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中考数学分类讨论题型整编

【知识整合创新】

整体感悟：分类讨论问题是创新性问题之一，此类题综合性强，难题较大，在各地中考试题中多以压轴题出现，对考生的能力要求较高，具有选拔性。目前，中考试卷中，觉见的需分类讨论的知识点有三大类：

1．代数类：代数有绝对值、方程及根的定义，函数的定义以及点（坐标未给定）所在象限等.

2．几何类：几何有各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等.

3．综合类：代数与几何类分类情况的综合运用.

特例探究：以性质、公式、定理的使用条件为标准分类的题型.

中考高分解密：

题型1.考查数学概念及定义的分类

规律提示:熟练掌握数学中的概念及定义，其中以绝对值、方程及根的定义，函数的定义尤为重要，必须明确讨论对象及原因，进而确定其存在的条件和标准。

考题1．求函数25

1()(3)22

y k x k x =-+-+的图象与x 轴的交点？ 名师点拔：二次项系数中含有参数k ，此函数可能是二次函数，也可能是一次函数，故应对

52k -分类讨论.

解：（1）当

502k -=时，即52k =时，此函数为1122

y x =-+，故其与x 轴只有一个交点（1，0） （2）当5502

2k k -≠≠

，即时，此函数为二次函数，2251(3)4()(2)22

k k k ∆=--⨯-⨯=-.①当2k =时，Δ＝0.抛物线与x 轴的交点只有一个.212110,122

x x x x -+===，交点坐标为（1，0）②当2k ≠时，Δ＞0，函数与x 轴有两个不同的交点.1(1,0)(,0)52k

-和. 综合所述：当52k =或2k =时，函数图像与x 轴只有一个交点（1，0）；当52

k ≠且2k ≠时，函数图像与x 轴有两个不同交点1(1,0),(,0)52k -. 变式思考1已知关于x 的方程22(4)(4)0kx k x k +++-=

（1）若方程有实数根，求k 的取值范围

（2）若等腰三角形ABC 的边长a=3，另两边b 和c 恰好是这个方程的两个根，求ΔABC 的周长.

易误点睛：根据方程定义确定方程到底是一次方程还是二次方程，同时应注意的是第（2）问中并无说明哪两边是ΔABC 的腰，故应考虑其所有可能情况.

题型2：考查字母的取值情况或范围的分类.

规律提示：此类问题通常在函数中体现颇多，考查自变量的取值范围的分类，解题中应十分注意性质、定理的使用条件及范围.

考题2．（2004，河南）如图（1）边长为2的正方形ABCD 中，顶点A 的坐标是（0，2）一次函数y x t =+的图像l 随t 的不同取值变化时，位于l 的右下方由l 和正方形的边围成的图形面积为S （阴影部分）.

（1）当t 取何值时，S ＝3？

（2）在平面直角坐标系下（图2），画出S 与t 的函数图像.

名师点拔：设l 与正方形ABCD 的交点为M ，N ，易知ΔDMN 是等腰Rt Δ，只有当MD ＝2时，1MDN S ∆=，那么3ABCD MDN S S S =-=W V ，此时求得42t =-，第（2）问中，随着t 的变化，S 的表达式发生变化，因而须分类讨论t 在不同取值时S 的表达式，进而作出图像.

解：（1）设l 与正方形ABCD 的交点为M ，N ，

∵l 的解析式y x t =+，在x 轴，y 轴上所截线段相等.

∴ΔDMN 为等腰Rt ΔDMN

∵S ＝3，∴2231DMN ABCD S S S ∆=-=⨯-=

又∵21122

DMN S MD ND ND ∆=⋅= ∴MD ＝ND ＝2，∴ON ＝OD －DM ＝4－2，

即D 点的坐标为（0，4－2）

∴42t =-，即当42t =-时，S ＝3.

（2）∵直线l 与y 轴的交点M 的坐标为(0,)t

∴当0≤t ＜2时，21122

S B B t =

M ⋅N = 当2≤t ＜4时，21(4)42ABCD DMN S S S t ∆=-=--+ 当t ≥4时，S ＝4

根据以上解析式，作图如下图（图2） 变式思考2 （2004 资阳）如图所示，在平行四边形ABCD 中， 4AD cm =，

∠A ＝60°，BD ⊥AD ，一动点P 从A 出发，以每秒1cm 的速度沿A B C →→的路线匀速运动，过点P 作直线PM ，使PM ⊥AD.

（1）当点P 运动2秒时，设直线PM 与AD 相交于点E ，求△APE

的面积；

（2）当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A B C

→→的路线运动，且在AB 上以每秒1cm 的速度匀速运动，在BC 上

以每秒2cm 的速度匀速运动.过Q 作直线QN ，使QN//PM.设点Q 运动的时间为t 秒（0≤t ≤

10），直线PM 与QN 截平行四边形ABCD 所得图形的面积为Scm 2.

①求S 关于t 的函数关系式；②（附加题）求S 的最大值.

易误点睛：讨论变量t 的取值范围，是解本题的关键，解此类题应十分注意变量的取值须符合题意，逐层分析.

题型3．考查图形的位置关系或形状的分类.

规律提示：熟知直角三角形的直角，等腰三角形的腰与角以及圆的对称性，根据图形的特殊性质，找准讨论对象，逐一解决.

考题3．（2004 上海）在ΔABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝22，圆A 的半径为1，如图所示，若点O 在BC 边上运动，（与点B 和C 不重合），

设BO ＝x ，ΔAOC 的面积为y .

（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域.

（2）以点O 为圆心，BO 长为半径作圆O ，求当圆O

与圆A 相切时ΔAOC 的面积.

名师点拔：（1）过点A 作AD ⊥BC 于D 点 ∵AB ＝AC ＝22

∴AD ＝AB sin 45⋅︒=2

图（2）