中考数学专题复习课件26

中考数学复习考点知识与题型专题讲义26 全等三角形的应用（提高篇）1．小聪同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于O，OD⊥CD．垂足为D，已知AB＝10米，请根据上述信息求标语CD的长度．【分析】由AB∥CD，利用平行线的性质可得∠ABO＝∠CDO，由垂直的定义可得∠CDO＝90°，易得OB⊥AB，由相邻两平行线间的距离相等可得OD＝OB，利用ASA定理可得△ABO≌△CDO，由全等三角形的性质可得标语CD的长度．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，∵OD⊥CD，∴∠CDO＝90°，∴∠ABO＝90°，即OB⊥AB，∵相邻两平行线间的距离相等，∴OD＝OB，在△ABO与△CDO中，{∠ABO =∠CDOOB =OD ∠AOB =∠COD，∴△ABO ≌△CDO （ASA ），∴CD ＝AB ＝10m ．即标语CD 的长度是10m ．【点评】本题主要考查了平行线的性质和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各定理是解答此题的关键．2．如图1，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 为边BC 上一点（不与点B 、C 重合），连接AD ，过点C 作CE ⊥AD 于E ，延长CE 至F ，使得CF ＝AE ．（1）依题意补全图形（图2）；（2）求证：BF ⊥CE ；（3）作CM ⊥AB 于点M ，连接FM ，若AC ＝a ，∠CAE ＝30°，求FM 的长．【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）证明△ACE ≌△CBF （SAS ），推出∠AEC ＝∠F ＝90°，即可解决问题．（3）如图3中，连接EM ，设CF 交AB 于点O ．证明△MCE ≌△MBF （SAS ），推出ME ＝MF ，∠CME ＝∠BMF ，推出∠EMF ＝∠CMB ＝90°，推出FM =√22EF =√22（CF ﹣EC ），由此即可解决问题．【解答】（1）解：图形如图2所示：（2）证明：∵CF ⊥AD ，∴∠AEC ＝90°，∵CA ＝CB ，∠ACD ＝90°，∴∠ACE +∠BCF ＝90°，∠CAE +∠ACE ＝90°，∴∠CAE ＝∠BCF ，在△ACE 和△CBF 中，{AC =CB ∠CAE =∠BCF AE =CF，∴△ACE ≌△CBF （SAS ），∴∠AEC ＝∠F ＝90°，∴BF ⊥CF ．（3）如图3中，连接EM ，设CF 交AB 于点O ．在Rt △ACE 中，∵∠AEC ＝90°，AC ＝a ，∠CAE ＝30°，∴EC =12AC =12a ，AE =√3EC =√32a ，∵∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，CM ⊥AB ，∴CM ＝AM ＝BM ．∵∠CMO ＝∠OFB ＝90°，∠COM ＝∠FOB ，∴∠MCO ＝∠MBF ，∵△ACE ≌△CBF ，∴CE ＝BF =12a ，AE ＝CF =√32a在△MCE 和△MBF 中，{CM =BM ∠MCE =∠MBF CE =BF，∴△MCE ≌△MBF （SAS ），∴ME ＝MF ，∠CME ＝∠BMF ，∴∠EMF ＝∠CMB ＝90°，∴FM =√22EF =√22（CF ﹣EC ）=√22（√32a −12a ）=√6−√24a ．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．3．要测量河两岸相对的两点A ，B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C ，D ，使CD ＝BC ，再定出BF 的垂线DE ，使A ，C ，E 在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC ≌△ABC ，得ED ＝AB ，因此测得ED 的长就是AB 的长，请你运用自己所学知识说明他们的做法是正确的．【分析】由已知可以得到∠ABC ＝∠BDE ，又CD ＝BC ，∠ACB ＝∠DCE ，由此根据角边角即可判定△EDC≌△ABC．【解答】证明：∵BF⊥AB，DE⊥BD，∴∠ABC＝∠BDE又∵CD＝BC，∠ACB＝∠DCE∴△EDC≌△ABC（ASA），∴DE＝BA．【点评】本题考查了全等三角形的判定方法；需注意根据垂直定义得到的条件，以及隐含的对顶角相等，观察图形，找着隐含条件是十分重要的．4．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A：②沿河岸直走20m有一树C．继续前行20m到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得DE的长为5米．（1）河的宽度是5米．（2）请你说明他们做法的正确性．【分析】将题目中的实际问题转化为数学问题，然后利用全等三角形的判定方法证得两个三角形全等即可说明其做法的正确性．【解答】证明：（1）由题意知，DE＝AB＝5米，即河的宽度是5米．故答案是：5．（2）如图，由题意知，在Rt △ABC 和Rt △EDC 中，{∠ABC =∠EDC =90°BC =DC ∠ACB =∠ECD∴Rt △ABC ≌Rt △EDC （ASA ）∴AB ＝ED ．即他们的做法是正确的．【点评】本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题．5．小明家门前有一条小河，村里准备在河面上架上一座桥，但河宽AB 无法直接测量，爱动脑的小明想到了如下方法：在与AB 垂直的岸边BF 上取两点C 、D 使CD ＝ CB ，再引出BF 的垂线DG ，在DG 上取一点E ，并使A 、C 、E 在一条直线上，这时测出线段 DE 的长度就是AB 的长．（1）按小明的想法填写题目中的空格；（2）请完成推理过程．【分析】（1）根据全等三角形的性质进行填空，构造全等三角形即可；（2）首先证明△ABC ≌△EDC ，进而可根据全等三角形对应边相等可得DE ＝AB ．【解答】解：（1）在与AB 垂直的岸边BF 上取两点C 、D 使CD ＝CB ，再引出BF 的垂线DG ，在DG 上取一点E ，并使A 、C 、E 在一条直线上，这时测出线段DE 的长度就是AB 的长． 故答案为：CB ，DE ；（2）由题意得DG ⊥BF ，∴∠CDE ＝∠CBA ＝90°，在△ABC 和△EDC 中，{∠CDE =∠CBACB =CD ∠ACB =∠ECD，∴△ABC ≌△EDC （ASA ），∴DE ＝AB （全等三角形的对应边相等）．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，解决问题的关键是掌握全等三角形对应边相等．6．在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A ，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A 水平距离为17米，高为3米的矮台B ，求旗杆的高度OM 和玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN ．【分析】首先得出△AOE ≌△OBF （AAS ），进而得出CD 的长，进而求出OM ，MN 的长即可．【解答】解：作AE ⊥OM ，BF ⊥OM ，∵∠AOE +∠BOF ＝∠BOF +∠OBF ＝90°∴∠AOE ＝∠OBF在△AOE 和△OBF 中，{∠OEA =∠BFO∠AOE =∠OBF OA =OB，∴△AOE ≌△OBF （AAS ），∴OE ＝BF ，AE ＝OF即OE +OF ＝AE +BF ＝CD ＝17（m ）∵EF ＝EM ﹣FM ＝AC ﹣BD ＝10﹣3＝7（m ），∴2EO +EF ＝17，则2×EO ＝10，所以OE ＝5m ，OF ＝12m ，所以OM ＝OF +FM ＝15m又因为由勾股定理得ON ＝OA ＝13，所以MN ＝15﹣13＝2（m ）．答：旗杆的高度OM 为15米，玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN 为2米．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及全等三角形的应用，正确得出△AOE ≌△OBF 是解题关键．7．如图，△ABC 中，AB ＝BC ＝CA ，∠A ＝∠ABC ＝∠ACB ，在△ABC 的顶点A ，C 处各有一只小蚂蚁，它们同时出发，分别以相同速度由A 向B 和由C 向A 爬行，经过t （s ）后，它们分别爬行到了D ，E 处，设DC 与BE 的交点为F ．（1）证明△ACD ≌△CBE ；（2）小蚂蚁在爬行过程中，DC 与BE 所成的∠BFC 的大小有无变化？请说明理由．【分析】（1）根据小蚂蚁的速度相同求出AD ＝CE ，再利用“边角边”证明△ACD 和△CBE 全等即可；（2）根据全等三角形对应角相等可得∠EBC ＝∠ACD ，然后表示出∠BFC ，再根据等边三角形的性质求出∠ACB ，从而得到∠BFC ．【解答】（1）证明：∵小蚂蚁同时从A 、C 出发，速度相同，∴t （s ）后两只小蚂蚁爬行的路程AD ＝CE ，∵在△ACD 和△CBE 中，{AD =CE ∠A =∠ACB AC =CB，∴△ACD ≌△CBE （SAS ）；（2）解：∵△ACD ≌△CBE ，∴∠EBC ＝∠ACD ，∵∠BFC＝180°﹣∠EBC﹣∠BCD，∴∠BFC＝180°﹣∠ACD﹣∠BCD，＝180°﹣∠ACB，∵∠A＝∠ABC＝∠ACB，∴∠ACB＝60°，∴∠BFC＝180°﹣60°＝120°，∴∠BFC无变化．【点评】本题考查了全等三角形的应用，主要利用了全等三角形对应角相等的性质，等边三角形的性质，根据小蚂蚁的速度相同求出AD＝CE是证明三角形全等的关键．8．如图，操场上有两根旗杆间相距12m，小强同学从B点沿BA走向A，一定时间后他到达M点，此时他测得CM和DM的夹角为90°，且CM＝DM，已知旗杆AC的高为3m，小强同学行走的速度为0.5m/s，则：（1）请你求出另一旗杆BD的高度；（2）小强从M点到达A点还需要多长时间？【分析】（1）首先证明△CAM≌△MBD，可得AM＝DB，AC＝MB，然后可求出AM的长，进而可得DB长；（2）利用路程除以速度可得时间．【解答】解：（1）∵CM和DM的夹角为90°，∴∠1+∠2＝90°，∵∠DBA ＝90°，∴∠2+∠D ＝90°，∴∠1＝∠D ，在△CAM 和△MBD 中，{∠A =∠B∠1=∠D CM =MD，∴△CAM ≌△MBD （AAS ），∴AM ＝DB ，AC ＝MB ，∵AC ＝3m ，∴MB ＝3m ，∵AB ＝12m ，∴AM ＝9m ，∴DB ＝9m ；（2）9÷0.5＝18（s ）．答：小强从M 点到达A 点还需要18秒．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确判定△CAM ≌△MBD ，掌握全等三角形的判定定理：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．9．小强为了测量一幢高楼高AB ，在旗杆CD 与楼之间选定一点P ．测得旗杆顶C 视线PC 与地面夹角∠DPC ＝36°，测楼顶A 视线P A 与地面夹角∠APB ＝54°，量得P 到楼底距离PB 与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为DB ＝36米，小强计算出了楼高，楼高AB 是多少米？【分析】根据题意可得△CPD ≌△P AB （ASA ），进而利用AB ＝DP ＝DB ﹣PB 求出即可．【解答】解：∵∠CPD ＝36°，∠APB ＝54°，∠CDP ＝∠ABP ＝90°，∴∠DCP ＝∠APB ＝54°，在△CPD 和△P AB 中∵{∠CDP =∠ABPDC =PB ∠DCP =∠APB，∴△CPD ≌△P AB （ASA ），∴DP ＝AB ，∵DB ＝36，PB ＝10，∴AB ＝36﹣10＝26（m ），答：楼高AB 是26米．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，根据题意得出△CPD ≌△P AB 是解题关键．10．如图是小磊家的两个房间甲与乙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA ，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB ．（1）当他在甲房间时，测得MA ＝a ，NB ＝b ，求甲房间的宽AB ；（2）当他在乙房间时，测得MA ＝c ，NB ＝d ，且∠MP A ＝75°，∠NPB ＝45°①求∠MPN 的度数；②求乙房间的宽AB ．【分析】（1）证明△AMP ≌△BPN ，从而得到MA ＝PB ＝a ，P A ＝NB ＝b ，即可求出AB ＝P A +PB ＝a +b ；（2）①根据平角的定义即可求出∠MPN ＝60°；②根据PM ＝PN 以及∠MPN 的度数可得到△PMN 为等边三角形．利用相应的三角函数表示出MN ，MP 的长，可得到房间宽AB 和AM 长相等．【解答】解：（1）∵∠MPN ＝90°，∴∠APM +∠BPN ＝90°，∵∠APM +∠AMP ＝90°，∴∠AMP ＝∠BPN ．在△AMP 与△BPN 中，{∠AMP =∠BPN∠MAP =∠PBN =90°MP =PN，∴△AMP ≌△BPN ，∴MA ＝PB ＝a ，P A ＝NB ＝b ，∴AB ＝P A +PB ＝a +b ；（2）①∠MPN ＝180°﹣∠APM ﹣∠BPN ＝60°；②过N点作MA垂线，垂足点D，连接NM．设AB＝x，且AB＝ND＝x．∵梯子的倾斜角∠BPN为45°，∴△BNP为等腰直角三角形，△PNM为等边三角形（180°﹣45°﹣75°＝60°，梯子长度相同），∠MND＝15°．∵∠APM＝75°，∴∠AMP＝15°．∴cos15°=xMN=MAMP．∵△PNM为等边三角形，∴NM＝PM．∴x＝MA＝c．即乙房间的宽AB是c．【点评】此题考查了全等三角形的应用，解直角三角形的应用，根据PM＝PN以及∠MPN的度数得到△PMN为等边三角形是解题的关键．11．（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连结BE、CD，猜想BE与CD有什么数量关系？并说明理由；（2）请模仿正方形情景下构造全等三角形的思路，利用构造全等三角形完成下题：如图2，要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离，已经测得∠ABC＝45°，∠CAE＝90°，AB＝BC＝100米，AC ＝AE ，求BE 的长（结果保留根号）．【分析】（1）由正方形的性质就可以得出△ADC ≌△ABE ，就可以得出CD ＝BE ；（2）在AB 的外侧作AD ⊥AB ，使AD ＝AB ，连结CD ，BD ，就可以得出△ADC ≌△ABE ，就有CD ＝BE ，在Rt △CDB 中由勾股定理就可以求出CD 的值，进而得出结论．【解答】解：（1）CD ＝BE ．理由：如图①∵四边形ABFD 和四边形ACGE 都是正方形，∴AD ＝AB ，AC ＝AE ，∠DAB ＝∠CAE ＝90°，∴∠DAB +∠BAC ＝∠CAE +∠BAC ，∴∠DAC ＝∠BAE ．在△ADC 和△ABE 中，{AD =AB ∠DAC =∠BAE AC =AE，∴△ADC ≌△ABE （SAS ），∴CD ＝BE ；（2）如图②，在AB 的外侧作AD ⊥AB ，使AD ＝AB ，连结CD ，BD ，∴∠DAB ＝90°，∴∠ABD ＝∠ADB ＝45°．∵∠ABC ＝45°，∴∠ABD +∠ABC ＝45°+45°＝90°，即∠DBC ＝90°．∴∠CAE ＝90°，∴∠DAB ＝∠CAE ，∴∠DAB +∠BAC ＝∠CAE +∠BAC ，即∠DAC ＝∠BAE ．在△ADC 和△ABE 中{AD =AB ∠DAC =∠BAE AC =AE，∴△ADC ≌△ABE （SAS ），∴CD ＝BE ．∵AB ＝100m ，在直角△ABD 中，由勾股定理，得BD ＝100√2．∴CD =√1002+(100√2)2=100√3，∴BE ＝CD ＝100√3，答：BE 的长为100√3米．【点评】本题考查了正方形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等腰直角三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．12．如图，在等边△ABC 的顶点A 、C 处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由A 向B和由C 向A 爬行，经过7分钟后，它们分别爬行到D 、E 处，设DC 与BE 的交点为点F ．（1）求证：△ACD ≌△CBE ；（2）蜗牛在爬行过程中，DC 与BE 所成的∠BFC 的大小有无变化？请证明你的结论．【分析】（1）根据SAS 即可判断出△ACD ≌△CBE ；（2）根据△ACD ≌△CBE ，可知∠BFC ＝180°﹣∠FBC ﹣∠BCD ＝180°﹣∠ACD ﹣∠BCD ．【解答】（1）证明：∵AB ＝BC ＝CA ，两只蜗牛速度相同，且同时出发，∴CE ＝AD ；∠A ＝∠BCE ＝60°，在△ACD 与△CBE 中，{AC =CB ∠A =∠BCE CE =AD，∴△ACD ≌△CBE （SAS ）；（2）解：DC 和BE 所成的∠BFC的大小不变．理由如下：∵△ACD ≌△CBE ，∴∠BFC ＝180°﹣∠FBC ﹣∠BCD ＝180°﹣∠ACD ﹣∠BCD ＝120°．【点评】本题考查全等三角形的应用及等边三角形的性质，难度适中，求解第二问时找出∠BFC ＝180°﹣∠FBC ﹣∠BCD ＝180°﹣∠ACD ﹣∠BCD 是关键．13．问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF＝BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论．【类比引申】如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足∠BAD＝2∠EAF关系时，仍有EF＝BE+FD．【探究应用】如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF＝（40√3−40）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长为40（√3+1）米．【分析】【发现证明】根据旋转的性质可以得到△ADG≌△ABE，则GF＝BE+DF，只要再证明△AFG≌△AFE即可．【类比引申】延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，证△ADF≌△ABM，证△F AE≌△MAE，即可得出答案；【探究应用】利用等边三角形的判定与性质得到△ABE是等边三角形，则BE＝AB＝80米．把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，只要再证明∠BAD＝2∠EAF即可得出EF＝BE+FD．【解答】【发现证明】证明：如图（1），∵△ADG≌△ABE，∴AG ＝AE ，∠DAG ＝∠BAE ，DG ＝BE ，又∵∠EAF ＝45°，即∠DAF +∠BEA ＝∠EAF ＝45°，∴∠GAF ＝∠F AE ，在△GAF 和△F AE 中，{AG =AE ∠GAF =∠FAE AF =AF，∴△AFG ≌△AFE （SAS ）．∴GF ＝EF ．又∵DG ＝BE ，∴GF ＝BE +DF ，∴BE +DF ＝EF ．【类比引申】∠BAD ＝2∠EAF ．理由如下：如图（2），延长CB 至M ，使BM ＝DF ，连接AM ，∵∠ABC +∠D ＝180°，∠ABC +∠ABM ＝180°，∴∠D ＝∠ABM ，在△ABM 和△ADF 中，{AB =AD ∠ABM =∠D BM =DF，∴△ABM ≌△ADF （SAS ），∴AF ＝AM ，∠DAF ＝∠BAM ，∵∠BAD ＝2∠EAF ，∴∠DAF +∠BAE ＝∠EAF ，∴∠EAB +∠BAM ＝∠EAM ＝∠EAF ，在△F AE 和△MAE 中，{AE =AE ∠FAE =∠MAE AF =AM，∴△F AE ≌△MAE （SAS ），∴EF ＝EM ＝BE +BM ＝BE +DF ，即EF ＝BE +DF ．故答案是：∠BAD ＝2∠EAF ．【探究应用】如图3，把△ABE 绕点A 逆时针旋转150°至△ADG ，连接AF ，过A 作AH ⊥GD ，垂足为H ．∵∠BAD ＝150°，∠DAE ＝90°，∴∠BAE ＝60°．又∵∠B ＝60°，∴△ABE 是等边三角形，∴BE ＝AB ＝80米．根据旋转的性质得到：∠ADG ＝∠B ＝60°，又∵∠ADF ＝120°，∴∠GDF ＝180°，即点G 在 CD 的延长线上．易得，△ADG ≌△ABE ，∴AG ＝AE ，∠DAG ＝∠BAE ，DG ＝BE ，又∵AH ＝80×√32=40√3，HF ＝HD +DF ＝40+40（√3−1）＝40√3，故∠HAF ＝45°，∴∠DAF＝∠HAF﹣∠HAD＝45°﹣30°＝15°从而∠EAF＝∠EAD﹣∠DAF＝90°﹣15°＝75°又∵∠BAD＝150°＝2×75°＝2∠EAF∴根据上述推论有：EF＝BE+DF＝80+40（√3−1）＝40（√3+1）（米），即这条道路EF的长为40（√3+1）．故答案是：40（√3+1）．【点评】此题主要考查了四边形综合题，关键是正确画出图形，证明∠BAD＝2∠EAF．此题是一道综合题，难度较大，题目所给例题的思路，为解决此题做了较好的铺垫．14．如图，小强在河的一边，要测河面的一只船B与对岸码头A的距离，他的做法如下：①在岸边确定一点C，使C与A，B在同一直线上；②在AC的垂直方向画线段CD，取其中点O；③画DF ⊥CD 使F 、O 、A 在同一直线上；④在线段DF 上找一点E ，使E 与O 、B 共线．他说测出线段EF 的长就是船B 与码头A 的距离．他这样做有道理吗？为什么？【分析】首先证明△ACO ≌△FDO ，根据全等三角形的性质可得AO ＝FO ，∠A ＝∠F ，再证明△ABO ≌△FEO ，进而可得EF ＝AB ．【解答】解：有道理，∵DF ⊥CD ，AC ⊥CD ，∴∠C ＝∠D ＝90°，∵O 为CD 中点，∴CO ＝DO ，在△ACO 和△FDO 中{∠C =∠DCO =DO ∠AOC =∠DOF，∴△ACO ≌△FDO （ASA ），∴AO ＝FO ，∠A ＝∠F ，在△ABO 和△EOF 中{∠A =∠FAO =FO ∠AOB =∠FOE，∴△ABO ≌△FEO （ASA ），∴EF ＝AB ．【点评】此题主要全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形的判定方法和性质定理．15．如图，一个特大型设备人字梁，工人师傅要检查人字梁的AB 和AC 是否相等，但是他直接测量不方便，身边只有一个刻度尺（长度远远不够）．它是这样操作的：①分别在BA 和CA 上取BE ＝CG ；②在BC 上取BD ＝CF ；③量出DE 的长a 米，FG 的长b 米，如果a ＝b ，则说明AB 和AC 是相等的，他的这种做法合理吗？为什么？【分析】利用全等三角形的判定方法得出△BDE ≌△CFG （SSS ），进而得出答案．【解答】解：合理，理由：在△BDE 和△CFG 中，{BE =CG BD =CF DE =FG，∴△BDE ≌△CFG （SSS ），∴∠B ＝∠C ，∴AB ＝AC ．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，根据题意正确得出对应边相等是解题关键．16．如图，在等边△ABC 的顶点B 、C 处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别都以每分钟1个单位的速度由C 向A 和由B 向C 爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t 分钟后，它们分别爬行到D 、P 处，请问：（1）在爬行过程中，BD 和AP 始终相等吗？（2）在爬行过程中BD 与AP 所成的∠DQA 有变化吗？若无变化是多少度？【分析】（1）根据等边三角形性质得出∠CAB ＝∠C ＝∠ABP ＝60°，AB ＝BC ，根据SAS 推出△BDC ≌△APB 即可．（2）根据△BDC ≌△APB 得出∠CBD ＝∠BAP ，根据三角形外角性质求出∠DQA ＝∠ABC ，即可求出答案．【解答】解：（1）在爬行过程中，BD 和AP 始终相等，理由是：∵△ABC 是等边三角形，∴∠CAB ＝∠C ＝∠ABP ＝60°，AB ＝BC ，在△BDC 和△APB 中，{BC =AB ∠C =∠ABP CD =BP，∴△BDC ≌△APB （SAS ），∴BD ＝AP ．（2）蜗牛在爬行过程中BD 与AP 所成的∠DQA 大小无变化，理由：∵△BDC ≌△APB ，∴∠CBD ＝∠BAP ，∴∠DQA ＝∠DBA +∠BAP ＝∠DBA +∠CBD ＝∠ABC ＝60°，即蜗牛在爬行过程中BD 与AP 所成的∠DQA 大小无变化，始终是60°．【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角性质以及全等三角形的性质和判定的应用．注意证得△BDC≌△APB是关键．17．对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图②）（1）根据以上操作和发现，求CDAD的值；（2）将该矩形纸片展开．①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开．求证：∠HPC＝90°；②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P点，要求只有一条折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由）【分析】（1）依据△BCE是等腰直角三角形，即可得到CE=√2BC，由图②，可得CE＝CD，而AD＝BC，即可得到CD=√2AD，即CDAD=√2；（2）①由翻折可得，PH＝PC，即PH2＝PC2，依据勾股定理可得AH2+AP2＝BP2+BC2，进而得出AP＝BC，再根据PH＝CP，∠A＝∠B＝90°，即可得到Rt△APH≌Rt△BCP（HL），进而得到∠CPH＝90°；②由AP＝BC＝AD，可得△ADP是等腰直角三角形，PD平分∠ADC，故沿着过D的直线翻折，使点A落在CD边上，此时折痕与AB的交点即为P；由∠BCE＝∠PCH＝45°，可得∠BCP＝∠ECH，由∠DCE＝∠PCH＝45°，可得∠PCE＝∠DCH，进而得到CP平分∠BCE，故沿着过点C 的直线折叠，使点B落在CE上，此时，折痕与AB的交点即为P．【解答】解：（1）由图①，可得∠BCE=12∠BCD＝45°，又∵∠B＝90°，∴△BCE是等腰直角三角形，∴BCEC=cos45°=√22，即CE=√2BC，由图②，可得CE＝CD，而AD＝BC，∴CD=√2AD，∴CDAD=√2；（2）①设AD＝BC＝a，则AB＝CD=√2a，BE＝a，∴AE＝（√2−1）a，如图③，连接EH，则∠CEH＝∠CDH＝90°，∵∠BEC＝45°，∠A＝90°，∴∠AEH＝45°＝∠AHE，∴AH＝AE＝（√2−1）a，设AP＝x，则BP=√2a﹣x，由翻折可得，PH＝PC，即PH2＝PC2，∴AH2+AP2＝BP2+BC2，即[（√2−1）a]2+x2＝（√2a﹣x）2+a2，解得x＝a，即AP＝BC，又∵PH＝CP，∠A＝∠B＝90°，∴Rt△APH≌Rt△BCP（HL），∴∠APH＝∠BCP，又∵Rt△BCP中，∠BCP+∠BPC＝90°，∴∠APH+∠BPC＝90°，∴∠CPH＝90°；②折法：如图，由AP＝BC＝AD，可得△ADP是等腰直角三角形，PD平分∠ADC，故沿着过D的直线翻折，使点A落在CD边上，此时折痕与AB的交点即为P；折法：如图，由∠BCE＝∠PCH＝45°，可得∠BCP＝∠ECH，由∠DCE＝∠PCH＝45°，可得∠PCE＝∠DCH，又∵∠DCH＝∠ECH，∴∠BCP＝∠PCE，即CP平分∠BCE，故沿着过点C的直线折叠，使点B落在CE上，此时，折痕与AB的交点即为P．【点评】本题属于折叠问题，主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质的综合运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．18．如图，在一个风筝ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，分别在AB、AD的中点E、F处贴两根彩线EC 、FC ．（1）∠B 与∠D 相等吗？请说明理由；（2）求证：EC ＝FC ．【分析】（1）结论∠B ＝∠D ，只要证明△ABC ≌△ADC 即可．（2）欲证明EC ＝FC ，只要证明△EBC ≌△FDC ，或△ACE ≌△ACF 即可．【解答】（1）解：结论∠B ＝∠D ．理由：连接AC ．在△ACB 和△ACD 中，{AC =AC BC =CD AB =AD，∴△ABC ≌△ADC （SSS ）∴∠B ＝∠D（2）∵点E 与F 分别是AB 、AD 的重点∴BE =12AB ，DF =12AD ，∵AB ＝AD∴BE ＝DF ，在△EBC 和△FDC 中，{BE =DF ∠B =∠D BC =DC，∴△EBC ≌△FDC （SAS ）∴EC ＝FC ．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据条件正确寻找全等三角形解决问题，属于基础题．19．在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝30°，点D 是BC 上一点，连接AD ，过点A 作AG ⊥AD ，在AG 上取点F ，连接DF ．延长DA 至E ，使AE ＝AF ，连接EG ，DG ，且GE ＝DF ．（1）若AB ＝2√2，求BC 的长；（2）如图1，当点G 在AC 上时，求证：BD =12CG ；（3）如图2，当点G 在AC 的垂直平分线上时，直接写出AB CG 的值．【分析】（1）如图1中，过点A 作AH ⊥BC 于H ，分别在RT △ABH ，RT △AHC 中求出BH 、HC 即可．（2）如图1中，过点A 作AP ⊥AB 交BC 于P ，连接PG ，由△ABD ≌△APG 推出BD ＝PG ，再利用30度角性质即可解决问题．（3）如图2中，作AH ⊥BC 于H ，AC 的垂直平分线交AC 于P ，交BC 于M ．则AP ＝PC ，作DK⊥AB 于K ，设BK ＝DK ＝a ，则AK =√3a ，AD ＝2a ，只要证明∠BAD ＝30°即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，过点A 作AH ⊥BC 于H ． ∴∠AHB ＝∠AHC ＝90°，在RT △AHB 中，∵AB ＝2√2，∠B ＝45°，∴BH ＝AB •cos B ＝2√2×√22=2， AH ＝AB •sin B ＝2，在RT △AHC 中，∵∠C ＝30°，∴AC ＝2AH ＝4，CH ＝AC •cos C ＝2√3，∴BC ＝BH +CH ＝2+2√3．（2）证明：如图1中，过点A 作AP ⊥AB 交BC 于P ，连接PG ， ∵AG ⊥AD ，∴∠DAF ＝∠EAC ＝90°，在△DAF 和△GAE 中，{AF =AE DF =EG， ∴△DAF ≌△GAE ，∴AD ＝AG ，∴∠BAP ＝90°＝∠DAG ，∴∠BAD ＝∠P AG ，∵∠B ＝∠APB ＝45°，∴AB ＝AP ，在△ABD 和△APG 中，{AB =AP ∠BAD =∠PAG AD =AG，∴△ABD ≌△APG ，∴BD＝PG，∠B＝∠APG＝45°，∴∠GPB＝∠GPC＝90°，∵∠C＝30°，∴PG=12GC，∴BD=12CG．（3）如图2中，作AH⊥BC于H，AC的垂直平分线交AC于P，交BC于M．则AP＝PC，在RT△AHC中，∵∠ACH＝30°，∴AC＝2AH，∴AH＝AP，在RT△AHD和RT△APG中，{AH=APAD=AG，∴△AHD≌△APG，∴∠DAH＝∠GAP，∵GM⊥AC，P A＝PC，∴MA＝MC，∴∠MAC＝∠MCA＝∠MAH＝30°，∴∠DAM＝∠GAM＝45°，∴∠DAH＝∠GAP＝15°，∴∠BAD＝∠BAH﹣∠DAH＝30°，作DK⊥AB于K，设BK＝DK＝a，则AK=√3a，AD＝2a，∴ABAD=a+√3a2a=√3+12，∵AG＝CG＝AD，∴ABCG=√3+12．【点评】本题考查相似三角形综合题、全等三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、线段垂直平分线性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会设参数解决问题，属于中考压轴题．20．如图，A，B，C，D，E，F，M，N是某公园里的8个独立的景点，D，E，B三个景点之间的距离相等；A，B，C三个景点距离相等．其中D，B，C在一条直线上，E，F，N，C在同一直线上，D，M，F，A也在同一条直线上．游客甲从E点出发，沿E→F→N→C→A→B→M游览，同时，游客乙从D点出发，沿D→M→F→A→C→B→N游览．若两人的速度相同且在各景点游览的时间相同，甲、乙两人谁最先游览完？请说明理由．【分析】根据等边三角形的性质求出∠ABD＝∠CBE，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBE 全等，根据全等三角形对应边相等可得CE＝AD，全等三角形对应角相等可得∠BDA＝∠BEC，再利用“角边角”证明△MBD和△NBE全等，根据全等三角形对应边相等可得BM＝BN，然后求出两人游览路线长度相同．【解答】答：甲、乙两人同时浏览完．理由如下：∵D ，E ，B 三个景点之间距离相等，∴BD ＝BE ＝DE ．∴△BDE 是等边三角形．∴∠DBE ＝60°．同理，△ABC 也是等边三角形，∠ABC ＝60°．∴∠ABE ＝180°﹣∠DBE ﹣∠ABC ＝60°．∴∠DBE ＝∠ABC ＝∠ABE ．∴∠ABD ＝∠ABE +∠DBE ，∠CBE ＝∠ABE +∠ABC ．∴∠ABD ＝∠CBE ．在△ABD 和△CBE 中，{AB =CB∠ABD =∠CBE BD =BE，∴△ABD ≌△CBE （SAS ）．∴CE ＝AD ，∠BDA ＝∠BEC ．在△MBD 和△NBE 中，{∠BDA =∠BEC∠DBE =∠ABE BD =BE，∴△MBD ≌△NBE （ASA ）．∴BM ＝BN ．∴EC +AC +AB +BM ＝AD +AC +BC +BN ．∴沿E →F →N →C →A →B →M ，D →M →F →A →C →B →N 的距离相等，所以甲、乙两人同时浏览完．【点评】本题考查了全等三角形的应用，等边三角形的性质，利用两次三角形全等证明得到BM ＝BN是解题的关键．。