初三数学特殊的平行四边形6[北师版]

特殊的平行四边形知识点名师点晴矩形1．矩形的性质会从边、角、对角线方面通过合情推理提出性质猜想，并用演绎推理加以证明；能运用矩形的性质解决相关问题．2．矩形的判定会用判定定理判定平行四边形是否是矩形及一般四边形是否是矩形菱形1．菱形性质能应用这些性质计算线段的长度2．菱形的判别能利用定理解决一些简单的问题正方形1．正方形的性质了解平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形之间的相互关系，能够熟练运用正方形的性质解决具体问题2．正方形判定掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题，发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断，并能对自己的猜想进行证明☞2年中考1．下列命题是假命题的是（）A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．B．对角线互相垂直的矩形是正方形．C．对角线相等的菱形是正方形．D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形．【答案】D．考点：1．正方形的判定；2．平行四边形的判定；3．菱形的判定；4．矩形的判定．2．（连云港）已知四边形ABCD，下列说法正确的是（）A．当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形B．当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形C．当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形【答案】B．【解析】试题分析：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴A不正确；∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴B正确；∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴C不正确；∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴D不正确；故选B．考点：1．平行四边形的判定；2．矩形的判定；3．正方形的判定．3．（徐州）如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（）A．3.5 B．4 C．7 D．14【答案】A．【解析】试题分析：∵菱形ABCD的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵E为AD边中点，∴OE 是△ABD的中位线，∴OE=12AB=12×7=3.5．故选A．考点：菱形的性质．4．（柳州）如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=12GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH 其中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质；3．相似三角形的判定与性质；4．综合题．5．（内江）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．3B．23C．26D．6【答案】B．考点：1．轴对称-最短路线问题；2．最值问题；3．正方形的性质．6．（南充）如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为3cm，则对角线AC长和BD长之比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：2D．1：3【答案】D．【解析】试题分析：如图，设AC，BD相较于点O，∵菱形ABCD的周长为8cm，∴AB=BC=2cm，∵高AE长为3cm，∴BE=22AB AE-=1（cm），∴CE=BE=1cm，∴AC=AB=2cm，∵OA=1cm，AC⊥BD，∴OB=22AB OA-=3（cm），∴BD=2OB=23cm，∴AC：BD=1：3．故选D．考点：菱形的性质．7．（安徽省）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（）A．25B．35C．5 D．6【答案】C．考点：1．菱形的性质；2．矩形的性质．8．（十堰）如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE=53，且∠ECF=45°，则CF的长为（）A．102B．53C5103D1053【答案】A．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．正方形的性质；4．综合题；5．压轴题．9．（鄂州）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（）A．201421）（B．201521）（C．201533）（D．201433）（【答案】D．考点：1．正方形的性质；2．规律型；3．综合题．10．（广安）如图，已知E、F、G、H分别为菱形ABCD四边的中点，AB=6cm，∠ABC=60°，则四边形EFGH的面积为cm2．【答案】93．【解析】试题分析：连接AC，BD，相交于点O，如图所示，∵E、F、G、H分别是菱形四边上的中点，∴EH=12BD=FG，EH∥BD∥FG，EF=12AC=HG，∴四边形EHGF是平行四边形，∵菱形ABCD中，AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH是矩形，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴∠ABO=30°，∵AC⊥BD，∴∠AOB=90°，∴AO=12AB=3，∴AC=6，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB=22AB OA=33，∴BD=63，∵EH=12BD，EF=12AC，∴EH=33，EF=3，∴矩形EFGH的面积=EF•FG=93cm2．故答案为：93．考点：1．中点四边形；2．菱形的性质．11．（凉山州）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．【答案】（233-，23-）．的交点，∴点P的坐标为方程组3(13)1y xy x⎧=⎪⎨⎪=-⎩的解，解方程组得：3323xy⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以点P的坐标为（33，23-），故答案为：（233-，23）．考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．轴对称-最短路线问题；4．动点型；5．压轴题；6．综合题．12．（潜江）菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（03），动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2015秒时，点P的坐标为．【答案】（0.5，32．考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．规律型；4．综合题．13．（北海）如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长线上．若∠CAE=15°，则AE= ．【答案】8．【解析】试题分析：∵正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，∴∠BAC=45°，AB∥DC，∠ADC=90°，∵∠CAE=15°，∴∠E=∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=45°﹣15°=30°．∵在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠E=30°，∴AE=2AD=8．故答案为：8．考点：1．含30度角的直角三角形；2．正方形的性质．14．（南宁）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是．【答案】45°．考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质．15．（玉林防城港）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是．【答案】9 2．【解析】试题分析：如图1所示，作E关于BC的对称点E′，点A关于DC的对称点A′，连接A′E′，四边形AEPQ的周长最小，∵AD=A′D=3，BE=BE′=1，∴AA′=6，AE′=4．∵DQ∥AE′，D是AA′的中点，∴DQ是△AA′E′的中位线，∴DQ=12AE′=2；CQ=DC﹣CQ=3﹣2=1，∵BP∥AA′，∴△BE′P∽△AE′A′，∴'''BP BEAA AE=，即164BP=，BP=32，CP=BC﹣BP=332-=32，S四边形AEPQ=S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△PCQ﹣SBEP=9﹣12AD•DQ﹣12CQ•CP﹣12BE•BP=9﹣12×3×2﹣12×1×32﹣12×1×32=92，故答案为：92．考点：1．轴对称-最短路线问题；2．正方形的性质．16．（达州）在直角坐标系中，直线1y x =+与y 轴交于点A ，按如图方式作正方形A1B1C1O 、A2B2C2C1、A3B3C1C2…，A1、A2、A3…在直线1y x =+上，点C1、C2、C3…在x 轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到游依次记为1S 、2S、3S 、…n S ，则n S 的值为（用含n 的代数式表示，n 为正整数）．【答案】232n -．故答案为：232n ．考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．正方形的性质；3．规律型；4．综合题．17．（齐齐哈尔）如图，正方形ABCB1中，AB=1．AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3D4，…，依此规律，则A2014A2015= ．【答案】20142(3)．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．正方形的性质；3．规律型；4．综合题．18．（梧州）如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．（1）求证：HF=AP；（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．【答案】（1）证明见试题解析；（21010．【解析】考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理；4．综合题．19．（恩施州）如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，连接AG、CE．（1）求证：AG=CE；（2）求证：AG⊥CE．【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析．【解析】试题分析：（1）由ABCD、BEFG均为正方形，得出AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE，得出∠ABG=∠CBE，从而得到△ABG≌△CBE，即可得到结论；（2）由△ABG≌△CBE，得出∠BAG=∠BCE，由∠BAG+∠AMB=90°，对顶角∠AMB=∠CMN，得出∠BCE+∠CMN=90°，证出∠CNM=90°即可．试题解析：（1）∵四边形ABCD、BEFG均为正方形，∴AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE，∴∠ABG=∠CBE，在△ABG和△CBE中，∵AB=CB，∠ABG=∠CBE，BG=BE，∴△ABG ≌△CBE（SAS），∴AG=CE；（2）如图所示：∵△ABG≌△CBE，∴∠BAG=∠BCE，∵∠ABC=90°，∴∠BAG+∠AMB=90°，∵∠AMB=∠CMN，∴∠BCE+∠CMN=90°，∴∠CNM=90°，∴AG⊥CE．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质．20．（武汉）已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8．（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K．①求EFAK的值；②设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；（2）若AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC 的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长．【答案】（1）①32；②3(8)2S x x=-，S的最大值是24；（2）245或24049．试题解析：（1）①∵EF∥BC，∴AK EFAD BC=，∴EF BCAK AD==128=32，即EFAK的值是32；考点：1．相似三角形的判定与性质；2．二次函数的最值；3．矩形的性质；4．正方形的性质；5．分类讨论；6．综合题；7．压轴题．21．（荆州）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．（1）PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见试题解析；（2）90°；（3）AP=CE．【解析】试题分析：（1）先证出△ABP≌△CBP，得到PA=PC，由PA=PE，得到PC=PE；（2）由△ABP≌△CBP，得到∠BAP=∠BCP，进而得到∠DAP=∠DCP，由PA=PC，得到∠DAP=∠E，∠DCP=∠E，最后∠CPF=∠EDF=90°得到结论；（3）借助（1）和（2）的证明方法容易证明结论．考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．菱形的性质；4．探究型；5．综合题；6．压轴题．1．（宜宾）如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（）A．n B．n﹣1 C．（14）n﹣1 D．14n【答案】B．【解析】试题分析：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的14，即是14×4=1，5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×4，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×（n﹣1）=n﹣1．故选B．考点：1．正方形的性质2．全等三角形的判定与性质．2．（山东省淄博市）如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE=1，BE的垂直平分线MN恰好过点C．则矩形的一边AB的长度为（）A． 1 B．2C．3D． 2【答案】C．考点：1．勾股定理；2．线段垂直平分线的性质；3．矩形的性质．3．（山东省聊城市）如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD．若四边形BEDF是菱形，且EF=AE+FC，则边BC的长为（）A．3B． 3 3C．3D93【答案】B．【解析】试题分析：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，即BA⊥BF，∵四边形BEDF是菱形，∴EF⊥BD，∠EBO=∠DBF，∴AB=BO=3，∠ABE=∠EBO，∴∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，∴BE=23cos30BO=︒，∴BF=BE=23，∵EF=AE+FC，AE=CF，EO=FO∴CF=AE=3，∴BC=BF+CF=33，故选B．考点：1．矩形的性质；2．菱形的性质．4．（广西来宾市）顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是（）A．等腰梯形B．矩形C．菱形D．正方形【答案】B．考点：1．正方形的判定；2．三角形中位线定理；3．菱形的性质．5．（贵州铜仁市）如图所示，在矩形ABCD中，F是DC上一点，AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF，垂足为点M，BE=3，AE=26，则MF的长是（）A15B15C．1 D．15【答案】D．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．角平分线的性质；3．勾股定理；4．矩形的性质．6．（襄阳）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=13AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①④【答案】D．【解析】试题分析：∵AE=13AB，∴BE=2AE．由翻折的性质得，PE=BE，∴∠APE=30°．∴∠AEP=90°﹣30°=60°，∴∠BEF=12（180°﹣∠AEP）=12（180°﹣60°）=60°．∴∠EFB=90°﹣60°=30°．∴EF=2BE．故①正确．∵BE=PE，∴EF=2PE．∵EF＞PF，∴PF＞2PE．故②错误．由翻折可知EF⊥PB，∴∠EBQ=∠EFB=30°．∴BE=2EQ，EF=2BE．∴FQ=3EQ．故③错误．由翻折的性质，∠EFB=∠BFP=30°，∴∠BFP=30°+30°=60°．∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°，∴∠PBF=∠PFB=60°．∴△PBF是等边三角形．故④正确；综上所述，结论正确的是①④．故选D．考点：1．矩形的性质；2．含30度角直角三角形的判定和性质；3．等边三角形的判定．7．（宁夏）菱形ABCD中，若对角线长AC=8cm，BD=6cm，则边长AB= cm．【答案】5．考点：1．菱形的性质；2．勾股定理．8．（山东省聊城市）如图，四边形ABCD是平行四边形，作AF∥CE，BE∥DF，AF交BE 与G点，交DF与F点，CE交DF于H点、交BE于E点．求证：△EBC≌△FDA．【答案】证明见解析．考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定．9．（梅州）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？【答案】（1）证明见解析；（2）GE=BE+GD成立，理由见解析．【解析】试题分析：（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF．（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立．试题解析：（1）在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，∴△CBE≌△CDF （SAS）．∴CE=CF．（2）GE=BE+GD成立．理由是：考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定和性质；3．等腰直角三角形的性质．☞考点归纳归纳1：矩形基础知识归纳：1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形3、矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形基本方法归纳：关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．注意问题归纳：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．【例1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB 的大小为（）A、30°B、60°C、90°D、120°【答案】B．考点：矩形的性质．归纳2：菱形基础知识归纳：1、菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半注意问题归纳：菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．【例2】如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（）．（A）△ABD与△ABC的周长相等；（B）△ABD与△ABC的面积相等；（C）菱形的周长等于两条对角线之和的两倍；（D）菱形的面积等于两条对角线之积的两倍．【答案】B．考点：菱形的性质．归纳3：正方形基础知识归纳：1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2、正方形的性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等．注意问题归纳：正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．【例3】如图，ABCD是正方形场地，点E在DC的延长线上，AE与BC相交于点F．有甲、乙、丙三名同学同时从点A出发，甲沿着A﹣B﹣F﹣C的路径行走至C，乙沿着A﹣F﹣E ﹣C﹣D的路径行走至D，丙沿着A﹣F﹣C﹣D的路径行走至D．若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序（由先至后）是（）A．甲乙丙B．甲丙乙C．乙丙甲D．丙甲乙【答案】B．考点：正方形的性质．☞1年模拟1．（山东省潍坊市昌乐县中考一模）下列说法中，错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．菱形的对角线互相垂直D．对角线互相垂直的四边形是菱形【答案】D．【解析】试题分析：根据平行四边形的菱形的性质得到A、B、C选项均正确，而D不正确，因为对角线互相垂直的四边形也可能是梯形．故选D．考点：1．菱形的判定与性质；2．平行四边形的判定与性质．2．（广东省广州市中考模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°【答案】B．考点：矩形的性质．3．（山东省日照市中考模拟）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB1E，则△AB1E与四边形AECD重叠部分的面积为（）A．0.7 B．0.9 C．2−2 D2【答案】C．【解析】试题分析：如图，∵∠B=45°，AE⊥BC，∴∠BAE=∠B=45°，∴AE=BE，由勾股定理得：BE2+AE2=22，解得：2，由题意得：△ABE≌△AB1E，∴∠BAB1=2∠BAE=90°，2，∴2，2-2，∵四边形ABCD为菱形，∴∠FCB1=∠B=45°，∠CFB1=∠BAB1=90°，∴∠CB1F=45°，CF=B1F，∵CF∥AB，∴△CFB1∽△BAB1，∴11B CCFAB BB=，解得：2，∴△AEB1、△CFB1的面积分别为：12212=，21(22)3222⨯=-，∴△AB1E与四边形AECD重叠部分的面积=1(322)222--=．故选C．考点：1．菱形的性质；2．翻折变换（折叠问题）．4．（山东省济南市平阴县中考二模）如图，菱形OABC的顶点O在坐标系原点，顶点A在x轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为（）A．（-2，2）B．（2，-2）C．（2，-2）D．（3，-3）【答案】B．考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形变化-旋转．5．（山东省青岛市李沧区中考一模）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=13AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①④【答案】D．综上所述，结论正确的是①④．故选D．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．矩形的性质．6．（山东省日照市中考一模）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD 为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A．①②B．②③C．①③D．②④【答案】B．考点：正方形的判定．7．（山东省青岛市李沧区中考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，把该矩形绕点A顺时针旋转α度得矩形AB′C′D′，点C′落在AB的延长线上，则图中阴影部分的面积是．34π-．考点：1．旋转的性质；2．矩形的性质；3．扇形面积的计算．8．（河北省中考模拟二）如图，在矩形ABCD中，AB=3，⊙O与边BC，CD相切，现有一条过点B的直线与⊙O相切于点E，连接BE，△ABE恰为等边三角形，则⊙O的半径为．【答案】3【解析】试题分析：过O点作GH⊥BC于G，交BE于H，连接OB、OE，∴G是BC的切点，OE ⊥BH，∴BG=BE，∵△ABE为等边三角形，∴BE=AB=3，∴BG=BE=3，∵∠HBG=30°，∴3，BH=23，设OG=OE=x，则3-3，3-x，在RT△OEH中，EH2+OE2=OH2，即（3-3）2+x2=3-x）2，解得3，∴⊙O的半径为3．故答案为：3考点：1．切线的性质；2．矩形的性质．9．（山东省日照市中考一模）边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC 的面积为．【答案】14．考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质；3．含30度角的直角三角形．10．（山东省青岛市李沧区中考一模）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG 上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是．5考点：1．正方形的性质；2．直角三角形斜边上的中线；3．勾股定理．11．（山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DE、FG相交于点H．（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．【答案】（1）FG⊥ED．理由见解析；（2）证明见解析．【解析】考点：1．旋转的性质；2．正方形的判定；3．平移的性质；4．探究型．12．（北京市平谷区中考二模）如图，已知点E，F分别是□ABCD的边BC，AD上的中点，且∠BAC=90°．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF面积．【答案】（1）见解析（22532【解析】试题分析：（1）利用平行四边形的性质和菱形的性质即可判定四边形AECF是菱形；（2）连接EF交于点O，运用解直角三角形的知识点，可以求得AC与EF的长，再利用菱形的面积公式即可求得菱形AECF的面积．试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC边的中点，∴AE=CE=12BC．同理，AF=CF=12AD．∴AF=CE．∴四边形AECF是平行四边形．∴平行四边形AECF是菱形．考点：1．菱形的性质；2．平行四边形的性质；3．解直角三角形．13．（山东省日照市中考模拟）如图，▱ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，且OA＞OB．（1）求sin∠ABC的值；（2）若E为x轴上的点，且S△AOE=163，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断△AOE 与△DAO是否相似？（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）45．（2）△AOE∽△DAO．（3）F1（3，8）；F2（-3，0）；F3（4751-，722-），F4（-4225，4425）．【解析】试题分析：（1）求得一元二次方程的两个根后，判断出OA、OB长度，根据勾股定理求得AB长，那么就能求得sin∠ABC的值；（2）易得到点D的坐标为（6，4），还需求得点E的坐标，OA之间的距离是一定的，那么点E的坐标可能在点O的左边，也有可能在点O的右边．根据所给的面积可求得点E的坐标，把A、E代入一次函数解析式即可．然后看所求的两个三角形的对应边是否成比例，成比例就是相似三角形；（3）根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算．试题解析：（1）解x2-7x+12=0，得x1=4，x2=3．∵OA＞OB ，∴OA=4，OB=3．在Rt△AOB中，由勾股定理有AB=225OA OB+=，∴sin∠ABC=54OAAB=；（3）根据计算的数据，OB=OC=3，∴AO平分∠BAC，①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF=AC=5，所以点F与B重合，即F（-3，0）；②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，点F （3，8）；③AC是对角线时，做AC垂直平分线L，AC解析式为y=-43x+4，直线L过（32，2），且k值为34（平面内互相垂直的两条直线k值乘积为-1），L解析式为y=34x+78，联立直线L 与直线AB求交点，∴F（4751-，722-）；④AF是对角线时，过C做AB垂线，垂足为N，根据等积法求出CN=245，勾股定理得出，AN=75，做A关于N的对称点即为F，AF=145，过F做y轴垂线，垂足为G，FG=145×35=4225，∴F（-4225，4425）．综上所述，满足条件的点有四个：F1（3，8）；F2（-3，0）；F3（4751-，722-），F4（-4225，4425）．考点：1．相似三角形的判定；2．解一元二次方程-因式分解法；3．待定系数法求一次函数解析式；4．平行四边形的性质；5．菱形的判定；6．分类讨论；7．存在型；8．探究型．14．（河北省中考模拟二）如图，已知正方形ABCD，E是AB延长线上一点，F是DC延长线上一点，连接BF、EF，恰有BF=EF，将线段EF绕点F顺时针旋转90°得FG，过点B 作EF的垂线，交EF于点M，交DA的延长线于点N，连接NG．（1）求证：BE=2CF；（2）试猜想四边形BFGN是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明．【答案】（1）证明见解析．（2）四边形BFGN为菱形，证明见解析．（2）解：四边形BFGN为菱形，证明如下：考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．菱形的判定；4．旋转的性质；5．和差倍分．15．（广东省广州市中考模拟）如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′，其中点C的运动路径为CC'，则图中阴影部分的面积为．【答案】33 42π+．【解析】试题分析：连接CD′和BC′，∵∠DAB=60°，∴∠DAC=∠CAB=30°，∵∠C′AB′=30°，∴A、D′、C及A、B、C′分别共线∴AC=3，∴扇形ACC′230(3)3604ππ⨯⨯=．∵AC=AC′，AD′=AB，∴在△OCD′和△OC'B中，CD BCACO AC DCOD C OB''=⎧⎪''∠=∠⎨⎪''∠=∠⎩，∴△OCD′≌△OC′B （AAS），∴OB=OD′，CO=C′O．∵∠CBC′=60°，∠BC′O=30°，∴∠COD′=90°．∵CD′=AC-AD′=3-1，OB+C′O=1，∴在Rt△BOC′中，BO2+（1-BO）2=（3-1）2，解得BO=3122-，3322C O'=-，∴考点：1．菱形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．扇形面积的计算；4．旋转的性质．。

特殊的平行四边形知识点名师点晴矩形1．矩形的性质会从边、角、对角线方面通过合情推理提出性质猜想，并用演绎推理加以证明；能运用矩形的性质解决相关问题．2．矩形的判定会用判定定理判定平行四边形是否是矩形及一般四边形是否是矩形菱形1．菱形性质能应用这些性质计算线段的长度2．菱形的判别能利用定理解决一些简单的问题正方形1．正方形的性质了解平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形之间的相互关系，能够熟练运用正方形的性质解决具体问题2．正方形判定掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题，发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断，并能对自己的猜想进行证明☞2年中考【2015年题组】1．（2015崇左）下列命题是假命题的是（）A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．B．对角线互相垂直的矩形是正方形．C．对角线相等的菱形是正方形．D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形．【答案】D．考点：1．正方形的判定；2．平行四边形的判定；3．菱形的判定；4．矩形的判定． 2．（2015连云港）已知四边形ABCD ，下列说法正确的是（ ） A ．当AD=BC ，AB ∥DC 时，四边形ABCD 是平行四边形 B ．当AD=BC ，AB=DC 时，四边形ABCD 是平行四边形 C ．当AC=BD ，AC 平分BD 时，四边形ABCD 是矩形 D ．当AC=BD ，AC ⊥BD 时，四边形ABCD 是正方形 【答案】B ． 【解析】试题分析：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴A 不正确； ∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴B 正确； ∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴C 不正确；∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴D 不正确； 故选B ．考点：1．平行四边形的判定；2．矩形的判定；3．正方形的判定． 3．（2015徐州）如图，菱形中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为28，则OE 的长等于（ ）A ．3.5B ．4C ．7D ．14 【答案】A ． 【解析】试题分析：∵菱形ABCD 的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD ，∵E 为AD 边中点，∴OE是△ABD 的中位线，∴OE=12AB=12×7=3.5．故选A ．考点：菱形的性质． 4．（2015柳州）如图，G ，E 分别是正方形ABCD 的边AB ，BC 的点，且AG=CE ，AE ⊥EF ，AE=EF ，现有如下结论：①BE=12GE ；②△AGE ≌△ECF ；③∠FCD=45°；④△GBE ∽△ECH其中，正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B ．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质；3．相似三角形的判定与性质；4．综合题．5．（2015内江）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．3B．23C．26D．6【答案】B．考点：1．轴对称-最短路线问题；2．最值问题；3．正方形的性质．6．（2015南充）如图，菱形ABCD 的周长为8cm ，高AE 长为3cm ，则对角线AC 长和BD 长之比为（ ）A ．1：2B ．1：3C ．1：2D ．1：3【答案】D ． 【解析】试题分析：如图，设AC ，BD 相较于点O ，∵菱形ABCD 的周长为8cm ，∴AB=BC=2cm ，∵高AE 长为3cm ，∴BE=22AB AE -=1（cm ），∴CE=BE=1cm ，∴AC=AB=2cm ，∵OA=1cm ，AC ⊥BD ，∴OB=22AB OA -=3（cm ），∴BD=2OB=23cm ，∴AC ：BD=1：3．故选D ．考点：菱形的性质．7．（2015安徽省）如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4．点E 在边AB 上，点F 在边CD 上，点G 、H 在对角线AC 上．若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是（ ） A ．25 B ．35 C ．5 D ．6【答案】C ．考点：1．菱形的性质；2．矩形的性质．8．（2015十堰）如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 、F 分别在AB ，AD 上，若CE=53，且∠ECF=45°，则CF 的长为（ ）A ．102B ．53C 5103D 1053【答案】A ．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．正方形的性质；4．综合题；5．压轴题． 9．（2015鄂州）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y 轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x 轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（ ）A ．201421）（B ．201521）（ C ．201533）（ D ．201433）（【答案】D ．考点：1．正方形的性质；2．规律型；3．综合题． 10．（2015广安）如图，已知E 、F 、G 、H 分别为菱形ABCD 四边的中点，AB=6cm ，∠ABC=60°，则四边形EFGH 的面积为 cm2．【答案】93．【解析】试题分析：连接AC ，BD ，相交于点O ，如图所示，∵E 、F 、G 、H 分别是菱形四边上的中点，∴EH=12BD=FG ，EH ∥BD ∥FG ，EF=12AC=HG ，∴四边形EHGF 是平行四边形，∵菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，∴EF ⊥EH ，∴四边形EFGH 是矩形，∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC=60°，∴∠ABO=30°，∵AC ⊥BD ，∴∠AOB=90°，∴AO=12AB=3，∴AC=6，在Rt △AOB 中，由勾股定理得：OB=22AB OA =33，∴BD=63，∵EH=12BD ，EF=12AC ，∴EH=33，EF=3，∴矩形EFGH 的面积=EF•FG=93cm2．故答案为：93．考点：1．中点四边形；2．菱形的性质． 11．（2015凉山州）菱形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B （2，0），∠DOB=60°，点P 是对角线OC 上一个动点，E （0，﹣1），当EP+BP 最短时，点P 的坐标为 ．【答案】（233-，23-）．的交点，∴点P 的坐标为方程组3(13)1y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩的解，解方程组得：3323x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以点P 的坐标为（33，23-），故答案为：（233-，23）．考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．轴对称-最短路线问题；4．动点型；5．压轴题；6．综合题． 12．（2015潜江）菱形ABCD 在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（03，动点P 从点A 出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2015秒时，点P 的坐标为 ．【答案】（0.5，32．考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．规律型；4．综合题．13．（2015北海）如图，已知正方形ABCD 的边长为4，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 在DC 边的延长线上．若∠CAE=15°，则AE= ．【答案】8． 【解析】试题分析：∵正方形ABCD 的边长为4，对角线AC 与BD 相交于点O ，∴∠BAC=45°，AB ∥DC ，∠ADC=90°，∵∠CAE=15°，∴∠E=∠BAE=∠BAC ﹣∠CAE=45°﹣15°=30°．∵在Rt △ADE 中，∠ADE=90°，∠E=30°，∴AE=2AD=8．故答案为：8． 考点：1．含30度角的直角三角形；2．正方形的性质． 14．（2015南宁）如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边△ADE ，则∠BED 的度数是 ．【答案】45°．考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质．15．（2015玉林防城港）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是．【答案】9 2．【解析】试题分析：如图1所示，作E关于BC的对称点E′，点A关于DC的对称点A′，连接A′E′，四边形AEPQ的周长最小，∵AD=A′D=3，BE=BE′=1，∴AA′=6，AE′=4．∵DQ∥AE′，D是AA′的中点，∴DQ是△AA′E′的中位线，∴DQ=12AE′=2；CQ=DC﹣CQ=3﹣2=1，∵BP∥AA′，∴△BE′P∽△AE′A′，∴'''BP BEAA AE=，即164BP=，BP=32，CP=BC﹣BP=332-=32，S四边形AEPQ=S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△PCQ﹣SBEP=9﹣12AD•DQ﹣12CQ•CP﹣12BE•BP=9﹣12×3×2﹣12×1×32﹣12×1×32=92，故答案为：92．考点：1．轴对称-最短路线问题；2．正方形的性质．16．（2015达州）在直角坐标系中，直线1y x =+与y 轴交于点A ，按如图方式作正方形A1B1C1O 、A2B2C2C1、A3B3C1C2…，A1、A2、A3…在直线1y x =+上，点C1、C2、C3…在x 轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到游依次记为1S 、2S 、3S 、…nS ，则nS 的值为 （用含n 的代数式表示，n 为正整数）．【答案】232n -．故答案为：232n ．考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．正方形的性质；3．规律型；4．综合题． 17．（2015齐齐哈尔）如图，正方形ABCB1中，AB=1．AB 与直线l 的夹角为30°，延长CB1交直线l 于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l 于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l 于点A3，作正方形A3B3C3D4，…，依此规律，则A2014A2015= ．【答案】20142(3)．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．正方形的性质；3．规律型；4．综合题．18．（2015梧州）如图，在正方形ABCD 中，点P 在AD 上，且不与A 、D 重合，BP 的垂直平分线分别交CD 、AB 于E 、F 两点，垂足为Q ，过E 作EH ⊥AB 于H ． （1）求证：HF=AP ；（2）若正方形ABCD 的边长为12，AP=4，求线段EQ 的长．【答案】（1）证明见试题解析；（21010．【解析】考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理；4．综合题． 19．（2015恩施州）如图，四边形ABCD 、BEFG 均为正方形，连接AG 、CE ． （1）求证：AG=CE ； （2）求证：AG ⊥CE ．【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析． 【解析】 试题分析：（1）由ABCD 、BEFG 均为正方形，得出AB=CB ，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE ，得出∠ABG=∠CBE ，从而得到△ABG ≌△CBE ，即可得到结论；（2）由△ABG ≌△CBE ，得出∠BAG=∠BCE ，由∠BAG+∠AMB=90°，对顶角∠AMB=∠CMN ，得出∠BCE+∠CMN=90°，证出∠CNM=90°即可． 试题解析：（1）∵四边形ABCD 、BEFG 均为正方形，∴AB=CB ，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE ，∴∠ABG=∠CBE ，在△ABG 和△CBE 中，∵AB=CB ，∠ABG=∠CBE ，BG=BE ，∴△ABG ≌△CBE （SAS ），∴AG=CE ；（2）如图所示：∵△ABG ≌△CBE ，∴∠BAG=∠BCE ，∵∠ABC=90°，∴∠BAG+∠AMB=90°，∵∠AMB=∠CMN ，∴∠BCE+∠CMN=90°，∴∠CNM=90°，∴AG ⊥CE ．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质． 20．（2015武汉）已知锐角△ABC 中，边BC 长为12，高AD 长为8．（1）如图，矩形EFGH 的边GH 在BC 边上，其余两个顶点E 、F 分别在AB 、AC 边上，EF 交AD 于点K ．①求EFAK 的值；②设EH=x ，矩形EFGH 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，并求S 的最大值；（2）若AB=AC ，正方形PQMN 的两个顶点在△ABC 一边上，另两个顶点分别在△ABC 的另两边上，直接写出正方形PQMN 的边长．【答案】（1）①32；②3(8)2S x x =-， S 的最大值是24；（2）245或24049．试题解析：（1）①∵EF ∥BC ，∴AK EF AD BC =，∴EF BC AK AD ==128=32，即EF AK 的值是32；考点：1．相似三角形的判定与性质；2．二次函数的最值；3．矩形的性质；4．正方形的性质；5．分类讨论；6．综合题；7．压轴题． 21．（2015荆州）如图1，在正方形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且PA=PE ，PE 交CD 于F ． （1）PC=PE ；（2）求∠CPE 的度数；（3）如图2，把正方形ABCD 改为菱形ABCD ，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE ，试探究线段AP 与线段CE 的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见试题解析；（2）90°；（3）AP=CE ． 【解析】 试题分析：（1）先证出△ABP ≌△CBP ，得到PA=PC ，由PA=PE ，得到PC=PE ；（2）由△ABP ≌△CBP ，得到∠BAP=∠BCP ，进而得到∠DAP=∠DCP ，由PA=PC ，得到∠DAP=∠E ，∠DCP=∠E ，最后∠CPF=∠EDF=90°得到结论； （3）借助（1）和（2）的证明方法容易证明结论．考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．菱形的性质；4．探究型；5．综合题；6．压轴题．【2014年题组】 1．（2014·宜宾） 如图，将n 个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An 分别是正方形的中心，则这n 个正方形重叠部分的面积之和是（ ）A ．nB ．n ﹣1C ．（14）n ﹣1D ．14n【答案】B ． 【解析】试题分析：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的14，即是14×4=1，5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×4，n 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×（n ﹣1）=n ﹣1． 故选B ．考点：1．正方形的性质2．全等三角形的判定与性质． 2．（2014·山东省淄博市）如图，矩形纸片ABCD 中，点E 是AD 的中点，且AE=1，BE 的垂直平分线MN 恰好过点C ．则矩形的一边AB 的长度为（ ）A ． 1B ．2C ．3D ． 2【答案】C ．考点：1．勾股定理；2．线段垂直平分线的性质；3．矩形的性质． 3．（2014山东省聊城市）如图，在矩形ABCD 中，边AB 的长为3，点E ，F 分别在AD ，BC 上，连接BE ，DF ，EF ，BD ．若四边形BEDF 是菱形，且EF=AE+FC ，则边BC 的长为（ ）A ．3B ． 33 C ．3 D 93【答案】B ． 【解析】试题分析：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=90°，即BA ⊥BF ，∵四边形BEDF 是菱形，∴EF ⊥BD ，∠EBO=∠DBF ，∴AB=BO=3，∠ABE=∠EBO ，∴∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，∴BE=23cos30BO=︒，∴BF=BE=23，∵EF=AE+FC ，AE=CF ，EO=FO∴CF=AE=3，∴BC=BF+CF=33，故选B ．考点：1．矩形的性质；2．菱形的性质．4．（2014·广西来宾市）顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是（ ） A ． 等腰梯形 B ． 矩形 C ． 菱形 D ． 正方形 【答案】B ．考点：1．正方形的判定；2．三角形中位线定理；3．菱形的性质． 5．（2014·贵州铜仁市）如图所示，在矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，AE 平分∠BAF 交BC 于点E ，且DE ⊥AF ，垂足为点M ，BE=3，AE=26，则MF 的长是（ ）A 15B 15C ．1D ． 15【答案】D ．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．角平分线的性质；3．勾股定理；4．矩形的性质．6．（2014·襄阳）如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，且AE=13AB ，将矩形沿直线EF 折叠，点B 恰好落在AD 边上的点P 处，连接BP 交EF 于点Q ，对于下列结论：①EF=2BE ；②PF=2PE ；③FQ=4EQ ；④△PBF 是等边三角形．其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①④ 【答案】D ． 【解析】试题分析：∵AE=13AB ，∴BE=2AE ．由翻折的性质得，PE=BE ，∴∠APE=30°．∴∠AEP=90°﹣30°=60°，∴∠BEF=12（180°﹣∠AEP ）=12（180°﹣60°）=60°．∴∠EFB=90°﹣60°=30°．∴EF=2BE ．故①正确． ∵BE=PE ，∴EF=2PE ．∵EF＞PF，∴PF＞2PE．故②错误．由翻折可知EF⊥PB，∴∠EBQ=∠EFB=30°．∴BE=2EQ，EF=2BE．∴FQ=3EQ．故③错误．由翻折的性质，∠EFB=∠BFP=30°，∴∠BFP=30°+30°=60°．∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°，∴∠PBF=∠PFB=60°．∴△PBF是等边三角形．故④正确；综上所述，结论正确的是①④．故选D．考点：1．矩形的性质；2．含30度角直角三角形的判定和性质；3．等边三角形的判定．7．（2014·宁夏）菱形ABCD中，若对角线长AC=8cm，BD=6cm，则边长AB= cm．【答案】5．考点：1．菱形的性质；2．勾股定理．8．（2014·山东省聊城市）如图，四边形ABCD是平行四边形，作AF∥CE，BE∥DF，AF 交BE与G点，交DF与F点，CE交DF于H点、交BE于E点．求证：△EBC≌△FDA．【答案】证明见解析．考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定．9．（2014·梅州）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？【答案】（1）证明见解析；（2）GE=BE+GD成立，理由见解析．【解析】试题分析：（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF．（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立．试题解析：（1）在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，∴△CBE≌△CDF （SAS）．∴CE=CF．（2）GE=BE+GD成立．理由是：考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定和性质；3．等腰直角三角形的性质．☞考点归纳归纳1：矩形基础知识归纳：1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形3、矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形基本方法归纳：关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．注意问题归纳：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．【例1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB 的大小为（）A、30°B、60°C、90°D、120°【答案】B．考点：矩形的性质．归纳2：菱形基础知识归纳：1、菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半注意问题归纳：菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．【例2】如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（）．（A）△ABD与△ABC的周长相等；（B）△ABD与△ABC的面积相等；（C）菱形的周长等于两条对角线之和的两倍；（D）菱形的面积等于两条对角线之积的两倍．【答案】B．考点：菱形的性质．归纳3：正方形基础知识归纳：1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2、正方形的性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等．注意问题归纳：正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定． 【例3】如图，ABCD 是正方形场地，点E 在DC 的延长线上，AE 与BC 相交于点F ．有甲、乙、丙三名同学同时从点A 出发，甲沿着A ﹣B ﹣F ﹣C 的路径行走至C ，乙沿着A ﹣F ﹣E ﹣C ﹣D 的路径行走至D ，丙沿着A ﹣F ﹣C ﹣D 的路径行走至D ．若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序（由先至后）是（ ）A ． 甲乙丙B ． 甲丙乙C ． 乙丙甲D ．丙甲乙【答案】B ．考点：正方形的性质． ☞1年模拟 1．（2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模）下列说法中，错误的是（ ） A ．平行四边形的对角线互相平分B ．对角线互相平分的四边形是平行四边形C ．菱形的对角线互相垂直D ．对角线互相垂直的四边形是菱形 【答案】D ． 【解析】试题分析：根据平行四边形的菱形的性质得到A 、B 、C 选项均正确，而D 不正确，因为对角线互相垂直的四边形也可能是梯形．故选D ．考点：1．菱形的判定与性质；2．平行四边形的判定与性质． 2．（2015届广东省广州市中考模拟）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠ACB=30°，则∠AOB 的大小为（ ）A．30°B．60°C．90°D．120°【答案】B．考点：矩形的性质．3．（2015届山东省日照市中考模拟）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE 为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB1E，则△AB1E与四边形AECD重叠部分的面积为（）A．0.7 B．0.9 C．2−2 D2【答案】C．【解析】试题分析：如图，∵∠B=45°，AE⊥BC，∴∠BAE=∠B=45°，∴AE=BE，由勾股定理得：BE2+AE2=22，解得：2，由题意得：△ABE≌△AB1E，∴∠BAB1=2∠BAE=90°，2，∴2，2-2，∵四边形ABCD为菱形，∴∠FCB1=∠B=45°，∠CFB1=∠BAB1=90°，∴∠CB1F=45°，CF=B1F，∵CF∥AB，∴△CFB1∽△BAB1，∴11B CCFAB BB=，解得：2，∴△AEB1、△CFB1的面积分别为：12212=，21(22)3222⨯=-，∴△AB1E与四边形AECD重叠部分的面积=1(322)222--=．故选C．考点：1．菱形的性质；2．翻折变换（折叠问题）．4．（2015届山东省济南市平阴县中考二模）如图，菱形OABC的顶点O在坐标系原点，顶点A在x轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为（）A．（-2，2）B．（2，-2）C．（2，-2）D．（3，-3）【答案】B．考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形变化-旋转．5．（2015届山东省青岛市李沧区中考一模）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=13AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①④【答案】D．综上所述，结论正确的是①④．故选D．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．矩形的性质．6．（2015届山东省日照市中考一模）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④ 【答案】B ．考点：正方形的判定．7．（2015届山东省青岛市李沧区中考一模）如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=1，把该矩形绕点A 顺时针旋转α度得矩形AB′C′D′，点C′落在AB 的延长线上，则图中阴影部分的面积是 ．34π-．考点：1．旋转的性质；2．矩形的性质；3．扇形面积的计算． 8．（2015届河北省中考模拟二）如图，在矩形ABCD中，AB=3，⊙O 与边BC ，CD 相切，现有一条过点B 的直线与⊙O 相切于点E ，连接BE ，△ABE 恰为等边三角形，则⊙O 的半径为 ．【答案】3【解析】试题分析：过O 点作GH ⊥BC 于G ，交BE 于H ，连接OB 、OE ，∴G 是BC 的切点，OE ⊥BH ，∴BG=BE ，∵△ABE 为等边三角形，∴BE=AB=3，∴BG=BE=3，∵∠HBG=30°，∴3，BH=23，设OG=OE=x ，则3-3，3-x ，在RT △OEH 中，EH2+OE2=OH2，即（3-3）2+x2=3-x ）2，解得3，∴⊙O 的半径为3．故答案为：3考点：1．切线的性质；2．矩形的性质． 9．（2015届山东省日照市中考一模）边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC 的面积为．【答案】14．考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质；3．含30度角的直角三角形． 10．（2015届山东省青岛市李沧区中考一模）如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC=1，CE=3，H 是AF 的中点，那么CH 的长是 ．5考点：1．正方形的性质；2．直角三角形斜边上的中线；3．勾股定理．11．（2015届山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DE、FG相交于点H．（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．【答案】（1）FG⊥ED．理由见解析；（2）证明见解析．【解析】考点：1．旋转的性质；2．正方形的判定；3．平移的性质；4．探究型． 12．（2015届北京市平谷区中考二模）如图，已知点E ，F 分别是□ABCD 的边BC ，AD 上的中点，且∠BAC=90°．（1）求证：四边形AECF 是菱形； （2）若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF 面积．【答案】（1）见解析（22532【解析】试题分析：（1）利用平行四边形的性质和菱形的性质即可判定四边形AECF 是菱形；（2）连接EF 交于点O ，运用解直角三角形的知识点，可以求得AC 与EF 的长，再利用菱形的面积公式即可求得菱形AECF 的面积． 试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD=BC ．在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，点E 是BC 边的中点，∴AE=CE=12BC ． 同理，AF=CF=12AD ．∴AF=CE ．∴四边形AECF 是平行四边形． ∴平行四边形AECF 是菱形．考点：1．菱形的性质；2．平行四边形的性质；3．解直角三角形． 13．（2015届山东省日照市中考模拟）如图，▱ABCD 在平面直角坐标系中，AD=6，若OA 、OB 的长是关于x 的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，且OA ＞OB ．（1）求sin ∠ABC 的值；（2）若E 为x 轴上的点，且S △AOE=163，求经过D 、E 两点的直线的解析式，并判断△AOE与△DAO 是否相似？（3）若点M 在平面直角坐标系内，则在直线AB 上是否存在点F ，使以A 、C 、F 、M 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F 点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）45．（2）△AOE ∽△DAO ．（3）F1（3，8）；F2（-3，0）；F3（4751-，722-），F4（-4225，4425）．【解析】 试题分析：（1）求得一元二次方程的两个根后，判断出OA 、OB 长度，根据勾股定理求得AB 长，那么就能求得sin ∠ABC 的值； （2）易得到点D 的坐标为（6，4），还需求得点E 的坐标，OA 之间的距离是一定的，那么点E 的坐标可能在点O 的左边，也有可能在点O 的右边．根据所给的面积可求得点E 的坐标，把A、E代入一次函数解析式即可．然后看所求的两个三角形的对应边是否成比例，成比例就是相似三角形；（3）根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算．试题解析：（1）解x2-7x+12=0，得x1=4，x2=3．∵OA＞OB ，∴OA=4，OB=3．在Rt△AOB中，由勾股定理有AB=225OA OB+=，∴sin∠ABC=54OAAB=；（3）根据计算的数据，OB=OC=3，∴AO平分∠BAC，①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF=AC=5，所以点F与B重合，即F（-3，0）；②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，点F （3，8）；③AC是对角线时，做AC垂直平分线L，AC解析式为y=-43x+4，直线L过（32，2），且k值为34（平面内互相垂直的两条直线k值乘积为-1），L解析式为y=34x+78，联立直线L 与直线AB求交点，∴F（4751-，722-）；④AF是对角线时，过C做AB垂线，垂足为N，根据等积法求出CN=245，勾股定理得出，AN=75，做A关于N的对称点即为F，AF=145，过F做y轴垂线，垂足为G，FG=145×35=4225，∴F（-4225，4425）．综上所述，满足条件的点有四个：F1（3，8）；F2（-3，0）；F3（4751-，722-），F4（-4225，4425）．考点：1．相似三角形的判定；2．解一元二次方程-因式分解法；3．待定系数法求一次函数解析式；4．平行四边形的性质；5．菱形的判定；6．分类讨论；7．存在型；8．探究型． 14．（2015届河北省中考模拟二）如图，已知正方形ABCD ，E 是AB 延长线上一点，F 是DC 延长线上一点，连接BF 、EF ，恰有BF=EF ，将线段EF 绕点F 顺时针旋转90°得FG ，过点B 作EF 的垂线，交EF 于点M ，交DA 的延长线于点N ，连接NG ．（1）求证：BE=2CF ；（2）试猜想四边形BFGN 是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明． 【答案】（1）证明见解析．（2）四边形BFGN 为菱形，证明见解析．（2）解：四边形BFGN为菱形，证明如下：考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．菱形的判定；4．旋转的性质；5．和差倍分．15．（2015届广东省广州市中考模拟）如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′，其中点C的运动路径为¼CC'，则图中阴影部分的面积为．【答案】33 42π+．【解析】试题分析：连接CD′和BC′，∵∠DAB=60°，∴∠DAC=∠CAB=30°，∵∠C′AB′=30°，∴A、D′、C及A、B、C′分别共线∴AC=3，∴扇形ACC′230(3)3604ππ⨯⨯=．∵AC=AC′，AD′=AB，∴在△OCD′和△OC'B中，CD BCACO AC DCOD C OB''=⎧⎪''∠=∠⎨⎪''∠=∠⎩，∴△OCD′≌△OC′B （AAS），∴OB=OD′，CO=C′O．∵∠CBC′=60°，∠BC′O=30°，∴∠COD′=90°．∵CD′=AC-AD′=3-1，OB+C′O=1，∴在Rt△BOC′中，BO2+（1-BO）2=（3-1）2，解得BO=3122-，3322C O'=-，∴考点：1．菱形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．扇形面积的计算；4．旋转的性质．。

初三数学 特殊的平行四边形知识精讲 北师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：特殊的平行四边形二. 教学目标：1. 熟练地掌握特殊的平行四边形的性质和判别，并灵活地应用到具体问题中。

2. 进一步掌握分析问题的方法，领会题解过程中渗透的数学思想。

三. 教学重点、难点：重点：特殊的平行四边形的性质和判别的应用。

难点：特殊的平行四边形的性质和判别的合理应用。

四. 教学内容 ［知识要点］1. 菱形的性质与判定： 性质：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角。

判定：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

②对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

③四条边都相等的四边形是菱形。

2. 正方形的性质与判定： 性质：正方形的四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

判定：①有一个角是直角的菱形是正方形。

②有一组邻边相等的矩形是正方形。

③对角线相等的菱形是正方形。

④对角线互相垂直的矩形是正方形。

【典型例题】例1. 求：（1）菱形解：（1）在菱形1BC 21BE ==在Rt △ABE 中，AE BC S ABCD =⋅=∴菱形（2）连接AC ，交BD 于点O ∵AE 垂直平分BC ∴AC=AB=2∴OE=OF（2）解：当点O 运动到AC 边中点时，四边形AECF 是矩形 证明：由（1）可知OE=OF ∵O 是AC 中点 ∴AO=OC∴四边形AECF 是平行四边形∵CE 、CF 分别平分∠BCA 、∠ACD 且∠BCA+∠ACD=180°︒=︒⨯=∠+∠=∠+∠=∠∴9018021)ACD BCA (21OCF ECO ECF∴平行四边形AECF 是矩形（3）证明：若四边形AECF 是正方形，则AC ⊥EF ∵EF//BC ∴AC ⊥BC∴△ABC 是直角三角形，且∠ACB=90° 由四边形AECF 是正方形，得AC 22AE =26BC AE =∴可设)0m (m 2BC m 6AE >==， m 32AC AC 22m 6=∴=∴m 4)m 32()m 2(AC BC AB 2222=+=+=∴21m 4m 2AB BC ==∴∴∠BAC=30° ∴∠B=60°（4）拼成四边形（如图（4）），此时两条对角线长分别为52和558。

第20 讲特殊的平行四边形一、知识清单梳理知识点一：特殊平行四边形的性质与判定关键点拨及对应举例矩形菱形正方形(1)矩形中,Rt△ABD≌Rt△DCA≌Rt△CDB≌Rt△BAC; _两对全等的等腰三角形.所以经常结合勾股1.性质定理、等腰三角形的性质解题.（2）菱形中，有两对全等的等腰（具有平三角形；Rt△ABO≌Rt△ADO≌行四边形Rt △CBO ≌Rt △CDO; 若∠的一切性（1）四个角都是直角（1）四边相等(1)四条边都相等，四个角都是直ABC=60°，则△ABC 和△ADC 质，对边平（2）对角线相等且互（2）对角线互相垂直、平分，角为等边三角形，且四个直角三角行且相等）形中都有一个30°的锐角.相平分.即一条对角线平分一组对角(2)对角线相等且互相垂直平分（3）正方形中有8 个等腰直角三AO=CO=BO=DO. （3）面积=底×高(3)面积=边长×边长角形，解题时结合等腰直角三角形（3）面积=长×宽=对角线_乘积的一半=2S△ABD=2S△ABD=4S△AOB. =4S△AOB 的锐角为45°，斜边=直角边.（1）定义法：有一个（1）定义法：有一组邻边相（1）定义法：有一个角是直角，例：判断正误.角是直角的平行四等的平行四边形且有一组邻边相等的平行四邻边相等的四边形为菱形.边形（2）对角线互相垂直的平行边形（）（2）有三个角是直角四边形（2）一组邻边相等的矩形有三个角是直角的四边形式矩形.2.判定（3）对角线相等的平行四边形（3）四条边都相等的四边形（3）一个角是直角的菱形（4）对角线相等且互相垂直、（）对角线互相垂直平分的四边形是平分菱形.（）对边相等的矩形是正方形.（）包含关系：3.联系知识点二：特殊平行四边形的拓展归纳（1）任意四边形多得到的中点四边形一定是平行四边形. 如图，四边形4.中点（2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形. ABCD 为菱形，四边形（3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形.（4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形.则其中点四边形EFGD 的形状是矩形.1（1）矩形：如图①，E 为AD 上任意一点，EF 过矩形中心O，则△AOE≌△COF,S1=S2.（2）正方形:如图②，若EF⊥MN，则EF=MN;如图③，P 为AD 边上任意一点，则PE+PF=AO. （变式：如图④，四边形ABCD 5.特殊四为矩形，则PE+PF 的求法利用面积法，需连接PO.）边形中的解题模型图①图②图③图④2。

北师大版九年级上册第一章特殊平行四边形知识点讲解（含例题及答案）【学习目标】1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算. 【知识关系】【知识点梳理】知识点一、平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2．性质：（1）对边平行且相等； （2）对角相等；邻角互补； （3）对角线互相平分； （4）中心对称图形. 3．面积：4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形． 边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； 对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 知识点诠释：平行线的性质： （1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等. 知识点二、菱形高底平行四边形⨯=S1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质； （2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边相等的四边形是菱形.知识点三、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 知识点诠释：由矩形得直角三角形的性质： （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半． 知识点四、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2．性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形； （3）对角线相等的菱形是正方形； （4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； （6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】类型一、平行四边形2对角线对角线高＝＝底菱形⨯⨯S 宽＝长矩形⨯S1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC 交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）求证：DE=EF；（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC．【思路点拨】（1）首先证明四边形DBCF为平行四边形，可得DF=BC，再证明DE=1 2BC，进而得到EF=12CB，即可证出DE=EF；（2）首先画出图形，首先根据平行线的性质可得∠ADG=∠G，再证明∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，然后再推出∠1=∠DCB=∠B，再由∠A+∠ADG=∠1可得∠A+∠G=∠B．【答案与解析】证明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB，∴四边形DBCF为平行四边形，∴DF=BC，∵D为边AB的中点，DE∥BC，∴DE=12BC，∴EF=DF-DE=BC-12CB=12CB，∴DE=EF；（2）∵DB∥CF，∴∠ADG=∠G，∵∠ACB=90°，D为边AB的中点，∴CD=DB=AD，∴∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，∵DG⊥DC，∴∠DCA+∠1=90°，∵∠DCB+∠DCA=90°，∴∠1=∠DCB=∠B，∵∠A+∠ADG=∠1，∴∠A+∠G=∠B．【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及直角三角形的性质，关键是找出∠ADG=∠G，∠1=∠B．掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．类型二、菱形2、（2016•广安）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．【思路点拨】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE．【答案与解析】证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE，CD=BC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．在Rt△CDF与Rt△CBE中，，∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），∴DF=BE．【总结升华】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．举一反三：【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由．【答案】四边形ABCD是菱形；证明：由AD∥BC，AB∥CD得四边形ABCD是平行四边形,过A，C两点分别作AE⊥BC于E，CF⊥AB于F．∴∠CFB＝∠AEB＝90°．∵AE＝CF（纸带的宽度相等）∠ABE＝∠CBF，∴Rt△ABE≌Rt△CBF,∴AB＝BC,∴四边形ABCD是菱形.类型三、矩形3、已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．①求证：CD＝AN；②若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．【思路点拨】①根据两直线平行，内错角相等求出∠DAC＝∠NCA，然后利用“角边角”证明△AMD和△CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝CN，然后判定四边形ADCN是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出∠MCD＝∠MDC，再根据等角对等边可得MD＝MC，然后证明AC＝DN，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证．【答案与解析】证明：①∵CN∥AB，∴∠DAC＝∠NCA，在△A MD和△CMN中，∵DAC NCAMA MCAMD CMN∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AMD≌△CMN（ASA），∴AD＝CN，又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形，∴CD＝AN；②∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，∴∠MCD＝∠MDC， ∴MD＝MC ，由①知四边形ADCN 是平行四边形， ∴MD＝MN ＝MA ＝MC ， ∴AC＝DN ，∴四边形ADCN 是矩形．【总结升华】要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或对角线相等．4、如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8．将矩形ABCD 沿CE 折叠后，使点D 恰好落在对角线AC 上的点F 处，求EF 的长.【思路点拨】要求EF 的长，可以考虑把EF 放入Rt △AEF 中，由折叠可知CD ＝CF ，DE ＝EF ，易得AC ＝10，所以AF ＝4，AE ＝8-EF ，然后在Rt △AEF 中利用勾股定理求出EF 的值．【答案与解析】 解：设EF ＝x ，由折叠可得：DE ＝EF ＝x ，CF ＝CD ＝6， 又∵ 在Rt △ADC 中，． ∴ AF ＝AC －CF ＝4，AE ＝AD －DE ＝8－x ． 在Rt △AEF 中，222AE AF EF =+， 即，解得：x ＝3 ∴ EF ＝3 【总结升华】在矩形折叠问题中往往根据折叠找出相等的量，然后把未知边放在合适的直角三角形中，再利用勾股定理进行求解． 举一反三： 【变式】把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB ＝ 3cm ，BC ＝ 5cm ，则重叠部分△DEF 的面积是__________2cm ．【答案】5.1.提示：由题意可知BF ＝DF ，设FC ＝x ，DF ＝5－x ，在Rt △DFC 中，，10AC =222(8)4x x -=+222DC FC DF +=解得x ＝，BF ＝DE ＝3.4，则＝×3.4×3＝5.1. 类型四、正方形5、如图，一个含45°的三角板HBE 的两条直角边与正方形ABCD 的两邻边重合，过E 点作EF ⊥AE 交∠DCE 的角平分线于F 点，试探究线段AE 与EF 的数量关系，并说明理由.【思路点拨】AE ＝EF ．根据正方形的性质推出AB ＝BC ，∠BAD＝∠HAD＝∠DCE＝90°，推出∠HAE＝∠CEF，根据△HEB 是以∠B 为直角的等腰直角三角形，得到BH ＝BE ，∠H＝45°，HA ＝CE ，根据CF 平分∠DCE 推出∠H＝∠FCE，根据ASA 证△HAE≌△CEF 即可得到答案． 【答案与解析】 探究：AE ＝EF证明：∵△BHE 为等腰直角三角形, ∴∠H ＝∠HEB ＝45°，BH ＝BE.又∵CF 平分∠DCE ，四边形ABCD 为正方形， ∴∠FCE ＝12∠DCE ＝45°， ∴∠H ＝∠FCE.由正方形ABCD 知∠B ＝90°，∠HAE ＝90°＋∠DAE ＝90°＋∠AEB, 而AE ⊥EF ，∴∠FEC ＝90°＋∠AEB ， ∴∠HAE ＝∠FEC.由正方形ABCD 知AB ＝BC ，∴BH －AB ＝BE －BC ， ∴HA ＝CE,∴△AHE ≌△ECF （ASA ）, ∴AE ＝EF. 【总结升华】充分利用正方形的性质和题目中的已知条件，通过证明全等三角形来证明线段相等.举一反三： 【变式】（2015•黄冈）如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点E ．若∠CBF=20°，则∠AED 等于 ．【答案】 65°。