下载文档原格式
2018广东高考数学一轮二项式定理在数列求和中的应用一， 二项式定理和杨辉三角介绍：1,二项式定理： ()n n n n r n r r n n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b ---+=+++++001112220其中rn C 叫做二项式系数。
2,杨辉三角：二， 重要组合恒等式:（1）,r r r n n n C C C ---+=111 证明：()!()!()!()!!()!r r n n n n C C r n r r n r -----+=+----1111111=()!![()]!()!!()!r n n n r n r C r n r r n r -+-==--1（证 毕） （2），()r r r r r r r r n n C C C C C n r +++-++++=>1121证明（数学归纳法）：当n r =+1时 上式 左边=1 右边是r r C ++=111，所以是正确的。
假设上式对()n k k r =>正确 即r r r r r r r r k k C C C C C +++-++++=1121那么就有r r r r r r r r r r k k kk C C C C C C C +++-+++++=+1121 再有组合不等式（1）可得r r r r r r r r r k k k C C C C C C +++-++++++=11211故综上所述 对于所有大于r 的正整数n （2）式都是成立的。
三， 一元n 次多项式根与系数的关系对于多项式n n n n n x a xa x a x a ---++++=121210 若,,n x x x x 123 是它的n 个根则有一下等式成立： ()n a x x x -=+++11121()n n a x x x x x x --=+++22121311()i i i k k k a x x x -=∑121 （所有i 个不同的根的乘积的和）()n n a a a a -=1231四， 应用举例为了方便应用，（2）式也可以写成()r r r r r r r r r n r n C C C C C n r ++++-+++++=>1121当r=1，2，3，4的时候上式也就是： ()!n n n ++++=+112312 ()()()!!n n n n n +++++=++1113611223 ()()()()()!!n n n n n n n ++++++=+++1114101212334()()()()()()()!!n n n n n n n n n +++++++=++++111515123123445 例一：求数列n a n =2 的前n 项和。
高考数学第二轮专题复习数列教案二、高考要求1．理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n项. 2．理解等差〔比〕数列的概念，掌握等差〔比〕数列的通项公式与前n项和的公式. 并能运用这些知识来解决一些实际问题.3．了解数学归纳法原理，掌握数学归纳法这一证题方法，掌握“归纳—猜想—证明〞这一思想方法.三、热点分析1.数列在历年高考中都占有较重要的地位，一般情况下都是一个客观性试题加一个解答题，分值占整个试卷的10%左右.客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式、极限的四那么运算法那么、无穷递缩等比数列所有项和等内容，对基本的计算技能要求比较高，解答题大多以考查数列内容为主，并涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目.2.有关数列题的命题趋势〔1〕数列是特殊的函数，而不等式那么是深刻认识函数和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验，而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点〔2〕数列推理题是新出现的命题热点.以往高考常使用主体几何题来考查逻辑推理能力，近两年在数列题中也加强了推理能力的考查。
〔3〕加强了数列与极限的综合考查题3.熟练掌握、灵活运用等差、等比数列的性质。
等差、等比数列的有关性质在解决数列问题时应用非常广泛，且十分灵活，主动发现题目中隐含的相关性质，往往使运算简洁优美.如a2a4+2a3a5+a4a6=25，可以利用等比数列的性质进行转化：a2a4=a32，a4a6=a52，从而有a32+2aa53+a52=25，即〔a3+a5〕2=25.4.对客观题，应注意寻求简捷方法解答历年有关数列的客观题，就会发现，除了常规方法外，还可以用更简捷的方法求解.现介绍如下：①借助特殊数列. ②灵活运用等差数列、等比数列的有关性质，可更加准确、快速地解题，这种思路在解客观题时表现得更为突出，很多数列客观题都有灵活、简捷的解法5.在数列的学习中加强能力训练数列问题对能力要求较高，特别是运算能力、归纳猜想能力、转化能力、逻辑推理能力更为突出.一般来说，考题中选择、填空题解法灵活多变，而解答题更是考查能力的集中表达，尤其近几年高考加强了数列推理能力的考查，应引起我们足够的重视.因此，在平时要加强对能力的培养。
高考对本节内容的考查仍将以常用方法求和为主，尤其是错位相减法及裂项求和，题型延续解答题的形式．明年高考对数列求和仍是考查的重点．数列的应用以及数列与函数等的综合的命题趋势较强，复习时应予以关注．1．数列求和的方法技巧(1)公式法：直接应用等差、等比数列的求和公式求和．(2)错位相减法这种方法主要用于求数列{a n·b n}的前n项和，其中{a n}、{b n}分别是等差数列和等比数列．(3)倒序相加法这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．(4)裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或几项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．(5)分组转化求和法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，可先分别求和，然后再合并．2．数列的综合问题(1)等差数列与等比数列的综合．(2)数列与函数、方程、不等式、三角、解析几何等知识的综合．(3)增长率、分期付款、利润成本效益的增减等实际应用问题．数列的实际应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读文解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推文予以解决.【误区警示】1．应用错位相减法求和时，注意项的对应．2．正确区分等差与等比数列模型，正确区分实际问题中的量是通项还是前n 项和．考点一 由递推关系求通项例1、(2016·高考全国卷Ⅲ)(本小题满分12分)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．【方法规律】求数列通项的常用方法1．归纳猜想法：已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳猜想法．2．已知S n 与a n 的关系，利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2求a n .3．累加法：数列递推关系形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，其中数列{f (n )}前n 项和可求，这种类型的数列求通项公式时，常用累加法(叠加法)．4．累乘法：数列递推关系形如a n ＋1＝g (n )a n ，其中数列{g (n )}前n 项积可求，此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法)．5．构造法：(1)递推关系形如a n ＋1＝pa n ＋q (p ，q 为常数)可化为a n ＋1＋qp －1＝p ⎝⎛⎭⎫a n ＋q p －1(p ≠1)的形式，利用⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋q p －1是以p 为公比的等比数列求解．(2)递推关系形如a n ＋1＝pa n a n ＋p (p 为非零常数)可化为1a n ＋1－1a n ＝1p的形式．【变式探究】数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝3，a n ＝2S n －1＋3n (n ≥2)，则该数列的通项公式为a n ＝________.【答案】(2n ＋1)3n －1【解析】∵a n ＝2S n －1＋3n ，∴a n －1＝2S n －2＋3n －1(n ≥3)，两式相减得：a n －a n －1＝2a n －1＋2×3n－1，即a n ＝3a n －1＋2×3n －1，∴a n 3n ＝a n －13n －1＋23(n ≥3)，又a 2＝2S 1＋32＝2a 1＋32＝15，a 232＝53，a 13＋23＝53，即a 232＝a 13＋23，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是以1为首项，23为公差的等差数列，∴a n 3n ＝1＋(n －1)×23，∴a n ＝(2n ＋1)3n －1.考点二 分组转化法求和例2、(2016·高考全国卷Ⅱ)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.(1)求b 1，b 11，b 101；(2)求数列{b n }的前1 000项和．【方法规律】1．若一个数列由若干个等差数列或等比数列组成，则求和时可用分组转化法分别求和再相加减．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用相邻两项并项(分组)后，再分组求和． 2．分组求和中的分组策略 (1)根据等差、等比数列分组． (2)根据正号、负号分组．【变式探究】已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和． 解：(1)等比数列{b n }的公比q ＝b 3b 2＝93＝3，所以b 1＝b 2q ＝1，b 4＝b 3q ＝27.设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝27，所以1＋13d ＝27，即d ＝2. 所以a n ＝2n －1(n ＝1,2,3，…)． (2)由(1)知，a n ＝2n －1，b n ＝3n －1.因此c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1从而数列{c n }的前n 项和S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＋1＋3＋…＋3n －1＝n 1＋2n －1 2＋1－3n 1－3＝n 2＋3n －12.考点三 错位相减法求和例3、【2017山东，文19】（本小题满分12分）已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){ b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）2n n a =.（Ⅱ）2552n nn T +=-. 【解析】又234113572121222222n n n n n T +-+=+++++ , 两式相减得2111311121222222n n n n T -++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 所以2552n nn T +=-. 【变式探究】(2016·高考山东卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式．(2)令c n ＝ a n ＋1 n ＋1b n ＋2 n，求数列{c n }的前n 项和T n .【方法技巧】错位相减法的关注点1．适用题型：等差数列{a n }与等比数列{b n }对应项相乘({a n ·b n })型数列求和． 2．具体步骤：(1)求和时先乘以数列{b n }的公比； (2)把两个和的形式错位相减； (3)整理结果形式．【变式探究】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，且有S n ＝1－a n (n ∈N *)，点(a n ，b n )在直线y ＝nx 上．(1)求T n ；(2)试比较T n 和2－n 22n 的大小，并说明理由．(2)令B n ＝2－n 22n ，则T n －B n ＝－n ＋22n ＋n 22n＝n 2－n －22n＝n －2 n ＋12n， 所以当n ＝1时，T 1－B 1＜0， 所以T 1＜B 1；当n ＝2时，T 2－B 2＝0， 所以T 2＝B 2；当n ≥3时，T n －B n ＞0， 所以T n ＞B n .综上所述，当n ＝1时，T n ＜2－n 22n ；当n ＝2时，T n ＝2－n 22n ；当n ≥3时，T n ＞2－n 22n .考点四 裂项相消法求和例4、【2017课标3，文17】设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-= . （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和. 【答案】(1) ()221n a n N n +=∈-；(2)221nn + . 【解析】.(2).,.【变式探究】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：1a 1＋1＋2a 2＋1＋3a 3＋1＋…＋na n ＋1＝n ，n ∈N *.(1)求a n . (2)设T n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋1S n ＋3＋…＋1S 2n ，是否存在整数m ，使对任意n ∈N *，不等式T n ≤m恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由．【方法规律】1．裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于{1a n a n ＋1}或{1a n a n ＋2}(其中{a n }为等差数列)等形式的数列求和．2．裂项相消的规律(1)裂项系数取决于前后两项分母的差． (2)裂项相消后前、后保留的项数一样多． 【方法规律】已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n ＋13a n ＝1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式．(2)设b n ＝log 4(1－S n ＋1)(n ∈N *)，T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求使T n ≥1 0082 018成立的最小的正整数n 的值．解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1， 由S 1＋13a 1＝1⇒a 1＝34，当n ≥2时，S n ＋13a n ＝1， ①S n －1＋13a n －1＝1, ②1.【2017山东，文19】（本小题满分12分）已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){ b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）2n n a =.（Ⅱ）2552n nn T +=-. 【解析】（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，由题意知： ()2211116,a q a q a q +==.又0n a >，解得： 12,2a q ==，。
