10—1 马克维茨的资产组合理论
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马克维茨资产组合理论
本科学生毕业论文（设计）题目（中文）：Markowitz资产组合理论在我国A股市场的运用（英文）：The Application of Markowitz Asset PortfolioTheory to A Share Market in China姓名孙先哲学号200805001221院（系）数学与计算科学系专业、年级数学与应用数学专业2008级指导教师杨建奇2012年4月30日目录摘要 (I)Abstract .......................................................... I I 1 绪论.. (1)1.1 Markowitz资产组合理论介绍 (1)1.1.1 Markowitz资产组合理论的研究对象 (1)1.1.2 Markowitz资产组合理论的意义 (1)1.1.3 Markowitz经典资产组合理论模型 (2)1.1.4对Markowitz资产组合理论的评价 (3)1.2 国内外研究状况 (3)1.3 本文结构及内容 (4)2 Markowitz资产组合理论与中国证券市场 (4)2.1 Markowitz资产组合理论运用于中国证券市场的可能性 (4)2.2实例研究 (4)2.2.1数据采集 (4)2.2.2 求解有效组合 (6)2.2.3 研究结论 (9)3 简化Markowitz资产组合理论用于我国普通股民投资 (9)3.1 简化的前提 (9)3.2 举例分析 (10)3.2.1数据的采集 (10)3.2.2 在风险已确定的情况下求收益率最高的组合 (11)3.2.3 在确定收益率的情况下求最低风险的组合 (12)4 结束语 (13)参考文献 (14)附录 (15)致谢 (17)Markowitz资产组合理论在我国A股市场的运用摘要Markowitz资产组合理论研究的是多种资产的组合问题。
根据这个理论，我们可以在方差一定的情况下研究预期收益最大的投资组合问题；也可以研究预期收益一定情况下方差最小的投资组合问题。
markowitz的文献综述
文献综述：Markowitz的资产组合理论随着金融市场的不断发展，投资者对资产配置和风险管理的需求愈发迫切。
在这个方兴未艾的环境下，哈里·马科维茨（Harry Markowitz）于1952年提出了著名的资产组合理论（Modern Portfolio Theory），该理论对资产组合和风险管理产生了深远的影响。
本文将对Markowitz的资产组合理论进行综述，探讨其核心理念、应用价值以及未来发展趋势。
一、资产组合理论的核心理念1.1 效用理论Markowitz的资产组合理论建立在效用理论的基础之上。
他提出，投资者的最终目标不是简单地追求收益最大化，而是在一定风险水平下追求效用最大化。
投资者的投资决策不仅取决于预期收益，还应考虑风险水平和资产之间的相关性。
1.2 效率前沿Markowitz将资产组合理论建模为一个多目标优化问题，他提出了“效率前沿”的概念。
效率前沿是指在给定风险水平下，投资组合所能达到的最大收益，或者在给定收益水平下，投资组合所能达到的最小风险。
通过对效率前沿的研究，投资者可以找到最优的资产配置方案。
1.3 马科维茨方差-收益均衡模型Markowitz提出了著名的方差-收益均衡模型，该模型将投资组合的风险定义为收益的方差，将投资组合的收益定义为期望收益。
他指出，投资者在选择资产配置方案时应该追求一种均衡，即在风险和收益之间取得最佳的折衷。
二、资产组合理论的应用价值2.1 风险管理Markowitz的资产组合理论为风险管理提供了重要的思路。
通过对资产之间相关性的分析和有效的风险分散，投资者可以在一定程度上规避风险，提高投资组合的抗风险能力。
2.2 盈利机会资产组合理论也为投资者提供了寻找盈利机会的方法。
通过对不同资产类别和不同资产之间相关性的分析，投资者可以发现低相关性的资产，实现有效的分散，从而获取更高的收益。
2.3 资产配置决策资产组合理论已经被广泛应用于资产配置决策中。
资产组合原理
X ＝1，当 0≤ Xi ≤1 时，表示不存在卖空，若有某
i 1 i N
个 Xi ≤0 ，则表示资产 i被 卖空
投资组合P的收益率 RP 是单个证券收益率的
简单加权平均
RP = X i i1
N
Ri
Ri
是证券i 的 预期收益率。
• 问题
投资组合P的风险（标准差）的计算并不这么简单。答 案在于证券的收益之间存在相互联系（如当一 种流行 病在某大范围爆发，相关医药股票会上涨，而相关旅 游股票则会下跌）。
Standard Deviation
风险偏好（Risk lover）投资者的无差异曲线
Expected Return
风险偏好型的 投资者将风险 作为正效用的 商品看待，当 收益降低时候， 可以通过风险 增加得到效用 补偿。
Standard Deviation
不同风险厌恶程度投资者的无差异曲线
（2）、三种证券形成可行集（不存在卖空）
rP
B D
C
A
P
三点形成地区域
（3）、n种风险资产的组合二维表示 （不存在卖空）
收益rp
风险σp
总结：可行集的两个性质
1. 在n种资产中，如果至少存在三项资产彼此不完 全相关，则可行集合将是一个二维的实体区域 2. 可行区域是向左侧凸出的 – 因为任意两项资产构成的投资组合都位于两 项资产连线的左侧。 – 为什么？
•
投资组合风险分散化原理
a. 可分散化风险 b. 不可分散化风险——市场系统风险
只要
1 ，则两个证券形成地证券组合 回报率的标准差小于单个证券回报率标准差 的加权平均。
直观解释
只要证券相互之间地相关系数小于1，则证
i 1 i N
个 Xi ≤0 ，则表示资产 i被 卖空
投资组合P的收益率 RP 是单个证券收益率的
简单加权平均
RP = X i i1
N
Ri
Ri
是证券i 的 预期收益率。
• 问题
投资组合P的风险（标准差）的计算并不这么简单。答 案在于证券的收益之间存在相互联系（如当一 种流行 病在某大范围爆发，相关医药股票会上涨，而相关旅 游股票则会下跌）。
Standard Deviation
风险偏好（Risk lover）投资者的无差异曲线
Expected Return
风险偏好型的 投资者将风险 作为正效用的 商品看待，当 收益降低时候， 可以通过风险 增加得到效用 补偿。
Standard Deviation
不同风险厌恶程度投资者的无差异曲线
（2）、三种证券形成可行集（不存在卖空）
rP
B D
C
A
P
三点形成地区域
（3）、n种风险资产的组合二维表示 （不存在卖空）
收益rp
风险σp
总结：可行集的两个性质
1. 在n种资产中，如果至少存在三项资产彼此不完 全相关，则可行集合将是一个二维的实体区域 2. 可行区域是向左侧凸出的 – 因为任意两项资产构成的投资组合都位于两 项资产连线的左侧。 – 为什么？
•
投资组合风险分散化原理
a. 可分散化风险 b. 不可分散化风险——市场系统风险
只要
1 ，则两个证券形成地证券组合 回报率的标准差小于单个证券回报率标准差 的加权平均。
直观解释
只要证券相互之间地相关系数小于1，则证
马克维兹的投资组合模型
马克维兹的投资组合模型
马克维兹的投资组合模型，也被称为均值-方差模型，是现代
投资组合理论的基础。
该模型利用资产的历史收益率数据，将投资组合的预期收益率与风险相结合，以找到一个最优的投资组合。
该最优投资组合在给定预期收益率下，能最大化投资者对风险的偏好。
马克维兹的投资组合模型具体进行如下步骤：
1. 收集资产历史收益率数据：收集投资组合中各个资产的历史收益率数据。
2. 计算资产的预期收益率：根据历史数据，计算出每个资产的预期收益率（即平均收益率）。
3. 计算资产的协方差矩阵：根据历史数据，计算出每两个资产之间的协方差，构成资产间的协方差矩阵。
4. 设定风险偏好参数：投资者需设定一个风险偏好参数，即风险厌恶程度。
5. 构建有效前沿：通过对不同权重的资产组合进行计算，可以构建出有效前沿，即可达到最高预期收益的最小风险投资组合。
6. 选择最优投资组合：根据投资者的风险偏好，选择位于有效前沿上的某个点作为最优投资组合。
7. 动态调整：随着市场环境的变化和投资者的期望调整，可以通过重新计算和选择最优投资组合来进行动态调整。
马克维兹的投资组合模型为投资者提供了一个有理论依据的方法来构建最优投资组合，同时也在风险管理方面起到了重要作用。
10—1马克维茨的资产组合理论
➢ 厌恶风险程度越低的投资者，其无差异曲线的斜率越小，因 此其最优投资组合越接近B点。
23
最优投资组合（T）的确定
E(RP )
I3 T
I2 I1 B
N
A
O
P
24
补充：系统性风险的衡量（市场模型、指数 模型、对角线模型）
（1）定义：证券市场处于均衡状态时的所有证券按 其市值比重组成一个“市场组合”(m)，这个组合 的非系统性风险将等于零。
13
例 2：同前例，不同的是，此时 A 与 B 的相关系数为 0，组合后的结果也可以用图 3 来说明。
E(RP )
E(RB )
B
=0
E(RA )
A
0
A
B
P
图 3 完全不相关时的组合收益与风险的关系
14
思考：
➢ 假设仅由两项证券资产A和B构成证券组合。A 的期望收益率E（RA）=5%，标准差σA=20%；B 的期望收益率E（RB）=15%，标准差σB=40%；
WB
A A B
因此，当投资组合 WB
A A B
时（ W A
B A B
），组合完全回避了风险。
17
例 3：同前例，不同的是ρAB=－1。上述结论可以用图 4 来说明。
E(RP )
E(RB )
B
=﹣1
E(RA )
A
0
A
B
P
图 4 完全负相关时的组合收益与风险的关系
18
结论
➢ 1．资产组合的收益与资产收益间的相关性无 关，而风险则与之有很大关系；
系数为1的时候，组合收益 也是组合风险 的线性函数。
10
证明：
∵σp=WAσA+WBσB =（1－WB）σA+WBσB =σA+WB（σB－σA）
23
最优投资组合（T）的确定
E(RP )
I3 T
I2 I1 B
N
A
O
P
24
补充：系统性风险的衡量（市场模型、指数 模型、对角线模型）
（1）定义：证券市场处于均衡状态时的所有证券按 其市值比重组成一个“市场组合”(m)，这个组合 的非系统性风险将等于零。
13
例 2：同前例，不同的是，此时 A 与 B 的相关系数为 0，组合后的结果也可以用图 3 来说明。
E(RP )
E(RB )
B
=0
E(RA )
A
0
A
B
P
图 3 完全不相关时的组合收益与风险的关系
14
思考：
➢ 假设仅由两项证券资产A和B构成证券组合。A 的期望收益率E（RA）=5%，标准差σA=20%；B 的期望收益率E（RB）=15%，标准差σB=40%；
WB
A A B
因此，当投资组合 WB
A A B
时（ W A
B A B
），组合完全回避了风险。
17
例 3：同前例，不同的是ρAB=－1。上述结论可以用图 4 来说明。
E(RP )
E(RB )
B
=﹣1
E(RA )
A
0
A
B
P
图 4 完全负相关时的组合收益与风险的关系
18
结论
➢ 1．资产组合的收益与资产收益间的相关性无 关，而风险则与之有很大关系；
系数为1的时候，组合收益 也是组合风险 的线性函数。
10
证明：
∵σp=WAσA+WBσB =（1－WB）σA+WBσB =σA+WB（σB－σA）
马柯威茨投资组合理论
马柯威茨投资组合理论
马柯威茨投资组合理论是20世纪50年代末由美国经济学家威廉·马柯威茨首先提出
的一种金融投资理论，它是把投资者追求财富最大化指标与风险均衡指标完美结合给出了
解决方案。
它以一种新的方式，把投资者的资本回报率的的最大化表达成“最优化投资组合”的概念。
马柯威茨投资组合理论的基础是它所采用的“可接受风险”原则。
在马柯威茨投资组
合理论中，投资者可以通过对他们投资组合中任何一种资产，考虑他们承受的风险程度而
灵活选择，以此来评估一种投资者可以接受的风险程度，从而计算出最佳投资组合。
投资
者在选择风险等级时，需要参考公司财务报表、宏观经济状况和其他市场信息，以便对不
同的风险合理地进行评估。
对于投资者来说，马柯威茨投资组合理论的优点在于它鼓励投资者根据其资本业务，
运用宽松投资策略，采用多样化投资策略来降低风险，同时保证财富的稳定增长。
因此，
可以让投资者根据自己的投资风险及其希望获得的回报，去构造出最佳的投资组合，从而
获得最大的回报。
此外，马柯威茨投资组合理论还提倡投资者在投资过程中，要注重对市场结构的研究，了解宏观经济状况，把握投资趋势，以便采取适当的策略，保证投资收益。
从上面可以看出，马柯威茨投资组合理论对投资者提供了一种权衡经济风险和收益的
有效方法，它有助于投资者最大限度地实现投资利润，并且还能够有效降低投资风险。
马科维茨投资组合理论模型
马科维茨投资组合理论模型
马科维茨投资组合理论模型是由美国经济学家马科维茨提出的一种投资组合理论，该理论模型通过对投资组合和投资组合收益率的分析，提出了一种最优投资组合的概念，这种投资组合可以满足投资者的期望收益和风险最小化的要求。
马科维茨投资组合理论模型的基本概念是，当给定一定的投资资金，可以通过不同的投资组合，即不同投资产品的组合，使投资者的收益最大化。
该模型也引入了风险因素，通过对投资组合和投资组合收益率的分析，提出了最优投资组合的概念。
马科维茨投资组合理论模型的应用非常广泛，它可以帮助投资者进行投资决策。
该理论模型可以帮助投资者选择最佳的投资组合，以满足投资者的期望收益和风险最小化的要求，从而更好地实现投资目标。
此外，它还可以帮助投资者估算投资组合的收益率和风险，从而更好地进行投资。
马科维茨投资组合理论模型也可以帮助投资者灵活地进行投资，根据投资者的风险承受能力，可以调整投资组合，以满足投资者的投资目标。
此外，该理论模型还可以帮助投资者更好地识别投资机会，以获得更高的投资收益。
总的来说，马科维茨投资组合理论模型是一种有效的投资组合理论，
它可以帮助投资者更好地实现投资目标，更好地进行投资决策，并获得更高的投资收益。
投资组合理论简介
投资组合理论简析：美国经济学家马考维茨(Markowitz)1952年首次提出投资组合理论（Portfolio Theory)，并进行了系统、深入和卓有成效的研究，他因此获得了诺贝尔经济学奖。
该理论也称证券投资组合理论或资产组合理论。
马克维茨投资组合理论的基本假设为：(1)投资者是风险规避的，追求期望效用最大化；(2)投资者根据收益率的期望值与方差来选择投资组合；(3)所有投资者处于同一单期投资期。
马克维茨提出了以期望收益及其方差(E，δ2)确定有效投资组合。
以期望收益E来衡量证券收益，以收益的方差δ2表示投资风险。
资产组合的总收益用各个资产预期收益的加权平均值表示，组合资产的风险用收益的方差或标准差表示，则马克维茨优化模型如下：式中：rp——组合收益；ri、rj——第i种、第j种资产的收益；wi、wj——资产i和资产j在组合中的权重；δ2(rp)——组合收益的方差即组合的总体风险；cov(r,rj)——两种资产之间的协方差。
马克维茨模型是以资产权重为变量的二次规划问题，采用微分中的拉格朗日方法求解，在限制条件下，使得组合风险铲δ2(rp)最小时的最优的投资比例Wi。
从经济学的角度分析，就是说投资者预先确定一个期望收益率，然后通过确定投资组合中每种资产的权重，使其总体投资风险最小，所以在不同的期望收益水平下，得到相应的使方差最小的资产组合解，这些解构成了最小方差组合，也就是我们通常所说的有效组合。
有效组合的收益率期望和相应的最小方差之间所形成的曲线，就是有效组合投资的前沿。
投资者根据自身的收益目标和风险偏好，在有效组合前沿上选择最优的投资组合方案。
根据马克维茨模型，构建投资组合的合理目标是在给定的风险水平下，形成具有最高收益率的投资组合，即有效投资组合。
此外，马克维茨模型为实现最有效目标投资组合的构建提供了最优化的过程，这种最优化的过程被广泛地应用于保险投资组合管理中。
在马可维茨的理论基础上又出现了致力于寻求新的度量标准和新的投资准则的现代投资组合理论：均值-V aR投资组合模型最早应用V aR风险测量方法的是Jm Morgan公司，1994年10月JP Morgan公司开发的“风险度量"(Riskmetrics)系统中提出了V aR风险测量方法；1995年4月，巴塞尔银行监管委员会宣布商业银行的资本充足性要求必须建立在V aR基础上；1995年6月，美联储提出相似的预案；1995年12月，美国证券交易委员会建议上市交易的美国公司将V aR 值作为信息披露的一项指标。
资产组合理论
（）
式中σp、σ1和σ2分别为资产组合、资产1和资 产2的标准差；w1为资产1在组合中的比重，(1-w1) 即是资产2在组合中的比重。
组合的预期收益为：
r p (w1)= r1 w1+ r 2 (1-w1) 当w1＝1时，则有σp=σ1，rp=r1
（）
当w1＝0时，即有σp=σ2，rp=r2
因此，该可行集为连接（ r1 ，σ1）和（ r 2 ， σ2）两点的直线。如图。
平滑曲线。
2021/7/17
13
四、资产组合的有效边界
有效集原则 :（1）投资者在既定风险水平下 要求最高收益率；（2）在既定预期收益率水平下 要求最低风险。
为了更清晰地表明资产组合有效边界的确定 过程，这里我们集中揭示可行集左侧边界的双曲 线FMH。该双曲线上的资产组合都是同等收益水平 上风险最小的组合，如图，既定收益水平E(r1)下， 边界线上的a点所对应的风险为σ4，而同样收益 水平下，边界线内部的b点所对应的风险则上升为 σ5。因此该边界线称为最小方差资产组合的集合。
由于有效边界上凸，而效用曲线下凸,所以两条 曲线必然在某一点相切，切点代表的就是为了达到 最大效用而应该选择的最优组合。
不同投资者会在资产组合有效边界上选择不同 的区域。风险厌恶程度较高的投资者会选择靠近端 点的资产组合；风险厌恶程度较低的投资者，会选 择端点右上方的资产组合。如图。
2021/7/17
2021/7/17
28
• 将上述答案带回原式，得到最优资产组合的权重：
wPghErp
• 其中，g和h为两个一维向量，其表达式分别为
g
1 D
B(V
11)
A
V 1e
h
1 D
马柯威茨投资组合理论
马柯威茨投资组合理论
马柯威茨投资组合理论是一种金融投资理论，它提出了一个完美的投资组合，可以使投资者在有限的风险水平下获得最大化的投资收益。
该理论由美国经济学家马柯威茨于1952年提出，至今仍然是金融投资者的主要参考系统。
马柯威茨投资组合理论认为，一个理想的投资组合应该由多种投资工具组成，而不是仅仅依赖一种投资工具。
多种投资工具中的每一种都会产生不同程度的风险与收益，当将这些投资工具按一定比例组合起来时，就可以获得较低的总体风险水平，同时又可以最大限度地获得投资收益。
基于马柯威茨投资组合理论，投资者应该根据自身的风险偏好，选择合适的风险组合。
投资者可以根据风险组合中的投资工具比例来定制自己的投资组合，以便在有限的风险水平下尽可能获得最大的收益。
此外，马柯威茨投资组合理论还提出了一种投资组合的经典结构，即“有效前沿”，它是投资者在投资组合中可以获得最大化收益与最小风险的理想位置。
有效前沿是投资者可以获得最大收益、最小风险的最优组合，而有效前沿上的任何投资组合，都可以使投资者在有限的风险水平下获得最大化投资收益。
总之，马柯威茨投资组合理论是一种金融投资理论，它提出了一个完美的投资组合，可以使投资者在有限的风险水平下获得最大化的投资收益。
它的基本思想是将多种投资工具按一定比例组合起来，从而最大限度地获得投资收益，而且这种投资组合可以使投资者在有限的风险水平下获得最大化投资收益。
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E Aσ
σ
B B
− E Bσ −σ A
A
+
EB − EA σ σB −σ A
P
11
图2
E ( RP ) E ( RB )
完全正相关时的组合收益与风险的关系
B
ρ =1
E ( RA )
0 A
σA
σB
σP
12
2、完全不相关情况（ρ=0）
2 2 2 Var ( RP ) = σ p = W A2σ A + WB2σ B + 0
22
四、最优投资组合的确定
1、投资者就可根据自己的无差异曲线群选择能使自己 投资效用最大化的最优投资组合。这个组合位于无 差异曲线与有效集的相切点 。（是惟一的） 2、对于投资者而言，有效集是客观存在的，它是由证 券市场决定的。而无差异曲线则是主观的，它是由 自己的风险——收益偏好决定的。
厌恶风险程度越高的投资者，其无差异曲线的斜率越陡，因 此其最优投资组合越接近N点。 厌恶风险程度越低的投资者，其无差异曲线的斜率越小，因 此其最优投资组合越接近B点。
• 进而有， σ P = W Aσ A − WBσ B 在由收益率和标准差构 进而有， 成的坐标系中，该函数为两条直线。 成的坐标系中，该函数为两条直线。而且这两条直线 在收益率轴上有一个交点。 在收益率轴上有一个交点。 • 因此，组合的风险可以大大降低。如果权重恰当（恰 因此，组合的风险可以大大降低。如果权重恰当（ 好位于交点处），组合甚至可以完全回避风险。 ），组合甚至可以完全回避风险 好位于交点处），组合甚至可以完全回避风险。
*
• 由上式可知，证券组合的风险不仅决定于单个 证券的风险和投资比重，还决定于每个证券收 益的协方差或相关系数。
4
1、不管组合中证券的数量是多少，证券组合的 收益率只是单个证券收益率的加权平均数。 分散投资不会影响到组合的收益率，但是分散 投资可以降低收益率变动的波动性。各个证券 之间收益率变化的相关关系越弱，分散投资降 低风险的效果就越明显。
23
最优投资组合（T）的确定
E ( RP )
I3 T
I2 I1 B
N A O
σP
24
补充：系统性风险的衡量（市场模型、 补充：系统性风险的衡量（市场模型、指数 模型、对角线模型） 模型、对角线模型） （1）定义：证券市场处于均衡状态时的所有证券 ）定义： 按其市值比重组成一个“市场组合” 按其市值比重组成一个“市场组合”(m)，这个组 ， 合的非系统性风险将等于零。 合的非系统性风险将等于零。 （2）衡量证券 系统性风险的指标： 系统性风险的指标： ）衡量证券i系统性风险的指标
16
σp=0 WAσA =WBσB
WA σ A = WB σ B
1 − WB σ B = WB σA
WB =
σA σ A +σB σA σB ，组合完全回避了风险 时（ W A = ） 组合完全回避了风险。 ，组合完全回避了风险。 σ A +σ B σ A +σB
因此， 因此，当投资组合 W B =
，在由收益率和标
准差构成的坐标系中，该曲线凸向收益率轴。 准差构成的坐标系中，该曲线凸向收益率轴。 由此可以看出，投资组合可以大大降低风险。
13
例 2：同前例，不同的是，此时 A 与 B 的相关系数为 0，组合后的结果也可以用图 3 ：同前例，不同的是， ， 来说明。 来说明。
E ( RP ) E ( RB )
第10章—1 10章 马克维茨的资产组合理论
一、基本假设 投资者的厌恶风险性和不满足性： 投资者的厌恶风险性和不满足性： 厌恶风险性 1、厌恶风险 、 2、不满足性 、
2
“不要把所有的鸡蛋都放在同一只篮子里。”
——1981年诺贝尔经济学奖公布后， 记者要求获奖人、耶鲁大学的 James Tobin教授尽可能简单、 通俗地概括他的研究成果，教 授即回答了这句话。
29
4、考虑两种完全负相关的风险证券A和B，其 、考虑两种完全负相关的风险证券 和 ， 的期望收益率为10%，标准差 中A的期望收益率为 的期望收益率为 ，标准差0.16；B的期 ； 的期 望收益率8%，标准差为0.12。则A和B在最小 望收益率 ，标准差为 。 和 在最小 标准差资产组合中的权重分别是（ 标准差资产组合中的权重分别是（ ）
β
28
练习题
1、哪种风险可以通过多样化来消除： 1）预想到的风险; 2）系统性风险; 3）市场风险; 4）非系统性风险 2、下面哪种说法是正确的？ 1）系统性风险对投资者不重要； 2）系统性风险可以通过多样化来消除； 3）承担风险的回报独立于投资的系统性风险； 4）承担风险的回报取决于系统性风险。 3、系统性风险可以用什么来衡量？ 1）贝塔系数; 2）相关系数; 3）收益率的标准差; 4）收益率的方差
β i = CoviM
2 σM
25
假定任何一种证券的收益率与市场组合的收益 率之间存在着一种线性关系 线性关系: 率之间存在着一种线性关系
γit =αi + βiγmt +εit （ t=1,2… n） … ）
( ( 误差项， 其中， 其中， εit ：误差项， E(εi ) = 0, Cov εi , ε j ) = 0, Cov εit , εit' ) = 0 ；
8
1、资产收益间完全正相关情况 （ρ=1）
例1：假设有两种股票 和B，其相关系数ρ=1，并且 ：假设有两种股票A和 ， ， σA=2%，σB=4%，WA=50%，WB=50%，则组合方 ， ， ， ， 差为： 差为：
2 2 2 2 σ p = WAσ A +WB2σ B + 2WAWB ρABσ Aσ B
2 σM
α i = γ i − β iγ m
26
系数＝ （3）证券组合的 β 系数＝各种证券的 ） 的加权平均数
n
β
系数
βP = ∑xi βi ，其中， xi =证券 i 的市值／组合的总价值 其中， 证券 的市值／
i=1
27
（4）证券和证券组合的 β ）
系数： 系数：
若 β ＝1，说明其系统性风险＝市场组合的系统性风险； ，说明其系统性风险＝市场组合的系统性风险； 若 β ＞1，说明其系统性风险＞市场组合的系统性风险； ，说明其系统性风险＞市场组合的系统性风险； 若 β ＜1，说明其系统性风险＜市场组合的系统性风险； ，说明其系统性风险＜市场组合的系统性风险； 0，说明其没有系统性风险。 若 β ＝0，说明其没有系统性风险。
= 0.52 × 0.022 + 0.52 × 0.042 + 2 × 0.5× 0.5×1× 0.02× 0.04 = 0.0009
σ P = 0.03= 3%
9
而且由 σ 得
2 p
= W A2σ
2 A
2 + W B2σ B + 2W AW B σ Aσ B = (W Aσ
A
+ W Bσ B ) 2
17
例 3：同前例，不同的是ρAB=－1。上述结论可以用图 4 来说明。 ：同前例， － 。上述结论可以用图 来说明。
E ( RP ) E ( RB )
B
ρ =﹣1 ﹣
E ( RA )
0 图4 A
Байду номын сангаасσA
σB
σP
完全负相关时的组合收益与风险的关系
18
结论
1．资产组合的收益与资产收益间的相关性无 而风险则与之有很大关系； 关，而风险则与之有很大关系； 2．完全正相关时，组合风险无法低于两者之 完全正相关时， 间最小的； 间最小的； 3．完全不相关时，可以降低风险，随着风险 完全不相关时，可以降低风险， 小的资产的投资比重增加，组合风险继续下降， 小的资产的投资比重增加，组合风险继续下降， 并在某一点达到风险最小。 并在某一点达到风险最小。 4．完全负相关时，组合风险可大大降低，甚 完全负相关时，组合风险可大大降低， 至可以使风险降为0 至可以使风险降为0。
σp =WAσ A+WBσ B
因此，当证券间的相关系数为 的时候 的时候， 因此，当证券间的相关系数为1的时候，组合的风险是组合 中单个证券风险的线性函数。 中单个证券风险的线性函数 显然， 可以看出， 显然，由Ep=WAEA+WBEB 可以看出，组合的预期收益是 组合中单个证券收益的线性函数。 组合中单个证券收益的线性函数。 也可以证明，在证券间的相关系数为 的时候 的时候， 也可以证明，在证券间的相关系数为1的时候，组合收益E(Rp ) 的线性函数。 也是组合风险 σ p 的线性函数。
该点的 WA =
4 1 ,WB = , E( RP ) = 7%,σ P = 179% 5 5
15
3、完全负相关情况（ρ=-1）
• 当证券间完全负相关的时候，组合的方差为 当证券间完全负相关的时候，
2 2 Var ( RP ) = W A2σ A + WB2σ B − 2W AWBσ Aσ B = (W Aσ A − WBσ B ) 2
10
证明： 证明：
∵σp =WAσA+WBσB =（1－WB）σA+WBσB =σA+WB（σB －σA ） ∴ WB = σ P − σ A σ B −σ A
σ P −σ A ∴ EP = E A + (EB − E A ) σ B −σ A
=
=
E Aσ B − E Aσ B + σ P ( E B − E A ) − E Bσ A + E Aσ A σ B −σ A
问题：如何进行证券组合，即 （1）将鸡蛋放在多少个篮子里？ （2）这些篮子有什么特点？
3
二、证券组合与分散风险 •
n
E(Rp ) =
σ
B B
− E Bσ −σ A
A
+
EB − EA σ σB −σ A
P
11
图2
E ( RP ) E ( RB )
完全正相关时的组合收益与风险的关系
B
ρ =1
E ( RA )
0 A
σA
σB
σP
12
2、完全不相关情况（ρ=0）
2 2 2 Var ( RP ) = σ p = W A2σ A + WB2σ B + 0
22
四、最优投资组合的确定
1、投资者就可根据自己的无差异曲线群选择能使自己 投资效用最大化的最优投资组合。这个组合位于无 差异曲线与有效集的相切点 。（是惟一的） 2、对于投资者而言，有效集是客观存在的，它是由证 券市场决定的。而无差异曲线则是主观的，它是由 自己的风险——收益偏好决定的。
厌恶风险程度越高的投资者，其无差异曲线的斜率越陡，因 此其最优投资组合越接近N点。 厌恶风险程度越低的投资者，其无差异曲线的斜率越小，因 此其最优投资组合越接近B点。
• 进而有， σ P = W Aσ A − WBσ B 在由收益率和标准差构 进而有， 成的坐标系中，该函数为两条直线。 成的坐标系中，该函数为两条直线。而且这两条直线 在收益率轴上有一个交点。 在收益率轴上有一个交点。 • 因此，组合的风险可以大大降低。如果权重恰当（恰 因此，组合的风险可以大大降低。如果权重恰当（ 好位于交点处），组合甚至可以完全回避风险。 ），组合甚至可以完全回避风险 好位于交点处），组合甚至可以完全回避风险。
*
• 由上式可知，证券组合的风险不仅决定于单个 证券的风险和投资比重，还决定于每个证券收 益的协方差或相关系数。
4
1、不管组合中证券的数量是多少，证券组合的 收益率只是单个证券收益率的加权平均数。 分散投资不会影响到组合的收益率，但是分散 投资可以降低收益率变动的波动性。各个证券 之间收益率变化的相关关系越弱，分散投资降 低风险的效果就越明显。
23
最优投资组合（T）的确定
E ( RP )
I3 T
I2 I1 B
N A O
σP
24
补充：系统性风险的衡量（市场模型、 补充：系统性风险的衡量（市场模型、指数 模型、对角线模型） 模型、对角线模型） （1）定义：证券市场处于均衡状态时的所有证券 ）定义： 按其市值比重组成一个“市场组合” 按其市值比重组成一个“市场组合”(m)，这个组 ， 合的非系统性风险将等于零。 合的非系统性风险将等于零。 （2）衡量证券 系统性风险的指标： 系统性风险的指标： ）衡量证券i系统性风险的指标
16
σp=0 WAσA =WBσB
WA σ A = WB σ B
1 − WB σ B = WB σA
WB =
σA σ A +σB σA σB ，组合完全回避了风险 时（ W A = ） 组合完全回避了风险。 ，组合完全回避了风险。 σ A +σ B σ A +σB
因此， 因此，当投资组合 W B =
，在由收益率和标
准差构成的坐标系中，该曲线凸向收益率轴。 准差构成的坐标系中，该曲线凸向收益率轴。 由此可以看出，投资组合可以大大降低风险。
13
例 2：同前例，不同的是，此时 A 与 B 的相关系数为 0，组合后的结果也可以用图 3 ：同前例，不同的是， ， 来说明。 来说明。
E ( RP ) E ( RB )
第10章—1 10章 马克维茨的资产组合理论
一、基本假设 投资者的厌恶风险性和不满足性： 投资者的厌恶风险性和不满足性： 厌恶风险性 1、厌恶风险 、 2、不满足性 、
2
“不要把所有的鸡蛋都放在同一只篮子里。”
——1981年诺贝尔经济学奖公布后， 记者要求获奖人、耶鲁大学的 James Tobin教授尽可能简单、 通俗地概括他的研究成果，教 授即回答了这句话。
29
4、考虑两种完全负相关的风险证券A和B，其 、考虑两种完全负相关的风险证券 和 ， 的期望收益率为10%，标准差 中A的期望收益率为 的期望收益率为 ，标准差0.16；B的期 ； 的期 望收益率8%，标准差为0.12。则A和B在最小 望收益率 ，标准差为 。 和 在最小 标准差资产组合中的权重分别是（ 标准差资产组合中的权重分别是（ ）
β
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练习题
1、哪种风险可以通过多样化来消除： 1）预想到的风险; 2）系统性风险; 3）市场风险; 4）非系统性风险 2、下面哪种说法是正确的？ 1）系统性风险对投资者不重要； 2）系统性风险可以通过多样化来消除； 3）承担风险的回报独立于投资的系统性风险； 4）承担风险的回报取决于系统性风险。 3、系统性风险可以用什么来衡量？ 1）贝塔系数; 2）相关系数; 3）收益率的标准差; 4）收益率的方差
β i = CoviM
2 σM
25
假定任何一种证券的收益率与市场组合的收益 率之间存在着一种线性关系 线性关系: 率之间存在着一种线性关系
γit =αi + βiγmt +εit （ t=1,2… n） … ）
( ( 误差项， 其中， 其中， εit ：误差项， E(εi ) = 0, Cov εi , ε j ) = 0, Cov εit , εit' ) = 0 ；
8
1、资产收益间完全正相关情况 （ρ=1）
例1：假设有两种股票 和B，其相关系数ρ=1，并且 ：假设有两种股票A和 ， ， σA=2%，σB=4%，WA=50%，WB=50%，则组合方 ， ， ， ， 差为： 差为：
2 2 2 2 σ p = WAσ A +WB2σ B + 2WAWB ρABσ Aσ B
2 σM
α i = γ i − β iγ m
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系数＝ （3）证券组合的 β 系数＝各种证券的 ） 的加权平均数
n
β
系数
βP = ∑xi βi ，其中， xi =证券 i 的市值／组合的总价值 其中， 证券 的市值／
i=1
27
（4）证券和证券组合的 β ）
系数： 系数：
若 β ＝1，说明其系统性风险＝市场组合的系统性风险； ，说明其系统性风险＝市场组合的系统性风险； 若 β ＞1，说明其系统性风险＞市场组合的系统性风险； ，说明其系统性风险＞市场组合的系统性风险； 若 β ＜1，说明其系统性风险＜市场组合的系统性风险； ，说明其系统性风险＜市场组合的系统性风险； 0，说明其没有系统性风险。 若 β ＝0，说明其没有系统性风险。
= 0.52 × 0.022 + 0.52 × 0.042 + 2 × 0.5× 0.5×1× 0.02× 0.04 = 0.0009
σ P = 0.03= 3%
9
而且由 σ 得
2 p
= W A2σ
2 A
2 + W B2σ B + 2W AW B σ Aσ B = (W Aσ
A
+ W Bσ B ) 2
17
例 3：同前例，不同的是ρAB=－1。上述结论可以用图 4 来说明。 ：同前例， － 。上述结论可以用图 来说明。
E ( RP ) E ( RB )
B
ρ =﹣1 ﹣
E ( RA )
0 图4 A
Байду номын сангаасσA
σB
σP
完全负相关时的组合收益与风险的关系
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结论
1．资产组合的收益与资产收益间的相关性无 而风险则与之有很大关系； 关，而风险则与之有很大关系； 2．完全正相关时，组合风险无法低于两者之 完全正相关时， 间最小的； 间最小的； 3．完全不相关时，可以降低风险，随着风险 完全不相关时，可以降低风险， 小的资产的投资比重增加，组合风险继续下降， 小的资产的投资比重增加，组合风险继续下降， 并在某一点达到风险最小。 并在某一点达到风险最小。 4．完全负相关时，组合风险可大大降低，甚 完全负相关时，组合风险可大大降低， 至可以使风险降为0 至可以使风险降为0。
σp =WAσ A+WBσ B
因此，当证券间的相关系数为 的时候 的时候， 因此，当证券间的相关系数为1的时候，组合的风险是组合 中单个证券风险的线性函数。 中单个证券风险的线性函数 显然， 可以看出， 显然，由Ep=WAEA+WBEB 可以看出，组合的预期收益是 组合中单个证券收益的线性函数。 组合中单个证券收益的线性函数。 也可以证明，在证券间的相关系数为 的时候 的时候， 也可以证明，在证券间的相关系数为1的时候，组合收益E(Rp ) 的线性函数。 也是组合风险 σ p 的线性函数。
该点的 WA =
4 1 ,WB = , E( RP ) = 7%,σ P = 179% 5 5
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3、完全负相关情况（ρ=-1）
• 当证券间完全负相关的时候，组合的方差为 当证券间完全负相关的时候，
2 2 Var ( RP ) = W A2σ A + WB2σ B − 2W AWBσ Aσ B = (W Aσ A − WBσ B ) 2
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证明： 证明：
∵σp =WAσA+WBσB =（1－WB）σA+WBσB =σA+WB（σB －σA ） ∴ WB = σ P − σ A σ B −σ A
σ P −σ A ∴ EP = E A + (EB − E A ) σ B −σ A
=
=
E Aσ B − E Aσ B + σ P ( E B − E A ) − E Bσ A + E Aσ A σ B −σ A
问题：如何进行证券组合，即 （1）将鸡蛋放在多少个篮子里？ （2）这些篮子有什么特点？
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二、证券组合与分散风险 •
n
E(Rp ) =