一元一次方程应用题归类汇集讲义(补课用)

《一元一次方程的应用》讲义一元一次方程是数学中的重要基础知识，在我们的日常生活和实际问题中有着广泛的应用。

通过建立一元一次方程，可以将一些看似复杂的问题转化为数学语言，从而找到解决问题的方法。

一、行程问题行程问题是一元一次方程常见的应用场景之一。

比如，甲乙两人分别从 A、B 两地同时出发相向而行，甲的速度为每小时 5 千米，乙的速度为每小时 4 千米，经过 3 小时两人相遇，求 A、B 两地的距离。

我们设 A、B 两地的距离为 x 千米。

甲走的路程为 5×3 ＝ 15 千米，乙走的路程为 4×3 ＝ 12 千米。

由于两人是相向而行，所以他们走过的路程之和等于两地的距离，即 15 ＋ 12 ＝ x，解得 x ＝ 27 千米。

再比如，一辆汽车以每小时 60 千米的速度从甲地开往乙地，4 小时后到达。

返回时由于路况不好，速度变为每小时 48 千米，求返回时需要的时间。

设返回时需要的时间为 x 小时。

根据路程相等，去时的路程为 60×4 ＝ 240 千米，返回的路程为 48x 千米，所以 48x ＝ 240，解得 x ＝ 5 小时。

二、工程问题工程问题也是经常用到一元一次方程的领域。

例如，一项工程，甲单独做需要 10 天完成，乙单独做需要 15 天完成，两人合作需要多少天完成？设两人合作需要 x 天完成。

把这项工程的工作量看作单位“1”，甲每天的工作效率为 1/10，乙每天的工作效率为 1/15，两人合作每天的工作效率为 1/10 ＋ 1/15。

根据工作量＝工作效率×工作时间，可得（1/10 ＋ 1/15)x ＝ 1，解得 x ＝ 6 天。

又如，一个水池，有甲、乙两个进水管，单开甲管8 小时可以注满，单开乙管 12 小时可以注满，现在两管同时打开，多少小时可以注满水池？设 x 小时可以注满水池。

甲管每小时的注水量为 1/8，乙管每小时的注水量为 1/12，两管同时开每小时的注水量为 1/8 ＋ 1/12，所以（1/8 ＋ 1/12)x ＝ 1，解得 x ＝ 48 小时。

一元一次方程方程应用题归类复习讲解考点一：劳力调配问题：这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：（1）既有调入又有调出；（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。

例1. 机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？分析：列表法。

每人每天人数数量大齿轮16个x人16x小齿轮10个()1085-x85-x人()等量关系：小齿轮数量的2倍＝大齿轮数量的3倍考点二、移动电话收费问题例2.根据下面的两种移动电话计费方式表，考虑下列问题。

方式一方式二月租费30元/分0本地通话费0.30元/分0.40元/分(1)一个月内在本地通话200分和350分,按方式一需缴费多少元?按方式二呢?(2)对于某个本地通话时间,会出现按两种计费方式收费一样多吗?（3）若某人预计一个月内使用话费150元，则应选择哪一种通话方式较合算？同步练习1、某服装店出售一种优惠卡,花200元买这种卡后,凭卡可在这家服装店按8折购物.什么情况下买卡购物合算?考点三.数字问题弄清楚数的表示方法：(1)一个二位数，十位数字是a，个位数字为b（其中a、b均为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9）则这个二位数表示为.(2)一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9）则这个三位数表示为：.2.数字问题中一些表示：偶数用2N表示，连续的偶数用或表示；奇数用或表示。

例3.一个两位数，个位上的数是十位上的数的2倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大36，求原来的两位数.分析:设十位上的数位x, 则个位上的数位, 这个两位数可表示为;对调后的两位数为.三位数问题例2. 一个三位数，三个数位上的数字之和是17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位上的数的3倍，求这个三位数[分析]由已知条件给出了百位和个位上的数的关系，若设十位上的数为x，则百位上的数为，个位上的数是;等量关系为:由此可列方程:考点四.行程问题：1.行程问题中的三个基本量及其关系：路程＝。

一元一次方程应用题归类汇集一元一次方程应用题归类汇集：行程问题 ， 工程问题 ， 和差倍分问题（生产、做工等各类问题）， 调配问题， 分配问题，配套问题 ， 增长率问题 数字问题 ，方案设计与成本分析 ，古典数学 ， 浓度等问题。

一、行程问题：（1）行程问题中的三个基本量及其关系： 路程=速度×时间。

（2）基本类型有：① 相遇问题；② 追及问题；常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题。

（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。

并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。

例1：甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。

（1）慢车先开出1小时，快车再开。

两车相向而行。

问快车开出多少小时后两车相遇？（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。

故可结合图形分析。

（一）相遇：1.甲、乙两人在相距18千米的两地同时出发，相向而行，1小时48分相遇，如果甲比乙早出发40分钟，那么在乙出发1小时30分时两人相遇，求甲、乙两人的速度。

2. A 、B 两地相距15千米. 甲每小时走5千米，乙每小时走4千米. 甲、乙两人分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，几小时后两人相遇？3．A 、B 两地相距15千米.甲每小时走5千米，乙每小时走4千米.甲、乙两人分别从A 、B 两地相向而行，甲先出 类型 等 量 关 系 列一元一次方程解行程问题 直线 相遇 追及 相遇 追及 顺逆流问题 错车问题 两者的路程之和=两地的距离 两者的路程之差=两地的距离 两者的路程之和=环形跑道一圈的长度 两者的路程之差=环形跑道一圈的长度 路程或静水中的速度相等 两者路程和或差=两个车身的长度和发1小时后乙再出发，几小时后两人相遇？4． A 、B 两地相距15千米. 甲每小时走5千米，乙每小时走4千米. 甲、乙两人分别从A 、B 两地同时出发，背向而行，几小时后两人相距60千米？5.甲乙两人从相距32千米的两地相向而行,甲步行每小时走4千米,先行1小时后,乙骑自行车出发2小时后与甲相遇,问乙骑自行车每小时走多少千米?6.某汽车和电动车从相距298千米的两地同时出发相对而行，汽车的速度比电动车速度的6倍还多15千米，半小时后相遇。

,.一元一次方程应用题分类汇总一元一次方程应用题归类齐集：形积变化问题、行船问题、工程问题、和差倍分问题、劳力分派问题、配套问题、分派问题、年龄问题、比赛积分问题、利润赢亏问题、存储问题、增加率问题、数字问题、古典数学、分段函数问题等（一）形积变化问题：解决这类问题，应从有关图形的面积、周长、体积等计算公式出发，依照题目中这些量的变化，建立相等关系，从而列出方程。

有关公式以下：（ 1 ）长方形的周长、面积公式： C 长方形 =2( 长 + 宽 )， s 长方形 = 长×宽（ 2）长方体、圆柱的体积公式：V长方体=长×宽×高，V圆柱=∏r2h（3）等积变形的相等关系：变形前的体积= 变形后的体积＆1、学校建花坛余下 24 米长的小围栏，某班同学准备在自己教室前的空地上，建一个一面砖墙、三面围栏的长方形小花园。

（注意此题面积最大不是长与宽相等，因为这里24 米只包括一个长两个宽，而不是两个长两个宽。

此题需要代数分别谈论后，再比较得结论。

）（1）请你设计一下，使长比宽多 3 米，算一算这时的面积。

（2）请你再想法改变长与宽，扩大花园的面积，并和其他同学比一比，看谁设计的花园面积最大2 、有一个底面积20 ×20 长方体玻璃杯（已满水）向一个内底面积16 ×5，内高是 10 的长方体铁盒倒水，当铁盒装满水时，玻璃杯的水的高度下降多少？3 、某工厂锻造直径为60 毫米，高 20 毫米的圆柱形零件毛坯，需要截取直径40 毫米的圆钢多长？4：有一个底面积20 ×20 长方体玻璃杯（已满水）向一个内底面积16 ×5 ，内高是 10 的长方体铁盒倒水，当铁盒装满水时，玻璃杯的水的高度下降多少？（一）行程问题：（1）行程问题中的三个基本量及其关系：行程= 速度×时间 S=vt（2）基本种类有① 相遇问题；② 追及问题；常有的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题。

七年级数学一元一次方程应用题归类聚集(含答案)一元一次方程应用题归类聚集一、列方程解应用题的一般步骤〔解题思路〕〔1〕审—审题：认真审题，弄清题意，找出能够表示此题含义的相等关系〔找出等量关系〕．〔2〕设—设出未知数：根据提问，巧设未知数．〔3〕列—列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程．〔4〕解——解方程：解所列的方程，求出未知数的值．〔5〕答—检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案．〔注意带上单位〕二、一般行程问题〔相遇与追击问题〕1.行程问题中的三个根本量及其关系：路程＝速度时间时间＝路程速度速度＝路程时间〔1〕相遇问题：快行距＋慢行距＝原距〔2〕追及问题：快行距－慢行距＝原距1、从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用3.6小时，步行速度为每小时8千米，公交车的速度为每小时40千米，设甲、乙两地相距x千米，那么列方程为。

解：等量关系步行时间－乘公交车的时间＝3.6小时列出方程是：xx 3.6 840 2、某人从家里骑自行车到学校。

假设每小时行15千米，可比预定时间早到15分钟；假设每小时行9千米，可比预定时间晚到15分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？解：等量关系⑴速度15千米行的总路程＝速度9千米行的总路程⑵速度15千米行的时间＋15分钟＝速度9千米行的时间－15分钟提醒：速度时，设时间列路程等式的方程，设路程列时间等式的方程。

方法一：设预定时间为x小/时，那么列出方程是：15〔x－0.25〕＝9〔x＋0.25〕方法二：设从家里到学校有x千米，那么列出方程是：x15x15 15609603、一列客车车长200米，一列货车车长280米，在平行的轨道上相向行驶，从两车头相遇到两车车尾完全离开经过16秒，客车与货车的速度之比是3：2，问两车每秒各行驶多少米？提醒：将两车车尾视为两人，并且以两车车长和为总路程的相遇问题。

一元一次方程应用题归类聚集〔含答案〕一、一般行程问题〔相遇与追击问题〕1.行程问题中的三个根本量及其关系：路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间2.行程问题根本类型〔1〕相遇问题：快行距＋慢行距＝原距〔2〕追及问题：快行距－慢行距＝原距二、环行跑道与时钟问题：三、行船与飞机飞行问题：航行问题：顺水〔风〕速度＝静水〔风〕速度＋水流〔风〕速度逆水〔风〕速度＝静水〔风〕速度－水流〔风〕速度水流速度=〔顺水速度-逆水速度〕÷2四、工程问题1．工程问题中的三个量及其关系为：工作总量＝工作效率×工作时间2．经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。

即完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1．一元一次方程应用题型1.两车站相距275km，慢车以50km/一小时的速度从甲站开往乙站，1h时后，快车以每小时75km的速度从乙站开往甲站，那么慢车开出几小时后与快车相遇？设慢车开出a小时后与快车相遇50a+75〔a-1〕=27550a+75a-75=275125a=350a=2.8小时2.一辆汽车以每小时40km的速度由甲地开往乙地，车行3h后，因遇雨，平均速度被迫每小时减少10km，结果到乙地比预计的时间晚了45min，求甲乙两地间隔。

设原定时间为a小时45分钟=3/4小时根据题意40a=40×3+〔40-10〕×〔a-3+3/4〕40a=120+30a-67.510a=52.5a=5.25=5又1/4小时=21/4小时所以甲乙间隔40×21/4=210千米3、某车间的钳工班，分两队参见植树劳动，甲队人数是乙队人数的 2倍，从甲队调16人到乙队，那么甲队剩下的人数比乙队的人数的一半少3人，求甲乙两队原来的人数？解：设乙队原来有a人，甲队有2a人那么根据题意2a-16=1/2×〔a+16〕-34a-32=a+16-63a=42a=14那么乙队原来有14人，甲队原来有14×2=28人如今乙队有14+16=30人，甲队有28-16=12人4、某商店3月份的利润为10万元,5月份的利润为13.2万元,5月份月增长率比4月份增加了10个百分点.求3月份的月增长率。

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一元一次方程应用题归类汇集一、列方程解应用题的一般步骤（解题思路）（1）审—审题：认真审题，弄清题意,找出能够表示本题含义的相等关系(找出等量关系)．（2）设—设出未知数:根据提问，巧设未知数．(3)列—列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解——解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）答—检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解,是否符合实际，检验后写出答案．（注意带上单位)二、各类题型解法分析一元一次方程应用题归类汇集：行程问题，工程问题，和差倍分问题（生产、做工等各类问题),等积变形问题,调配问题，分配问题,配套问题，增长率问题，数字问题,方案设计与成本分析，古典数学，浓度问题等。

第一类、行程问题基本的数量关系：（1）路程＝速度×时间⑵速度＝路程÷时间⑶时间＝路程÷速度要特别注意：路程、速度、时间的对应关系(即在某段路程上所对应的速度和时间各是多少）常用的等量关系：1、甲、乙二人相向相遇问题⑴甲走的路程＋乙走的路程＝总路程⑵二人所用的时间相等或有提前量2、甲、乙二人中，慢者所行路程或时间有提前量的同向追击问题⑴甲走的路程－乙走的路程＝提前量⑵二人所用的时间相等或有提前量3、单人往返⑴各段路程和＝总路程⑵各段时间和＝总时间⑶匀速行驶时速度不变4、行船问题与飞机飞行问题⑴顺水速度＝静水速度＋水流速度⑵逆水速度＝静水速度－水流速度5、考虑车长的过桥或通过山洞隧道问题将每辆车的车头或车尾看作一个人的行驶问题去分析，一切就一目了然。

一元一次方程应用题归类汇集：（一）行程问题：行程问题是指有关匀速运动的应用题．这类问题可分为：①基本行程问题；②相遇问题；③追及问题；④航行问题；⑤环行问题等等。

但无论怎样变化，都离不开匀速运动基本关系式：，以及由此推导出来的：，.现将这几类应用题的解法，通过举例介绍如下：一基本行程问题．基本行程问题的特点是：同一人(或物体)在去时与回时的运动过程中，改变了路程、速度或时间；也可以是两人(或两物体)在同一路程行进中，由于速度不同而导致到达的时间不同．解这类问题时，要抓住总路程或总时间不变，直接运用路程、速度与时间三者之间的关系式．二、相遇问题．相遇问题的特点是：两个运动着的人(或物体)从两地沿同一路线相向而行，最终相遇．解这类问题时，要抓住甲、乙同时出发至相遇时的基本等量关系：(1)甲行的路程+乙行的路程=两地间的路程，即：甲与乙的速度和×相遇时间=两地间的路程；(2)同时出发到相遇甲与乙所用的时间相等．三、追及问题．追及问题的特点是：两人(或两物体)同时沿同一路线，同一方向运动，慢者在前，快者在后，快者追赶慢者．解这类问题要抓住基本等量关系：(1)快者行的路程-慢者行的路程=两者间的距离，即：两者的速度差×追及时间=两者间的距离；(2)从开始追赶到追及时，快者与慢者所用的时间相等．四、航行问题．航行问题是一种特殊的行程问题，它的特殊性在于要考虑水速对船速的影响，其基本等量关系是：(1)船顺流速度=船的速度+ 水流速度；(2)船逆流速度=船的速度-水流速度．五、环行问题．环行问题即封闭路线上的行程问题．如果同时从同一地点出发，到第一次相遇，有两种情况：同向环行类似追及问题，其基本等量关系是：快者走的路程-慢者走的路程=环形周长；反向环行类似相遇问题，其基本等量关系是：快者走的路程+慢者走的路程=环形周长．数学运算之行程问题专题行程问题的“三原色”路程、速度、时间。

问题千变万化，归根结底就是这三者之间的变化。

一元一次方程应用题归类汇集时钟问题：时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及或相遇问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。

我们通常把研究时钟上时针和分针的问题称为时钟问题，其中包括时钟的快慢，时钟的周期，时钟上时针与分针所成的角度等等。

时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。

对于正常的时钟，具体为：整个钟面为360度，上面有12个大格，每个大格为30度；60个小格，每个小格为6度。

分针速度：每分钟走1小格，每分钟走6度时针速度：每分钟走1小格，每分钟走0.5度12注意：但是在许多时钟问题中，往往我们会遇到各种“怪钟”，或者是“坏了的钟”，它们的时针和分针每分钟走的度数会与常规的时钟不同，这就需要我们要学会对不同的问题进行独立的分析。

要把时钟问题当做行程问题来看，分针快，时针慢，所以分针与时针的问题，就是他们之间的追及问题。

另外，在解时钟的快慢问题中，要学会十字交叉法。

例如：时钟问题需要记住标准的钟，时针与分针从一次重合到下一次重合，所分。

需时间为56511基本公式1、假设经过x分钟：分针转过的角度= 60×x(1)时针转过的角度=0.50×x(2)2、假设任意时间H：M时（H点M分），分针与时针夹角计算公式为：｜60×M-［300×H+0.50×M］｜=｜5.50×M-300×H(3)当 ()11M - 30H 02⎛⎫⎛⎫︒⨯︒⨯>︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，分针在时针前； 当 ()11M - 30H 02⎛⎫⎛⎫︒⨯︒⨯<︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，分针在时针后； 3、假设分针落后时针的夹角为D °，则分针与时针再次重叠所需时间为：1122D D ⎛⎫︒/=︒/11 ⎪⎝⎭（分钟） 例题分析：例1.从0：0开始，时针与分针每经过分钟重合一次？解析：设经x 分钟重合一次，则：60×x-0.50×x=3600. (时针与分针相差360度) 解得：X=56511或：X-X/12=60. (时针与分针相差60格)例2.从0：0开始，每经过多少分钟时针与分针处在一条直线上？解析：设经x 分钟时针与分针处在一条直线上，则：60×x-0.50×x=1800. (时针与分针相差180度) 解得：X=83211或：X-X/12=30. (时针与分针相差30格)例3. 从0：0开始，时针与分针每经过多少分钟两针相互垂直？解析：设经x 分钟时针与分针相互垂直，则：60×x-0.50×x=900. （时针与分针相差900）解得：X=41611或：X-X/12=15. (时针与分针相差15格)例4.现在是6点整，问多少分钟后时针与分针第一次重合？解析：设X 分钟后，时针与分针第一次重合，则：60×x-0.50×x=1800。

一元一次方程应用题归类汇集一、列方程解应用题的一般步骤（解题思路）（1）审—审题：认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系（找出等量关系）．（2）设—设出未知数：根据提问，巧设未知数．（3）列—列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解——解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）答—检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案．（注意带上单位）二、各类题型解法分析一元一次方程应用题归类汇集：行程问题，工程问题，和差倍分问题（生产、做工等各类问题），等积变形问题，调配问题，分配问题，配套问题，增长率问题，数字问题，方案设计与成本分析，古典数学，浓度问题等。

第一类、行程问题——画图分析法利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础.1.行程问题中的三个基本量及其关系：路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间2.行程问题基本类型（1）相遇问题：快行距＋慢行距＝原距（2）追及问题：快行距－慢行距＝原距（3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．即顺水逆水问题常用等量关系：顺水路程=逆水路程．常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题。

要特别注意：路程、速度、时间的对应关系（即在某段路程上所对应的速度和时间各是多少）1、甲、乙二人相向相遇问题⑴甲走的路程＋乙走的路程＝总路程⑵二人所用的时间相等或有提前量2、甲、乙二人中，慢者所行路程或时间有提前量的同向追击问题⑴甲走的路程－乙走的路程＝提前量⑵二人所用的时间相等或有提前量3、单人往返⑴各段路程和＝总路程⑵各段时间和＝总时间⑶匀速行驶时速度不变4、行船问题与飞机飞行问题⑴顺水速度＝静水速度＋水流速度⑵逆水速度＝静水速度－水流速度5、考虑车长的过桥或通过山洞隧道问题将每辆车的车头或车尾看作一个人的行驶问题去分析，一切就一目了然。

一元一次方程应用题归类汇集一、一般行程问题（相遇与追击问题）1、在800米跑道上有两人练习中长跑，甲每分钟跑320米，乙每分钟跑280米，两人同时同地同向起跑，t 分钟后第一次相遇，t 等于 分钟。

等量关系：快者跑的路程－慢者跑的路程＝800 （俗称多跑一圈） 320t －280t ＝800 t ＝202、休息日我和妈妈从家里出发一同去外婆家，我们走了1小时后，爸爸发现带给外婆的礼品忘在家里，便立刻带上礼品以每小时6千米的速度去追我们，如果我和妈妈每小时行2千米，从家里到外婆家需要1小时45分钟，问爸爸能在我和妈妈到外婆家之前追上我们吗？解：设爸爸用x 小时追上我们，则 6x ＝2x ＋2×1解得 x ＝0.5 0.5小时＜1小时45分钟 答：能追上。

二、行船与飞机飞行问题：1、 一艘船在两个码头之间航行，水流的速度是3千米/时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头之间的距离。

解：设船在静水中的速度是x 千米/时，则3×(x －3)＝2×(x ＋3)得x ＝15 2×(x ＋3)＝2×(15＋3) ＝36（千米）答：两码头之间的距离是36千米。

2、一架飞机飞行在两个城市之间，风速为每小时24千米，顺风飞行需要2小时50分钟，逆风飞行需要3小时，求两城市间的距离。

解：设无风时的速度是x 千米/时，则3×(x －24)＝652×(x ＋24) 3、小明在静水中划船的速度为10千米/时，今往返于某条河，逆水用了9小时，顺水用了6小时，求该河的水流速度。

解：设水流速度为x 千米/时，则9(10－x)＝6(10＋x) 解得x ＝2 答：水流速度为2千米/时.三.利润问题1.某商店开张为吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种旅游鞋每双进价为60元，八折出售后，商家所获利润率为40%。

问这种鞋的标价是多少元？优惠价是多少？利润率=成本利润 40%=6060%80 X X=105 105*80%=84元 2.某产品按原价提高40%后打八折销售，每件商品赚270元，问该商品原标价多少元？现销售价是多少？X(1+40%)80% - X=270 X=22502250(1+40%)80%=2520元3.甲乙两件衣服的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价，在实际销售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲乙两件服装成本各是多少元？ 甲 X 乙50– X 109X(1+50%) – X+(500-X)(1+40%)90% - (500 - X)=157 X=300四．比赛积分问题例19：某企业对应聘人员进行英语考试，试题由50道选择题组成，评分标准规定：每道题的答案选对得3分，不选得0分，选错倒扣1分。

《一元一次方程的应用》讲义一元一次方程是数学中的重要基础知识，在实际生活中有着广泛的应用。

通过建立一元一次方程模型，我们可以解决许多有趣且实用的问题。

一、行程问题行程问题是一元一次方程常见的应用类型之一。

比如，甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发相向而行，甲的速度为每小时 x 千米，乙的速度为每小时 y 千米，经过 t 小时后两人相遇。

已知 A、B 两地的距离为 s 千米，那么可以根据路程＝速度×时间这个公式，得到方程：（x ＋ y)t ＝ s 。

再比如，某人骑自行车以每小时 15 千米的速度从甲地到乙地，回来时因逆风，速度变为每小时 10 千米，设甲地到乙地的距离为 s 千米，去时所用时间为 s÷15 小时，回来时所用时间为 s÷10 小时，因为来回的路程相同，所以可列方程：s÷15 ＋ 1 ＝ s÷10 （假设回来时多用 1 小时）。

二、工程问题工程问题也是常考的类型之一。

例如，一项工程，甲单独做需要 x天完成，乙单独做需要 y 天完成，两人合作需要 z 天完成。

把工作总量看作单位“1”，甲每天的工作效率就是 1/x ，乙每天的工作效率就是1/y ，两人合作每天的工作效率就是 1/z 。

根据工作效率×工作时间＝工作总量，可得到方程：（1/x ＋ 1/y)z ＝ 1 。

又如，某工厂要生产一批零件，原计划每天生产 a 个，实际每天多生产 b 个，提前 c 天完成任务。

设原计划生产 d 天，那么工作总量为ad 个。

实际每天生产（a ＋ b) 个，实际用的天数为 d c 天，可列方程：a×d ＝（a ＋ b)×（d c) 。

三、销售问题在销售问题中，经常会涉及到进价、售价、利润、利润率等概念。

比如，某商品进价为 x 元，售价为 y 元，利润为 z 元，那么利润＝售价进价，即 z ＝ y x 。

如果已知商品的进价为 a 元，利润率为 b%，售价为 c 元，因为利润率＝（利润÷进价）× 100% ，所以可列方程：（c a)÷a × 100% ＝b% 。

七年级下册数学一元一次方程应用题归类集锦(经典)一元一次方程应用题归类汇集一、列方程解应用题的一般步骤（解题思路）1.审题：仔细阅读题目，找出能够表示本题含义的相等关系。

2.设未知数：根据提问，设出未知数。

3.列方程：利用已找出的等量关系，列出方程。

4.解方程：解所列的方程，求出未知数的值。

5.检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案（注意带上单位）。

二、各类题型解法分析一元一次方程应用题归类汇集：1.和、差、倍、分问题：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率…”来体现。

2.多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现。

3.等积变形问题：以形状改变而体积不变为前提。

常用等量关系为：原料体积=成品体积。

4.调配问题、分配问题、配套问题、增长率问题、数字问题、方案设计与成本分析、古典数学、浓度问题等。

一）和、差、倍、分问题——读题分析法这类问题主要应搞清各量之间的关系，注意关键词语。

仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套……”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程。

例1．某单位今年为灾区捐款2万5千元，比去年的2倍还多1000元，去年该单位为灾区捐款多少元？例2．旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？二）等积变形问题等积变形是以形状改变而体积不变为前提。

常用等量关系为：原料体积=成品体积。

常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变。

例3．现有直径为3米的圆柱形钢坯30米，可足够锻造直径为1米，长为3米的圆柱形机轴多少根？练：将一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300毫米和80毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到毫米，π≈3.14）．练1：甲、乙两人在相距18千米的两地同时出发，相向而行，1小时48分相遇。

1．等式及其性质 ⑴ 等式：用等号“=”来表示关系的式子叫等式.⑵ 性质：① 如果b a =，那么=±c a ；② 如果b a =，那么=ac ；如果b a =()0≠c ，那么=ca . 2. 方程、一元一次方程的概念⑴ 方程：含有未知数的叫做方程；使方程左右两边值相等的，叫做方程的解；求方程解的叫做解方程. 方程的解与解方程不同.⑵ 一元一次方程：在整式方程中，只含有个未知数，并且未知数的次数是，系数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为()0≠a .1.已知3是关于x 的方程2x －a=1的解,则a 的值是( )A.－5B.5C.7D.22.请写出一个解为x=2的一元一次方程：_____________。

3. （2011湛江）若2x =是关于x 的方程2310x m +-=的解，则的值为．4.已知当x=2,y=1时，代数式kx －y 的值是3，那么k 的值是（ ）A ．2B ．－2C ．1D ．－16. 3x n+2-6=0是关于x 的一元一次方程，则x=.3.当3x-2与31互为倒数时，x 的值为( ) A. 31 B 35 C.3 D. 53 2.D 3.B 已知方程104x x =-的解与方程522x m +=的解相同，求m 的值.3. 解一元一次方程的步骤：①去；②去；③移；④合并；⑤系数化为1.4．易错知识辨析：（1）判断一个方程是不是一元一次方程，首先在整式方程前提下，化简后满足只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程，像21=x ，()1222+=+x x 等不是一元一次方程.（2）①等式两边都要参加运算，并且是作同一种运算;②等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子；③等式两边不能都除以0，即0不能作除数或分母。

1.解方程6x+1=-4，移项正确的是（ ）A. 6x=4-1B. -6x=-4-1C.6x=1+4D.6x=-4-12. 解方程-3x+5=2x-1, 移项正确的是（ ）A.3x-2x=-1+5B.-3x-2x=5-1C.3x-2x=-1-5D.-3x-2x=-1-53.下列方程变形正确的是（ ）A ．由－2x=6, 得x=3B ．由－3=x ＋2, 得x=－3－2C ．由－7x ＋3=x －3, 得（－7＋1）x=－3－3D ．由5x=2x ＋3, 得x=－11. 将方程-=1去分母，得（ ） A.2x-(x-2)=4 B.2x-x-2=4 C.2x-x+2=1 D.2x-(x-2)=1.2.方程21312--+x x =1去分母正确的是( ) A.2(2x+1)-3(x-1)=1 B.6(2x+1)-6(x-1)=1C.2x+1-(x-1)=6D.2(2x+1)-3(x-1)=622.解方程：（1）7104(0.5)x x -=-+； （2）132123x x -+-=； 一元一次方程应用题归类汇集列方程解应用题的一般步骤（解题思路）（1）审—审题：认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系（找出等量关系）．（2）设—设出未知数：根据提问，巧设未知数．（3）列—列出方程：设出未知数后，然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解——解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）答—检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案．（注意带上单位）一、一般行程问题（相遇与追击问题）例2．某中学学生步行去某地参加社会公益活动，每小时行走4千米. 出发30分钟后，学校派一名通信员骑自行车以12千米／时的速度追赶队伍，问通信员用多少时间可以追上学生队伍？1、A 、B 两地相距15千米.甲每小时走5千米，乙每小时走4千米.甲、乙两人分别从A 、B 两地相向而行，甲先出发1小时后乙再出发，几小时后两人相遇？5一列客车长200 m,一列货车长280 m,在平行的轨道上相向行驶,从两车头相遇到两车尾相离经过16秒,已知客车与货车的速度之比是3∶2,问两车每秒各行驶多少米?二 、行船问题：流水问题是研究船在流水中的行程问题，因此，又叫行船问题。

一元一次方程应用题1. 和、差、倍、分问题：（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现。

（2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现。

例.根据2001年3月28日新华社公布的第五次人口普查统计数据，截止到2001年11月1日0时，全国每10万人中具有小学文化程度的人口为35701人，比1990年7月1日减少了3.66%，1990年6月底每10万人中约有多少人具有小学文化程度？ 分析：等量关系为：两年的百分比之间的关系为： 90年的-3.66%=01年的解：设1990年6月底每10万人中约有x 人具有小学文化程度 X ÷100000-3.66%=35701÷1000001.某校共有学生1049人，女生占男生的40%，求男生的人数。

2.两个村共有834人，甲村的人数比乙村的人数的一半还少111人，两村各有多少人？3.两组工人，按计划本月应共生产680个零件，实际第一组超额20％、第二组超额15％完成了本月任务，因此比原计划多生产118个零件。

问本月原计划每组各生产多少个零件？2. 等积变形问题： “等积变形”是以形状改变而体积或面积不变为前提。

常用等量关系为： ①形状面积变了，周长没变； ②原料体积＝成品体积。

例. 用直径为90mm 的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为1251252⨯mm 内高为81mm 的长方体铁盒倒满水时，玻璃杯中的水的高度下降多少mm ？（结果保留整数π≈314.）分析：等量关系为：圆柱形玻璃杯倒出的水体积＝长方体铁盒的体积解：玻璃杯中的水的高度下降多少x mm290125125812x π⎛⎫=⨯⨯ ⎪⎝⎭1.一个长方形的周长长为26cm ，这个长方形的长减少1cm ，宽增加2cm ，就可成为一个正方形，设长方形的长为x cm ，可列方程是2.在一只底面直径为30厘米，高为8厘米的圆锥形容器中倒满水，然后将水倒入一只底面直径为10厘米的圆柱形空容器里，圆柱形容器中的水有多高？3.将棱长为20cm 的正方体铁块锻造成一个长为100cm ，宽为5cm 的长方体铁块，求长方体铁块的高度。