点A，B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A，⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r＝1+t（t≥0）．

（1）试写出点A，B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数表达式；

（2）问点A出发后多少秒两圆相切？

类型之三方程、函数中的分类讨论

方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式，然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特殊点的情况. 例3.（·上海市）已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．

（1）设BE=x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；

（3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE 的长．

【解析】建立函数关系实质就是把函数y 用含自变量x 的代数式表示。要求线段的长，可假设线段的长，找到等量关系，列出方程求解。题中遇到“如果以A N D ，，为顶点的三角形与

BME △相似”

，一定要注意分类讨论。 【答案】（1）取AB 中点H ，联结MH ， M 为DE 的中点，MH BE ∴∥，1()2

MH BE AD =+． 又AB BE ⊥，MH AB ∴⊥．

12ABM S AB MH ∴=

△，得12(0)2y x x =+>； （2）由已知得．

以线段AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切，

1122MH AB DE ∴=

+， 即． 解得43x =，即线段BE 的长为43

； （3）由已知，以A N D ，，为顶点的三角形与BME △相似，

又易证得DAM EBM ∠=∠．

由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①ADN BEM ∠=∠；②ADB BME ∠=∠． ①当ADN BEM ∠=∠时，AD BE ∥，

ADN DBE ∴∠=∠．DBE BEM ∴∠=∠．

DB DE ∴=，易得2BE AD =．得8BE =；

②当时，AD BE ∥，

ADB DBE ∴∠=∠．

DBE BME ∴∠=∠．又BED MEB ∠=∠，

BED MEB ∴△∽△．

DE BE BE EM ∴

=，即2BE EM DE =， 得2222212(4)2(4)2x x x =+-+-． 解得12x =，（舍去）．即线段BE 的长为2．

综上所述，所求线段BE 的长为8或2．

同步测试：

5.（·福州市)如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处．

（1）直接写出点E 、F 的坐标；

（2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．

于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；

（3）在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．

同步测试答案：

1.【解析】在没有明确腰长和底边长的情况下,要分两种情况进行讨论,当腰长是3cm ，底边长是6cm 时，由于3+3不能大于6所以组不成三角形；当腰长是6cm ，地边长是3cm 时能组成三角形．

【答案】D

2.【解析】由折叠图形的轴对称性可知，B F BF '=，B FE BFE '∠=∠，从而可求得B ′E=BF ；第(2)小题要注意分类讨论.

【答案】（1）证：由题意得B F BF '=，B FE BFE '∠=∠，

在矩形ABCD 中，AD BC ∥，B EF BFE '∴∠=∠，

B FE B EF ''∴∠=∠，

B F B E ''∴=．B E BF '∴=．