一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分）
1.椭圆的焦距为（）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】
由椭圆方程得出,，进而可求出，即可求出结果.
【详解】因为椭圆的方程为，所以,，因此，所以，所以焦距为.
故选C
【点睛】本题主要考查椭圆的焦距，由椭圆方程求出,即可，属于基础题型.
2.命题：“，”的否定是（）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】
由命题的否定，可直接写出结果.
【详解】因为全称命题的否定为特称命题，所以命题：“，”的否定是“，”.故选A
【点睛】本题主要考查含有一个量词的命题的否定，改量词改结论即可，属于基础题型.
3.在空间直角坐标系中，已知点，，则线段的中点的坐标是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
，，
线段的中点的坐标，即
故选
4.下列命题是真命题的是()
A. 且
B. 1是奇数且1是素数
C. 2是偶数或3不是素数
D. 周长或面积相等的两个三角形全等【答案】C
【解析】
【分析】
根据复合命题的真假，逐项判断即可.
【详解】A，故A错；B中1不是素数，故B错；C中“2是偶数”是真，“3不是素数”为假，所以“2是偶数或3不是素数”为真；D中周长或面积相等的两个三角形都不一定全等，所以D错.
故选C
【点睛】本题主要考查复合命题的真假，属于基础题型.
5.抛物线的焦点到准线的距离是()
A. 1
B. 2
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由抛物线的焦点到准线的距离等于p，可直接得出结果.
【详解】因为抛物线的方程为，即，所以，
因此焦点到准线的距离是.
故选D
【点睛】本题主要考查抛物线的性质，熟记性质即可，属于基础题型.
6.已知空间直角坐标系中点，若在z轴上取一点，使得最小，则点的坐标为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意，若最小，只需轴，进而可求出结果.
【详解】因为，若在z轴上取一点，使得最小，只需轴，所以点竖坐标为3，故点的坐标为.
故选C
【点睛】本题主要考查空间中点的坐标，属于基础题型.
7.“”是“方程表示椭圆”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
设，表示圆，不一定为椭圆.反之，若方程表示椭圆，则.故为必要不充分条件.
8.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则可能使的是（）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】
若，则，因此只需向量数量积为0即可.
【详解】A中，所以排除A；B中，所以排除B；
C中，所以排除C；D中，所以，能使.
故选D
【点睛】本题主要考查空间向量的方法判断线面平行，由向数量积为0即可，属于基础题型.
9.已知三点，，则以为方向向量的直线与平面系是
（）
A. 垂直
B. 不垂直
C. 平行
D. 以上都有可能
【答案】A
【解析】
由题意，，，所以以为方向向量的直线与平面垂直，故选A.
10.已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为．若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由题意得，，设，由，得 ,因为在的渐近线上存在点，则，
即，又因为为双曲线，则，故选B.
【点睛】本题主要考查了双曲线的基本性质的应用，抛物线基本性质的应用，向量数量积坐标运算以及一元二次方程根的判别式的运用，属于中档题，首先可画一张草图，分析其中的几何关系，然后将系用代数形式表示出来，即可得到一个一元二次方程，若要使得一元二次方程有实数解，，水到渠成，即可得到答案，因此将几何关系转化成方程是解题的关键.
11.若的三个顶点分别为，，，则角的大小为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出与的坐标，再由向量的夹角公式即可求出结果.
【详解】因为，，，
所以，，
所以，所以.
故选A
【点睛】本题主要考查向量的夹角公式，由向量的坐标运算即可求解，属于基础题型.
12.已知正方体的棱长为1，点是平面的动点，若点到直线的距离等于点到直线的距离，则动点的轨迹所在的曲线是（）
A. 抛物线
B. 双曲线
C. 椭圆
D. 直线
【答案】B
【解析】
【分析】
以点为坐标原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系，设，根据点到直线的距离等于点到直线的距离，建立等量关系，即可求出结果. 【详解】以点为坐标原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系，
因为点是平面的动点，所以设，因此到直线的距离为，点到直线的距离为,
又因为点到直线的距离等于点到直线的距离，
所以，即，为双曲线.
故选B
【点睛】本题主要考查立体几何中点的轨迹问题，由空间向量的方法，列等量关系即可，属于常考题型.
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分）
13.双曲线的实轴长为_______。
【答案】
【解析】
【分析】
由双曲线方程可直接得出结果.
【详解】因为双曲线中，所以，因此实轴长为.
