(安徽专版)中考数学总复习 专题3 动点问题课件

230、积极的人在每一次忧患中都看到一个机会，而消极的人则在每个机会都看到某种忧患。
•
231、出门走好路，出口说好话，出手做好事。
•
232、旁观者的姓名永远爬不到比赛的计分板上。
•
233、怠惰是贫穷的制造厂。
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234、莫找借口失败，只找理由成功。（不为失败找理由，要为成功找方法）
•
235、如果我们想要更多的玫瑰花，就必须种植更多的玫瑰树。
为何值时，S最大，并求最大 值。
析-
典 已知：如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，
AC=4cm，BC=3cm,点P由B出发沿BA方向向点A
例 匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向
向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运 动的时间为t（s），解答下列问题 ：
分 ⑷当t为何值时，△APQ是
时， PQ∥BC?”类型的 题目结论变条件，寻找 解题思路；必要时画出
相应的图形。
典 已知：如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，
AC=4cm，BC=3cm,点P由B出发沿BA方向向点A
例 匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向
向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运 动的时间为t（s），解答下列问题 ：
•
225、积极思考造成积极人生，消极思考造成消极人生。
•
226、人之所以有一张嘴，而有两只耳朵，原因是听的要比说的多一倍。
•
227、别想一下造出大海，必须先由小河川开始。
•
228、有事者，事竟成；破釜沉舟，百二秦关终归楚；苦心人，天不负；卧薪尝胆，三千越甲可吞吴。
•
229、以诚感人者，人亦诚而应。
•

MN 1 x2 S 16 2( 1 x2
8. 8)
1
x2
8.
2
2
根据二次函数的图形和性质，这个函数的图形是开口向下，
对称轴是y轴，顶点是（0，8），自变量的取值范围是0＜x
＜4．
故答案选C.
(三)面动问题 【例题 4】(2014·玉林市)如图，边长分别为1和2的两个等边 三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把 小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止.设小三角形 移动的距离为x，两个三角形重叠的面积为y，则y关于x的函 数图象是( )
解:(1)①当△BPQ∽△BAC时，
∵ BP BQ , BP=5t，QC=4t，
BA BC
AB=10 cm，BC=8 cm，
∴ 5t 8 4t ,∴t=1.
10 8
②当△BPQ∽△BCA时，
∵
BP BC
BQ , BA
∴
5t 8 4t , 8 10
∴
t 32 . 41
∴t=1或 t 32 时，△BPQ与△ABC类似.
41
(2)如图a，过点P作PM⊥BC于点M，AQ，CP相交于点N.
则有PB=5t，PM=3t，CM=8-4t，
∵∠NAC+∠NCA=90°，
∠PCM+∠NCA=90°，
∴∠NAC=∠PCM且∠ACQ=∠PMC=90°.
∴△ACQ∽△CMP.
∴ AC QC .
CM PM
∴ 6 4t , 解得 t 7 ,
题型一 建立动点问题的函数关系式(或函数图象)
【例题 1】(2014·黑龙江省)如图，在平面直角坐标系中，边 长为1的正方形ABCD中，AD边的中点处有一动点P，动点P 沿P→D→C→B→A→P运动一周，则P点的纵坐标y与点P走

1
1
S△APQ=2AP·AQ=2·t·2t=t2,故选项 C、D 不正确;
②当 4<t≤6 时,Q 在边 BC 上,P 在边 AD 上,如图 2,
1
1
S△APQ=2AP·AB=2t·8=4t,故选项
B 不正确;故选 A.
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素养训练提高
1
2
3
4
3.(2018·四川攀枝花)如图,在矩形(jǔxíng)ABCD中,AB=4,AD=3,矩形内部有
数量特征(如线段的长度或图形面积),再利用函数性质或方程进行求解.
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题型分类突破
类型
类型
类型
(lèixíng)
(lèixíng)
(lèixíng)
一
二
三
考查类型
1.有特殊
位置点的
动点问题
2.图形中
动点问题
年份、题
考 查 点
号
与 AB 平行且到 AB 距离为 x 的直线上,在此
EP=E'P,AF=AE',∴AP+EP=AP+E'P,∴AP+EP最小值是AE',即AP+EP最小
值是AF.故选D.
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素养训练提高
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2.(2018·山东烟台)如图,矩形(jǔxíng)ABCD中,AB=8 cm,BC=6 cm,点P从点A
出发,以1 cm/s的速度沿A→D→C方向匀速运动,同时点Q从点A出发,以2
专题
(zhuāntí)
三

AB长为半径的圆上(如图①)．
图①
图②
推广：如图②，点E为定点，点F为线段BD上的动点(不与点B重合)，将△BEF沿
EF折叠得到△B′EF，则点B′的运动轨迹为以E为圆心，线段BE为半径的半圆
弧．
类型1 点圆最值 【模型分析】 平面内一定点D和⊙O上动点E的连线中，当连线过圆心O时，线段DE有最大值 和最小值．具体分以下三种情况讨论(规定OD＝d，⊙O半径为r)： (i) 若D点在⊙O外时，d>r，如图①、②：当D、E、O三点共线时，线段DE出现 最值，DE的最大值为___d_＋__r__，DE的最小值为___d_－__r__；
－3)，∴E(－3，1)，F(1，－3)，∴AB＝ 312132＝2 2 ， EF＝ 312132＝4 2 ，即四边形ABCD的周长的最小值为AB＋
BC＋CD＋AD＝AB＋EF＝6 2 .
提分要点
三、利用圆的相关性质求线段最值
定点定长作圆
平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹在以点A为圆心，
例5题解图
模型三 “两点两线”型(两动点＋两定点)
【问题】点P、Q是∠AOB的内部两定点，在OA上找点M，在OB上找点N，使 得四边形PQNM周长最小． 【解决思路】要使四边形PQNM周长最小，PQ为定值，即求得PM＋MN＋NQ 的最小值即可，需将线段PM，MN，NQ三条线段尽可能转化在一条直线上， 因此想到作点P关于OA的对称点，点Q关于OB的对称点．
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
例5题图
【解析】如解图，分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接 CM、OC、DN、OD，∵点P关于OA的对称点为C，∴PM＝CM， OP＝OC，∠COA＝∠POA，∵点P关于OB的对称点为D，∴PN ＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，∴OC＝OD＝OP＝6， ∠COD＝∠COA＋∠POA＋∠POB＋∠DOB＝2∠POA＋ 2∠POB＝2∠AOB＝60°，△PMN的周长为PM＋PN＋MN＝ CM＋DN＋MN，连接CD分别交OA，OB于点M′，N′，∵CM＋ DN＋MN≥CM′＋DN′＋M′N′，当M与M′，N与N′重合时， △PMN的周长最小，即为线段CD的长度，∵∠COD＝60°， OC＝OD，∴△COD是等边三角形，∴CD＝OC＝OD＝ 6.∴△PMN的周长的最小值为6.

E
(P)
D (Q)
F两点，若△BEF与题
（1）中的△APQ相似， 试求a的值.
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(F) C 综上:当a=2或6或12时,
△BEF与△APQ相似 4
3、如图,在矩形ABCD中,AB=20厘米,BC=4厘米,点P从点A开 始沿折线A—B—C—D以4厘米/秒的速度移动,点Q从点C开 始沿CD以1厘米/秒的速度移动,如果点P和Q分别从点A、C 同时出发,当其中一个点到达D点时,另一点也随之停止运 动.设运动时间为t（秒）.
厘米的等边三角形，质点P从点A沿AB—
A
BD作匀速运动，质点Q从点D同时出发沿
DC—CB—BA作匀速运动.
3a
Q
(P)
（21）如果问质点题（P、1） Q运中 3a
的 动的质速点度P、分Q别分是别同4厘时米沿/ B F
原 秒路、返5厘回米，/质秒点，请P的说速出 度 经不过变12，秒质后点△QA的PQ速是度哪 3a F 改 一类变三为角a厘形米？/（秒按，角经的过 3大秒小后分，类P）、Q分别到达E、
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1
1、如图，已知正三角形
ABC的高为9厘米，⊙O的
半径为r厘米，当圆心O
A
从点A出发，沿线路AB—
BC—CA运动，回到点A时，
⊙O随着点O的运动而停
止.
B
C
（1）当r=9厘米时，⊙O
在移动过程中与△ABC三
边有几个切点？
当r=9厘米时，⊙O在移动过程
中与△ABC三边有三个切点.
2020/12/8
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一、点动
• 1、点在三角形边上动 • 2、点在四边形边上动
答案：B
答案A

2、点在四边形边上动
AB与F,可得DF=BC=4,所以 解析：作DF1 AF=3，FB=CD=2，先看特殊点， 1 当t=2时S= 2x3x4=6，当t=5时，S= 2 x2x5=5,所以A,C错误；B、D的区 别就是第一段不同，所以需要求出第一段的函数关系式，选AP为底， 4t 1 4t AP=1+t，可根据相似求出高为 3 ，S= 2 （1+t） 3 ，可看出是抛物线应开口向上，所以选C
答案：A
答案：A
• 2.如图1，已知A、B是反比例函数(k>0,x>0)图象 上的两点，BC//x轴，交y轴于点C.动点P从坐标原 点O出发，沿O→A→B→C (图中“→”所示路线) 匀速运动，终点为C.过P作PM⊥x轴,PN⊥y轴， 垂足分别为M、N.设四边形OMPN的面积为S，P 点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为
B 60 ，动点p以1cm/s的 1、如图，菱形ABCD的边长是4cm，
0
速度自A点出发沿AB方向运动至B点停止，动点Q以2cm/s的速 度自B点出发沿折线BCD运动到D点停止，若P,Q同时出发运动 了t秒，记 BPQ 的面积为S cm2 ，下面图像中能表示S与t之间 函数关系式的是 （ ）
3
答案：D
O 图1 图2
x
五、点在一些特殊情况下运动与函数的图像
• 1.如图，菱形 ABCD 中，∠BAD：∠ADC=1:2， 对角线 AC=20cm，点 O 沿 A 点以 1cm/s 的速度 运动到 C 点（不与 C 重合），以点 O 为圆心的 圆始终与菱形的两边相切，设圆 O 的面积为 S， 则 S 与点 O 运动的时 间 t 的函数图像大致是

6−5
∴
=

4

Rt△ADH中，AD=5，tanA= = 3
6−5
∴y与x的函数关系式为
=
∴DH=4，AH=3.在Rt△EDH中，DH=4，

25
EH=x-3，
( 6 ≤≤35)
∴DE²=DH²＋EH²=4²＋(x-3)²=x²-6x＋
4
例题 在△ABC中,AC=25,AB =35,tanA=3,D为AC边上的一点，且AD=5 ,E,F都为AB边上的动
所以结合已知条件与所给图形进行认真分析是非常重要的，
当然这样的分析是建立在熟练运用常见图形的几何性质之上
的.
（2）类似于例题这样的几何计算型的压轴题，同学们
要切实体会解直角三角形与相似三角形在计算中所发挥的
重要作用.
（3）对于类似于例题这样的动态几何，应时刻谨记
“动静结合”、“数形结合”的处理原则，以及“分类
∴∠EDF＋∠ADF=90°，即
∠ADE=90°.在Rt△ADE中，AD=5，

4
tanA= = 3
4
20
5
25
∴DE=3AD= 3 ，AE=3AD= 3
∴△EDF∽△EAD，


∴ =
∴DE²=AE·EF=x·（x一y）=x²-xy.∴x²-6x＋25=x²xy
（2） 如下图，作DH⊥AE于点H，在
目录
01
研究背景
03
典型例题探究
动 态 几 何 研 究 重 要 性
总结分析动态问题处理技巧
05
02
知识脉络梳理
初中阶段几何知识梳理
04 小试能手
技 巧 ，
挑战自我
展

∵△BPD≌△CPQ，
∴CQ=BD=6．
∴点P的运动时间
t

BP 3

4.5 3

1.5(秒)
此时
VQ

CQ t
பைடு நூலகம்

6 1.5

4(厘米/秒)
∴△BPD≌△CQP（SAS），
（2）因为VQ＞VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多 走AB+AC的路程 设经过x秒后P与Q第一次相遇，依题意得4x=3x+2×12， 解得x=24（秒） 此时P运动了24×3=72（厘米） 又∵△ABC的周长为33厘米，72=33×2+6， ∴点P、Q在BC边上相遇，即经过了24秒，点P与点Q第 一次在BC边上相遇．
解：（1）∵长方形ABCD， ∴∠A=∠B=90°， ∵点E为AD的中点，AD=6cm， ∴AE=3cm， 又∵P和Q的速度相等可得出AP=BQ=1cm，BP=3， ∴AE=BP， 在△AEP和△BQP中，
∴△AEP≌△BPQ( SAS)， ∴∠AEP=∠BPQ， 又∵∠AEP+∠APE=90°， 故可得出∠BPQ+∠APE=90°， 即∠EPQ=90°， 即EP⊥PQ．
5.如图，已知长方形ABCD中，AD=6cm，AB=4cm，点E为AD的中点．若 点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BC 上由点B向点C运动． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△AEP与 △BPQ是否全等？请说明理由，并判断此时线段PE和线段PQ的位置关系； （2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，运动时间为t秒，设 △PEQ的面积为Scm2 ，请用t的代数式表示S；
（1）①∵t=1（秒）， ∴BP=CQ=3（厘米） ∵AB=12，D为AB中点， ∴BD=6（厘米） 又∵PC=BC-BP=9-3=6 （厘米） ∴PC=BD ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， 在△BPD与△CQP中，

题型二 几何图形动点问题
类型一 线段最值问题
(10年4考：2017、2016年10题，2015、2011年分别在20题、22题中涉及考查)
典例精讲
一、利用垂线段最短求线段的最值 例1 (2019 安顺改编)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且AB＝3，AC＝ 4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点 N，连接MN，则线段MN的最小值为( )
∵S四边形MANB＝S△AMB＋S△ANB，∴要使四边形MANB面积最大，则需两个三角形
的高的和最大，当MN为直径时，高最大，四边形MANB面积有最大值，易得
MN⊥AB，∴S四边形MANB的最大值＝
1 2
·AB·MN＝ 1
2
×2
2
×4＝4
2
.
【答案】D
例4题解图
题型二 几何图形动点问题
类型三 特定条件问题
A. 5 B.1 5 C. 2 0 D. 1 2
2
2
3
5
例1题图
题型二 几何图形动点问题
【思维教练】分析题干利用已知条件可得四边形AMDN是矩形，根据矩形性质
MN＝AD，将求MN的最小值转化为求AD的最小值，再利用垂线段最短即可求
AD的最小值．
【解析】如解图所示，连接AD，∵∠BAC＝90°，DM⊥AB，DN⊥AC，∴四边
几何图形动点问题
题型二 几何图形动点问题
满分技法 1. 确定动点轨迹 (1)动点的轨迹为直线：①动点到两定点的距离相等(垂直平分线)；②动点到两相 交直线的距离相等(角平分线)；③动点和两定点组成的三角形的面积与共底边的 另一三角形面积之间存在倍分关系； (2)动点的轨迹为圆：①以动点为顶点的角为90°(直径所对的圆周角等于90°)； ②以动点为顶点的角等于定角的一半(同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一 半)；③一组角相等(同弧所对的圆周角相等；过切点的弦与切线的夹角等于这条 弦所对的圆周角)；④到定点的长度相等(如绕某一点旋转，折叠等)；⑤与三个定 点组成的四边形的对角和为180°.