人教版八年级数学下册第18章平行四边形复习教案【思维导图】【教学目标】知识与技能目标1.掌握平行四边形的概念,性质及判定,会判定一个四边形是平行四边形.2.理解矩形、菱形和正方形的概念及它们与平行四边形之间的联系.3.掌握矩形、菱形和正方形的性质和判定,并能灵活运用它们解决问题.过程与方法目标1.在反思和交流的过程中,逐渐建立知识体系,让知识更加系统化.2.通过例题分析,提高学生熟练掌握平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质和判定方法,提高学生的逻辑思维能力.情感、态度与价值观目标引导学生独立思考,通过归纳、概括、实践等数学活动,感受获得成功的体验,形成科学的学习习惯.【教学重点】理解平行四边形与特殊平行四边形的区别和联系,梳理平行四边形、矩形、菱形、正方形的知识体系及应用方法.【教学难点】平行四边形与特殊平行四边形的定义、性质、判定的综合运用.【知识梳理夯实知识基础】专题一平行四边形的判定、性质及其应用【专题分析】在中考中常围绕平行四边形的概念、判定及性质命题,以选择题、填空题或解答题的形式出现,单独考查性质或者判定的情况较少,一般将平行四边形的判定和性质结合起来综合考查,解决这类问题应熟练掌握平行四边形的概念、判定方法和性质以及三角形等有关知识.例1已知△ABC中,AB=AC,D为△ABC所在平面内的一点,过D作DE∥AB,DF∥AC,DE,DF分别交直线AC、直线AB于点E,F.(1)如图(1),当点D在线段BC上时,通过观察,分析线段DE,DF,AB之间的数量关系,并说明理由;(2)当点D在直线BC上,其他条件不变时,试猜想线段DE,DF,AB之间的数量关系(请直接写出等式,不需证明);(3)如图(2),当点D是△ABC内一点时,过D作DE∥AB,DF∥AC,DE分别交直线AC、直线BC于点E,G,DF交直线AB于F.试猜想线段DE,DF,DG与AB之间的数量关系(请直接写出等式,不需证明).〔解析〕(1)先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形AEDF是平行四边形,则DE=AF.再根据平行线及等腰三角形的性质得出∠FDB=∠B,由等角对等边得到DF=FB,从而可得DE+DF=AF+FB=AB.(2)当点D 在直线BC上时,分三种情况:①当点D在CB延长线上时,如图①,先证明四边形AEDF是平行四边形,则DE=AF,再证明∠FDB=∠FBD,由等角对等边得到DF=FB,从而可得AB=AF－BF=DE－DF;②当点D在线段BC上时,同(1)可得,AB=DE＋DF;③当点D在BC的延长线上时,如图②,先证明四边形AEDF是平行四边形,则DF=AE,再证明∠CDE=∠DCE,由等角对等边得到CE=DE,从而可得AB=AC=AE －CE=DF－DE.(3)先证明四边形AEDF是平行四边形,则DF=AE,再证明∠EGC=∠C,由等角对等边得到EG=DE＋DG=CE,从而可得AB=AC=EC＋AE=DE ＋DG＋DF.解:(1)DE+DF=AB.理由如下:∵DE∥AB,DF∥AC,∴四边形AEDF是平行四边形,∴DE=AF.∵DF∥AC,∴∠FDB=∠C,∵AB=AC,∴∠C=∠B,∴∠FDB=∠B,∴DF=FB,∴DE+DF=AF+FB=AB.(2)当点D在直线BC上时,分三种情况:①当点D在CB延长线上时,如图①,AB=DE－DF;②当点D在线段BC上时,同(1)可得,AB=DE＋DF;③当点D在BC的延长线上时,如图②,AB=DF－DE.(3)AB=DE＋DG＋DF.[解题策略]本题考查了平行四边形的判定与性质,平行线的性质,等腰三角形中等角对等边,综合性较强,难度适中.(2)中分情况讨论是解题的关键.【跟踪练习1】△ABC是等边三角形,点D是边BC上的一点,以AD为边作等边三角形ADE,过点C作CF∥DE交AB于点F.(1)若点D是BC边的中点(如图①),求证EF=CD.(2)在(1)的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比.(3)若点D是BC边上的任意一点(除B,C外,如图②),那么(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.〔解析〕(1)根据△ABC和△AED是等边三角形,D是BC的中点,ED∥CF,可证明△ABD≌△CAF,进而可证明四边形EDCF是平行四边形.(2)在(1)的条件下可直接写出△AEF和△ABC的面积比.(3)根据ED∥FC及题意得出∠ACF=∠BAD,从而可证明△ABD≌△CAF,得出AD=ED=CF,进而可证明四边形EDCF是平行四边形,即可得出EF=DC.证明:(1)∵△ABC是等边三角形,D是BC的中点,∴AD⊥BC,且∠DAB=∠BAC=30°,∵△AED是等边三角形,∴AD=AE=ED,∠ADE=60°,∴∠EDB=90°-∠ADE=90°-60°=30°,∵ED∥CF,∴∠FCB=∠EDB=30°,∵∠ACB=60°,∴∠ACF=∠BAD=30°,又∵∠B=∠FAC=60°,AB=CA,∴△ABD≌△CAF,∴AD=CF,∵AD=ED,∴ED=CF,又∵ED∥CF,∴四边形EDCF是平行四边形,∴EF=CD.解:(2)△AEF和△ABC的面积比为1∶4.(3)成立.证明如下:∵ED∥FC,∴∠EDB=∠FCB,∵∠AFC=∠B+∠FCB=60°+∠FCB,∠BDA=∠ADE+∠BDE=60°+∠BDE,∴∠AFC=∠BDA.又∵∠B=∠FAC=60°,AB=CA,∴△ABD≌△CAF,∴AD=FC,∵AD=ED,∴ED=CF,又∵ED∥CF,∴四边形EDCF是平行四边形,∴EF=DC.专题二矩形的判定、性质及其应用【专题分析】在中考中有的单独考查矩形的性质,有的单独考查矩形的判定,但二者结合起来考查较多,可以以选择题、填空题或解答题的形式出现.例2如图,O是矩形ABCD的对角线的交点,E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD上的点,且AE=BF=CG=DH.(1)求证四边形EFGH是矩形;(2)若E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点,且DG⊥AC,OF=2 cm,求矩形ABCD 的面积.〔解析〕(1)首先证明四边形EFGH是平行四边形,然后再证明HF=EG.(2)根据题意求出矩形ABCD的宽CD和长BC,然后根据矩形面积公式求解.证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OB=OC=OD,∵AE=BF=CG=DH,∴AO-AE=OB-BF=CO-CG=DO-DH,即OE=OF=OG=OH,∴四边形EFGH是平行四边形,又OF+OH=OE+OG,即FH=EG,∴四边形EFGH是矩形.解:(2)∵G是OC的中点,∴GO=GC.∵DG⊥AC,∴∠DGO=∠DGC=90°.又∵DG=DG,∴△DGC≌△DGO,∴CD=OD.∵F是BO中点,OF=2 cm,∴BO=4 cm.∵四边形ABCD是矩形,∴DO=BO=4 cm,∴DC=4 cm,DB=8 cm,∴CB==4(cm)∴矩形ABCD的面积=4×4=16(cm2).[解题策略]本题主要考查矩形的判定,首先要判定四边形是平行四边形,然后证明对角线相等.【跟踪练习2】如图,在四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=CD,CE⊥AD,垂足为E.求证AE=CE.〔解析〕作BF⊥CE于F,证明Rt△BCF≌Rt△CDE,可得到BF=CE,只需证明BF=AE,即可说明AE=CE.证明:作BF⊥CE于F,∵∠BCF+∠DCE=90°,∠D+∠DCE=90°,∴∠BCF=∠D,又BC=CD,∠BFC=∠CED=90°,∴Rt△BCF≌Rt△CDE,∴BF=CE,又∠BFE=∠AEF=∠A=90°,∴四边形ABFE是矩形,∴BF=AE,∴AE=CE.[规律方法]在证明两条线段相等时,常利用等腰三角形的性质,或者将要求证的两条线段转化到两个三角形中证明三角形全等.专题三菱形的判定、性质及其应用【专题分析】考查菱形的判定、性质的题目,一般以选择题、填空题或解答题的形式出现,单独考查这个知识点的情况较少,一般与直角三角形的知识综合考查.例3 如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,E是CD上一点,BE交AC于F,连接DF.(1)求证∠BAC=∠DAC,∠AFD=∠CFE;(2)若AB∥CD,求证四边形ABCD是菱形;(3)在(2)的条件下,试确定E点的位置,使∠EFD=∠BCD,并说明理由.〔解析〕(1)利用已知条件和公共边,证得△ABC≌△ADC,即可证明∠BAC=∠DAC;再证明△ABF≌△ADF,得到∠AFB=∠AFD,再利用对顶角相等,易知结论;(2)由平行线的性质和(1)中结论,易知∠DAC=∠ACD,所以AD=CD,进而证得AB=CB=CD=AD,即可证明结论;(3)当BE⊥CD时,由(2)可知BC=CD,∠BCF=∠DCF,利用△BCF≌△DCF,证得∠CBF=∠CDF,再利用等角的余角相等即可证明∠EFD=∠BCD.证明:(1)∵AB=AD,CB=CD,AC=AC,∴△ABC≌△ADC.∴∠BAC=∠DAC,∵AB=AD,∠BAF=∠DAF,AF=AF,∴△ABF≌△ADF.∴∠AFB=∠AFD,又∵∠CFE=∠AFB,∴∠AFD=∠CFE.(2)∵AB∥CD,∴∠BAC=∠ACD.又∵∠BAC=∠DAC,∴∠DAC=∠ACD.∴AD=CD.∵AB=AD,CB=CD,∴AB=CB=CD=AD.∴四边形ABCD是菱形.解:(3)当BE⊥CD时,∠EFD=∠BCD.理由如下:∵四边形ABCD为菱形,∴BC=CD,∠BCF=∠DCF.又∵CF为公共边,∴△BCF≌△DCF,∴∠CBF=∠CDF.∵BE⊥CD,∴∠BEC=∠DEF=90°,从而可知∠EFD=∠BCD.[规律方法](1)证明两条线段相等或两角相等,常用的方法就是先证得三角形全等或从已知图形的性质出发,利用已知的特殊四边形或全等形,推出结论.(2)对于条件探索性问题,一般我们要从结论入手进行分析,得出符合结论的条件,确定思路,进而进行推理论证.【跟踪练习3】如图所示,DE是▱ABCD中∠ADC的平分线,EF∥AD,交DC 于F.(1)求证四边形AEFD是菱形;(2)如果∠BAD=60°,AD=5,求菱形AEFD的面积.〔解析〕(1)可先证明四边形DAEF是平行四边形,再由角的关系求得∠AED=∠1,根据等角对等边得AD=AE,再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形AEFD是菱形.(2)由已知求得两条对角线的长,根据菱形的面积等于两条对角线的积的一半,求得菱形的面积.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴DF∥AE,∵EF∥AD,∴四边形DAEF是平行四边形,∵DE是∠ADC的平分线,∴∠1=∠2,∵DF∥AE,∴∠2=∠AED,∴∠AED=∠1.∴AD=AE.∴四边形AEFD是菱形.解:(2)∵∠BAD=60°,∴△AED为等边三角形.∴DE=AD=AE=5,连接AF,与DE相交于O,则EO=,∴OA==,∴AF=5.=DE·AF=×5×5=.∴S菱形AEFD[解题策略]此题主要考查菱形的性质和判定以及面积的计算,使学生能够灵活运用菱形知识解决有关问题.专题四正方形的判定、性质及其应用【专题分析】涉及正方形的题目,一般综合性较强,可以与矩形、菱形结合起来,也可以与等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形和三角形全等的知识结合起来考查,还可以与坐标系等知识结合起来考查,可以以选择题、填空题或解答题的形式出现.例4如图,四边形ABCD是正方形,BE⊥BF,BE=BF,EF与BC交于点G.(1)求证AE=CF.(2)若∠ABE=55°,求∠EGC的大小.〔解析〕本题考查了等腰直角三角形、正方形的性质,“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”,全等三角形的性质与判定,解题的关键是证明△ABE≌△CBF.(1)用SAS证明△ABE≌△CBF.(2)∠EGC=∠EBG+∠BEF,而∠EBG=90°-∠ABE,△BEF是等腰直角三角形,从而可求∠EGC的度数.证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=90°.∵BE⊥BF,∴∠EBF=90°,从而可知∠ABE=∠CBF.∵AB=BC,∠ABE=∠CBF,BE=BF,∴△ABE≌△CBF,∴AE=CF.解:(2)∵BE=BF,∠EBF=90°,∴∠BEF=45°,∵∠ABC=90°,∠ABE=55°,∴∠GBE=35°,∴∠EGC=∠EBG+∠BEG=80°.[归纳总结]证明线段相等,通常转化成证明这两条线段所在的三角形全等得到对应线段相等.本题要充分利用正方形的性质“四条边相等;四个内角都等于90°;对角线互相垂直平分且相等,每一条对角线平分一组对角;正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形等”,并根据题意选取合适的性质加以运用.等腰直角三角形的两锐角相等,为45°,底边上的高、中线、顶角的平分线重合.三角形全等的判定方法:SAS,ASA,AAS,SSS,HL(只适用于直角三角形),根据图中的条件选取合适的方法证明三角形全等是关键.【跟踪练习4】在正方形ABCD外侧作直线AP,点B关于直线AP的对称点为E,连接BE,DE,其中DE交直线AP于点F.(1)依题意补全图(1);(2)若∠PAB=20°,求∠ADF的度数;(3)如图(2),若45°<∠PAB<90°,用等式表示线段AB,FE,FD之间的数量关系,并证明.〔解析〕对于(1),按照要求作出图形即可;对于(2),由四边形ABCD为正方形可得AB=AD,结合轴对称的性质,连接AE,得到两个等腰三角形△ABE和△ADE,进而使问题获解;对于(3),可以在(2)的基础上,进一步寻找线索,其中EF与FD都与点F有关,围绕这个关键点,结合轴对称的性质,连接BF,可得∠BFD是直角,最后根据勾股定理求解.解:(1)如图(1)所示.(2)如图(2),连接AE,∵点E是点B关于直线PA的对称点,∴∠PAB=∠PAE,AE=AB.∵∠PAB=20°,∴∠PAE=20°,∠BAE=40°.∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°,∴AE=AD,∠EAD=∠BAE+∠BAD=130°,∴∠ADF=∠AED=(180°-∠EAD)=25°.(3)如图,连接AE,BF,BD,设BF与AD的交点为点G.由轴对称知FE=FB,AE=AB,又∵AF=AF,∴△AEF≌△ABF,∴∠ABF=∠AEF.∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°,∴AE=AD,∴∠AEF=∠ADF,∴∠ABF=∠ADF,∵∠AGB=∠DGF,∴∠DFG=∠BAG=90°.在Rt△ABD中,AB2+AD2=BD2,∴2AB2=BD2.在Rt△BFD中,BF2+FD2=BD2,∴EF2+FD2=BD2,∴EF2+FD2=2AB2.专题五三角形的中位线定理【专题分析】单独考查三角形中位线知识的题目多以选择题和填空题的形式出现,与平行四边形、三角形等知识综合的题目多以解答题的形式出现.例5如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,过点E作EF∥AB,交BC于点F.(1)求证四边形DBFE是平行四边形;(2)当△ABC满足什么条件时,四边形DBFE是菱形?为什么?〔解析〕(1)由三角形中位线定理,得DE∥BC.又EF∥AB,故得结论.(2)四边形DBFE是平行四边形,则只要有一组邻边相等即可,故可选择条件AB=BC.证明:(1)∵D,E分别是AB,AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC.又∵EF∥AB,∴四边形DBFE是平行四边形.解:(2)本题答案不唯一.当AB=BC时,四边形DBFE是菱形.理由如下:∵D是AB的中点,∴BD=AB.由(1)知DE是△ABC的中位线,∴DE=BC.∵AB=BC,∴BD=DE.又∵四边形DBFE是平行四边形,∴四边形DBFE是菱形.【跟踪练习5】如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,BN⊥AN于点N,延长BN交AC于点D,已知AB=10,BC=15,MN=3.(1)求证BN=DN;(2)求△ABC的周长.〔解析〕(1)证明△ABN≌△ADN,即可得出结论.(2)先判定MN是△BDC的中位线,从而得出CD的长,由(1)可得AD=AB=10,从而计算周长.证明:(1)在△ABN和△ADN中,∴△ABN≌△ADN(ASA),∴BN=DN.解:(2)∵△ABN≌△ADN,∴AD=AB=10,又∵点M是BC中点,BN=DN,∴MN是△BDC的中位线,∴CD=2MN=6,故△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41.[解题策略]本题考查了三角形的中位线定理,一般出现高与角平分线重合的情况,都可以找到等腰三角形.专题六直角三角形斜边上的中线的性质【专题分析】这个知识点运用较多,可以以选择题、填空题或解答题的形式出现,单独考查这个知识点的情况较少,一般与其他知识综合考查.例6如图,在△ABC中,点D在AB上,且CD=CB,点E为BD的中点,点F为AC 的中点,连接EF交CD于点M,连接CE,AM.(1)求证EF=AC.(2)若∠BAC=45°,求线段AM,DM,BC之间的数量关系.〔解析〕(1)根据等腰三角形的“三线合一”及CD=CB,点E为BD的中点,可得△AEC是直角三角形,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,由点F为AC的中点,可得结论;(2)当∠BAC=45°时,可得△AEC为等腰直角三角形,由线段垂直平分线的性质可得AM=CM,再由CD=CB,得AM+DM=BC.证明:(1)∵CD=CB,E为BD的中点,∴CE⊥BD,∴∠AEC=90°.又∵F为AC的中点,∴EF=AC.解:(2)∵∠BAC=45°,∠AEC=90°,∴∠ACE=∠BAC=45°,∴AE=CE.又∵F为AC的中点,∴EF⊥AC,∴EF为AC的垂直平分线,∴AM=CM,∴AM+DM=CM+DM=CD.又∵CD=CB,∴AM+DM=BC.【跟踪练习6】如图所示,一根长为2a的木棍(AB)斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上,设木棍的中点为P.若木棍A端沿墙下滑,且B端沿地面向右滑行.(1)请判断木棍滑动的过程中,点P到点O的距离是否变化,并简述理由.(2)在木棍滑动的过程中,当滑动到什么位置时,△AOB的面积最大?简述理由,并求出面积的最大值.〔解析〕(1)木棍滑动的过程中,点P到点O的距离不会变化.根据是在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半;(2)当△AOB的斜边上的高等于中线OP 时,△AOB的面积最大,再求解.解:(1)不变.理由如下:在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半,∵斜边AB不变,∴斜边上的中线OP不变.(2)当△AOB的斜边上的高等于中线OP时,即△AOB为等腰直角三角形时,面积最大,理由如下:如图,设高为h,若h与OP不相等,则总有h<OP,∵AB长度不变,∴根据三角形的面积公式,有h与OP相等时,△AOB的面积最大,此时,S△AOB= AB·h=×2a·a=a2.∴△AOB的最大面积为a2.[解题策略]此题利用了在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半,理解△AOB的面积在什么情况下最大是解决本题的关键.专题七折叠问题【专题分析】折叠问题,由于四边形中的每一个知识点都可以涉及,且经常与三角形全等,等腰三角形,等边三角形,直角三角形等知识综合,因此可以以选择题、填空题或解答题的形式出现.例7 对一张矩形纸片ABCD进行折叠,具体操作如下:第一步:先对折,使AD与BC重合,得到折痕MN,展开;第二步:再一次折叠,使点A落在MN上的点A'处,并使折痕经过点B,得到折痕BE,同时,得到线段BA',EA',如图(1);第三步:再沿EA'所在的直线折叠,点B落在AD上的点B'处,得到折痕EF,同时得到线段B'F,展开,如图(2).(1)求证∠ABE=30°;(2)求证四边形BFB'E为菱形.〔解析〕(1)根据点M是AB的中点判断出A'是EF的中点,然后判断出BA'垂直平分EF,根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BE=BF,再根据等腰三角形三线合一的性质可得∠A'BE=∠A'BF,根据翻折的性质可得∠ABE=∠A'BE,然后根据矩形的四个角都是直角计算即可得证;(2)根据翻折变换的性质可得BE=B'E,BF=B'F,然后得出BE=B'E=B'F=BF,再根据四条边都相等的四边形是菱形证明.证明:(1)∵对折后AD与BC重合,折痕是MN,∴点M是AB的中点,从而可知A'是EF的中点,∵∠BA'E=∠A=90°,∴BA'垂直平分EF,∴BE=BF,∴∠A'BE=∠A'BF,由翻折的性质,得∠ABE=∠A'BE,∴∠ABE=∠A'BE=∠A'BF,∴∠ABE=×90°=30°.(2)∵沿EA'所在的直线折叠,点B落在AD上的点B'处,∴BE=B'E,BF=B'F,∵BE=BF,∴BE=B'E=B'F=BF,∴四边形BFB'E为菱形.[思维模式]解答折叠问题的一般思路:分清折叠前后的对应边、对应角、对称轴,利用对称轴是对应点所连线段的垂直平分线寻找相等的线段或角,再进行相关的计算或证明.【跟踪练习7】矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E是BC边上一点,连接AE,把∠B 沿AE折叠,使点B落在点B'处,当△CEB'为直角三角形时,求BE的长.解:(1)点B'落在AD上时,∠B'EC=90°.∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=∠B=90°,AD∥BC,由折叠可知∠AB'E=∠B=90°,AB=AB',可知四边形ABEB'为正方形,∴BE=AB=3.(2)点B'落在AC上时,∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=90°﹒由折叠可知∠AB'E=∠B=90°,AB=AB'=3,BE=B'E,∴∠EB'C=90°﹒在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,∴AC==5,∴CB'=AC-AB'=5-3=2.设B'E=BE=x,则CE=4-x,在Rt△B'CE中,由勾股定理得x2+22=(4-x)2,解得x=,即BE=﹒[归纳总结]探索动态与存在性问题的综合题,首先利用存在性的不同情况进行分类讨论;再确定位置,画出相应的图形;利用几何图形的性质、勾股定理等解决问题,求出存在性的条件.专题八四边形中的动点问题以及图形变换问题【专题分析】动点问题,一般难度较大,综合性强,常常以选择题、填空题的形式出现,分值为3分,大都将四边形的问题转化成三角形的问题解决.例8如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.(1)求证CE=CF;(2)若点G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?为什么?〔解析〕(1)由DF=BE,四边形ABCD为正方形可证得△CEB≌△CFD,从而证出CE=CF.(2)由(1)得CE=CF,∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,即∠ECF=∠BCD=90°,又∠GCE=45°,所以可得∠GCE=∠GCF,故可证得△ECG≌△FCG,故EG=FG=GD+DF.又因为DF=BE,所以可证出GE=BE+GD成立.证明:(1)在正方形ABCD中,BC=CD,∠B=∠CDF,∵BE=DF,∴△CBE≌△CDF(SAS).∴CE=CF.解:(2)GE=BE+GD成立.理由如下:由(1)得△CBE≌△CDF,∴∠BCE=∠DCF,∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,即∠ECF=∠BCD=90°.又∵∠GCE=45°,∴∠GCF=∠GCE=45°.∵CE=CF,∠GCE=∠GCF,GC=GC,∴△ECG≌△FCG(SAS).∴GE=GF.∴GE=DF+GD=BE+GD.[归纳总结]本题(2)问属于证明线段和差的问题,实质上是证明两条线段相等,注意运用平行四边形和特殊平行四边形的性质.在需要时,添加适当辅助线构造三角形,利用全等三角形的性质解决问题.【跟踪练习8】如图,在菱形ABCD中,AB=4 cm,∠ADC=120°,点E,F同时由A,C两点出发,分别沿AB,CB方向向点B匀速移动(到点B停止),点E的速度为1 cm/s,点F的速度为2 cm/s,经过t s,△DEF为等边三角形,则t的值为.〔解析〕连接BD,如图.由已知条件得到△ADB是等边三角形,再由经过t s,△DEF为等边三角形,可推导出△ADE与△BDF全等,根据全等三角形的对应边相等,可得AE=BF,列出方程即可求解.在菱形ABCD中,∠ADC=120°,AB=AD,∠DAB=180°-∠ADC=60°,∴△ADB是等边三角形,∴AD=DB,∠ADB=60°,∵△DEF为等边三角形,∴DE=DF,∠EDF=60°,∴∠ADB-∠EDB=∠EDF-∠EDB,即∠ADE=∠BDF.在△ADE和△BDF中, ∴△ADE≌△BDF(SAS),∴AE=BF,∵AE=t cm,CF=2t cm,∴BF=(4-2t)cm,∴t=4-2t,解得t=.故填.[解题策略]本题是动点问题.以菱形为背景,菱形中有一个内角为120度,连接较短的一条对角线,就有2个等边三角形.两个动点经过运动,在菱形内部与菱形的一个顶点构成等边三角形,可以从全等三角形的探寻着手,构造出正确的方程再求解.专题九数形结合思想【专题分析】在四边形这一章中,数形结合思想应用广泛.一般以选择题、填空题或解答题的形式出现,有时需要自己结合题意画图,使问题的解决更加直观,解题效率事半功倍.例9菱形ABCD中,若对角线长AC=8 cm,BD=6 cm,则边长AB=cm.〔解析〕根据菱形的对角线互相垂直平分,求出对角线长的一半,然后利用勾股定理列式计算即可得解.如图,设AC,BD交于点O,∵菱形ABCD中,对角线长AC=8 cm,BD=6 cm,∴AO=AC=4 cm,BO=BD=3 cm.∵菱形的对角线互相垂直,∴在Rt△AOB中,AB===5(cm).故填5.[归纳总结]本题考查了菱形的性质和勾股定理,需要自己画图,让问题迎刃而解.【跟踪练习9】如图,有一矩形纸片ABCD,AB=8,AD=17,将此矩形纸片折叠,使顶点A落在BC边的A'处,折痕所在直线同时经过边AB,AD(包括端点),设BA'=x,则x的取值范围是.〔解析〕本题考查了翻折变换的性质,勾股定理的应用,难点在于判断出BA'的最小值与最大值时的情况,作出图形更形象直观.作出图形,根据矩形的对边相等可得BC=AD,CD=AB,当折痕经过点D时,根据翻折的性质可得A'D=AD,利用勾股定理列式求出A'C,再求出BA';当折痕经过点B时,根据翻折的性质可得BA'=AB,此两种情况为BA'的最小值与最大值的情况,然后写出x的取值范围即可.∵四边形ABCD是矩形,AB=8,AD=17,∴BC=AD=17,CD=AB=8.①当折痕经过点D时,如图(1).由翻折的性质得A'D=AD=17,在Rt△A'CD中,A'C===15.∴BA'=BC-A'C=17-15=2.②当折痕经过点B时,如图(2).由翻折的性质得BA'=AB=8.∴x的取值范围是2≤x≤8.故填2≤x≤8.[归纳总结]一般是先根据折叠得出对应的图形全等,对应的线段相等,对应的角相等,再根据勾股定理及直角三角形的相关知识计算线段的长度,问题便迎刃而解.专题十方程思想【专题分析】在本章中,方程思想应用广泛.一般以选择题、填空题的形式出现,每个小题3分,一般是四边形的知识与勾股定理结合起来考查.例10如图,矩形ABCD 中,AB =8,点E 是AD 上的一点,AE =4,BE 的垂直平分线HF 交BC 的延长线于点F ,连接EF 交CD 于点G ,若G 是CD 的中点,则BC 的长是 . 〔解析〕 本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质,解题的关键是通过勾股定理列出方程再求解.∵G 是CD 的中点,∴DG =CG =4.在△DGE 与△CGF 中, ∴△DGE ≌△CGF.∴CF =DE ,FG =EG.令BC =AD =x ,则CF =DE =x -4,∴BF =2x -4.在Rt △DGE 中,根据勾股定理可得EG ==.∵HF 垂直平分BE ,∴EF =BF ,∴(2x -4)2=4[(x -4)2+42],解得x =7.故填7.【跟踪练习10】如图，将边长为2cm 的两个互相重合的正方形纸片按住其中一个不动，另一个绕点B 顺时针旋转一个角度α（0°＜α＜90°），若两正方形重为334cm 2，则这个旋转角度为_________叠部分的面积度．〔解析〕设A′D′与CD 的交点为E ，连接BE ；由于A′B=BC ，易证得△A′BE ≌△CBE ，因此两者的面积相等，即可根据△CBE 的面积求得CE 的值，从而通过解直角三角形求出∠CBE 、∠CBA′的度数，进而可求得旋转角的度数．解：设A′D′与CD 的交点为E ，连接BE ．∵A′B=BC ，BE=BE ，∴Rt △A′BE ≌Rt △CBE ．（HL ）∴∠A′BE=∠EBC ，且S △BA′E =S △BCE =332． 在Rt △BCE 中，BC=2，则：S △BCE =21×2×CE=332，∴CE=332． ∴tan ∠EBC=BC EC =33，即∠EBC=30°． ∴∠A′BC=2∠EBC=60°，∠ABA′=90°－∠A′BC=30°．故旋转的角度为30°．[点评]此题主要考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及三角形的面积、解直角三角形等相关知识，综合性较强．【跟踪练习11】 如图,在矩形ABCD 中,AD =3AB ,点G ,H 分别在AD ,BC 上,连接BG ,DH ,且BG ∥DH ,当AG= AB 时,四边形BHDG 为菱形.〔解析〕 根据四边形BHDG 为菱形可以得到四条边都相等,设其边长为x ,利用勾股定理列方程求解即可得到答案.在矩形ABCD 中,AD =3AB ,不妨设AB =1,则AD =3,∵四边形BHDG 为菱形,∴BG =GD ,不妨设BG =GD =x ,则AG =3-x ,在Rt △ABG 中,12+(3-x )2＝x 2,解得x =35,∴AG ＝AD －GD ＝3AB －35AB ＝34AB .专题十一 分类讨论思想【专题分析】分类讨论思想的应用广泛,应用时,常常运用数形结合法,先画出所有几何图形,再分类讨论,解决问题.可以以选择题、填空题或解答题的形式出现.例11如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,四边形OABC 是矩形,点A ,C 的坐标分别为A (10,0),C (0,4),点D 是OA 的中点,点P 为线段BC 上的点.小明同学写出了一个以OD 为腰的等腰三角形ODP 的顶点P 的坐标(3,4),请你写出其余所有符合这个条件的P 点坐标: .〔解析〕 根据点A ,C 的坐标求出OA ,OC 的长,再根据线段中点的定义求出OD =5,过点P 作PE ⊥x 轴于E ,由已知点P (3,4)判断出OP =OD ,再根据PD =OD 利用勾股定理求得DE 的长,然后分点E 在点D 的左边与右边两种情况求出OE ,然后写出点P 的坐标即可.∵A (10,0),C (0,4),∴OA =10,OC =4.∵点D 是OA 的中点,∴OD =OA =×10=5.过点P 作PE ⊥x 轴于E ,如图,则PE =OC =4,∵P (3,4),∴OP ==5,∴此时OP =OD.当PD =OD 时,由勾股定理得DE =3,若点E 在点D 的左边,则OE =5-3=2,此时,点P 的坐标为(2,4).若点E 在点D 的右边,则OE =5+3=8,此时,点P 的坐标为(8,4).综上所述,其余的点P 的坐标为(2,4)或(8,4).故填(2,4)或(8,4).[归纳总结] 本题是代数与几何的综合题,用到的数学思想方法较多,如数形结合思想、转化思想、分类讨论思想等.做题时要灵活运用数学思想来解决问题,结合图形会由点的坐标转化为线段的长度,根据分类讨论思想以OD 为腰的等腰三角形分OP =OD ,DP =OD 两种情况,同时DP =OD 时,点P 的坐标又分两种情况.要想正确地解答此题,必须综合利用矩形、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识解决问题.【跟踪练习12】在校园文化建设活动中,需要裁剪一些菱形来美化教室.现有平行四边形ABCD 的邻边长分别为1,a (a >1)的纸片,先减去一个菱形,余下一个四边形,在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形,又余下一个四边形,…,依此类推,请画出剪3次后余下的四边形是菱形的裁剪线的各种示意图,并求出a 的值.〔解析〕 本题重点考查了学生的操作能力和数学中分类讨论思想的应用,解题的关键是掌握裁剪时的横竖组合.裁剪方向有横向和竖向两种,根据裁剪次数和a >1,可分为3竖;2竖一横;1竖两横;1竖1横1竖共四种情况,画出图形后利用菱形的性质求解.如图(1),此时a =4.如图(2),此时a =2+21=25.如图(3),此时a =1+31=34.如图(4),此时a =1+32=35.(1) (2) (3) (4)[归纳总结] 对于图形分割类问题,一般要抓住分割时的要求,通过分类讨论的方法找到分割的所有可能的结果.。
