【精品推荐】章末检测达标练(二)

综合检测(二)(时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．甲击中目标的概率是12，如果击中赢10分，否则输11分，用X表示他的得分，计算X的均值为()A．0.5分B．－0.5分C．1分D．5分【解析】E(X)＝10×12＋(－11)×12＝－12.【答案】 B2．一枚硬币连续掷3次，至少有一次出现正面的概率是()A.38 B.12C.58 D.78【解析】P(至少有一次出现正面)＝1－P(三次均为反面)＝1－(12)3＝78.【答案】 D3．已知离散型随机变量X的分布列如下：则其数学期望E(X)A．1B．0.6C．2＋3m D．2.4【解析】由分布列的性质得m＝1－0.5－0.2＝0.3，所以E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4.【答案】 D4．已知随机变量X～B(6，12)，则D(2X＋1)等于()A．6 B．4 C．3 D．9 【解析】D(2X＋1)＝D(X)×22＝4D(X)，D(X)＝6×12×(1－12)＝32，∴D(2X＋1)＝4×32＝6.【答案】 A5．(2012·石家庄高二检测)某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拨，他第一次失败，第二次成功的概率是()A.110 B.210C.810 D.910【解析】电话号码的最后一个数可能是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中的一个数，所以他第一次失败，第二次成功的概率为910×19＝110.【答案】 A6．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A＝{两个点数互不相同}，B ＝{出现一个5点}，则P(B|A)＝()A.13 B.518C.16 D.14【解析】出现点数互不相同的共有6×5＝30种，出现一个5点共有5×2＝10种，∴P(B|A)＝n(AB)n(A)＝13.【答案】 A7．(2012·宜昌高二检测)设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≤c)＝P(X>c)，则c＝()A．σ2B．σC．μD．－μ【解析】 在N (μ，σ2)中，图象关于直线X ＝μ对称， ∴P (X ≤μ)＝P (X >μ)＝12，∴c ＝μ. 【答案】 C8．正态分布密度函数为f (x )＝122π ，x ∈R ，则其标准差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8【解析】 根据f (x )＝1σ2π，对比f (x )＝122π知σ＝2.【答案】 B9．(2012·枣阳高二检测)投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是( )A.512B.12C.712D.34【解析】 P (A )＝12，P (B )＝16，所以事件A ，B 中至少有一件发生的概率为P ＝1－(1－12)(1－16)＝1－12×56＝712.【答案】 C10．节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价每束5元；节日卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X 服从如表所示的分布列：若进这种鲜花A ．706元 B ．690元 C ．754元D ．720元【解析】 ∵E (X )＝200×0.2＋300×0.35＋400×0.3＋500×0.15＝340， ∴利润的均值为340×(5－2.5)－(500－340)×(2.5－1.6)＝706(元)． 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)11．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X ，则P (X ≤6)＝________.【解析】 P (X ≤6)＝P (X ＝4)＋P (X ＝6)＝C 44＋C 34C 13C 47＝1335.【答案】 133512．(2013·宿州高二检测)某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是p .若此人未能通过的科目数ξ的均值是2，则p ＝________.【解析】 因为通过各科考试的概率为p ，所以不能通过考试的概率为1－p ，易知ξ～B (6,1－p )，所以E (ξ)＝6(1－p )＝2，解得p ＝23.【答案】 2313．(2013·郑州高二检测)A 、B 、C 相互独立，如果P (AB )＝16，P (B C )＝18，P (AB C )＝18，则P (A B )＝________.【解析】 设P (A )＝a ，P (B )＝b ，P (C )＝c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝16，(1－b )c ＝18，ab (1－c )＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝12，c ＝14.∴P (A B )＝(1－13)×12＝13.【答案】1 314．(2013·福州八县高二联考)一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：①从中任取3球，恰有一个白球的概率是3 5；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为4 3；③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为2 5；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为2627.其中所有正确结论的序号是________．【解析】①恰有一个白球的概率P＝C12C24C36＝35，故①正确；②每次任取一球，取到红球次数X～B(6，23)，其方差为6×23×(1－23)＝43，故②正确；③设A＝{第一次取到红球}，B＝{第二次取到红球}．则P(A)＝23，P(AB)＝4×36×5＝25，∴P(B|A)＝P(AB)P(A)＝35，故③错；④每次取到红球的概率P＝2 3，所以至少有一次取到红球的概率为1－(1－23)3＝2627，故④正确．【答案】①②④三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)(2013·课标全国卷Ⅰ)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为1 2，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单元：元)，求X的分布列及数学期望．【解】(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1与A2B2互斥，所以P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2)＝416×116＋116×12＝364.(2)X可能的取值为400,500,800，并且P(X＝400)＝1－416－116＝1116，P(X＝500)＝116，P(X＝800)＝1 4，所以以X的分布列为EX＝400×1116＋500×116＋800×14＝506.25.16．(本小题满分12分)设甲、乙两家灯泡厂生产的灯泡寿命X(单位：小时)和Y的分布列分别为：【解】由期望的定义，得E(X)＝900×0.1＋1 000×0.8＋1 100×0.1＝1 000，E(Y)＝950×0.3＋1 000×0.4＋1 050×0.3＝1 000.两家灯泡厂生产的灯泡寿命的期望值相等，需进一步考查哪家工厂灯泡的质量比较稳定，即比较其方差．由方差的定义，得D(X)＝(900－1 000)2×0.1＋(1 000－1 000)2×0.8＋(1 100－1 000)2×0.1＝2 000，D(Y)＝(950－1 000)2×0.3＋(1 000－1 000)2×0.4＋(1 050－1 000)2×0.3＝1 500.∵D(X)＞D(Y)，∴乙厂生产的灯泡质量比甲厂稳定，即乙厂生产的灯泡质量较好．17．(本小题满分12分)(2013·珠江高二检测)为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数，数学期望E(X)＝3，标准差D(X)为6 2.(1)求n，p的值并写出X的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需补种，求需要补种沙柳的概率．【解】因为X～B(n，p)，由E(X)＝np＝3，D(X)＝np(1－p)＝32，得1－p＝12，从而n ＝6，p ＝12.X 的分布列为(2)记“需要补种沙柳”为事件A ，则P (A )＝P (X ≤3)，得P (A )＝1＋6＋15＋2064＝2132(或P (A )＝1－P (X ＞3)＝1－15＋6＋164＝2132.图118．(本小题满分14分)(2013·四川高考)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率P i (i ＝1,2,3)； (2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表(部分)当n ＝2 100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y 的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．【解】 (1)变量x 是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝12；当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝13； 当x 从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝16.所以输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16.(2)当n ＝2 100时，甲、乙所编程序各自输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频率如下：比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大． (3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3. P (ξ＝0)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫130×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，P (ξ＝1)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫131×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49，P (ξ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝29，P (ξ＝3)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫133×⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝127.故ξ的分布列为所以Eξ＝0×827＋1×49＋2×29＋3×127＝1. 即ξ的数学期望为1.（19）（本小题满分12分）若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137，359，567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得1-分；若能被10整除，得1分.（I ）写出所有个位数字是5的“三位递增数” ；（II ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX .19. 解：（Ⅰ）125,135,145,235,245,345； （Ⅱ）X 的所有取值为-1,0,1.32112844443339992111(0),(1),(1)31442C C C C C P X P X P X C C C ⋅+====-===== 甲得分X 的分布列为：X 0-1 1P23114 1142211140(1)13144221EX =⨯+⨯-+⨯=20. 设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，I 求T 的分布列与数学期望ET ；()II 刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．（Ⅰ）由统计结果可得T 的频率分布为从而ET （Ⅱ）设12,T T 分别表示往、返所需时间，12,T T 的取值相互独立，且与T 的分布列相同。

章末综合测评(二)(时间：60分钟分值：100分)一、选择题(本题共12小题，每小题4分．在每小题给出的四个选项中，第1～7题只有一项符合题目要求，第8～12题有多项符合题目要求．全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1．游泳运动员以恒定的速率垂直于河岸渡河，当水速突然变大时，对运动员渡河时间和经历的路程产生的影响是()A．路程变大，时间延长B．路程变大，时间缩短C．路程变大，时间不变D．路程和时间均不变C[运动员渡河可以看成是两个运动的合运动：垂直河岸的运动和沿河岸的运动．运动员以恒定的速率垂直河岸渡河，在垂直河岸方向的分速度恒定，由分运动的独立性原理可知，渡河时间不变；但是水速变大，沿河岸方向的运动速度变大，因时间不变，则沿河岸方向的分位移变大，总路程变大，故选项C正确．] 2．如图所示，在水平地面上匀速运动的汽车，通过定滑轮用绳子吊起一物体，若汽车和被吊物体在同一时刻的速度大小分别为v1和v2，则下列说法中正确的是()A．物体在做匀速运动且v2＝v1B．物体在做加速运动且v2＞v1C．物体在做加速运动且v2＜v1D．物体在做减速运动且v2＜v1C[对v1速度分解如图所示，得v2＝v1cos θ，所以v2＜v1；由于v1不变，θ角变小，cos θ变大，故v2变大，只有选项C正确．]3．将一小球以初速度v从地面竖直上抛后，经过4 s小球离地面高度为6 m，若要使小球竖直上抛后经2 s到达相同高度，g取10 m/s2.不计阻力，则初速度v0应()A．大于v B．小于vC．等于v D．无法确定B[由公式h＝v0t－12gt2得4 s时，初速度v＝21.5 m/s,2 s时初速度v＝13m/s，故选B.]4．弹道导弹是指在火箭发动机推力作用下按预定轨道飞行，关闭发动机后按自由抛体轨迹飞行的导弹，如图所示．若关闭发动机时导弹的速度是水平的，不计空气阻力，则导弹从此时起水平方向的位移()A．只由水平速度决定B．只由离地高度决定C．由水平速度、离地高度共同决定D．与水平速度、离地高度都没有关系C[不计空气阻力，关闭发动机后导弹水平方向的位移x＝v0t＝v02h g，可以看出水平位移由水平速度、离地高度共同决定，选项C正确．] 5．质量为2 kg的质点在xOy平面内做曲线运动，在x方向的速度图象和y 方向的位移图象如图所示，下列说法正确的是()A．质点的初速度为4 m/sB．质点所受的合外力为3 NC．质点在2 s内的运动轨迹为直线D．2 s末质点速度大小为6 m/sB[由质点沿x方向的速度图象可知，在x方向的加速度a x＝6－32m/s2＝1.5 m/s2，故质点沿x方向受到的合力F x＝ma x＝3 N；由质点沿y方向的位移图象可知，在y方向做匀速直线运动，速度v y＝4 m/s，质点沿y方向受到的合力F y＝0.因此质点的初速度v0＝v2x＋v2y＝32＋42m/s＝5 m/s，A错误．受到的合外力F合＝F x＝3 N，B正确．显然，质点初速度方向与合外力方向不共线，质点做曲线运动，C错误.2 s末质点的速度v＝62＋42m/s＝213 m/s，D错误．]6．如图所示，某人向对面的山坡上水平抛出两个质量不等的石块，分别落到A、B两处．不计空气阻力，则落到B处的石块()A．初速度大，运动时间短B．初速度大，运动时间长C．初速度小，运动时间短D．初速度小，运动时间长A[由于B点在A点的右侧，说明水平方向上B点的距离更远，而B点距抛出点竖直方向上的距离较小，故运动时间较短，二者综合说明落在B点的石块的初速度较大，故A正确，B、C、D错误．]7．如图所示，P是水平面上的圆弧凹槽，从高台边B点以某速度v0水平飞出的小球，恰能从固定在某位置的凹槽的圆弧轨道的左端A点沿圆弧切线方向进入轨道．O是圆弧的圆心，θ1是OA与竖直方向的夹角，θ2是BA与竖直方向的夹角，则()A.tan θ2tan θ1＝2 B ．tan θ1tan θ2＝2 C.1tan θ1tan θ2＝2 D.tan θ1tan θ2＝2 B [由题意知：tan θ1＝v y v 0＝gt v 0，tan θ2＝x y ＝v 0t 12gt 2＝2v 0gt .由以上两式得：tan θ1tan θ2＝2，故B 项正确．]8．河宽为d ，水流速度为v 1，船在静水中速度为v 2，要使小船在渡河过程中通过路程s 最短，则下列说法中正确的是( )A ．v 1＜v 2时，s ＝dB ．v 1＜v 2时，s ＝v 21＋v 22v 2d C ．v 1＞v 2时，s ＝v 1v 2d D ．v 1＞v 2时，s ＝v 2v 1d AC [渡河的最短路程有两种情况：第一，当v 2＞v 1时，可以使实际运动方向垂直河岸，即s ＝d ，A 正确. 第二，当v 2＜v 1时，不可能垂直河岸过河，但存在最短路程，即实际运动方向与垂直河岸方向的夹角最小，此时实际速度v与v 2垂直，如图所示．由几何关系知最短路程(OA 间的距离)s ＝v 1v 2d ，故C 正确．]9．如图所示，相距l 的两小球A 、B 位于同一高度h (l ，h 均为定值)．将A 向B 水平抛出的同时，B 自由下落．A 、B 与地面碰撞前后，水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反．不计空气阻力及小球与地面碰撞的时间，则( )A ．A 、B 在第一次落地前能否相碰，取决于A 的初速度B ．A 、B 在第一次落地前若不碰，此后就不会相碰C ．A 、B 不可能运动到最高处相碰D ．A 、B 一定能相碰AD [A 的竖直分运动也是自由落体运动，故与B 的高度始终相同．A 、B 若能在第一次落地前相碰，必须满足v ·t >l ，t ＝2hg ，即取决于A 的初速度，故A 正确．若A 、B 在第一次落地前未碰，则由于A 、B 反弹后的竖直分运动仍然相同，且A 的水平分速度不变，所以A 、B 一定能相碰，而且在B 运动的任意位置均可能相碰，故B 、C 项均错误，D 项正确．]10．如图所示，一小球以初速度v 0沿水平方向射出，恰好垂直地射到一倾角为30°的固定斜面上，并立即反方向弹回．已知反弹速度的大小是入射速度大小的34，则下列说法中正确的是( )A ．在碰撞中小球的速度变化大小为72v 0 B ．在碰撞中小球的速度变化大小为12v 0 C ．小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离的比为 3D ．小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为32AD [小球垂直落到斜面上，根据平行四边形定则将速度分解，如图所示，则v ＝v 0sin 30°＝2v 0，反弹后的速度大小为v ′＝34v ＝32v 0，碰撞中小球的速度变化大小为Δv ＝v ′－v ＝72v 0，选项A 正确，选项B 错误；小球在竖直方向下落的距离为y ＝v 2y 2g ＝(v cos 30°)22g ＝3v 202g，水平方向通过的距离为x ＝v 0t ＝v 0·v cos 30°g ＝3v 20g ，位移之比为y x ＝32，选项D 正确，选项C 错误．] 11.如图所示，一轻绳通过无摩擦的小定滑轮O 与小球B 连接，另一端与套在光滑竖直杆上的小物块A 连接，杆两端固定且足够长，物块A 由静止从图示位置释放后．先沿杆向上运动．设某时刻物块A 运动的速度大小为v A ，小球B 运动的速度大小为v B ，轻绳与杆的夹角为θ.则( )A ．v A ＝vB cos θB ．v B ＝v A cos θC ．小球B 减小的重力势能等于物块A 增加的动能D ．当物块A 上升到与滑轮等高时，它的机械能最大BD [A 的速度可分解为沿绳方向上的v A 1和垂直绳方向上的v A 2，有v A 1＝v A cos θ＝v B ，得v A ＝v B cos θ，A 错，B 对；由能量守恒定律知，小球B 减小的重力势能转化为A 、B 系统的动能与A 的重力势能，C 错；在由图示位置上升至与滑轮等高的过程中，绳的拉力对A 做正功，A 的机械能增加，过了此位置继续上升，绳的拉力对A 做负功，A 的机械能减小，故在与滑轮等高时A 机械能最大，D 对．]12．如图所示，倾角为θ的斜面上有A、B、C三点，现从这三点分别以不同的初速度水平抛出一小球，三个小球均落在斜面上的D点，今测得AB∶BC∶CD＝5∶3∶1由此可判断()A．A、B、C处三个小球运动时间之比为1∶2∶3B．A、B、C处三个小球落在斜面上时速度与初速度间的夹角之比为1∶1∶1 C．A、B、C处三个小球的初速度大小之比为3∶2∶1D．A、B、C处三个小球的运动轨迹可能在空中相交BC[由于沿斜面AB∶BC∶CD＝5∶3∶1，故三个小球竖直方向运动的位移之比为9∶4∶1，运动时间之比为3∶2∶1，A项错误；斜面上平抛的小球落在斜面上时，速度与初速度之间的夹角α满足tan α＝2tan θ，与小球抛出时的初速度大小和位置无关，因此B项正确；同时tan α＝gtv0，所以三个小球的初速度之比等于运动时间之比，为3∶2∶1，C项正确；三个小球的运动轨迹(抛物线)在D点相交，因此不会在空中相交，D项错误．]二、实验题(本题共2小题，共14分)13．(6分)如图所示，在探究平抛运动的实验中，用一张印有小方格的纸记录运动轨迹，小方格的边长为L＝1.25 cm.若小球在平抛运动轨迹上的几个位置如图中的a、b、c、d所示，小球的初速度是m/s，小球在b点的速率是m/s.[解析]a→b、b→c、c→d的水平位移均为2L，因为小球在水平方向做匀速直线运动，所以这三段运动的时间间隔相等，设为T.在竖直方向相邻的相等时间内的位移之差相等且为L，则有L＝gT2，解得T＝Lg在水平方向上有2L＝v0T，解得v0＝2LT＝2gL代入数据，得v0＝0.707 m/s小球在b点的速率v b＝v20＋v2y，其中v y＝3L2T＝34v0代入数据，得v b＝0.884 m/s.[答案]0.7070.88414．(8分)如图所示是“研究平抛物体运动”的实验装置图，通过描点画出平抛小球的运动轨迹．(1)以下是实验过程中的一些做法，其中合理的有．a．安装斜槽轨道，使其末端保持水平b．每次小球释放的初始位置可以任意选择c．每次小球应从同一高度由静止释放d．为描出小球的运动轨迹，描绘的点可以用折线连接(2)实验得到平抛小球的运动轨迹，在轨迹上取一些点，以平抛起点O为坐标原点，测量它们的水平坐标x和竖直坐标y，图中y-x2图象能说明平抛小球运动轨迹为抛物线的是．(3)如图所示是某同学根据实验画出的平抛小球的运动轨迹，O为平抛的起点，在轨迹上任取三点A、B、C，测得A、B两点竖直坐标y1为5.0 cm、y2为45.0 cm，A、B两点水平间距Δx为40.0 cm，则平抛小球的初速度v0为m/s，若C点的竖直坐标y3为60.0 cm，则小球在C点的速度v C为m/s.(结果保留2位有效数字，g取10 m/s2)[解析](1)为使小球离开斜槽后做平抛运动，需使斜槽末端水平，a正确．每次使小球从同一点由静止释放，以保证每次做平抛运动的初速度v0相同，从而保证每次轨迹均相同，b错误，c正确．作图时应用平滑的曲线将各点连接起来，d错误．(2)由平抛运动规律可知x＝v0t，y＝12gt2，解得y＝g2v20x2，c正确．(3)由y＝12gt2，解得tA＝0.1 s，t B＝0.3 s．由Δx＝v0t＝v0(t B－t A)，解得v0＝2.0 m/s，C点的竖直速度v y＝2gy3＝12m/s，故v C＝v20＋v2y＝4.0 m/s.[答案](1)ac(2)c(3)2.0 4.0三、计算题(本题共4小题，共38分)15．(8分)跳伞运动员以5 m/s的速度竖直匀速降落，在离地面高度h＝10 m 的地方掉了一颗扣子，设扣子受到的空气阻力可以忽略，且跳伞运动员的运动速度保持不变，g取10 m/s2.则跳伞运动员比扣子晚着陆的时间为多少？[解析]扣子做初速度v0＝5 m/s，加速度为g的匀加速直线运动，设其下落时间为t1，由h＝v0t1＋12gt21，整理得t21＋t1－2＝0，解得t1＝1 s(另一解t1＝－2 s舍去)．跳伞运动员匀速降落的时间t2＝hv0＝105s＝2 s，跳伞运动员比扣子晚着陆的时间为Δt＝t2－t1＝1 s.[答案] 1 s16．(8分)如图所示，飞机距地面高为H＝500 m，v1＝100 m/s，追击一辆速度为v2＝20 m/s的同向行驶的汽车，欲使投弹击中汽车，飞机应在距汽车多远处投弹？(g 取10 m/s 2，不计空气阻力)[解析] 由H ＝12gt 2，得炸弹下落时间t ＝2H g ＝2×50010s ＝10 s ，由水平方向的位移关系知：v 1t －v 2t ＝s .解得s ＝800 m.[答案] 800 m17．(8分)如图所示，水平屋顶高H ＝5 m ，墙高h ＝3.2 m ，墙到房子的距离L ＝3 m ，墙外马路宽x ＝10 m ，小球从屋顶水平飞出，落在墙外的马路上，求小球离开房顶时的速度v 0的取值范围．(取g ＝10 m/s 2)[解析] 设小球恰好越过墙的边缘时的水平初速度为v 1，由平抛运动规律可知：⎩⎨⎧ H －h ＝12gt 21 ①L ＝v 1t 1 ②由①②得：v 1＝L 2(H －h )g ＝32×(5－3.2)10 m/s ＝5 m/s又设小球恰落到路沿时的初速度为v 2，由平抛运动的规律得：⎩⎨⎧ H ＝12gt 22 ③L ＋x ＝v 2t 2 ④由③④得：v2＝L＋x2Hg＝3＋102×510m/s＝13 m/s所以小球抛出时的速度大小为5 m/s≤v0≤13 m/s.[答案] 5 m/s≤v0≤13 m/s18．(14分)如图所示，在粗糙水平台阶上静止放置一质量m＝1.0 kg的小物块，它与水平台阶表面的动摩擦因数μ＝0.25，且与台阶边缘O点的距离s＝5m．在台阶右侧固定了一个1/4圆弧挡板，圆弧半径R＝5 2 m，今以O点为原点建立平面直角坐标系．现用F＝5 N的水平恒力拉动小物块，已知重力加速度g取10 m/s2.(1)为使小物块不能击中挡板，求拉力F作用的最长时间；(2)若小物块在水平台阶上运动时，水平恒力一直作用在小物块上，当小物块过O点时撤去拉力，求小物块击中挡板上的位置的坐标．[解析](1)为使小物块不会击中挡板，设拉力F作用最长时间t1时，小物块刚好运动到O点．由牛顿第二定律得：F－μmg＝ma1解得：a1＝2.5 m/s2减速运动时的加速度大小为：a2＝μg＝2.5 m/s2由运动学公式得：s＝12a1t21＋12a2t22而a1t1＝a2t2解得：t1＝t2＝ 2 s.(2)水平恒力一直作用在小物块上，由运动学公式有：v20＝2a1s解得小物块到达O点时的速度为：v0＝5 m/s 小物块过O点后做平抛运动．水平方向：x＝v0t竖直方向：y＝12gt2又x2＋y2＝R2解得位置坐标为：x＝5 m，y＝5 m. [答案](1) 2 s(2)x＝5 m，y＝5 m。

章末测评验收卷(二)(时间：90分钟满分：100分)一、选择题(本题共12小题，每小题4分，共48分。

1～8题为单项选择题，9～12题为多项选择题。

全部选对的得4分，选对但不全的得2分，错选和不选的得0分)1.纯电动汽车不排放污染空气的有害气体，具有较好的发展前景。

某辆电动汽车以20 m/s的速度做匀速直线运动，制动后能在2 m内停下来，如果该汽车以40 m/s 的速度行驶，则它的制动距离应该是()A.2 mB.4 mC.8 mD.16 m答案C解析由0－v20＝2ax得，x＝－v202a，位移x∝v2，故初速度是原来的两倍，位移应是原来的4倍，即8 m，C正确。

2.从静止开始做匀加速直线运动的物体，在第1 s内、第2 s内、第3 s内的平均速度之比为()A.1∶3∶5B.1∶4∶9C.1∶2∶3D.1∶2∶3答案A解析由于第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比x1∶x2∶x3＝1∶3∶5，而平均速度v＝ΔxΔt，三段时间都是1 s，故三段时间的平均速度之比为1∶3∶5，故A正确。

3.(2020·甘肃天水高一期中)一物体由静止开始做匀变速直线运动，加速度为2 m/s2，则2 s末的速度和2 s内的位移分别为()A.4 m/s 4 mB.2 m/s 4 mC.4 m/s 2 mD.2 m/s 2 m答案A解析 2 s末的速度v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s，2 s内的位移x＝12at2＝12×2 m/s2×(2 s)2＝4 m，故选项A正确。

4.车站上的一名工作人员站在站台上靠近火车第1节车厢的车头旁。

当火车从静止开始做匀加速直线运动时，测得第1节车厢经过该工作人员需要3 s，则该工作人员在9 s内能看到从他身边经过的车厢数(不计车厢间隙)为()A.3节B.6节C.9节D.12节答案C解析以火车为参考系，工作人员相对于火车从静止开始做初速度为0的匀加速直线运动在前3 s内，有x1＝12at21①在前9 s内，有x2＝12at22②由①②式可得x2x1＝⎝⎛⎭⎪⎫t2t12＝⎝⎛⎭⎪⎫932＝9由题意可知，9 s内工作人员看到9节车厢从身边驶过，故C正确。

章末过关检测(二)(时间：60分钟 分值：100分)一、单项选择题(本题共6小题，每小题6分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确)1．(2019·山东邹城月考)下列关于向心力和向心加速度的说法中正确的是( )A ．做匀速圆周运动的物体其向心力是恒定不变的B ．向心力不改变做圆周运动物体的线速度的大小C ．做圆周运动的物体所受各力的合力一定是向心力D ．向心加速度时刻指向圆心，方向不变解析：选B.做匀速圆周运动的物体，其向心力方向始终指向圆心，方向一直在改变，故A 错误；因为向心力始终指向圆心，与线速度垂直，所以向心力不改变做圆周运动物体的线速度的大小，故B 正确；如果物体做变速圆周运动，则物体所受各力的合力并不指向圆心，因为合力的一个分力提供向心力，另一个分力沿切线改变速度大小，故C 错误；向心加速度时刻指向圆心，方向时刻改变，故D 错误．2．如图是2014年索契冬奥会1 500米短道速滑比赛中，运动员在赛道上以不同线速度转弯的情景．可以把运动员在转弯时的运动看成是匀速圆周运动，并且运动的轨道半径相同．运动员转弯时，线速度越大，则( )A ．角速度越大B ．角速度越小C ．向心加速度不变D ．向心加速度越小答案：A3．(2019·江苏丹阳模拟)一越野骑手(可视作质点)以匀速率沿陡峭的山坡在竖直面内骑行，其轨迹如图所示．从图中可以看出，其在a 、b 、c 、d 四点处加速度最大的点是( )A ．aB ．bC ．cD ．d解析：选C.由图知c 处曲率半径最小，质点的速率不变，由公式a ＝v 2r，可知c 点的加速度最大，故选C.4．(2019·四川遂宁期末)鹰在高空中盘旋时，垂直于翼面的升力和其重力的合力提供向心力，如图所示．当翼面与水平面成θ角并以速率v 匀速水平盘旋时的半径为( )A ．R ＝v 2g cos θB ．R ＝v 2g tan θC ．R ＝v 2tan θgD ．R ＝v 2g sin θ解析：选B.鹰在高空中盘旋时，对其受力分析，如图：根据翼面的升力和其重力的合力提供向心力，得：mg tan θ＝m v 2R ，化简得：R ＝v 2g tan θ，故B 正确．5.如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m 处有一小物体与圆盘始终保持相对静止．物体与盘面间的动摩擦因数为32(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g 取10 m/s 2.则ω的最大值是( )A. 5 rad/sB. 3 rad/s C ．1.0 rad/s D ．0.5 rad/s解析：选C.当小物体转动到最低点时为临界点，由牛顿第二定律知，μmg cos 30°－mg sin 30°＝mω2r ，解得ω＝1.0 rad/s ，故选项C 正确．6．杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m 的细绳的一端，系一个总质量为m ＝0.5 kg 的盛水容器，以绳的一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，若“水流星”通过最高点的速度为v ＝4 m/s ，则下列说法正确的是(g 取10 m/s 2)( )A ．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出B ．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底受到的压力均为零C ．“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用D ．“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N解析：选B.当绳的张力恰好为零时，对水和容器整体，根据牛顿第二定律：mg ＝m v 2L ， 解得：v ＝gL ＝10×1.6 m/s ＝4 m/s.可知，“水流星”通过最高点的速度最小速度为4 m/s ，绳的张力为零，此时整体的加速度为a ＝g ，所以水对桶底压力为零，水不会从容器中流出，故A 、D 错误，B 正确．“水流星”通过最高点时，仅受重力，重力恰好完全提供向心力，处于完全失重状态，故C 错误．二、多项选择题(本题共4小题，每小题6分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全选对的得6分，选对但不全的得3分，有错选或不答的得0分)7．(2019·北交大附中期末)如图所示，一辆可视为质点的汽车以恒定的速率驶过竖直面内的凸形桥．已知凸形桥面是圆弧形柱面，则下列说法中正确的是( )A ．汽车在凸形桥上行驶的过程中，其所受合力始终为零B ．汽车在凸形桥上行驶的过程中，其始终处于失重状态C ．汽车从桥底行驶到桥顶的过程中，其角速度恒定D ．汽车从桥底行驶到桥顶的过程中，其加速度不变解析：选BC.汽车在凸形桥上行驶的过程中因为做匀速圆周运动，汽车的合力始终不为零；汽车的向心加速度有竖直向下的加速度分量，所以处于失重状态，故A 错误，B 正确；汽车从桥底行驶到桥顶的过程中，因速率恒定，做匀速圆周运动，故角速度不变，加速度大小不变，方向一直在改变，故C 正确，D 错误．8．(2019·广东佛山期末)如图四幅图为生活中与向心力知识相关的情景，有关说法正确的是( )A ．图甲为火车转弯的轨道，内低外高以防止脱轨B ．图乙为小车过拱桥的情景，此过程小车处于失重状态C ．图丙为“旋转秋千”，人与座椅整体受到重力、绳子拉力和向心力D ．图丁为汽车在凹凸不平的地面上行驶，应快速通过此路面解析：选AB.火车轨道弯道处设计成外高内低，让火车的重力和支持力的合力提供圆周运动所需的向心力，防止脱轨，故选项A正确；汽车过拱形桥时，受到的重力和支持力的合力提供向心力，加速度向下，处于失重状态，故选项B正确；向心力属于效果力，不是性质力，由其他力提供，故选项C不正确；汽车在凹凸不平的地面上行驶时，速度越大，对地面的压力越大，根据牛顿第三定律可知，地面对轮胎的支持力越大，易爆胎，故选项D 不正确．9．(2019·清华附中期末)小桶中盛满水，用绳系着，然后让其在竖直平面内做圆周运动．要使小桶运动到轨迹最高点(桶口朝下)时，水不会从桶中流出，若小桶运动的轨道半径为R，则小桶到最高点时()A．速度不小于RgB．角速度不小于g RC．向心加速度不小于gD．绳对小桶的拉力不小于小桶的重力解析：选ABC.小桶运动到轨迹最高点时，水不会从桶中流出的临界条件是重力提供向心力，根据mg＝m v2R可知，最小速度v min＝gR；根据v＝ωR可知，最小角速度ωmin＝gR，故A、B正确；根据分析可知，F n≥mg，所以向心加速度不小于g，故C正确；绳对小桶的拉力最小可以为零，故D错误．10.如图，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是()A．b一定比a先开始滑动B．a、b所受的摩擦力始终相等C．ω＝kg2l是b开始滑动的临界角速度D．当ω＝2kg3l时，a所受摩擦力的大小为kmg解析：选AC.小木块a、b做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即F f＝mω2R.当角速度增加时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a：F f a＝mω2al，当F f a＝kmg时，kmg＝mω2a l，ωa＝kgl；对木块b：F f b＝mω2b·2l，当F f b＝kmg时，kmg＝mω2b·2l，ωb＝kg2l，所以b先达到最大静摩擦力，选项A正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则F f a＝mω2l，F f b＝mω2·2l，F f a<F f b，选项B错误；当ω＝kg2l时b刚开始滑动，选项C正确；当ω＝2kg3l 时，a没有滑动，则F f a＝mω2l＝23kmg，选项D错误．三、非选择题(本题共3小题，共40分．解答时应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后答案的不能得分，有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位)11.(12分)(2019·山东邹城月考)如图所示，同学们分小组探究影响向心力大小的因素．同学们用细绳系一个小沙袋在空气中甩动，使小沙袋在水平面内做圆周运动，来感受向心力．(1)下列说法中正确的是________．A．保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将不变B．保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将增大C．保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将不变D．保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将增大(2)如图，绳上离小沙袋重心40 cm处打一个绳结A，80 cm 处打一个绳结B，学习小组中一位同学用手表计时，另一位同学操作，其余同学记录实验数据：操作一：手握绳结A，使小沙袋在水平方向每秒运动1周，体会向心力的大小．操作二：手握绳结B，使小沙袋在水平方向每秒运动1周，体会向心力的大小．操作三：手握绳结A，使小沙袋在水平方向每秒运动2周，体会向心力的大小．操作四：手握绳结A，再向小沙袋中添加少量沙子，使小沙袋在水平方向每秒运动1周，体会向心力的大小．操作二与一相比较：质量、角速度相同，向心力的大小与转动________有关；操作三与一相比较：质量、半径相同，向心力的大小与________有关；操作四与一相比较：角速度、半径相同，向心力大小与________有关．解析：(1)由题意，根据向心力公式F向＝mω2r与牛顿第二定律，则有T拉＝mω2r；保持质量、绳长不变，增大转速，ω＝2πn，角速度变大，根据公式可知，绳对手的拉力将增大，故A错误，B正确；保持质量、角速度不变，增大绳长，据公式可知，绳对手的拉力将变大，故C错误，D正确．(2)本实验采取的方法是控制变量法．操作二与一相比较：质量、角速度相同，向心力的大小与转动半径大小有关；操作三与一相比较：质量、半径相同，向心力的大小与角速度的大小有关；操作四与一相比较：角速度、半径相同，向心力大小与质量有关． 答案：(1)BD (2)半径大小 角速度的大小 质量12.(14分)(2019·北京海淀区期末)一根长40 cm 的轻杆，一端固定于O 点，另一端拴着一个质量为2 kg 的小球，绕O 点在竖直面内运动，在最高点时，求：(取g ＝10 m/s 2)(1)当杆对小球施加拉力的大小为25 N 时，小球的速度大小；(2)当小球的速度大小为1 m/s 时，杆对小球的作用力．解析：(1)小球通过最高点时由拉力和小球的重力提供向心力， 则有：F ＋mg ＝m v 2L代入数据解得：v ＝3 m/s.(2)当小球速度大小为1 m/s ，设此时杆与球的作用力为F N ，则有：F N ＋mg ＝m v 21L代入数据解得：F N ＝－15 N ，负号表示杆对球的作用力方向与重力方向相反，即杆对球的作用力为支持力，方向竖直向上．答案：(1)3 m/s (2)15 N ，方向竖直向上13．(14分)如图所示，半径为R ，内径很小的光滑半圆管竖直放置．两个质量均为m 的小球a 、b 以不同的速度进入管内，a 通过最高点A 时，对管壁上部的压力为3mg ，b 通过最高点A 时，对管壁下部的压力为0.75mg ，求a 、b 两球落地点间的距离．解析：两个小球在最高点时，受重力和管壁的作用力，这两个力的合力提供向心力，离开轨道后两球均做平抛运动，a 、b 两球落地点间的距离等于它们做平抛运动的水平位移之差．对a 球：3mg ＋mg ＝m v 2a R，得v a ＝4gR 对b 球：mg －0.75mg ＝m v 2b R ，得v b ＝14gR 由平抛运动规律可得落地时它们的水平位移为s a＝v a t＝v a 4Rg＝4R，s b＝v b t＝v b4Rg＝R故a、b两球落地点间的距离为s a－s b＝3R.答案：3R。

章末检测试卷(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．若x >0，则x ＋4x的最小值为( ) A ．2 B ．3 C ．2 2 D ．4答案 D解析 ∵x >0，∴x ＋4x ≥2x ×4x ＝4，当且仅当x ＝4x即x ＝2时等号成立． 2．不等式x 2－2x －3<0的解集为( )A ．{x |x <－3或x >1}B ．{x |－3<x <1}C ．{x |x <－1或x >3}D ．{x |－1<x <3}答案 D解析 ∵方程x 2－2x －3＝0的实数根为x 1＝－1，x 2＝3，∴不等式x 2－2x －3<0的解集为{x |－1<x <3}．3．已知x 1，x 2是方程x 2－7x ＋1＝0的两根，则x 21＋x 22等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 D解析 ∵x 1，x 2是方程x 2－7x ＋1＝0的两根，∴x 1＋x 2＝7，x 1x 2＝1，x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝7－2＝5.4．若x >y >1，则下列四个数中最小的数是( ) A.x ＋y 2B.2xy x ＋yC.xD.12⎝⎛⎭⎫1x ＋1y 答案 D解析 因为x >y >1， 所以x ＋y 2>1＋12＝1，2xy x ＋y ＝21y ＋1x >21＋1＝1，x >1， 12⎝⎛⎭⎫1x ＋1y <12⎝⎛⎭⎫11＋11＝1， 所以四个数中最小的数是12⎝⎛⎭⎫1x ＋1y .5．若a <b <0，下列不等式中成立的是( )A.a b<1 B.1a <1b C ．|a |>－bD ．b 2>a 2 答案 C解析 若a <b <0，对于A ，a b －1＝a －b b >0，所以a b>1，故A 不成立； 对于B ，1a －1b ＝b －a ab >0，所以1a >1b，故B 不成立； 对于C ，因为a <b <0，所以－a ＝|a |>－b ，所以|a |>－b ，故C 成立；对于D ，由－a >－b >0，所以(－a )2>(－b )2，即a 2>b 2，故D 不成立．6．关于x 的不等式ax －b >0的解集是{x |x >1}，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( )A ．{x |x <－1或x >3}B ．{x |－1<x <3}C ．{x |1<x <3}D ．{x |x <1或x >3} 答案 A解析 不等式ax －b >0的解集是{x |x >1}，故a >0，b a＝1，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0即a ⎝⎛⎭⎫x ＋b a (x －3)>0，即(x ＋1)(x －3)>0，故解集是{x |x <－1或x >3}． 7．已知－1≤a ≤3,2≤b ≤4，则2a －b 的取值范围是( )A ．－6≤2a －b ≤4B ．0≤2a －b ≤10C ．－4≤2a －b ≤2D ．－5≤2a －b ≤1 答案 A解析 因为－1≤a ≤3,2≤b ≤4，可得－2≤2a ≤6，－4≤－b ≤－2，所以－2－4≤2a －b ≤6－2，即－6≤2a －b ≤4.8．若规定⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ＝ad －bc ，则不等式0<⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 x x 3<2的解是( )A ．－1<x <1B. －3<x < 3C. 1<x < 3D ．－3<x <－1或1<x < 3答案 D解析 因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 x x 3＝3－x 2， 所以0<3－x 2<2，即1<x 2<3，解得1<x <3或－3<x <－1.二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．若非零实数a ，b 满足a <b ，则下列不等式不一定成立的是( )A.a b<1 B.b a ＋a b ≥2 C.1ab 2<1a 2bD ．a 2＋a <b 2＋b答案 ABD解析 当a <b <0时，a b<1不成立， 当a b <0时，b a ＋a b≥2不成立， 因为1ab 2－1a 2b ＝a －b (ab )2<0，则1ab 2<1a 2b一定成立， 因为a 2－b 2＋a －b ＝(a －b )(a ＋b ＋1)符号不定，故a 2＋a <b 2＋b 不一定成立．10．下列说法正确的是( )A ．x ＋1x(x >0)的最小值是2 B.x 2＋2x 2＋2的最小值是 2 C.x 2＋5x 2＋4的最小值是2 D ．2－3x －4x的最大值是2－4 3 答案 AB解析 由基本不等式可知，x >0时，x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1x即x ＝1时取等号，故A 正确；x 2＋2x 2＋2＝x 2＋2≥2，当x ＝0时取得等号，故B 正确； x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4≥2，当且仅当x 2＋4＝1x 2＋4，即x 2＋4＝1，显然无实根，不成立，故C 错误； 2－⎝⎛⎭⎫3x ＋4x 在x <0时，没有最大值，故D 错误．11．已知关于x 的方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0，下列结论正确的是( )A ．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有实数根的充要条件是m ∈{m |m <1或m >9}B ．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有两正实数根的充要条件是m ∈{m |0<m ≤1}C ．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0无实数根的必要条件是m ∈{m |m >1}D ．当m ＝3时，方程的两实数根之和为0答案 BC解析 对于A ，若方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有实数根，则Δ＝(m －3)2－4m ≥0，解得m ≥9或m ≤1.故A 错误；对于B ，∵方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有两正实数根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝(m －3)2－4m ≥0，－(m －3)>0，m >0，解得0<m ≤1；当0<m ≤1时，Δ＝(m －3)2－4m ＝m 2－10m ＋9＝(m －1)(m －9)≥0，x 1＋x 2＝－(m －3)＝3－m >0，x 1x 2＝m >0，∴该方程有两个正实数根．故方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有两正实数根的充要条件是m ∈{m |0<m ≤1}．故B 正确； 对于C ，若方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0无实数根，则Δ＝(m －3)2－4m <0，解得1<m <9. ∴实数m 的取值范围是{m |1<m <9}．∴由方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0无实数根可以推出m ∈{m |m >1}．故C 正确；另外，若设A ＝{m |1<m <9}，B ＝{m |m >1}，则A ⊆B ，∴C 正确．对于D ，当m ＝3时，方程为x 2＋3＝0，无实数根．故D 错误．12．已知函数y ＝x 2＋ax ＋b (a >0)有且只有一个零点，则( )A ．a 2－b 2≤4B ．a 2＋1b≥4 C ．若不等式x 2＋ax －b <0的解集为{x |x 1<x <x 2}，则x 1x 2>0D ．若不等式x 2＋ax ＋b <c 的解集为{x |x 1<x <x 2}，且|x 1－x 2|＝4，则c ＝4答案 ABD解析 因为y ＝x 2＋ax ＋b (a >0)有且只有一个零点，故可得Δ＝a 2－4b ＝0，即a 2＝4b >0.a 2－b 2≤4等价于b 2－4b ＋4≥0，显然(b －2)2≥0，故A 正确；a 2＋1b ＝4b ＋1b ≥24b ×1b＝4，故B 正确； 因为不等式x 2＋ax －b <0的解集为{x |x 1<x <x 2}，故可得x 1x 2＝－b <0，故C 错误；因为不等式x 2＋ax ＋b <c 的解集为{x |x 1<x <x 2}，且|x 1－x 2|＝4，则方程x 2＋ax ＋b －c ＝0的两根为x 1，x 2，故可得(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2－4(b －c )＝4c ＝2c ＝4，故可得c ＝4，故D 正确．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．因式分解(x 2＋2x )2－7(x 2＋2x )－8＝________.答案 (x ＋1)2(x ＋4)(x －2)解析 (x 2＋2x )2－7(x 2＋2x )－8＝(x 2＋2x ＋1)(x 2＋2x －8)＝(x ＋1)2(x ＋4)(x －2)．14．若不等式ax 2＋2ax －1<0的解集为R ，则a 的取值范围是________．答案 －1<a ≤0解析 当a ＝0时，不等式ax 2＋2ax －1<0化为－1<0，解集为R ；当a ≠0时，不等式ax 2＋2ax －1<0解集为R 时，应满足⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2－4a ×(－1)<0， 解得－1<a <0.综上，实数a 的取值范围是－1<a ≤0.15．已知x >0，y >0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )·(1＋y )的最大值为________．答案 25解析 因为x >0，y >0，且x ＋y ＝8，所以(1＋x )＋(1＋y )＝10≥2(1＋x )(1＋y )，即(1＋x )(1＋y )≤25，当且仅当x ＝y ＝4时，等号成立．所以(1＋x )·(1＋y )的最大值为25.16．某种衬衫进货价为每件30元，若以40元一件出售，则每天能卖出40件；若每件提价1元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于525元，则每件衬衫的售价的取值范围是________．(假设每件衬衫的售价是m )答案 45≤m ≤65解析 设每件衬衫提价x 元，则每件衬衫的售价为(40＋x )元，则每天出售衬衫的净收入为(40＋x －30)(40－x )＝[－(x －15)2＋625]元，由题可知，－(x －15)2＋625≥525，整理得，(x －25)(x －5)≤0，解得5≤x ≤25，∴45≤40＋x ≤65.四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)某班有48人，计划于2022年元旦乘出租车前往某景区游玩，现需从A ，B 两种类型的出租车选择一种，A 型号的出租车比B 型号的少5辆，若选择A 型号出租车，每辆车乘坐4人，则出租车不够，每辆车乘坐5人，则有一辆车没有坐满但不空；若选择B 型号出租车，每辆车乘坐3人，则出租车不够，每辆车乘坐4人，则出租车有剩余，设A 型号的出租车有x 辆，用不等式将题目中的不等关系表示出来．解 由已知得，A 型号的出租车有x 辆，则B 型号出租车有(x ＋5)辆，⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，x ＋5>0，4x <48，0<5x －48<5，3(x ＋5)<48，4(x ＋5－1)≥48，x ∈N *.18．(12分)若实数x >0，y >0，且满足x ＋y ＝8－xy .(1)求xy 的最大值；(2)求x ＋y 的最小值．解 (1)∵x >0，y >0，∴8－xy ＝x ＋y ≥2xy ，即(xy ＋4)(xy －2)≤0，解得xy ≤4，当且仅当x ＝y ＝2时，等号成立，∴xy 的最大值为4.(2)8－(x ＋y )＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，所以[(x ＋y )＋8][(x ＋y )－4]≥0，x ＋y ≥4，当且仅当x ＝y ＝2时，等号成立．即x ＋y 的最小值为4.19．(12分)设命题p ：方程x 2＋(2m －4)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根；命题q ：对所有的2≤x ≤3，不等式x 2－4x ＋13≥m 2恒成立．(1)若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；(2)若命题p ，q 一真一假，求实数m 的取值范围．解 (1)若命题p 为真命题，即方程x 2＋(2m －4)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根， 则有Δ＝(2m －4)2－4m ＝4m 2－20m ＋16>0，解得m >4或m <1.∴实数m 的取值范围为{m |m >4或m <1}．(2)若命题q 为真命题，则对所有的2≤x ≤3，不等式x 2－4x ＋13≥m 2恒成立．设y ＝x 2－4x ＋13只需2≤x ≤3时，m 2≤y min 即可．∵y ＝x 2－4x ＋13＝(x －2)2＋9,2≤x ≤3.∴y min ＝9，∴m 2≤9，解得－3≤m ≤3.∴当命题q 为真命题时，实数m 的取值范围为{m |－3≤m ≤3}．∵命题p ，q 一真一假，∴若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则有⎩⎪⎨⎪⎧m >4或m <1，m >3或m <－3，解得m >4或m <－3； 若命题p 为假命题，命题q 为真命题，则有⎩⎪⎨⎪⎧1≤m ≤4，－3≤m ≤3，解得1≤m ≤3. 综上所述，当命题p ，q 一真一假时，实数m 的取值范围为{m |m <－3或1≤m ≤3或m >4}．20．(12分)已知关于x 的不等式(ax －1)(x －1)<0.(1)当a ＝2时，解上述不等式；(2)当a <1时，解上述关于x 的不等式．解 (1)当a ＝2时，代入可得(2x －1)(x －1)<0，解不等式可得12<x <1， 所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <1. (2)关于x 的不等式(ax －1)(x －1)<0.若a <1，当a ＝0时，代入不等式可得－x ＋1<0，解得x >1；当0<a <1时，化简不等式可得a ⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0，由1a >1解不等式可得1<x <1a， 当a <0时，化简不等式可得a ⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0，解不等式可得x >1或x <1a， 综上可知，当a ＝0时，不等式解集为{x |x >1}，当0<a <1时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1<x <1a ，当a <0时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1或x <1a . 21．(12分)国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54 000美元．(1)写出钻石的价值y 关于钻石重量x 的关系式；(2)把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m 克拉和n 克拉，试证明：当m ＝n 时，价值损失的百分率最大．(注：价值损失的百分率＝原有价值－现有价值原有价值×100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计) (1)解 由题意可设价值与重量的关系式为y ＝kx 2，∵3克拉的钻石的价值是54 000美元，∴54 000＝k ·32，解得k ＝6 000，∴y ＝6 000x 2，∴此钻石的价值与重量的关系式为y ＝6 000x 2.(2)证明 若两颗钻石的重量分别为m ，n 克拉，则原有价值是6 000(m ＋n )2，现有价值是6 000m 2＋6 000n 2，价值损失的百分率：6 000(m ＋n )2－6 000m 2－6 000n 26 000(m ＋n )2×100% ＝2mn (m ＋n )2×100%≤2×⎝⎛⎭⎫m ＋n 22(m ＋n )2＝12， 当且仅当m ＝n 时，等号成立．∴当m ＝n 时，价值损失的百分率最大．22．(12分)已知二次函数y ＝x 2－2tx ＋t 2－1(t ∈R )．(1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式x 2－2tx ＋t 2－1≥0；(2)若关于x 的方程x 2－2tx ＋t 2－1＝0的两个实数根均大于－2且小于4，求实数t 的取值范围． 解 (1)∵二次函数y ＝x 2－2tx ＋t 2－1有两个互为相反数的零点，∴方程x 2－2tx ＋t 2－1＝0有两个互为相反数的实数根，设为x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝0. 由根与系数的关系可得，x 1＋x 2＝2t ＝0，解得t ＝0.∵x 2－2tx ＋t 2－1≥0，∴x 2－1≥0，解得x ≥1或x ≤－1.∴该不等式的解集为{x |x ≥1或x ≤－1}．(2)∵Δ＝(－2t )2－4(t 2－1)＝4t 2－4t 2＋4＝4>0，∴∀t ∈R ，该方程总有两个不相等的实数根．∵方程的两个实数根均大于－2且小于4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2<－－2t 2<4，t 2＋4t ＋3>0，t 2－8t ＋15>0，解得－1<t <3.∴实数t 的取值范围是{t |－1<t <3}．。

章末检测(二)章末检测(二)一、选择题(每小题3分,共30分)1.把方程12x=1变形为x=2,其依据是( )A.等式的性质1B.等式的性质2C.分式的基本性质D.不等式的性质12.若{x =1,y =2是关于x,y 的二元一次方程ax-3y=1的解,则a 的值为( ) A.-5 B.-1 C.2 D.73.方程组{x +y =3,①2x -y =3①的解是( ) A.{x =1y =2 B.{x =2y =1 C.{x =1y =1 D.{x =2y =34.一元二次方程x(x-1)=0的解是( )A.x=0B.x=1C.x=0或x=1D.x=0或x=-15.(2019河南平顶山一模)不等式组{3x -1>2,2-x ≥0的解集在数轴上表示为( ) 6.一元二次方程x 2-8x-1=0配方后可变形为( )A.(x+4)2=17B.(x+4)2=15C.(x-4)2=17D.(x-4)2=157.若关于x 的方程k 2x 2+(2k-1)x+1=0有实数根,则k 的取值范围是( )A.k ≤14B.k ≤14或k ≠0C.k<14D.k ≥148.(2019四川巴中)若分式方程3x -a x 2-2x +1x -2=2x 有增根,则实数a 的取值是( )A.0或2 B .4 C.8 D.4或89.小明乘出租车去体育场,有两条路线可供选择:路线一的全程是25千米,但交通比较拥堵;路线二的全程是30千米,平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%,因此能比走路线一少用10分钟到达.若设走路线一时的平均车速为x 千米/小时,则根据题意,得( )A.25x -30(1+80%)x =1060B.25x -30(1+80%)x =10 C.30(1+80%)x -25x =1060 D.30(1+80%)x -25x =10连续两次降价后降为324元,求平均每次降价的百分率.21.(11分)(2019河南郑州一模)雾霾天气持续笼罩我国大部分地区,困扰着广大市民的生活,口罩市场出现热销,小明的爸爸用12019元购进甲、乙两种型号的口罩在自家商店销售,销售完后共获利2700元,进价和售价如下表:品名甲型口罩乙型口罩价格进价(元/袋)2030售价(元/袋)2536(1)小明爸爸的商店购进甲、乙两种型号口罩各多少袋?(2)该商店第二次以原价购进甲、乙两种型号口罩,购进甲种型号口罩袋数不变,而购进乙种型号口罩袋数是第一次的2倍.甲种口罩按原售价出售,而效果更好的乙种口罩打折让利销售.若两种型号的口罩全部售完,要使第二次销售获利不少于2460元,每袋乙种型号的口罩最多打几折?22.(10分)(2019河南检测)随着铁路客运量的不断增长,重庆火车北站越来越拥挤,为了满足铁路交通的快速发展,该火车站前年开始启动了扩建工程,其中某项工程,甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月,并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍.(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月;(2)若甲队每月的施工费为100万元,乙队每月的施工费比甲队多50万元.在保证工程质量的前提下,为了缩短工期,拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程,在完成这项工程中,甲队施工时间是乙队施工时间的2倍,则甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元?(甲、乙两队的施工时间按月取整数)23.(10分)(2019湖北咸宁)为拓宽学生视野,引导学生主动适应社会,促进书本知识和生活经验的深度融合,我市某中学决定××部分班级去赤壁开展研学旅行活动,在参加此次活动的师生中,若每位老师带17个学生,则剩12个学生没人带;若每位老师带18个学生,则有一位老师少带4个学生.现有甲、乙两种大客车,它们的载客量和租金如下表所示.甲种客车乙种客车载客量(人/辆)3042租金(元/辆)300400学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3100元,为了安全,每辆客车上至少要有2名老师.(1)参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少?(2)既要保证所有师生都有座,又要保证每辆客车上至少要有2名老师,可知租用客车总数为;(3)你能得出哪几种不同的租车方案?其中哪种租车方案最省钱?请说明理由.答案精解精析一、选择题x=1变形为x=2,是在方程左右两边同时乘2,其依据是等式的性质1.B把方程122,故选B.2.D把{x=1,y=2代入ax-3y=1中,得a-3×2=1,解得a=7,故选D.3.B①+②得3x=6,∴x=2,把x=2代入①得2+y=3,∴y=1,故原方程组的解为{x=2,y=1.故选B.4.C由x(x-1)=0得x1=0,x2=1,故选C.5.C解不等式3x-1>2得x>1,解不等式2-x≥0可得x≤2,∴在数轴上表示不等式组的解集应为,故选C.6.C变形得x2-8x=1,x2-8x+16=1+16,(x-4)2=17,故选C.7.A①当k=0时,方程有实数根1.②当k≠0时,Δ=(2k-1)2-4k2=-4k+1≥0,∴k≤14且k≠0.综上所述,k的取值范围是k≤14.故选A.8.D方程两边同乘x(x-2),得3x-a+x=2(x-2),由题意得,分式方程的增根为0或2,当x=0时,-a=-4,解得a=4,当x=2时,6-a+2=0,解得a=8,故选D.9.A根据题意知30(1+80%)x 小时、25x小时分别为走路线二和走路线一所用的时间.走路线二比走路线一少用10分钟,由题中所给路程和速度的单位知应该把10分钟化为1060小时,故选A.10.A由题意得分式方程12x-1-12=1,解此方程得x=56,检验:当x=56时,2x-1≠0,故原分式方程的解为x=56.故选A.二、填空题11.答案0解析∵4x a+2b-5-2y3a-b-3=8是二元一次方程,∴{a+2b-5=1,3a-b-3=1,解得{a=2,b=2,∴a-b=0.12.答案(1-10%)(1+x)2=113.答案无实根解析 ∵在一元二次方程x 2+tx+12t 2+t+2=0中a=1,b=t,c=12t 2+t+2,∴Δ=b 2-4ac=t 2-4(12t 2+t +2)=-(t+2)2-4<0.∴关于x 的一元二次方程x 2+tx+12t 2+t+2=0无实数根.14.答案 x=-3解析 解不等式3x+10>0得x>-313;解不等式16x 3-10<4x 得x<712,∴不等式组的解集为-313<x<712,∴整数x=-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,∴最小整数解为x=-3.15.答案 -1<m ≤0解析 解不等式2-x 3≤2得x ≥-4,∵x<m 且不等式组有解,∴-4≤x<m,又∵原不等式组有四个整数解,∴-1<m ≤0.三、解答题16.解析 {x +2y =0①,3x +4y =6①,①×2-②得-x=-6,解得x=6,故6+2y=0,解得y=-3,故方程组的解为{x =6,y =-3.17.解析 (1)方程两边同乘2(x+1)得,3=2(x+1)-2,解得x=32.检验:当x=32时,2(x+1)=2×(32+1)≠0,∴原方程的解是x=32.(2)原方程可化为x 2-2x-3=0,因式分解得(x-3)(x+1)=0,∴x-3=0或x+1=0,∴x 1=3,x 2=-1.18.解析 {x -32(2x -1)≤4,①1+3x 2>2x -1,① 由①得x ≥-54,由②得x<3.所以原不等式组的解集为-54≤x<3.把解集在数轴上表示如下:由于在-54≤x<3范围内的整数有-1,0,1,2,所以原不等式组的整数解为-1,0,1,2.19.解析 (1)∵一元二次方程(k-2)x 2-4x+2=0有两个不相等的实数根,∴{k -2≠0,Δ=(-4)2-4×(k -2)×2>0,解得k<4且k ≠2,(2)结合(1)可知k=3,∴方程x 2-4x+k=x 2-4x+3=(x-1)(x-3)=0,解得x 1=1,x 2=3.当x=1时,1+m-1=0,解得m=0;当x=3时,9+3m-1=0,解得m=-83.故m 的值为0或-83.20.解析 (1)设每张门票的原定票价为x 元.由题意得6000x =4800x -80, 解得x=400.经检验,x=400是原方程的解,且符合题意.答:每张门票的原定票价为400元.(2)设平均每次降价的百分率为y.由题意得400(1-y)2=324.解得y 1=0.1=10%,y 2=1.9(不合题意,舍去).答:平均每次降价的百分率为10%.21.解析 (1)设小明爸爸的商店购进甲种型号口罩x 袋,乙种型号口罩y 袋,则{20x +30y =12000,(25-20)x +(36-30)y =2700,解得{x =300,y =200.∴该商店购进甲种型号口罩300袋,乙种型号口罩200袋.(2)设每袋乙种型号的口罩打m 折,则300×5+400(0.1m×36-30)≥2460.解得m ≥9.∴每袋乙种型号的口罩最多打9折.22.解析 (1)设甲队单独完成这项工程需要x 个月,则乙队单独完成这项工程需要(x-5)个月,由题意得x(x-5)=6(x+x-5).整理得x2-17x+30=0.解得x1=2,x2=15.x1=2不合题意,舍去,故x=15,x-5=10.答:甲队单独完成这项工程需要15个月,乙队单独完成这项工程需要10个月. (2)设在完成这项工程中甲队施工m个月,则乙队施工m2个月,由题意知乙队每月的施工费为150万元.根据题意得100m+150·m2≤1500.解得m≤847.∵m为整数,∴m的最大整数值为8.答:甲队最多施工8个月才能使工程款不超过1500万元.23.解析(1)设老师有x名,学生有y名.依题意,列方程组为{17x=y-12, 18x=y+4,解得{x=16, y=284.答:老师有16名,学生有284名.(2)8.详解:∵每辆客车上至少要有2名老师, ∴汽车总数不能大于8辆;要保证300名师生都有座,汽车总数不能小于30042=507(取整为8)辆,∴汽车总数为8辆.(3)设租用x辆乙种客车,则甲种客车数为(8-x)辆.∵租车总费用不超过3100元,∴400x+300(8-x)≤3100,解得x≤7,为使300名师生都有座,∴42x+30(8-x)≥300,解得x≥5,∴5≤x≤7(x为整数),∴共有3种租车方案,方案一:租用甲种客车3辆,乙种客车5辆,租车费用为2900元; 方案二:租用甲种客车2辆,乙种客车6辆,租车费用为3000元; 方案三:租用甲种客车1辆,乙种客车7辆,租车费用为3100元. 故最节省费用的租车方案是:租用甲种客车3辆,乙种客车5辆.。

章末质量检测(二)(时间：45分钟)一、选择题(本题共8小题。

1～6题为单项选择题，7～8题为多项选择题)1.下列说法正确的是()A.书放在水平桌面上受到支持力，是因为书发生了微小形变B.一个质量一定的物体放在地球表面任何位置所受的重力大小都相同C.摩擦力的方向可能与物体的运动方向相同D.静止的物体不可能受到滑动摩擦力作用答案 C2.大小相等的力F按如图所示的四种方式作用在相同的物体上，使物体能沿不同粗糙程度的水平面匀速运动，则物体与水平面间的摩擦力最大的是()解析根据物体的平衡条件有：f A＝F，f B＝F cos 30°，f C＝F cos 30°，f D＝F cos 60°，知物体与水平面间的摩擦力最大的是选项A。

答案 A3.如图1所示，一同学站在木板上用力向右推木箱，该同学的脚与木板之间没有相对运动，若地面与木板、木箱之间均是粗糙的，下列说法正确的是()图1A.若木箱静止，木板向左运动，则地面对木板的摩擦力方向向右，对木箱没有摩擦力B.若木板静止，木箱向右运动，则地面对木板的摩擦力方向向右，对木箱的摩擦力方向向左C.若木板、木箱均静止，地面对木箱和木板均没有摩擦力D.若木箱向右运动，木板向左运动，则地面对木板的摩擦力方向向左，对木箱的摩擦力方向向右解析若木箱静止，木板向左运动，则地面对木板是滑动摩擦力，依据摩擦力的方向与相对运动方向或相对运动趋势方向相反，地面对木板滑动摩擦力的方向向右，对木箱是静摩擦力，其方向向左，故A错误；若木板静止，木箱向右运动，则地面对木板的摩擦力方向向右，对木箱的摩擦力方向向左，故B正确；若木板、木箱均静止，地面对木箱和木板均具有静摩擦力，故C错误；若木箱向右运动，木板向左运动，则地面对木板的摩擦力方向向右，对木箱的摩擦力方向向左，故D错误。

答案 B4.(2019·广元市诊断性检测)如图2所示，一条细绳跨过定滑轮连接物体A、B，A 悬挂起来，B穿在一根竖直杆上，两物体均保持静止，不计绳与滑轮、B与竖直杆间的摩擦，已知绳与竖直杆间的夹角θ，则物体A、B的质量之比m A∶m B等于()图2A.1∶cos θB.cos θ∶1C.tan θ∶1D.1∶sin θ解析设绳子的拉力为T，隔离A分析有T＝m A g，隔离B分析有T cos θ＝m B g，由以上两个公式可解m A∶m B＝1∶cos θ，故选项A正确。

章末双测滚动验收达标（二） 复 数 A 卷——学考合格性考试滚动检测卷(时间：100分钟，满分100分)一、选择题(本大题共20小题，每小题3分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数i －2的虚部是( ) A ．i B ．－2 C ．1D ．2解析：选C i －2＝－2＋i ，因此虚部是1.故选C. 2．复数(2＋i)2等于( ) A ．3＋4i B ．5＋4i C ．3＋2iD ．5＋2i解析：选A (2＋i)2＝4＋4i ＋i 2＝4＋4i －1＝3＋4i.故选A.3．以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( ) A ．2－2i B ．－5＋5i C ．2＋iD.5＋5i解析：选A 设所求新复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由题意知，复数－5＋2i 的虚部为2；复数5i ＋2i 2＝5i ＋2×(－1)＝－2＋5i 的实部为－2，则所求的z ＝2－2i.故选A.4．已知i 为虚数单位，若复数(1＋a i)(2＋i)是纯虚数，则实数a 等于( ) A ．－12B.12 C ．－2D ．2解析：选D (1＋a i)(2＋i)＝2－a ＋(2a ＋1)i ，因为它为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＝0，2a ＋1≠0，解得a ＝2.故选D.5．设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则x ＋y 的值为( ) A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选D 依据复数相等的条件，得x ＝y ＝1，故x ＋y ＝2.故选D. 6．若复数z 满足z ＋(3－4i)＝1，则z 的虚部是( )C ．3D ．－4解析：选B z ＝1－(3－4i)＝－2＋4i.故选B. 7．i 是虚数单位，复数7－i3＋i ＝( )A ．2＋iB ．2－iC ．－2＋iD ．－2－i解析：选B 7－i 3＋i ＝(7－i )(3－i )(3＋i )(3－i )＝20－10i10＝2－i.故选B.8．已知复数z ＝(m －3)＋(m －1)i 的模等于2，则实数m 的值为( ) A ．1或3 B ．1 C ．3D ．2解析：选A 依题意可得(m －3)2＋(m －1)2＝2，解得m ＝1或3.故选A.9．实数x ，y 满足z 1＝y ＋x i ，z 2＝y i －x ，且z 1－z 2＝2，则xy 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．－2D ．－1解析：选A z 1－z 2＝(y ＋x )＋(x －y )i ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝0，∴x ＝y ＝1，则xy ＝1.故选A. 10．已知复数z 1＝(a 2－2)－3a i ，z 2＝a ＋(a 2＋2)i ，若z 1＋z 2是纯虚数，那么实数a 的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－2或1解析：选C z 1＋z 2＝(a 2＋a －2)＋(a 2－3a ＋2)i ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2＝0，a 2－3a ＋2≠0，解得a ＝－2.故选C.11．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )C ．CD ．D解析：选B 因为x ＋y i 的共轭复数为x －y i.故选B.12．若z ＝4＋3i ，则z |z |＝( )A ．1B ．－1 C.45＋35i D.45－35i 解析：选D |z |＝42＋32＝5，z ＝4－3i ，则z|z |＝45－35i.故选D. 13．已知z 1＝3－4i ，z 2＝－1＋2i ，则复数z ＝z 1＋z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D z ＝z 1＋z 2＝3－4i ＋(－1＋2i)＝2－2i ，z 在复平面内对应的点的坐标为(2，－2)，位于第四象限．故选D.A ．－2iB ．－iC ．iD ．2i15．已知i 为虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 021等于( )A ．－iB ．－1C ．iD ．1解析：选C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 021＝i 2 021＝i 505×4＋1＝i.故选C.16．已知复数z ＝－12＋32i ，则z ＋|z |＝( )A ．－12－32iB ．－12＋32iC.12＋32i D.12－32i 解析：选D 因为z ＝－12＋32i ，所以z ＋|z |＝－12－32i ＋⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫322＝12－32i.故选D.17．设f (z )＝z ，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)等于( )A ．1－3iB ．－2＋11iC ．－2＋iD ．5＋5i解析：选D ∵z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，∴z 1－z 2＝(3＋4i)－(－2－i)＝5＋5i ，又∵f (z )＝z ，∴f (z 1－z 2)＝z 1－z 2＝5＋5i.故选D.18．若a 为实数，且2＋a i1＋i ＝3＋i ，则a ＝( )A ．－4B ．－3C ．3D ．4解析：选D2＋a i 1＋i ＝(2＋a i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝a ＋22＋a －22i ＝3＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋22＝3，a －22＝1，解得a ＝4.故选D.A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：选A 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＝x －y i ，即x 2＋y 2＋2x ＝0，整理得(x ＋1)2＋y 2＝1.∴复数z 在复平面内对应的点的轨迹是圆．故选A.20．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则△AOB 一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选B 根据复数加(减)法的几何意义，知以OA ―→，OB ―→为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故△OAB 为直角三角形．故选B.二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分，请把答案填写在题中横线上)解析：5i 1－i ＝5i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－52＋52i.实部为－52，虚部为52.答案：－52 52解析：∵复数z ＝(m 2－2)＋(m －1)i 对应的点(m 2－2，m －1)位于第二象限，∴m 2－2＜0，且 m －1＞0，∴1＜m ＜ 2. 答案：(1，2)23．在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，则实数m 的值为________．解析：∵z ＝(m －3)＋2m i 表示的点在直线y ＝x 上，∴m －3＝2m ，解得m ＝9. 答案：924．若复数z 满足(3－4i)z ＝4＋3i ，则|z |＝________.解析：因为(3－4i)z ＝4＋3i ，所以z ＝4＋3i 3－4i ＝(4＋3i )(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝25i25＝i.则|z |＝1.答案：125．计算(－1＋3i )3(1＋i )6＋－2＋i1＋2i 的值是________．解析：原式＝(－1＋3i )3[(1＋i )2]3＋(－2＋i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝(－1＋3i )3(2i )3＋－2＋4i ＋i ＋25＝1－i ＋i ＝i(－i )i＋i ＝2i. 答案：2i三、解答题(本大题共3小题，共25分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)26．(本小题满分8分)已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝15－5i(2＋i )2，求：(1)z 1z 2；(2)z 1z 2.解：z 2＝15－5i (2＋i )2＝15－5i 3＋4i ＝(15－5i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i ) ＝25－75i25＝1－3i ，(1)z 1z 2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.(2)z 1z 2＝2－3i 1－3i ＝(2－3i )(1＋3i )(1－3i )(1＋3i )＝11＋3i 10＝1110＋310i.27．(本小题满分8分)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1z 2是实数，求z 2.解：∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，∴z 1－2＝1－i 1＋i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＝1－2i －12＝－i ，∴z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i(a ∈R )，则z 1z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i. 又∵z 1z 2∈R ，∴a ＝4. ∴z 2＝4＋2i.28．(本小题满分9分)已知z ，ω为复数，(1＋3i)z 为实数，ω＝z2＋i ，且|ω|＝52，求ω.解：设ω＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由ω＝z2＋i，得z ＝ω(2＋i)＝(x ＋y i)(2＋i)．依题意，得(1＋3i)z ＝(1＋3i)(x ＋y i)(2＋i)＝(－x －7y )＋(7x －y )i ， ∴7x －y ＝0.①又|ω|＝52，∴x 2＋y 2＝50.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝7或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－7.∴ω＝1＋7i 或ω＝－1－7i.B 卷——面向全国卷高考滚动检测卷 (时间：120分钟，满分150分)一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)A ．1－iB ．1＋3iC ．3＋iD ．3＋3i解析：选B (1＋i)(2＋i)＝2＋i 2＋3i ＝1＋3i.故选B.A ．－2 B. 2 C. 3D ．－3解析：选D ∵z ＝(m 2＋m －6)＋(m －2)i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6＝0，m －2≠0，解得m ＝－3.故选D.A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选C z ＝i(－2＋i)＝－2i ＋i 2＝－1－2i ，故复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于第三象限．故选C.A ．a ∥bB ．θ＝0C ．θ＝π2D ．θ＝π解析：选B a |a |＝b|b |等价于非零向量a 与b 同向共线．即θ＝0.故选B. A ．－2 B ．2 C ．－12D.12 解析：选B ∵复数(a ＋i)(1＋2i)＝(a －2)＋(2a ＋1)i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝0，2a ＋1≠0，解得a ＝2.故选B. A ．1 B ．－12iC ．iD ．－12解析：选D 由复数z 1，z 2在复平面上对应的点分别是A (1，2)，B (－1,3)，得z 1＝1＋2i ，z 2＝－1＋3i ，则z 1z 2＝1＋2i －1＋3i ＝(1＋2i )(－1－3i )(－1＋3i )(－1－3i )＝5－5i 10＝1－i 2＝12－12i.所以z 1z 2的虚部为－12.故选D.A ．1B ．－1C ．iD ．－i解析：选B 由e i x ＝cos x ＋isin x ，得＝⎝⎛⎭⎫cos π2＋isin π22＝i 2＝－1.故选B. A ．1 B. 2 C.22D ．2 解析：选C i 为虚数单位，11－i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则11－i＝1＋i 2＝a ＋b i ，根据复数相等得到⎩⎨⎧a ＝12，b ＝12，所以a b ＝⎝⎛⎭⎫1212＝22.故选C.9．已知向量a ＝(1，k )，b ＝(2,4)，则“k ＝－12”是“|a ＋b |2＝a 2＋b 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件10．设z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R ，则以下结论正确的是( ) A ．z 对应的点在第一象限 B ．z 一定不为纯虚数 C.z 对应的点在实轴的下方 D ．z 一定为实数解析：选C ∵t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1＞0，∴z 对应的点在实轴的上方．又∵z 与z 对应的点关于实轴对称．∴C 项正确．故选C. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)11．设z 是复数，则下列命题中的真命题是( ) A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2<0，则z 是虚数C ．若z 是虚数，则z 2≥0D ．若z 是纯虚数，则z 2<0解析：选ABD 设z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，z 2＝a 2－b 2＋2ab i ， 对于A ，z 2≥0，则b ＝0，所以z 是实数，真命题；对于B ，z 2<0，则a ＝0，且b ≠0，所以z 是虚数；所以B 为真命题； 对于C ，z 是虚数，则b ≠0，所以z 2≥0是假命题；对于D ，z 是纯虚数，则a ＝0，b ≠0，所以z 2<0是真命题．故选A 、B 、D. 12．已知z 1与z 2是共轭虚数，以下四个命题一定正确的是( )A ．z 21<|z 2|2B ．z 1z 2＝|z 1z 2|C ．z 1＋z 2∈R D.z 1z 2∈R 解析：选BC z 1与z 2是共轭虚数，设z 1＝a ＋b i ，z 2＝a －b i(a ，b ∈R )．z 21<|z 2|2；z 21＝a 2－b 2＋2ab i ，复数不能比较大小，因此A 不正确；z 1z 2＝|z 1z 2|＝a 2＋b 2，B正确；z 1＋z 2＝2a ∈R ，C 正确；z 1z 2＝a ＋b i a －b i ＝(a ＋b i )2(a －b i )(a ＋b i )＝a 2－b 2a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2i 不一定是实数，因此D 不一定正确．故选B 、C.13．设复数z 满足z ＋1z ＝i ，则下列说法错误的是( )A ．z 为纯虚数B ．z 的虚部为－12iC ．在复平面内，z 对应的点位于第二象限D ．|z |＝22解析：选ABC ∵z ＋1＝z i ，设z ＝a ＋b i ，则(a ＋1)＋b i ＝－b ＋a i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝－b ，a ＝b ，解得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝－12.∴z ＝－12－12i.∴|z |＝22，复数z 的虚部为－12.故选A 、B 、C. 三、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上)解析：(a ＋2i)(1＋i)＝a －2＋(a ＋2)i ， 因为其实部为0，故a ＝2. 答案：215．设复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________. 解析：∵|a ＋b i|＝a 2＋b 2＝3，∴(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3.答案：3解析：法一：∵5－i 1＋i ＝(5－i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2－3i ， ∴ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－i 1＋i ＝|2－3i|＝4＋9＝13.法二：⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－i 1＋i ＝|5－i||1＋i|＝25＋11＋1＝262＝13. 答案：1317．设复数z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 018＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋i 1－2i 2 019，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是________，|z |＝________.解析：∵1－i 1＋i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＝－i ，2＋i 1－2i ＝(2＋i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝i ，∴z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 018＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋i 1－2i 2 019＝(－i)2 018＋i 2 019＝i 2＋i 3＝－1－i ，∴z ＝－1＋i ，则z 的虚部为1，|z |＝ 2. 答案：12四、解答题(本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18．(本小题满分12分)已知(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，求实数x ，y 的值． 解：∵(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，x ，y ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1＝0，y －2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2. ∴实数x ，y 的值分别为12，2. 19．(本小题满分14分)计算：(1)2＋2i (1－i )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 020； (2)(4－i 5)(6＋2i 7)＋(7＋i 11)(4－3i)．解：(1)2＋2i(1－i )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 020＝2＋2i －2i ＋⎝⎛⎭⎫22i 1 010 ＝i(1＋i)＋⎝⎛⎭⎫1i 1 010＝－1＋i ＋(－i)1 010＝－1＋i －1＝－2＋i.(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i)＝22－14i ＋25－25i ＝47－39i.∴(a ＋b )2＝m 2a 2，∴b 2＝(m 2－1)a 2. 又a ＋b 与a －b 的夹角2π3，∴(a ＋b )·(a －b )|a ＋b ||a －b |＝cos 2π3， ∴a 2－b 2m 2a 2＝a 2－(m 2－1)a 2m 2a 2＝2－m 2m 2＝－12. 解得m ＝2或m ＝－2(舍去)．21．(本小题满分14分)已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若|z 1－z 2|<|z 1|，求a 的取值范围． 解：因为z 1＝－1＋5i 1＋i＝2＋3i ， z 2＝a －2－i ，z 2＝a －2＋i ，所以|z 1－z 2|＝|(2＋3i)－(a －2＋i)|＝|4－a ＋2i|＝ (4－a )2＋4， 又因为|z 1|＝13，|z 1－z 2|<|z 1|，所以(4－a )2＋4<13，所以a 2－8a ＋7<0，解得1<a <7.所以a 的取值范围是(1,7)．∴∠AOB ＝5π6，建立如图所示的坐标系，则A (1,0)，B ⎝⎛⎭⎫cos 5π6，sin 5π6，即B ⎝⎛⎭⎫－32，12，设∠AOC ＝α⎝⎛⎭⎫0≤α≤5π6，则OC ―→＝(cos α，sin α)，∵OC ―→＝x OA ―→＋y OB ―→，∴(cos α，sin α)＝⎝⎛⎭⎫x －32y ，y2，则⎩⎨⎧x －32y ＝cos α，12y ＝sin α，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos α＋3sin α，y ＝2sin α，∴x ＝3x ＝3(cos α＋3sin α)－2sin α＝3cos α＋sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3，∵0≤α≤5π6， ∴π3≤α＋π3≤7π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3∈⎣⎡⎦⎤－12，1，∴3x －y ∈[－1,2]，∴3x －y 的最小值为－1.23．(本小题满分14分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2.(1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由题意得a2＋b2＝2且2ab＝2，解得a＝b＝1或a＝b＝－1，所以z＝1＋i或z＝－1－i.(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1. 当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，所以A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，所以S△ABC＝1.。

章末检测(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <B 或A >BD ．A >B解析：B ∵A －B ＝a 2＋3ab －(4ab －b 2) ＝(a －b 2)2＋34b 2≥0，∴A ≥B ． 2．已知a <0，－1<b <0，则( ) A ．a >ab >ab 2 B ．ab 2>ab >a C ．ab >a >ab 2D ．ab >ab 2>a解析：D ∵a <0，－1<b <0，∴ab >0，0<b 2<1， ∴a ＜ab 2<0，∴ab >ab 2>a .故选D ．3．设正实数x ，y 满足2x ＋y ＝1，则xy 的最大值为( ) A ．12 B ．14 C ．18D ．116解析：C 已知x >0，y >0，2x ＋y ＝1，由基本不等式可得2x ＋y ≥22xy ，即22xy ≤1，解得xy ≤18，当且仅当2x ＝y ，即x ＝14，y ＝12时，等号成立，故xy 的最大值为18.故选C ．4．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1<x <12B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >12C ．{}x |－2<x <1D ．{}x |x <－2或x >1解析：A 由题意知x 1＝－1，x 2＝2为方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个实数根，则－1＋2＝－b a ，－1×2＝2a ，解得a ＝－1，b ＝1.所以2x 2＋bx ＋a <0，即为2x 2＋x－1<0，解得－1<x <12.5．不等式3x －12－x≥1的解集是( ) A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪34≤x ≤2B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪34≤x <2C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >2，或x ≤34D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≥34 解析：B 不等式3x －12－x ≥1，移项得3x －12－x －1≥0，即x －34x －2≤0，可化为⎩⎪⎨⎪⎧x －34≥0，x －2<0，或⎩⎪⎨⎪⎧x －34≤0，x －2>0，解得34≤x <2，则原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪34≤x <2.故选B ．6．若a >b >0，则下列不等式一定成立的是( ) A ．b a >ab B ．b a >b ＋1a ＋1C ．a －1b >b －1aD ．1b >1a解析：D 对于A ，0<b a <1，而ab >1，A 错误； 对于B ，由真分数性质可得b a <b ＋1a ＋1，B 错误；对于C ，由a >b >0得1a <1b ，由(a －1b )－(b －1a )＝(a －b )·ab －1ab 大小不能确定． 对于D ，由1b >1a >0，得1b >1a.故选D ．7．已知a >0，b >0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4D ．5解析：C 因为a >0，b >0，所以1a ＋1b ＋2ab ≥21ab ＋2ab ≥41ab·ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立．8．某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝12x2－300x＋80 000，为使平均处理成本最低，该厂每月处理量应为()A．300吨B．400吨C．500吨D．600吨解析：B由题意，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)的函数关系为y＝1 2x2－300x＋80 000，所以平均处理成本为s＝yx＝12x2－300x＋80 000x＝x2＋80 000x－300，其中300≤x≤600，又x2＋80 000x－300≥2x2·80 000x－300＝400－300＝100，当且仅当x2＝80 000x时等号成立，所以x＝400时，平均处理成本最低．故选B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列命题正确的有()A．若a>1，则1a<1B．若a＋c>b，则1 a< 1 bC．对任意实数a，都有a2≥a D．若ac2>bc2，则a>b解析：AD因为a>1，所以1a<1，故A正确．若a＋c>b，可令a＝1，c＝1，b＝－1，则有1a>1b，故B错误．对于C，可取a＝12，则a2<a，故C错误．因为ac2>bc2，c2>0，所以a>b，故D正确．10．(2022·南昌期末)若1<a<2，3<b<5，则下列不等式中正确的是() A．4<a＋b<7 B．2<b－a<3C．3<ab<10 D．32<ba<5解析：ACD选项A，由1<a<2，3<b<5，可得4<a＋b<7，故选项A正确；选项B，由1<a<2可得－2<－a<－1，又3<b<5，所以1<b－a<4，故选项B 错误；选项C，由1<a<2，3<b<5，可得3<ab<10，故选项C正确；选项D，由1<a<2可得12<1a<1，又3<b<5，所以32<ba<5，故选项D正确．故选ACD．11．下列关于不等式x2－(a＋1)x＋a>0解集的讨论正确的是()A．当a＝1时，x2－(a＋1)x＋a>0的解集为∅B．当a>1时，x2－(a＋1)x＋a>0的解集为{x|x>a}C．当a<1时，x2－(a＋1)x＋a>0的解集为{x|x<a或x>1}D．无论a取何值时，x2－(a＋1)x＋a>0的解集均不为空集解析：CD x2－(a＋1)x＋a>0可化为(x－1)(x－a)>0.对于A，当a＝1时，解得x≠1，故A不正确；对于B，当a>1时，解得x<1或x>a，故B不正确；对于C，当a<1时，解得x>1或x<a，故C正确；对于D，易知二次函数y＝x2－(a＋1)x＋a图象的开口向上，所以无论a取何值时，不等式x2－(a＋1)x＋a>0均有解，故D正确．故选CD．12．(2022·重庆八中期末)已知x，y是正数，且2x＋y＝1，则下列叙述正确的是()A．2xy的最大值为1 4B．4x2＋y2的最小值为1 2C．x(x＋y)的最大值为1 4D．1x＋1y的最小值为3＋2 2解析：ABD因为x，y是正数，2x＋y＝1，所以2xy≤(2x＋y2)2＝14，当且仅当2x ＝y ，即x ＝14，y ＝12时取等号，故A 正确；4x 2＋y 2＝(2x ＋y )2－4xy ＝1－4xy ≥1－2×14＝12，故B 正确；x (x ＋y )≤(x ＋x ＋y 2)2＝（2x ＋y ）24＝14，当且仅当x ＝x ＋y ，即x ＝12，y ＝0时取等号，但x ，y 是正数，故等号取不到，故C 不正确； 1x ＋1y ＝(1x ＋1y )(2x ＋y )＝3＋y x ＋2x y ≥3＋22，当且仅当y x ＝2x y ，即x ＝1－22，y ＝2－1时取等号，故D 正确．故选ABD ． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知关于x 的不等式2x 2＋ax －a 2>0的解集中的一个元素为2，则实数a 的取值范围为________．解析：因为关于x 的不等式2x 2＋ax －a 2>0的解集中的一个元素为2，所以8＋2a －a 2>0，即(a －4)(a ＋2)<0，解得－2<a <4.答案：{a |－2<a <4} 14．若不等式ax 2＋5x ＋c >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪13<x <12，则c ＝________；不等式x －cx －3≥0的解集为________．解析：由题意知，方程ax 2＋5x ＋c ＝0的两个实数根为x 1＝13，x 2＝12，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝13＋12＝－5a ，x 1x 2＝13×12＝ca ，解得a ＝－6，c ＝－1.由题意得，不等式x ＋1x －3≥0可转化成不等式组⎩⎨⎧（x ＋1）（x －3）≥0，x ≠3.解不等式组，可得x ≤－1或x >3. 即原不等式的解集为{x |x ≤－1或x >3}． 15．已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x >－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＝________；b ＝________．解析：y ＝x －4＋9x ＋1＝(x ＋1)＋9x ＋1－5，因为x>－1，所以x＋1>0，所以y≥2（x＋1）·9x＋1－5＝2×3－5＝1，当且仅当x＋1＝9x＋1，即x＝2时，等号成立，此时a＝2，b＝1.答案：2 116．若对一切实数x，不等式x2－a|x|＋2≥0恒成立，则实数a的取值范围为________．解析：当x＝0时，不等式x2－a|x|＋2≥0显然成立，a∈R；当x≠0时，不等式x2－a|x|＋2≥0恒成立等价于a≤x2＋2|x|恒成立．设y＝x2＋2|x|＝|x|＋2|x|≥2|x|·2|x|＝22，当且仅当x＝±2时，等号成立，即有最小值22，所以a≤2 2.综上，a≤2 2.答案：{a|a≤22}四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)当p，q都为正数且p＋q＝1时，试比较代数式(px＋qy)2与px2＋qy2的大小．解：(px＋qy)2－(px2＋qy2)＝p(p－1)x2＋q(q－1)y2＋2pqxy.因为p＋q＝1，所以p－1＝－q，q－1＝－p，所以(px＋qy)2－(px2＋qy2)＝－pq(x2＋y2－2xy)＝－pq(x－y)2.因为p，q都为正数，所以－pq(x－y)2≤0，因此(px＋qy)2≤px2＋qy2，当且仅当x＝y时等号成立．18．(12分)关于x的不等式4x＋mx2－2x＋3<2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．解：因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，所以4x＋m<2(x2－2x＋3)恒成立，所以m<2x2－8x＋6恒成立，设y ＝2x 2－8x ＋6，则当x ＝2时，y 的最小值为－2. 所以m <－2.所以实数m 的取值范围为{m |m <－2}．19．(12分)解关于x 的不等式6x 2＋ax －a 2<0(a ∈R )． 解：原不等式可化为(2x ＋a )(3x －a )<0，即 (x ＋a 2)(x －a3)<0，∴(x ＋a 2)(x －a 3)＝0的根为－a 2和a 3.①当－a 2<a3，即a >0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫ |x －a 2<x <a 3； ②当－a 2＝a3，即a ＝0时，原不等式的解集为∅；③当－a 2>a3，即a <0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫ |x a 3<x <－a 2. 综上可知，当a >0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫ |x －a 2<x <a 3；当a ＝0时，原不等式的解集为∅；当a <0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫ |x a 3<x <－a 2. 20．(12分)某市根据需要预建设1000个长方体形状的、高度恒定的相同房间，每个房间造价不超过960元．为了充分利用资源，每个房间的后墙利用原有的五合板，不需要购买，前面用木质纤维板隔离，每米造价60元，两侧面用高密度合成板，每米造价30元，顶部每平方米造价30元．设每个房间前面木质纤维板长度为x 米，一侧面高密度合成板的长度为y 米．(1)用x ，y 表示每个房间的造价W (单位：元)； (2)当每个房间面积最大时，求x 的值．解：(1)根据题意，只需要计算前面、两个侧面和一个顶面的造价，则W ＝60x ＋60y ＋30xy (x >0，y >0)．(2)根据题意，每个房间造价不超过960元，则W ＝60x ＋60y ＋30xy ≤960， 即2(x ＋y )＋xy ≤32.由基本不等式可得4xy ＋xy ≤2(x ＋y )＋xy ≤32，当且仅当x ＝y 时，取得“＝”，整理得xy ＋4xy －32≤0， 解得0<xy ≤4，即0<xy ≤16，所以当x ＝y ＝4时，每个房间的面积最大， 故当每个房间面积最大时，x ＝4.21．(12分)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．(1)若不等式y >0的解集为{x |0<x <3}，解关于x 的不等式bx 2＋3ax －(c ＋2b )<0； (2)若a ＝b 2－2b －3，c ＝2，不等式y ≥3bx ＋1对任意x ∈R 恒成立，求实数b 的取值范围．解：(1)∵ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |0<x <3}，∴a <0，0＋3＝－b a ，0×3＝c a ，∴b ＝－3a ，c ＝0，∴bx 2＋3ax －(c ＋2b )<0⇔－3ax 2＋3ax ＋6a <0(a <0)， 从而x 2－x －2<0，即(x ＋1)(x －2)<0， ∴所求不等式的解集为{x |－1<x <2}． (2)由题可知y ＝(b 2－2b －3)x 2＋bx ＋2， ∴y ≥3bx ＋1，即(b 2－2b －3)x 2－2bx ＋1≥0， ∵该不等式对任意x ∈R 恒成立， ∴⎩⎨⎧b 2－2b －3>0，（－2b ）2－4（b 2－2b －3）≤0， 解得b ≤－32.22．(12分)我们学习了基本不等式：设a >0，b >0，a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立．利用基本不等式可以证明不等式，也可以通过“和定积最大，积定和最小”求最值．(1)将基本不等式推广，请猜想：设a >0，b >0，c >0，a ＋b ＋c3≥________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立(把所缺内容补全)；(2)利用(1)中的猜想证明：设a >0，b >0，c >0，(a 2＋b 2＋c 2)(a ＋b ＋c )≥9abc ； (3)利用(1)中的猜想求最值：设a >0，b >0，c >0，a ＋b ＋c ＝1，求(1－a )(1－b )(1－c )的最大值．解：(1)3abc .(2)证明：已知a >0，b >0，c >0， 易得a 2＋b 2＋c 23≥3a 2b 2c 2，∴a 2＋b 2＋c 23·a ＋b ＋c 3≥3a 2b 2c 2·3abc ＝3a 3b 3c 3＝abc ，当且仅当a ＝b ＝c时等号成立，∴(a 2＋b 2＋c 2)(a ＋b ＋c )≥9abc . (3)由(1)可得a ＋b ＋c 3≥3abc ，则(a ＋b ＋c 3)3≥abc ，∵a >0，b >0，c >0，a ＋b ＋c ＝1， ∴1－a ＝b ＋c >0，1－b ＝a ＋c >0， 1－c ＝a ＋b >0， ∴(1－a )(1－b )(1－c )＝(b＋c )(a＋c )(a＋b )≤[（b ＋c ）＋（a ＋c ）＋（a ＋b ）3]3＝[23(a ＋b ＋c )]3＝(23)3＝827，当且仅当b ＋c ＝a ＋c ＝a ＋b ，即a ＝b ＝c 时取等号， 故(1－a )(1－b )(1－c )的最大值为827.。

本栏目内容在学生用书中以活页形式分册装订！授课提示：对应章末达标检测(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2010年高考湖北卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 3x ，x >0，2x ，x ≤0，则f (f (19))＝( )A ．4 B.14C ．－4D ．－14解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 3 19＝f (－2)＝2－2＝14.答案：B2．(2010年高考陕西卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )A.12B.45 C ．2 D ．9解析：∵f (f (0))＝f (20＋1)＝f (2)＝22＋2a ＝2a ＋4， ∴2a ＋4＝4a ，∴a ＝2. 答案：C3．已知函数f (x )＝a 2－x (a >0且a ≠1)，当x >2时，f (x )>1，则f (x )在R 上( ) A ．是增函数 B ．是减函数C ．当x >2时是增函数，当x <2时是减函数D ．当x >2时是减函数，当x <2时是增函数解析：令t ＝2－x ，则t ＝2－x 为减函数，而当x >2，f (x )>1时，t <0，故0<a <1，从而g(t)＝a t为减函数，故f(x)为增函数．答案：A4．若方程x2－ax＋4＝0在[1,4]上有实数解，则实数a的取值范围是() A．[4,5] B．[3,5]C．[3,4] D．[4,6]解析：x2－ax＋4＝0⇒a＝x＋4x，令f(x)＝x＋4x，当x∈[1,4]时，易知函数在区间[1,2]内递减，在[2,4]上递增，故f(x)max＝f(1)＝f(4)＝5，f(x)min＝f(2)＝4，即函数的值域为[4,5]，故若使原方程有解只需4≤a≤5即可．答案：A5．设集合M＝{2,3，a2＋1}，N＝{a2＋a－4,2a＋1，－1}，且M∩N＝{2}，则a的取值范围是()A．{－3} B．{2，－3}C．{－3，12} D．{－3,2，12}解析：注意到2∈N.如果a2＋a－4＝2，则a＝－3或a＝2，若a＝2，则a2＋1＝5,2a＋1＝5，此时M∩N＝{2,5}与已知不符，舍去，若a＝－3，则a2＋1＝10,2a＋1＝－5，此时符合题目要求；如果2a＋1＝2，则a＝12，此时a2＋1＝54，a2＋a－4＝14＋12－4＝－134，符合题目要求．答案：C6．如图所示，若函数f(x)＝a－x(a>0，a≠1)是定义在R上的增函数，则函数f(x)＝log a(x＋1)的图象大致是()解析：∵f (x )＝a －x (a >0且a ≠1)是定义域为R 的增函数，∴0<a <1，∴函数f (x )＝log a (x ＋1)图象是减函数且定义域为(－1，＋∞)，故选D.答案：D7．已知f (x )＝|log 3x |，则下列不等式成立的是( ) A ．f (12)＞f (2) B ．f (13)＞f (3)C ．f (14)＞f (13) D ．f (2)＞f (3)解析：∵f (x )在(0,1)上递减，在(1，＋∞)上递增 ∴f (14)＞f (13)．答案：C8．先作与函数y ＝lg12－x的图象关于原点对称的图象，再将所得图象向右平移2个单位得图象C 1，又y ＝f (x )的图象C 2与C 1关于y ＝x 对称，则y ＝f (x )的解析式是( )A ．y ＝10xB ．y ＝10x －2C ．y ＝lg xD ．y ＝lg(x －2)解析：C 1的解析式为y ＝lg x ，求C 1的反函数即得C 2的解析式y ＝10x . 答案：A9．(2011年深圳调研)设集合M ＝{x |x 2<4，且x ∈R}，N ＝{x |x <2}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件解析：本题是一道常用逻辑用语问题．集合M ＝{x |－2<x <2}，N ＝{x |x <2}，a ∈{x |－2<x <2}⇒a ∈{x |x <2}，是充分不必要条件，故选A.答案：A10．(2011年济南质检)设A ，B 是非空集合，定义A ×B ＝{x |x ∈(A ∪B )，且x ∉(A ∩B )}．已知A ＝{x ||x －12|＋|x －32|≤2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ×B 等于( )A ．[0,1)∪(2，＋∞)B ．[0,1]∪[2，＋∞)C ．[0,1]D ．[0,2]解析：由不等式|x－12|＋|x－32|≤2可得集合A＝{x|0≤x≤2}，而B＝{x|x≥1}，故A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|1≤x≤2}，由条件A×B＝{x|x∈(A∪B)且x∉(A∩B)}可得A×B＝{x|0≤x<1或x>2}，故答案为A.答案：A11．(2011年厦门调研)设a＝π0.3，b＝logπ3，c＝30，则a，b，c的大小关系是()A．a>b>c B．b>c>aC．b>a>c D．a>c>b解析：据单调性或与0,1之类的特殊值进行比较．由于π>1，则y＝πx递增，因此a＝π0.3>π0＝1，又由于π>3，因此b＝logπ3<logππ＝1，而c＝30＝1，所以a>c>b.答案：D12．已知函数f(x)＝x2－2x＋2，g(x)＝ax2＋bx＋c，若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象关于点(2,0)对称，则a＋b＋c等于()A．5 B．－5C．1 D．－1解析：求解本题的关键是利用对称关系和函数f(x)的解析式进行求解，因为a＋b＋c＝g(1)，(1，g(1))在函数g(x)上，其关于点(2,0)的对称点(3，－g(1))在函数f(x)上，则将其代入函数f(x)的解析式得g(1)＝－5，故选B.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上)13．已知函数f(x)＝33x－1ax2＋ax－3的定义域是R，则实数a的取值范围是________．解析：函数f(x)的定义域是R，只需ax2＋ax－3≠0；当a＝0时，满足条件；当a≠0时，则Δ<0即a2＋12a<0，－12<a<0，故a的取值范围为－12<a≤0.答案：－12<a≤014．函数y＝f(x)与y＝a x(a>0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称，则下列结论错误的是________．①f (x 2)＝2f (x )，②f (2x )＝f (x )＋f (2)， ③f (12x )＝f (x )－f (2)，④f (2x )＝2f (x )．解析：由题意可知f (x )＝log a x ，分别代入各选项检验可知④中f (2x )＝log a 2x ≠2f (x )＝2log a x ＝log a x 2.答案：④15．(2010年高考陕西卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x ＋2，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝________.解析：∵f (f (0))＝f (2)＝4＋2a ，∴4＋2a ＝4a ，∴a ＝2. 答案：216．(2010年高考江苏卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是________．解析：当x ＝－1时，无解．当－1＜x ≤0时，1－x 2＞0，f (1－x 2)＞f (2x )化为 (1－x 2)2＋1＞1，恒成立．当0＜x ≤1时，1－x 2≥0,2x ＞0，f (1－x 2)＞f (2x )化为 (1－x 2)2＋1＞(2x )2＋1，即1－x 2＞2x ，(x ＋1)2＜2， ∴0＜x ＜2－1. 当1－x 2＜0时，无解． 综上知－1＜x ＜2－1. 答案：(－1，2－1)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知函数f (x )＝ax ＋1x 2(x ≠0，常数a ∈R)．(1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在x ∈[3，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围． 解析：(1)定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称；当a ＝0时，f (x )＝1x 2，满足对定义域上任意x ，f (－x )＝f (x )，∴a ＝0时，f (x )是偶函数； 当a ≠0时，f (1)＝a ＋1，f (－1)＝1－a ， 若f (x )为偶函数，则a ＋1＝1－a ，a ＝0矛盾， 若f (x )为奇函数，则1－a ＝－(a ＋1)，1＝－1矛盾， ∴当a ≠0时，f (x )是非奇非偶函数． (2)f ′(x )＝a －2x 3，x ∈[3，＋∞)为增函数，∴f ′(x )＝a －2x 3≥0恒成立∴a ≥2x 3恒成立，∴a ≥233＝227.18．(12分)已知函数f (x )＝|x －8|－|x －4|. (1)作出函数y ＝f (x )的图象；(2)解不等式|x －8|－|x －4|>2.解析：(1)f (x )＝⎩⎨⎧4， x ≤4，－2x ＋12， 4<x ≤8，－4， x >8.图象如下：(2)不等式|x －8|－|x －4|>2，即f (x )>2. 由－2x ＋12＝2得x ＝5.由函数f (x )图象可知，原不等式的解集为(－∞，5)． 19．(12分)已知函数f (x )＝x ＋log 3x4－x .(1)求f (x )＋f (4－x )的值；(2)猜想函数f (x )的图象具有怎样的对称性，并给出证明．解析：(1)f (x )＋f (4－x )＝x ＋log 3x 4－x ＋4－x ＋log 34－x 4－(4－x )＝4＋log 3x4－x ＋log 34－xx ＝4.(2)关于点P (2,2)对称．证明：设Q (x ，y )为函数f (x )＝x ＋log 3x4－x 图象上的任一点，若点Q 关于点P 的对称点为Q 1(x 1，y 1)，则⎩⎨⎧ x ＋x 1＝4，y ＋y 1＝4⇒⎩⎨⎧x 1＝4－x ，y 1＝4－y ，f (x 1)＝x 1＋log 3x 14－x 1＝4－x ＋log 34－x x ＝4－x －log 3x4－x ＝4－y ＝y 1，∴函数y ＝f (x )的图象关于点P (2,2)对称．20．(12分)已知a ∈R ，b ∈R ，f (x )为奇函数，且f (2x )＝a ·4x ＋a －24x ＋b .(1)求f (x )；(2)求f (x )的反函数f －1(x )及其定义域．解析：(1)由f (2x )＝a ·4x ＋a －24x ＋b ，得f (x )＝a ·2x ＋a －22x ＋b .∵f (x )是R 上的奇函数， ∴f (0)＝2a －21＋b＝0，得a ＝1. 又∵f (－1)＝－f (1)， ∴b ＝1，∴f (x )＝2x －12x ＋1.(2)由f (x )得f －1(x )＝log 21＋x1－x.由此得2x＝1＋y1－y>0，∴－1<y <1.故反函数f －1(x )定义域为(－1,1)．21．(12分)某公司生产一种产品的固定成本为0.5万元，但每生产100件需再增加成本0.25万元，市场对此产品的年需求量为500件，年销售收入(单位：万元)为R (t )＝5t －t 22(0≤t ≤5)，其中t 为产品售出的数量(单位：百件)．(1)把年利润表示为年产量x (百件)(x ≥0)的函数f (x )； (2)当年产量为多少件时，公司可获得最大年利润？ 解析：(1)当0≤x ≤5时， f (x )＝R (x )－0.5－0.25x ； ＝－12x 2＋4.75x －0.5；当x >5时，f (x )＝R (5)－0.5－0.25x ＝12－0.25x ， 故所求函数解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋4.75x －0.5 (0≤x ≤5)，12－0.25x (x >5).(2)0≤x ≤5时，f(x)＝－12(x－4.75)2＋10.781 25，∴当x＝4.75时，f(x)有最大值10.781 25，当x>5时，f(x)＝12－0.25x<12－0.25×5＝10.75<10.781 25，综上所述，当x＝4.75时，f(x)有最大值，即当年产量为475件时，公司可获得最大年利润．22．(12分)已知函数f(x)＝ax2＋1bx＋c(a>0，b>0，c∈R)是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中b∈N*且f(1)<5 2.(1)试求函数f(x)的解析式；(2)问函数f(x)图象上是否存在关于点(1,0)对称的两点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．解析：(1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即ax2＋1－bx＋c＝－ax2＋1bx＋c在定义域内恒成立．∴－bx＋c＝－bx－c，∴c＝－c，∴c＝0.此时f(x)＝ax2＋1bx显然是奇函数．∵a>0，b>0，∴f(x)＝ab x＋1bx≥2ab2，当且仅当x＝1a时，等号成立．于是2 ab2＝2，∴a＝b2.由f(1)<52得a＋1b<52，即b2＋1b<52，∴2b2－5b＋2<0.解得12<b<2，又b∈N*，∴b＝1，∴a＝1，∴f(x)＝x＋1 x.(2)设存在一点(x0，y0)在y＝f(x)的图象上，并且关于点(1,0)的对称点(2－x0，－y0)也在y＝f(x)的图象上．则x20＋1x0＝y0，(2－x0)2＋12－x0＝－y0，消去y0得x20－2x0－1＝0.∴x0＝1±2，∴y＝f(x)的图象上存在两点(1＋2，22)，(1－2，－22)关于点(1,0)对称．。

章末能力过关测评(二)(对应学生用书第117页)(时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列等式恒成立的是( )A.AB→＋BA →＝0 B.AB→－AC →＝BC → C ．(a·b )·c ＝a (b·c )D ．(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c【解析】 由数量积满足分配律知D 正确．【答案】 D2．(2014·泰安高一检测)已知点M 是线段PQ 的中点，且PM→＝λQM →，则λ＝( )A ．1 B.12 C ．－1 D ．－12【解析】 ∵M 为PQ 中点，∴|PM→|＝|QM →|，且PM →与QM →方向相反， ∴λ＝－1.【答案】 C3．(2013·汶上高一检测)在平行四边形ABCD 中，若AB →＝3e 1，BC →＝2e 2，则2e 2－3e 1＝( )A.AC→ B.CA → C.BD → D.BC → 【解析】 2e 2－3e 1＝BC→－AB →＝AD →－AB →＝BD →. 【答案】 C4．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |＝( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．4【解析】 2a －b ＝(3，n )，∵2a －b 与b 垂直，∴－3＋n 2＝0，∴n ＝±3，∴a ＝(1，±3)．∴|a |＝1＋3＝2.【答案】 C5．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( )A.23B.13 C ．－13 D ．－23【解析】 ∵AD→＝2DB →， ∴CD→－CA →＝2(CB →－CD →)， ∴CD →＝13CA →＋23CB → 又CD →＝13CA →＋λCB →，∴λ＝23. 【答案】 A6．向量a ＝(3，4)，b ＝(－3，1)，a 与b 的夹角为θ，则tan θ＝( ) A.13 B ．－13 C ．3 D ．－3【解析】 由已知得，a·b ＝3×(－3)＋4×1＝－5，|a |＝5，|b |＝10，所以cos θ＝a·b |a|·|b |＝－5510＝－110. 由于θ∈[0，π]，所以sin θ＝1－cos 2θ＝310. 所以tan θ＝sin θcos θ＝－3. 【答案】 D7．已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，且a ＋b 与c 共线，b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c ＝( )A ．aB ．bC ．cD ．0【解析】 因为a ＋b 与c 共线，所以有a ＋b ＝mc ，又b ＋c 与a 共线，所以有b ＋c ＝na ，即b ＝mc －a 且b ＝－c ＋na ，因为a ，b ，c 中任意两个都不共线，则有⎩⎨⎧m ＝－1，n ＝－1，所以b ＝mc －a ＝－c －a ，即a ＋b ＋c ＝0. 【答案】 D8．已知a ＝(λ，2)，b ＝(－3，5)，且a 与b 的夹角是钝角，则λ的取值范围是( )A ．λ>103B ．λ≥103C ．λ<103D ．λ≤103【解析】 |a |＝λ2＋4，|b |＝34，a·b ＝－3λ＋10，由cos θ＝a·b |a|·|b |及θ为钝角时cos θ∈(－1，0)，知－1<10－3λλ2＋4·34<0，解得λ>103. 【答案】 A 9．与向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫72，12，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－72的夹角相等，且模为1的向量是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35或⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫223，－13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫223，－13或⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，13 【解析】 设所求向量e ＝(x ，y )由于|a |＝|b |，故由a·e ＝b·e 与|e |＝1，可解得e ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35或⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，也可逐项代入验证． 【答案】 B10．如图1，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，下列向量的数量积中最大的是( )图1A.P 1P 2→·P 1P 3→B.P 1P 2→·P 1P 4→C.P 1P 2→·P 1P 5→D.P 1P 2→·P 1P 6→【解析】 显然P 1P 2→·P 1P 5→＝0，P 1P 2→·P 1P 6→<0，设边长为1，则|P 1P 3→|＝3，向量P 1P 2与P 1P 3的夹角为π6.∴P 1P 2→·P 1P 3→＝32， 而P 1P 2→·P 1P 4→＝1×2×cos π3＝1.故选A.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)11．一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进60 m ，若牵绳与船前进方向的夹角为π6，人的拉力为50 N ，则纤夫对船所做的功为________J .【解析】 W ＝60×50×cos π6＝1 5003(J )．【答案】 1 500 312．(2013·课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b ，若b ·c ＝0，则t ＝________．【解析】 因为c ＝ta ＋(1－t )b ，c·b ＝0，所以c ·b ＝ta ·b ＋(1－t )b 2＝0，所以t cos 60°＋1－t ＝0，所以1－12t ＝0，解得t ＝2.【答案】 213．(2013·天津高考)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E为CD 的中点．若AC→·BE →＝1，则AB 的长为________． 【解析】 因为E 为CD 的中点，所以BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12DC →＝AD →－12AB →. AC→＝AD →＋AB →. 因为AC →·BE →＝1，所以AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－12AB → ＝AD →2－12AB →2＋12AB →·AD →＝1， 即1－12AB →2＋12|AB →|cos 60°＝1，所以－12AB →2＋14|AB →|＝0，解得|AB →|＝12. 【答案】 1214．l 1，l 2是不共线向量，且a ＝－l 1＋3l 2，b ＝4l 1＋2l 2，c ＝－3l 1＋12l 2，若以b ，c 为一组基底，则向量a ＝________.【解析】 设a ＝xb ＋yc ，由题意，可知－l 1＋3l 2＝x (4l 1＋2l 2)＋y (－3l 1＋12l 2)．整理得－l 1＋3l 2＝(4x －3y )l 1＋(2x ＋12y )l 2由平面向量基本定理得⎩⎨⎧4x －3y ＝－1，2x ＋12y ＝3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－118，y ＝727.∴a ＝－118b ＋727c . 【答案】 a ＝－118b ＋727c三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知向量OA→(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m)．(1)若点A 、B 、C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件；(2)若点A 、B 、C 构成以∠A 为直角的三角形，求m 的值．【解】 (1)若点A 、B 、C 能构成三角形，则这三点不共线，由AB→＝(3，1)，AC →＝(2－m ，1－m)，AB →与AC →不共线得3(1－m)≠2－m ，解得m ≠12. (2)∵∠A 为直角，∴AB→⊥AC →，∴3(2－m)＋(1－m)＝0，解得m ＝74.16．(本小题满分12分)(1)已知|a|＝5，b ＝(3，2)，a ⊥b ，求a 的坐标；(2)已知|a |＝1，|b |＝2，且(λa ＋b )⊥(2a －λb )，a 与b 的夹角为60°，求λ的值．【解】 (1)设a ＝(x ，y )，由|a |＝5，得x 2＋y 2＝25，由a ⊥b ，得3x ＋2y ＝0，联立得⎩⎨⎧x 2＋y 2＝253x ＋2y ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1013y ＝－1513或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1013y ＝1513. ∴a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫101313，－151313或a ＝(－101313，151313)． (2)(λa ＋b )⊥(2a －λb )，∴(λa ＋b )·(2a －λb )＝0，∴2λa 2－λ2a·b ＋2a·b －λb 2＝0，又|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°， ∴λ2＋2λ－2＝0，∴λ＝－1±3.17．(本小题满分12分)设平面内两向量a 与b 互相垂直，且|a |＝2，|b |＝1，又k 与t 是两个不同时为零的实数．(1)若x ＝a ＋(t －3)b 与y ＝－ka ＋tb 垂直，试求k 关于t 的函数关系式k ＝f (t )；(2)求函数k ＝f (x )的最小值．【解】 (1)∵a ⊥b ，∴a·b ＝0，又x ⊥y ，∴x·y ＝0.即[a ＋(t －3)b ]·(－ka ＋tb )＝0，－ka 2－k (t －3)a·b ＋ta ·b ＋t (t －3)b 2＝0，∵|a |＝2，|b |＝1，∴－4k ＋t 2－3t ＝0，得k ＝14(t 2－3t )．(2)由(1)知k ＝14(t 2－3t )＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322－916， 即函数的最小值为－916.18．(本小题满分14分)在△OAB 的边OA 、OB 上分别有一点P 、Q ，已知OP ∶PA ＝1∶2，OQ ∶QB ＝3∶2，连接AQ 、BP ，设它们交于点R ，若OA→＝a ，OB→＝b . (1)用a 与b 表示OR→； (2)若|a |＝1，|b |＝2，a 与b 夹角为60°，过R 作RH ⊥AB 交AB 于H ，用a与b 表示OH→. 【解】 (1)OP →＝13OA →＝13a ，OQ →＝35b ，由A 、R 、Q 三点共线，可设AR →＝mAQ →， 故OR→＝OA →＋AR →＝a ＋mAQ →＝a ＋m (OQ →－OA →) ＝a ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫35b －a ＝(1－m )a ＋35mb . 同理，由B 、R 、P 三点共线，可设BR→＝nBP →， 故OR →＝OB →＋BR →＝b ＋n (OP →－OB →)＝n 3a ＋(1－n )b .由于a 与b 不共线，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝n 3，35m ＝1－n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝56，n ＝12.∴OR →＝16a ＋12b . (2)由A 、H 、B 共线，可设BH→＝λBA →， 则OH→＝λa ＋(1－λ)b ， RH →＝OH →－OR →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－16a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－λb ， 又RH→⊥AB →⇒RH →·AB →＝0， ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－16a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－λb ·(b －a )＝0. 又∵a·b ＝|a||b|cos θ＝1，∴λ＝12，∴OH →＝12a ＋12b .。

章末培优练一、选择题1.如图1所示，质量为M 的木块位于光滑水平地面上，在木块与墙之间用水平轻弹簧连接，开始时木块静止在A 位置．现有一质量为m 的子弹以水平速度v 0射向木块并嵌入其中，则当木块回到A 位置时的速度v 的大小以及此过程中墙对弹簧的冲量I 的大小分别为( )图1A.m v 0M ＋m，0 B.m v 0M ＋m ，2m v 0 C.m v 0M ＋m ，2m 2v 0M ＋mD.m v 0M，2m v 0 答案 B解析 子弹射入木块过程，由于时间极短，子弹与木块间的内力远大于系统外力，由动量守恒定律得m v 0＝(M ＋m )v ′，解得v ′＝m v 0M ＋m；子弹和木块系统在弹簧弹力的作用下先做减速运动，后做加速运动，回到A 位置时速度大小不变，即木块回到A 位置时的速度大小v ＝m v 0M ＋m；子弹、木块和弹簧组成的系统受到的合力即墙对弹簧的作用力，根据动量定理得，I ＝－(M ＋m )v －(M ＋m )v ＝－2m v 0，所以墙对弹簧的冲量I 的大小为2m v 0，故选B.2．(2019·全国卷Ⅰ)最近，我国为“长征九号”研制的大推力新型火箭发动机联试成功，这标志着我国重型运载火箭的研发取得突破性进展．若某次实验中该发动机向后喷射的气体速度约为3 km/s ，产生的推力约为4.8×106 N ，则它在1 s 时间内喷射的气体质量约为( )A ．1.6×102 kgB ．1.6×103 kgC ．1.6×105 kgD ．1.6×106 kg 答案 B解析 设1 s 时间内喷出的气体的质量为m ，喷出的气体与该发动机的相互作用力为F ，由动量定理有Ft ＝m v －0，则m ＝Ft v ＝4.8×106×13×103kg ＝1.6×103 kg ，选项B 正确． 3．(多选)(2017·全国卷Ⅲ)一质量为2 kg 的物块在合外力F 的作用下从静止开始沿直线运动．F 随时间t 变化的图线如图2所示，则( )图2A ．t ＝1 s 时物块的速率为1 m/sB ．t ＝2 s 时物块的动量大小为4 kg·m/sC ．t ＝3 s 时物块的动量大小为5 kg·m/sD ．t ＝4 s 时物块的速度为零答案 AB解析 由动量定理可得：Ft ＝m v ，解得v ＝Ft m .t ＝1 s 时物块的速率为v ＝Ft m ＝2×12m/s ＝1 m/s ，故A 正确；t ＝2 s 时物块的动量大小p 2＝2×2 kg·m/s ＝4 kg·m/s ，t ＝3 s 时物块的动量大小为p 3＝(2×2－1×1) kg·m/s ＝3 kg·m/s ，t ＝4 s 时物块的动量大小为p 4＝(2×2－1×2) kg·m/s ＝2 kg·m/s ，所以t ＝4 s 时物块的速度为1 m/s ，故B 正确，C 、D 错误．4．(多选)如图3甲所示，在光滑水平面上，轻质弹簧右端固定，物体A 以速度v 0向右运动压缩弹簧，测得弹簧的最大压缩量为x .现让弹簧右端连接另一质量为m 的物体B (如图乙所示)，物体A 以2v 0的速度向右压缩弹簧，测得弹簧的最大压缩量仍为x ，则( )图3A ．物体A 的质量为3mB ．物体A 的质量为2mC ．弹簧压缩量最大时的弹性势能为32m v 02 D ．弹簧压缩量最大时的弹性势能为m v 02答案 AC解析 对题图甲，设物体A 的质量为M ，由机械能守恒定律可得，弹簧压缩量为x 时弹性势能E p ＝12M v 02；对题图乙，物体A 以2v 0的速度向右压缩弹簧，A 、B 组成的系统动量守恒，弹簧达到最大压缩量时，A 、B 速度相等，由动量守恒定律有M ·2v 0＝(M ＋m )v ，由能量守恒定律有E p ＝12M ·(2v 0)2－12(M ＋m )v 2，联立解得M ＝3m ，E p ＝12M v 02＝32m v 02，选项A 、C 正确，B 、D 错误．5．(2019·长郡中学模拟)在冰壶比赛中，某队员利用红壶去碰撞对方的蓝壶，两者在大本营中心发生对心碰撞如图4(a)所示，碰撞前后两壶运动的v －t 图线如图(b)中实线所示，其中红壶碰撞前后的图线平行，两冰壶质量相等，则( )图4A ．碰后红壶将被反弹回来B ．碰后瞬间蓝壶速度为0.8 m/sC ．碰后蓝壶移动的距离为2.4 mD ．碰后红壶所受摩擦力小于蓝壶所受的摩擦力答案 B解析 从题图(b)中可知碰后红壶的速度大小变为0.2 m/s ，方向不变，仍朝着原来的方向运动，即没有反弹回来，设碰后蓝壶的速度为v ，红壶碰前的速度v 0＝1.0 m/s ，碰后速度为v ′＝0.2 m/s ，根据动量守恒定律可得m v 0＝m v ′＋m v ，解得v ＝0.8 m/s ，A 错误，B 正确；速度图线与时间轴围成的面积表示位移，则碰后蓝壶移动的距离为x ＝12×0.8×(6－1)m ＝2.0 m ，C 错误；两壶在碰后的运动过程中，在水平方向上只受摩擦力作用，两壶质量相等，所以摩擦力越大，加速度越大，而v －t 图线的斜率表示加速度，从题图(b)中可知碰后红壶的加速度大，所以红壶受到的摩擦力大，D 错误．6．(2020·潍坊市第一中学模拟)如图5所示，在粗糙水平面上，用水平轻绳相连的两个材料相同的物体A 、B ，质量均为m ，在水平恒力F 作用下以速度v 做匀速直线运动．在t ＝0时轻绳断开，A 在F 作用下继续前进，则下列说法正确的是( )图5A ．t ＝0至t ＝m v F时间内，A 、B 的总动量不守恒 B ．t ＝2m v F时，A 的动量为2m v C ．t ＝2m v F 至t ＝3m v F时间内，A 、B 的总动量守恒 D ．t ＝4m v F时，A 的动量为4m v答案 B解析 因为最初质量均为m 的两个物体A 、B 在水平恒力F 作用下一起以速度v 匀速运动，所以每一个物体受到的阻力大小均为F 2.轻绳断开后，对物体B 应用动量定理有－12F ·t B＝0－m v ，解得B 继续运动的时间t B ＝2m v F.在物体B 停止运动前，以A 、B 整体为研究对象，合外力仍然为零，系统的动量守恒，t ＝2m v F 后，系统动量不守恒，选项A 、C 错误．t ＝2m v F时，物体B 恰好停止运动，对A 、B 整体应用动量守恒定律，有2m v ＝0＋p A ′，即p A ′＝2m v ，选项B 正确．在t ＝2m v F 到t ＝4m v F 的过程中，对A 运用动量定理，12F ×2m v F＝p A 终－2m v ，故p A 终＝3m v ，选项D 错误．7．(多选)(2019·怀化市模拟)如图6所示，一平台到地面的高度为h ＝0.45 m ，质量为M ＝0.3 kg 的木块放在平台的右端，木块与平台间的动摩擦因数为μ＝0.2.地面上有一质量为m ＝0.1 kg 的玩具青蛙，距平台右侧的水平距离为x ＝1.2 m ，旋紧发条后释放，让玩具青蛙斜向上跳起，当玩具青蛙到达木块的位置时速度恰好沿水平方向，玩具青蛙立即抱住木块并和木块一起滑行．已知木块和玩具青蛙均可视为质点，玩具青蛙抱住木块过程时间极短，不计空气阻力，重力加速度g ＝10 m/s 2，则下列说法正确的是( )图6A ．玩具青蛙在空中运动的时间为0.3 sB ．玩具青蛙在平台上运动的时间为2 sC ．玩具青蛙起跳时的速度大小为3 m/sD ．木块开始滑动时的速度大小为1 m/s答案 AD解析 由h ＝12gt 12得玩具青蛙在空中运动的时间为t 1＝0.3 s ，A 项正确；玩具青蛙离开地面时的水平速度和竖直速度分别为v x ＝x t 1＝4 m/s ，v y ＝gt 1＝3 m/s ，则玩具青蛙起跳时的速度大小为v 0＝v x 2＋v y 2＝5 m/s ，C 项错误；由动量守恒定律得m v x ＝(M ＋m )v ，解得木块开始滑动时的速度大小为v ＝1 m/s ，D 项正确；对木块及玩具青蛙由动量定理得：－μ( M ＋m )gt 2＝0－(M ＋m )v ，解得玩具青蛙在平台上运动的时间为t 2＝0.5 s ，B 项错误．8.如图7所示，在光滑水平面上放置一个质量为M 的滑块，滑块的一侧是一个14弧形凹槽，凹槽的半径为R ，A 点切线水平．另一个质量为m 的小球以速度v 0从A 点冲上凹槽，重力加速度为g ，不计摩擦．下列说法正确的是( )图7A ．当v 0＝2gR 时，小球能到达B 点 B ．如果小球的速度足够大，球将从滑块的左侧离开滑块后落到滑块左侧水平面上C ．当v 0＝2gR 时，小球在弧形凹槽上运动的过程中，滑块的动能一直增大D ．如果滑块固定，小球返回A 点时对滑块的压力为m v 02R答案 C解析 水平面光滑，滑块不固定，当v 0＝2gR 时，设小球沿槽上升的高度为h ，系统水平方向动量守恒，同时机械能守恒，则有m v 0＝(m ＋M )v ，12m v 02＝12(M ＋m )v 2＋mgh ，可解得h ＝M M ＋mR <R ，A 错误；因小球对弧形凹槽的压力始终对滑块做正功，故滑块的动能一直增大，C 正确；当小球速度足够大，从B 点离开滑块时，相对滑块做竖直上抛运动，离开B 点后将再次从B 点落回，不会从滑块的左侧离开滑块后落到滑块左侧水平面上，B 错误；如果滑块固定，小球返回A 点时对滑块的压力为mg ＋m v 02R，D 错误． 二、非选择题9．(2018·全国卷Ⅱ)汽车A 在水平冰雪路面上行驶．驾驶员发现其正前方停有汽车B ，立即采取制动措施，但仍然撞上了汽车B .两车碰撞时和两车都完全停止后的位置如图8所示，碰撞后B 车向前滑动了4.5 m ，A 车向前滑动了2.0 m ．已知A 和B 的质量分别为2.0×103 kg 和1.5×103 kg ，两车与该冰雪路面间的动摩擦因数均为0.10，两车碰撞时间极短，在碰撞后车轮均没有滚动，重力加速度大小g ＝10 m/s2.求：图8(1)碰撞后的瞬间B 车速度的大小；(2)碰撞前的瞬间A 车速度的大小．答案 (1)3.0 m/s (2)4.3 m/s解析 (1)设B 车的质量为m B ，碰后加速度大小为a B .根据牛顿第二定律有μm B g ＝m B a B ①式中μ是汽车与路面间的动摩擦因数．设碰撞后瞬间B 车速度的大小为v B ′，碰撞后滑行的距离为s B .由运动学公式有v B ′2＝2a B s B ②联立①②式并利用题给数据得v B ′＝3.0 m/s ③(2)设A 车的质量为m A ，碰后加速度大小为a A ，根据牛顿第二定律有μm A g ＝m A a A ④设碰撞后瞬间A 车速度的大小为v A ′，碰撞后滑行的距离为s A ，由运动学公式有 v A ′2＝2a A s A ⑤设碰撞前的瞬间A 车速度的大小为v A .两车在碰撞过程中动量守恒，有m A v A ＝m A v A ′＋m B v B ′⑥联立③④⑤⑥式并利用题给数据得v A ≈4.3 m/s10．(2019·天津市南开中学期末)如图9所示，一对杂技演员(都可视为质点)乘秋千从A 点由静止出发绕O 点下摆，演员处于A 点时秋千绳处于水平位置，当摆到最低点B 时，女演员在极短时间内将男演员沿水平方向推出，然后自己刚好能回到A 点．求男演员落地点C 与O点的水平距离x .(已知男演员的质量m 1和女演员的质量m 2的关系为m 1m 2＝2，秋千的质量不计，秋千的绳长为R ，C 点比O 点低5R ，不计空气阻力)图9答案 8R解析 设分离前男女演员在秋千最低点B 的速度为v 0，由机械能守恒定律有(m 1＋m 2)gR ＝12(m 1＋m 2)v 02 设刚分离时男演员速度的大小为v 1，方向与v 0相同，女演员速度的大小为v 2，方向与v 0相反，由动量守恒定律有(m 1＋m 2)v 0＝m 1v 1－m 2v 2分离后，男演员做平抛运动，设男演员从被推出到落到C 点所需的时间为t ，根据题中所给条件，由运动学规律得4R ＝12gt 2，x ＝v 1t 女演员刚好能回到A 点，由机械能守恒定律得m 2gR ＝12m 2v 22， 已知m 1＝2m 2，解得x ＝8R .11．(2019·珠海二中期中)如图10所示，质量M ＝1.5 kg 的小车静止于光滑水平面上并紧靠固定在水平面上的桌子右边，其上表面与水平桌面相平，小车的左端放有一质量为0.5 kg 的滑块Q .水平放置的轻弹簧左端固定，质量为0.5 kg 的小物块P 置于光滑桌面上的A 点并与弹簧的右端接触，此时弹簧处于原长．现用水平向左的推力F 将P 缓慢推至B 点(弹簧仍在弹性限度内)，推力做功W F ＝4 J ，撤去F 后，P 沿桌面滑到小车左端并与Q 发生弹性碰撞，最后Q 恰好没从小车上滑下．已知Q 与小车表面间的动摩擦因数μ＝0.1，P 、Q 均可视为质点．g ＝10 m/s 2，求：图10(1)P 与Q 碰撞前瞬间的速度是多少？(2)Q 刚开始在小车上滑行时的初速度是多少？(3)为保证Q 不从小车上滑下，小车的长度至少为多少？答案 (1)4 m/s (2)4 m/s (3)6 m解析 (1)推力F 通过P 压缩弹簧做功，根据功能关系有：E p ＝W F ①当弹簧完全推开物块P 时，弹簧恢复原长，有：E p ＝12m P v 2② 由①②式联立解得：v ＝4 m/s(2)P 、Q 之间发生弹性碰撞，设碰撞后Q 的速度为v 0，P 的速度为v ′，由动量守恒和能量守恒得：m P v ＝m P v ′＋m Q v 0③12m P v 2＝12m P v ′2＋12m Q v 02④ 由③④式解得v 0＝v ＝4 m/s ，v ′＝0(3)设滑块Q 在小车上滑行一段时间后两者的共同速度为u ，由动量守恒可得：m Q v 0＝(m Q ＋M )u ⑤根据能量守恒可得：μm Q gL ＝12m Q v 02－12(m Q ＋M )u 2⑥ 联立⑤⑥解得：L ＝6 m.。

章末测评验收卷(二)(时间：75分钟 满分：100分)一、选择题(本题10小题，1～7题为单项选择题，8～10题为多项选择题，每题4分，共40分)1.(2021·甘肃西宁北外附中高一期末)一物体从A 点由静止开始做匀加速直线运动，到达B 点时速度为v ，再运动到C 点时的速度为2v ，则AB 与BC 的位移大小之比为( )A.1∶1B.1∶2C.1∶3D.1∶4答案 C解析 对AB 过程，由匀变速直线运动的速度与位移的关系式可得v 2＝2ax AB ，解得x AB ＝v 22a ，对BC 过程可得(2v )2－v 2＝2ax BC ，解得x BC ＝3v 22a ，所以AB 与BC 的位移大小之比为1∶3，C 正确，A 、B 、D 错误。

2.(2020·安徽宿州市高一期中)一质点以某初速度开始做匀减速直线运动，经2.5 s 停止运动。

若质点在这2.5 s 内开始运动的第1秒内的位移为x 1，第2秒内的位移为x 2，则x 1：x 2为( )A.2∶1B.3∶1C.5∶3D.6∶5 答案 A解析 第1秒内的位移为x 1＝12a ×(2.5 s)2－12a ×(1.5 s)2＝2a ，第2秒内的位移为x 2＝12a ×(1.5 s)2－12a ×(0.5 s)2＝a ，则x 1∶x 2＝2∶1，A 正确，B 、C 、D 错误。

3.(2021·福建长泰县第一中学高一期中)物体沿一直线做匀加速直线运动，已知它在第2 s 内的位移为4.0 m ，第3 s 内的位移为6.0 m ，则下列判断中正确的是( )A.它在第2 s 到第3 s 内的平均速度的大小是6.0 m/sB.它在第1 s 内的位移是2.0 mC.它的加速度大小是1.0 m/s 2D.它的初速度为零答案 B解析 第2 s 到第3 s 内的总位移为10 m ，时间为2 s ，根据平均速度定义可知v ＝4 m ＋6 m 2 s ＝5 m/s ，A 错误；根据匀变速直线运动规律的推论Δx ＝aT 2可知x 2－x 1＝x 3－x 2，可得第1 s 内的位移为2 m ，B 正确；据Δx ＝aT 2可得加速度a ＝6 m －4 m 12 s 2＝2.0 m/s 2，C 错误；由B 知第1 s 内的位移为2 m ，根据x ＝v 0t ＋12at 2可知物体的初速度v 0＝1 m/s ，不为零，D 错误。