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1 傅立叶定律傅立叶定律是导热理论的基础。
其向量表达式为:q gradT λ=-⋅ (2-1)式中:q —热流密度，是向量，2/()Kcal m h ；gradT —温度梯度，是向量，℃/m ；λ—导热系数，又称热导率，/()Kcal mh C o ； 式中的负号表示q 的方向始终与gradT 相反。
2 导热系数（thermal conductivity ）及其影响因素导热系数λ（/()Kcal mh C o）是一个比例常数，在数值上等于每小时每平方米面积上，当物体内温度梯度为1℃/m 时的导热量。
导热系数是指在稳定传热条件下，1m 厚的材料，两侧表面的温差为1度（K ，°C ）,在1秒内，通过1平方米面积传递的热量，用λ表示，单位为瓦/米·度，w/m·k （W/m·K,此处的K 可用℃代替）。
导热系数为温度梯度1℃/m ，单位时间通过每平方米等温面的热传导热流量。
单位是：W/(m·K)。
3．热传导微分方程推导 ♥ 在t 时刻w 界面的温度梯度为xT∂∂在t 时刻e 界面的温度梯度为dx x T x T dx x x Tx T 22∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂ 单位时间内六面体在x 方向流入的热流量为：dydz xT∂∂-λ； 单位时间内六面体在x 方向流出的热流量为：dydz dx x T x T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂-22λ；单位时间内六面体在x 方向流入的净热量为：dxdydz xT22∂∂λ 图3-1 微分单元体各面上进出流量示意图同理，单位时间内六面体在y 方向流入的净热量为：dxdydz yT22∂∂λ； 单位时间内六面体在y 方向流入的净热量为：dxdydz z T 22∂∂λ； 单位时间内流入六面体的总热量为：dxdydz z T y T xT ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂222222λ (3-1) 六面体内介质的质量为:dxdydz ρ。
流动与传热的数值计算流动与传热是物理学中两个重要的概念，它们在我们日常生活中起着重要的作用。
流动是指物质在空间中的移动过程，而传热是指热能从高温区域向低温区域传递的过程。
让我们来了解一下流动。
流动是一种常见的现象，它存在于我们生活的方方面面。
例如，当我们打开水龙头时，水就会从水源处流向下游。
这个过程中，水的分子不断地向前移动，形成了水的流动。
流动的速度可以用流速来表示，通常以米每秒（m/s）为单位。
流速的大小受到多种因素的影响，包括物质的性质、管道的直径和形状等。
在工程领域中，流动的研究对于设计和优化流体系统非常重要。
除了流动，传热也是一个重要的概念。
传热是热能从高温物体传递到低温物体的过程。
这个过程中，热能通过传导、对流和辐射三种方式进行传递。
传导是指热能通过物质的直接接触传递，例如当我们将一根金属棒的一端放在火上，另一端很快就会变热。
对流是指热能通过流体的运动传递，例如当我们在锅中煮水时，水底部受热后会上升，形成对流现象。
辐射是指热能通过电磁波的辐射传递，例如太阳的热能通过辐射传递到地球上。
在实际应用中，流动与传热经常同时发生。
例如，当我们使用空调时，空气通过空调设备进行流动，并且热能也通过传热的方式从室内传递到室外。
这个过程中，空气的流速和传热的效率对于空调的制冷效果起着重要的影响。
为了更好地理解流动与传热的数值计算，我们需要借助数学模型和计算方法。
例如，在流动中，我们可以使用流体力学方程来描述流体的运动规律，并通过数值方法来求解这些方程。
这些数值计算可以帮助我们预测流速、压力分布等参数，从而优化流体系统的设计。
在传热中，我们可以使用热传导方程来描述热能的传递规律，并通过数值方法来求解这些方程。
这些数值计算可以帮助我们预测温度分布、热传导速率等参数，从而优化热传递设备的设计。
除了数值计算，实验方法也是研究流动与传热的重要手段之一。
通过实验，我们可以直接观察流动和传热现象，获取实际数据，并验证数值计算的准确性。
LBM相变传热与流体流动数值分析LBM（Lattice Boltzmann Method，格子玻尔兹曼方法）是一种基于分子动力学理论的数值传热与流体流动分析方法。
它以离散网格模型来模拟流体的运动，并通过碰撞模型和分布函数演化来描述流体的宏观行为。
LBM方法具有数值计算速度快、易于并行计算和处理复杂边界条件等优点，因此在传热与流体流动领域得到了广泛应用。
LBM方法基于Boltzmann方程，该方程描述了流体微观粒子的状态演化和宏观流动行为。
在LBM中，流体的微观粒子状态由分布函数表示，该函数描述了在离散网格上各个速度方向上微观粒子的密度分布。
通过对分布函数的演化，可以模拟流体的宏观行为，如密度、速度和压力等。
LBM方法中的碰撞模型用来描述流体粒子之间的碰撞和能量交换，以达到宏观状态的平衡。
常用的碰撞模型有BGK（Bhatnagar-Gross-Krook）和MRT（Multi-Relaxation-Time）等。
在碰撞模型中，需要引入弛豫时间来控制粒子流动的弛豫过程，从而使流体在离散时间步长内逐渐收敛到平衡态。
LBM方法还需要考虑边界条件对流体流动的影响。
常用的边界条件有指定速度、指定压力和非滑移条件等。
对于不同的边界条件，需要采用相应的处理方法来模拟边界处的流体行为。
在LBM方法中，流体流动与热传递可以同时进行模拟。
对于热传递，可以通过引入温度场和能量守恒方程来描述。
通过调整碰撞模型和演化模型，可以模拟流体的温度变化和热传递过程。
LBM方法在传热与流体流动领域的应用十分广泛。
例如，可以用LBM方法来模拟微观流体的输运行为、多相流体的界面行为、流动中的热传递过程等。
同时，LBM方法还可以结合其他传热与流体流动分析方法，如有限元方法和有限差分方法等，来解决复杂的传热与流体流动问题。
总之，LBM方法是一种基于分子动力学理论的数值传热与流体流动分析方法。
它通过引入碰撞模型和分布函数演化来描述流体的宏观行为，具有计算速度快、易于处理复杂边界条件等优点，因此被广泛应用于传热与流体流动领域。
传热与流体流动的数值计算在我们生活的这个五光十色的世界里，传热与流体流动的数值计算就像是一块神秘的拼图，拼出的是科学与生活的千丝万缕。
想象一下，炎热的夏天，你坐在空调下，轻松惬意。
这个看似简单的享受，其实背后可有一番复杂的道道。
传热，就像给热量“搬家”，热量从一个地方跑到另一个地方，就像小孩子追着冰淇淋车跑，恨不得把凉爽带回来。
流体流动更是一场表演，水、空气，甚至油，都是这个舞台上的主角。
它们在管道里、河流中、甚至在我们的身体里，尽情舞动。
说到数值计算，嘿，这可不是那么简单的事儿。
要把这些复杂的现象用数字表达出来，真得费不少脑筋。
就好比你在做一道数学题，题目看似简单，但越往下看，越觉得麻烦。
这就是科学家们的挑战。
他们得用电脑程序来模拟这些过程，就像是在玩一个巨大的沙盘游戏。
数字在屏幕上跳来跳去，变幻莫测，仿佛在告诉你，嘿，快来看看我在这里干嘛呢！而这些数字背后，隐藏的其实是自然规律，流体如何流动，热量如何传递，全在这其中。
传热的方式多种多样，有传导、对流和辐射。
传导嘛，简单说就是“手握手”，热量通过接触传递，就像你把手放在热水里，立刻感到温暖。
对流就更有趣了，想象一下，当水在锅里加热时，底部的水分子先热起来，像是兴奋的小朋友，争先恐后地往上跑，形成了一个循环。
而辐射呢，哦，这就像阳光照射过来，你不需要和太阳“握手”，它的热量就能到达你身边。
这些传热的方式，就像是大自然给我们上了一堂生动的课，让我们感受到热量是如何在不同的环境中游走的。
再说流体流动，这就像是江河奔腾、海洋翻滚。
想象一下，河水顺着坡度流下，水面上的小船随着波浪摇摆，那真是一幅美丽的画面。
流体流动不仅仅是在河里，在我们的生活中，空气在我们的周围流动，呼吸之间都蕴藏着流体力学的秘密。
还有那些在管道里流动的液体，数值计算就像是在为这些流动的液体打个分数，看看谁更快、谁更稳，简直就是流动的奥运会。
数值计算也不是万能的，有时候它们就像一把双刃剑，能帮助我们，但也可能让我们迷失方向。
热传递与流体力学中的数值计算一、简介热传递和流体力学是两个紧密相关的领域，都涉及物质的运动和转换，成为热力学体系中不可或缺的一部分。
数值计算则是解决热传递和流体力学问题的重要方法。
今天我们将从数值计算的角度出发，探讨热传递和流体力学的数值计算方法，分析其应用和局限性。
二、热传递中的数值计算热传递包括传导、对流和辐射，其中最为重要的是传导。
传导热量-流量的表达式是 Fourier 定律，它指出了热流的大小和热梯度的相关性。
传导热量的数值计算方法包括：1. 显式方法显式法是一种直接求解离散方程形式的传统计算方法，它的计算精度较低，但现在已经逐渐淘汰。
例如，TFLUIDS 软件提供了一种标准的显式方法，用于传导问题的数值计算。
2. 隐式方法隐式法是一种求解离散方程变量的计算方法，它的计算精度较高，但需要更多的计算量。
在隐式方法中，计算可以逐步迭代，直到满足预设的精确性要求。
为了获得高精度的计算结果，通常使用数值计算软件，例如 CFD 和 ANSYS。
3. 软件仿真软件仿真是一种基于多物理场和多机构模型的高级计算方法。
它是一种计算大型和复杂热传递问题的高精度方法，可以处理各种传导模型，包括两相流、相变和复杂结构材料。
此类方法已经被广泛应用于汽车、航空航天、能源和建筑等领域的规划和设计，并得到了广泛的认可。
三、流体力学中的数值计算流体力学是液体和气体力学的研究领域，其主要研究对象是流体的运动和转换。
流体力学的主要模拟对象是流体场中的速度和压力，因此流体力学的核心是 Navier-Stokes 方程组，其中包括质量、动量和能量守恒方程。
流体力学的数值计算方法包括：1. 有限体积方法有限体积方法是一种离散流体力学方程的高精度方法，它考虑了流体的受力、耗散和粘度等因素。
有限体积方法的最大优点是可以处理高速和复杂的流体场问题，例如，超音速飞行器、汽车和火箭引擎等问题。
2. 有限元方法有限元方法是一种更为通用的计算方法，它不仅可以应用于流体力学问题，还可以应用于结构力学、热传递等其他力学问题。
流动与传热的数值方法作业（一）姓名：徐世杰 学号：120351题目1： 用Galerkin 方法求以下方程在内部节点的离散化方程。
1122[]0i i x x d TT dx dx +-+=⎰ 取线性插值函数，1111()()()()i i i i i i T x l x T l x T l x T -+-+=++，其中节点间距x ∆是均匀的。
111111()[,]()()()(,]()0i i i i i i i i i i i x x x x x x x x x l x x x x x x ---+++⎧⎫-∈⎪⎪-⎪⎪⎪⎪-⎪⎪=∈⎨⎬-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭其它题目2：考虑2200011d TT dx dTx dx x T +=⎧==⎪⎨⎪==⎩ ① 用控制容积有限差分方法做出内部节点和边界节点的离散化方程； ② 写出代数方程组的迭代求解程序； ③ 研究空间步长x ∆对数值精度和收敛性的影响。
题目一解：Galerkin 方法就是将对应某个点上的插值函数作为权函数。
Galerkin 方法是有限元方法。
可知有：1122[]*()0i i x i x d TT l x dx dx +-+=⎰， i=2，….,n -1 按照习惯，上述积分写成：1111222222[]*()[]*()[]*()i ii i i ix xx i i i x x x d T d Td TT l x dx T l x dx T l x dx dx dx dx ++--+=+++⎰⎰⎰ 可以推得：11112221122211[]*()[]*[]*i ii i i ix xx i i i i i i i x x x x x x x d T d Td TT l x dx T dx T dx dx dx x x dx x x ++---+-+--+=+++--⎰⎰⎰由弱解变换可以得111111111122()[]*()[()]()()i i i i i i i i i i x x xi i i x x x x x i i x x dl x d T d dT dT l x dx l x dx dx dx dx dx dx dx dl x dT dT l x dxdxdx dx +++---++--=-=-⎰⎰⎰⎰可以得111122()[]*()[()]0i i i i x x i i i x x dl x d T dT T l x dx Tl x dx dx dx dx ++--+=-+=⎰⎰，i=2，…,n -1 上式继续推导有：1111112211()[]*()[()]*()[2]()i i i i i i x xi i i i x x xi i i i x dl x d T dT T l x dx Tl x l x dx dx dx dx T T T Tl x dxx ++--+-+-+=-+-+=+∆⎰⎰⎰其中，11111111111111111111()[()()()]()[()()()()()()][()()()()()()][()()i i i i i i ii x x i i i ii i i i x x x i i i i i i i i i x x i i i ii i i i i x ii Tl x dx lx T l x T l x T l x dxl x lx T l x l x T l x l x T dx l x lx T l x l x T l x l x T dx l x lx ++--+---+-+-+-+-+-+-=++=++=+++⎰⎰⎰⎰1111()()()()]i ix i i i i i i i x T l x l x T l x l x T dx+-++++⎰化简可以得：1121111211[2]121[]*()636112211()()()0636i i x i i i i i i i x i i i T T T d T T l x dx xT xT xT dx x x T x T x T x x x+-+--+-+-++=+∆+∆+∆∆=∆++∆-+∆+=∆∆∆⎰ i=2，….,n -1题目二①用控制容积有限差分方法做出内部节点和边界节点的离散化方程：首先进行离散化，先确定节点，再确定控制容积。
流动与传热的数值方法作业（一）姓名：徐世杰 学号：120351题目1： 用Galerkin 方法求以下方程在内部节点的离散化方程。
1122[]0i i x x d TT dx dx +-+=⎰ 取线性插值函数， 1111()()()()i i i i i i T x l x T l x T l x T -+-+=++，其中节点间距x ∆是均匀的。
111111()[,]()()()(,]()0i i i i i i i i i i i x x x x x x x x x l x x x x x x ---+++⎧⎫-∈⎪⎪-⎪⎪⎪⎪-⎪⎪=∈⎨⎬-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭其它题目2：考虑2200011d TT dx dTx dx x T +=⎧==⎪⎨⎪==⎩ ① 用控制容积有限差分方法做出内部节点和边界节点的离散化方程； ② 写出代数方程组的迭代求解程序； ③ 研究空间步长x ∆对数值精度和收敛性的影响。
题目一解：Galerkin 方法就是将对应某个点上的插值函数作为权函数。
Galerkin 方法是有限元方法。
可知有：1122[]*()0i i x i x d T T l x dx dx +-+=⎰ ， i=2，….,n -1 按照习惯，上述积分写成：1111222222[]*()[]*()[]*()i i i i i ix xx i i i x x x d T d T d T T l x dx T l x dx T l x dx dx dx dx ++--+=+++⎰⎰⎰ 可以推得：11112221122211[]*()[]*[]*i i i i i ix xx i i i i i i i x x x x x x x d T d T d T T l x dx T dx T dx dx dx x x dx x x ++---+-+--+=+++--⎰⎰⎰ 由弱解变换可以得111111111122()[]*()[()]()()i i i i i i i i i i x x x i i i x x x x x ii x x dl x d T d dT dT l x dx l x dx dx dx dx dx dx dx dl x dT dT l x dxdxdx dx +++---++--=-=-⎰⎰⎰⎰可以得111122()[]*()[()]0i i i i x x i i i x x dl x d T dT T l x dx Tl x dx dx dx dx ++--+=-+=⎰⎰ ，i=2，…,n -1 上式继续推导有：1111112211()[]*()[()]*()[2]()i i i i i i x x i i i i x x xi i i i x dl x d T dT T l x dx Tl x l x dx dx dx dx T T T Tl x dxx ++--+-+-+=-+-+=+∆⎰⎰⎰其中，11111111111111111111()[()()()]()[()()()()()()][()()()()()()][()()i i i i i i ii x x i i i ii i i ix x x i i i ii i i i i x x i i i i i i i i i x i i Tl x dx l x T l x T l x T l x dx l x lx T l x l x T l x l x T dx l x l x T l x l x T l x l x T dx l x l x ++--+---+-+-+-+-+-+-=++=++=+++⎰⎰⎰⎰1111()()()()]i ix i i i i i i i x T l x l x T l x l x T dx +-++++⎰化简可以得：1121111211[2]121[]*()636112211()()()0636i i x i i i i i i i x i i i T T T d T T l x dx xT xT xT dx x x T x T x T x x x+-+--+-+-++=+∆+∆+∆∆=∆++∆-+∆+=∆∆∆⎰i=2，….,n -1题目二①用控制容积有限差分方法做出内部节点和边界节点的离散化方程：首先进行离散化，先确定节点，再确定控制容积。
将0-1划分为N 段，共N+1个节点，N 个控制容积，其中1xN∆=。
对原方程建立差分方程，内部节点：*12011E p P W P P T T T T T T N N N N----+= E w a a N == 1p E w a a a N =++ 12p a N N =+ *2p b T N=p p E E W W a T a T a T b=++p i p i E i E i Wi W i a T a T a T b =++ *1112(2)()i i i P N T N T T T N N-++=++边界节点1x = 11N T +=p p E E W W a T a T a T b=++E w a a N == 1p E w a a a N=++12p a N N=+*11112N N N N N N P a T a T a T T N ++--=++ *112(2)N N P N T N NT T N N -+=++边界节点 0x =0dTdx= (())0e P d dT T dx dx dx +=⎰ *1(2)012P E P P T T T T N N-+-= E a N = *1P b T N = 1122P E a a NNN=-=-p p E E a T a T b =+ *11221Pa T a T T N =+ *1211()2P N T NT T N N-=+组成代数方程组：*12*11*111()1212(2)()212(2)1P i i i PN N P N T NT T i N N N T N T T T i N N N N T N NT T i N N N -+-⎧-=+=⎪⎪⎪+=++≤≤⎨⎪⎪+=++=+⎪⎩写成矩阵方程组：*1*22*1*11000021220001..0200.......2100202100002P P N N P N P N N T N N T N N N T NT N N N N NT T T N N N NT NT N NN N N --⎡⎤--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥-+⎣⎦⎢⎥⎣⎦②写出代数方程组的迭代求解程序: 用Matlab 编写如下求解程序； function [x,n]=gauseidel(A,b,x0,eps,M) %高斯迭代格式 %线性方程组的系数：A %线性方程组中常数向量：b %迭代初始向量：x0 %解的精度控制：eps %迭代步数控制：M %线性方程组的解：x%求出所需精度的解实际迭代步数：n if nargin==3 eps=0.000001;M=10000;elseif nargin==4M=10000;endD=diag(diag(A));L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);G=(D-L)\U;f=(D-L)\b;x=x0;n=0;tol=1;while tol>=epsx=G*x0+f;n=n+1;tol=norm(x-x0);x0=x;if (n>=M)disp ('Warning：’迭代次数过多，可能不收敛.')return;endendN=input('请输入N值''\n')Tp=input('请输入Tp值''\n')x1=zeros(N,1)A0=zeros(N);A0(1,1)=N+1/(2*N);A0(1,2)=-N;A0(N,N-1)=-N;A0(N,N)=2*N+1/N;for i=2:N-1A0(i,i-1)=-N;A0(i,i)=2*N+1/N;A0(i,i+1)=-N; endb0=zeros(N,1); b0(1,1)=(1/N)*Tp; b0(N,1)=(2/N)*Tp+N; for i=2:N-1b0(i,1)=(2/N)*Tp; end A=A0; b=b0; x0=x1;[x,n]=gauseidel(A,b,x0) x=[x;1] t=(0:1/N:1)title('一维稳态导热问题空间温度分布图') xlabel('空间分布X') ylabel('温度分布T') hold on plot(t,x)① 研究空间步长x 对数值精度和收敛性的影响。
由以上程序计算当取*p T =1。
当N=4时; 迭代次数n=62； N=6;迭代次数n=132；由上图可见随着步长的缩短，计算结果更加精确，数值精度越高，收敛速度越慢。
