【创新设计】2016届高考数学一轮复习 3-4 定积分与微积分基本定理课时作业 理 北师大版

第15讲 定积分与微积分基本定理1．定积分的概念在⎠⎛ab f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．2．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ；(3)⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b )．3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式． 其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )⎪⎪⎪b a ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )⎪⎪⎪ba ＝F (b )－F (a )． [做一做]1．(2014·高考陕西卷)定积分∫10(2x ＋e x)d x 的值为( ) A ．e ＋2 B ．e ＋1 C ．e D ．e －1解析：选C.∫10(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )|10＝e ，故选C.2．若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．解析：∵⎠⎛0T x 2d x ＝13T 3＝9，T >0.∴T ＝3.答案：31．辨明三个易误点(1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是积分变量．(2)定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．(3)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．2．能正确应用求定积分的两种基本方法求简单的定积分 (1)利用微积分基本定理求定积分，其步骤如下： ①求被积函数f(x)的一个原函数F(x)； ②计算F(b)－F(a)．(2)利用定积分的几何意义求定积分：当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分．如：定积分⎠⎛011－x 2d x 的几何意义是求单位圆面积的14，所以⎠⎛011－x 2d x ＝π4.,[学生用书P 49～P 50])考点一__定积分的计算________________________利用微积分基本定理求下列定积分： (1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋1)d x ；(2)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ； (3)⎠⎛02|1－x |d x .[解] (1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋1)d x＝⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛122x d x ＋⎠⎛121d x＝x 33⎪⎪⎪21＋x 2⎪⎪⎪21＋x ⎪⎪⎪21＝193. (2)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x＝⎠⎛0πsin x d x －⎠⎛0πcos x d x＝(－cos x )⎪⎪⎪π0－sin x ⎪⎪⎪π＝2.(3)⎠⎛02|1－x |d x ＝⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x＝⎝⎛⎭⎫x －12x 2|10＋⎝⎛⎭⎫12x 2－x |21＝⎝⎛⎭⎫1－12－0＋⎝⎛⎭⎫12×22－2－⎝⎛⎭⎫12×12－1＝1. [规律方法] 计算一些简单定积分的解题步骤：①把被积函数变形为常数与幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等函数之积的和或差；②把定积分用定积分的性质变形为求被积函数为上述函数的定积分； ③分别用求导公式(逆向思维)找到一个相应的原函数； ④利用牛顿-莱布尼茨公式求出各个定积分的值；⑤计算原始定积分的值．分段函数的定积分要分段积分，特别注意定积分的计算不是定积分的几何意义，其所求的值可正可负．1.计算下列定积分：(1)⎠⎛－13(3x 2－2x ＋1)d x ；(2)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －1x d x ； (3)⎠⎛02e x2d x .解：(1)⎠⎛－13(3x 2－2x ＋1)d x＝(x 3－x 2＋x )⎪⎪⎪3－1＝24.(2)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －1x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－ln x |21＝32－ln 2. (3)⎠⎛02e x2d x ＝2e x2|20＝2e －2.考点二__利用定积分计算平面图形的面积(高频考点)____利用定积分计算平面图形的面积是近几年高考考查定积分的一个重要考向；主要以选择题、填空题的形式出现，一般难度较小．高考对定积分求平面图形的面积的考查有以下两个命题角度： (1)根据条件求平面图形面积； (2)利用平面图形的面积求参数． (1)(2014·高考山东卷)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．22B ．4 2C ．2D ．4(2)设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________． [解析] (1)令4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝±2，∴S ＝⎠⎛02(4x －x 3)＝⎝⎛⎭⎫2x 2－x 44|20＝8－4＝4.故选D. (2)由题意知⎠⎛0a x d x ＝a 2.又⎝⎛⎭⎫23x 32′＝x ，则23x 32⎪⎪⎪a0＝a 2.即23a 32＝a 2，所以a ＝49. [答案] (1)D (2)49[规律方法] 用定积分求平面图形面积的四个步骤：(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； (3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； (4)计算定积分，写出答案．2.(1)⎠⎛011－（x －1）2d x ＝________．(2)由抛物线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2及x 轴围成的图形面积为________．解析：(1)根据定积分的几何意义，可知⎠⎛011－（x －1）2d x 表示的是圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的14(如图中阴影部分)．故⎠⎛011－（x －1）2d x ＝π4.(2)如图所示，由y ＝x 2－1＝0，得抛物线与x 轴的交点分别为(－1，0)和(1，0)． 所以S ＝⎠⎛02|x 2－1|d x＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎝⎛⎭⎫x －x 33⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫x 33－x ⎪⎪⎪21＝⎝⎛⎭⎫1－13＋⎣⎡⎦⎤83－2－⎝⎛⎭⎫13－1＝2.答案：(1)π4(2)2考点三__定积分在物理中的应用____________(2013·高考湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2[解析] 由v (t )＝7－3t ＋251＋t＝0，可得t ＝4⎝⎛⎭⎫t ＝－83舍去，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s ，此期间行驶的距离为⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎡⎦⎤7t －32t 2＋25ln （t ＋1）⎪⎪⎪40＝4＋25ln 5.[答案] C[规律方法] 定积分在物理中的两个应用：(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛abv (t )d t . (2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .3.(2015·浙江杭州模拟)设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x＝10，已知F (x )＝x 2＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________J(x 的单位：m ；力的单位：N)．解析：变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10所做的功为W ＝⎠⎛110F (x )d x ＝⎠⎛110(x 2＋1)d x＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋x |101＝342(J)． 答案：342,[学生用书P 50])交汇创新——定积分与概率的交汇(2014·高考福建卷)如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．[解析] 由题意知，所给图中两阴影部分面积相等，故阴影部分面积为S ＝2⎠⎛01(e －e x )d x＝2(e x －e x )|10＝2[e －e －(0－1)]＝2.又该正方形面积为e 2，故由几何概型的概率公式可得所求概率为2e 2.[答案]2e 2[名师点评] (1)本题利用求函数的定积分，转化为求几何概型的概率问题，是新增考点定积分与常规考点交汇命题的一种趋势．(2)利用定积分的几何意义，考查几何概型也是近几年很多省份的考查热点． 1.(2015·衡水中学第二学期调研)在平面直角坐标系中，记抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围成的平面区域为M ，该抛物线与直线y ＝kx (k >0)所围成的平面区域为A ，向区域M 内随机抛掷一点P ，若点P 落在区域A 内的概率为827，则k 的值为( )A.13B.23C.12D.34解析：选A.∵M 的面积为⎠⎛01(x －x 2)d x ＝(12x 2－13x 3)⎪⎪⎪10＝16，A 的面积为⎠⎛01－k (x －x 2－kx )d x ＝(12x 2－13x 3－k 2x 2)⎪⎪⎪1－k0＝16(1－k )3，∴16（1－k ）316＝827，∴k ＝13，故选A. 2．若m >1，则f (m )＝⎠⎛1m ⎝⎛⎭⎫1－4x 2d x 的最小值为________． 解析：f (m )＝⎠⎛1m ⎝⎛⎭⎫1－4x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋4x ⎪⎪⎪m1＝m ＋4m －5≥4－5＝－1，当且仅当m ＝2时等号成立．答案：－11．设f(x)是一条连续的曲线，且为偶函数，在对称区间[－a ，a]上的定积分为⎠⎛－aa f(x)d x ，由定积分的几何意义和性质，得⎠⎛－aa f(x)d x 可表示为( )A ．－⎠⎛－aa f (x )d xB ．2⎠⎛－a0f (x )d xC.12⎠⎛0a f (x )d x D.⎠⎛－a0f (x )d x解析：选B.偶函数的图象关于y 轴对称，故⎠⎛－aa f (x )d x 对应的几何区域关于y 轴对称，因而其可表示为2⎠⎛－a0f (x )d x ，应选B.2．(2014·高考江西卷)若f (x )＝x 2＋2∫10f (x )d x ，则 ∫10f (x )d x ＝( ) A ．－1B ．－13C.13D ．1解析：选B.∵f (x )＝x 2＋2∫10f (x )d x ，∴∫10f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋2x ∫10f （x ）d x |10＝13＋2∫10f (x )d x ， ∴∫10f (x )d x ＝－13. 3．(2015·安徽合肥模拟)由曲线f (x )＝x 与y 轴及直线y ＝m (m >0)围成的图形的面积为83，则m 的值为( )A ．2B ．3C ．1D ．8解析：选A.S ＝∫m 20(m －x )d x ＝⎝⎛⎭⎫mx －23x 32⎪⎪⎪m 20＝m 3－23m 3＝83，解得m ＝2.4．(2015·大庆市高三年级第二次教学质量检测)一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度v (t )＝5－t ＋551＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)紧急刹车至停止．在此期间火车继续行驶的距离是( )A ．(55 ln 10) mB ．(55 ln 11) mC ．(12＋55ln 7)mD ．(12＋55ln 6)m解析：选B.令5－t ＋551＋t＝0，注意到t >0，得t ＝10，即经过的时间为10 s ；行驶的距离s ＝⎠⎛010(5－t ＋551＋t )d t ＝[5t －12t 2＋55ln(t ＋1)]⎪⎪⎪100＝55ln 11，即紧急刹车后火车运行的路程为(55ln11) m.5．(2015·山西省第二次四校联考)定积分⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选 D.|x 2－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x （－2≤x <0）－x 2＋2x （0≤x ≤2），⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛－20(x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(－x 2＋2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪0－2＋⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x 2⎪⎪⎪2＝8. 6．(2015·辽宁省五校协作体高三上学期联考) ∫π22sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ＝________．解析：依题意得∫π22sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ＝(sin x －cos x )⎪⎪⎪π20＝⎝⎛⎭⎫sin π2－cos π2－(sin 0－cos 0)＝2.答案：27．(2015·吉林模拟)设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．解析：⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋cx ⎪⎪⎪10＝13a ＋c ＝f (x 0)＝ax 20＋c ， ∴x 20＝13，x 0＝±33.又∵0≤x 0≤1，∴x 0＝33.答案：338．(2015·石家庄市高中毕业班第一次模拟)⎠⎛01(1－x 2＋12x )d x ＝________．解析：⎠⎛01(1－x 2＋12x )d x ＝⎠⎛011－x 2d x ＋⎠⎛0112x d x ，⎠⎛0112x d x ＝14，⎠⎛011－x 2d x 表示四分之一单位圆的面积，为π4，所以结果是π＋14.答案：π＋149．求下列定积分．(1)⎠⎛12(x －x 2＋1x )d x ；(2)⎠⎛－π0(cos x ＋e x )d x .解：(1)⎠⎛12(x －x 2＋1x )d x ＝⎠⎛12x d x －⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛121x d x＝x22|21－x 33|21＋ln x |21＝32－73＋ln 2＝ln 2－56. (2)⎠⎛－π0(cos x ＋e x )d x ＝⎠⎛－π0cos x d x ＋⎠⎛－π0e x d x＝sin x |0－π＋e x |0－π＝1－1eπ.10．已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0， ⎠⎛01f (x )d x ＝－2. (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值． 解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b .由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝2，b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－a ，b ＝0， ∴f (x )＝ax 2＋2－a .又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋2－a )d x＝⎣⎡⎦⎤13ax 3＋（2－a ）x |10 ＝2－23a ＝－2.∴a ＝6，从而f (x )＝6x 2－4.(2)∵f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1，1]． ∴当x ＝0时，f (x )min ＝－4； 当x ＝±1时，f (x )max ＝2.。

§3.4 定积分与微积分基本定理考纲展示1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．2.了解微积分基本定理的含义． 考点1 定积分的计算 第1步 回顾基础 一、自读自填 1.定积分的定义一般地，如果函数f (x )在区间『a ，b 』上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间『a ，b 』等分成n 个小区间，在每个小区间『x i －1，x i 』上任取一点ξi (i ＝1，2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －an f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个________，这个________叫做函数f (x )在区间『a ，b 』上的定积分，记作⎠⎛ab f (x )d x .2．定积分的相关概念在⎠⎛ab f (x )d x 中，________与________分别叫做积分下限与积分上限，区间________叫做积分区间，函数________叫做被积函数，________叫做积分变量，________叫做被积式． 3．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝________(k 为常数)；(2)⎠⎛ab 『f 1(x )±f 2(x )』d x ＝____________； (3)________＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b )．4．定积分的几何意义 如图：设阴影部分面积为S . (1)S ＝⎠⎛ab f (x )d x ；(2)S ＝________； (3)S ＝____________；(4)S ＝⎠⎛a b f (x )d x －⎠⎛a b g (x )d x ＝⎠⎛ab 『f (x )－g (x )』d x .5．微积分基本定理如果F ′(x )＝f (x )，且f (x )在『a ，b 』上可积，则⎠⎛ab f (x )d x ＝________.其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．可以把F (b )－F (a )记为F (x ) b a ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x ) b a ＝________.二、通性通法奇函数、偶函数的定积分．(1)如果f (x )是『－a ，a 』上的连续的偶函数，则⎠⎛-a a f (x )d x ＝________.(2)如果f (x )是『－a ，a 』上的连续的奇函数，则⎠⎛-aa f (x )d x ＝________. 第2步 师生共研 典题1 求下列定积分： (1)⎠⎛01(－x 2＋2x )d x ；(2)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ； (3)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ； (4)⎠⎜⎛0π21－sin 2x d x .题点发散1 若将本例(1)中的“－x 2＋2x ”换为“|2x －1|”，如何求解？题点发散2 若将本例(1)中的“－x 2＋2x ”改为“－x 2＋2x ”，如何求解？点石成金1.运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： (1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和； (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分； (4)注意用“F ′(x )＝f (x )”检验积分的对错．2．根据定积分的几何意义可利用面积求定积分． 第3步 跟踪训练1.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈[1，2]，则⎠⎛02f (x )d x ＝( )A.34 B.45 C.56D.不存在2．定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为________．3．若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则⎠⎛02f (x )d x ＝________.考点2 运用定积分求平面图形的面积 第1步 师生共研典题2 (1)已知曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积为S ，则S ＝________.(2)已知曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k ＞0)所围成的曲边图形的面积为43，则k ＝________.点石成金1.利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤： (1)画出图形； (2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．2．求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正. 第2步 跟踪训练1.由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面图形的面积是( )A ．1B ．π4C.223D ．22－22．如图，由两条曲线y ＝－x 2，y ＝－14x 2及直线y ＝－1所围成的平面图形的面积为________．考点3 定积分在物理中的应用 第1步 师生共研典题3 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( ) A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2点石成金 定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .第2步 跟踪训练一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x ＞2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________焦． 第3步 课堂归纳 方法技巧 1.求定积分的方法(1)利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强．(2)利用微积分基本定理求定积分步骤如下：①求被积函数f (x )的一个原函数F (x )；②计算F (b )－F (a )．(3)利用定积分的几何意义求定积分． 2．求曲边多边形面积的步骤(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形． (2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限． (3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和．(4)计算定积分．易错防范1.被积函数若含有绝对值号，应先去绝对值号，再分段积分．2．若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量．3．定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．4．定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．5．将要求面积的图形进行科学而准确的划分，可使面积的求解变得简捷．真题演练集训1．定积分1(2x＋e x)d x的值为()⎠⎛A．e＋2B．e＋1C．e D．e－12．直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A．22B．42C．2D．43．曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________．4．2(x－1)d x＝________.⎠⎛5．如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．——★参考答案★——考点1定积分的计算第1步回顾基础一、自读自填1.『答案』常数常数2．『答案』a b『a，b』f(x)x f(x)d x3．『答案』(1)k ⎠⎛a b f (x )d x (2)⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛a b f 2(x )d x (3)⎠⎛ab f (x )d x4．『答案』(2)－⎠⎛a b f (x )d x (3)⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d x5．『答案』F (b )－F (a ) F (b )－F (a ) 二、通性通法『答案』(1)2⎠⎛0a f (x )d x (2)0第2步 师生共研典题1 解：(1)⎠⎛01(－x 2＋2x )d x ＝⎠⎛01(－x 2)d x ＋⎠⎛012x d x ＝－13x 310＋x 210＝－13＋1＝23. (2)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x＝⎠⎛0πsin x d x －⎠⎛0πcos x d x＝(－cos x ) π0－sin x π0＝2. (3)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ＝⎠⎛12e 2x d x ＋⎠⎛121xd x ＝12e 2x 21＋ln x 21＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1 ＝12e 4－12e 2＋ln 2. (4) ⎠⎜⎛0π21－sin 2x d x ＝⎠⎜⎛0π4|sin x －cos x |d x ＝⎠⎜⎛0π4(cos x －sin x )d x ＋⎠⎜⎜⎛π4π2(sin x －cos x )d x ＝(sin x ＋cos x ) ⎪⎪⎪⎪π40＋(－cos x －sin x )⎪⎪⎪π2π4＝2－1＋(－1＋2)＝22－2.题点发散1 解：⎠⎛01|2x －1|d x ＝⎠⎜⎛012 (1－2x )d x ＋⎠⎜⎛121(2x －1)d x ＝(x －x 2) ⎪⎪⎪⎪ 120＋(x 2－x ) ⎪⎪⎪⎪112＝14＋14＝12. 题点发散2 解：⎠⎛01－x 2＋2x d x 表示y ＝－x 2＋2x 与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形的面积．由y ＝－x 2＋2x ，得(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，故⎠⎛01－x 2＋2x d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的14，即⎠⎛01－x 2＋2x d x ＝π4.第3步 跟踪训练 1. 『答案』C 『解析』如图，⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x ＝13x 3⎪⎪⎪ 10＋⎝⎛⎭⎫2x －12x 2⎪⎪⎪21＝13＋⎝⎛⎭⎫4－2－2＋12＝56. 2．『答案』9π4『解析』由定积分的几何意义知，⎠⎛039－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积．故⎠⎛039－x 2d x ＝π·324＝9π4. 3．『答案』－4『解析』因为f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(1)．所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)，解得f ′(1)＝－3.所以f (x )＝x 3－3x 2. 故⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛2(x 3－3x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 44－x 320＝－4.考点2 运用定积分求平面图形的面积 第1步 师生共研 典题2 (1) 『答案』136『解析』 由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x 得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2－x ＋13x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23x 32 ＋16x 210＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 231 ＝23＋16＋43＝136. (2)『答案』 2『解析』 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝kx ， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2， 则曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边梯形的面积为⎠⎛0k (kx －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫k 2x 2－13x 3⎪⎪⎪k＝k 32－13k 3＝43，即k 3＝8，∴k ＝2. 第2步 跟踪训练 1.『答案』D『解析』由sin x ＝cos x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，解得x ＝π4，故图中阴影部分的面积 S ＝⎠⎜⎛0π4(cos x －sin x )d x ＋⎠⎜⎜⎛π4π2 (sin x －cos x )d x＝(sin x ＋cos x ) ⎪⎪⎪⎪π40＋(－cos x －sin x )⎪⎪⎪π2π4＝sin π4＋cos π4－cos 0＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－cos π2－sin π2－⎝⎛⎭⎫－cos π4－sin π4 ＝22－2.(本题也可利用图形的对称性求解)2．『答案』43『解析』由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，y ＝－1， 得交点A (－1，－1)，B (1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x 2，y ＝－1得交点C (－2，－1)，D (2，－1)． ∴面积S ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎠⎛01⎝⎛⎭⎫－14x 2＋x 2d x ＋⎠⎛12⎝⎛⎭⎫－14x 2＋1d x ＝2⎣⎡⎦⎤x 3410＋⎝⎛⎭⎫x －x 31221＝43. 考点3 定积分在物理中的应用 第1步 师生共研 典题3 『答案』 C『解析』 令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎫7－3t ＋251＋t d t＝⎣⎡⎦⎤7t －32t 2＋25ln(1＋t )40＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m)． 第2步 跟踪训练 『答案』36『解析』由题意知，力F (x )所做的功为 W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x＝5×2＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x 42＝10＋⎣⎡⎦⎤32×42＋4×4－⎝⎛⎭⎫32×22＋4×2＝36(焦)． 真题演练集训 1．『答案』C『解析』⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x ) 10＝(1＋e)－(0＋e 0)＝e ，故选C.2．『答案』D『解析』由4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 420＝4.3．『答案』16『解析』如图，阴影部分的面积即为所求．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x ，得A (1,1)． 故所求面积为S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－13x 3|10＝16. 4．『答案』0『解析』⎠⎛02(x －1)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－x 20＝(2－2)－0＝0.5．『答案』1.2『解析』建立如图所示的平面直角坐标系．由抛物线过点(0，－2)，(－5,0)，(5,0)，得抛物线的函数表达式为y ＝225x 2－2，抛物线与x 轴围成的面积S 1＝⎠⎛5－5⎝⎛⎭⎫2－225x 2d x ＝403，梯形面积S 2＝(6＋10)×22＝16. 最大流量比为S 2∶S 1＝1.2.。