二次函数的性质练习1

专题1.1 二次函数的图像与性质（一）（六大题型）【题型1 判断二次函数的个数】【题型2 利用二次函数的概念求字母的值】【题型3 二次函数的一般式】【题型4根据实际问题列二次函数销售问题】【题型5 根据实际问题列二次函数面积类】【题型6 根据实际问题列二次函数几何类】【题型1 判断二次函数的个数】【典例1】已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y＝2（x+3）2﹣2x2；⑤y＝ax2+bx+c，⑥y＝x2++5其中二次函数的个数为（）A．1B．2C．3D．4【变式11】已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y＝2（x+3）2﹣2x2；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（）A．1B．2C．3D．4【变式12】已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y＝2x2﹣x﹣1；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（）A．1B．2C．3D．4【变式13】已知函数：①y＝ax2；②y＝3（x﹣1）2+2；③y＝（x+3）2﹣2x2；④y＝+x．其中，二次函数的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式14】下列函数中，是二次函数的有（）①y＝9x2﹣（3x﹣1）2；②；③y＝x（1﹣x）；④y＝（1﹣2x）2A．1个B．2个C．3个D．4个【变式15】下列函数中，是二次函数的有（）①y＝1﹣3x2；②y＝；③y＝x（1+x）；④y＝（1﹣2x）（1+2x）A．1个B．2个C．3个D．4个【题型2 利用二次函数的概念求字母的值】【典例2】已知y关于x的二次函数解析式为y＝（m﹣2）x|m|，则m＝（）A．±2B．1C．﹣2D．±1【变式21】有二次函数y＝x m﹣2﹣2x+1，则m的值是（）A．4B．2C．0D．4或2【变式22】已知y＝mx|m﹣2|+2mx+1是y关于x的二次函数，则m的值为（）A．0B．1C．4D．0或4【变式23】若函数y＝（a+1）x2+x+1是关于x的二次函数，则a的取值范围是（）A．a≠0B．a≥1C．a≤﹣1D．a≠﹣1【变式24】如果函数y＝（m﹣3）x|m﹣1|+3x﹣1是二次函数，那么m的值为﹣．【变式25】若关于x的函数y＝（2﹣a）x2﹣3x+4是二次函数，则a的取值范围是．【题型3 二次函数的一般式】【典例3】二次函数y＝x2﹣2x+3的一次项系数是（）A．1B．2C．﹣2D．3【变式31】将二次函数y＝x（x﹣1）+3x化为一般形式后，正确的是（）A．y＝x2﹣x+3B．y＝x2﹣2x+3C．y＝x2﹣2x D．y＝x2+2x【变式32】把二次函数y＝﹣（x+3）2+11变成一般式是（）A．y＝﹣x2+20B．y＝﹣x2+2C．y＝﹣x2+6x+20D．y＝﹣x2﹣6x+2【变式33】把二次函数y＝﹣（x+3）（x+4）+11变成一般形式后，其二次项系数和一次项系数分别为（）A．﹣1，﹣1B．﹣1，1C．﹣1，7D．﹣1，﹣7【变式34】二次函数的一般形式为（）A．y＝ax2+bx+c B．y＝ax2+bx+c（a≠0）C．y＝ax2+bx+c（b2﹣4ac≥0）D．y＝ax2+bx+c（b2﹣4ac＝0）【变式35】把抛物线y＝（x﹣1）2+1化成一般式是．【变式36】把y＝（3x﹣2）（x+3）化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为．【题型4根据实际问题列二次函数销售问题】【典例4】某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价40元，销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元（x＞44），商家每天销售纪念品获得的利润w元，则下列等式正确的是（）A．y＝10x+740B．y＝10x﹣140C．w＝（﹣10x+700）（x﹣40）D．w＝（﹣10x+740）（x﹣40）【变式41】某商品现在的售价为每件60元，每星期可销售300件．商场为了清库存，决定让利销售，已知每降价1元，每星期可多销售20件，那么每星期的销售额W（元）与降价x（元）的函数关系为（）A．W＝（60+x）（300+20x）B．W＝（60﹣x）（300+20x）C．W＝（60+x）（300﹣20x）D．W＝（60﹣x）（300﹣20x）【变式42】“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（）A．w＝（99﹣x）[200+10（x﹣50）]B．w＝（x﹣50）[200+10（99﹣x）]C．w＝（x﹣50）（200+×10）D．w＝（x﹣50）（200+×10）【变式43】2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价每提高2元，则每天少卖4套．设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，则该商品每天销售套件所获利润w与x之间的函数关系式为（）A．w＝（200+×4）（x﹣48）B．w＝（200﹣×4）（x﹣48）C．w＝（200﹣×4）（x﹣34）D．w＝（200+×4）（x﹣48）【变式44】某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y 元，那么y与x的函数关系式是．【变式45】某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售单价x（元/件）与日销售量y（件）之间的关系如下表．x（元∕件）15182022…y（件）250220200180…按照这样的规律可得，日销售利润w（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式是．【变式46】某商店销售一种进价为50元/件的商品，当售价为60元/件时，一天可卖出200件；经调查发现，如果商品的单价每上涨1元，一天就会少卖出10件．设商品的售价上涨了x元/件（x是正整数），销售该商品一天的利润为y元，那么y与x的函数关系的表达式为．（不写出x的取值范围）【变式47】新华商场销售某种品牌的童装，每件进价为60元，市场调研表明：在一个阶段内销售这种童装时，当售价为80元，平均每月售出200件；售价每降低1元，平均每月多售出20件．设售价为x元，则这种童装在这段时间内，平均每月的销售量y（件）与x满足的函数关系式是；平均每月的销售利润W（元）与x满足的函数关系式是．【题型5 根据实际问题列二次函数面积类】【典例5】将一根长为50cm的铁丝弯成一个长方形（铁丝全部用完且无损耗）如图所示，设这个长方形的一边长为x（cm），它的面积为y（cm2），则y 与x之间的函数关系式为（）A．y＝﹣x2+50x B．y＝x2﹣50xC．y＝﹣x2+25x D．y＝﹣2x2+25【变式51】长方形的周长为24cm，其中一边长为xcm（其中x＞0），面积为ycm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写为（）A．y＝x2 B．y＝12﹣x2 C．y＝（12﹣x）•x D．y＝2（12﹣x）【变式52】长方形的长为10cm、宽为6cm，它的各边都减少xcm，得到的新长方形的周长为ycm，则y与x之间的关系式是（）A．y＝32﹣4x（0＜x＜6）B．y＝32﹣4x（0≤x≤6）C．y＝（10﹣x）（6﹣x）（0＜x＜6）D．y＝（10﹣x）（6﹣x）（0≤x≤6）【变式53】如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，该农场计划用木材围成总长24m的栅栏，设面积为s（m2），垂直于墙的一边长为x（m）．则s关于x的函数关系式：（并写出自变量的取值范围）【变式54】如图所示，用长为21米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为便于进出，开了3道宽为1米的门．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米，则S与x的之间的函数表达式为；自变量x的取值范围为．【变式55】如图，某农场要盖一排三间同样大小的长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，栅栏的总长为24m，设羊圈的总面积为S（不（m2），垂直于墙的一边长为x（m），则S关于x的函数关系式为．必写出自变量的取值范围）【变式56】有一长方形纸片，长、宽分别为8 cm和6 cm，现在长宽上分别剪去宽为x cm（x＜6）的纸条（如图），则剩余部分（图中阴影部分）的面积y ＝，其中是自变量，是因变量．【题型6 根据实际问题列二次函数几何类】【典例6】如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝24，动点P从点A 开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t（s）如何变化？写出函数关系式及t的取值范围．【变式61】如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20cm，AC与MN在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC 以2cm/s的速度向左运动，最终点A与点M重合，求重叠部分的面积ycm2与时间ts之间的函数关系式．【变式62】如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝12厘米，点P在线段AB上，P从点A开始沿AB边以1厘米/秒的速度向点B移动．点E为线段BC的中点，点Q从E点开始，沿EC以1厘米/秒的速度向点C移动．如果P、Q同时分别从A、E出发，写出出发时间t与△BPQ的面积S的函数关系式，求出t的取值范围．【变式63】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AC向C以2mm/s的速度移动，动点Q从点C开始沿边CB向B以4mm/s的速度移动．如果P、Q两点同时出发，那么△PCQ的面积S随出发时间t如何变化？写出函数关系式及t的取值范围．【变式64】如图，正方形ABCD的边长为4cm，E，F分别是BC、DC边上的动点，点E，F同时从点C均以每秒1cm的速度分别向点B，点D运动，当点E与点B重合时，运动停止．设运动时间为x（s），运动过程中△AEF的面积为y（cm2），请写出用x表示y的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．【变式65】如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E 出发，沿E→A→D→C移动至终点C．设P点经过的路径长为x，△CPE的面积为y，求y与x之间的函数关系式．。

初三数学练习——二次函数（1）◆知识梳理1．二次函数的定义：形如c bx ax y ++=2（其中a ，b ，c 为常数，a ≠0）的函数叫做二次函数．（a ≠0，b 、c 可等于0．）2．二次函数的图象：是一条___________．4．画抛物线时，先确定顶点坐标，在顶点坐标的两边各取三点，即可画出其示意图； 5．当△=b 2－4ac >0时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点，当△=b 2－4ac <0时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴无交点， 当△=b 2－4ac =0时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴只有一个交点．6．二次函数之间的平移关系： ①平移方法：②平移规律：h 值为正右移，为负左移；k 值为正上移，为负下移．即上加下减，左加右减．（注：平移要在顶点式的基础上进行平移，不是顶点式的要转化成顶点式） ◆典例精析【例题1】填空或选择：（1）抛物线y=（x +1）2的顶点坐标是______，对称轴是_____，当x ______时，y •随x 的增大而增大；当x______时，y随x的增大而减小．（2）已知函数y=（m+1）x2m m 是二次函数，且图象的开口向下，则m=______，当x_____时，y随x的增大而增大；当x_____时，y随x的增大而减小．（3）要用长20m的铁栏杆，一面靠墙（墙的长度是15m），围成一个矩形的花圃，如果设垂直于墙的一边长为x（m），矩形的面积为y（m2），则y与x的关系式为_______，x•的取值范围是_______，当x_______时，y 有最大值．（4）已知抛物线y=x2－2x+k－1，当k_____时，抛物线与x轴只有一个交点；•当k_____时，抛物线与x 轴有两个交点；当k______时，抛物线与x轴无交点．（5）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么abc，b2－4ac，2a+b，a+b+c，a－b+c，4a－2b+c这些代数式中，值为正的有个．（6）已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），•它们在同一坐标系中的大致图象是（）．【例题2】求抛物线的解析式．（1）如图，抛物线的图象经过A、B、C三点，求此抛物线的解析式、•顶点坐标、对称轴，并讨论它们的增减性.（2）已知抛物线经过A（－1，0），B（3，0）和C（0，－3），求此抛物线解析式．（3）已知抛物线经过点（0，1），且顶点是（－1，2），求此抛物线的解析式．◆中考演练 一、填空题: 1．抛物线y =13（x －2）2－3与x 轴的交点坐标是_______． 2．已知一个二次函数的图象开口向下，且与y 轴的负半轴相交，•请写出一个满足条件的二次函数的解析式____________．3．某二次函数满足下列表格中的x ，y 的值：则该二次函数的解析式为_________，对称轴是_________，顶点坐标是_______． 二、选择题:4．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，下列结论中：①abc >0； ②b=2a ； ③a+b+c <0； ④a －b+c >0； ⑤4a +2b+c <0． 正确的个数是（ ）．A ．5个B ．3个C ．2个D ．1个5．如图，将抛物线y=ax 2+bx+c 沿x 轴翻转到虚线位置，那么所得到的抛物线的解析式为（ ）．A ．y =－ax 2+bx+cB ．y =－ax 2－bx+cC ．y =－ax 2－bx －cD ．y=－ax 2+bx －c6．已知抛物线y=3x 2－2x+a 与x 轴有交点，则a 的取值范围是（ ）． A ．a <13 B ．a ≤13 C ．a ≤－13 D ．a ≥13三、解答题:7．已知正方形的对角线长为x ，面积为y ．（1）写y 与x 的函数关系；（2）画出这个函数的图象．8．已知抛物线12222-++-=m m mx x y ，随着m 取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化，请你通过计算说明，不论m 取任何实数，抛物线顶点头在一条固定的直线上．初三数学练习——二次函数（1）◆考点链接1．通过对实际问题的分析确定二次函数的关系式，了解二次函数的意义．2．能用描点法画出二次函数的示意图，能利用图象认识二次函数的性质，二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大（小）值、•抛物线平移以及增减性． 3．求抛物线解析式的三种常用方法，并会灵活运用． ◆知识梳理1．二次函数的定义：形如c bx ax y ++=2（其中a ，b ，c 为常数，a ≠0）的函数叫做二次函数．（a ≠0，b 、c 可等于0．）2．二次函数的图象：是一条___________． 4．画抛物线时，先确定顶点坐标，在顶点坐标的两边各取三点，即可画出其示意图； 5．当△=b 2－4ac >0时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点，当△=b 2－4ac <0时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴无交点， 当△=b 2－4ac =0时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴只有一个交点． 6．二次函数之间的平移关系： ①平移方法：②平移规律：h值为正右移，为负左移；k值为正上移，为负下移．即上加下减，左加右减．（注：平移要在顶点式的基础上进行平移，不是顶点式的要转化成顶点式）◆典例精析【例题1】填空或选择：（1）抛物线y=（x+1）2的顶点坐标是_（－1，_____，对称轴是_ x=－1____，当x_ >－1_____时，y•随x的增大而增大；当x__<－1____时，y随x的增大而减小．（2）已知函数y=（m+1）x2m m 是二次函数，且图象的开口向下，则m=__=－2____，当x_<0____时，y随x的增大而增大；当x_>0____时，y随x的增大而减小．（3）要用长20m的铁栏杆，一面靠墙（墙的长度是15m），围成一个矩形的花圃，如果设垂直于墙的一边长为x（m），矩形的面积为y（m2），则y与x的关系式为__ y=－2x2+20x _____，x•的取值范围是_52≤x≤10______，当x___ =5____时，y有最大值．（4）已知抛物线y=x2－2x+k－1，当k_=2____时，抛物线与x轴只有一个交点；•当k__<2___时，抛物线与x轴有两个交点；当k__>2____时，抛物线与x轴无交点．（5）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么abc，b2－4ac，2a+b，a+b+c，a－b+c，4a－2b+c这些代数式中，值为正的有 5 个．（6）已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），•它们在同一坐标系中的大致图象是（B ）．【例题2】求抛物线的解析式．（1）如图，抛物线的图象经过A、B、C三点，求此抛物线的解析式、•顶点坐标、对称轴，并讨论它们的增减性.解：设y=ax2+bx+c，再将A（－1，0），B（0，－3），C（4，5）代入可求得a=1，b=－2，c=－3．∴y=x2－2x－3，即y=（x－1）2－4．∴顶点（1，－4），对称轴是直线x=1，当x<1时，y随x的增大而减小；当x>1时，y随x的增大而增大．（2）已知抛物线经过A（－1，0），B（3，0）和C（0，－3），求此抛物线解析式．解：∵A （－1，0），B （3，0）在x 轴上，∴设y=a （x+1）（x －3），再将C （0，－3）代入得a=1，y=（x+1）（x －3）， 即y=x 2－2x －3．（3）已知抛物线经过点（0，1），且顶点是（－1，2），求此抛物线的解析式． 解：∵抛物线的顶点是（－1，2），∴设解析式为y=a （x+1）2+2，再将（0，1）代入得a=－1， ∴y=－（x+1）+2，即y=－x 2－2x+1． ◆中考演练 一、填空题: 1．抛物线y =13（x －2）2－3与x 轴的交点坐标是__（5，0），（－1，0）_____． 2．已知一个二次函数的图象开口向下，且与y 轴的负半轴相交，•请写出一个满足条件的二次函数的解析式_如：y=－x 2+3x －4 ___________．3．某二次函数满足下列表格中的x ，y 的值：则该二次函数的解析式为__ y=x 2－2x+1__，对称轴是__ x=1___，顶点坐标是__（1，0）_____． 二、选择题:4．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，下列结论中：①abc >0； ②b=2a ； ③a+b+c <0； ④a －b+c >0； ⑤4a +2b+c <0． 正确的个数是（ A ）．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．如图，将抛物线y=ax 2+bx+c 沿x 轴翻转到虚线位置，那么所得到的抛物线的解析式为（ C ）． A ．y =－ax 2+bx+c B ．y =－ax 2－bx+c C ．y =－ax 2－bx －c D ．y=－ax 2+bx －c6．已知抛物线y=3x 2－2x+a 与x 轴有交点，则a 的取值范围是（ B ）． A ．a <13 B ．a ≤13 C ．a ≤－13 D ．a ≥13三、解答题:7．已知正方形的对角线长为x ，面积为y ．（1）写y 与x 的函数关系；（2）画出这个函数的图象．解：（1）)0(212222>=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x y（2）画图象注意实际问题自变量的取值范围8．已知抛物线12222-++-=m m mx x y ，随着m 取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化，请你通过计算说明，不论m 取任何实数，抛物线顶点都在一条固定的直线上． 解：()122-+-=m m x y ∴顶点在12-=x y 上。

二次函数练习题（1）A 卷一、选择题（每题5分，共30分）1．二次函数y=x 2+bx+c,若b+c=0,则它的图象一定过点( )A.(-1,-1)B.(1,-1)C.(-1,1)D.(1,1)2．若直线y=ax+b(ab≠0)不过第三象限,则抛物线y=ax 2+bx 的顶点所在的象限是( )A.一B.二C.三D.四3．函数y=ax 2+bx+c 中,若ac<0,则它的图象与x 轴的位置关系为( )A.无交点B.有1个交点;C.有两个交点D.不确定4．抛物线与x 轴交点的横坐标为-2和1,且过点(2,8),它的关系式为( )A.y=2x 2-2x-4;B.y=-2x 2+2x-4;C.y=x 2+x-2;D.y=2x 2+2x-45．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图1所示,下列五个代数式ab 、ac 、a-b+c 、b 2- 4ac 、2a+b 中,值大于0的个数为( )A.5B.4C.3D.26．二次函数y=ax 2+bx+c 与一次函数y=ax+c 在同一坐标系内的图象可能是图3所示的( )二、填空题：(每题5分,共30分)1．若抛物线y=x 2+(m-1)x+(m+3)顶点在y 轴上,则m=_______.2．把抛物线y=12x 2 向左平移三个单位, 再向下平移两个单位所得的关系式为________. 3．抛物线y=ax 2+12x-19顶点横坐标是3,则a=____________.4．若y=(a-1)231a x -是关于x 的二次函数,则a=____________.5．二次函数y=mx 2-3x+2m-m2的图象经过点(-1,-1),则m=_________.6．已知点(2,5),(4,5)是抛物线y=ax 2+bx+c 上的两点, 则这条抛物线的对称轴是______.三、解答题(共40分)1．已知二次函数的图象的对称轴为x=2,函数的最小值为3,且图象经过点(- 1,5),求此二次函数图象的关系式.2．二次函数的图象与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,如图2所示,AC= ,BC= ∠ACB=90°,求二次函数图象的关系式. 3．已知关于x 的二次函数2212m y x mx +=-+与2222m y x mx +=--， 这两个二次函数的图象中的一条与x 轴交于A, B 两个不同的点．图1 Cx B A Oy 图2 图3(l）试判断哪个二次函数的图象经过A, B两点；(2）若A点坐标为（-1, 0)，试求B点坐标；(3）在（2）的条件下，对于经过A, B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？（B卷）拓广提高（30分）时间：45分钟满分：30分一、选择题（每题4分，共8分）1．把二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位,再向上平移1个单位,所得到的图象对应的二次函数关系式为( )A.y=3(x-2)2+1B.y=3(x+2)2-1C.y=3(x-2)2-1D.y=3(x+2)2+12．已知二次函数y=x2-2mx+m-1的图象经过原点,与x轴的另一个交点为A, 抛物线的顶点为B,则△OAB的面积为( ) A.32B.2;C.1;D.12二、填空题：(每题2分,共20分)1．已知二次函数y=2x2-mx-4的图象与x轴的两个交点的横坐标的倒数和为2,则m=_________.2．二次函数y= ax2+ bx+ c 的图象如图5所示, 则这个二次函数的关系式为_________,当______时,y=3,根据图象回答:当x______时,y>0.三、解答题1．(1)请你画出函数y=12x2-4x+10的图象, 由图象你能发现这个函数具有哪些性质?(2)通过配方变形,说出函数y=-2x2+8x-8的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标,这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少?2．根据下列条件,分别求出对应的二次函数关系式.(1)已知抛物线的顶点是(-1,-2),且过点(1,10)；(2)已知抛物线过三点:(0,-2),(1,0),(2,3).（C卷）新题推荐（20分）1．如图6所示,△ABC中,BC=4,∠B=45°,M、N分别是AB、AC上的点,MN∥BC.设MN=x,△MNC的面积为S.(1)求出S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.(2)是否存在平行于BC的线段MN,使△MNC的面积等于2? 若存在,请求出MN的长; 若不存在,请说明理由.2.如图7，已知直线12y x=-与抛物线2164y x=-+交于A B，两点．图5BMAN图6。

中考数学每日一练：二次函数y=ax^2+bx+c 的性质练习题及答案_2020年压轴题版答案答案2020年中考数学：函数_二次函数_二次函数y=ax^2+bx+c 的性质练习题~~第1题~~(2020杭州.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC 如图放置，将此平行四边形绕点O 顺时针旋转90°得到平行四边形A ′B ′OC ′．抛物线y ＝﹣x +2x +3经过点A 、C 、A ′三点．（1） 求A 、A′、C 三点的坐标；（2） 求平行四边形ABOC 和平行四边形A′B′OC′重叠部分△C′OD 的面积；（3） 点M 是第一象限内抛物线上的一动点，问点M 在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M 的坐标．考点： 二次函数y=ax^2+bx+c 的性质;二次函数图象与坐标轴的交点问题;三角形的面积;平行四边形的性质;相似三角形的判定与性质;~~第2题~~(2020百色.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝﹣x +bx+c 的图象与x 轴交于A 、B两点，A 点的坐标为（﹣3，0），B 点在原点的左侧，与y 轴交于点C （0，3），点P 是直线BC 上方的抛物线上一动点（1） 求这个二次函数的表达式；（2） 连接PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP′C （如图1所示），那么是否存在点P ，使四边形POP′C 为菱形？若存在，请此时点P 的坐标：若不存在，请说明理由；（3） 当点P 运动到什么位置时，四边形ABCP 的面积最大，并求出其最大值.考点： 二次函数y=ax^2+bx+c 的性质;待定系数法求二次函数解析式;二次函数的实际应用-动态几何问题;~~第3题~~(2020湖州.中考模拟) 如图， 已知抛物线的对称轴是直线x=3，且与x 轴相交于A ，B 两点（B 点在A 点右侧）与y 轴交于C 点 ．22答案答案答案（1） 求抛物线的解析式和A 、B 两点的坐标；（2） 若点P 是抛物线上B 、C 两点之间的一个动点（不与B 、C 重合），则是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大．若存在，请求出△PBC 的最大面积；若不存在，试说明理由；（3） 若M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N ，当MN=3时，求M 点的坐标．考点： 待定系数法求一次函数解析式;二次函数y=ax^2+bx+c 的性质;二次函数与一次函数的综合应用;二次函数的实际应用-动态几何问题;~~第4题~~(2020乌鲁木齐.中考模拟) 如图，直线y=x+2与抛物线y=ax +bx+6（a≠0）相交于A （）和B （4，6），点P 是线段AB上异于A 、B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点D ，交抛物线于点C.（1）求抛物线的解析式；（2） 当C 为抛物线顶点的时候，求的面积.（3） 是否存在质疑的点P ，使 的面积有最大值，若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由.考点： 二次函数y=ax^2+bx+c 的性质;二次函数图象上点的坐标特征;待定系数法求二次函数解析式;~~第5题~~(2020长春.中考模拟) 在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x -2mx-3m（1） 当m=1时，①抛物线的对称轴为直线①抛物线的对称轴为直线，，②抛物线上一点P 到x 轴的距离为4，求点P 的坐标③当n≤x≤ 时，函数值y 的取值范围是- ≤y≤2-n ，求n 的值（2） 设抛物线y=x -2mx-3m 在2m-1≤x≤2m+1上最低点的纵坐标为y ，直接写出y 与m 之间的函数关系式及m 的取值范围．考点： 二次函数y=ax^2 bx c 的图象;二次函数y=ax^2+bx+c 的性质;2020年中考数学：函数_二次函数_二次函数y=ax^2+bx+c 的性质练习题答案1.答案：222002.答案：3.答案：4.答案：5.答案：。

二次函数的性质讲解与练习1一．选择题（共30小题）1．（2015•兰州）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（）A．y=3x﹣1 B．y=ax2+bx+c C．s=2t2﹣2t+1 D．y=x2+2．（2015春•西安校级月考）当m不为何值时，函数y=（m﹣2）x2+4x﹣5（m是常数）是二次函数（）A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣33．（2015秋•泰安校级期中）若函数y=a是二次函数且图象开口向上，则a=（）A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．4或34．（2013秋•大观区校级期末）下列函数是关于x的二次函数的有（）①y=x（2x﹣1）；②；③；④y=ax2+2x（a为任意实数）；⑤y=（x﹣1）2﹣x2；⑥y=．A．2个B．3个C．4个D．5个5．（2015秋•上城区期中）抛物线y=﹣8x2不具有的性质是（）A．开口向下 B．对称轴是y轴C．当x＞0时，y随x的增大而减小D．函数有最小值6．（2015秋•徐州校级期中）关于抛物线y=（x﹣1）2﹣2，下列说法正确的是（）A．顶点坐标（﹣1，﹣2） B．对称轴是直线x=1C．x＞1时y随x的增大而减小D．开口向下7．（2015秋•禹城市校级月考）已知抛物线y=﹣2x2+12x﹣13，则下列关于此抛物线说法正确的是（）A．开口向下，对称轴为直线x=﹣3B．顶点坐标为（﹣3，5）C．最小值为5D．当x＞3时，y随x的增大而减小8．（2015秋•龙岩校级月考）已知抛物线y=ax2+bx+c，经过A（4，0），B（12，0）两点，那么它的对称轴是（）A．直线x=7 B．直线x=8 C．直线x=9 D．无法确定9．（2015秋•兰溪市校级月考）当﹣2＜x＜2时，下列函数：①y=2x；②；③；④y=x2+6x+8，函数值y随自变量x增大而增大的有（）A．①②B．①②③ C．①②④ D．①②③④10．（2015秋•重庆校级月考）关于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象有下列命题，其中错误的是（）A．当c=0时，函数的图象经过原点B．当b=0时，函数的图象关于y轴对称C．若函数的图象过点A（1，2），B（7，2），则它的对称轴为直线x=3D．当c＞0且函数的图象开口向下时，方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根2、y的部分对应值如下表：①a＞0；②抛物线的对称轴是直线x=；③不等式ax2+bx+c﹣1＜0的解集是0＜x＜3；④1是方程ax2+（b+1）x+c=0的根．A．1个B．2个C．3个D．4个12．（2015秋•三亚校级月考）已知二次函数y=4（x﹣2）2+3与y=ax2开口方向相同，形状和大小也相同，则a的值为（）A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣213．（2015秋•天津校级月考）顶点为（﹣5，0），且开口方向、形状与函数y=﹣x2的图象相同的抛物线是（）A．y=（x﹣5）2B．y=﹣x2﹣5 C．y=﹣（x+5）2D．y=（x+5）214．（2015秋•灵丘县校级月考）抛物线y=a（x﹣1）（x+3）（a≠0）的对称轴是直线（）A．直线x=1 B．直线x=﹣1 C．直线x=﹣3 D．直线x=315．（2015秋•重庆校级月考）某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c图象时，列出了下A．0 B．﹣1 C．﹣4 D．216．（2015秋•重庆校级月考）抛物线y=﹣x2+（b﹣1）x﹣3的对称轴为y轴，则b的值为（）A．﹣1 B．1 C．0 D．﹣217．（2015秋•天津校级月考）同一坐标系中作y=3x2，y=﹣3x2，y=x2的图象，它们的共同特点是（）A．关于y轴对称，抛物线开口向上B．关于y轴对称，抛物线开口向下C．关于y轴对称，抛物线的顶点在原点D．关于x轴对称，抛物线的顶点在原点18．（2015秋•潜江校级月考）对抛物线y=﹣x2+2x﹣3而言，下列结论正确的是（）A．对称轴x=﹣1 B．开口向上C．与y轴的交点坐标是（0，3）D．函数有最大值，最大值是﹣219．（2015秋•潜江校级月考）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y1时，y的值随x的增大而减小；③函数的最大值是5；④ac ＜0．其中正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个20．（2014秋•大城县期末）下列说法错误的是（）A．二次函数y=3x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大B．二次函数y=﹣6x2中，当x=0时，y有最大值0C．a越大图象开口越小，a越小图象开口越大D．不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2（a≠0）的顶点一定是坐标原点21．（2014秋•高新区校级期末）二次函数y=4x2﹣mx+5，当x＜﹣2时，y随x的增大而减小；当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，那么当x=1时，函数y的值为（）A．﹣7 B．1 C．17 D．2522．（2014秋•福田区期末）关于函数y=x2﹣2x﹣3的叙述：①当x＞1时，y的值随x的增大而增大②y的最小值是﹣3③函数图象与x轴交点的横坐标是方程x2﹣2x﹣3=0的根④函数图象与y轴交点的坐标是（0，﹣3）⑤函数图象经过第一、二、三、四象限其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个2A．二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为直线=1B．当x=﹣1时，对应的函数值y=﹣5C．该抛物线开口向上，函数有最小值﹣9D．其图象与x轴、y轴都只有一个交点，分别为（﹣2，0）（0，﹣8）24．（2013秋•临清市期末）如果抛物线y=﹣x2+bx+c的顶点坐标是（﹣1，﹣3），那么（）A．b=﹣2，c=4 B．b=2，c=4 C．b=﹣2，c=﹣4 D．b=2，c=﹣425．（2014秋•乳山市期末）二次函数y=﹣x2﹣（m﹣1）x+6，当x＜2时，y随着x的增大而增大；当x＞2时，y随着x的增大而减小，则m的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．526．（2014秋•上海校级期末）若抛物线y=x2+（m2+m﹣6）x+（m+3）的顶点在y轴的正半轴上，则m的取值是（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣327．（2014秋•官渡区校级期中）下列判断中唯一正确的是（）A．函数y=ax2的图象开口向上，函数y=﹣ax2的图象开口向下B．二次函数y=ax2，当x＜0时，y随x的增大而增大C．y=2x2与y=﹣2x2图象的顶点、对称轴、开口方向、开口大小完全相同D．抛物线y=ax2与y=﹣ax2的图象关于y轴对称28．（2014秋•沙坪坝区校级期中）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x，纵坐标﹣A．抛物线开口向上B．抛物线与x轴有两个交点C．抛物线的对称轴是直线x=1D．函数y=ax2+bx+c（c≠0）的最小值为﹣29．（2014秋•五华区校级期中）抛物线y=﹣x2+3x﹣的对称轴是（）A．x=3 B．x=﹣3 C．x=6 D．x=﹣30．（2014秋•岑溪市期中）对于抛物线y=﹣（x+1）2+3，下列结论不正确的是（）A．抛物线的开口向下B．对称轴为直线x=1C．顶点坐标为（﹣1，3）D．此抛物线是由y=﹣x2+3向左平移1个单位得到的二次函数的性质讲解与练习1参考答案一．选择题（共30小题）1．C 2．B 3．B 4．A 5．D 6．B 7．D 8．B 9．C 10．C 11．D 12．A 13．C 14．B 15．C 16．B 17．C 18．D 19．C20．C 21．D 22．C 23．D 24．C 25．A 26．A 27．D 28．D29．A 30．B。

二次函数练习题一．选择题（共25小题）1.对于二次函数y=（x-1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．对称轴是x=-1C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点2.抛物线y=2x2，y=-2x2，y＝1/2 x2共有的性质是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．都有最高点D．y随x的增大而增大3．已知二次函数y=-x2+2bx+c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（）A．b≥-1 B．b≤-1 C．b≥1D．b≤14．已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：则该二次函数图象的对称轴为（） A．y轴B．直线x= 5/2 C．直线x=2 D．直线x=3/2x -1 0 1 2 3y 5 1 -1 -1 15．抛物线y=（x-1）2-3的对称轴是（）A．y轴B．直线x=-1 C．直线x=1 D．直线x=-36．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：下列结论：（1）ac＜0；（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．（3）3是方程ax2+（b-1）x+c=0的一个根；（4）当-1＜x＜3时，ax2+（b-1）x+c＞0．其中正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1X -1 0 1 3y -1 3 5 37．如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y=1/2 x2+bx+c的顶点，则方程1/2 x2+bx+c=1的解的个数是（）A．0或2 B．0或1 C．1或2 D．0，1或28.已知抛物线的顶点为y=ax2+bx+c（0＜2a＜b）的顶点为P（x0，y0），点A（1，yA），B （0，yB），C（-1，yC）在该抛物线上，当y0≥0恒成立时，yA/yB-yC 的最小值为（）A．1 B．2 C．4 D．39．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，则下列四个结论错误的是（）A．c＞0 B．2a+b=0 C．b2-4ac＞0 D．a-b+c＞010．二次函数y=x2+bx+c，若b+c=0，则它的图象一定过点（）A．（-1，-1）B．（1，-1）C．（-1，1）D．（1，1）11．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x=1．①b2＞4ac；②4a-2b+c ＜0；③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x≥3.5；④若（-2，y1），（5，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2．上述4个判断中，正确的是（）A．①②B．①④C．①③④D．②③④12．已知a、h、k为三数，且二次函数y=a（x-h）2+k在坐标平面上的图形通过（0，5）、（10，8）两点．若a＜0，0＜h＜10，则h之值可能为下列何者？（）A．1 B．3 C．5 D．713.如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分．已知抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（-1，0）．有下列结论：①abc＞0；②4a-2b+c＜0；③4a+b=0；④抛物线与x 轴的另一个交点是（5，0）；⑤点（-3，y1），（6，y2）都在抛物线上，则有y1＜y2．其中正确的是（）A．①②③B．②④⑤C．①③④D．③④⑤14．已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：则该二次函数图象的对称轴为（）A．y轴B．直线x= 5/2 C．直线x=2 D ．直线x= 3/2x-10123y51-1-1115．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x=1．①b2＞4ac；②4a-2b+c＜0；③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x≥3.5；④若（-2，y1），（5，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2．上述4个判断中，正确的是（）A．①②B．①④C．①③④D．②③④16.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac-b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠-1），其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个17.已知点A(a-2b，2-4ab)在抛物线y=x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为( ) A.(-3,7) B.(-1,7) C.(-4,10) D.(0,10)18.若函数y=mx2+(m+2)x+1/2m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为( )A.0B.0或2C.2或-2D.0，2或-219..如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x=1.①b2＞4ac；②4a-2b+c ＜0；③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x≥3.5；④若(-2，y1),(5,y2)是抛物线上的两点，则y1＜y2.上述4个判断中，正确的是( ) A.①② B.①④ C.①③④ D.②③④20.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示．有下列结论：①a-b+c=0；②4a+b=0；③当y=2时，x等于0．④ax2+bx+c=-4有两个不相等的实数根。

二次函数基本性质1一．选择题（共34小题）1．下列解析式中表示关于x的二次函数的是（）A．y＝x2B．y＝2x+3C．y＝﹣D．y＝2x2﹣﹣1 2．下列函数是y关于x的二次函数的是（）A．B．y＝x+2C．y＝﹣3x2D．3．下列函数属于二次函数的是（）A．y＝﹣3x2+1B．y＝C．y＝D．y＝2x+54．下列函数关系中，是二次函数的是（）A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系D．圆的面积S与半径R之间的关系5．下列函数中，是二次函数的有（）（1）y＝3x2++1；（2）y＝+5；（3）y＝（x﹣3）2﹣x2；（4）y＝1+x﹣；A．1个B．2个C．3个D．4个6．若y＝（m+1）是二次函数，则m的值为（）A．2B．﹣1C．﹣1或2D．以上都不对7．已知抛物线y＝（x﹣1）2+2，下列说法错误的是（）A．顶点坐标为（1，2）B．对称轴是直线x＝1C．开口方向向上D．当x＞1时，y随x的增大而减小8．下列对二次函数y＝x2﹣x的图象的描述，正确的是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．当x＝时，y有最小值是﹣D．在对称轴左侧y随x的增大而增大9．把抛物线y＝﹣2x2+l向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式是（）A．y＝﹣2（x+1）2+4B．y＝﹣2（x+1）2﹣2C．y＝﹣2（x﹣1）2+4D．y＝﹣2（x﹣1）2﹣210．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+b与一次函数y＝bx+a的图象可能是（）A．B．C．D．11．抛物线y＝2（x+3）2﹣4的对称轴是（）A．直线y＝4B．直线x＝﹣3C．直线x＝3D．直线y＝﹣3 12．关于x的二次函数y＝ax2+bx+b2在b≤x≤b+3范围内，函数值有最小值21，则b的值是（）A．或2B．或±2C．﹣4或D．1或﹣4或13．将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2﹣3向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（）A．y＝﹣2（x﹣4）2﹣1B．y＝﹣2（x+2）2﹣1C．y＝﹣2（x﹣4）2﹣5D．y＝﹣2（x+2）2﹣514．抛物线y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（）A．（﹣3，2）B．（3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（3，﹣2）15．抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+6的顶点坐标为（）A．（1，6）B．（1，﹣6）C．（﹣1，﹣6）D．（﹣1，6）16．若抛物线y＝﹣x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（）A．y＝﹣（x+3）2﹣2B．y＝﹣（x﹣3）2﹣2C．y＝（x+3）2﹣2D．y＝﹣（x+3）2﹣217．已知二次函数y＝2x2+bx+3的图象的顶点在x轴的正半轴上，则b的值是（）A．2B．6C．﹣2D．218．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，若点A（﹣2.2，y1），B（﹣3.2，y2）是图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．不能确定19．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，且过点（，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c＝0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0；⑤b2＞4ac，其中正确的结论有（）A．①③⑤B．①②⑤C．①④⑤D．③④⑤20．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，图象经过A点（3，0），二次函数的对称轴为x ＝1，给出下列结论：（1）b2＞4ac；（2）bc＜0；（3）2a+b＝0；（4）a﹣b+c＝0，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个21．已知点A（﹣1，y1），点B（2，y2）在抛物线y＝﹣3x2+2上，则y1，y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．无法判断22．若y＝（1﹣m）x是二次函数，且图象开口向下，则m的值为（）A．m＝±2B．0C．m＝﹣2D．m＝223．已知二次函数的图象经过A（0，﹣2），B（1，0），C（2，0），则这个二次函数图象的对称轴为（）A．B．x＝﹣2C．x＝2D．24．抛物线的顶点为（1，﹣4），与y轴交于点（0，﹣3），则该抛物线的解析式为（）A．y＝x2﹣2x﹣3B．y＝x2+2x﹣3C．y＝x2﹣2x+3D．y＝2x2﹣3x﹣3 25．若抛物线的顶点为点（2，3）且抛物线经过点（3，1），那么抛物线解析式是（）A．y＝4（x﹣2）2﹣3B．y＝﹣2（x﹣2）2+3C．y＝﹣2（x﹣2）2﹣3D．y＝﹣（x﹣2）2+326．用配方法将函数y＝x2﹣2x+2写成y＝a（x﹣h）2+k的形式是（）A．y＝（x﹣1）2+1B．y＝（x﹣1）2﹣1C．y＝（x﹣1）2﹣3D．y＝（x+1）2﹣1 27．将y＝2x2﹣8x﹣1化成y＝a（x+m）2+n的形式为（）A．y＝2（x﹣2）2+7B．y＝2（x﹣4）2﹣1C．y＝2（x﹣2）2﹣9D．y＝2（x﹣4）2﹣728．将二次函数y＝2x2﹣4x+5的右边进行配方，正确的结果是（）A．y＝2（x﹣1）2﹣3B．y＝2（x﹣2）2﹣3C．y＝2（x﹣1）2+3D．y＝2（x﹣2）2+329．已知二次函数y＝ax2﹣1的图象经过点（1，﹣2），那么a的值为（）A．a＝﹣2B．a＝2C．a＝1D．a＝﹣130．将二次函数y＝x2﹣4x+3通过配方可化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y＝（x﹣2）2﹣1B．y＝（x﹣2）2+3C．y＝（x+2）2+3D．y＝（x+2）2﹣1 31．将二次函数y＝x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣4）2+1B．y＝（x﹣4）2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣3D．y＝（x+2）2﹣3 32．将二次函数y＝x2﹣2x﹣1化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y＝（x+1）2+2B．y＝（x+1）2﹣2C．y＝（x﹣1）2D．y＝（x﹣1）2﹣2 33．把二次函数y＝﹣（x+3）2+11变成一般式是（）A．y＝﹣x2+20B．y＝﹣x2+2C．y＝﹣x2+6x+20D．y＝﹣x2﹣6x+234．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，EG⊥AF，FH⊥CE，垂足分别为G，H，设AG＝x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）A．y＝3x2B．y＝4x2C．y＝8x2D．y＝9x2二．填空题（共12小题）35．函数y＝（m+1）x|m|+1+5x﹣5是二次函数，则m＝_____．36．已知二次函数的图象过（0，1），（1，0）（﹣2，0）三点，则这二次函数的解析式是_____．37．请写出一个开口向上，顶点为（2，1）的抛物线的解析式_____．38．顶点为（﹣6，0），开口向下，形状与函数y＝x2的图象相同的抛物线的表达式是_____．39．若函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的图象经过原点，最大值为16，且形状与抛物线y＝4x2+2x﹣3相同，则此函数的关系式为_____．40．请写出一个开口向下，且顶点坐标为（﹣3，2）的抛物线解析式：_____．41．将y＝x2﹣2x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，则y＝_____．42．将二次函数y＝x2﹣2x﹣4配方得到抛物线的顶点式为_____．43．若二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过点（﹣1，0），（3，0），则其表达式为y＝_____．44．过（﹣1，0）、（3，0）、（1，2）三点的抛物线的解析式是_____．45．把二次函数y＝x2﹣4x+5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，那么h+k＝_____．46．一抛物线和另一抛物线y＝﹣2x2的形状和开口方向完全相同，且顶点坐标是（﹣2，1），则该抛物线的解析式为_____．三．解答题（共4小题）47．二次函数的图象经过A（1，m），B（2，n），C（4，t），且点B是该二次函数图象的顶点．（1）若m＝3，n＝4，求二次函数解析式；（2）请在图中描出该函数图象上另外的两个点，并画出图象．48．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，2），B（4，0），C（5，﹣3）三点，当x≥0时，其图象如图所示．（1）求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；（2）画出抛物线y＝ax2+bx+c当x＜0时的图象．49．已知函数y＝﹣x m﹣1+bx﹣3（m，b为常数）是二次函数其图象的对称轴为直线x＝1（I）求该二次函教的解析式；（Ⅱ）当﹣2≤x≤0时，求该二次函数的函数值y的取值范围．50．已知二次函数y＝ax2+2x的图象过点（﹣2，﹣1）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）判断点（﹣1，﹣）是否在抛物线上．二次函数基本性质1参考答案与试题解析一．选择题（共34小题）1．下列解析式中表示关于x的二次函数的是（）A．y＝x2B．y＝2x+3C．y＝﹣D．y＝2x2﹣﹣1解：按照二次函数的定义：形如y＝ax2+bx+c（a≠0）逐个判断即可：选项A：是二次函数，故A正确；选项B：是一次函数，不是二次函数，B不正确；选项C：是反比例函数，不是二次函数，C不正确；选项D：既有二次项，又有反比例的，D不正确．综上，只有A正确．故选：A．2．下列函数是y关于x的二次函数的是（）A．B．y＝x+2C．y＝﹣3x2D．解：二次函数的基本表示形式为y＝ax2+bx+c（a≠0），二次函数最高次必须为二次．故选：C．3．下列函数属于二次函数的是（）A．y＝﹣3x2+1B．y＝C．y＝D．y＝2x+5解：A、y＝﹣3x2+1，是二次函数，符合题意；B、y＝，是正比例函数，不合题意；C、y＝，是反比例函数，不合题意；D、y＝2x+5，是一次函数，不合题意．故选：A．4．下列函数关系中，是二次函数的是（）A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系D．圆的面积S与半径R之间的关系解：A、关系式为：y＝kx+b，故A错误；B、关系式为t＝，故错误；C、关系式为：C＝3a，故C错误；D、S＝πR2，故D正确．故选：D．5．下列函数中，是二次函数的有（）（1）y＝3x2++1；（2）y＝+5；（3）y＝（x﹣3）2﹣x2；（4）y＝1+x﹣；A．1个B．2个C．3个D．4个解：（1）y＝3x2++1，右边有分式，不是二次函数；（2）y＝+5是二次函数；（3）y＝（x﹣3）2﹣x2＝﹣6x+9，不是二次函数；（4）y＝1+x﹣是二次函数．故是二次函数的有2个．故选：B．6．若y＝（m+1）是二次函数，则m的值为（）A．2B．﹣1C．﹣1或2D．以上都不对解：∵y＝（m+1）是二次函数，∴m+1≠0且m2﹣m＝2，解得：m＝2，故选：A．7．已知抛物线y＝（x﹣1）2+2，下列说法错误的是（）A．顶点坐标为（1，2）B．对称轴是直线x＝1C．开口方向向上D．当x＞1时，y随x的增大而减小解：由抛物线y＝（x﹣1）2+2可知，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x＝1，抛物线开口向上，函数有最小值为2，x＞1时y随x增大而增大，∴A、B、C判断正确，D错误．故选：D．8．下列对二次函数y＝x2﹣x的图象的描述，正确的是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．当x＝时，y有最小值是﹣D．在对称轴左侧y随x的增大而增大解：A、∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，选项A不正确；B、∵﹣＝，∴抛物线的对称轴为直线x＝，选项B不正确；C、当x＝时，y＝﹣，∴当x＝时，y有最小值是﹣，选项C正确；D、∵a＞0，抛物线的对称轴为直线x＝，∴当x＞时，y随x值的增大而增大，选项D不正确．故选：C．9．把抛物线y＝﹣2x2+l向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式是（）A．y＝﹣2（x+1）2+4B．y＝﹣2（x+1）2﹣2C．y＝﹣2（x﹣1）2+4D．y＝﹣2（x﹣1）2﹣2解：抛物线y＝﹣2x2+l向左平移1个单位，顶点由原来的（0，1）变为（﹣1，1），当向上平移3个单位时，顶点变为（﹣1，4），则平移后抛物线的解析式为y＝﹣2（x+1）2+4．故选：A．10．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+b与一次函数y＝bx+a的图象可能是（）A．B．C．D．解：A、由抛物线y＝ax2+b可知，图象开口向上，与y轴交在负半轴a＞0，b＜0，由直线y＝bx+a可知，图象过一，二，三象限，b＞0，a＞0，故此选项错误；B、由抛物线y＝ax2+b可知，图象开口向上且与y轴交在正半轴a＞0，b＞0，由直线y＝bx+a可知，图象过一，二，四象限，b＜0，a＞0，故此选项错误；C、由抛物线可y＝ax2+b知，图象开口向下且与y轴交在正半轴a＜0，b＞0，由直线y＝bx+a可知，图象过一，三，四象限b＞0，a＜0，故此选项正确；D、由抛物线可y＝ax2+b知，图象开口向下且与y轴交在负半轴a＜0，b＜0，由直线y＝bx+a可知，图象过一，二，三象限b＞0，a＞0，故此选项错误；故选：C．11．抛物线y＝2（x+3）2﹣4的对称轴是（）A．直线y＝4B．直线x＝﹣3C．直线x＝3D．直线y＝﹣3解：y＝2（x+3）2﹣4是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣3，﹣4），对称轴是x＝﹣3．故选：B．12．关于x的二次函数y＝ax2+bx+b2在b≤x≤b+3范围内，函数值有最小值21，则b的值是（）A．或2B．或±2C．﹣4或D．1或﹣4或解：y＝x2+bx+b2的图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣，①当﹣＜b，即b＞0时，在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而增大，∴当x＝b时，y＝b2+b•b+b2＝3b2为最小值，∴3b2＝21，解得，b1＝﹣（舍去），b2＝；②当b≤﹣≤b+3时，即﹣2≤b≤0，∴x＝﹣，y＝b2为最小值，∴b2＝21，解得，b1＝﹣2（舍去），b2＝2（舍去）；③当﹣＞b+3，即b＜﹣2，在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而减小，故当x＝b+3时，y＝（b+3）2+b（b+3）+b2＝3b2+9b+9为最小值，∴3b2+9b+9＝21．解得，b1＝1（舍去），b2＝﹣4；故b的值为或﹣4．故选：C．13．将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2﹣3向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（）A．y＝﹣2（x﹣4）2﹣1B．y＝﹣2（x+2）2﹣1C．y＝﹣2（x﹣4）2﹣5D．y＝﹣2（x+2）2﹣5解：将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2﹣3向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到y＝﹣2（x﹣1+3）2﹣3+2．故得到抛物线的解析式为y＝﹣2（x+2）2﹣1．故选：B．14．抛物线y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（）A．（﹣3，2）B．（3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（3，﹣2）解：抛物线y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（3，2），故选：B．15．抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+6的顶点坐标为（）A．（1，6）B．（1，﹣6）C．（﹣1，﹣6）D．（﹣1，6）解：抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+6的顶点坐标为（1，6），故选：A．16．若抛物线y＝﹣x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（）A．y＝﹣（x+3）2﹣2B．y＝﹣（x﹣3）2﹣2C．y＝（x+3）2﹣2D．y＝﹣（x+3）2﹣2解：由““上加下减，左加右减”的原则可知，抛物线y＝﹣x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到新的抛物线为y＝﹣（x+3）2﹣2．故选：D．17．已知二次函数y＝2x2+bx+3的图象的顶点在x轴的正半轴上，则b的值是（）A．2B．6C．﹣2D．2解：∵二次函数y＝2x2+bx+3的图象的顶点在x轴的正半轴上，∴＝＝0，且﹣＝﹣＞0，解得b＝﹣2，故选：C．18．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，若点A（﹣2.2，y1），B（﹣3.2，y2）是图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．不能确定解：因为抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣3，点A（﹣2.2，y1），B（﹣3，2，y2），所以点A与对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，所以y1＜y2故选：A．19．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，且过点（，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c＝0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0；⑤b2＞4ac，其中正确的结论有（）A．①③⑤B．①②⑤C．①④⑤D．③④⑤解：由抛物线的开口向下可得：a＜0，根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a，b同号，所以b＜0，根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0，∴abc＞0，故①正确；直线x＝﹣1是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以﹣＝﹣1，可得b＝2a，a﹣2b+4c＝a﹣4a+2＝﹣3a+2，∵a＜0，∴﹣3a＞0，∴﹣3a+2＞0，即a﹣2b+4c＞0，故②错误；∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣1．且过点（，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣，0），当x＝﹣时，y＝0，即a（﹣）2﹣b+c＝0，整理得：25a﹣10b+4c＝0，故③正确；∵b＝2a，a+b+c＜0，∴b+b+c＜0，即3b+2c＜0，故④错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故⑤正确；故选：A．20．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，图象经过A点（3，0），二次函数的对称轴为x＝1，给出下列结论：（1）b2＞4ac；（2）bc＜0；（3）2a+b＝0；（4）a﹣b+c＝0，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：∵抛物线与x轴有交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故（1）正确，∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵﹣＝1，∴b＞0，∵抛物线交y轴于正半轴，∴c＞0，∴bc＞0，故（2）错误，∵﹣＝1，∴2a+b＝0，故（3）正确，∵图象经过A点（3，0），二次函数的对称轴为x＝1，则另一个交点为（﹣1，0）∴x＝﹣1时，y＝0，∴a﹣b+c＝0，故（4）正确，故选：C．21．已知点A（﹣1，y1），点B（2，y2）在抛物线y＝﹣3x2+2上，则y1，y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．无法判断解：∵点A（﹣1，y1），点B（2，y2）在抛物线y＝﹣3x2+2上，∴当x＝﹣1时，y1＝﹣1，当x＝2时，y2＝﹣10，∴y1＞y2，故选：A．22．若y＝（1﹣m）x是二次函数，且图象开口向下，则m的值为（）A．m＝±2B．0C．m＝﹣2D．m＝2解：∵已知函数为二次函数，∴m2﹣2＝2，解得m＝﹣2或2，当m＝﹣2时，1﹣m＝3＞0，二次函数图象开口向上，不符合题意，当m＝2时，1﹣m＝﹣1＜0，二次函数图象开口向下，故选：D．23．已知二次函数的图象经过A（0，﹣2），B（1，0），C（2，0），则这个二次函数图象的对称轴为（）A．B．x＝﹣2C．x＝2D．解：∵二次函数的图象经过A（0，﹣2），B（1，0），C（2，0），∴这个二次函数图象的对称轴为直线x＝＝，故选：A．24．抛物线的顶点为（1，﹣4），与y轴交于点（0，﹣3），则该抛物线的解析式为（）A．y＝x2﹣2x﹣3B．y＝x2+2x﹣3C．y＝x2﹣2x+3D．y＝2x2﹣3x﹣3解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将（0，﹣3）代入y＝a（x﹣1）2﹣4，得：﹣3＝a（0﹣1）2﹣4，解得：a＝1，∴抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3．故选：A．25．若抛物线的顶点为点（2，3）且抛物线经过点（3，1），那么抛物线解析式是（）A．y＝4（x﹣2）2﹣3B．y＝﹣2（x﹣2）2+3C．y＝﹣2（x﹣2）2﹣3D．y＝﹣（x﹣2）2+3解：∵抛物线的顶点为（2，3），∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+3，∵经过点（3，1），∴代入得：1＝a（3﹣2）2+3，解得：a＝﹣2，即y＝﹣2（x﹣2）2+3．故选：B．26．用配方法将函数y＝x2﹣2x+2写成y＝a（x﹣h）2+k的形式是（）A．y＝（x﹣1）2+1B．y＝（x﹣1）2﹣1C．y＝（x﹣1）2﹣3D．y＝（x+1）2﹣1解：y＝x2﹣2x+2＝x2﹣2x+1+1＝（x﹣1）2+1，即y＝（x﹣1）2+1．故选：A．27．将y＝2x2﹣8x﹣1化成y＝a（x+m）2+n的形式为（）A．y＝2（x﹣2）2+7B．y＝2（x﹣4）2﹣1C．y＝2（x﹣2）2﹣9D．y＝2（x﹣4）2﹣7解：y＝2x2﹣8x﹣1＝2（x2﹣4x+4）﹣2×4﹣1＝2（x﹣2）2﹣9，所以y＝2（x﹣2）2﹣9．故选：C．28．将二次函数y＝2x2﹣4x+5的右边进行配方，正确的结果是（）A．y＝2（x﹣1）2﹣3B．y＝2（x﹣2）2﹣3C．y＝2（x﹣1）2+3D．y＝2（x﹣2）2+3解：提出二次项系数得，y＝2（x2﹣2x）+5，配方得，y＝2（x2﹣2x+1）+5﹣2，即y＝2（x﹣1）2+3．故选：C．29．已知二次函数y＝ax2﹣1的图象经过点（1，﹣2），那么a的值为（）A．a＝﹣2B．a＝2C．a＝1D．a＝﹣1解：把（1，﹣2）代入y＝ax2﹣1得a﹣1＝﹣2，解得a＝﹣1．故选：D．30．将二次函数y＝x2﹣4x+3通过配方可化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y＝（x﹣2）2﹣1B．y＝（x﹣2）2+3C．y＝（x+2）2+3D．y＝（x+2）2﹣1解：y＝x2﹣4x+3＝（x2﹣4x+4）﹣1＝（x﹣2）2﹣1，即y＝（x﹣2）2﹣1．故选：A．31．将二次函数y＝x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣4）2+1B．y＝（x﹣4）2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣3D．y＝（x+2）2﹣3解：y＝x2﹣4x+1＝（x2﹣4x+4）+1﹣4＝（x﹣2）2﹣3．所以把二次函数y＝x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为：y＝（x﹣2）2﹣3．故选：C．32．将二次函数y＝x2﹣2x﹣1化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y＝（x+1）2+2B．y＝（x+1）2﹣2C．y＝（x﹣1）2D．y＝（x﹣1）2﹣2解：y＝x2﹣2x﹣1＝x2﹣2x+1﹣1﹣1＝（x﹣1）2﹣2．故选：D．33．把二次函数y＝﹣（x+3）2+11变成一般式是（）A．y＝﹣x2+20B．y＝﹣x2+2C．y＝﹣x2+6x+20D．y＝﹣x2﹣6x+2解：y＝﹣（x+3）2+11＝﹣x2﹣6x﹣9+11＝﹣x2﹣6x+2．故选：D．34．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，EG⊥AF，FH⊥CE，垂足分别为G，H，设AG＝x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）A．y＝3x2B．y＝4x2C．y＝8x2D．y＝9x2解：设正方形的边长为2a，∴BC＝2a，BE＝a，∵E、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝CF，∵AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形，∴AF∥CE，∵EG⊥AF，FH⊥CE，∴四边形EHFG是矩形，∵∠AEG+∠BEC＝∠BCE+∠BEC＝90°，∴∠AEG＝∠BCE，∴tan∠AEG＝tan∠BCE，∴＝，∴EG＝2x，∴由勾股定理可知：AE＝x，∴AB＝BC＝2x，∴CE＝5x，易证：△AEG≌△CFH，∴AG＝CH，∴EH＝EC﹣CH＝4x，∴y＝EG•EH＝8x2，故选：C．二．填空题（共12小题）35．函数y＝（m+1）x|m|+1+5x﹣5是二次函数，则m＝1．解：由二次函数的定义可知，当时，该函数是二次函数∴∴m＝1故答案为：1．36．已知二次函数的图象过（0，1），（1，0）（﹣2，0）三点，则这二次函数的解析式是y ＝﹣x2﹣x+1．解：根据题意设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x+2），将（0，1）代入得：﹣2a＝1，即a＝﹣，则抛物线解析式为y＝﹣x2﹣x+1，故答案为y＝﹣x2﹣x+1．37．请写出一个开口向上，顶点为（2，1）的抛物线的解析式y＝2（x﹣2）2+1（答案不唯一）．解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+1，因为抛物线开口向上，所以可取a＝1，所以满足条件的一个抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+1．故答案为y＝（x﹣2）2+1．38．顶点为（﹣6，0），开口向下，形状与函数y＝x2的图象相同的抛物线的表达式是y ＝﹣（x+6）2．解：设所求的抛物线的关系式为y＝a（x﹣h）2+k，∵顶点为（﹣6，0），∴h＝﹣6，k＝0，又∵开口向下，形状与函数y＝x2的图象相同，∴a＝﹣，∴抛物线的关系式为：y＝﹣（x+6）2，39．若函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的图象经过原点，最大值为16，且形状与抛物线y＝4x2+2x﹣3相同，则此函数的关系式为y＝﹣4x2﹣16x或y＝﹣4x2+16x．解：∵函数y＝a（x﹣h）2+k的图象经过原点，把（0，0）代入解析式，得：ah2+k＝0，∵最大值为8，即函数的开口向下，a＜0，顶点的纵坐标k＝16，又∵形状与抛物线y＝4x2+2x﹣3相同，∴二次项系数a＝﹣4，把a＝﹣4，k＝16代入ah2+k＝0中，得h＝±2，∴函数解析式是：y＝﹣4（x﹣2）2+16或y＝﹣4（x+2）2+16，即y＝﹣4x2﹣16x或y＝﹣4x2+16x，故答案为：y＝﹣4x2﹣16x或y＝﹣4x2+16x．40．请写出一个开口向下，且顶点坐标为（﹣3，2）的抛物线解析式：y＝﹣（x+3）2+2答案不唯一．解：∵抛物线开口向下，顶点坐标为（﹣3，2）∴a＜0，设函数解析式为y＝a（x+3）2+2，只要a＜0取值即可；故答案为y＝﹣（x+3）2+2（答案不唯一）．41．将y＝x2﹣2x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，则y＝（x﹣1）2+4．解：将y＝x2﹣2x+5化成y＝（x﹣1）2+4，故答案为：（x﹣1）2+442．将二次函数y＝x2﹣2x﹣4配方得到抛物线的顶点式为y＝（x﹣1）2﹣5．解：二次函数y＝x2﹣2x﹣4配方得到抛物线的顶点式为：y＝（x﹣1）2﹣5，故答案为：y＝（x﹣1）2﹣543．若二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过点（﹣1，0），（3，0），则其表达式为y＝x2﹣2x﹣3．解：把（﹣1，0），（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3得：，解得：∴二次函数的解析式y＝x2﹣2x﹣3．故答案为：x2﹣2x﹣3．44．过（﹣1，0）、（3，0）、（1，2）三点的抛物线的解析式是y＝﹣（x﹣1）2+2．解：由于抛物线过（﹣1，0）、（3，0）可知抛物线对称轴是直线x＝1，而又因抛物线过（1，2），所以（1，2）是抛物线顶点于是设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+2，将（3，0）代入得0＝a（3﹣1）2+2得a＝﹣故答案为：y＝﹣（x﹣1）2+245．把二次函数y＝x2﹣4x+5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，那么h+k＝3．解：∵y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，∴h＝2，k＝1，∴h+k＝2+1＝3．故答案为：3．46．一抛物线和另一抛物线y＝﹣2x2的形状和开口方向完全相同，且顶点坐标是（﹣2，1），则该抛物线的解析式为y＝﹣2（x+2）2+1．解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，且该抛物线的形状与开口方向和抛物线y＝﹣2x2相同，∴a＝﹣2，∴y＝﹣2（x﹣h）2+k，∵顶点坐标是（﹣2，1），∴y＝﹣2（x+2）2+1，∴这个函数解析式为y＝﹣2（x+2）2+1，故答案为：y＝﹣2（x+2）2+1．三．解答题（共4小题）47．二次函数的图象经过A（1，m），B（2，n），C（4，t），且点B是该二次函数图象的顶点．（1）若m＝3，n＝4，求二次函数解析式；（2）请在图中描出该函数图象上另外的两个点，并画出图象．解：（1）设二次函数的顶点式为y＝a（x﹣2）2+4，把A（1，3）代入得，3＝a+4，解得a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣2）2+4＝﹣x2+4x；∴二次函数解析式为y＝﹣x2+4x；（2）∵点B是该二次函数图象的顶点，∴抛物线对称轴为x＝2，∵C（4，t），∴C关于对称轴对称的点C′在y轴上，∵A（1，m），∴A关于对称轴对称的点A′横坐标为3，利用描点法可画出函数图象，如图．48．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，2），B（4，0），C（5，﹣3）三点，当x≥0时，其图象如图所示．（1）求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；（2）画出抛物线y＝ax2+bx+c当x＜0时的图象．（1）解：依题意，得解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2，∴h＝﹣，k＝＝，∴顶点坐标为（）；（2）令﹣x2+x+2＝0，解得，x1＝﹣1，x2＝4，∴图象与x轴的另一个交点为（﹣1，0），并依题意画图象．49．已知函数y＝﹣x m﹣1+bx﹣3（m，b为常数）是二次函数其图象的对称轴为直线x＝1（I）求该二次函教的解析式；（Ⅱ）当﹣2≤x≤0时，求该二次函数的函数值y的取值范围．解：（Ⅰ）∵函数y＝﹣x m﹣1+bx﹣3（m，b为常数）是二次函数其图象的对称轴为直线x ＝1，∴m﹣1＝2，﹣＝1，∴m＝3，b＝2．∴该二次函教的解析式为y＝﹣x2+2x﹣3．（Ⅱ）∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，∴当x＝1时，函数y有最大值﹣2，当x＝﹣2时，y＝﹣11；当x＝0时，y＝﹣3；∵﹣2＜0＜1，∴当﹣2≤x≤0时，求该二次函数的函数值y的取值范围为﹣11≤y≤﹣3．50．已知二次函数y＝ax2+2x的图象过点（﹣2，﹣1）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）判断点（﹣1，﹣）是否在抛物线上．解：（1）把点（﹣2，﹣1）代入二次函数y＝ax2+2x得，﹣1＝4a﹣4，解得，a＝，∴二次函数的关系式为y＝x2+2x；（2）当x＝﹣1时，y＝×1+2×（﹣1）＝﹣≠﹣，∴点（﹣1，﹣）不在抛物线上．。

专题二次函数练习（1）一、选择题：1.抛物线3)2(2+-=xy的对称轴是（）A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2=x2.二次函数cbxaxy++=2的图象如右图，则点),(acbM在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3、已知二次函数cbxaxy++=2，且0<a，0>+-cba，则一定有（）A. 042>-acb B. 042=-acb C. 042<-acb D. acb42-≤04.把抛物线cbxxy++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是532+-=xxy，则有（）A. 3=b，7=c B. 9-=b，15-=c C. 3=b，3=c D. 9-=b，21=c5.已知反比例函数xky=的图象如右图所示，则二次函数222kxkxy+-=的图象大致为（）x6.下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数cxcaaxy+++=)(2与一次函数caxy+=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（）D7.抛物线322+-=xxy的对称轴是直线（）A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x8.二次函数2)1(2+-=xy的最小值是（）A. 2-B. 2C. 1-D. 19.二次函数cbxaxy++=2的图象如图所示，若cbaM++=24cbaN+-=，baP-=4，则（）A. 0>M，0>N，0>P B. 0<M，0>N，0>PC. 0>M，0<N，0>P D. 0<M，0>N，0<P二、填空题：1.将二次函数322+-=xxy配方成khxy+-=2)(的形式，则y=______________________.223.已知抛物线c x ax y ++=2与x 轴交点的横坐标为1-，则c a +=_________.4.请你写出函数2)1(+=x y 与12+=x y 具有的一个共同性质：_______________.5.有一个二次函数的图象，三位同学分别说出它的一些特点： 甲：对称轴是直线4=x ；乙：与x 轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y 轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：6、已知二次函数的图象开口向上，且与y 轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式：_____________________.7.如图，抛物线的对称轴是1=x ，与x 轴交于A 、B 两点，若B 点坐标是)0,3(，则A 点的坐标是_________ .三、解答题：1.已知函数12-+=bx x y 的图象经过点（3，2）.（1）求这个函数的解析式；（2）当0>x 时，求使y ≥2的x 的取值范围.2.如右图，抛物线n x x y ++-=52经过点)0,1(A ，与y 轴交于点B .（1）求抛物线的解析式；（2）P 是y 轴正半轴上一点，且△P AB 是以AB 为腰的等腰三角形，试求点P 的坐标.3.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程，下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s （万元）与销售时间t （月）之间的关系（即前t 个月的利润总和s 与t 之间的关系）.（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s （万元）与销售时间t （月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月累积利润可达到30万元； （3）求第8个月公司所获利润是多少万元？提高题1. 如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB 的宽为20m ，如果水位上升3m 时，水面CD 的宽 是10m.（1）求此抛物线的解析式；（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km （桥长忽略不计）. 货车正以每小时40km 的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m 的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD 处，当水位达到桥拱最高点O 时，禁止车辆通行）. 试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？2.某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套. 经过一段时间的经营发现：当每套机械设备的月租金为270元时，恰好全部租出. 在此基础上，当每套设备的月租金提高10元时，这种设备就少租出一套，且未租出的一套设备每月需要支出费用（维护费、管理费等）20元，设每套设备的月租金为x （元），租赁公司出租该型号设备的月收益（收益=租金收入－支出费用）为y （元）.（1）用含x 的代数式表示未租出的设备数（套）以及所有未租出设备（套）的支出费用； （2）求y 与x 之间的二次函数关系式；（3）当月租金分别为300元和350元时，租赁公司的月收益分别是多少元？此时应该租出多少套机械设备？请你简要说明理由；（4）请把（2）中所求的二次函数配方成ab ac a b x y 44)2(22-++=的形式，并据此说明：当x 为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大？最大月收益是多少？3．为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来领前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒（1）试求出每天的销售量y （盒）与每盒售价x （元）之间的函数关系式（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P （元）最大？最大利润是多少？（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x 2+bx+c 经过点（1，﹣1），且对称轴为在线x=2，点P 、Q 均在抛物线上，点P 位于对称轴右侧，点Q 位于对称轴左侧，PA 垂直对称轴于点A ，QB 垂直对称轴于点B ，且QB=PA+1，设点P 的横坐标为m（1）求这条抛物线所对应的函数关系式 (2)求点Q 的坐标（用含m 的式子表示） （3）请探究PA+QB=AB 是否成立，并说明理由（4）抛物线y=a 1 x 2+b 1x + c 1（a 1≠0）经过Q 、B 、P 三点，若其对称轴把四边形PAQB 分成面积为1：5的两部分，直接写出此时m 的值．5.某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完．该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润1y （元）与国内销售量x （千件）的关系为：1y =，若在国外销售，平均每件产品的利润2y （元）与国外的销售数量t （千件）的关系为（1）用x 的代数式表示t 为：t = ；当0＜x ≤4时，2y 与x 的函数关系为： ；当 时，2y =100；（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润w （千元）与国内销售数量x （千件）的函数关系式，并指出x 的取值范围；（3）该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？参考答案一、选择题：二、填空题： 1. 2)1(2+-=x y2. 有两个不相等的实数根3. 14. （1）图象都是抛物线；（2）开口向上；（3）都有最低点（或最小值）5. 358512+-=x x y 或358512-+-=x x y 或178712+-=x x y 或178712-+-=x x y 6. 122++-=x x y 等（只须0<a ，0>c ） 7. )0,32(-8. 3=x ，51<<x ，1，4 三、解答题：1. 解：（1）∵函数12-+=bx x y 的图象经过点（3，2），∴2139=-+b . 解得2-=b . ∴函数解析式为122--=x x y .（2）当3=x 时，2=y .根据图象知当x ≥3时，y ≥2.∴当0>x 时，使y ≥2的x 的取值范围是x ≥3.2. 解：（1）由题意得051=++-n . ∴4-=n . ∴抛物线的解析式为452-+-=x x y .（2）∵点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为)4,0(-. ∴OA =1，OB =4.在Rt △OAB 中，1722=+=OB OA AB ，且点P 在y 轴正半轴上. ①当PB =P A 时，17=PB . ∴417-=-=OB PB OP . 此时点P 的坐标为)417,0(-.②当P A =AB 时，OP =OB =4 此时点P 的坐标为（0，4）.3. 解：（1）设s 与t 的函数关系式为c bt at s ++=2，由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=++；5.2525,224,5.1c b a c b a c b a 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=++-=++.0,224,5.1c c b a c b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==.0,2,21c b a ∴t t s 2212-=.（2）把s =30代入t t s 2212-=，得.221302t t -= 解得101=t ，62-=t （舍去） 答：截止到10月末公司累积利润可达到30万元. （3）把7=t 代入，得.5.10727212=⨯-⨯=s 把8=t 代入，得.16828212=⨯-⨯=s 5.55.1016=-. 答：第8个月获利润5.5万元.4. 解：（1）由于顶点在y 轴上，所以设这部分抛物线为图象的函数的解析式为1092+=ax y . 因为点)0,25(-A 或)0,25(B 在抛物线上，所以109)25(·02+-=a ，得12518-=a . 因此所求函数解析式为109125182+-=x y （25-≤x ≤25）.（2）因为点D 、E 的纵坐标为209，所以10912518209+-=，得245±=x .所以点D 的坐标为)209,245(-，点E 的坐标为)209,245(.所以225)245(245=--=DE .因此卢浦大桥拱内实际桥长为385227501.01100225≈=⨯⨯（米）.5. 解：（1）∵AB =3，21x x <，∴312=-x x . 由根与系数的关系有121=+x x .∴11-=x ，22=x . ∴OA =1，OB =2，2·21-==amx x . ∵1tan tan =∠=∠ABC BAC ，∴1==OBOCOA OC . ∴OC =2. ∴2-=m ,1=a .∴此二次函数的解析式为22--=x x y .（2）在第一象限，抛物线上存在一点P ，使S △P AC =6.解法一：过点P 作直线MN ∥AC ，交x 轴于点M ，交y 轴于N ，连结P A 、PC 、MC 、NA .由（1）有OA =1，OC =2. ∴6121221=⨯⨯=⨯⨯CN AM . ∴AM =6，CN =12. ∴M （5，0），N （0，10）.∴直线MN 的解析式为102+-=x y .由⎩⎨⎧--=+-=,2,1022x x y x y 得⎩⎨⎧==；4311y x ⎩⎨⎧=-=18,422y x （舍去） ∴在 第一象限，抛物线上存在点)4,3(P ，使S △P AC =6. 解法二：设AP 与y 轴交于点),0(m D （m >0） ∴直线AP 的解析式为m mx y +=.⎩⎨⎧+=--=.,22m mx y x x y ∴02)1(2=--+-m x m x . ∴1+=+m x x P A ，∴2+=m x P . 又S △P AC = S △ADC + S △PDC =P x CD AO CD ·21·21+=)(21P x AO CD +. ∴6)21)(2(21=+++m m ，0652=-+m m ∴6=m （舍去）或1=m .∴在 第一象限，抛物线上存在点)4,3(P ，使S △P AC =6.提高题1. 解：（1）∵抛物线c bx x y ++=2与x 轴只有一个交点，∴方程02=++c bx x 有两个相等的实数根，即042=-c b . ① 又点A 的坐标为（2，0），∴024=++c b . ② 由①②得4-=b ，4=a .（2）由（1）得抛物线的解析式为442+-=x x y . 当0=x 时，4=y . ∴点B 的坐标为（0，4）.在Rt △OAB 中，OA =2，OB =4，得5222=+=OB OA AB . ∴△OAB 的周长为5265241+=++.7722x当3)1(26=-⨯-=x 时，16)1(467)1(42=-⨯-⨯-⨯=最大S . ∴当广告费是3万元时，公司获得的最大年利润是16万元.（2）用于投资的资金是13316=-万元.经分析，有两种投资方式符合要求，一种是取A 、B 、E 各一股，投入资金为13625=++（万元），收益为0.55+0.4+0.9=1.85（万元）>1.6（万元）；另一种是取B 、D 、E 各一股，投入资金为2+4+6=12（万元）<13（万元），收益为0.4+0.5+0.9=1.8（万元）>1.6（万元）.3. 解：（1）设抛物线的解析式为2ax y =，桥拱最高点到水面CD 的距离为h 米，则),5(h D -，)3,10(--h B .∴⎩⎨⎧--=-=.3100,25h a h a 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.1,251h a∴抛物线的解析式为2251x y -=.（2）水位由CD 处涨到点O 的时间为1÷0.25=4（小时）， 货车按原来速度行驶的路程为40×1+40×4=200<280， ∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥. 设货车的速度提高到x 千米/时， 当2801404=⨯+x 时，60=x .∴要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过60千米/时. 4. 解：（1）未出租的设备为10270-x 套，所有未出租设备的支出为)5402(-x 元. （2）54065101)5402()1027040(2++-=----=x x x x x y . ∴540651012++-=x x y .（说明：此处不要写出x 的取值范围） （3）当月租金为300元时，租赁公司的月收益为11040元，此时出租的设备为37套；当月租金为350元时，租赁公司的月收益为11040元，此时出租的设备为32套.因为出租37套和32套设备获得同样的收益，如果考虑减少设备的磨损，应选择出租32套；如果考虑市场占有率，应选择出租37套. （4）5.11102)325(1015406510122+--=++-=x x x y . ∴当325=x 时，y 有最大值11102.5. 但是，当月租金为325元时，租出设备套数为34.5，而34.5不是整数，故租出设备应为34套或35套. 即当月租金为为330元（租出34套）或月租金为320元（租出35套）时，租赁公司的月收益最大，最大月收益均为11100元.。