高三数学(文)一轮总复习(江苏专用)课时跟踪检测(十五)导数与函数的极值、最值Word版含解析

课时作业15导数与函数的极值、最值一、选择题1．已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(D)A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)解析：由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<1时，f′(x)<0；当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．2．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝(D)A．－4 B．－2C．4 D．2解析：由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.当x∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f′(x)>0，则f(x)单调递增；当x∈(－2,2)时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，∴f(x)的极小值点为a＝2.3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于(C)A．11或18 B．11C ．18D ．17或18解析：∵函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，∴f (1)＝10，且f ′(1)＝0，又f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11.而当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，函数在x ＝1处无极值，故舍去．∴f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16，∴f (2)＝18.4．函数f (x )＝3x 2＋ln x －2x 的极值点的个数是( A ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数解析：函数定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝6x ＋1x －2＝6x 2－2x ＋1x ， 由于x >0，g (x )＝6x 2－2x ＋1的Δ＝－20<0， 所以g (x )>0恒成立， 故f ′(x )>0恒成立，即f (x )在定义域上单调递增，无极值点．5．函数f (x )＝sin x －x 在区间[0,1]上的最小值为( D ) A ．0 B ．sin1 C ．1 D ．sin1－1解析：由题得f ′(x )＝cos x －1，因为x ∈[0,1]，所以f ′(x )≤0，所以函数f (x )在[0,1]上单调递减，所以f (x )min ＝f (1)＝sin1－1，故选D.6．(2020·齐齐哈尔一模)若x ＝1是函数f (x )＝ax 2＋ln x 的一个极值点，则当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 时，f (x )的最小值为( A )A ．1－e 22 B ．－e ＋1e C ．－12e 2－1D ．e 2－1解析：由题意得f ′(1)＝0，∵f ′(x )＝2ax ＋1x ，∴f ′(1)＝2a ＋1＝0，∴a ＝－12，∴f ′(x )＝－x ＋1x ＝1－x 2x .∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1时，f ′(x )≥0，当x ∈[1，e]时，f ′(x )≤0，∴f (x )min ＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，f (e )＝－12e 2＋1，故选A.7．(2020·昆明模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ln x (a >0)在x ＝1和x ＝2处取得极值，且极大值为－52，则函数f (x )在区间(0,4]上的最大值为( D )A ．0B ．－52C ．2ln2－4D ．4ln2－4解析：f ′(x )＝2ax ＋b ＋c x ＝2ax 2＋bx ＋cx (x >0，a >0)．因为函数f (x )在x ＝1和x ＝2处取得极值，所以f ′(1)＝2a ＋b ＋c ＝0 ①，f ′(2)＝4a ＋b ＋c2＝0 ②.又a >0，所以当0<x <1或x >2时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当1<x <2时，f ′(x )<0，f (x )是减函数．所以当x ＝1时，f (x )极大值＝f (1)＝a ＋b ＝－52 ③.联立①②③，解得a ＝12，b ＝－3，c ＝2.f (4)＝12×16－3×4＋2ln4＝4ln2－4，经比较函数f (x )在区间(0,4]上的最大值是f (4)＝4ln2－4.故选D.8．已知函数f (x )＝a x ＋x 2－x ln a ，对任意的x 1，x 2∈[0,1]，不等式|f (x 1)－f (x 2)|≤a －2恒成立，则a 的取值范围为( A )A ．[e 2，＋∞)B ．[e ，＋∞)C ．[2，e]D ．[e ，e 2]解析：由题意可得|f (x 1)－f (x 2)|max ＝f (x )max －f (x )min ≤a －2，且a >2.由于f ′(x )＝a x ln a ＋2x －ln a ＝(a x －1)ln a ＋2x ，所以当x >0时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在[0,1]上单调递增，则f (x )max ＝f (1)＝a ＋1－ln a ，f (x )min ＝f (0)＝1，所以f (x )max －f (x )min ＝a －ln a ，故a －2≥a －ln a ，即ln a ≥2，解得a ≥e 2.9．(2020·昆明质检)已知函数f (x )＝e xx ＋k (ln x －x )，若x ＝1是函数f (x )的唯一极值点，则实数k 的取值范围是( A )A ．(－∞，e]B ．(－∞，e)C ．(－e ，＋∞)D ．[－e ，＋∞)解析：由函数f (x )＝e xx ＋k (ln x －x )，可得f ′(x )＝e x x －e x x 2＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＝(x －1)(e x －kx )x2.令g (x )＝e x－kx ， ∵f (x )有唯一极值点x ＝1，∴g (x )＝e x －kx 在(0，＋∞)上无零点或无变号零点．g ′(x )＝e x －k ，当k ≤0时，g ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴g (x )>g (0)＝1，即g (x )在(0，＋∞)上无零点，符合题意．当k >0时，g ′(x )＝0的解为x ＝ln k .易知当0<x <ln k 时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x >ln k 时，g ′(x )>0，g (x )单调递增．∴g (x )min ＝g (ln k )＝k －k ln k .由题意知需满足k －k ln k ≥0，可得0<k ≤e.综上可得，实数k 的取值范围是(－∞，e]，故选A.10．(2020·广东肇庆一模)已知x ＝1是f (x )＝[x 2－(a ＋3)x ＋2a ＋3]e x 的极小值点，则实数a 的取值范围是( D )A ．(1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，1)解析：函数f (x )＝[x 2－(a ＋3)x ＋2a ＋3]e x ，则f ′(x )＝[x 2－(a ＋1)x ＋a ]e x ， 令f ′(x )＝0，得x 2－(a ＋1)x ＋a ＝0， 设g (x )＝x 2－(a ＋1)x ＋a ，x ∈R .①当a ＝1时，g (x )＝(x －1)2≥0恒成立，∴f ′(x )≥0恒成立，f (x )是R 上的单调增函数，没有极值点，不合题意．②当a >1时，g (x )有两个零点1和a ，且x <1或x >a 时，g (x )>0，则f ′(x )>0；1<x <a 时，g (x )<0，则f ′(x )<0，所以x ＝1是f (x )的极大值点，不满足题意．③当a <1时，g (x )有两个零点1和a ，且x <a 或x >1时，g (x )>0，则f ′(x )>0；a <x <1时，g (x )<0，则f ′(x )<0，所以x ＝1是f (x )的极小值点，满足题意．综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，1)．故选D. 二、填空题11．函数f (x )＝a ln x x 的图象在点(e 2，f (e 2))处的切线与直线y ＝－1e 4x 平行，则f (x )的极值点是x ＝e.解析：f ′(x )＝a (1－ln x )x 2，故f ′(e 2)＝－a e 4＝－1e 4， 解得a ＝1，故f (x )＝ln xx ，f ′(x )＝1－ln x x 2. 令f ′(x )＝0，解得x ＝e ， 因为当0<x <e 时，f ′(x )>0， 当x >e 时，f ′(x )<0，所以x ＝e 是函数f (x )的极大值点．12．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ∈[－1,1]，则f (m )的最小值是－4.解析：f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，故a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4.f ′(x )＝－3x 2＋6x ，由此可得f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，∴当m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.13．若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有极值点，则实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，103.解析：函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有极值点等价于f ′(x )＝0有2个不相等的实根且在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3内有根，由f ′(x )＝0有2个不相等的实根，得a <－2或a >2.由f ′(x )＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3内有根，得a ＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3内有解，又x ＋1x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103，所以2≤a <103.综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，103.三、解答题14．设函数f (x )＝a ln x －bx 2(x >0)，若函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切．(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值．解：(1)由f (x )＝a ln x －bx 2(x >0)，得f ′(x )＝ax －2bx ， ∵函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切，∴⎩⎨⎧f ′(1)＝a －2b ＝0，f (1)＝－b ＝－12，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝ln x －12x 2，则f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x ， 当1e ≤x ≤e 时，令f ′(x )>0，得1e ≤x <1， 令f ′(x )<0，得1<x ≤e ，∴f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1上单调递增，在(1，e]上单调递减，∴f (x )max ＝f (1)＝－12.15．已知函数f (x )＝e x (x －a e x )．(1)当a ＝0时，求f (x )的极值；(2)若f (x )有两个不同的极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝0时，f (x )＝x e x ，f ′(x )＝(x ＋1)e x .令f ′(x )>0，可得x >－1，故f (x )在(－1，＋∞)上单调递增．同理可得f (x )在(－∞，－1)上单调递减．故f (x )在x ＝－1处有极小值，极小值为f (－1)＝－1e .(2)依题意可得f ′(x )＝(x ＋1－2a e x )e x ＝0有两个不同的实根． 设g (x )＝x ＋1－2a e x ，则g (x )＝0有两个不同的实根x 1，x 2，g ′(x )＝1－2a e x .若a ≤0，则g ′(x )≥1，此时g (x )为增函数，故g (x )＝0至多有1个实根，不符合要求．若a >0，则当x <ln 12a 时，g ′(x )>0，当x >ln 12a 时，g ′(x )<0，故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln 12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12a ，＋∞上单调递减，g (x )的最大值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12a ＝ln 12a －1＋1＝ln 12a ，又当x →－∞时，g (x )→－∞，当x →＋∞时，g (x )→－∞，故要使g (x )＝0有两个实根，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12a ＝ln 12a >0，得0<a <12.因为g (x )＝0的两个根分别为x 1，x 2(x 1<x 2)，所以当x <x 1时，g (x )<0，此时f ′(x )<0；当x 1<x <x 2时，g (x )>0，此时f ′(x )>0；当x >x 2时，g (x )<0，此时f ′(x )<0.故x 1为f (x )的极小值点，x 2为f (x )的极大值点，0<a <12符合要求． 综上所述，a 的取值范围为0<a <12.16．(2020·昆明质检)已知函数f (x )＝(x －3)e x ＋a (2ln x －x ＋1)在(1，＋∞)上有两个极值点，且f (x )在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是( C )A ．(e ，＋∞)B ．(e,2e 2)C ．(2e 2，＋∞)D ．(e,2e 2)∪(2e 2，＋∞)解析：由题意知方程f ′(x )＝(x －2)e x ＋a (2x －1)＝(x －2)e x ＋a ×2－x x ＝(x －2)(e x －a x )＝0在(1，＋∞)上有两个根，所以e x＝a x 在(1，＋∞)上有不为2的根，即函数y 1＝e x ，y 2＝ax 的图象在(1，＋∞)上有交点(异于(2，e 2))，所以⎩⎨⎧a >0，e 1<a1，且a ≠2e 2，所以a >e ，且a ≠2e 2.又易知(x －2)(e x－a x )≥0在x ∈(1,2)上恒成立，即e x≤a x 在x ∈(1,2)上恒成立，即当x ∈(1,2)时，y 2＝ax 的图象在y 1＝e x 图象的上方，所以⎩⎨⎧a >0，e 2≤a 2，所以a ≥2e 2.所以实数a 的取值范围为(2e 2，＋∞)．17．(2019·北京卷)已知函数f (x )＝14x 3－x 2＋x . (1)求曲线y ＝f (x )的斜率为1的切线方程； (2)当x ∈[－2,4]时，求证：x －6≤f (x )≤x ；(3)设F (x )＝|f (x )－(x ＋a )|(a ∈R )，记F (x )在区间[－2,4]上的最大值为M (a )．当M (a )最小时，求a 的值．解：(1)由f (x )＝14x 3－x 2＋x 得f ′(x )＝34x 2－2x ＋1.令f ′(x )＝1，即34x 2－2x ＋1＝1， 得x ＝0或x ＝83.又f (0)＝0，f (83)＝827，所以曲线y ＝f (x )的斜率为1的切线方程是 y ＝x 与y －827＝x －83，即y ＝x 与y ＝x －6427. (2)令g (x )＝f (x )－x ，x ∈[－2,4]． 由g (x )＝14x 3－x 2得g ′(x )＝34x 2－2x . 令g ′(x )＝0得x ＝0或x ＝83. g ′(x )，g (x )的情况如下：故－6≤g (x )≤0，即x －6≤f (x )≤x . (3)由(2)知，当a <－3时，M (a )≥F (0)＝|g (0)－a |＝－a >3； 当a >－3时，M (a )≥F (－2)＝|g (－2)－a |＝6＋a >3； 当a ＝－3时，M (a )＝3. 综上，当M (a )最小时，a ＝－3.快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。

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】专题3.2 利用导数研究函数的极值与最值基础巩固题组一、填空题 1．下列函数：①y ＝x 3；②y ＝ln(－x )；③y ＝x e －x；④y ＝x ＋2x.其中，既是奇函数又存在极值的是________(填序号)． 【答案】④【解析】由题意可知，②，③中的函数不是奇函数，①中，函数y ＝x 3单调递增(无极值)，④中的函数既为奇函数又存在极值．2．(2017·海门中学适应性训练)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，若x ＝－3是函数f (x )的一个极值点，则实数a ＝________. 【答案】53．(2016·北京卷改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤0，－2x ，x >0，则f (x )的最大值为________．【答案】2【解析】当x >0时，f (x )＝－2x <0；当x ≤0时，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，当x <－1时，f ′(x )>0，f (x )是增函数，当－1<x <0时，f ′(x )<0，f (x )是减函数． ∴f (x )≤f (－1)＝2，∴f (x )的最大值为2.4．(2017·南通调研)若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，若t ＝ab ，则t 的最大值为________． 【答案】9【解析】f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，则f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，则a ＋b ＝6， 又a >0，b >0，则t ＝ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号．5．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a ＝________. 【答案】1【解析】由题意知，当x ∈(0,2)时，f (x )的最大值为－1. 令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1a，当0<x <1a 时，f ′(x )>0；当x >1a时，f ′(x )<0.∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝－ln a －1＝－1，解得a ＝1. 6．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(－∞，－3)∪(6，＋∞)7．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )图象的是________(填序号)．【答案】④【解析】因为[f (x )e x]′＝f ′(x )e x＋f (x )(e x)′＝[f (x )＋f ′(x )]e x，且x ＝－1为函数f (x )ex的一个极值点，所以f (－1)＋f ′(－1)＝0；④中，f (－1)＞0，f ′(－1)＞0，不满足f ′(－1)＋f (－1)＝0.8．设a ∈R ，若函数y ＝e x＋ax 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(－∞，－1)【解析】∵y ＝e x＋ax ，∴y ′＝e x＋a . ∵函数y ＝e x＋ax 有大于零的极值点， 则方程y ′＝e x ＋a ＝0有大于零的解， ∵x >0时，－e x<－1，∴a ＝－e x<－1. 二、解答题9．已知函数f (x )＝ax x ＋r2(a >0，r >0)．(1)求f (x )的定义域，并讨论f (x )的单调性； (2)若a r＝400，求f (x )在(0，＋∞)内的极值．10．(2017·衡水中学二调)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝(－x 2＋ax －3)e x(a 为实数)． (1)当a ＝5时，求函数y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程； (2)求f (x )在区间[t ，t ＋2](t >0)上的最小值． 解 (1)当a ＝5时，g (x )＝(－x 2＋5x －3)e x，g (1)＝e. 又g ′(x )＝(－x 2＋3x ＋2)e x， 故切线的斜率为g ′(1)＝4e.所以切线方程为y －e ＝4e(x －1)，即y ＝4e x －3e. (2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 1e ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞ f ′(x )－＋f (x )极小值①当t ≥1e 时，在区间 [t ，t ＋2]上f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (t )＝t ln t .②当0<t <1e 时，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫t ，1e 上f (x )为减函数，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，t ＋2上f (x )为增函数， 所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e .能力提升题组11．(2017·盐城一模)若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象与x 轴相切于一点A (m,0)(m ≠0)，且f (x )的极大值为12，则m 的值为________．【答案】3212．函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则下列结论：①a >0，b <0，c >0，d >0；②a >0，b <0，c <0，d >0； ③a <0，b <0，c >0，d >0；④a >0，b >0，c >0，d <0. 其中，结论成立的是________(填序号)． 【答案】①【解析】由函数y ＝f (x )的图象知，a >0，f (0)＝d >0. 又x 1，x 2是函数f (x )的极值点， 且f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝0，∴x 1，x 2是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根． 由图象知，x 1>0，x 2>0∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2b3a >0，x 1x 2＝c3a >0.因此b <0，且c >0.13．(2017·镇江期末)若函数f (x )＝－2x 3＋2tx 2＋1存在唯一的零点，则实数t 的取值范围为________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞14．(2017·苏北四市调研)如图，OA 是南北方向的一条公路，OB 是北偏东45°方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C .为方便游客观光，拟过曲线C 上某点P 分别修建与公路OA ，OB 垂直的两条道路PM ，PN ，且PM ，PN 的造价分别为5万元/百米、40万元/百米．建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，则曲线C 符合函数模型y ＝x ＋42x2(1≤x ≤9)，设 PM ＝x ，修建两条道路PM ，PN 的总造价为f (x )万元．题中所涉及长度单位均为百米．(1)求f (x )的解析式；(2)当x 为多少时，总造价f (x )最低？并求出最低造价．解 (1)在题图所示的直角坐标系中，因为曲线C 的方程为y ＝x ＋42x2(1≤x ≤9)，PM ＝x ，所以点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，x ＋42x 2，直线OB 的方程为x －y ＝0，则点P 到直线x －y ＝0的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －⎝⎛⎭⎪⎫x ＋42x 22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪42x 22＝4x2，又PM 的造价为5万元/百米，PN 的造价为40万元/百米．则两条道路总造价为f (x )＝5x ＋40·4x2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32x 2 (1≤x ≤9)．(2)因为f (x )＝5⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32x 2，所以f ′(x )＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫1－64x 3＝5x 3－64x 3，令f ′(x )＝0，解得x ＝4，列表如下：x (1,4) 4 (4,9) f ′(x ) －0 ＋f (x )极小值所以当x ＝4时，函数f (x )有最小值，且最小值为f (4)＝5⎝⎛⎭⎪⎪⎫4＋3242＝30，即当x ＝4时，总造价最低，最低造高中数学知识点三角函数 1、 以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点 P 到原点的距离记为，则 sin=， cos = ， tg = ， ctg = ， sec = ， csc = 。

课时达标检测(十五） 导数与函数的单调性[练基础小题——强化运算能力]1．(2018·前黄中学期中考试)函数f (x )＝x ln x 的单调减区间是________． 解析：函数f (x )＝x ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x )＝ln x ＋1＜0得0＜x ＜1e ，所以函数f (x )＝x ln x 的单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e . 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 2．已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a ＞0”是“f (x )在R 上单调递增”的____________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)解析：f ′(x )＝32x 2＋a ，当a ＞0时，f ′(x )＞0，即a ＞0时，f (x )在R 上单调递增，由f (x )在R 上单调递增，可得a ≥0.故“a ＞0”是“f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．答案：充分不必要3．(2018·阜宁中学模拟)若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪e x2－a e x (a ∈R)在区间[1,2]上单调递增，则实数a 的取值范围是________．解析：设g (x )＝e x 2－a e x ，则g ′(x )＝e x2＋ae x .①当a ＞0时，g ′(x )＞0，g (x )在R 上单调递增，且g (ln 2a )＝0，依题意知ln 2a ≤1，解得0＜a ≤e22.②当a ＝0时，f (x )符合题意．③当a ＜0时，令g ′(x )＝0，解得x ＝ln －2a .当x ＜ln －2a 时，g ′(x )＜0，g (x )在(－∞，ln －2a )上单调递减，当x ＞ln －2a 时，g ′(x )＞0，g (x )在(ln －2a ，＋∞)上单调递增，故当x ＝ln －2a 时，g (x )取得最小值，又g (ln －2a )＞0，所以g (x )＞0恒成立，所以依题意知ln －2a ≤1，解得－e 22≤a ＜0.综上，所求a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－e 22，e 22. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－e 22，e 224．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )＝5＋cos x ，x ∈(－1,1)，且f (0)＝0，如果f (1－x )＋f (1－x 2)＜0，则实数x 的取值范围为________．解析：∵导函数f ′(x )是偶函数，且f (0)＝0，∴原函数f (x )是奇函数，∴所求不等式变形为f (1－x )＜f (x 2－1)，∵导函数值恒大于0，∴原函数在定义域上单调递增，又f (x )的定义域为(－1,1)，∴－1＜1－x ＜x 2－1＜1，解得1＜x ＜2，∴实数x 的取值范围是(1，2)．答案：(1，2)[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．(2018·南通高三期初测试)已知函数f (x )＝ln x ＋2x，若f (x 2＋2)＜f (3x )，则实数x 的取值范围是________．解析：由f (x )＝ln x ＋2x，得f ′(x )＝1x＋2x ln 2＞0，x ∈(0，＋∞)，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．又由f (x 2＋2)＜f (3x )，得0＜x 2＋2＜3x ，所以x ∈(1,2).答案：(1,2)2．若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[]1，4上单调递减，则实数t 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于f (x )在区间[]1，4上单调递减，则有f ′(x )≤0在[]1，4上恒成立，即3x 2－2tx ＋3≤0在[1,4]上恒成立，则t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[]1，4上恒成立，因为y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[]1，4上单调递增，所以t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋14＝518.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫518，＋∞3．(2018·苏州模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )＋f ′(x )＞1，f (0)＝4，则不等式e xf (x )＞e x＋3(其中e 为自然对数的底数)的解集为________．解析：设g (x )＝e x f (x )－e x ，则g ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x ) －e x，因为f (x )＋f ′(x )＞1，所以f (x )＋f ′(x ) －1＞0，所以g ′(x )＞0，所以y ＝g (x )在定义域R 上单调递增．因为e xf (x )＞e x＋3，所以g (x )＞3，又因为g (0)＝e 0f (0)－e 0＝3，所以g (x )＞g (0)，所以x ＞0，即x ∈(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)4．(2018·靖江诊断考试)函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )＜0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：因为当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )＜0，所以f ′(x )＞0，所以函数f (x )在(－∞，1)上是单调递增函数，所以a ＝f (0)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝b ，又f (x )＝f (2－x )，所以c ＝f (3)＝f (－1)，所以c ＝f (－1)＜f (0)＝a ，所以c ＜a ＜b .答案：b ＞a ＞c5．若函数f (x )＝x ＋b x(b ∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，则f (x )在下列区间上单调递增的是________．(填序号)①(－2,0)；②(0,1)；③(1，＋∞)；④(－∞，－2)．解析：由题意知，f ′(x )＝1－b x 2，∵函数f (x )＝x ＋b x(b ∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，∴当1－b x2＝0时，b ＝x 2，又x ∈(1,2)，∴b ∈(1,4)．令f ′(x )＞0，解得x ＜－b 或x ＞b ，即f (x )的单调递增区间为(－∞，－b )，(b ，＋∞)，∵b ∈(1,4)，∴(－∞，－2)符合题意．答案：④6．已知y ＝f (x )为(0，＋∞)上的可导函数，且有f ′(x )＋f xx＞0，则对于任意的a ，b ∈(0，＋∞)，当a ＞b 时，下列不等式成立的是________．(填序号)①af (a )＜bf (b )；②af (a )＞bf (b )； ③af (b )＞bf (a )；④af (b )＜bf (a )． 解析：由f ′(x )＋f x x＞0得xf ′x ＋f xx＞0，即[xfx ]′x＞0，即[xf (x )]′x ＞0.∵x ＞0，∴[xf (x )]′＞0，即函数y ＝xf (x )为增函数，由a ，b ∈(0，＋∞)且a ＞b ，得af (a )＞bf (b )．答案：②7．若幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，12，则函数g (x )＝e xf (x )的单调递减区间为________．解析：设幂函数为f (x )＝x α，因为图象过点⎝⎛⎭⎪⎫22，12，所以12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22α，α＝2，所以f (x )＝x 2，故g (x )＝e x x 2，令g ′(x )＝e x x 2＋2e xx ＝e x(x 2＋2x )＜0，得－2＜x ＜0，故函数g (x )的单调递减区间为(－2,0)．答案：(－2,0)8．已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．解析：f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，∵⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋1x max ＝83，∴2a ≥83，即a ≥43.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ 9．已知R 上可导函数f (x )的图象如图所示，则不等式(x 2－2x －3)·f ′(x )＞0的解集为_________________________．解析：由题图可知，⎩⎪⎨⎪⎧f ′x ＞0，x ∈1，＋∞∪－∞，－1，f ′x ＜0，x ∈－1，1，不等式(x 2－2x －3)f ′(x )＞0等价于⎩⎪⎨⎪⎧f ′x ＞0，x 2－2x －3＞0或⎩⎪⎨⎪⎧f ′x ＜0，x 2－2x －3＜0，解得x ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)10．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________．解析：对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a .当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a .令29＋2a ＞0，解得a ＞－19.所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞二、解答题11．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R)．试讨论f (x )的单调性． 解：f ′(x )＝3x 2＋2ax ，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝－2a 3.当a ＝0时，因为f ′(x )＝3x 2≥0，所以函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增； 当a ＞0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，0时，f ′(x )＜0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2a 3，(0，＋∞)上单凋递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，0上单调递减； 当a ＜0时，x ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，＋∞时，f ′(x )＞0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2a 3时，f ′(x )＜0，所以函数f (x )在(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2a 3上单调递减． 12．(2018·宿迁期初测试)已知函数f (x )＝e x－ax －1. (1)求函数f (x )的单调增区间．(2)若f (x )在定义域R 内单调递增，求实数a 的取值范围．(3)是否存在实数a ，使得函数f (x )在区间(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)易知f ′(x )＝e x－a .若a ≤0，则f ′(x )＝e x－a ＞0恒成立，即f (x )在R 上单调递增；若a ＞0，令e x－a ＞0，得e x＞a ，即x ＞ln a ，此时f (x )的单调增区间为(ln a ，＋∞)．(2)要使f (x )在R 内单调递增，只要f ′(x )≥0在R 上恒成立，即e x－a ≥0⇒a ≤e x在R 上恒成立，又因为e x＞0，所以a ≤0，即实数a 的取值范围是(－∞，0]．(3)假设存在a 满足条件．由题意知e x－a ≤0在(－∞，0]上恒成立，所以a ≥e x在(－∞，0]上恒成立． 因为e x在(－∞，0]上为增函数，所以a ≥1.同理可知e x－a ≥0在[0，＋∞)上恒成立，所以a ≤e x在[0，＋∞)上恒成立，所以a ≤1. 综上，a ＝1.附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

1．导数的概念 (1)平均变化率一般地，函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.(2)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 ①定义：设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，此值Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．②几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．(3)函数f (x )的导函数若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数．2．基本初等函数的导数公式(sin x )′＝cos_x ，(cos x )′＝－sin_x ，(a x )′＝a x ln_a ， (e x )′＝e x ，(log a x )＝1x ln a ，(ln x )′＝1x .3．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )](g (x )≠0)． [小题体验]1．(教材习题改编)一次函数f (x )＝kx ＋b 在区间[m ，n ]上的平均变化率为________． 解析：由题意得函数f (x )＝kx ＋b 在区间[m ，n ]上的平均变化率为f (n )－f (m )n －m ＝k .答案：k2．(教材习题改编)如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y＝－x ＋5，则f (3)＝________，f ′(3)＝________.解析：由图知切点为(3,2)，切线斜率为－1. 答案：2 －13．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝________. 解析：由f (x )＝x ＋ln x (x >0)，知f ′(x )＝1＋1x ，所以f ′(1)＝2.答案：24．(2015·天津高考)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．解析：f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )． 由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案：31．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．2．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别． [小题纠偏]1．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝________. 解析：对关系式f (x )＝2xf ′(e)＋ln x 两边求导，得f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，令x ＝e ，得f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，所以f ′(e)＝－1e. 答案：－1e2．已知f (x )＝x 2＋3xf ′(2)，则f (2)＝________.解析：因为f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)，所以f ′(2)＝4＋3f ′(2)，所以f ′(2)＝－2，所以f (x )＝x 2－6x ，所以f (2)＝22－6×2＝－8.答案：－83．已知定义在R 上的函数f (x )＝e x ＋x 2－x ＋sin x ，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程是________．解析：令x ＝0，得f (0)＝1.对f (x )求导，得f ′(x )＝e x ＋2x －1＋cos x ，所以f ′(0)＝1，故曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝x ＋1.答案：y ＝x ＋1考点一 导数的运算(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝ln x ＋1x ；(3)y ＝cos x e x ；(4)y ＝11－x ＋11＋x.解：(1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′ ＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ′ ＝(ln x )′＋⎝⎛⎭⎫1x ′ ＝1x －1x 2. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x ′ ＝(cos x )′e x －cos x (e x )′(e x )2＝－sin x ＋cos x e x.(4)∵y ＝11－x ＋11＋x ＝21－x，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ′＝－2(1－x )′(1－x )2＝2(1－x )2.[谨记通法] 求函数导数的3种原则考点二 导数的几何意义(常考常新型考点——多角探明)[命题分析]导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题．常见的命题角度有： (1)求切线方程； (2)求切点坐标； (3)求参数的值．[题点全练]角度一：求切线方程1．(2016·南通调研)已知f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6，则f (x )在点P (－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于________．解析：∵f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6， ∴f ′(x )＝3x 2－4x ＋1， ∴f ′(－1)＝8，故切线方程为y －2＝8(x ＋1)， 即8x －y ＋10＝0，令x ＝0，得y ＝10，令y ＝0，得x ＝－54，∴所求面积S ＝12×54×10＝254.答案：254角度二：求切点坐标2．若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线 2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________． 解析：由题意得y ′＝ln x ＋x ·1x ＝1＋ln x ，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2. 设P (m ，n )，则1＋ln m ＝2， 解得m ＝e ， 所以n ＝eln e ＝e ， 即点P 的坐标为(e ，e)． 答案：(e ，e)角度三：求参数的值3．(2016·南京外国语学校检测)已知函数f (x )＝x 4＋ax 2－bx ，且f ′(0)＝－13，f ′(－1)＝－27，则a ＋b ＝________.解析：∵f ′(x )＝4x 3＋2ax －b ，由⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)＝－13，f ′(－1)＝－27⇒⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝－13－4－2a －b ＝－27， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝13， ∴a ＋b ＝18. 答案：18[方法归纳]导数几何意义的应用的2个注意点(1)当曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0；(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为________． 解析：∵f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2＝x 3－3a 2x ＋2a 3， ∴f ′(x )＝3(x 2－a 2)． 答案：3(x 2－a 2)2．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝________. 解析：由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x .∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1. 答案：－13．(2016·徐州一中检测)曲线y ＝f (x )＝x (x －1)(x －2)·…·(x －6)在原点处的切线方程为________． 解析：y ′＝(x －1)(x －2)·…·(x －6)＋x [(x －1)·(x －2)·…·(x －6)]′，所以f ′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)×(－6)＋0＝720.故切线方程为y ＝720x .答案：y ＝720x4．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.解析：∵f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1. 答案：15．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 与直线4x －y －1＝0平行，且点P 0在第三象限，则点P 0的坐标为________．解析：设P 0(x 0，y 0)．由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1. 由已知，得3x 20＋1＝4，解得x 0＝±1. 当x 0＝1时，y 0＝0； 当x 0＝－1时，y 0＝－4.又点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)． 答案：(－1，－4)二保高考，全练题型做到高考达标1．某物体做直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t (t 的单位：s ，s 的单位：m)，则它在第4 s 末的瞬时速度为________ m/s.解析：∵s ′＝2t －3t 2，∴在第4 s 末的瞬时速度v ＝s ′| t ＝4＝8－316＝12516 m/s.答案：125162．(2015·苏州二模)已知函数f (x )＝(x 2＋2)(ax 2＋b )，且f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________. 解析：f (x )＝(x 2＋2)(ax 2＋b )＝ax 4＋(2a ＋b )x 2＋2b ，f ′(x )＝4ax 3＋2(2a ＋b )x 为奇函数，所以f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.答案：－23．已知f (x )＝x (2 015＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 016，则x 0＝________.解析：f ′(x )＝2 015＋ln x ＋x ·1x ＝2 016＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 016得2 016＋ln x 0＝2 016，则lnx 0＝0，解得x 0＝1.答案：14．(2016·金陵中学模拟)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处切线倾斜角α的取值范围为________．解析：因为y ′＝3x 2－3≥－3，故切线斜率k ≥－3，所以切线倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π.答案：⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π 5．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为________．解析：∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1， 又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)， 则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0， 于是解得m ＝－2. 答案：－26．(2016·太原一模)函数f (x )＝x e x 的图象在点(1，f (1))处的切线方程是________． 解析： ∵f (x )＝x e x ， ∴f (1)＝e ，f ′(x )＝e x ＋x e x ，∴f ′(1)＝2e ，∴f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y －e ＝2e(x －1)，即y ＝2e x －e. 答案：y ＝2e x －e7.(2015·无锡调研)如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x ) 是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.解析：由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)， 由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 答案：08．设函数f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )(a ，b ，c 是两两不等的常数)，则a f ′(a )＋b f ′(b )＋cf ′(c )＝________.解析：∵f (x )＝x 3－(a ＋b ＋c )x 2＋(ab ＋bc ＋ca )x －abc ， ∴f ′(x )＝3x 2－2(a ＋b ＋c )x ＋ab ＋bc ＋ca ， f ′(a )＝(a －b )(a －c )， f ′(b )＝(b －a )(b －c )， f ′(c )＝(c －a )(c －b )． ∴a f ′(a )＋b f ′(b )＋c f ′(c ) ＝a(a －b )(a －c )＋b (b －a )(b －c )＋c(c －a )(c －b )＝a (b －c )－b (a －c )＋c (a －b )(a －b )(a －c )(b －c )＝0.答案：09．求下列函数的导数． (1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)．解：(1)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′ ＝tan x ＋x ·⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝tan x ＋xcos 2x. (2)y ′＝(x ＋1)′[(x ＋2)(x ＋3)]＋(x ＋1)[(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋12x ＋11.10．已知曲线y ＝f (x )＝x 2a －1(a >0)在x ＝1处的切线为l ，求l 与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值．解：因为f (1)＝1a －1，所以切点为⎝⎛⎭⎫1，1a －1. 由已知，得f ′(x )＝2x a ，切线斜率k ＝f ′(1)＝2a ，所以切线l 的方程为y －⎝⎛⎭⎫1a －1＝2a (x －1)， 即2x －ay －a －1＝0.令y ＝0，得x ＝a ＋12；令x ＝0，得y ＝－a ＋1a.所以l 与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×a ＋12×a ＋1a ＝14⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋12≥14×2a ×1a ＋12＝1，当且仅当a ＝1a，即a ＝1时取等号，所以S min ＝1.故l 与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值为1. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为________．解析：设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a )．由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ，切线的斜率k ＝y ′| x ＝t ＝3t 2－a ①，所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t ) ②.将点A (1,0)代入②式得－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )，解得t ＝0或t ＝32.分别将t ＝0和t ＝32代入①式，得k ＝－a 和k ＝274－a ，由题意得它们互为相反数，故a ＝278.答案：2782．(2016·无锡一中检测)已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________． 解析：∵f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ， ∴f ′(x )＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sin x ＋cos x ， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4×22＋22， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝2－1.故f ⎝⎛⎭⎫π4＝(2－1)×22＋22＝1. 答案：13．(2016·苏北四市调研)设函数f (x )＝ax －b x ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y－12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任意一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．解：(1)f ′(x )＝a ＋b x2.∵点(2，f (2))在切线7x －4y －12＝0上， ∴f (2)＝2×7－124＝12. 又曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0，∴⎩⎨⎧f ′(2)＝74，f (2)＝12⇒⎩⎨⎧a ＋b 4＝74，2a －b 2＝12⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3. ∴f (x )的解析式为f (x )＝x －3x.(2)设⎝⎛⎭⎫x 0，x 0－3x 0为曲线y ＝f (x )上任意一点， 则切线的斜率k ＝1＋3x 20，切线方程为y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 令x ＝0，得y ＝－6x 0.由⎩⎪⎨⎪⎧y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 0，y ＝2x 0.∴曲线y ＝f (x )上任意一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12|2x 0|⎪⎪⎪⎪－6x 0＝6，为定值．第二节 导数的应用1．函数的单调性在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为增函数．f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为减函数．2．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．[小题体验]1．(教材习题改编)函数f(x)＝x2e x的单调增区间是________．解析：函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝2x e x＋x2e x＝e x(2x＋x2)，令f′(x)>0，得x<－2或x>0，所以函数f(x)的单调增区间为(－∞，－2)和(0，＋∞)．答案：(－∞，－2)，(0，＋∞)2．(教材习题改编)函数f(x)＝13x3＋32x2－4x＋13取得极大值时x的值是________．解析：f′(x)＝x2＋3x－4，令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝－4，经检验知x＝－4时，函数y取得极大值．答案：－43．(教材习题改编)函数f(x)＝32x＋sin x在区间[0,2π]上的最大值为________．解析：f′(x)＝32＋cos x，令f′(x)＝0，x∈[0,2π]，得x ＝5π6或x ＝7π6，又f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫5π6＝53π12＋12. f ⎝⎛⎭⎫7π6＝73π12－12，f (2π)＝3π.所以函数f (x )在区间[0,2π]上的最大值为3π. 答案：3π4．已知f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则a 的最大值是________． 答案：31．求函数单调区间与函数极值时没有列表的习惯，会造成问题不能直观且有条理的解决． 2．求函数最值时，易误认为极值点就是最值点，不通过比较就下结论．3．解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f ′(x )＝0时的情况；区分极值点和导数为0的点．[小题纠偏]1．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则ab的值为________．解析：由题意，知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由函数f (x )在x ＝1处取得极大值10，知⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b －a 2－7a ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－6，b ＝9，经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9满足题意，故ab ＝－23. 答案：－232．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．解析：因为f ′(x )＝4x －1x (x >0)，所以可求得f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫12，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，12.又函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则⎩⎨⎧0≤k －1<12，k ＋1>12，解得1≤k <32.答案：⎣⎡⎭⎫1，32 3．函数y ＝2x 3－2x 2在区间[－1,2]上的最大值是________．解析：y ′＝6x 2－4x ，令y ′＝0，得x ＝0或x ＝23.∵f (－1)＝－4，f (0)＝0， f ⎝⎛⎭⎫23＝－827，f (2)＝8. ∴最大值为8. 答案：8第一课时 导数与函数的单调性考点一 判断或证明函数的单调性(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]设a ∈[－2,0]，已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－(a ＋5)x ，x ≤0，x 3－a ＋32x 2＋ax ，x >0.证明f (x )在区间(－1,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增． 证明：设函数f 1(x )＝x 3－(a ＋5)x (x ≤0)， f 2(x )＝x 3－a ＋32x 2＋ax (x ≥0)，①f 1′(x )＝3x 2－(a ＋5)，由于a ∈[－2,0]，从而当－1<x ≤0时， f 1′(x )＝3x 2－(a ＋5)<3－a －5≤0， 所以函数f 1(x )在区间(－1,0]内单调递减． ②f 2′(x )＝3x 2－(a ＋3)x ＋a ＝(3x －a )(x －1)，由于a ∈[－2,0]，所以当0<x <1时，f 2′(x )<0；当x >1时，f 2′(x )>0，即函数f 2(x )在区间[0,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增．综合①②及f 1(0)＝f 2(0)，可知函数f (x )在区间(－1,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增．[由题悟法]导数法证明函数f (x )在(a ，b )内的单调性的3步骤(1)一求．求f ′(x )；(2)二定．确认f ′(x )在(a ，b )内的符号；(3)三结论．作出结论：f ′(x )＞0时为增函数；f ′(x )＜0时为减函数．[提醒] 研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．[即时应用]已知函数f (x )＝ln x －x1＋2x.(1)求证：f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增； (2)若f [x (3x －2)]＜－13，求实数x 的取值范围．解：(1)证明：由已知得f (x )的定义域为(0，＋∞)． ∵f (x )＝ln x －x1＋2x，∴f ′(x )＝1x －1＋2x －2x (1＋2x )2＝4x 2＋3x ＋1x (1＋2x )2. ∵x ＞0，∴4x 2＋3x ＋1＞0，x (1＋2x )2＞0. ∴当x ＞0时，f ′(x )＞0. ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增． (2)∵f (x )＝ln x －x 1＋2x ，∴f (1)＝ln 1－11＋2×1＝－13.由f [x (3x －2)]＜－13得f [x (3x －2)]＜f (1)．由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧x (3x －2)＞0，x (3x －2)＜1，解得－13＜x ＜0或23＜x ＜1.∴实数x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－13，0∪⎝⎛⎭⎫23，1. 考点二 求函数的单调区间(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2(m ，n ∈R ，m ≠0)，函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线与x 轴平行．(1)用关于m 的代数式表示n ； (2)求函数f (x )的单调增区间．解：(1)由已知条件得f ′(x )＝3mx 2＋2nx ， 又f ′(2)＝0，所以3m ＋n ＝0，故n ＝－3m . (2)因为n ＝－3m ， 所以f (x )＝mx 3－3mx 2， 所以f ′(x )＝3mx 2－6mx . 令f ′(x )>0，即3mx 2－6mx >0， 当m >0时，解得x <0或x >2，则函数f (x )的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)； 当m <0时，解得0<x <2， 则函数f (x )的单调增区间是(0,2)． 综上，当m >0时，函数f (x )的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)； 当m <0时，函数f (x )的单调增区间是(0,2)．[由题悟法]确定函数单调区间4步骤(1)确定函数f (x )的定义域； (2)求f ′(x )；(3)解不等式f ′(x )＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f ′(x )＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．[即时应用](2015·重庆高考改编)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R)在x ＝－43处取得极值．(1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，求g (x )的单调区间． 解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ， 因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝⎛⎭⎫－43 ＝0， 即3a ·169＋2·⎝⎛⎭⎫－43 ＝16a 3－83＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 3＋x 2e x， 故g ′(x )＝⎝⎛⎭⎫32x 2＋2x e x ＋⎝⎛⎭⎫12x 3＋x 2e x ＝⎝⎛⎭⎫12x 3＋52x 2＋2x e x ＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝－1或x ＝－4. 当x ＜－4时，g ′(x )＜0，故g (x )为减函数； 当－4＜x ＜－1时，g ′(x )＞0，故g (x )为增函数； 当－1＜x ＜0时，g ′(x )＜0，故g (x )为减函数； 当x ＞0时，g ′(x )＞0，故g (x )为增函数．综上知，g (x )的减区间为(－∞，－4)和(－1,0)，增区间为(－4，－1)和(0，＋∞)．考点三 已知函数的单调性求参数的范围(题点多变型考点——纵引横联)[典型母题]根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”来求解．[提醒]f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0，且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．[越变越明][变式1]函数f(x)不变，若f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围．解：因为f′(x)＝3x3－a，且f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3，即a的取值范围为(－∞，3]．[变式2]函数f(x)不变，若f(x)在区间(－1,1)上为减函数，试求a的取值范围．解：由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，得a≥3x2在(－1,1)上恒成立．因为－1＜x＜1，所以3x2＜3，所以a≥3.即当a的取值范围为[3，＋∞)时，f(x)在(－1,1)上为减函数．[变式3]函数f(x)不变，若f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求a的值．解：由母题可知，f(x)的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－3a 3，3a 3，∴3a 3＝1，即a ＝3.[破译玄机]函数的单调区间是指单调递增或单调递减，在求解中应列方程求解，与函数在某个区间上具有单调性是不同的．[变式4] 函数f (x )不变，若f (x )在区间(－1,1)上不单调，求a 的取值范围． 解：∵f (x )＝x 3－ax －1，∴f ′(x )＝3x 2－a .由f ′(x )＝0，得x ＝±3a3(a ≥0)．∵f (x )在区间(－1,1)上不单调，∴0＜3a3＜1，得0＜a ＜3，即a 的取值范围为(0,3)． [破译玄机]函数在其区间上不具有单调性，但可在子区间上具有单调性，如变式4中利用了3a3∈(0,1)来求解．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2015·镇江模拟)函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是________．解析：函数f (x )＝(x －3)e x 的导数为f ′(x )＝[(x －3)e x ]′＝e x ＋(x －3)e x ＝(x －2)e x .由函数导数与函数单调性的关系，得当f ′(x )＞0时，函数f (x )单调递增，此时由不等式f ′(x )＝(x －2)e x ＞0，解得x ＞2.答案：(2，＋∞)2．设函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋5x ＋6在区间[1,3]上是单调函数，则实数a 的取值范围是________．解析：依题意，知当x ∈[1,3]时，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5的值恒不小于0或恒不大于0. 若当x ∈[1,3]时，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5≥0，即有－2a ≤x ＋5x 在[1,3]上恒成立，而x ＋5x ≥2x ·5x＝25(当且仅当x ＝5时取等号)，故－2a ≤25，解得a ≥－ 5.若当x ∈[1,3]时，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5≤0，即有－2a ≥x ＋5x 恒成立，注意到函数g (x )＝x ＋5x 在[1，5]上是减函数，在[5，3]上是增函数，且g (1)＝6>g (3)＝143，因此－2a ≥6，解得a ≤－3.综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，－3]∪[－5，＋∞)． 答案：(－∞，－3]∪[－5，＋∞)3．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上的单调情况是________．解析：在(0,2π)上有f ′(x )＝1－cos x ＞0，所以f (x )在(0,2π)上单调递增． 答案：单调递增4．(2016·启东模拟)已知a ≥1，f (x )＝x 3＋3|x －a |，若函数f (x )在[－1,1]上的最大值和最小值分别记为M ，m ，则M －m 的值为________．解析：当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 3＋3(a －x )＝x 3－3x ＋3a (a ≥1)，∴f ′(x )＝3(x －1)(x ＋1)．当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0，所以原函数f (x )在区间[－1,1]上单调递减，所以M ＝f (－1)＝3a ＋2，m ＝f (1)＝3a －2，所以M －m ＝4.答案：45．(2016·苏州测试)已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．解析：f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立， 即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立， ∵⎝⎛⎭⎫－x ＋1x max ＝83， ∴2a ≥83，即a ≥43.答案：⎣⎡⎭⎫43，＋∞二保高考，全练题型做到高考达标1．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________．解析：由f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6得f ′(x )＝3x 2－30x －33，令f ′(x )＜0，即3(x －11)(x ＋1)＜0，解得－1＜x ＜11，所以函数f (x )的单调减区间为(－1,11)．答案：(－1,11)2．若幂函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫22，12，则函数g (x )＝e xf (x )的单调递减区间为________． 解析：设幂函数f (x )＝x α，因为图象过点⎝⎛⎭⎫22，12，所以12＝⎝⎛⎭⎫22α，α＝2，所以f (x )＝x 2，故g (x )＝e x x 2，令g ′(x )＝e x x 2＋2e x x ＝e x (x 2＋2x )＜0，得－2＜x ＜0，故函数g (x )的单调递减区间为(－2,0)．答案：(－2,0)3．(2016·南通、扬州、淮安、连云港调研)设f (x )＝4x 3＋mx 2＋(m －3)x ＋n (m ，n ∈R)是R 上的单调增函数，则实数m 的值为________．解析：因为f ′(x )＝12x 2＋2mx ＋m －3，又函数f (x )是R 上的单调增函数，所以12x 2＋2mx ＋m －3≥0在R 上恒成立，所以(2m )2－4×12(m －3)≤0，整理得m 2－12m ＋36≤0，即(m －6)2≤0.又因为(m －6)2≥0，所以(m －6)2＝0，所以m ＝6.答案：64．已知函数f (x )＝x ＋1ax 在(－∞，－1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )＝x ＋1ax 的导数为f ′(x )＝1－1ax 2，由于f (x )在(－∞，－1)上单调递增，则f ′(x )≥0在(－∞，－1)上恒成立，即1a ≤x 2在(－∞，－1)上恒成立．由于当x ＜－1时，x 2＞1，则有1a ≤1，解得a ≥1或a ＜0.答案：(－∞，0)∪[1，＋∞)5．(2015·南通、扬州、泰州、淮安三调)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋m ，0≤x ≤1，mx ＋5，x >1.若函数f (x )的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则实数m 的取值范围为________．解析：由f (x )＝2x 3＋3x 2＋m ，得f ′(x )＝6x 2＋6x ，所以f (x )在[0,1]上单调递增，即f (x )＝2x 3＋3x 2＋m 与x 轴至多有一个交点，要使函数f (x )的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋5>0，m <0，从而可得m ∈(－5,0)． 答案：(－5,0)6．若函数f (x )＝ax 3－3x 在(－1,1)上为单调递减函数，则实数a 的取值范围是________． 解析：f ′(x )＝3ax 2－3，∵f (x )在(－1,1)上为单调递减函数，∴f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立，即3ax 2－3≤0在(－1,1)上恒成立．当x ＝0时，a ∈R ；当x ≠0时，a ≤1x 2，∵x ∈(－1,0)∪(0,1)，∴a ≤1.综上，实数a 的取值范围为(－∞，1]．答案：(－∞，1]7．(2016·盐城中学模拟)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为________． 解析：设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12，∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R 上单调递减．∵f (x 2)<x 22＋12，∴f (x 2)－x 22<f (1)－12，∴F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减，∴x 2>1，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)8．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________．解析：对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14＋2a .当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a .令29＋2a ＞0，解得a ＞－19.所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－19，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－19，＋∞ 9．(2016·镇江五校联考)已知函数f (x )＝ln x ＋ke x(k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间．解：(1)由题意得f ′(x )＝1x－ln x －k e x ，又f ′(1)＝1－ke ＝0，故k ＝1.(2)由(1)知，f ′(x )＝1x－ln x －1e x.设h (x )＝1x －ln x －1(x ＞0)，则h ′(x )＝－1x 2－1x ＜0，即h (x )在(0，＋∞)上是减函数．由h (1)＝0知，当0＜x ＜1时，h (x )＞0，从而f ′(x )＞0； 当x ＞1时，h (x )＜0，从而f ′(x )＜0. 综上可知，f (x )的单调递增区间是(0,1)， 单调递减区间是(1，＋∞)．10．(2016·徐州调研)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax ＋b .(1)若f (x )与g (x )在x ＝1处相切，求g (x )的表达式；(2)若φ(x )＝m (x －1)x ＋1－f (x )在[1，＋∞)上是减函数，求实数m 的取值范围．解：(1)由已知得f ′(x )＝1x ，∴f ′(1)＝1＝12a ，a ＝2.又∵g (1)＝0＝12a ＋b ，∴b ＝－1，∴g (x )＝x －1.(2)∵φ(x )＝m (x －1)x ＋1－f (x )＝m (x －1)x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减函数．∴φ′(x )＝－x 2＋(2m －2)x －1x (x ＋1)2≤0在[1，＋∞)上恒成立．即x 2－(2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立， 则2m －2≤x ＋1x ，x ∈[1，＋∞)，∵x ＋1x ∈[2，＋∞)，∴2m －2≤2，m ≤2.故实数m 的取值范围是(－∞，2]． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x ，若f (x )在[－1,1]上是单调减函数，则a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x ＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x ，由题意知当x ∈[－1,1]时，f ′(x )≤0恒成立，即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0恒成立．令g (x )＝x 2＋(2－2a )x －2a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ g (－1)≤0，g (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧(－1)2＋(2－2a )·(－1)－2a ≤0，12＋2－2a －2a ≤0，解得a ≥34.答案：⎣⎡⎭⎫34，＋∞2．(2016·泰州模拟)若函数f (x )＝x 2|x －a |在区间[0,2]上单调递增，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ≤0时，f (x )＝x 3－ax 2，f ′(x )＝3x 2－2ax ≥0在[0，＋∞)上恒成立，所以f (x )在[0，＋∞)上单调递增，则也在[0,2]上单调递增，成立；当a >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x 3，0≤x ≤a ，x 3－ax 2，x >a .①当0≤x ≤a 时，f ′(x )＝2ax －3x 2， 令f ′(x )＝0，则x ＝0或x ＝23a ，则f (x )在⎣⎡⎭⎫0，23a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫23a ，a 上单调递减； ②当x >a 时，f ′(x )＝3x 2－2ax ＝x (3x －2a )>0，所以f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，所以当a >0时，f (x )在⎣⎡⎭⎫0，23a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫23a ，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．要使函数在区间[0,2]上单调递增，则必有23a ≥2，解得a ≥3.综上，实数a 的取值范围是(－∞，0]∪[3，＋∞)． 答案：(－∞，0]∪[3，＋∞)3．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎡⎦⎤f ′(x )＋m 2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围． 解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a (1－x )x .当a ＞0时，f (x )的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)；当a ＜0时，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)； 当a ＝0时，f (x )不是单调函数．(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x .∴g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x ， ∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数， 即g ′(x )＝0在区间(t,3)上有变号零点．由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′(t )＜0，g ′(3)＞0.当g ′(t )＜0，即3t 2＋(m ＋4)t －2＜0 对任意t ∈[1,2]恒成立， 由于g ′(0)＜0，故只要g ′(1)＜0且g ′(2)＜0， 即m ＜－5且m ＜－9，即m ＜－9； 由g ′(3)＞0，即m ＞－373.所以－373＜m ＜－9.即实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－373，－9. 第二课时 导数与函数的极值、最值考点一 运用导数解决函数的极值问题(常考常新型考点——多角探明)[命题分析]函数的极值是每年高考的必考内容，题型既有填空题，也有解答题，难度适中，为中高档题． 常见的命题角度有： (1)已知函数求极值； (2)已知极值求参数； (3)由图判断极值．[题点全练]角度一：已知函数求极值1．已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R)．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．解：由题意知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax .(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x (x ＞0)，因为f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. (2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x ＞0知：①当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值；②当a ＞0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a .又当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．角度二：已知极值求参数2．(2016·黑龙江哈三中期末)已知x ＝2是函数f (x )＝x 3－3ax ＋2 的极小值点，那么函数f (x )的极大值为________．解析：x ＝2是函数f (x )＝x 3－3ax ＋2的极小值点，即x ＝2是f ′(x )＝3x 2－3a ＝0的根，将x ＝2代入得a ＝4，所以函数解析式为f (x )＝x 3－12x ＋2，则由3x 2－12＝0，得x ＝±2，故函数在(－2,2)上是减函数，在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数，由此可知当x ＝－2时函数f (x )取得极大值f (－2)＝18.答案：183．若函数f (x )＝13ax 3－ax 2＋(2a －3)x ＋1在R 上存在极值，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知，f ′(x )＝ax 2－2ax ＋2a －3，因为函数f (x )＝13ax 3－ax 2＋(2a －3)x ＋1在R 上存在极值，所以f ′(x )＝0有两个不等实根， 其判别式Δ＝4a 2－4a (2a －3)＞0， 所以0＜a ＜3，故实数a 的取值范围为(0,3)． 答案：(0,3)角度三：由图判断极值4．已知函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )有________个极大值点，________个极小值点．解析：由导数与函数极值的关系，知当f ′(x 0)＝0时，若在x 0的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，则f (x )在x ＝x 0处取得极大值；若在x 0的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，则f (x )在x ＝x 0处取得极小值．设函数f ′(x )的图象与x 轴的交点从左到右的横坐标依次为x 1，x 2，x 3，x 4，则f (x )在x ＝x 1，x ＝x 3处取得极大值，在x ＝x 2，x ＝x 4处取得极小值．答案：2 2[方法归纳]利用导数研究函数极值的一般流程考点二 运用导数解决函数的最值问题(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]已知函数f (x )＝xa －e x (a ＞0)．(1)求函数f (x )的单调区间； (2)求函数f (x )在[1,2]上的最大值． 解：(1)f (x )＝x a －e x (a ＞0)，则f ′(x )＝1a －e x .令1a －e x ＝0，则x ＝ln 1a. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎭⎫－∞，ln 1a ；单调递减区间为⎝⎭ln 1a ，＋∞. (2)当ln 1a ≥2，即0＜a ≤1e 2时，f (x )max ＝f (2)＝2a－e 2；当1＜ln 1a ＜2，即1e 2＜a ＜1e 时，f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫ln 1a ＝1a ln 1a －1a ； 当ln 1a ≤1，即a ≥1e 时，f (x )max ＝f (1)＝1a－e.[由题悟法]求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值3步骤(1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．[即时应用]设函数f (x )＝a ln x －bx 2(x ＞0)，若函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切，(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最大值． 解：(1)f ′(x )＝ax－2bx ，∵函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝a －2b ＝0，f (1)＝－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝12.(2)由(1)得f (x )＝ln x －12x 2，则f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x，∵当1e ≤x ≤e 时，令f ′(x )＞0得1e ≤x ＜1；令f ′(x )＜0，得1＜x ≤e ，∴f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，1上单调递增，在[]1，e 上单调递减，∴f (x )max ＝f (1)＝－12.考点三 函数极值和最值的综合问题(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]已知函数f (x )＝ax －2x－3ln x ，其中a 为常数．(1)当函数f (x )的图象在点⎝⎛⎭⎫23，f ⎝⎛⎭⎫23处的切线的斜率为1时，求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤32，3上的最小值； (2)若函数f (x )在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，求a 的取值范围． 解：(1)∵f ′(x )＝a ＋2x 2－3x，∴f ′⎝⎛⎭⎫23＝a ＝1，故f (x )＝x －2x －3ln x ，则f ′(x )＝(x －1)(x －2)x 2.由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：从而在⎣⎡⎦⎤32，3上，f (x )有最小值， 且最小值为f (2)＝1－3ln 2.(2)f ′(x )＝a ＋2x 2－3x ＝ax 2－3x ＋2x 2(x ＞0)，由题设可得方程ax 2－3x ＋2＝0有两个不等的正实根， 不妨设这两个根为x 1，x 2，并令h (x )＝ax 2－3x ＋2，则⎩⎨⎧Δ＝9－8a ＞0，x 1＋x 2＝3a＞0，x 1x 2＝2a＞0⎝⎛⎭⎪⎪⎫或⎩⎨⎧Δ＝9－8a ＞0，－－32a＞0，h (0)＞0，解得0＜a ＜98. 故所求a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，98. [由题悟法]求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的方法求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．[即时应用]已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值． 解：(1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0，① 当x ＝23时，y ＝f (x )有极值，则f ′⎝⎛⎭⎫23＝0， 可得4a ＋3b ＋4＝0，② 由①②，解得a ＝2，b ＝－4. 由于切点的横坐标为1，所以f (1)＝4. 所以1＋a ＋b ＋c ＝4，得c ＝5. (2)由(1)可得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5， f ′(x )＝3x 2＋4x －4.令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝23.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的取值及变化情况如下表所示：所以y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9527.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．函数f (x )＝ln x －x 在(0，e]上的最大值为________．解析：f ′(x )＝1x －1＝1－x x (x >0)，令f ′(x )>0，得0<x <1，令f ′(x )<0，得x >1，∴f (x )在(0,1]上是增函数，在(1，e]上是减函数．∴当x ＝1时，f (x )在(0，e]上取得最大值f (1)＝－1.答案：－12．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域为________ 解析：∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴f ′(x )＝e x cos x ≥0， ∴f (0)≤f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π2，即12≤f (x )≤12e π2. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，12e π23．当函数y ＝x ·2x 取极小值时，x ＝________. 解析：令y ′＝2x ＋x ·2x ln 2＝0，∴x ＝－1ln 2.答案：－1ln 24．若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为________．解析：若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则f ′(x )＝3x 2－4cx ＋1＝0有根，故Δ＝(－4c )2－12>0，从而c >32或c <－32.故实数c 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞5．已知函数f (x )＝2f ′(1)ln x －x ，则f (x )的极大值为________．解析：因为f ′(x )＝2f ′(1)x －1，令x ＝1，得f ′(1)＝1.所以f (x )＝2ln x －x ，f ′(x )＝2x －1.当0<x <2，f ′(x )>0；当x >2，f ′(x )<0.从而f (x )的极大值为f (2)＝2ln 2－2.答案：2ln 2－2二保高考，全练题型做到高考达标1．函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为________．解析：f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x，且x ＞0.令f ′(x )＞0，得x ＞1；令f ′(x )＜0，得0＜x ＜1.∴f (x )在x ＝1处取得极小值也是最小值，且f (1)＝12－ln 1＝12.答案：122．若函数f (x )＝x 3－3x －a 在区间[0,3]上的最大值和最小值分别为M ，N ，则M －N 的值为________．解析：f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，得x ＝1(x ＝－1舍去)．∵f (0)＝－a ，f (1)＝－2－a ，f (3)＝18－a .∴M ＝18－a ，N ＝－2－a .∴M －N ＝20.答案：203．(2016·南京外国语学校)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 的图象如图所示，则x 21＋x 22等于________．解析：由图象可知f (x )的图象过点(1,0)与(2,0)，x 1，x 2是函数f (x )的极值点，因此1＋b ＋c ＝0,8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－3，c ＝2，所以f (x )＝x 3－3x 2＋2x ，所以f ′(x )＝3x 2－6x ＋2.x 1，x 2是方程f ′(x )＝3x 2－6x ＋2＝0的两根，因此x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝23，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4－43＝83.答案：834．函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ＞0)的极大值为6，极小值为2，则f (x )的单调递减区间是________． 解析：令f ′(x )＝3x 2－3a ＝0，得x ＝±a ， 则f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表：从而⎩⎪⎨⎪⎧(－a )3－3a (－a )＋b ＝6，(a )3－3a a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4.所以f (x )的单调递减区间是(－1,1)． 答案：(－1,1)5．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意，f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2)，故f (x )在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2,0)上是减函数，作出其图象如图所示，令13x 3＋x 2－23＝－23得，x ＝0或x ＝－3，则结合图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ＜0，a ＋5＞0，解得a ∈[－3,0)．答案：[－3,0)6．函数f (x )＝13x 3＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是________．解析：f ′(x )＝x 2＋2x －3，令f ′(x )＝0得x ＝1(x ＝－3舍去)，又f (0)＝－4，f (1)＝－173，f (2)＝－103，故f (x )在[0,2]上的最小值是f (1)＝－173.答案：－1737．(2016·苏州模拟)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1 时有极值0，则a －b ＝________.解析：由题意得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋3a －b －1＝0，b －6a ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9，经检验当a ＝1，b ＝3时，函数f (x )在x ＝－1处无法取得极值，而a ＝2，b ＝9满足题意，故a －b ＝－7.答案：－78．给出下列四个命题：①若函数f (x )在[a ，b ]上有最大值，则这个最大值一定是函数f (x )在[a ，b ]上的极大值； ②若函数f (x )在[a ，b ]上有最小值，则这个最小值一定是函数f (x )在[a ，b ]上的极小值； ③若函数f (x )在[a ，b ]上有最值，则最值一定在x ＝a 或x ＝b 处取得； ④若函数f (x )在(a ，b )内连续，则f (x )在(a ，b )内必有最大值与最小值． 其中真命题的个数为________．解析：因为函数的最值可以在区间[a ，b ]的两端点处取得，也可以在内部取得，当最值在端点处取得时，该最值就一定不是极值，故命题①与②为假命题．由于最值可以在区间内部取得，故命题③也为假命题．在(a ，b )内的单调函数，在(a ，b )内必定无最值(也无极值)，因此命题④也为假命题．综上所述，四个命题均为假命题．答案：09．设f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1的导函数为f ′(x )，若函数y ＝f ′(x )的图象关于直线x ＝－12 对称，且f ′(1)＝0.(1)求实数a ，b 的值； (2)求函数f (x )的极值．解：(1)因为f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1，。

课时跟踪训练(十五)[基础巩固]一、选择题1．已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )的图象大致是( )[解析] 设g (x )＝f ′(x )＝2x －2sin x ，g ′(x )＝2－2cos x ≥0，所以函数f ′(x )在R 上单调递增．[答案] A2．若幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，12，则函数g (x )＝e x f (x )的单调递减区间为( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，－2)C ．(－2，－1)D ．(－2,0) [解析] 设幂函数f (x )＝x α，因为图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，12，所以12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22α，α＝2，所以f (x )＝x 2，故g (x )＝e x x 2，令g ′(x )＝e x x 2＋2e x x ＝e x (x 2＋2x )<0，得－2<x <0，故函数g (x )的单调递减区间为(－2,0)．[答案] D3.如图所示是函数f (x )的导函数f ′(x )的图象，则下列判断中正确的是( )A ．函数f (x )在区间(－3,0)上是减函数B ．函数f (x )在区间(－3,2)上是减函数C ．函数f (x )在区间(0,2)上是减函数D ．函数f (x )在区间(－3,2)上是单调函数[解析] 由图可知，当－3<x <0时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－3,0)上是减函数．故选A.[答案] A4．函数f (x )＝2ln x －ax (a >0)的单调递增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a D ．(－∞，a )[解析] 由f ′(x )＝2x －a >0，得0<x <2a .∴f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，2a .故选A. [答案] A5．(2018·江西临川一中期中)若函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)[解析] 由题意知x >0，f ′(x )＝1＋a x .要使函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则需方程1＋a x ＝0在x >0上有解，所以a <0.[答案] C6．(2017·湖北襄阳模拟)函数f (x )的定义域为R .f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)[解析] 由f (x )>2x ＋4，得f (x )－2x －4>0.设F (x )＝f (x )－2x －4，则F ′(x )＝f ′(x )－2.因为f ′(x )>2，所以F ′(x )>0在R 上恒成立，所以F (x )在R 上单调递增，而F (－1)＝f (－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f (x )－2x －4>0等价于F (x )>F (－1)，所以x >－1，选B.[答案] B二、填空题7．函数f (x )＝x 2－ax －3在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．[解析] f ′(x )＝2x －a ，∵f (x )在(1，＋∞)上是增函数，∴2x －a ≥0在(1，＋∞)上恒成立．即a ≤2x ，∴a ≤2.[答案] (－∞，2]8．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为________．[解析] 设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12，∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R 上单调递减．∵f (x 2)<x 22＋12，∴f (x 2)－x 22<f (1)－12， ∴F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减，∴x 2>1，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．[答案] (－∞，－1)∪(1，＋∞)9．已知函数f (x )＝ax －x 3，若对区间(0,1)上的任意x 1，x 2，且x 1<x 2，都有f (x 2)－f (x 1)>x 2－x 1成立，则实数a 的取值范围是________．[解析] 问题等价于函数g (x )＝f (x )－x 在区间(0,1)上为增函数，即g ′(x )＝a －1－3x 2≥0，即a ≥1＋3x 2在(0,1)上恒成立，即a ≥4，所以实数a 的取值范围是[4，＋∞)．[答案] [4，＋∞)三、解答题10．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．[解] (1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x ，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x 知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．综上，f (x )的单调增区间为(5，＋∞)，单调减区间为(0,5)．[能力提升]11．已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，f (1)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3的大小关系为( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5 B ．f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3 D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5>f (1) [解析] 由f (－x )＝(－x )sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，知f (x )是偶函数．f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，当0<x <π2时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，π2)上为增函数．又0<π5<1<π3<π2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5.故选A. [答案] A12．(2017·湖北华北师大附中模拟)若f (x )＝e x ＋a e －x 为偶函数，则f (x －1)<e 2＋1e 的解集为( )A ．(2，＋∞)B ．(0,2)C ．(－∞，2)D ．(－∞，0)∪(2，＋∞)[解析] 由f (x )＝e x ＋a e －x 为偶函数，得f (x )－f (－x )＝(1－a )(e x －e －x )＝0恒成立，所以a ＝1，即f (x )＝e x ＋e －x ，则f ′(x )＝e x －e －x .当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，即f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，且图象关于y 轴对称．由f (x－1)<e 2＋1e ＝f (1)得|x －1|<1，解得0<x <2，即f (x －1)<e 2＋1e 的解集为(0,2)，故选B.[答案] B13．(2017·福建福州质检)已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2＋(a －6)x 在(0,3)上不是单调函数，则实数a 的取值范围是________．[解析] f ′(x )＝a x ＋2x ＋a －6＝2x 2＋(a －6)x ＋a x(x >0)． 设g (x )＝2x 2＋(a －6)x ＋a (x >0)，因为函数f (x )在(0,3)上不是单调函数，等价于函数g (x )＝2x 2＋(a －6)x ＋a (x >0)在(0,3)上不会恒大于零或恒小于零．又g (0)＝a ，g (3)＝4a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ g (0)＝a >0，0<－a －64<3，Δ＝(a －6)2－8a >0，解得0<a <2，所以实数a 的取值范围为(0,2)．[答案] (0,2)14．(2017·山东卷)若函数e x f (x )(e ＝2.71828…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为________．①f (x )＝2－x ；②f (x )＝3－x ；③f (x )＝x 3；④f (x )＝x 2＋2.[解析] ①因为f (x )＝2－x 的定义域为R ，又e x f (x )＝e x ·2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x 在R 上单调递增，故f (x )＝2－x 具有M 性质．②因为f (x )＝3－x 的定义域为R ，又e x f (x )＝e x ·3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x 在R 上单调递减，故f (x )＝3－x 不具有M 性质．③因为f (x )＝x 3的定义域为R ，又e x f (x )＝e x ·x 3，构造函数g (x )＝e x ·x 3，则g ′(x )＝e x ·x 3＋e x ·3x 2＝x 2e x (x ＋3)，当x >－3时，g ′(x )>0，当x <－3时，g ′(x )<0，所以e x f (x )＝e x ·x 3在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，＋∞)上单调递增，故f (x )＝x 3不具有M 性质．④因为f (x )＝x 2＋2的定义域为R ，又e x f (x )＝e x (x 2＋2)，构造函数h (x )＝e x (x 2＋2)，则h ′(x )＝e x (x 2＋2)＋e x ·2x ＝e x [(x ＋1)2＋1]>0，所以e x f (x )＝e x (x 2＋2)在R 上单调递增，故f (x )＝x 2＋2具有M 性质．故填①④.[答案] ①④15．(2015·全国卷Ⅱ改编)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )在(2，＋∞)上为单调函数，求实数a 的取值范围．[解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a .若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；若a >0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减． ∴综上当a ≤0时f (x )在(0，＋∞)单调递增．当a >0时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞单调递减． (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，符合要求；当a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减，则2≥1a ，即a ≥12.∴实数a 的取值范围是(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 16．(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝(x －2)e x ＋a (x －1)2.讨论f (x )的单调性．[解] f ′(x )＝(x －1)e x ＋2a (x －1)＝(x －1)(e x ＋2a )．(ⅰ)设a ≥0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(ⅱ)设a <0，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )．①若a ＝－e 2，则f ′(x )＝(x －1)(e x －e)，所以f (x )在(－∞，＋∞)单调递增．②若a >－e 2，则ln(－2a )<1，故当x ∈(－∞，ln(－2a ))∪(1，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(ln(－2a )，1)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，ln(－2a ))，(1，＋∞)上单调递增，在(ln(－2a )，1)上单调递减．③若a <－e 2，则ln(－2a )>1，故当x ∈(－∞，1)∪(ln(－2a )，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，ln(－2a ))时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，1)，(ln(－2a )，＋∞)上单调递增，在(1，ln(－2a ))上单调递减．[延伸拓展]已知函数f (x )＝3x a －2x 2＋ln x (a >0)．若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，则a 的取值范围是________．[解析] f ′(x )＝3a －4x ＋1x ，若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，即f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≤0在[1,2]上恒成立即3a ≥4x －1x 或3a ≤4x －1x 在[1,2]上恒成立．令h (x )＝4x －1x ，则h (x )在[1,2]上单调递增，所以3a ≥h (2)或3a ≤h (1)，即3a ≥152或3a ≤3，又a >0，所以0<a ≤25或a ≥1.[答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，25∪[1，＋∞)。

课时跟踪检测（十五）导数与函数的极值、最值一抓基础，多练小题做到眼疾手快．函数()＝－在(，]上的最大值为．解析：′()＝－＝(>)，令′()>，得<<，令′()<，得>，∴()在(]上是增函数，在(，]上是减函数．∴当＝时，()在(，]上取得最大值()＝－.答案：－．函数()＝( ＋ )的值域为解析：∵∈，∴′()＝≥，∴()≤()≤，即≤()≤.答案：))．当函数＝·取极小值时，＝.解析：令′＝＋·＝，∴＝－).答案：－)．若函数()＝－＋有极值点，则实数的取值范围为．解析：若函数()＝－＋有极值点，则′()＝－＋＝有根，故Δ＝(－)－>，从而>或<－.故实数的取值范围为∪.答案：∪．已知函数()＝′() －，则()的极大值为．解析：因为′()＝－，令＝，得′()＝.所以()＝－，′()＝－.当<<，′()>；当>，′()<.从而()的极大值为()＝－.答案：－二保高考，全练题型做到高考达标．函数()＝－的最小值为．解析：′()＝－＝，且＞.令′()＞，得＞；令′()＜，得＜＜.∴()在＝处取得极小值也是最小值，且()＝－＝.答案：．若函数()＝－－在区间[]上的最大值和最小值分别为，，则－的值为．解析：′()＝－，令′()＝，得＝(＝－舍去)．∵()＝－，()＝－－，()＝－.∴＝－，＝－－.∴－＝.答案：．(·南京外国语学校)已知函数()＝＋＋的图象如图所示，则＋等于．解析：由图象可知()的图象过点()与()，，是函数()的极值点，因此＋＋＝＋＋＝，解得＝－，＝，所以()＝－＋，所以′()＝－＋，是方程′()＝－＋＝的两根，因此＋＝，＝，所以＋＝(＋)－＝－＝.答案：．函数()＝－＋(＞)的极大值为，极小值为，则()的单调递减区间是．解析：令′()＝－＝，得＝±，则()，′()随的变化情况如下表：((－()(－(－()(＋＝，,(()(－()＋＝，))解得(\\(＝，＝.))所以()的单调递减区间是(－)．答案：(－)．若函数()＝＋－在区间(，＋)上存在最小值，则实数的取值范围是．解析：由题意，′()＝＋＝(＋)，故()在(－∞，－)，(，＋∞)上是增函数，在(－)上是减函数，作出其图象如图所示，令＋－＝－得，＝或＝－，则结合图象可知，(\\(－≤＜，＋＞，))解得∈[－)．答案：[－)．函数()＝＋－－在[]上的最小值是．解析：′()＝＋－，令′()＝得＝(＝－舍去)，又()＝－，()＝－，()＝－，故()在[]上的最小值是()＝－.答案：－．(·苏州模拟)已知()＝＋＋＋在＝－时有极值，则－＝.。

课时作业(十五) [第15讲 用导数研究函数的最值及其应用][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．函数f (x )＝ln x －x 在区间(0，e]上的最大值为________．2．函数f (x )＝12x －x 3在区间[－3,3]上的最小值是________．3．已知a ≤1－x x ＋ln x 对于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2恒成立，则a 的最大值为________． 4．用长为18 m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的最大体积是________m 3.能力提升5．函数y ＝2x 3－2x 2在区间[－1,2]上的最大值是________．6．函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为________．7．[2012·泰安模拟] 已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为________万件．8．[2011·盐城模拟] 若函数f (x )＝x x 2＋a (a >0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a的值为________．9．[2012·盐城模拟] 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，x ∈[－2,2]表示过原点的曲线，且在x ＝±1处的切线的倾斜角均为34π，则以下命题：①f (x )的解析式为f (x )＝x 3－4x ，x ∈[－2,2]； ②f (x )的极值点有且只有一个；③f (x )的最大值与最小值之和等于零． 其中正确命题的序号为________．10．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是________．11．[2012·泰州调研] 若函数f (x )＝log a (x 3－ax )(a >0，a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0内单调递增，则a 的取值范围是________．12．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意的x ∈[－1,1]都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为________．13．(8分)求函数f (x )＝13x 3＋12x 2－2x ＋83在区间[－3,3]上的最大值与最小值．14．(8分)已知函数f(x)的导数f′(x)＝3x2－3ax，f(0)＝b，a，b为实数，1<a<2.(1)若f(x)在区间[－1,1]上的最小值、最大值分别为－2、1，求a、b的值；(2)在(1)的条件下，求经过点P(2,1)且与曲线f(x)相切的直线l的方程．15．(12分)[2011·苏北四县一模] 据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例系数为k(k>0)．现已知相距18 km的A，B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC＝x(km)．(1)试将y表示为x的函数；(2)若a＝1，且x＝6时，y取得最小值，试求b的值．16．(12分)[2011·北京海淀区一模] 已知函数f(x)＝x＋a ln x，其中a为常数，且a≤－1.若f(x)≤e－1对任意x∈[e，e2]恒成立，求实数a的取值范围．课时作业(十五)【基础热身】1．－1 [解析] f ′(x )＝1x －1＝1－xx，故f (x )在(0,1)上递增，在(1，e]上递减，所以最大值为f (1)＝－1.2．－16 [解析] 令f ′(x )＝12－3x 2＝0，得x ＝±2.∵f (2)＝16，f (－3)＝－9，f (－2)＝－16，f (3)＝9，∴f (x )min ＝f (－2)＝－16.3．0 [解析] 设f (x )＝1－x x ＋ln x ，则f ′(x )＝－x ＋x －1x 2＋1x ＝x －1x 2，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1时，f ′(x )<0，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1上单调递减；当x ∈(1,2]时，f ′(x )>0，故函数f (x )在(1,2]上单调递增，∴f (x )min ＝f (1)＝0，∴a ≤0，即a 的最大值为0.4．3 [解析] 设长方体的宽为x ，则长为2x ，高为h ＝18－12x 4＝4.5－3x ⎝⎛⎭⎪⎫0<x <32， 故长方体的体积为V (x )＝2x 2(4.5－3x )＝9x 2－6x 3⎝⎛⎭⎪⎫0<x <32. 从而V ′(x )＝18x －18x 2＝18x (1－x )． 令V ′(x )＝0，解得x ＝0(舍去)或x ＝1，当0＜x ＜1时，V ′(x )>0；当1＜x ＜32时，V ′(x )<0，故在x ＝1处V (x )取得极大值，并且这个极大值就是V (x )的最大值．从而最大体积V ＝V (1)＝9×12－6×13＝3(m 3)，此时长方体的长为2 m ，宽为1 m ，高为1.5 m.【能力提升】5．8 [解析] y ′＝6x 2－4x ，令y ′＝0，∴x ＝0或x ＝23.∵f (－1)＝－4，f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－827，f (2)＝8， ∴最大值为8.6.12[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧f ′x ＝x －1x >0，x >0，得x >1；由⎩⎪⎨⎪⎧f ′x ＝x －1x <0，x >0，得0<x <1.∴f (x )在x ＝1时取得最小值f (1)＝12－ln1＝12.7．9 [解析] 令y ′＝－x 2＋81>0，解得－9<x <9；令y ′＝－x 2＋81<0，解得x <－9或x >9，所以函数y ＝－13x 3＋81x －234在区间(0,9)上是增函数，在区间(9，＋∞)上是减函数，所以在x ＝9处取极大值，也是最大值．8.3－1 [解析] f ′(x )＝x 2＋a －2x 2x 2＋a 2＝a －x 2x 2＋a 2，当x >a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当－a <x <a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．当a >1，即a >1时，f (x )的最大值为f (a )＝a 2a ＝33，a ＝32<1，矛盾，当a ≤1，即0<a ≤1时，f (x )的最大值为f (1)＝11＋a＝33，a ＝3－1，经检验符合题意． 9．①③ [解析] ∵函数f (x )过原点，∴c ＝0.由题意得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，且f ′(1)＝－1，f ′(－1)＝－1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝－1，3－2a ＋b ＝－1， ∴a ＝0，b ＝－4.∴f (x )＝x 3－4x ，故①正确．f ′(x )＝3x 2－4，f (x )有两个极值点，故②错误． 又f (x )是奇函数，∴f (x )max ＋f (x )min ＝0. 故③正确．10．m ≥32 [解析] 因为函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，所以f ′(x )＝2x 3－6x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝3，经检验知x ＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f (3)＝3m －272，不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立，所以3m －272≥－9，解得m ≥32.11.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1 [解析] 当0<a <1时，函数g (x )＝x 3－ax 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0内单调递减且恒为正，有g ′(x )＝3x 2－a ≤0对∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0恒成立，且满足g (0)≥0，得a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1；当a >1时，由函数g (x )＝x 3－ax 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0内单调递增，得g ′(x )＝3x 2－a ≥0对∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0恒成立，有a ≤0，显然不符．综上，a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1. 12．4 [解析] 由函数f (x )＝ax 3－3x ＋1，得f ′(x )＝3ax 2－3.(1)若a ＝0，则f (x )＝－3x ＋1，显然x ∈[－1,1]时f (x )≥0不恒成立，所以a ≠0；(2)若a <0，f ′(x )＝3ax 2－3<0，所以此时f (x )在[－1,1]上单调递减，所以x ∈[－1,1]时，f (x )min ＝f (1)＝a －2，从而只需a －2≥0，所以a ≥2，与前提a <0矛盾；(3)若0<a ≤1，同理，也不符合要求；(4)若a >1，令f ′(x )＝3ax 2－3＝0，得x ＝±1a∈[－1,1]，x －1⎝⎛⎭⎪⎫－1，－1a －1af ′(x ) ＋0 f (x ) f (－1)极大值x ⎝⎛⎭⎪⎫－1a，1a 1a ⎝⎛⎭⎪⎫1a，11 f ′(x ) －0 ＋f (x )极小值f (1)所以只需⎩⎪⎨⎪⎧f －1≥0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ≥0即可，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋3＋1≥0，a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3－31a ＋1≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≤4，a ≥4⇒a ＝4.13．[解答] ∵f (x )＝13x 3＋12x 2－2x ＋83，∴f ′(x )＝x 2＋x －2.令f ′(x )＝0得x ＝－2或x ＝1.则x ，f ′(x )，f (x )的变化情况如下： x －3 (－3，－2) －2 (－2,1) 1 (1,3) 3 f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋f (x ) 256 ↗ 6 ↘ 32 ↗ 616由上表知，在区间[－3,3]上，当x ＝3时，f (x )max ＝616，当x ＝1时，f (x )min ＝32.14．[解答] (1)由已知得，f (x )＝x 3－32ax 2＋b ，由f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝a . ∵x ∈[－1,1]，1<a <2，∴当x ∈[－1,0)时，f ′(x )>0，f (x )递增； 当x ∈(0,1]时，f ′(x )<0，f (x )递减．∴f (x )在区间[－1,1]上的最大值为f (0)＝b ，∴b ＝1.又f (1)＝1－32a ＋1＝2－32a ，f (－1)＝－1－32a ＋1＝－32a ，∴f (－1)<f (1)．由题意得f (－1)＝－2，即－32a ＝－2，得a ＝43.故a ＝43，b ＝1为所求．(2)由(1)得f (x )＝x 3－2x 2＋1，f ′(x )＝3x 2－4x ，点P (2,1)在曲线f (x )上． ①当切点为P (2,1)时，切线l 的斜率k ＝f ′(2)＝4， ∴l 的方程为y －1＝4(x －2)，即4x －y －7＝0.②当点P 不是切点时，设切点为Q (x 0，y 0)(x 0≠2)，切线l 的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－4x 0，∴l 的方程为y －y 0＝(3x 20－4x 0)(x －x 0)．又点P (2,1)在l 上，∴1－y 0＝(3x 20－4x 0)(2－x 0)，∴1－(x 30－2x 20＋1)＝(3x 20－4x 0)(2－x 0)， ∴x 20(2－x 0)＝(3x 20－4x 0)(2－x 0)， ∴x 20＝3x 20－4x 0，即2x 0(x 0－2)＝0，∴x 0＝0. ∴切线l 的方程为y ＝1.故所求切线l 的方程为4x －y －7＝0或y ＝1. 15．[解答] (1)设点C 受A 污染源污染程度为kax2，点C 受B 污染源污染程度为kb18－x2，其中k 为比例系数，且k >0.从而点C 处的污染指数y ＝ka x2＋kb18－x2.(2)因为a ＝1，所以y ＝k x2＋kb18－x2，y ′＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2x3＋2b 18－x 3，令y ′＝0，得x ＝181＋3b，经检验x ＝181＋3b 时，y 取得最小值，故181＋3b＝6，解得b ＝8，经验证符合题意．所以，污染源B 的污染强度b 的值为8.16．[解答] f ′(x )＝1＋a x ，令f ′(x )＝0，得1＋a x＝0，即x ＝－a .当x ∈(0，－a )时，f ′(x )<0，函数f (x )在(0，－a )上单调递减；当x ∈(－a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－a ，＋∞)上单调递增．(1)若1≤－a ≤e，即－e≤a ≤－1，易得函数f (x )在[e ，e 2]上为增函数，此时，f (x )max ＝f (e 2)，要使f (x )≤e－1对x ∈[e ，e 2]恒成立，只需f (e 2)≤e－1即可，所以有e 2＋2a ≤e－1，即a ≤－e 2＋e －12，而－e 2＋e －12－(－e)＝－e 2－3e ＋12<0，即－e 2＋e －12<－e ，所以此时无解．(2)若e<－a <e 2，即－e>a >－e 2，易知函数f (x )在[e ，－a ]上为减函数，在[－a ，e 2]上为增函数，要使f (x )≤e －1对x ∈[e ，e 2]恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧f e ≤e－1，f e 2≤e－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a ≤－e 2＋e －12，由－e 2＋e －12－(－1)＝－e 2＋e ＋12<0和－e 2＋e －12－(－e 2)＝e 2＋e －12>0，得－e 2<a ≤－e 2＋e －12.(3)若－a ≥e 2，即a ≤－e 2，易得函数f (x )在[e ，e 2]上为减函数，此时，f (x )max ＝f (e)，要使f (x )≤e－1对x ∈[e ，e 2]恒成立，只需f (e)≤e－1即可，所以有e ＋a ≤e－1，即a ≤－1，又因为a ≤－e 2，所以a ≤－e 2.综上所述，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－e 2＋e －12.。